PROBLEMA DE CINEMÁTICA5

PROBLEMA DE CINEMÁTICA: LANÇAMENTO DE PROJÉTEIS #02

Uma pedra é arremessada do Ponto P com uma velocidade de 10 m/s numa direção que forma um ângulo de 45 graus com a horizontal, atingindo o ponto Q conforme indicado no esquema

Considerando que a resistência do ar é desprezível, a distância d indicada no esquema, em metros, é um valor mais próximo de:(A) 2.4(B) 7.1(C) 12(D) 14(E) 24

Resolução:

Sendo um movimento bidimensional, é conveniente decompor em duas direções: VERTICAL (y) e HORIZONTAL (x)

Na direção y, temos um MRUV com as seguintes equações:

Para determinar qual o instante “t” em que a pedra chega ao solo , basta fazer y = 0, e chegamos a :

http://www.fisica.net/problemasresolvidos/cinematica/index.php

O deslocamento horizontal (“d” na figura), nada mais é que o deslocamento na direção “x” (em MRU) durante t = 1,707 s, logo:

Resposta: (C)

PROBLEMA DE CINEMÁTICA #01

Uma móvel parte da origem do eixo x com velocidade constante igual a 3m/s. No instante t=6s o móvel sofre uma aceleração a= -4m/s2.

A equação horária, a partir do instante t=6s, será?

De t=0 até t=6s temos um MRU.

Logo a equação horária é:

A posição em t=6s será

Daí pra frente temos um MRUV:



Um móvel se desloca segundo a equação , sendo x o deslocamento em metros e t o tempo em segundos. Nessas condições podemos afirmar a diferença entre sua aceleração para t = 1s e para t = 5s é?

Logo, percebe-se que é uma equação de segundo grau, o que caracteriza um MRUV, logo a aceleração é CONSTANTE.

Tendo:

Derivando uma vez, chegamos a equação da VELOCIDADE:

e comparando com a equação base do MRUV:

Derivando mais uma vez, obtemos a ACELERAÇÃO:

Não existe diferença entre a aceleração em t = 1s e t = 5s, pois ela é CONSTANTE.



Um automóvel viaja a 30km/h durante 1h, em seguida, a 60km/h durante 1/2h. Qual foi a velocidade média no percurso?

No percurso todo:

Vm = (30+30)/(1+0,5) = 60/1,5 = 40km/h


Duas cidades A e B, distam 200km entre si. Simultaneamente, um carro parte de A para B a 60km/h, e outro de B para A com rapidez de 40km/h, seguindo pela mesma estrada.

a) Depois de quanto tempo irão se encontrar?b) A que distância de A lês se encontrarão?

A seguir duas formas de resolver o problema.

1) Por rapidez relativa:

Carro A:

Carro B:

(o sinal negativo indica um sentido de movimento oposto ao do carro A)

Como os movimentos possuem a mesma direção e sentidos opostos, a rapidez relativa será:

Trata-se de um MRU, pois não há nada que indique variação na rapidez (módulo da velocidade), logo:



O carro A terá percorrido:

2)

Usando a equação horária da posição do MU:

Para o carro A:

Para o carro B:

No momento do encontro:

A posição do carro A no momento do encontro será:


Em um prédio de 20 andares (além do térreo) o elevador leva 36s para ir do térreo ao 20º andar.Uma pessoa no andar x chama o elevador,que está inicialmente no térreo,e 39,6s após a chamada a pessoa atinge o andar térreo.Se não houve paradas intermediárias,e os tempos de abertura e fechamento da porta do elevador e de entrada e ´saída do passageiro são desprezíveis,podemos dizer que o andar x é o

Podemos perceber que:


Térreo: x =0 1º andar = x=12º Andar x= 220º Andar = x=20

“Se” a rapidez do elevador for constante (não é feita nenhuma menção a isso no problema), temos um MRU, logo a rapidez do elevador será:

Se o elevador movimentou-se exclusivamente para atender a essa pessoa, teremos que o intervalo de tempo de subida e de descida deve ser igual (supondo rapidez constante), então temos:

O número de andares percorridos do térreo até o andar da pessoa será:

5/9 x 19,8 = 11


Percorrendo-se uma distância "d" a 30km/h gasta-se 2 h menos do que se percorresse a 12km/h. Qual o valor de "d"?

1º caso:

d = 30.(t – 2)

2º caso

d = 12.t

Podemos igualar as duas expressões:

30.(t – 2) = 12t

Basta isolar “t” e substituir em uma das equações anteriores.

30t – 60 = 12t30t – 12t = 6018t = 60t = 60/18 = 10/3h

Logo,

d = 12.t è d = 12 x 10/3 = 40km

Questões - DinâmicaLeis de Newton


(1) Considere as seguintes forças aplicadas a um corpo:

Qual é a força resultante aplicada?

Módulo: 5N-3N=2N

Direção e sentido: O mesmo da força maior em módulo (5N)

(2) Uma força de 50N é aplicada a um corpo de massa 100kg que se encontra em repouso. Sendo esta a única força que atua no corpo, qual a velocidade alcançada após 10s da aplicação da força?

Conhecendo a aceleração do corpo podemos calcular sua velocidade:

(3) Qual a massa de um corpo que, partindo do repouso, atinge uma velocidade de 12m/s em 20s? Sabendo que a força aplicada nele tem módulo igual a 30N.

Conhecendo a aceleração do corpo:

Força Peso

(1) Qual a força mínima que deve ser feita para levantar um automóvel com massa 800kg?

A força deve ser maior ou igual à força peso, então:

(2) Qual a massa de um corpo com peso 12000kgf?


Uma pessoa anda com uma velocidade constante de 2m/s durante 20 minutos em uma linha reta. Em seguida retorna, correndo, pela mesma trajetória anterior, durante 3 minutos com velocidade constante de 6m/s. A rapidez média da pessoa e a velocidade média, em m/s, durante estes 23 minutos foi de aproximadamente:


Força de Atrito

(1) Qual o coeficiente de atrito de um bloco de 10kg que alcança 2m/s em um deslocamento de 10m, partindo do repouso? Sendo que a força que é aplicada a ele é 10N.

Podemos calcular a aceleração do bloco utilizando a equação de Torricelli:

Pelo princípio da dinâmica, onde a Força resultante é proporcional à massa e aceleração:

Conhecendo o módulo da força de atrito é possível calcular seu coeficiente de atrito:

(2) Uma força F é aplicada a um bloco de 15kg que desliza sobre um superfície onde o coeficiente de atrito dinâmico é 0,25. O corpo tem aceleração constante de 1m/s². Qual a força aplicada no corpo?

Pelo princípio da dinâmica:

Força Elástica

(1) Uma mola tem constante elástica k=2,5kN/m. Quando ela for comprimida de 12cm, qual será a força elástica dela?

Pela lei de Hooke:

(2) Um corpo entra em equilíbrio quando a força resultante sobre ele for nula. Sendo:

Qual será a deformação na mola quando o sistema estiver em equilíbrio?

Quando o sistema estiver em equilíbrio:

Então, a força elástica será igual à Força Peso:


Um móvel percorre a distância em linha reta entre duas cidades em duas etapas. Na

primeira etapa ele percorre com uma rapidez e na segunda etapa com uma

rapidez . Determine a rapidez média supondo que as duas etapas possuem o mesmo comprimento

A rapidez média na viagem entre as duas cidades é dada por:

Pode-se afirmar que

è

è


è è

a)

Chamando de “ ” a distância em cada metade da viagem

então

è

è

è

è


Um trem de 400m de comprimento com velocidade de 20m/s para atravessar um túnel de 1800m de comprimento. Qual o intervalo de tempo necessário para atravessar o túnel?

Basta usar:


Força Centrípeta

(1) Qual a força centrípeta que um carro de massa 600kg atinge, ao percorrer um curva de raio 100m a uma velocidade de 15m/s²?

(2) Qual deve ser o coeficiente de atrito estático entre a estrada e os pneus para que o carro do exercício anterior não derrape?

Sistemas

(1) Qual a aceleração do sistema a seguir, sendo que o coeficiente de atrito dinâmico do plano é igual a 0,2?

Considerando cada bloco individualmente:

Para o 1° bloco:

Para o 2° bloco:

Na vertical:

Na horizontal:

Podemos montar um sistema de equações e somá-lo:

Trabalho

(1) Qual o trabalho realizado por uma força de intensidade 100N, formando um ângulo de 30° com a horizontal, quando o corpo se desloca 1km horizontalmente?

(2) Qual o trabalho realizado pela esfera de 0,5kg a seguir:

a) No sentido vertical:

b) No sentido horizontal:


Um automóvel que se desloca com velocidade constante de 72 km/h ultrapassa outro que se desloca com uma velocidade constante de 54 km/h, numa mesma estrada reta. O primeiro encontra-se 200m atrás no instante t=0. Em que instante o primeiro estará ao lado do segundo?


Existem várias formas de resolver o problema, usarei o método da VELOCIDADE RELATIVA:

Potência

(1) Qual a potência média desenvolvida por uma força de intensidade 100N, durante um percurso de 20m durante um intervalo de tempo igual a 2s?

(2) Um bloco de massa 1kg tem aceleração constante de 3m/s². Sendo que esta parte do repouso, qual a potência instantânea do bloco após 10s?

Para fazermos este cálculo, é necessário saber a Força exercida sobre o bloco e a velocidade no instante pedido.

Conhecendo a Força e a velocidade instantânea:

Energia

(1) Qual a energia de um corpo de massa 1kg que se desloca com velocidade constante igual a 10m/s?

(2) Um carro de massa 10³kg se desloca com velocidade 12m/s, quando avista um pedestre e freia até parar. Qual o trabalho realizado pelos freios do carro?

Pelo teorema da Energia Cinética:

(3) Um homem de cai de uma altura de 100m. Qual sua velocidade ao chegar ao solo?

Pelo princípio de conservação de energia:

(4) Um bloco de 12kg cai de uma altura de 20cm sobre uma mola de constante elástica k=500N/m, em seu estado de repouso. Qual será a compressão na mola?

Devemos utilizar o princípio de conservação de energia. Mas sabemos que quando o bloco cai, sua energia potencial gravitacional se transforma em energia cinética e quando o bloco chega até a mola, a energia cinética se transforma em energia potencial elástica, então:

, a energia cinética inicial, neste caso, é igual é igual a energia cinética final da situação em que o bloco cai.


Dois amigos, correndo sobre uma mesma pista retilínea e em sentidos opostos, avistam-se quando a distância que os separa é de 150m. Um está correndo com velocidade escalar constante de 5,0 m/s e o outro com velocidade escalar constante de - 7,5 m/s. Que distância cada um percorrerá na pista, desde que se avistam até o instante em que um passa pelo outro?"

Para calcular o intervalo de tempo que eles levaram para se encontrar, podemos usar:

O deslocamento de cada um será:


Impulso

(1) Um taco de basebol atinge uma bola durante 0,5s, com uma força de 100N. Qual o impulso do taco sobre a bola?

(2) Em um acidente de carros. Um veículo encontra-se parado enquanto outro de 800kg que se move com uma aceleração de 2m/s² o atinge. Os carros ficam unidos por 10s. Qual o impulso desta batida?

Quantidade de Movimento

(1) Uma bola de futebol tem massa 1,2kg e se desloca com velocidade igual a 15m/s. Qual a quantidade de movimento dela?

(2) Em um jogo de bilhar uma bola maior, que se desloca com velocidade 3m/s, atinge outra que estava parada. A bola menor passa a se mover a uma velocidade de 1,6m/s. Qual a velocidade da bola maior? Considerando que a massa da bola maior é o dobro da bola menor.

Pelo princípio da conservação da quantidade de movimento:

Questões - CinemáticaVelocidade:

1. Um macaco que pula de galho em galho em um zoológico, demora 6 segundos para atravessar sua jaula, que mede 12 metros. Qual a velocidade média dele?

S=12m

t=6s

v=?

2. Um carro viaja de uma cidade A a uma cidade B, distantes 200km. Seu percurso demora 4 horas, pois decorrida uma hora de viagem, o pneu dianteiro esquerdo furou e precisou ser trocado, levando 1 hora e 20 minutos do tempo total gasto. Qual foi a velocidade média que o carro desenvolveu durante a viagem?

S=200km

t=4h

v=?

Mesmo o carro tendo ficado parado algum tempo durante a viagem, para o cálculo da velocidade média não levamos isso em consideração.

3. No exercício anterior, qual foi a velocidade nos intervalos antes e depois de o pneu furar? Sabendo que o incidente ocorreu quando faltavam 115 km para chegar à cidade B.

Antes da parada:

S= 200-115=85km

t=1hora

v=?

Depois da parada:

S= 115km

t= 4h-1h-1h20min= 1h40min=1,66h (utilizando-se regra de três simples)

v=?

4. Um bola de basebol é lançada com velocidade igual a 108m/s, e leva 0,6 segundo para chegar ao rebatedor. Supondo que a bola se desloque com velocidade constante. Qual a distância entre o arremessador e o rebatedor?

, se isolarmos S:

5. Durante uma corrida de 100 metros rasos, um competidor se desloca com velocidade média de 5m/s. Quanto tempo ele demora para completar o percurso?

, se isolarmos t:

Movimento Uniforme:

1. Um carro desloca-se em uma trajetória retilínea descrita pela função S=20+5t (no SI). Determine:

(a) a posição inicial;

(b) a velocidade;

(c) a posição no instante 4s;

(d) o espaço percorrido após 8s;

(e) o instante em que o carro passa pela posição 80m;

(f) o instante em que o carro passa pela posição 20m.

Comparando com a função padrão:

(a) Posição inicial= 20m

(b) Velocidade= 5m/s

(c) S= 20+5t

S= 20+5.4

S= 40m

(d) S= 20+5.8

S= 60m

(e) 80= 20+5t

80-20=5t

60=5t

12s =t

(f) 20= 20+5t

20-20= 5t

t=0

2. Em um trecho de declive de 10km, a velocidade máxima permitida é de 70km/h. Suponha que um carro inicie este trecho com velocidade igual a máxima permitida, ao mesmo tempo em que uma bicicleta o faz com velocidade igual a 30km/h. Qual a distância entre o carro e a bicicleta quando o carro completar o trajeto?

Carro:

S=10km

v=70km/h

t=?

S=70t

10=70t

0,14h=t

t=8,57min (usando regra de três simples)

Bicicleta

O tempo usado para o cálculo da distância alcançada pela bicicleta, é o tempo em que o carro chegou ao final do trajeto: t=0,14h

v=30km/h

t=0,14h

S=?

S=0+30.(0,14)

S=4,28Km

3. O gráfico a seguir mostra as posições em função do tempo de dois ônibus. Um parte de uma cidade A em direção a uma cidade B, e o outro da cidade B para a cidade A. As distâncias são medidas a partir da cidade A. A que distância os ônibus vão se encontrar?

Para que seja possível fazer este cálculo, precisamos saber a velocidade de algum dos dois ônibus, e depois, calcular a distância percorrida até o momento em que acontece o encontro dos dois, onde as trajetórias se cruzam.

Calculando a velocidade ônibus que sai da cidade A em direção a cidade B (linha azul)

Sabendo a velocidade, é possível calcular a posição do encontro, quando t=3h.

4. Um carro, se desloca a uma velocidade de 20m/s em um primeiro momento, logo após passa a se deslocar com velocidade igual a 40m/s, assim como mostra o gráfico abaixo. Qual foi o distância percorrida pelo carro?

Tendo o gráfico da v x t, o deslocamento é igual à área sob a reta da velocidade. Então:

S= Área A + Área B

S=20 5 + 40 (15-5)

S=100+400

S=500m

5. Dois trens partem simultaneamente de um mesmo local e percorrem a mesma trajetória retilínea com velocidades, respectivamente, iguais a 300km/h e 250km/h. Há comunicação entre

os dois trens se a distância entre eles não ultrapassar 10km. Depois de quanto tempo após a saída os trens perderão a comunicação via rádio?

Para este cálculo estabelece-se a velocidade relativa entre os trens, assim pode-se calcular o movimento como se o trem mais rápido estivesse se movendo com velocidade igual a 50km/h (300km/h-250km/h) e o outro parado.

Assim:

v=50km/h

S=10km

t=?


Um móvel parte de um certo ponto com movimento que obedece à lei horária x = 4t², em que “x” é a posição do móvel ,em metros, e “t” é o tempo em segundos.

Um segundo depois parte um outro móvel do mesmo ponto do primeiro, com movimento uniforme e seguindo a mesma trajetória. Qual a menor velocidade que deverá ter esse segundo móvel, a fim de encontrar o primeiro?

Móvel 1 - MRUV:

Móvel 2 - MRU:

No instante de encontro, teremos:


Uniformemente Variado

1. Durante uma corrida de carros, um dos competidores consegue atingir 100km/h desde a largada em 5s. Qual a aceleração média por ele descrita?

2. Um móvel, partindo do repouso com uma aceleração constante igual 1m/s² se desloca durante 5 minutos. Ao final deste tempo, qual é a velocidade por ele adquirida?

3. Um automóvel encontra-se parado diante de um semáforo. Logo quando o sinal abre, ele arranca com aceleração 5m/s², enquanto isso, um caminhão passa por ele com velocidade constante igual a 10m/s.

(a) Depois de quanto tempo o carro alcança o caminhão?

(b) Qual a distância percorrida até o encontro.

Escreve-se as equações do muv para o carro e do mu para o caminhão:

Carro:

Caminhão:

Quando os dois se encontram, suas posições são iguais, então:

(b) Sabendo o momento do encontro, só é necessário aplicá-lo em uma das duas funções (do caminhão ou do carro).

Logo o carro encontra o caminhão 4 segundos após a sinaleira abrir, a uma distância de 40 m.

4. Uma motocicleta se desloca com velocidade constante igual a 30m/s. Quando o motociclista vê uma pessoa atravessar a rua freia a moto até parar. Sabendo que a aceleração máxima para frear a moto tem valor absoluto igual a 8m/s², e que a pessoa se encontra 50m distante da motocicleta. O motociclista conseguirá frear totalmente a motocicleta antes de alcançar a pessoa?

Como a aceleração utilizada para frear a moto se opõe ao movimento, tem valor negativo, então:

A motocicleta não irá parar antes de atingir a pessoa.

5. Um corredor chega a linha de chegada em uma corrida com velocidade igual a 18m/s. Após a chegada ele anda mais 6 metros até parar completamente. Qual o valor de sua aceleração?

Movimento Vertical

1. Uma pedra é abandonada de um penhasco de 100m de altura. Com que velocidade ela chega ao solo? Quanto tempo demora para chegar?

2. Em uma brincadeira chamada "Stop" o jogador deve lançar a bola verticalmente para cima e gritar o nome de alguma pessoa que esteja na brincadeira. Quando a bola retornar ao chão, o jogador chamado deve segurar a bola e gritar: "Stop", e todos os outros devem parar, assim a pessoa chamada deve "caçar" os outros jogadores. Quando uma das crianças lança a bola para cima, esta chega a uma altura de 15 metros. E retorna ao chão em 6 segundos. Qual a velocidade inicial do lançamento?

Para realizar este cálculo deve-se dividir o movimento em subida e descida, mas sabemos que o tempo gasto para a bola retornar é o dobro do tempo que ele gasta para subir ou descer. Então:

Subida (t=3s)

3. Durante a gravação de um filme, um dublê deve cair de um penhasco de 30m de altura e cair sobre um colchão. Quando ele chega ao colchão, este sofre uma deformação de 1m. Qual é a desaceleração que o dublê sofre até parar quando chega colchão?

A desaceleração sofrida pelo dublê se dará quando a velocidade inicial for a velocidade de chegada ao solo na queda vertical, a velocidade final for zero, e a distância do deslocamento for 1m de deformação do colchão. Então o primeiro passo para chegar a resolução é descobrir a velocidade de chegada ao solo:

Como no exercício não é dado o tempo, a maneira mais rápida de se calcular a velocidade é através da Equação de Torricelli para o movimento vertical, com aceleração da gravidade positiva, já que o movimento é no mesmo sentido da gravidade.

O segundo passo é calcular o movimento uniformemente variado para a desaceleração da queda. Com velocidade inicial igual a 24,5m/s.

4. Um fazendeiro precisa saber a profundidade de um poço em suas terras. Então, ele abandona uma pedra na boca do poço e cronometra o tempo que leva para ouvir o som da pedra no fundo. Ele observa que o tempo cronometrado é 5 segundos. Qual a altura do poço?

Podemos dividir o movimento em movimento da pedra e o deslocamento do som.

Movimento da Pedra:

Deslocamento do som:

Sabendo que a altura do poço é a mesma para as duas funções e que :

mas , então:

Sabendo que

Tendo os tempos de cada movimento, podemos calcular a altura utilizando qualquer uma das duas funções:

Movimento Oblíquo

1. Durante uma partida de futebol, um goleiro chuta uma bola com velocidade inicial igual 25m/s, formando um ângulo de 45° com a horizontal. Qual distância a bola alcançará?

2. Um tiro de canhão é lançado formando um ângulo de 30° com a horizontal, conforme a figura abaixo:

, mas quando a altura for máxima a velocidade final será zero:

Então a altura que o tiro do canhão alcança é igual a 50m+30m=80m

3. Suponha que você precise jogar um livro, do segundo andar de um prédio, para um amigo que esteja a 10m de distância de você. Qual deve ser a velocidade inicial com que você deverá lançá-lo? Sabendo que você vai realizar o lançamento verticalmente e que a janela de um segundo andar está a 4 metros de altura do chão.

Movimento Circular

1. Os ponteiros do relógio realizam um movimento circular uniforme. Qual a velocidade angular dos ponteiros (a) das horas, (b) dos minutos (c) e dos segundos?

(a) O ponteiro das horas completa uma volta (2π) em 12 horas (12∙3600s)

ωh=∆φt

ωh=2π12∙3600=1,45∙10-4 rad/s

(b) O ponteiro dos minutos completa um volta (2π) em uma hora (3600s)

ωm=∆φt

ωm=2π3600=1,74∙10-3 rad/s

(c) O ponteiro dos segundos completa uma volta (2π) em um minuto (60s)

ωs=∆φt

ωs=2π60=0,105 rad/s

2. Se considerarmos um relógio, no exercício anterior, com ponteiro das horas de 10cm, dos minutos de 15cm e dos segundos de 20cm. Qual será a aceleração centrípeta de cada um dos ponteiros?

O primeiro passo para a resolução é transformar a velocidade linear pedida em velocidade angular

(b)

(c)

3. Uma roda de 1 metro de diâmetro, partindo do repouso começa a virar com aceleração angular igual a 2rad/s². Quanto tempo ele demora para atingir uma velocidade linear de 20m/s?

O primeiro passo para a resolução é transformar a velocidade linear pedida em velocidade angular, considerando que o raio da roda é igual a metade do diâmetro. Então:

A partir daí, apenas se aplica a função horária da velocidade angular:

4. Uma bola de bilhar, com raio igual a 2,5cm, após ser acertada pelo jogador, começa a girar com velocidade angular igual a 5rad/s, e sofre uma desaceleração igual a -1rad/s² até parar, qual o espaço percorrido pela bola?


Um móvel A com movimento retilíneo uniforme parte de um ponto a em direção a b, com velocidade de 90 km/h. No mesmo instante sai de b um móvel B, também com MRU. A distância retilínea ab é de 10km. Calcule a velocidade do móvel B, para que ambos se cruzem a 6km de A.

Teste semelhante ao anterior, porém agora é conveniente usar as equações horárias.

como o encontro deve ser em , teremos


,

substituindo e , teremos

Questões - AcústicaSom e sua propagação

1. O som é uma onda mecânica que se propaga no ar com uma velocidade variável, conforme a temperatura local.

Supondo que em um lugar essa velocidade seja 340m/s. Se um auto-falante, ao vibrar sua membrana neste local, emite 1 250 pulsos por segundo:

a) Determine a frequência de vibração da membrana, em Hertz;

Esta resposta encontra-se no próprio enunciado, já que se a membrana emite 1 250 pulsos por segundo, ela repete seu movimento 1 250 vezes em cada segundo, ou seja, esta é sua frequência.

b) Determine o período de vibração;

Sabendo a frequência, só precisamos lembrar que o período é igual ao inverso da frequência, logo:

Sendo a unidade expressa em segundos que é a unidade inversa a Hz.

c) Determine o comprimento de onda da onda sonora, em metros;

Utilizando a equação:

Já conhecemos a velocidade e a frequência, então basta isolarmos o comprimento de onda:

d) Sabendo-se que a velocidade do som no ar varia com a temperatura segunda a relação

, sendo θ em graus Celsius e a velocidade em metros por segundo. Qual a temperatura local?

Sabendo-se que a velocidade do som no local é 340m/s, podemos utilizar a equação e resolvê-la:

2. Suponha que em um local a velocidade do som seja 300m/s, na temperatura de 0°C. Neste mesmo local as temperaturas durante certa época do ano podem chegar a 40°C. Neste extremo de temperatura qual será a velocidade de propagação do som?


Sendo k uma constante de valor arbitrário e T a temperatura absoluta do ambiente. Podemos aplicar os valores na equação nas duas situações:

e

Convertendo as temperaturas temos respectivamente 273K e 313K.

Dividindo uma equação pela outra:

Intervalo Acústico

1. Dois diapasões são tocados no mesmo momento. Um deles tem frequência igual a 14kHz e outro de 7kHz. Qual o nome do intervalo acústico entre eles?

Utilizando a equação do intervalo acústico temos:

Consultando uma tabela, verificamos que o intervalo de 2:1 é chamado de oitava.

2. Uma dupla de sons tem intervalo acústico de uma quinta. Sendo que ambos os sons têm mesma velocidade de propagação e o som de frequência maior tem um comprimento de onda igual a 1,3cm. Qual é o comprimento de onda do som de menor frequência?

Para resolver este problema devemos usar a equação

Juntamente com:

Que pode ser escrita como:

Juntando as duas equações:

Aplicando os valores conhecidos, sabendo que uma quinta equivale ao quociente 3:2


Um automóvel passa por uma posição a 10 km de um ponto O, afastando-se dele com velocidade constante de 84 km/h. Que velocidade deve ter um motociclista que nesse instante passa por O, para alcançar o automóvel em 20 minutos?

Montando as equações horárias:


Intensidade Sonora

1. A legislação brasileira proibe o uso de buzinas em regiões próximas a hospitais, escolas e dentro de túneis. Se um motorista buzinar dentro de um túnel com um nível de intensidade sonora igual a 90dB, considerando que a intensidade padrão do túnel o LSA.

Se 10 motoristas buzinarem dentro de um túnel, simultaneamente, com mesma intensidade sonora, qual será o nível de intensidade sonora dentro do túnel?

Para resolver este problema devemos considerar a equação que descreve a intensidade do nível sonoro, ou seja:

Lembrando que a intensidade sonora equivalente ao limiar da sensação audível (LSA) é igual a:

Usando estes dados e o que já foi dito no problema podemos calcular qual será a intensidade sonora de cada buzina:

Conhecendo a intensidade de cada buzina podemos descobrir a intensidade resultante das 10 buzinas funcionando simultaneamente:

Então basta calcularmos o nivel da intensidade sonora para as 10 buzinas:

Caso o estudante não tenha entendido as propriedades dos logaritmos utilizadas, consulte:

http://www.somatematica.com.br/emedio2.php


Tubos sonoros

1. No tubo de Kundt, ilustrado abaixo, uma fonte sonora emite som na frequência de 825Hz. No interior do tubo existe uma quantidade de pó de cortiça, que fica acumulada em distâncias espaçadas de 20cm. Qual é a velocidade de propagação da onda sonora no tubo?

A distância de 20cm citada no problema equivale a distância entre dois nodos da onda sonora, pois nesses pontos a onda "deixa" espaço vago para que a matéria se acumule. Sabendo que o comprimento de onda equivale a distância entre 3 nodos, concluimos que o comprimento da onda sonora é 40cm. Sabendo isso, basta calcularmos a velocidade de propagação, já que conhecemos a frequência:

Efeito Doppler

1. Um trem bala passa apitando pela plataforma de uma estação. Uma pessoa que esta parada na plataforma ouve o silvo com frequência de 450Hz. Após a passagem do trem, a frequência do apito parece cair para 300Hz. Qual a velocidade com que o trem bala anda? Considera velocidade do som igual a 340m/s.

Utilizando a equação generalizada do efeito Doppler:

No primeiro caso, quando o trem se aproxima e o observador permanece parado:

No segundo caso, quando o trem se afasta e o observador permanece parado:

Para encontramos a velocidade do trem podemos isolar a frequência do som emitido pelo apito e resolver a equação, ou podemos dividir uma equação pela outra:


Um trem sai da estação de uma cidade, em percurso retilíneo, com velocidade constante de 50km/h. Quanto tempo depois de sua partidadeverá sair da mesma estação, um segundo trem com velocidade constante de 75km/h, para alcançá-lo a 120 km da cidade.

Rapidez do trem

Rapidez do trem 2

Posição de encontro

Equações horárias

Trem 1: mas como queremos x = 120 km

Trem 2:

e substituindo os valores e , teremos


Intensidade Sonora

1. A legislação brasileira proibe o uso de buzinas em regiões próximas a hospitais, escolas e dentro de túneis. Se um motorista buzinar dentro de um túnel com um nível de intensidade sonora igual a 90dB, considerando que a intensidade padrão do túnel o LSA.

Se 10 motoristas buzinarem dentro de um túnel, simultaneamente, com mesma intensidade sonora, qual será o nível de intensidade sonora dentro do túnel?

Para resolver este problema devemos considerar a equação que descreve a intensidade do nível sonoro, ou seja:

Lembrando que a intensidade sonora equivalente ao limiar da sensação audível (LSA) é igual a:

Usando estes dados e o que já foi dito no problema podemos calcular qual será a intensidade sonora de cada buzina:

Conhecendo a intensidade de cada buzina podemos descobrir a intensidade resultante das 10 buzinas funcionando simultaneamente:

Então basta calcularmos o nivel da intensidade sonora para as 10 buzinas:

Caso o estudante não tenha entendido as propriedades dos logaritmos utilizadas, consulte:


Tubos sonoros

1. No tubo de Kundt, ilustrado abaixo, uma fonte sonora emite som na frequência de 825Hz. No interior do tubo existe uma quantidade de pó de cortiça, que fica acumulada em distâncias espaçadas de 20cm. Qual é a velocidade de propagação da onda sonora no tubo?

A distância de 20cm citada no problema equivale a distância entre dois nodos da onda sonora, pois nesses pontos a onda "deixa" espaço vago para que a matéria se acumule. Sabendo que o comprimento de onda equivale a distância entre 3 nodos, concluimos que o comprimento da onda sonora é 40cm. Sabendo isso, basta calcularmos a velocidade de propagação, já que conhecemos a frequência:

Efeito Doppler

1. Um trem bala passa apitando pela plataforma de uma estação. Uma pessoa que esta parada na plataforma ouve o silvo com frequência de 450Hz. Após a passagem do trem, a frequência do apito


parece cair para 300Hz. Qual a velocidade com que o trem bala anda? Considera velocidade do som igual a 340m/s.

Utilizando a equação generalizada do efeito Doppler:

No primeiro caso, quando o trem se aproxima e o observador permanece parado:

No segundo caso, quando o trem se afasta e o observador permanece parado:

Para encontramos a velocidade do trem podemos isolar a frequência do som emitido pelo apito e resolver a equação, ou podemos dividir uma equação pela outra:



Dois moveis em MRU partem simultaneamente dos pontos A e B em sentidos contrários e se encontram pela primeira vez a 720m de A, a velocidade do que parte do ponto A é va e a velocidade do que parte do ponto B é vb. Cada móvel ao chegar ao ponto oposto ao da partida para por 10 minutos e retornam. O segundo ponto de encontro está situado a 400m do ponto B. Pede-se a distancia entre os pontos A e B.

Certamente os intervalos de tempo “t” necessários para cada encontro serão os mesmos.

Temos 4 equações

Basta resolver este sistema.

Testando:

Substituindo

Questões - OndasVelocidade de Propagação

1. O gráfico abaixo representa uma onda que se propaga com velocidade igual a 300m/s.

Determine:

a) a amplitude da onda;

A Amplitude da onda é dada pela distância da origem até a crista da onda, ou seja:

b) o comprimento de onda;

O comprimento de onda é dado pela distância entre duas cristas ou entre 3 nodos, ou seja:

Como a figura mostra a medida de três "meios-comprimento de onda", podemos calculá-lo:

c) a frequência;

Sabendo a velocidade de propagação e o comprimento de onda, podemos calcular a frequência através da equação:

Substituindo os valores na equação:

d) o período.

Como o período é igual ao inverso da frequência:

Refração das ondas

1. Uma agulha vibratória produz ondas com velocidade de propagação igual a 160m/s e comprimento de onda de 1mm, chegando em uma diferença de profundidade com um ângulo formado de 45° e sendo refratado. Após a mudança de profundidades o ângulo refratado passa a ser de 30°. Qual é a nova velocidade de progação da onda?

E o comprimento das ondas refratadas?

Utilizando a Lei de Snell:

Utilizando a relação com velocidades de propagação, chegamos a equação:

A velocidade da onda refratada será 113,1m/s.

Para calcular o comprimento de onda refratada, utilizamos a Lei de Snell, utilizando a relação com comprimentos de onda:

O comprimento da onda refratada será 0,7mm.

Repare que o resultado aparece em milímetros pois as unidades não foram convertidas para o SI no início da resolução.

Questões - MHSMovimento periódico e oscilatório

1. A Terra demora 1 ano para completar uma volta ao redor do Sol. Este é chamado um movimento periódico e 1 ano é o período do movimento. Qual é a frequência do movimento da Terra em torno do Sol? Considere 1 ano = 365 dias.

Primeiramente devemos transformar a unidade de ano para a que se utiliza inversamente na frequência, ou seja, segundo.

Sendo a frequência igual ao inverso do período, temos que:

2. Um pêndulo demora 0,5 segundo para restabelecer sua posição inicial após passar por todos os pontos de oscilação, qual sua frequência?

Como o tempo dado equivale ao movimento completo do pêndulo, este é considerado o seu período de oscilação, ou seja:

Como a frequência equivale ao inverso do período temos:

Funções horárias do MHS

1. Um oscilador massa-mola tem amplitude do movimento de 2mm, pulsação de 2π, e não existe defasagem de fase. Quando t=10s, qual a elongação do movimento?

Sendo a função horária da elongação:

Substituindo os valores dados temos:

Lembrando que a unidade resultante será mm, pois os valores não foram passados para o SI.

Como cosseno de 20π é um valor máximo (+1), a elongação será máxima, ou seja, igual a amplitude.

2. Dada a função horária da elongação:

Sabendo que todos os valores se encontram em unidades do SI responda:

a) Qual a amplitude do movimento?

Retirando o valor da equação, com unidades do SI temos:

A=3m

b) Qual a pulsação do movimento?


c) Qual o período do movimento?

Conhecendo a pulsação e sabendo que:

Igualando os valores:

d) Qual a fase inicial do movimento?


e) Quando t=2s qual será a elongação do movimento?

Aplicando o valor na equação temos:

3. Um oscilador harmônico tem sua elongação descrita pela seguinte equação:

Sendo todas as unidades encontradas no SI. Qual a velocidade do movimento nos instantes t=1s, t=4s e t=6s?

Lembrando que a equação utilizada para a velocidade no mhs é:

Utilizando os valores encontrados na equação da elongação teremos:

Substituindo os valores de tempo pedidos temos:

Para t=1s:

Para t=4s:

Para t=6s:

4. Qual a aceleração de um corpo que descreve mhs quando sua elongação é x=0 e quando x=A?


Sabendo que a pulsação tem um valor fixo, independente da elongação, é fácil perceber que:

Em x=0, a aceleração será nula (a=0) e

Em x=A, a aceleração será máxima (ou mínima, dependendo o sinal de A).


Determine a velocidade de um projétil disparado contra um alvo rotativo disposto a 15m de distância, sabendo-se que o alvo executa 300 revoluções por minuto e o arco medido entre o ponto visado no momento do disparo e o ponto de impacto do projétil no alvo é de 180º.

A freqüência do alvo é:f = número de rotações / tempof = 300 / 60s = 5Hz

A distância percorrida pelo “ponto” é de:

delta x = delta phi . Rdelta x = pi.R

A velocidade linear do ponto é de:v = delta x / delta t

ou

v = w.Rv = 2.pi.f.R

Igualando as duas:

delta x / delta t = 2.pi.f.Rpi.R / delta t = 2.pi.f.R1 / delta t = 2.f

delta t = 1 / 2fdelta t = 1 / 2.5 = 1/10 s


A rapidez do projétil será:v = delta x / delta t = 15m / (0,1s) = 150 m/s

Questões - Estática e Hidrostática Estática do Ponto

(1) Dado um corpo arbitrário com massa 12kg concentrada em um ponto P ligado a outro de massa 10kg concentrada em um ponto Q ligado por um fio ideal que atravessa uma polia ideal, assim como na figura abaixo. Qual deve ser o coeficiente de atrito para que este sistema esteja em equilíbrio?

Analisando individualmente cada um dos pontos onde há alguma força aplicada:

e

No sentido vertical para P:

Montando um sistema de equações com as forças aplicadas em cada corpo temos:

Mas para que o corpo esteja em equilíbrio a=0. Então somando o sistema acima temos:

(2) Dois cabos seguram um bloco de massa 20kg, um deles, com intensidade 20N, forma um ângulo de 45° com a horizontal. O outro, forma um ângulo de 120° partindo da horizontal. Qual a força aplicada a este cabo para que o bloco fique em equilíbrio verticalmente?

Verticalmente:

Estática de Corpo Rígido

(1) Três partículas localizam-se em posições: a (2,4), b (3,-1), c (1,0), d (-5,-2), e (0,0). Sendo a massa destas partículas, respectivamente, 5kg, 16kg, 0,1kg, 0,9kg e 10kg. Qual é o centro de massa deste sistema?

Utilizando o princípio da média aritmética ponderada, podemos calcular o centro de massa em cada eixo do plano cartesiano:

Logo CM (1,67 , 0,04)

(2) Para abrir uma porta de madeira de um metro de largura é necessário aplicar uma força perpendicular de intensidade 50N na sua extremidade contrária à dobradiça. Ao tentar abrir esta porta empurrando-a pelo seu meio, qual deve ser a intensidade da força perpendicular aplicada?

(3) Uma barra homogênea de 5kg e 2m apoiada sob um ponto em uma parede é segurada por um cabo ideal, em um ponto A, distante 1,5m da ponta da barra e há um bloco de massa 1kg preso a outra extremidade da barra. Qual a força aplicada ao cabo para que o sistema esteja em equilíbrio?

Conhecendo as duas condições de equilíbrio de um ponto rígido:

1ª condição:

Mas as forças não estão aplicadas sobre a mesma linha de aplicação, então a força válida é a calculada pela segunda condição de equilíbrio:

2ª condição:


Uma patrulha rodoviária mede o tempo que cada veiculo leva para percorrer um trecho de 400 m de estrada. Um automóvel percorre a primeira metade do trecho a 120km/h. Sendo de 80km/h a velocidade máxima permitida, qual deve ser a maior velocidade media do mesmo na segunda metade da estrada para evitar que seja multado?

Pode-se afirmar que

a) Chamando de “ ” a distância em cada metade da viagem

então



Uma super mosca persegue um automóvel de comprimento 3 m. A velocidade da super mosca é o dobro da do automóvel. Calcular, em metros, o deslocamento da mosca, ao ultrapassar totalmente o automóvel.


Nos problemas envolvendo ultrapassagens, use sempre:

Onde:

comprimento do corpo

Temos então:

logo

Para calcular a distância percorrida pela mosca:

Pressão

(1) Qual a pressão causada por uma força de intensidade 12N aplicada sobre uma superfície retangular de dimensões 15cm x 5cm?

Sendo:

e a área do retângulo é dada pela multiplicação dos seus lados e convertendo as unidades para SI:

(2) Qual a pressão exercida por um fluido de densidade 0,7kg/m³ que preenche um recipiente cilíndrico de 2m de altura?

Teorema de Stevin

(1) Em um submarino submerso a 100m abaixo do nível do mar está submetido a uma pressão de 11atm, quando ele sobe até uma altura de 50m abaixo do nível do mar qual é a pressão exercida sobre ele? Dados 1 atm=100000Pa, densidade da água=1000kg/m³ e aceleração da gravidade=10m/s²

Pressão inicial=1100000Pa

Teorema de Pascal

(1) A ferramenta usada em oficinas mecânicas para levantar carros chama-se macaco hidráulico. Em uma situação é preciso levantar um carro de massa 1000kg. A superfície usada para levantar o carro tem área 4m², e a área na aplicação da força é igual a 0,0025m². Dado o desenho abaixo, qual a força aplicada para levantar o carro?

Então:


Inicialmente com velocidade de 4 m/s, em MRUV, uma partícula se desloca 7 m durante o 2º segundo de movimento. Calcular o deslocamento, em metros, durante o 3º segundo de movimento.

Equação da posição:

Equação do deslocamento

0s até 1s


(essa é a rapidez no instante t=1s)

1s até 2s

Deslocamento DURANTE o 2º segundo

Agora temos TODAS as informações, com isso podemos montar a equação horária:

Logo, podemos montar uma tabela

t(s) 0 1 2 3 4

x(m) 0 5 12 21 32

Agora só resta calcular os deslocamentos:

Empuxo

(1) Um cubo de volume 10cm³ pesa 50g. Colocada em uma caixa d'água ela afundará ou flutuará?

Como a densidade do bloco é maior que a densidade da água, o bloco afundará.

(2) Uma esfera de gelo de volume 5cm³ é colocada em um aquário com água. Qual a força exercida pela água sob a esfera? Dado: densidade do gelo=0,92g/cm³ e densidade da água=1g/cm³.

Questões - Gravitação UniversalLeis de Kepler

(1) Um satélite de comunicação em órbita circular tem raio R e período T. Um outro satélite de órbita circular tem período T/3. Qual o raio da órbita do segundo satélite?

http://www.sofisica.com.br/conteudos/Mecanica/EstaticaeHidrostatica/questoes2.php

Gravitação Universal

(1) Qual a intensidade do campo gravitacional da Terra sobre a Lua?

Dados:

. Um corpo, no instante de tempo t0 = 0 , é lançado verticalmente para cima e alcança uma altura “H” num instante de tempo “t”. Supondo nula a resistência do ar, identifique entre os gráficos abaixo, o que melhor representa a variação do deslocamento do corpo, em função do tempo, desde “t0” até “t”. As curvas são ramos de parábola.

2. Um trem que possui 100 m de comprimento atinge a boca de um túnel e, 30 s após, a extremidade de seu último vagão abandona o túnel. Sabendo que a velocidade do trem é constante e igual a 20 m/s, podemos concluir que o comprimento do túnel é(A) 4,5x102 m.(B) 5,0x102 m.(C) 6,0x102 m.(D) 7,0x102 m.(E) 7,5x102 m.

3. Um corpo, que se movimenta retilineamente, tem sua velocidade variando em função do tempo, conforme mostra o gráfico abaixo.

Pode-se afirmar que aceleração que atuou neste corpo foi(A) maior no intervalo "C" do que no intervalo "A".(B) nula no intervalo de tempo "B".(C) nula no intervalo de tempo "D".(D) variável nos intervalos de tempo "B" e "D".(E) constante no intervalo de tempo "D".

4. Quando um corpo se movimenta retilineamente, sua velocidade varia de acordo com o tempo, conforme mostra a seguinte tabela:

O Gráfico que melhor representa o comportamento da aceleração deste corpo em função do tempo é:

5. O esquema abaixo representa um corpo que desliza, sem atrito.

No instante de tempo tA=0 , o corpo encontra-se no ponto A com velocidade vA . O ponto C é o ponto mais alto da superfície inclinada atingido pelo corpo; ele o atinge no instante t=tC. O ponto B é eqüidistante de A e C. Na subida, quando o corpo passa por B, pode-se afirmar

que:

6. Um corpo de massa m movimenta-se sobre uma estrada retilínea, partindo de uma posição inicial -10m. O gráfico representa a velocidade deste corpo em função do tempo.

A equação da velocidade que descreve este movimento é

7. Lança-se um corpo para cima com uma velocidade inicial vi e este leva um tempo t1 para atingir a altura máxima. Pode-se afirmar, desprezando as forças de resistência do ar:(A) Na metade da altura v=vi/2(B) Na metade da altura t=t1/2(C) Para t=t1 a aceleração é zero.(D) Para t=2t1 o corpo estará no ponto de partida.(E) Na metade da altura t=3t1/2 .

8. Considere o gráfico posição (x) em função do tempo (t) para um móvel em movimento retilíneo. Qual é o gráfico velocidade (v) em função do tempo (t) correspondente?

9. O gráfico em função do tempo mostra dois carros A e B em movimento retilíneo. Em t= 0s os carros estão na mesma posição.

O instante em que os carros novamente se encontram na mesma posição é(A) 2,0 s(B) 4,0 s(C) 6,0 s(D) 8,0 s(E) 10 s

10. Um corpo é lançado de baixo para cima sobre um plano inclinado, livre de atrito, com velocidade inicial de 6,0 m/s. Após 5/3 s ele atinge o topo do plano com velocidade de 1,0 m/s. A equação de velocidade que melhor se adapta a este movimento é(A) v = 6 - 5t/3(B) v = 5 - 5t/3(C) v = 1 - 5t/3(D) v = 6 - 3t(E) v = 6 –t

11. Dois móveis, A e B, descrevem respectivamente um movimento retilíneo, representados pelo gráfico v=f(t) abaixo.

A razão entre os deslocamentos dos móveis A e B durante os respectivos intervalos de tempo é(A) 5/6(B) 3/4(C) 1/2(D) 1/3(E) 4/3

12. Uma polia A de raio RA = 0,2 m está ligado, através de uma correia, a outra polia B de raio RB = 0,4 m sem nenhum deslizamento entre as polias e a correia, durante o movimento.

Se o movimento descrito pelas polias A e B for movimento circular uniforme, então a velocidade angular da polia A é numericamente.(A) igual à velocidade angular da polia B.(B) igual à velocidade tangencial da polia A .(C) menor do que a velocidade angular da polia B.(D) maior do que a velocidade angular da polia B.(E) igual à velocidade tangencial da polia B.

13. Um móvel descreve um movimento retilíneo sob a ação de uma força constante, partindo da origem com velocidade inicial nula e passando sucessivamente pelas posições x1 , x2 , x3 , x4 e x5 . O móvel gasta um intervalo de tempo igual a 1/10 de segundo na passagem entre duas posições sucessivas.

Sendo constante a aceleração do móvel, podemos afirmar que esta aceleração vale, em m/s2,(A) 1(B) 2(C) 3(D) 4(E) 5

14. Uma esfera está deslizando sobre uma mesa sem atritos, com certa velocidade v0 . Quando a esfera abandona a superfície da mesa, projetando-se no vácuo, descreve a trajetória representada na figura abaixo.

A altura da mesa Y é de 5 m e o alcance horizontal X é 10 m. Qual a velocidade inicial v0 da

esfera, em m/s?(A) 2(B) 4(C) 5(D) 8(E) 10

15. Um projétil é disparado contra um alvo por um atirador. Sabe-se que o ruído do impacto é ouvido pelo atirador 1,2 s após o disparo e que a velocidade do projétil tem valor constante de 680 m/s. Considerando que a velocidade do som no ar é de 340 m/s, a distância entre o atirador e o alvo, em metros, é de:(A) 170 .(B) 272 .(C) 300 .(D) 480 .(E) 560 .

Para responder às duas próximas questões, utilizar o gráfico v = f(t) abaixo.

16. No intervalo de tempo compreendido entre t = 0 s e t = 2 s , a aceleração, em m/s2 , é igual a(A) zero(B) 2,(C) 3,5(D) 4,0(E) 5,0

17. Entre os instantes t = 4 s e t = 8 s , a distância percorrida pelo móvel, em metros, é de

(A) 5(B) 10(C) 20(D) 30(E) 40

18. Qual dos gráficos abaixo representa a variação da velocidade v, em função do tempo t, de uma pedra lançada verticalmente para cima? (A resistência do ar é desprezível.)

19. A posição inicial de um móvel que descreve um movimento retilíneo, representado pelo gráfico v = f(t) a seguir, vale 10 m.

A equação horária que melhor representa o movimento considerado é:(A) x = 10 + 30t - 4t2

(B) x = 10 + 30t + 2t2

(C) x = 10 + 30t - 2t2

(D) x = 30t - 4t2

(E) x = 30t - 2t2

20. Dois automóveis, A e B, se deslocam sobre uma mesma estrada, na mesma direção e em sentidos opostos, animados, respectivamente, das velocidades constantes vA = 90 km/h e vB = 60 km/h. Num determinado instante t0 = 0 , passam pelo mesmo referencial. Ao final de 15 min contados a partir da passagem pelo referencial, a distância entre os automóveis, em km, será(A) 10,0(B) 37,5(C) 42,7(D) 54,8(E) 81,3

21. O disco da figura gira no plano da folha em torno do eixo C, no sentido horário, animado de um MCU. O eixo C é perpendicular ao plano da figura. Os pontos 1 e 2, situados

às distâncias R1 e R2 do eixo C, giram solidários com o disco. Sabendo que R1=1/2R2, a relação entre as velocidades lineares v1 e v2 dos pontos 1 e 2 é

(A) v1 = 1/3v2

(B) v1 = 1/2v2

(C) v1 = v2

(D) v1 = 2v2

(E) v1 = 3v2

22. Um móvel, inicialmente em repouso, parte do referencial A da figura, no instante t = 0 , ocupando, sucessivamente, as posições B, C, D e E de segundo em segundo. Cada divisão do papel milimetrado corresponde a 1,0 m.

A aceleração do móvel, em m/s2, vale,(A) 2,25(B) 3,00(C) 3,75(D) 4,50(E) 5,25

23. Um motor aciona o eixo 1, imprimindo a este uma velocidade angular constante de módulo w . As polias B e C estão ligadas através de uma correia e as polias A e B estão ligadas por um eixo.

Com relação aos sistema, podemos afirmar que as velocidades periféricas tangenciais de módulo v e angulares de módulo w de cada polia são(A) vB > vC wB = wA (B) vB = vC wB = wA (C) vB = vC wB > wA (D) vB < vC wB > wA (E) vB < vC wB = wA

24. Uma partícula parte do repouso com aceleração constante, percorrendo os pontos A, B, C e D em intervalos de tempos iguais (1 segundo) .

Se a partir do ponto D a aceleração da partícula for duplicada, então a distância DE valerá, em metros,(A) 4(B) 5(C) 6(D) 7(E) 8

25. Duas partículas são lançadas de alturas diferentes, H e 2H, com velocidades horizontais iniciais iguais, através de duas calhas conforme a figura.

Quando a partícula A estiver sobre a posição 3, a partícula B estará simultaneamente sobre a posição(A) 2(B) 3(C) 4(D) 5(E) 6

26. As figuras abaixo representam quadrados nos quais todos os lados são formados por vetores de módulos iguais.

A resultante do sistema de vetores é nula na figura de número(A) 1(B) 2(C) 3(D) 4(E) 5

27. Um avião está voando na horizontal em relação ao solo, com velocidade constante de 50 m/s, quando abandona uma bomba de uma altura vertical de 405 m acima do solo. Considerando nula a resistência do ar e a aceleração da gravidade g = 10 m/s2 , a bomba ao atingir o solo, terá percorrido na horizontal uma distância, em metros, igual a(A) 50(B) 100(C) 200(D) 450(E) 900

28. Dois carros, A e B, deslocam-se numa estrada retilínea como mostra o gráfico abaixo, onde x representa a distância percorrida durante o tempo t.

Podemos afirmar que a velocidade do carro B(A) é menor que a do carro A.(B) é maior que a do carro A.(C) é igual à do carro A.(D) cresce com o tempo.(E) decresce com o tempo.

29. Um móvel, partindo do repouso, executa um movimento retilíneo uniformemente variado. Ao término dos 2,0 s iniciais a sua velocidade é de 8,0 m/s . Qual a distância percorrida, em metros, após 5,0 s de movimento?(A) 30

(B) 40(C) 50(D) 60(E) 70

30. Um objeto é lançado verticalmente para cima, com velocidade inicial v0 , sendo 2t0 o tempo necessário para voltar ao ponto de partida.Dos gráficos da velocidade v em função do tempo t, a seguir apresentados, o que melhor representa a variação da velocidade do objeto enquanto se manteve em movimento é

31. Duas polias, A e B, unidas através de um eixo rígido, executam movimento circular uniforme conforme mostra a figura.

Qual é a relação entre as velocidades lineares vA e vB dos pontos da periferia das respectivas polias, sabendo-se que o raio da polia A vale a metade do raio da polia B?(A) vA = 0,5vB

(B) vA = 1,0vB

(C) vA = 1,5vB

(D) vA = 2,0vB

(E) vA = 2,5vB

32. Duas esferas, A e B, deslocam-se com velocidades constantes vA e vB , respectivamente, ocupando sucessivas posições ao longo do percurso indicado a seguir.

Sabendo-se que vA=2.vB e que num dado instante elas ocupam as posições indicadas, concluí-se que a esfera A alcançara a esfera B na posição (A) 16(B) 17(C) 18(D) 19(E) 20

Instrução: Responda às 2 questões seguintes considerando o gráfico abaixo. O gráfico da velocidade v em função do tempo t, mostra o deslocamento retilíneo de uma partícula.

33. A partícula, nos 2,0 s iniciais de movimento, apresenta, em m/s2 , aceleração de(A) 2,0(B) 3,0(C) 4,0(D) 5,0(E) 6,0

34. O deslocamento da partícula no intervalo de tempo de 4,0 s a 8,0 s , em metros, é de:(A) 15(B) 18(C) 20(D) 22(E) 25

35. Em relação à aceleração de um móvel que executa um movimento circular uniforme, pode-se afirmar que(A) é constante em módulo.(B) é variável em módulo.(C) é nula.(D) tem componente tangencial diferente de zero.(E) tem direção constante.

36. Nos gráficos abaixo estão representadas velocidade (v), aceleração (a) e posição (d) como funções do tempo (t).O gráfico que representa um movimento uniformemente acelerado é o

37. Dizer que um movimento se realiza com aceleração constante de 5 m/s2 significa que(A) em cada segundo o móvel se desloca 5 m.(B) em cada segundo a velocidade do móvel aumenta de 5 m/s.(C) em cada segundo a aceleração do móvel aumenta de 5 m/s.(D) em cada 5 segundos a velocidade aumenta de 1 m/s.(E) a velocidade é constante e igual a 5 m/s.

38. Um disco de gravação em que há dois pontos, A e B, está representado na figura.

Ao considerar o disco em movimento de rotação, podemos afirmar que(A) A tem velocidade angular maior que B.(B) A tem velocidade angular menor que B.(C) os dois têm a mesma velocidade linear.(D) os dois têm a mesma velocidade angular.(E) B tem velocidade linear menor que A.

39. O gráfico abaixo representa a posição x ocupada por um móvel em movimento retilíneo

e uniforme, em função do tempo t.

A expressão matemática desta função é(A) x = 2 + 1t(B) x = -1 + 2t(C) x = 2 + 3t(D) x = 2 + 2t(E) x = 4 - 2t

40. O gráfico da velocidade v em função do tempo t representa movimentos retilíneos de dois móveis A e B.

Considerando-se os 8 segundos iniciais de movimento, é correto afirmar que(A) o móvel A tem aceleração menor do que o móvel B.(B) o móvel B percorre maior distância do que o móvel A.(C) o movimento do móvel A é uniforme.(D) os móveis percorrem distâncias iguais.(E) os móveis têm a mesma aceleração.

41. A equação horária da posição x de uma partícula material em movimento uniformemente variado é dada pela expressão x = 3t + 2t2 , onde x está em metros e t em segundos. Após 5s de movimento, o móvel adquire velocidade, em m/s, igual a(A) 10(B) 13(C) 17(D) 23(E) 25

Instrução: Responder às 2 próximas questões baseando-se no enunciado abaixo. Dois móveis, A e B, percorreram uma trajetória retilínea, conforme as equações horárias xA = 30 + 20t e xB = 90 - 10t , sendo a posição x em metros e o tempo t, em segundos.42. No instante t = 0 s , a distância entre os móveis, em metros, era (A) 30(B) 50(C) 60

(D) 80(E) 120

43. O instante de encontro dos dois móveis, em segundos foi(A) 1(B) 2(C) 3(D) 4(E) 5

44. Um rapaz estava dirigindo uma motocicleta a uma velocidade de 72,0 km/h, quando acionou os freios e parou em 4,0 s. A aceleração imprimida à motocicleta pelos freios foi, em módulo, igual a(A) 72 km/h2

(B) 4,0 m/s2

(C) 5,0 m/s2

(D) 15 m/min2

(E) 4,8 km/h2

45. No gráfico abaixo está representada a velocidade v = f(t) de um determinado movimento, e cinco alternativas para a aceleração a = f(t) correspondente. Assinale a correta.

46. Um atirador ouve o ruído da bala atingindo um alvo 4,0 segundos após dispará-la com velocidade média de 1020 m/s. Supondo-se que a velocidade do som no ar seja 340 m/s, a distância entre o atirador e o alvo, em metros é(A) 340(B) 680

(C) 1020(D) 1360(E) 1700

47. As afirmações a seguir referem-se a um movimento retilíneo realizado por um objeto qualquer.I - O vetor velocidade pode mudar de sentido.II - O vetor velocidade tem sempre módulo constante.III - O vetor velocidade tem direção constante.A alternativa que representa corretamente o movimento retilíneo é(A) I, II e III.(B) somente III.(C) somente II(D) II e III(E) I e III

48. Um pequeno objeto é lançado verticalmente para cima realizando na descida um movimento de queda livre. Supondo-se positiva a velocidade do objeto na subida, pode-se afirmar que sua aceleração será(A) positiva na subida e negativa na descida.(B) negativa na subida e positiva na descida.(C) constante e positiva na subida e na descida.(D) constante e negativa na subida e na descida.(E) variável e negativa na subida e na descida.

49. Nos pares de gráficos a seguir, estão representadas velocidade v e aceleração a, ambas em função do tempo t.O par de gráficos que representa o mesmo movimento é o da alternativa

Gabarito

1A 2B 3E 4B 5B 6E 7D 8B 9D 10D

11B 12D 13A 14E 15B 16E 17D 18E 19C 20B

21B 22D 23B 24E 25B 26C 27D 28C 29C 30D

31A 32C 33D 34E 35A 36C 37B 38D 39D 40B

41D 42C 43B 44C 45A 46C 47E 48D 49B

Questões - Campo Magnético 1. Um campo magnético que exerce influência sobre um elétron (carga -e) que cruza o campo perpendicularmente com velocidade igual à velocidade da luz (c = 300 000 000 m/s) tem um vetor força de intensidade 1N.

Qual a intensidade deste campo magnético?

Conhecendo a equação que calcula a intensidade do campo magnético, com movimento perpendicular ao campo:

2. Em um campo magnético de intensidade 10²T, uma partícula com carga 0,0002C é lançada com velocidade 200000m/s, em uma direção que forma um ângulo de 30° com a direção do campo magnético, conforme indica a figura:

Qual a intensidade da força magnética que age sobre a partícula?

Para calcularmos a força magnética que age sobre esta partícula devemos lembrar da equação do campo magnético, generalizado para direções arbitrárias de "lançamento". Ou seja:

3. Em um campo magnético de intensidade 100T, uma partícula com carga C é lançada

com velocidade m/s, em uma direção que forma um ângulo de 30° com a direção do campo magnético. Qual a intensidade da força que atua sobre a partícula?

Usando a equação da intensidade da força magnética:

Testes de ESTÁTICA DO CORPO EXTENSO: MOMENTO DE UMA FORÇA - Lista 1

1. (UFRGS) A barra da figura é um corpo rígido de peso desprezível, apoiada no ponto P.

Qual o módulo da força que mantém a barra em equilíbrio mecânico na posição horizontal?(A) 10 N(B) 20 N(C) 30 N(D) 40 N(E) 60 N

2. (UFRGS) Uma barra homogênea X, de 1,00 m de comprimento, está pendurada horizontalmente pelos seus extremos, enquanto o bloco Y está pendurado a 25 cm da extremidade esquerda dessa barra, conforme mostra a figura.

3. (UFRGS) A barra pesa 60 N e o bloco, 40 N. Qual a tensão na corda presa na extremidade direita dessa barra? (A) 30 N(B) 40 N(C) 50 N(D) 70 N(E) 100 N

4. (UFRGS) A barra homogênea BC da figura tem um peso de 100 kN e seu comprimento é de 10 m. O centro de gravidade CG da barra e o ponto de apoio A estão, respectivamente, a 5 m e 2 m da extremidade B.

Qual é o peso do corpo X que deve ser suspenso na extremidade B para que a barra se mantenha em equilíbrio mecânico na posição horizontal?(A) 10kN(B) 66kN(C) 150kN

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(D) 170kN(E) 600kN

5. (UFRGS) A figura representa uma barra rígida e homogênea em equilíbrio estático, a qual pode girar livremente no plano da página, em torno do ponto de apoio P.

Quando for aplicada uma força de 3 N, no ponto 2, na direção e sentidos indicados na figura, é possível manter a barra em equilíbrio, aplicandose sobre ela outra força igual a (A) 3 N, para cima, na posição 5. (B) 3 N, para baio, na posição 5. (C) 2 N, para cima, na posição 7. (D) 2 N, para baio, na posição 7. (E) 3 N, para baixo, na posição 7.

6. (UFRGS) Uma barra homogênea de massa 2,0 kg está apoiada nos seus extremos A e B, distanciados de 1,0 m. A 20 cm da extremidade B foi colocado um bloco de massa m igual 2,0 kg.

Considerando a aceleração da gravidade igual a 10,0 m/s2 , quais os módulos das forças que os apoios exercem sobre a barra em A e B, respectivamente ? (A) 1,0 N e 3,0 N(B) 2,0 N e 6,0 N(C) 8,0N e 32N(D) 10,0 N e 30,0 N(E) 14.0 N e 26,0 N

7. (UFRGS) Uma régua de 60 cm de comprimento, cuja massa por unidade de comprimento é constante, está suspensa por um fio na marca dos 30 cm. Um peso de 1 N é suspenso na régua, na marca dos 10 cm. Para que a régua permaneça em equilíbrio mecânico, na posição horizontal, um peso de 2 N deve ser suspenso na marca dos(A) 30 cm.(B) 40 cm.(C) 45 cm.(D) 50 cm.(E) 60 cm.

8. (UFRGS) Na figura, o segmento AB representa uma barra homogênea, de 1m de comprimento, que é mantida em equilíbrio mecânico na posição horizontal. A barra está

apoiada num ponto a 25 cm da extremidade A, e o módulo da força , aplicada na extremidade B, é 2 N. Qual é o peso da barra?

(A) 0,66N(B) 1N(C) 4N(D) 6N(E) 8N

9. (UFRGS) A figura representa a barra homogênea AO, rígida e horizontal, de peso . A barra é mantida em equilíbrio, sustentada numa extremidade pela articulação O e, na outra extremidade, por um cabo AB, preso a uma parede no ponto B.

No ponto O, a força exercida pela articulação sobre a barra tem uma componente vertical que é(A) diferente de zero e dirigida para cima.(B) diferente de zero e dirigida para baixo.(C) diferente de zero e de sentido indefinido.(D) igual a zero.

(E) igual, em módulo, ao peso da barra.

10. A figura abaixo representa uma régua uniforme, apoiada diretamente abaixo do seu centro, na qual podem ser penduradas massas de valores M1 e M2. Para tanto, a cada 5cm há um pequeno gancho de massa desprezível.

No caso indicado na figura acima, a régua encontrase em equilíbrio.Observe os três casos abaixo.

Quais deles também representam a régua em equilíbrio?(A) Apenas I.(B) Apenas I e II.(C) Apenas I e III.(D) Apenas II e III.(E) I, II e III.

11. (UFRGS) A figura mostra uma alavanca de 1,00m de comprimento, apoiada a 20cm da extremidade esquerda.

Considerando desprezível o peso da alavanca, qual o modulo da força que deve ser

aplicada na extremidade direita para sustentar, em equilíbrio, um peso de 500 N colocado na outra extremidade?(A) 50N(B) 100N(C) 125N(D) 250N(E) 500N

12. (UFRGS) A barra homogênea X, de 1,0 m de comprimento, está pendurada

horizontalmente pelos seus extremos, enquanto um bloco Y está pendurado a 25 cm da extremidade esquerda dessa barra, conforme a figura. A barra pesa 60 N, e o bloco, 40 N. Qual a tensão na corda presa na extremidade direita da barra?

(A) 30N(B) 40N(C) 50N(D) 70N(E) 100N

13. (UFRGS) As figuras das alternativas representam uma alavanca de massa desprezível apoiada sobre um fulcro. Uma caixa de massa M foi depositada sobre a alavanca.

Em qual das alternativas é maior a força que a pessoa deve exercer para manter a alavanca em equilíbrio mecânico?

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

Movimento CircularGrandezas Angulares

As grandezas até agora utilizadas de deslocamento/espaço (s, h, x, y), de velocidade (v) e de aceleração (a), eram úteis quando o objetivo era descrever movimentos lineares, mas na análise de movimentos circulares, devemos introduzir novas grandezas, que são chamadas grandezas angulares, medidas sempre em radianos. São elas:

deslocamento/espaço angular: φ (phi) velocidade angular: ω (ômega)

aceleração angular: α (alpha)

Saiba mais...

Da definição de radiano temos:

http://www.fisica.net/

Desta definição é possível obter a relação:

E também é possível saber que o arco correspondente a 1rad é o ângulo formado quando seu arco S tem o mesmo comprimento do raio R.

Espaço Angular (φ)

Chama-se espaço angular o espaço do arco formado, quando um móvel encontra-se a uma abertura de ângulo φ qualquer em relação ao ponto denominado origem.

E é calculado por:

Deslocamento angular (Δφ)

Assim como para o deslocamento linear, temos um deslocamento angular se calcularmos a diferença entre a posição angular final e a posição angular inicial:

Sendo:

Por convenção:

No sentido anti-horário o deslocamento angular é positivo.

No sentido horário o deslocamento angular é negativo.

Velocidade Angular (ω)

Análogo à velocidade linear, podemos definir a velocidade angular média, como a razão entre o deslocamento angular pelo intervalo de tempo do movimento:

Sua unidade no Sistema Internacional é: rad/s

Sendo também encontradas: rpm, rev/min, rev/s.

Também é possível definir a velocidade angular instantânea como o limite da velocidade angular média quando o intervalo de tempo tender a zero:

Aceleração Angular (α)

Seguindo a mesma analogia utilizada para a velocidade angular, definimos aceleração angular média como:

Algumas relações importantes

Através da definição de radiano dada anteriormente temos que:

mas se isolarmos S:

derivando esta igualdade em ambos os lados em função do tempo obteremos:

mas a derivada da Posição em função do tempo é igual a velocidade linear e a derivada da Posição Angular em função do tempo é igual a velocidade angular, logo:

onde podemos novamente derivar a igualdade em função do tempo e obteremos:

mas a derivada da velocidade linear em função do tempo é igual a aceleração linear, que no movimento circular é tangente à trajetória, e a derivada da velocidade angular em função do tempo é igual a aceleração angular, então:

Então:

Linear Angular

S = φR

v = ωR

a = αR

Período e Frequência

Período ( T ) é o intervalo de tempo mínimo para que um fenômeno ciclico se repita. Sua unidade é a unidade de tempo (segundo, minuto, hora...)

Frequência( f ) é o número de vezes que um fenômeno ocorre em certa unidade de tempo. Sua unidade mais comum é Hertz (1Hz=1/s) sendo também encontradas kHz, MHz e rpm. No movimento circular a frequência equivale ao número de rotações por segundo sendo equivalente a velocidade angular.

Para converter rotações por segundo para rad/s:

sabendo que 1rotação = 2πrad,

Movimento Circular Uniforme

Um corpo está em Movimento Curvilíneo Uniforme, se sua trajetória for descrita por um círculo com um "eixo de rotação" a uma distância R, e sua velocidade for constante, ou seja, a mesma em todos os pontos do percurso.

No cotidiano, observamos muitos exemplos de MCU, como uma roda gigante, um carrossel ou as pás de um ventilador girando.

Embora a velocidade linear seja constante, ela sofre mudança de direção e sentido, logo existe uma aceleração, mas como esta aceleração não influencia no módulo da velocidade, chamamos de Aceleração Centrípeta.

Esta aceleração é relacionada com a velocidade angular da seguinte forma:

Sabendo que e que , pode-se converter a função horária do espaço linear para o espaço angular:

então:

Movimento Circular Uniformemente Variado

Quando um corpo, que descreve trajetória circular, e sofre mudança na sua velocidade angular, então este corpo tem aceleração angular (α).

As formas angulares das equações do Movimento Curvilíneo Uniformemente Variado são obtidas quando divididas pelo raio R da trajetória a que se movimenta o corpo.

Assim:

MUV MCUV

Grandezas lineares Grandezas angulares

E, aceleração resultante é dada pela soma vetorial da aceleração tangencial e da aceleração centípeta:

Exemplo:

Um volante circular como raio 0,4 metros gira, partindo do repouso, com aceleração angular igual a 2rad/s².

(a) Qual será a sua velocidade angular depois de 10 segundos?

(b) Qual será o ângulo descrito neste tempo?

(c) Qual será o vetor aceleração resultante?

(a) Pela função horária da velocidade angular:

(b) Pela função horária do deslocamento angular:

(c) Pelas relações estabelecidas de aceleração tangencial e centrípeta:

Movimento OblíquoUm movimento oblíquo é um movimento parte vertical e parte horizontal. Por exemplo, o movimento de uma pedra sendo arremessada em um certo ângulo com a horizontal, ou uma bola sendo chutada formando um ângulo com a horizontal.

Com os fundamentos do movimento vertical, sabe-se que, quando a resistência do ar é desprezada, o corpo sofre apenas a aceleração da gravidade.

Lançamento Oblíquo ou de Projétil

O móvel se deslocará para a frente em uma trajetória que vai até uma altura máxima e depois volta a descer, formando uma trajetória parabólica.

Para estudar este movimento, deve-se considerar o movimento oblíquo como sendo o resultante entre o movimento vertical (y) e o movimento horizontal (x).

Na direção vertical o corpo realiza um Movimento Uniformemente Variado, com velocidade inicial

igual a e aceleração da gravidade (g)

Na direção horizontal o corpo realiza um movimento uniforme com velocidade igual a .

Observações:

Durante a subida a velocidade vertical diminui, chega a um ponto (altura máxima) onde

, e desce aumentando a velocidade. O alcance máximo é a distância entre o ponto do lançamento e o ponto da queda do

corpo, ou seja, onde y=0.

A velocidade instantânea é dada pela soma vetorial das velocidades horizontal e vertical,

ou seja, . O vetor velocidade é tangente à trajetória em cada momento.

Exemplo:

Um dardo é lançado com uma velocidade inicial , formando um ângulo de 45° com a horizontal. (a) Qual o alcance máximo (b) e a altura máxima atingida?

Para calcular este movimento deve-se dividir o movimento em vertical e horizontal.

Para decompor o vetor em seus componentes são necessários alguns fundamentos de trigonometria:

Genericamente podemos chamar o ângulo formado de .

Então:

logo:

e:

logo:

(a) No sentido horizontal (substituindo o s da função do espaço por x):

sendo

temos:

(1)

No sentido vertical (substituindo h por y):

sendo

temos:

(2)

E o tempo é igual para ambas as equações, então podemos isolá-lo em (1), e substituir em (2):

(1)

e , então:

onde substituindo em (2):

(2)

e onde o alcance é máximo . Então temos:

mas , então:

resolvendo esta equação por fórmula de Baskara:

mas

então:

mas

Então

Substituindo os dados do problema na equação:

(b) Sabemos que quando a altura for máxima , então pela equação de Torricelli no movimento vertical:

, substituindo os dados do problema na equação:

Força Peso Quando falamos em movimento vertical, introduzimos um conceito de aceleração da gravidade, que sempre atua no sentido a aproximar os corpos em relação à superficie.

Relacionando com a 2ª Lei de Newton, se um corpo de massa m, sofre a aceleração da gravidade, quando aplicada a ele o principio fundamental da dinâmica poderemos dizer que:

A esta força, chamamos Força Peso, e podemos expressá-la como:

ou em módulo:

O Peso de um corpo é a força com que a Terra o atrai, podendo ser váriável, quando a gravidade variar, ou seja, quando não estamos nas proximidades da Terra.

A massa de um corpo, por sua vez, é constante, ou seja, não varia.

Existe uma unidade muito utilizada pela indústria, principalmente quando tratamos de força peso, que é o kilograma-força, que por definição é:

1kgf é o peso de um corpo de massa 1kg submetido a aceleração da gravidade de 9,8m/s².

A sua relação com o newton é:

Saiba mais...Quando falamos no peso de algum corpo, normalmente, lembramos do "peso" medido na balança.

Mas este é um termo fisicamente errado, pois o que estamos medindo na realidade, é a nossa massa.

Além da Força Peso, existe outra que normalmente atua na direção vertical, chamada Força Normal.

Esta é exercida pela superfície sobre o corpo, podendo ser interpretada como a sua resistência em sofrer deformação devido ao peso do corpo. Esta força sempre atua no sentido perpendicular à superfície, diferentemente da Força Peso que atua sempre no sentido vertical.

Analisando um corpo que encontra-se sob uma superfície plana verificamos a atuação das duas forças.

Para que este corpo esteja em equilíbrio na direção vertical, ou seja, não se movimente ou não altere sua velocidade, é necessário que os módulos das forças Normal e Peso sejam iguais, assim, atuando em sentidos opostos elas se anularão.

Por exemplo:

Qual o peso de um corpo de massa igual a 10kg:

(a) Na superfície da Terra (g=9,8m/s²);

(b) Na supefície de Marte (g=3,724m/s²).

(a)

(b)

Álgebra linear é uma parte da Álgebra que, por sua vez é o ramo da Matemática que estuda vetores, espaços vetoriais, transformações lineares e sistemas de equações lineares e matrizes. Todos esses itens servem para um estudo detalhado de sistemas de equações lineares. A invenção da Álgebra Linear tem origem nos estudos de sistemas de equações lineares. Não obstante o fato de a Álgebra Linear ser um campo abstrato da Matemática, ela tem um grande número de aplicações dentro e fora da Matemática.

Espaços vetoriais são um tema central na matemática moderna; assim, a álgebra linear é largamente usada em álgebra abstrata e análise funcional. A álgebra linear também tem sua representação concreta em geometria analítica. (fonte: wikipédia)

Força ElásticaImagine uma mola presa em uma das extremidades a um suporte, e em estado de repouso (sem ação de nenhuma força).

Quando aplicamos uma força F na outra extremidade, a mola tende a deformar (esticar ou comprimir, dependendo do sentido da força aplicada).

Ao estudar as deformações de molas e as forças aplicadas, Robert Hooke (1635-1703), verificou que a deformação da mola aumenta proporcionalmente à força. Daí estabeleceu-se a seguinte lei, chamada Lei de Hooke:

Onde:

F: intensidade da força aplicada (N);

k: constante elástica da mola (N/m);

x: deformação da mola (m).

A constante elástica da mola depende principalmente da natureza do material de fabricação da mola e de suas dimensões. Sua unidade mais usual é o N/m (newton por metro) mas também encontramos N/cm; kgf/m, etc.

Exemplo:

Um corpo de 10kg, em equilíbrio, está preso à extremidade de uma mola, cuja constante elástica é 150N/m. Considerando g=10m/s², qual será a deformação da mola?

Se o corpo está em equilíbrio, a soma das forças aplicadas a ela será nula, ou seja:

, pois as forças tem sentidos opostos.

Força CentrípetaQuando um corpo efetua um Movimento Circular, este sofre uma aceleração que é responsável pela mudança da direção do movimento, a qual chamamos aceleração centrípeta, assim como visto no MCU.

Sabendo que existe uma aceleração e sendo dada a massa do corpo, podemos, pela 2ª Lei de Newton, calcular uma força que assim como a aceleração centrípeta, aponta para o centro da trajetória circular.

A esta força damos o nome: Força Centrípeta. Sem ela, um corpo não poderia executar um movimento circular.

Como visto anteriormente, quando o movimento for circular uniforme, a aceleração centrípeta é constante, logo, a força centrípeta também é constante.

Sabendo que:

ou

Então:

A força centrípeta é a resultante das forças que agem sobre o corpo, com direção perpendicular à trajetória.

Exemplo:

Um carro percorre uma curva de raio 100m, com velocidade 20m/s. Sendo a massa do carro 800kg, qual é a intensidade da força centrípeta?

Plano Inclinado

Dadas duas trajetórias:

Em qual delas é "mais fácil" carregar o bloco?

Obviamente, na trajetória inclinada, pois no primeiro caso, teremos que realizar uma força que seja maior que o peso do corpo. Já no segundo caso, Defermos fazer uma força que seja maior que uma das componentes de seu peso, neste caso, a componete horizontal, que terá instensidade menor conforme o ângulo formado for menor.

Por isso, no nosso cotidiano, usamos muito o plano inclinado para facilitar certas tarefas.

Ao analizarmos as forças que atuam sobre um corpo em um plano inclinado, temos:

A força Peso e a força Normal, neste caso, não tem o mesma direção pois, como já vimos, a força Peso, é causada pela aceleração da gravidade, que tem origem no centro da Terra, logo a força Peso têm sempre direção vertical. Já a força Normal é a força de reação, e têm origem na superfície onde o movimento ocorre, logo tem um ângulo igual ao plano do movimento.

Para que seja possível realizar este cálculo devemos estabelecer algumas relações:

Podemos definir o plano cartesiano com inclinação igual ao plano inclinado, ou seja, com o eixo x formando um ângulo igual ao do plano, e o eixo y, perpendicular ao eixo x;

A força Normal será igual à decomposição da força Peso no eixo y;

A decomposição da força Peso no eixo x será a responsável pelo deslocamento do bloco;

O ângulo formado entre a força Peso e a sua decomposição no eixo y, será igual ao ângulo formado entre o plano e a horizontal;

Se houver força de atrito, esta se oporá ao movimento, neste caso, apontará para cima.

Sabendo isto podemos dividir as resultantes da força em cada direção:

Em y:

como o bloco não se desloca para baixo e nem para cima, esta resultante é nula, então:

mas

então:

Em x:

mas

então:

Exemplo:

Um corpo de massa 12kg é abandonado sobre um plano inclinado formando 30° com a horizontal. O coeficiente de atrito dinâmico entre o bloco e o plano é 0,2. Qual é a aceleração do bloco?

Em y:

Em x:

Sistemas Agora que conhecemos os princípios da dinâmica, a força peso, elástica, centrípeta e de atito e o plano inclinado, podemos calcular fenômenos físicos onde estas forças são combinadas.

Corpos em contato

Quando uma força é aplicada à corpos em contato existem "pares ação-reação" de forças que atuam entre eles e que se anulam.

Podemos fazer os cálculos neste caso, imaginando:

Depois de sabermos a aceleração, que é igual para ambos os blocos, podemos calcular as forças que atuam entre eles, utilizando a relação que fizemos acima:

Exemplo:

Sendo e , e que a força aplicada ao sistema é de 24N, qual é a instensidade da força que atua entre os dois blocos?

Corpos ligados por um fio ideal

Um fio ideal é caracterizado por ter massa desprezível, ser inextensível e flexível, ou seja, é capaz de transmitir totalmente a força aplicada nele de uma extremidade à outra.

Como o fio ideal tem capacidade de transmitir integralmente a força aplicada em sua extremidade, podemos tratar o sistema como se os corpos estivessem encostados:

A tração no fio será calculada atráves da relação feita acima:

Corpos ligados por um fio ideal através de polia ideal

Um polia ideal tem a capacidade de mudar a direção do fio e transmitir a força integralmente.

Das forças em cada bloco:

Como as forças Peso e Normal no bloco se anulam, é fácil verificar que as forças que causam o movimento são a Tração e o Peso do Bloco B.

Conhecendo a aceleração do sistema podemos clacular a Tensão no fio:

Corpo preso a uma mola

Dado um bloco, preso a uma mola:

Dadas as forças no bloco:

Então, conforme a 2ª Lei de Newton:

Mas F=kx e P=mg, então:

Assim poderemos calcular o que for pedido, se conhecermos as outras incógnitas.

TrabalhoNa Física, o termo trabalho é utilizado quando falamos no Trabalho realizado por uma força, ou seja, o Trabalho Mecânico. Uma força aplicada em um corpo realiza um trabalho quando produz um deslocamento no corpo.

Utilizamos a letra grega tau minúscula ( ) para expressar trabalho.

A unidade de Trabalho no SI é o Joule (J)

Quando uma força tem a mesma direção do movimento o trabalho realizado é positivo: >0;

Quando uma força tem direção oposta ao movimento o trabalho realizado é negativo: <0.

O trabalho resultante é obtido através da soma dos trabalhos de cada força aplicada ao corpo, ou pelo cálculo da força resultante no corpo.

Força paralela ao deslocamento

Quando a força é paralela ao deslocamento, ou seja, o vetor deslocamento e a força não formam ângulo entre si, calculamos o trabalho:

Exemplo:

Qual o trabalho realizado por um força aplicada a um corpo de massa 5kg e que causa um aceleração de 1,5m/s² e se desloca por uma distância de 100m?

Força não-paralela ao deslocamento

Sempre que a força não é paralela ao deslocamento, devemos decompor o vetor em suas componentes paralelas e perpendiculares:

Considerando a componente perpendicular da Força e a componente paralela da força.

Ou seja:

Quando o móvel se desloca na horizontal, apenas as forças paralelas ao deslocamento produzem trabalho. Logo:

Exemplo:

Uma força de intensidade 30N é aplicada a um bloco formando um ângulo de 60° com o vetor deslocamento, que tem valor absoluto igual a 3m. Qual o trabalho realizado por esta força?

Podemos considerar sempre este caso, onde aparece o cosseno do ângulo, já que quando a força é paralela ao deslocamento, seu ângulo é 0° e cos0°=1, isto pode ajudar a entender porque quando a força é contrária ao deslocamento o trabalho é negativo, já que:

O cosseno de um ângulo entre 90° e 180° é negativo, sendo cos180°=-1

Trabalho de uma força variável

Para calcular o trabalho de uma força que varia devemos empregar técnicas de integração, que é uma técnica matemática estudada no nível superior, mas para simplificar este cálculo, podemos

calcular este trabalho por meio do cálculo da área sob a curva no diagrama

Calcular a área sob a curva é uma técnica válida para forças que não variam também.

Trabalho da força Peso

Para realizar o cálculo do trabalho da força peso, devemos considerar a trajetória como a altura entre o corpo e o ponto de origem, e a força a ser empregada, a força Peso.

Então:

PotênciaDois carros saem da praia em direção a serra (h=600m). Um dos carros realiza a viagem em 1hora, o outro demora 2horas para chegar. Qual dos carros realizou maior trabalho?

Nenhum dos dois. O Trabalho foi exatamente o mesmo. Entretanto, o carro que andou mais rápido desenvolveu uma Potência maior.

A unidade de potência no SI é o watt (W).

Além do watt, usa-se com frequência as unidades:

1kW (1 quilowatt) = 1000W

1MW (1 megawatt) = 1000000W = 1000kW

1cv (1 cavalo-vapor) = 735W

1HP (1 horse-power) = 746W

Potência Média

Definimos a partir daí potência média relacionando o Trabalho com o tempo gasto para realizá-lo:

Como sabemos que:

Então:

Potência Instantânea

Quando o tempo gasto for infinitamente pequeno teremos a potência instantânea, ou seja:

Exemplo:

Qual a potência média que um corpo desenvolve quando aplicada a ele uma força horizontal com intensidade igual a 12N, por um percurso de 30m, sendo que o tempo gasto para percorrê-lo foi 10s?

E a potência instantânea no momento em que o corpo atingir 2m/s?

Energia MecânicaEnergia é a capacidade de executar um trabalho.

Energia mecânica é aquela que acontece devido ao movimento dos corpos ou armazenada nos sistemas físicos.

Dentre as diversas energias conhecidas, as que veremos no estudo de dinâmica são:

Energia Cinética; Energia Potencial Gravitacional;

Energia Potencial Elástica;

Energia Cinética

É a energia ligada ao movimento dos corpos. Resulta da transferência de energia do sistema que põe o corpo em movimento.

Sua equação é dada por:

Utilizando a equação de Torricelli e considerando o inicio do movimento sendo o repouso, teremos:

Substituindo no cálculo do trabalho:

A unidade de energia é a mesma do trabalho: o Joule (J)

Teorema da Energia Cinética

Considerando um corpo movendo-se em MRUV.

O Teorema da Energia Cinética (TEC) diz que:

"O trabalho da força resultante é medido pela variação da energia cinética."

Ou seja:

Exemplo:

Qual o trabalho realizado por um corpo de massa 10kg que inicia um percurso com velocidade 10m/s² até parar?

Energia Potencial

Energia Potencial é a energia que pode ser armazenada em um sistema físico e tem a capacidade de ser transformada em energia cinética.

Conforme o corpo perde energia potencial ganha energia cinética ou vice-e-verso.

Energia Potencial Gravitacional

É a energia que corresponde ao trabalho que a força Peso realiza.

É obtido quando consideramos o deslocamento de um corpo na vertical, tendo como origem o nível de referência (solo, chão de uma sala, ...).

Enquanto o corpo cai vai ficando mais rápido, ou seja, ganha Energia Cinética, e como a altura diminui, perde Energia Potencial Gravitacional.

Energia Potencial Elástica

Corresponde ao trabalho que a força Elástica realiza.

Como a força elástica é uma força variável, seu trabalho é calculado através do cálculo da área do seu gráfico, cuja Lei de Hooke diz ser:

Como a área de um triângulo é dada por:

Então:

Conservação de Energia Mecânica A energia mecânica de um corpo é igual a soma das energias potenciais e cinética dele.

Então:

Qualquer movimento é realizado através de transformação de energia, por exemplo, quando você corre, transforma a energia química de seu corpo em energia cinética. O mesmo acontece para a conservação de energia mecânica.

Podemos resolver vários problemas mecânicos conhecendo os princípios de conservação de energia.

Por exemplo, uma pedra que é abandonada de um penhasco. Em um primeiro momento, antes de ser abandonada, a pedra tem energia cinética nula (já que não está em movimento) e energia potencial total. Quando a pedra chegar ao solo, sua energia cinética sera total, e a energia potencial nula (já que a altura será zero).

Dizemos que a energia potencial se transformou, ou se converteu, em energia cinética.

Quando não são consideradas as forças dissipativas (atrito, força de arraste, etc.) a energia mecânica é conservada, então:

Para o caso de energia potencial gravitacional convertida em energia cinética, ou vice-versa:

Para o caso de energia potencial elástica convertida em energia cinética, ou vice-versa:

Exemplos:

1) Uma maçã presa em uma macieira à 3m de altura se desprende. Com que velocidade ela chegará ao solo?

2) Um bloco de massa igual a 10kg se desloca com velocidade constante igual a 12m/s, ao encontrar uma mola de constante elástica igual a 2000N/m este diminui sua velocidade até parar, qual a compressão na mola neste momento?

Sobre

ImpulsoComo já vimos, para que um corpo entre em movimento, é necessário que haja um interação entre dois corpos.

Se considerarmos o tempo que esta interação acontece, teremos o corpo sob ação de uma força constante, durante um intervalo de tempo muito pequeno, este será o impulso de um corpo sobre o outro:

As características do impulso são:

Módulo: Direção: a mesma do vetor F.

Sentido: o mesmo do vetor F.

A unidade utilizada para Impulso, no SI, é: N.s

No gráfico de uma força constante, o valor do impulso é numericamente igual à área entre o intervalo de tempo de interação:

A = F.Δt = I

Quantidade de Movimento

Se observarmos uma partida de bilhar, veremos que uma bolinha transfere seu movimento totalmente ou parcialmente para outra.

http://www.sofisica.com.br/sobrenos.php

http://www.sofisica.com.br/conteudos/Mecanica/Dinamica/energia2.php

http://www.sofisica.com.br/conteudos/Mecanica/Dinamica/impulso.php

A grandeza física que torna possível estudar estas transferências de movimento é a quantidade de

movimento linear , também conhecido como quantidade de movimento ou momentum linear.

A quantidade de movimento relaciona a massa de um corpo com sua velocidade:

Como características da quantidade de movimento temos:

Módulo: Direção: a mesma da velocidade.

Sentido: a mesma da velocidade.

Unidade no SI: kg.m/s.

Exemplo:

Qual a quantidade de movimento de um corpo de massa 2kg a uma velocidade de 1m/s?

Teorema do Impulso

Considerando a 2ª Lei de Newton:

E utilizando-a no intervalo do tempo de interação:

mas sabemos que: , logo:

Como vimos:

então:

"O impulso de uma força, devido à sua aplicação em certo intervalo de tempo, é igual a variação da quantidade de movimento do corpo ocorrida neste mesmo intervalo de tempo."

Exemplo:

Quanto tempo deve agir uma força de intensidade 100N sobre um corpo de massa igual a 20kg, para que sua velocidade passe de 5m/s para 15m/s?

Conservação da Quantidade de Movimento

Assim como a energia mecânica, a quantidade de movimento também é mantida quando não há forças dissipativas, ou seja, o sistema é conservativo, fechado ou mecanicamente isolado.

Um sistema é conservativo se:

Então, se o sistema é conservativo temos:

Como a massa de um corpo, ou mesmo de um sistema, dificilmente varia, o que sofre alteração é a velocidade deles.

Exemplo:

Um corpo de massa 4kg, se desloca com velocidade constante igual a 10m/s. Um outro corpo de massa 5kg é lançado com velocidade constante de 20m/s em direção ao outro bloco. Quando os dois se chocarem ficarão presos por um velcro colocado em suas extremidades. Qual será a velocidade que os corpos unidos terão?

Princípios Básicos

A estática é a parte da física que se preocupa em explicar questões como:

Por que em uma mesa sustentada por dois pés, estes precisam estar em determinada posição para que esta não balance?

Por que a maçaneta de uma porta sempre é colocada no ponto mais distante das dobradiças dela?

Por que um quadro pendurado em um prego precisa estar preso exatamente em sua metade?

Por que é mais fácil quebrar um ovo pelas laterais do que por suas extremidades?

Princípio da transmissibilidade das forças

O efeito de uma força não é alterado quando esta é aplicada em diferentes pontos do corpo, desde que esta seja aplicada ao longo de sua linha de aplicação.

Nos três casos o efeito da força é o mesmo.

Equilíbrio

As situações em que um corpo pode estar em equilíbrio são:

Equilíbrio estático: Ocorre quando o ponto ou corpo está perfeitamente parado ( ). Equilíbrio dinâmico: Ocorre quando o ponto ou corpo está em Movimento Uniforme

.

Estática de um ponto Para que um ponto esteja em equilíbrio precisa satisfazer a seguinte condição: A resultante de todas as forças aplicadas a este ponto deve ser nula. Exemplos: (1) Para que o ponto A, de massa 20kg, esteja em equilíbrio qual deve ser a intensidade

da força ?

Sendo:

Mas como a força Peso e a força Normal têm sentidos opostos, estas se anulam.

E, seguindo a condição de equilíbrio:

Estática de um corpo rígido

Chamamos de corpo rígido ou corpo extenso, todo o objeto que não pode ser descrito por um ponto.

Para conhecermos o equilíbrio nestes casos é necessário estabelecer dois conceitos:

Centro de massa

Um corpo extenso pode ser considerado um sistema de partículas, cada uma com sua massa.

A resultante total das massas das partículas é a massa total do corpo. Seja CM o ponto em que podemos considerar concentrada toda a massa do corpo, este ponto será chamado Centro de Massa do corpo.

Para corpos simétricos, que apresentam distribuição uniforme de massa, o centro de massa é o próprio centro geométrico do sistema. Como no caso de uma esfera homogênea, ou de um cubo perfeito.

Para os demais casos, o cálculo do centro de massa é feito através da média aritmética ponderada das distâncias de cada ponto do sistema.

Para calcularmos o centro de massa precisamos saber suas coordenadas em cada eixo do plano cartesiano acima, levando em consideração a massa de cada partícula:

Então o Centro de Massa do sistema de partículas acima está localizado no ponto (1,09 , 0,875), ou seja:

Como forma genérica da fórmula do centro de massa temos:

Momento de uma força

Imagine uma pessoa tentando abrir uma porta, ela precisará fazer mais força se for empurrada na extremidade contrária à dobradiça, onde a maçaneta se encontra, ou no meio da porta?

Claramente percebemos que é mais fácil abrir ou fechar a porta se aplicarmos força em sua extremidade, onde está a maçaneta. Isso acontece, pois existe uma grandeza chamada Momento

de Força , que também pode ser chamado Torque.

Esta grandeza é proporcional a Força e a distância da aplicação em relação ao ponto de giro, ou seja:

A unidade do Momento da Força no sistema internacional é o Newton-metro (N.m)

Como este é um produto vetorial, podemos dizer que o módulo do Momento da Força é:

Sendo:

M= Módulo do Momento da Força.

F= Módulo da Força.

d=distância entre a aplicação da força ao ponto de giro; braço de alavanca.

sen θ=menor ângulo formado entre os dois vetores.

Como , se a aplicação da força for perpendicular à d o momento será máximo;

Como , quando a aplicação da força é paralela à d, o momento é nulo.

E a direção e o sentido deste vetor são dados pela Regra da Mão Direita.

O Momento da Força de um corpo é:

Positivo quando girar no sentido anti-horário; Negativo quando girar no sentido horário;

Exemplo:

Qual o momento de força para uma força de 10N aplicada perpendicularmente a uma porta 1,2m das dobradiças?

Condições de equilíbrio de um corpo rígido

Para que um corpo rígido esteja em equilíbrio, além de não se mover, este corpo não pode girar. Por isso precisa satisfazer duas condições:

1. O resultante das forças aplicadas sobre seu centro de massa deve ser nulo (não se move ou se move com velocidade constante).

2. O resultante dos Momentos da Força aplicadas ao corpo deve ser nulo (não gira ou gira com velocidade angular constante).

Tendo as duas condições satisfeitas qualquer corpo pode ficar em equilíbrio, como esta caneta:

Exemplo:

(1) Em um circo, um acrobata de 65kg se encontra em um trampolim uniforme de 1,2m, a massa do trampolim é 10kg. A distância entre a base e o acrobata é 1m. Um outro integrante do circo puxa uma corda presa à outra extremidade do trampolim, que está a 10cm da base. Qual a força que ele tem de fazer para que o sistema esteja em equilíbrio.

Como o trampolim é uniforme, seu centro de massa é exatamente no seu meio, ou seja, a 0,6m. Então, considerando cada força:

Pela segunda condição de equilíbrio:

Álgebra linear é um ramo da matemática que surgiu do estudo detalhado de sistemas de equações lineares, sejam elas algébricas ou diferenciais. A álgebra linear se utiliza de alguns conceitos e estruturas fundamentais da matemática como vetores, espaços vetoriais, transformações lineares, sistemas de equações lineares e matrizes.

http://pt.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1tica)

http://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_equa%C3%A7%C3%B5es_lineares

http://pt.wikipedia.org/wiki/Transforma%C3%A7%C3%A3o_linear

http://pt.wikipedia.org/wiki/Espa%C3%A7o_vetorial


http://pt.wikipedia.org/wiki/Vector_(espacial)

http://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_diferencial

http://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_alg%C3%A9brica

http://pt.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica

Índice[esconder]

1 História 2 Sistemas de equações lineares

3 Geometria analítica

4 Espaços vetoriais

5 Transformação linear

6 Teoremas fundamentais

7 Aplicações

8 Referências

9 Ver também

10 Ligações externas

[editar] História

Muitas das ferramentas básicas da álgebra linear, particularmente aquelas relacionadas com a solução de sistemas de equações lineares, datam da antiguidade, como a eliminação gaussiana, citada pela primeira vez por volta do século II d.c., embora muitas dessas ferramentas não tenham sido isoladas e consideradas separadamente até os séculos XVII e XVIII. O método dos mínimos quadrados, usado pela primeira vez por Gauss no final do século XVIII, é uma aplicação inicial e significante das ideias da álgebra linear.

O assunto começou a tomar sua forma atual em meados do século XIX, que viu muitas noções e métodos de séculos anteriores abstraídas e generalizadas como o início da álgebra abstrata. Matrizes e tensores foram introduzidos como objetos matemáticos abstratos e bem estudados na virada do século XX. O uso de tais objetos na relatividade geral, estatística e mecânica quântica fez muito para espalhar o assunto para além da matemática pura.

[editar] Sistemas de equações linearesVer artigo principal: Sistema de equações lineares

Um sistema de equações lineares (abreviadamente, sistema linear) é um conjunto finito de equações lineares nas mesmas variáveis.

[editar] Geometria analíticaVer artigo principal: Geometria analítica

A geometria analítica, também chamada geometria de coordenadas e que antigamente recebia o nome de geometria cartesiana, é o estudo da geometria através dos princípios

http://pt.wikipedia.org/wiki/Geometria_anal%C3%ADtica

http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=%C3%81lgebra_linear&action=edit&section=3

http://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_equa%C3%A7%C3%B5es_lineares


http://pt.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A2nica_qu%C3%A2ntica

http://pt.wikipedia.org/wiki/Estat%C3%ADstica

http://pt.wikipedia.org/wiki/Relatividade_geral

http://pt.wikipedia.org/wiki/Relatividade_geral

http://pt.wikipedia.org/wiki/Tensor

http://pt.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1tica)

http://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_abstrata

http://pt.wikipedia.org/wiki/Gauss

http://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_dos_m%C3%ADnimos_quadrados

http://pt.wikipedia.org/wiki/Elimina%C3%A7%C3%A3o_gaussiana


http://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_linear#Liga.C3.A7.C3.B5es_externas

http://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_linear#Ver_tamb.C3.A9m

http://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_linear#Refer.C3.AAncias

http://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_linear#Aplica.C3.A7.C3.B5es

http://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_linear#Teoremas_fundamentais

http://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_linear#Transforma.C3.A7.C3.A3o_linear

http://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_linear#Espa.C3.A7os_vetoriais

http://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_linear#Geometria_anal.C3.ADtica

http://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_linear#Sistemas_de_equa.C3.A7.C3.B5es_lineares

http://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_linear#Hist.C3.B3ria

da álgebra. Em geral, é usado o sistema de coordenadas cartesianas para manipular equações para planos, retas, curvas e círculos, geralmente em duas dimensões, mas por vezes também em três ou mais dimensões. Alguns pensam que a introdução da geometria analítica constituiu o início da matemática moderna. Os estudos iniciais da Geometria Analítica se deram no século XVII , e devem-se ao filósofo e matemático francês René Descartes (1596 - 1650), inventor das coordenadas cartesianas (assim chamadas em sua homenagem), que permitiram a representação numérica de propriedades geométricas.

[editar] Espaços vetoriaisVer artigo principal: Espaço vetorial

Espaços vetoriais são um tema central na matemática moderna; assim, a álgebra linear é largamente usada em álgebra abstrata e análise funcional. A álgebra linear também tem sua representação concreta em geometria analítica.

[editar] Transformação linearVer artigo principal: Transformação linear

Em Matemática, uma transformação linear é um tipo particular de função entre dois espaços vetoriais que preserva as operações de adição vetorial e multiplicação por escalar. Uma transformação linear também pode ser chamada de aplicação linear ou mapa linear. No caso em que o domínio e contradomínio coincidem, é usada a expressão operador linear. Na linguagem da álgebra abstrata, uma transformação linear é um homomorfismo de espaços vetoriais.

[editar] Teoremas fundamentais Teorema do Núcleo e da Imagem Teorema Espectral

Teorema dos Valores Singulares

Teorema de Cayley-Hamilton

Todo espaço vetorial possui uma base.[1]

Quaisquer duas bases do espaço vetorial mesmo ter a mesma cardinalidade; equivalentemente, a dimensão de um espaço vetorial é bem definido.[2]

Uma matriz quadrada é inversível se e somente se seu determinante for diferente de zero.[3]

A matriz é inversível se e somente se o mapa linear representado pela matriz é um isomorfismo.

[editar] Aplicações

Não obstante o fato de a Álgebra Linear ser um campo abstrato da Matemática, ela tem um grande número de aplicações dentro e fora da Matemática.


http://pt.wikipedia.org/wiki/Isomorfismo

http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Invers%C3%ADvel&action=edit&redlink=1

http://pt.wikipedia.org/wiki/Matriz

http://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_linear#cite_note-2

http://pt.wikipedia.org/wiki/Zero

http://pt.wikipedia.org/wiki/Matriz_quadrada



http://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Cayley-Hamilton

http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema_dos_Valores_Singulares&action=edit&redlink=1

http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema_Espectral&action=edit&redlink=1

http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema_do_N%C3%BAcleo_e_da_Imagem&action=edit&redlink=1




http://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o

http://pt.wikipedia.org/wiki/Transforma%C3%A7%C3%A3o_linear


http://pt.wikipedia.org/wiki/Geometria_anal%C3%ADtica

http://pt.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lise_funcional


http://pt.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica



http://pt.wikipedia.org/wiki/Ren%C3%A9_Descartes

http://pt.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cartesianas

programação linear processamento de imagens

física matemática

estatística

Referências1. ↑ The existence of a

basis is straightforward for finitely generated vector spaces, but in [[dimension theorem for vector

spaces|full generality]] it is logically equivalent to the axiom of choice.

2. ↑ Dimension theorem for vector spaces3. ↑ http://www.pragmaware.net/articles/matrices/index.php

[editar] Ver também

[editar] Limites e Infinitesimais

Ver artigo principal: Limite

O cálculo é comumente utilizado pela manipulação de quantidades muito pequenas. Historicamente, o primeiro método de utilizá-lo era pelas infinitesimais. Estes objetos podem ser tratados como números que são, de alguma forma, "infinitamente pequenos". Na linha numérica, isso seria locais onde não é zero, mas possui "zero" de distância de zero. Nenhum número diferente de zero é um infinitesimal, porque sua distância de zero é positiva. Qualquer múltiplo de um infinitesimal continua sendo um infinitesimal. Em outras palavras, infinitesimais não satisfazem a propriedade Archimediana. Deste ponto de vista, o cálculo é uma coleção de técnicas para manipular infinitesimais. Tal pensamento foi ignorado no século XIX porque era muito difícil ter a noção precisa de uma infinitesimal. Entretanto, o conceito foi reutilizado no século XX com a introdução da análise não padronizada, a qual propiciou fundamentos sólidos para a manipulação de infinitesimais

No século XIX, as infinitesimais foram substituídas pelos limites. Limites descrevem o valor de uma função em um certo ponto em termos dos valores de pontos próximos. Eles capturam o comportamento numérico em baixa escala, como nas infinitesimais, mas utilizando números ordinários. Deste ponto de vista, calculo é uma coleção de técnicas para a manipulação de certos limites. As infinitesimais foram substituídas por números muito pequenos, e o comportamento infinitamente pequeno da função é encontrado pelo limite de números cada vez menores. Limites são fáceis de serem colocados em fundações rigorosas e, por esse motivo, são a abordagem padrão para o cálculo.

http://pt.wikipedia.org/wiki/Limite

http://pt.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9culo_XIX

http://pt.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lise_n%C3%A3o_padronizada

http://pt.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9culo_XX

http://pt.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9culo_XIX

http://pt.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal

http://pt.wikipedia.org/wiki/Limite

http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=C%C3%A1lculo&action=edit&section=7


http://www.pragmaware.net/articles/matrices/index.php

http://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_linear#cite_ref-2

http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Dimension_theorem_for_vector_spaces&action=edit&redlink=1


http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Axiom_of_choice&action=edit&redlink=1

http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Logical_equivalence&action=edit&redlink=1

http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Finitely_generated_module&action=edit&redlink=1


http://pt.wikipedia.org/wiki/Estat%C3%ADstica

http://pt.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsica_matem%C3%A1tica

http://pt.wikipedia.org/wiki/Processamento_de_imagens

http://pt.wikipedia.org/wiki/Programa%C3%A7%C3%A3o_linear

[editar] Derivadas

Ver artigo principal: Derivada

Reta tangente em (x, f'(x)).

O cálculo diferencial é o estudo da definição, propriedade e aplicações da derivada ou deslocamento de um gráfico. O processo de encontrar a derivada é chamado "diferenciação". Em linguagem técnica, a derivada é um operador linear, o qual forma uma nova função a partir da função original, em que cada ponto da nova função é o deslocamento da função original.

O conceito de derivada é fundamentalmente mais avançado do que os conceitos encontrados em álgebra. Nessa matéria, os estudantes aprendem sobre funções em que o número de entrada gera um número de saída. Por exemplo, se no dobro da função é inserido 3, então a saída é 6, enquanto se a função é quadrática, e é inserido 3, então a saída é 9. Mas na derivada, a entrada é uma função e a saída é outra função. Por exemplo, se na derivada é colocada uma função quadrada, então a saída é o dobro de uma função, porque o dobro da função fornece o deslocamento da função quadrática em qualquer ponto dado da função.

Para entender a derivada, os estudantes precisam aprender a notação matemática. Na notação matemática, um símbolo comum para a derivada da função é um sinal de apóstrofo chamado "linha". Então a derivada de f é f ' (f linha). Isso em notação matemática seria escrito assim:

.

Se a função de entrada é o tempo, então a derivada dessa função é a taxa em que a função é alterada.

Se a função é linear, ou seja, o gráfico da função é uma linha reta, então a função pode ser escrita como y = m x + b, onde:

http://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra

http://pt.wikipedia.org/wiki/Derivada

http://pt.wikipedia.org/wiki/Tangente

http://pt.wikipedia.org/wiki/Derivada


http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Tangent-calculus.png

http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Tangent-calculus.png

.

Isto da o valor exato para a variação da linha reta. Se a função não é uma linha reta, então a variação em y é dividida pela variação em x, e nós precisamos do cálculo para encontrar o valor exato em cada ponto da função. (Note que y e f(x) são duas notações diferentes para a mesma coisa: a saída da função). Uma linha entre dois pontos em uma curva é chamado de reta secante. A variação da reta secante pode ser expressada como:

onde as coordenadas do primeiro ponto é (x, f(x)) e h é a distância horizontal entre os dois pontos.

Para determinar o deslocamento da curva, nós usamos os limites:

Em um caso particular, nós encontramos o deslocamento da função quadrática no ponto em que a entrada é 3 e a saída é 9 (Ex.: f(x) = x2, então f(3) = 9).

O deslocamento da função quadrática no ponto (3, 9) é 6, isto é, ele cresce seis vezes mais rapido em y do que em x e está indo para a direita.

[editar] Integrais

Ver artigo principal: Integral

O Cálculo Integral é o estudo das definições, propriedades, e aplicações de dois conceitos relacionados, as integrais indefinidas e as integrais definidas. O processo de

http://pt.wikipedia.org/wiki/Integral


encontrar o valor de uma integral é chamado integração. Em linguagem técnica, o calculo integral estuda dois operadores lineares relacionados.

A integral indefinida é a antiderivada, o processo inverso da derivada. F é uma integral indefinida de f quando f é uma derivada de F. (O uso de letras maiúsculas e minúsculas para uma função e sua integral indefinida é comum em cálculo.)

A integral definida insere uma função e extrai um número, o qual fornece a área entre o gráfico da função e o eixo do x. A definição técnica da integral definida é o limite da soma das áreas dos retângulos, chamada Soma de Riemann.

Um exemplo motivacional é a distância (D) viajada em um determinado tempo (t).

Se a velocidade (V) é constante, somente multiplicação é necessária, mas se a velocidade varia, então precisamos de um método mais poderoso para encontrar a distância. Um método é a aproximação da distância viajada pela divisão do tempo em muito mais intervalos de tempo, e então multiplicando o tempo em cada intervalo por uma das velocidades naquele intervalo, e então fazer uma Soma de Riemann das distâncias aproximadas viajadas em cada intervalo. A idéia básica é que se somente um pequeno tempo passar, então a velocidade vai permanecer praticamente a mesma. Entretanto, uma Soma de Riemann somente da uma aproximação da distância viajada. Nós precisamos pegar o limite de todas as Somas de Riemann para encontrar a distância viajada exata.

Integração pode ser explicada como a medida da área entre uma curva, definida por f(x), entre dois pontos (aqui a e b).

Se f(x) no diagrama da esquerda representa a velocidade variando de acordo com o tempo, a distância viajada entre os tempos representados por a e b é a área da região escura s.

http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Integral_as_region_under_curve.svg

http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Integral_as_region_under_curve.svg

Para aproximar a área, um método intuitivo seria dividir em distâncias entre a e b em um número de segmentos iguais, a distância de cada segmento representado pelo símbolo ?x. Para cada segmento menor, nós podemos escolher um valor da função f(x). Chame o valor h. Então a área do retângulo com a base ?x e altura h dá a distância (tempo ?x multiplicado pela velocidade h) viajado naquele segmento. Associado com cada segmento é o valor médio da função sobre ela,f(x)=h. A soma de todos os retângulos dados é uma aproximação da área entre o eixo e a curva, o qual é uma aproximação da distância total viajada. Um valor menor para ?x nos dará mais retângulos e, na maioria dos casos uma melhor aproximação, mas para uma resposta exata nós precisamos fazer o limite em ?x tender a zero.

O símbolo da integração é , um S alongado (que significa "soma"). A integral definida é escrita da forma:

e lida como "a integral de a até b de f-de-x em relação a x."

A integral indefinida, ou antiderivada, é escrita da forma:

.

Desde que a derivada da função y = x² + C é y ' = 2x (onde C é qualquer constante), então:

.

[editar] Teorema Fundamental do Cálculo

Ver artigo principal: Teorema Fundamental do Cálculo

O teorema fundamental do cálculo afirma que a diferenciação e a integração são operações inversas. Mais precisamente, o teorema conecta os valores de antiderivadas ao valor de integrais definidas. Por ser usualmente mais fácil computar uma antiderivada do que aplicar a definição de uma integral definida, o teorema fundamental do cálculo provê uma forma prática de computar integrais definidas. Pode também ser interpretado como uma afirmação precisa do fato que a diferenciação é o inverso da integração.

É afirmado pelo teorema fundamental do cálculo que: Se uma função f é contínua no intervalo [a, b] e se F é uma função cuja derivada é f no intervalo (a, b), então

http://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_Fundamental_do_C%C3%A1lculo


Além disso, para cada x no intervalo (a, b) temos que

E, seu Corolário pode ser transcrito da seguinte forma:

Considere f uma função contínua de valores reais definida em um intervalo fechado [a, b]. Se F é uma função tal que

para todo x em [a, b]

então

e

.

http://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_cont%C3%ADnua

PROBLEMA DE CINEMÁTICA5

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