1

PROBLEMA 3

Nesse problema, mostraremos, com o auxílio da geometria espacial, a identidade:

“ Pentágono – Hexágono – Decágono “ ,

que diz que, sendo n o comprimento lado do n – ágono regular inscrito em um círculo de raio 1, então

26

210

25

a ) Seja ABC um triângulo retângulo em A, sendo AH a altura relativa à hipotenusa. Prove que

222

111

ACABAH

RESOLUÇÃO

Sendo AH altura relativa à hipotenusa do ∆ ABC, H (pé da altura) e BC ( hipotenusa). Então,BC = BH + HC. [I]

Já , das relações métricas do triângulo retângulo, AB2 = BH. BC, AC2 = HC.BC e AH2 = BH . CH. [II]

Portanto, de [I] e [II], obtém-se:

22

11

ACAB

2

1111111

AH

BC

BCHCBH

HCBH

BCHCBHBCBCHCBCBH ... 2

1

AH ;

o que finaliza a demonstração pedida.

RESPOSTA : DEMONSTRAÇÃO .

2

b ) Na figura a seguir, temos um icosaedro regular (cujas faces

são triângulos equiláteros) de centro C.

Construímos, ligando pontos médios de arestas, um

pentágono regular P e um decágono regular D.

Sendo 621 MM , calcule , em função de 1065 e, ,

os raios dos círculos circunscritos ao pentágono P e ao

decágono D.

RESOLUÇÃO

Do enunciado, 21MM é lado comum aos polígonos regulares P e D, 621 MM e 26

210

25 , tais que:

5 é o comprimento do lado de um pentágono regular inscrito em um círculo de raio 1.

6 é o comprimento do lado de um hexágono regular inscrito em um círculo de raio 1.

10 é o comprimento do lado de um decágono regular inscrito em um círculo de raio 1.

Dai, o comprimento do lado, tanto do polígono regular P quanto do polígono regular D , é 6 .

Por outro lado, claramente, polígonos regulares de mesmo número de lados, são semelhantes. A razão desta semelhança pode ser dada , tanto pela razão dos comprimentos dos seus lados quanto pela razão das medidas dos raios dos seus círculos circunscritos.

Deste modo, sendo RP e RD , respectivamente, medidas dos raios, dos círculos circunscritos ao

pentágono P e ao decágono D, tem-se:

5

6

1

PR

(consequência da semelhança entre P e o pentágono regular inscrito no círculo de raio 1) e

10

6

1

DR

, ( consequência da semelhança entre D e o decágono regular inscrito no círculo de raio 1).

Portanto,

5

6

PR e

10

6

DR

RESPOSTA :

5

6

[ raio do círculo circunscrito de P ] e

10

6

[raio do círculo circunscrito de D].

NOTAS:

1. O centro do círculo circunscrito ao decágono regular coincide com o centro C do icosaedro .

2. 6 = 1 [ resultado bem conhecido da geometria plana] .

3

c) Sejam V um vértice e W o centro de P. Mostre que as retas WM1 e CV são perpendiculares.

RESOLUÇÃO [demonstração]

Primeiramente, exibimos as figuras abaixo, com função exclusiva de auxiliar a compreensão da demonstração.

Sejam M1, M2 , M3 , M4 e M5 pontos médios das arestas do icosaedro que têm o vértice V em comum.

Deste modo, M1M2M3M4 M5 é o pentágono P de centro W . Como V, claramente, não pertencente ao plano

de P e VM1 = VM2 = VM3 = VM4 = VM5 ; pois as faces do icosaedro são triângulos equiláteros, então

VM1M2M3M4 M5 é uma pirâmide pentagonal regular, sendo P sua base e V seu vértice. Portanto,

a reta VW é perpendicular ao plano de sua base ( P ) . [I]

Já, sendo C , centro do icosaedro regular, ele é equidistante dos seus 12 vértices. Dai, as retas VM1 , VM2 ,

VM3 , VM4 e VM5 são mediatrizes das arestas do icosaedro que têm M1, M2 , M3 , M4 e M5 como pontos

médios, respectivamente. Como C ,claramente, não pertence ao plano de P e CM1 = CM2 = CM3 = CM4 = CM5 ,

então CM1M2M3M4 M5 é uma pirâmide pentagonal regular, sendo P sua base e C seu vértice. Portanto,

a reta CW é perpendicular ao plano de sua base ( P ) . [II]

Em fim, de [I] e [II] , conclui-se que C, W e V são colineares , com a reta CV perpendicular ao plano de P .

Portanto, da definição de reta perpendicular à um plano, as retas WMi ( i=1,2,3,4,5), contidas no plano de P,

são perpendiculares à reta CV ; o que finaliza a demonstração pedida.

RESPOSTA : DEMONSTRAÇÃO

NOTA:

1. C é o centro do círculo circunscrito ao decágono regular .

2. A reta CV é a reta suporte das alturas relativas à base P das duas pirâmides pentagonais.

4

d ) Utilizando o icosaedro, prove identidade: “ Pentágono – Hexágono – Decágono “ , ou seja, sem usar

trigonometria, demonstre que 26

210

25 .

RESOLUÇÃO [demonstração]

Do item ( c ), as retas WM1 e CV são perpendiculares e a reta CM1 é a mediatriz da aresta que tem M1

como ponto médio. Em consequência , ∆VM1C é um triângulo retângulo em M1 e WM1 é a sua altura

relativa à hipotenusa VC .

Do item ( b ), M1W = 5

6

PR e CM1 =

10

6

DR .

Já, das faces equiláteras do icosaedro, o ∆VM1M2 é equilátero e, portanto, 6211 MMVM =1 .

Consequentemente, da propriedade de triângulos retângulos, provada no item ( a ), resulta para o ∆VM1C :

222

1

111

DPRR

.

Portanto, com os valores de RP e RD, substituídos nesta relação, obtém-se

2

5

6

1

12

10

6

1

,

que após simplificações convenientes nos leva a bela identidade: “ 26

210

25 “ , conhecida como a

identidade “ Pentágono – Hexágono – Decágono “ ; o que finaliza a demonstração pedida.

RESPOSTA : DEMONSTRAÇÃO

NOTA : Em consequência da semelhança entre polígonos regulares de mesmo número de lados,

claramente, se nL é o comprimento lado do n – ágono regular inscrito em um círculo de raio R,

então 55

.RL , RRL 66

. e 1010

.RL ,

Dai, 26

210

26

2210

226

210

225

225

.. LLRRRRL

AUTOR: LUIZ ANTONIO PONCE ALONSO [09/07/2016].

5

CURIOSIDADE

Demonstração da identidade: “ Pentágono – Hexágono – Decágono “ ,

que diz que, sendo n o comprimento lado do n – ágono regular inscrito em um círculo de raio 1, então

26

210

25 , com o auxílio apenas da Geometria Plana.

DEMONSTRAÇÃO

Seja ABCDE um pentágono regular inscrito em um círculo de raio 1, seja F ponto médio do menor arco AB da

circunferência deste círculo, seja M ponto médio do lado AB , e seja BD = d.

Nestas condições, claramente: DBF = DMB = 900. AD = AC= DB = d.

AB = BC= CD = DE = EA = 5 , 6 = 1, AF = BF = 10 , BM25 e DF = 2. 6 .

Das relações métricas do ∆ DBF retângulo em B :

10

6

5

5

6

10.102

5.62

d

dd ou [ I ]

26

4210

2 d ou 4

2

6

102

6

d [ II ]

Do Teorema de Ptlomeu aplicado ao quadrilátero

cíclico ABCD : 2.5

25

dd .

Dividindo ambos os membros por 2d , e em

seguida por 25

, obtém-se respectivamente:

1 2

dd

55 [ III ] e

51

5

d

d [ IV]

Por outro lado, de [II] e [III]: 2

6

104

2

6

d2

54

2

10

5

d

.

Mas, ][2

54

III

d

d

53

d

512

][

512

III

d

2

1 2

51

][2

155552

dIV

dddd.

Em consequência,

I] [

2

10

61

2

51

2

10

5

d. Portanto, ,

2

10

61

2

10

5

ou seja, 2

6210

25

.

AUTOR: LUIZ ANTONIO PONCE ALONSO [09/07/2016].

NOTA: [ Teorema de Ptolomeu] Se um quadrilátero é cíclico, isto é, inscritível

em uma circunferência, então o produto dos comprimentos de suas

diagonais é igual a soma dos produtos dos comprimentos dos seus lados

opostos, isto é, sendo m e n comprimentos de suas diagonais, a,b,c e d

comprimentos de seus lados, com a e c, correspondentes um par de lados

opostos do quadrilátero cíclico, então m.n = a.c + bd.