UNIVERSIDADE DE SAO PAULO ESCOLA DE ENGENHARIA DE SAO CARLOS

i 1 t f / m

lliill i ll V\ 'J I ll l IJJ 0~63 ~2,00

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L 3,647 { tf) r{.647 13,225 } .

CLêSSI - ..... ( tf ) . ô.779

22 Edição

JOÃO .CARLOS ANTUNES . DE O. E SOUZA

HELENA M. ·e. CAflMO ANTUNES

UNIVERSIDADE DE SÃO PAU LO

Reitor: Roberto Leal Lobo e Silva Filho

Vice-Reitor: Ruv Laurenti

Obra produzida na Escola de Engenharia de São Carlos- EESC

Composição e Edição: CETEPE - Centro de Tecnologia Educacional para Engenharia da EESC

Impressão: Serviço Grâfico da EESC

2ª edição - 1995

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO ESCOLA OE ENGENHARIA DE SAO CARLOS

PROCESSOS GERAIS

DA

"' ,,,.

HIPERESTATICA CLASSICA

JOÃO CARLOS ANTUNES DE O. E SOUZA

HELENA M. C. CARMO ANTUNES

TOOOS 05 DIAEITOS RESERVADOS - Nos termos da Lei que resguarda os Direitos Autorais, é proibida a reprodução total ou parcial deste trabalho, de qualquer fornia ou por qualquer iaeio - eletrônico ou mecânico, inclusive através de processos Kerográficos, de fotocó­pia e de gravação - sell per•lssão, por escrito, do(s) autor(es) .

Catalogação na Fonte - Se rviço de Bibl ioteca da

EESC - USP

S729p SOUZA, João Carlos Antunes de OI iveira e Processos gerais da hiperestática clãs

sica/Joâo Carlos Antunes de OI i ve i ra ~ Souza, Helena Maria Cunha do Carmo Antu­nes. São Carlos: Escola de Engenharia de São Carlos, Serviço Gráfico, 1992.

346p.

ISBN 85-85205 -02 - 4

1. Estruturas - Estática 1. Titulo.

CDD - 624 .1 715

PREFÁCIO

Er. te livro , como o já publicado "Processo de

Cross" e os em fase de preparação , "Técnicas Computacionais

na Estática das Estruturas" e "In trodução à Isostáti c a" ,

pretende ter um caráter didát i co, apresentando os tópicos

tratados sem cornpl i cações desnecessárias, mas senrl o ,

entretanto, c onscientemente prolixo como muitas v e r. es o

processo de ensino necessita ser. Os processos aqui

tratados são gerais tanto no aspecto da aplicabilidode a

qualquer tipo de estruturas quanto no de poderem ser

encarados como variações duais de woa mesma idéia ;

correspondem a alguns d os temas abordados na discip lina

Estática das Estruturas na Escola de Engenharia de São

carlos, a par com processos de uso restrito, como os de

Cross e de Propagação, e antecedendo todo o desenvolvimento

matri~]al visando a programação em computador.

São Carlos , março de 1992

Os Autores

r N D 1 e E

1. 1 NTROOUÇÃO · · · - • · · · · · · · • · · · · · · · · · · - · · · · - · · · · · · · · · · · l. 1. OBJETIVOS l.ERA IS • • . . . . . . • . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . 1

1. 2. ESTRUTLJRllS LI N F.ARF.S . .. . .. .. . .. . .. . . . . .. . .. . .. 2

I.3 . O MÉTODO CLÁSS TCO 2

1. ~. li ~[Jl'F.HPn~; 1çiio IW F FE r·r ·o~: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2. O PR 1NCfP1 O DOS TR ARALHOS V 1RTLJA 1 S F SUAS API 1 CACõFS 9

2.1. CONSTDERAÇÕFS GFRAIS • . . • . . • . • . • . . . . . . . . . . . • •• 9

2. 2. o PRINC1 PIO Dor; THABALHOS VIR'flll\IS . . . . . . . . . . . 'J

2.1. POSSIBILIDADES DE J\PLICAÇÃO DO PRTNCiPTO DOS

TRABALllOS VIRTlll\ I S . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 l

2.1.1. Cálculo de deslocamentos em estruturas

isostáticas .. . .. . . . . .. . . . . . .. . .. .. . . . . 22

2.1.2. Seleção de uma equação de equilíbri o

numa estrutura isostáti ca . . . . . . . . . . . . . 27

2.1 .l. o teorema da reciprocidade dos t rabalho s

ou Teorema de Betti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.3 . 4. O teorema da reciprocidade dos desloca-

mC'ntos ou Teorema de Max wrl 1 . . . . . . . . . . 34

3. CALCULO DE DESLOCAMENTOS EM ESTRUTURAS ISOSTAT ICAS USUA i S . .. ........ . ... ... . . 37

3.1. CONSIDERAÇÕES GERAIS . •.• . . . • . . . . . ••• . . . . . • . . . 3 7

3. 2. DESLOCAMENTOS EM TRELIÇAS PLANAS IDEAIS • . . • . . 38

3 . J .

3.2.1. A treliça plana idea l . . . .. . . . . ....... . 38

J .2 .2 . Exemplo l

J. 2.3 . Exemplo 2

DESLOCAME NTOS EM

USUAIS

ESTR UTURAS PLANAS FLETIDAS

J.J .1 . Estruturas planas fletidas usuais . .. . .

l.J .2. Exempl o l - Integração analítica . . . . . .

40

4 9

55

55

63

3. 3. 3. Exemplo 2 - Integração numérica . ...... 3. 3.4. Exemplo 3 - Integração utilizando tabelas

3. 4. DESLOCAMENTOS EM OUTROS TIPOS DE ESTRUTURA . .. 3. 4 .1. outros Tipos usuais de estrutura ....... 3. 4. 2. Exemplo 1 - Pórtico atirantado . ....... 3. 4. 3. Exemplo 2 - Viga com vínculos elásticos

3. 4. 4. Exemplo 1 - Grelha . - -....... .. .... - . - .......

4. O PROCESSO DOS ESFORÇOS • · · • • · • · · • • • • · · · • • • • · • • • • · · 4. 1. CONSIDERAÇÕES GERAIS ............•.. • .........

4.2. O PROCESSO OOS ESFORÇOS APLICADO A VIGAS .....

4.2.1. Detalhes característicos das vigas •. . .

4.2.2. Exemplo 1 .•.•.........................

4.2.2.1. Resolver a viga submetida ao

carregamento dado ........... .

4.2.2.2. Resolver a viga submetida a uma

66

72

84

84

84

87

90

95

95

101

101

103

104

variação de temperatura ...••. 114

4.2.2.1. Resolver a viga submetida are-

calques de apoio............. 121

4.2.J. Exemplo 2 •......... ...••.. •.• ....... .. 128

4.3. O PROCESSO DOS ESFORÇOS APLICADO A PóRTICOS

PLANOS

4.3.1. Detalhes característicos dos pórticos

planos ................... . .......•....

4 . 3. 2. Exemplo 1 ..•....................•.....

4.3.2.1. Resolver o pórtico submetido ao

carregamento dado •.•.........

4 .3 .2.2. Resolver o pórtico para efeito

de recalque de apoio ........ .

4.1.2.3. Resolver o pórtico para efe ito

de variação de temperatura ...

4 . 3 . 3 . Exemplo 2 •.•................ . .........

4.4. O PROCESSO DOS ESFORÇOS APLICADO A GREI.J{AS ...

134

134

136

138

142

144

149

157

4.4.1 . Detalhes característicos das qrelhas .. 157

4 . 4. 2.. Exemplo 1 ...... . .... . .. . ... . - ... .. · · · · · · ·

4 . 4. 3. Exemplo 2 .... ..... - - ... · · · · · · · · · · · · · · · · ·

4 . 4.4. Cálculo de grelhas desprezando a rigidez

à torção das barras ... . ... . .... . ··· · · ·

4. 4. 5. Exemplo 3 ......... . .... .. .... .. .... .. .

4. 5. O PROCF.SSO DOS F.SFORÇOS APLTCADO AOS ARCOS . . .

161

165

169

176

181

4.5.1. o que caracteriza um arco . .. . . ..... . .. 181

4. '> . ;,>. 'J' i pos u,;11;i i s de a r-co,; .... . ... .•.. .. . ..

4. 5 . 3 . Exemplo de def in .i ção de eixos de arcos

4.5.4. Formulários para arcos h i perestáL icos

usuais ... . ........ .. .... · - · · · · · · · · · · · ·

4.5 .4. 1. Convenções ... . ... .. .. . .... . . .

4.5.4 . 2. Arco biarticulado simétrico . .

4.5.4.3 . Arco atirantado simétrico . . ..

4.5.4.4 . Arco biengastado simétrico

4.5.5. Casos usuais de integração em arcos

4. 5. 6 . Exemplo 1 - Integração analítica ..... .

4.5. 7 . Exemplo 2 - Integração numérica

4. 5 .8. Exemplo 3 - Variação imposta de EI ....

4. 5. 9 . Exemplo 4 - Arco prismático por trechos

4.5.10.Exemplo 5 - Adaptação para pórticos

simétricos

4. 5 .11.0bservações adicionais . .. .. ..... . ... . .

4 .6. O PROCESSO DOS ESFORÇOS APLICADO ÀS 'l'REI. IÇAS

PLANAS IDEAIS . ........ .. ............. ..... .. .

4.6 . 1 . Detalhes característicos da treliça

plana ideal .. . . . . .. . .. . ..... . ... .. . .. ·

4 . 6. 2. Exemplo l . ... . . .. .. .. . . ... ..... . · · · · · ·

4.7. O PROCESSO DOS ESFORÇOS APLICADO A ESTRUTURAS

MISTAS ......... . . ... .....• • ........... . ..... .

4. 7. l. Estruturas mistas usuais . . . ... . ...... . .

4 . 7 . 2. Exemplo l - Viga sobre apoios e lásticos

4. 7.3 . Exemplo 2 - Pórtico treliçado .. ... . . ··

1 87

188

188

1 90

1 95

199

20 8

209

215

223

229

234

240

246

246

248

255

255

255

260

5. O PROCESSO DOS DESLOCAMENTOS ••••··••••••••••······ 267

5 .1. CONSIDERAÇÕES GERAIS

5. 2. EXEMPLO DE APLICAÇÃO

5. J. EXEMPLO DE APLICAÇÃO

5. 4. EXEMPLO DE APLICAÇÃO

5. 5. EXEMPLO DE API.ICAÇÃO

.............. . ............ A VIGAS . .................. A PóRTICOS . .............. A TRELIÇAS PIANAS IDEAIS

A GRELHAS . . - ....... "' .......

267

273

277

284

289

6. O PROCESSO M 1 STO • . . . . • . . . • • . . . . . . • . • • . . . • . • . • . . . . . 297

6. 1. r;oNSIDERAÇÕES GERAIS ••......•.........•••.... 297

6.2. EXEMPLO DE PÓRTICO PLANO..................... 302

7. Sltvf>LIFICACOES DEVIDAS A SIMETRIA················· 7. 1 . CONSIDERAÇÕES GERAIS ...•...........•.........

7.2. REDUÇÃO DA ESTRUTURA • •. .............•..... . ..

7.3. EXEMPLO 1 - PÓRTICO PLANO SIMÉTRICO •••••• . ...

7.4. EXEMPLO 2 - GRELHA COM DOIS EIXOS DE SIMETRIA.

7.5. EXEMPLO 3 - VIGA VIERENDELL

8. BIBLIOGRAFIA · · · .•. • · • • · · · · . • . . . . . • . . • . . • • • • • •••••...•

309

309

312

318

324

333

339

PROCESSOS GERAIS DA HIPEREST ATICA CLÁSSICA

CAPITULO 1

INTRODUCÃO

1. l . OH,J E'!' I VOS G ERA JS

Esta publicação pretende ter um caráter didático de

introdução à hiperestática clássica de estruturas lineares,

discutindo hipóteses de cálculo , c omportamento df> estruturas

e simplificações gera i s para estruturas usuais, utilizando

processos de cálculo muito simples mas aplicáveis a qualquer

tipo de estrutura linear.

Os proc essos aqui tratados , que poderiam ser c olocados

c omo um úni c o processo geral de solução de uma estrutura a

partir de outra suposta conhec ida, incluem o processo dos

esforços, o dos deslocamentos e o misto . o proc esso do s

esforços tem um caráter apropriado para uma introdução à

hiperestútica, permitindo, em sua ci.plicação mais simples,

resolver estruturas hiperestáticas recaindo no cálc ulo

elementar de estruturas isostáticas. O processo dos

desl oca ment os , dual do anterior , tem como maior v antagem a

sua s i mplic idade, o que o torna ideal para uma posterior

automatizaç ão c omputacional ; resolve estruturas

hiperestátic as recaindo no c álc ulo de estrutur~s c om maior

grau de hiperestatícidade, mas mais simples , e ventualmente

até tabeláveis. O processo misto tem apenas o caráter

demonstrativo de uma generali z ação de idéias , sendo

vantajoso apenas em alguns c asos particulares.

Todos os inúmeros processos partic ulares , aplicáveis só

1

8

CAPfTULO li

O PRINCIPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS E SUAS APLICACõES

2.1. CONSIIJEHAÇÕES GERAIS

O Princípio dos Trabalhos Virtuais, ou Teorema dos

Trabalhos Virtuais, doravante apelidado de P.T.V . , é o único

teorema da energia realmente essencial ao desenvolvimento de

toda a estática c lássic a; diversos outros teoremas que

venham, por questão de síntese , a ser utilizados, serão

demonstrados a partir dele .

As condições de equ ilibrio podem ser demonstradas a

partir do P. T. V. , ou o P. T . V. pode ser demonstrado, agora

como teorema , não como principio, a partir das condições de

equilíbrio; optar-se-á por esta última versão, por mera

questão de se ter em geral uma previa assimilação, em

caráter mais intuitivo, das relações de equilíbrio .

A utilidade essencial do P. T. V. será a de permitir

interessantes transformações de problemas eminentemente

geométricos em problemas estáticos e vice-versa, fornecendo

alternativas extremamente simples e eficientes em diversas

situações .

2.2. O PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS

Seja definida uma estrutura linear qualquer e estejam

definidas suas vinculações, isto é, suas ligações internas e

vínculos externos.

Seja um estado de forç as (a) sobre essa estru~ura, com

9 j

CAPíTU..O 111

CÁLCU..O DE OESLOCAtvENTOS EM ESTRUT~AS ISOSTATICAS USUAIS

3.1. CONSIDERAÇÕES GERAIS

Conforme discutido no capitulo II, item 2.3.1, dado um

estado de

hipóteses

deslocamentos ( b), real mas satisfazendo as

do Método

deformações dub, dvb e

coaprimento ds situado

Clássico, conhecido a partir das

d~b de um elemento infinitesimal de

numa posição genérica I, provocadas

por uma causa física qualquer, é possível utilizar o P.T.V.

para calcular qualquer tipo de deslocamento dos pontos da

estrutura. Para isso cria- se ua estado de forças (a), com

"forças externas" convenientes e criteriosamente escolhidas

de forma que, se se impuser o estado de deslocamentos (b) ao

estado de forças (a), seu trabalho, o trabalho externo, seja

exatamente igual ao deslocamento que se quer medir. Se a

estrutura for isostática, ter-se-á waa única distribuição de

esforços inte:rnos, tendo-se, em .§., N ª , V• e M • . Do P. T. V. ,

então, ter-se-á:

T ••l

T lnl

ou:

T J N du + J V dv + f M d.b (3.1) • b • b • • "l

e• t. r ealr ••tr

O que se pretende, em todo o transcorrer deste capitulo

III, é detalhar a aplicação da expressão (3.1), tanto para o

37

...

cálculo de diversos tipos de deslocamentos, quanto das

integrais do segundo membro, analisando seu significado,

introduzindo técnicas de cálculo, particularizando-a, em

suma, para tipos usuais de estruturas lineares. Essa

particularização será feita através de exemplos numéricos,

resolvidos com um mínimo de detalhes.

3.2. DESLOCAMENTOS EM TRELIÇAS PLANAS IDEAIS

3.2.1. A treliça plana ideal

A treliça plana ideal é uma estrutura plana, formada

por barras idealmente articuladas em suas extremidades,

tendo como cargas possíveis apenas forças externas no plano

da estrutura e aplicáveis aos nós. Com isso, num

carregamento qualquer sobre a treliça, os

internos seriam os axiais e as únicas

únicos esforços

deformações a

considerar seriam as longitudinais. Em outras solicitações

usuais, como variações de temperatura, por exemplo, dada a

pequena dimensão das seções transversais das barras, não

teria qualquer sentido prático considerar diferentes as

temperaturas de uma e outra face de uma barra; a única

deformação relevante devida à variação de temperatura seria

também a deformação axial. Com isso, em estados de

deslocamentos (b) usuais, ter-se-ia, sempre:

dvb dlflb = o

Com a (3.2), o cálculo de deslocamentos, que

ser sempre feito com a expressão (3.1), poderia

com a (3.3):

T ext J N .. du

b

38

(3. 2)

poderia

ser feito

(J.3)

Como cada barra só tem deformação longitudinal, ela

deve permanecer reta e os deslocamentos que poderiam de fato

interessar seriam os deslocamentos dos nós, ou relacionados

a eles; assim os estados de forças (a), convenientes, seriam

representáveis por cargas externas nodais, o que implicaria

em se ter força axial N,, constante por barra e a ( 3. 3)

poderia ser posta como:

T ext

Observando que

du b

as integrais previstas em

correspondem à variação de comprimento de cada barra,

expressão pode ser posta ainda como:

T e X l

( 3. 4)

( 3. 4)

essa

(3.5)

A expressão (3.5) permite tratar qualquer deslocamento,

provocado tanto por causas físicas como cargas e variações

de temperatura, como por causas de origem indefinida que

definam variações sobre o comprimento nominal das barras.

Para a situação, mui to frequente, de se ter o estado

de deslocamentos (b) provocado por cargas, a variação de

comprimento da barra ~ pode ser facilmente calculada, pela

Lei de Hooke, em função do esforço axial, obtendo-se:

Al b 1

(3.6)

Com a (3.6) na (3.5):

l T

e X l r N a 1

1

E5 1 1

(3.7)

39

Visando conforto numérico no manuseio das parcelas

implícitas na (3.7), pode ser conveniente, no cálculo manual

através de tabelas, colocar e• evidência "valores de

comparação", quaisquer, da ordem de grandeza dos envolvidos

no problema, para os comprimentos, os módulos de

elasticidade e as áreas da seção transversal; com isso a

(3.7) ficaria com a forma:

l l 't"~ E8 1.. e T

eMl e e e

3.2.2. Exemplo 1

E e

-E-

'

s -S-- .N., .Nb 1

1

(3 .8)

Para a treliça de aço da fig. 3 .1, onde as áreas dàs

seções transversais estão

parêntesis, determinar:

anotadas, em 2 cm, entre

1) O deslocamento vertical do ponto 6, positivo se para

baixo.

2) O deslocamento relativo entre os nós 4 e 5, positivo

se de aproximação.

3) A rotação da barra 9.10, positiva se horária.

4) A rotação relativa entre as barras 1.3 e 1.4,

positiva no sentido de aumentar o ângulo.

E•2100tt/cm2

Fi9 . 3.1 - E .. mplo l

40

a) Estado de deslocamentos (o) correspondente ao

carregamento dado.

Os esforços axiais N01

são facilmente calculáveis

utilizando um "Plano Cremona" e constam da fig.3.2

Fi9 J 2 - Estado de deslocamentos 1 o) nforços axiais

b) Cálculo do deslocamento vertical do nó 6, positivo

se para baixo-

Para . calcular esse deslocamento c5 v6

cria-se um estado

de forças (1) conveniente, no caso com uma força externa na

direção de c5v6

, com o sentido prescrito como positivo para

ele. Esse estado de forças (1), está representado na

fig. 3. 3, onde constam também os esforços axiais N nas li

barras.

Ni i lodim . )

Fi9. J J - Estado de forças l l I forças externos e esforços axiais

41

Impondo o estado de deslocamentos (o) ao estado de

forças (1) tem-se, do P.T.V.:

l

1 . "•6 J N du 1 J N N~

1 " ES 1

[ N,, Nnt E8-" e• l r e 11 l ,.

Adotando valores de comparação quaisquer:

c5 v6

l l e r ~ ES-" /.. e

e e l e

E s e

-r N o 1

i

1 1

A somatória de produtos implícita nessa expressão

pode ser feita com eficiência coa o auxílio da TABELA 3.1,

preparada para calcular

deslocaaentoa. Essa tabela

taabéa

prevê

todos

colunas

os

ea

outros

nÚJlero

suficiente para particionar os produtos de foraa a

siaplificar a verificação, e linhas correspondentes às

barras, organizadas numa sequência racional para facilitar a

transposição de dados e verificação de resultados parciais:

assim, as barras com características semelhantes serão

sempre a9rupadas e colocadas nuaa sequência a partir da

esquerda: serão separadas as barras do banzo superior, as do

banzo inferior, os montantes e as diagonais.

Escolhe-se valores de comparação, por exemplo:

l .,. 400 CJI e

s "' 12 cm2

e

a serem usados também para os outros deslocamentos, tendo:

42

' E S

cm 0,01587 t

1

m 0,0001587 t ,

Com isso, transpondo os N01

e os N11

para a TABELA 3 .1

e efetuando as operações previstas, tem-se, da coluna "13":

ô vb

0,0001587 . 125,16 0;01986 m

ou:

c5 v6 1, 986 cm

c) Cálculo do deslocamento relativo entre os nós 4 e 5,

positivo se de aproximação.

Para calcular esse deslocamento ô cria-se um estado r45

de forças (2) conveniente, no caso com uma força unitária em

4, orientada do nó 4 para o 5, e uma força unitária em 5,

orientada do nó 5 para o nó 4: com isso a expressão para o

trabalho externo será uma soma de duas parcelas sendo uma o

deslocamento absoluto de 4 no sentido de se aproximar de 5 e

outra o de 5 no sentido de se aproximar de 4; em conjunto

permitiriam calcular ôr45

Esse estado de forças (2) está

representado na fig. 3. 4, onde constam também os esforços

axiais N nas barras. 21

43

Fig. 3 .4 - Estado de forço• 121 forças uternos e esforços aaiois

Impondo o estado de deslocamentos (o)

forças (2), tem-se:

I J N __!!!_ 1 6 N2 du N r N N . r45 o 2 o ES 21

e•tr e•lr

Coa os mesmos valores de comparação

ter-se-ia:

6 r45

t t e ~+ ES L e

e e 1 e

E s e e

~ s 1

ao estado

t 1

oi E8 1 1

t , E e e e

de

s e

Efetuando essas operações na TABELA J .1, te•-se, da

coluna "14":

6r•s = 0,0001587 . 11,25 0,001786 •

ou:

6 r45

= 0,1786 cm

44

d) Cálculo da rotação da barra 9-10, positiva se

horária.

Para calcular a rotação ~9_ 10 cria-se um estado de

forças ( 3) com um momento uni tá rio aplicado e111 qualquer

ponto da barra 9-10, já que no estado de deslocamentos (o)

só há deformação axial e a barra permanecerá reta. Na barra

9-10 existirão esforços H e V , diferentes, dependendo da 2 2

posição do momento aplicado, mas seu trabalho nunca

aparecerá por inexistirem tanto d•0

quanto dv0

; das

condições de

transversais

equilíbrio da

de extremidade

barra 9-10,

independem da

aoaento, e sua reação, lançada sobre os nós 9 e

os esforços

posição do

10 COlllO um

"binário equivalente" ao

deterainar N .

momento aplicado, permitirá

2

Esse estado de forças (3) consta da fig.

estão anotados também os esforços axiais N 31

3. 5, onde

Qr::-"'""'"''-'-'-'--""'1:::---=;;;.;;..::..:.._-Q_-"'":,.=..::..:.. _ _,,>---:::L.::.:=::.....__., - - • O, 3333 m • l l

Fi9 . 3. 5 - Estado de forças 131 : forças eaternas e esforços a•iais

I•pondo o estado de deslocamentos (o) ao estado de

forças (3) tem-se:

1 • ·9-tO= J NJ duo J estr estr

N 3 N~

o ES

45

Com os mesmos valores de comparação '· , E e s e

ter-se-á:

t s E

~Q-10= [ 1

N E S T s E- N •• n 1 1 1

Transpondo os N da fig.J.5 l 1

para a TABELA J.l e

efetuando com essa tabela as operações, tem-se, da coluna 11 15 11 :

,9 to - 0,0001587 . 10,667 - 0,001693

ou:

,9 to -5'49 11

e) Cálculo da rotação relativa entre as barras 1- 3 e

1-4, positiva no sentido de auaentar o ângulo.

Para calcular esse deslocamento • cria-se um 13/1 4

estado de forças (4) conveniente. A rotação relativa • t 311 4

pode ser pensada como co•posta de duas parcelas: para

calcular a la., correspondente ao giro absoluto da barra 1-3

no sentido de abrir o ângulo, aplica- se a essa barra um

momento unitário antihorário; para calcular a 2a.,

correspondente ao giro absoluto da barra 1-4, também no

sentido de abrir o ângulo, aplica- se outro momento unitário

a essa barra, só que, agora, horário; pelos 111ativos j6

discutidos anteriormente, para efeito de cálculo dos

esforços axiais, esses momentos podem ser substituídos pelos

seus efeitos sobre os nós de extremidade, ou por "binários

equivalentes".

Esse estado de forças ( 4) consta da fig. 3. 6, onde

também estão anotados os esforços axiais N : 41

46

10,250 m-1

1 t 0,250 m -l 1

Fig . 3 .6 - Estado de ·forcas l 4) forcas externos e esfor~os axiais

Impondo o estado de deslocamentos (O) ao estado

forças ( 4) , tem-se:

J J ds l 1 ,13 / 14= N du = N [ N N

1 . No ES ES 4 o 4 4 1 o t 1

e s t .r e s t r

Com os mesmos valores de comparação l , E e e e

ter-se-ia:

l l E s ,13 11 4

e [ -r e e N N E5 E s 4 1 o 1

e e 1 e 1 1

1

Transpondo os N da fig.3.6 para a TABELA 3.1 4 1

efetuando as devidas operações, tem-se, da coluna "16":

-0,0001587 . 5,063 -0,0008035 rd

ou:

-2'46 11

47

de

s e

e

o. < a ,..._ ,. o M "'

o; "' OQ n n

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1

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48

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w

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3.2.3. Exemplo 2

Para a treliça da fig.3.7, determinar:

1) O deslocamento vertical do nó 5 devido a um

aquecimento de 100°c para as barras do banzo inferior e 50°C

para as barras inclinadas, sendo a = 10-5 /°C o coeficiente

de dilatação térmica do material. 2) o deslocamento vertical do nó 5 devido ao fato de

todas as barras do banzo inferior terem sido "cortadas" com

4,01 me não com o comprimento nominal de 4,00 m.

3) o máximo deslocamento vertical, para baixo, do nó 5

que pode ser acarretado pelo fato de as barras serem

"cortadas" com uma precisão de ± o, 1% sobre o comprimento

nominal.

~1 t 2m l 2m r 2m l 2m r~m l 2~ r2rn J_g~_J

Fig 3 . 7 - E•emplo 2

a) Estado de forças ( 1) conveniente para calcular o

deslocamento vertical do nó 5, positivo se for para baixo.

Como em todos os itens do problema se vai calcular, ou

manusear, o particular deslocamento vertical do nó 5, é

interessante definir inicialmente o estado de forças ( 1)

conveniente para calculá-lo; esse estado de forças terá uma

única força externa, unitária, na direção do deslocamento

49

que se quer medir, conforme fig.3.8; nessa fiqura estão

também anotados os esforços axiais N11

nas barras.

FiQ . 3.8 - Estado de forças (li força externa • esforços axiais

N ii ladim.I

b) Cálculo do deslocamento vertical do nó 5 devido a um aquecimento de iooºc para as barras do banzo inferior e soºc para as barras inclinadas.

Nesse estado de deslocamentos ( 2) a única deformação,

axial, de um elemento de barra de comprimento ds é definida

por:

du2

'"' ex At ds

onde At é a variação de te•peratura, positiva no sentido de

aumentar a temperatura, em coerência com o sinal adotado

para du2

que é positivo se de extensão e co• o dos esforços

axiais, positivos se de tração.

Impondo o estado de deslocamentos ( 2) ao estado de

forças (1) tem-se, do P.T.V.:

l • ll.st • J N1 du2

eetr

Como N1

é constante por barra:'

50

co•:

At 21

t 1 J du 2 o

At 1

ds ex At t 1 1

Calculando At21

na TABELA 3. 2, para onde

transpostos também os N11

obtém-se, da coluna "7":

são

li ,,5

t 16, ooo mm

c) Cálculo do deslocamento vertical em 5 devido ao fato

de todas as barras do banzo inferior terem sido cortadas com

4,01 me não com o seu comprimento nominal de 4,00 m.

Esse tipo de problema, originado de erro definido na

fabricação das barras, ou num caso mais real na marcação da

posição dos rebites ou parafusos de uma treliça que vá ser

•ontada e desmontada em barras, também pode ser resolvido

com o P. T. V. ; assim, nesse estado de deslocamentos ( 3) ,

definido pelo erro de fabricação, seriam conhecidas as

variações de comprimento das barras, At31

,

fato que impeça de as considerar como uma

sem qualquer

integral das

deformações du3

ao longo da barra 1. Com a mesma convenção

de sinais se teria:

t - l Al 31 1,real l 1 no•lnal

Impondo esse estado de deslocamentos ( 3) ao estado de

forças (1), conveniente para calcular o deslocamento

vertical do nó 5, tem-se, do P.T.V.:

1 . li = J vSd N

1 du

3

t 1

I: N J du 11 3 1 o

estr

51

.;-g:• "ª ________________________ _ : : x•i-;~~

ou:

c5 vSd

Calculando os Al31

e efetuando na TABELA 3. 2 as

operações necessárias, te•-se, da coluna "9":

c5 vSd

40,0 mm

d) Cálculo do máximo deslocaaento vertical, para baixo,

do nó 7, que pode ser acarretado pelo fato de as barras

serem "cortadas" com uma imprecisão de :!: 0 , 1\ sobre o

comprimento nominal.

Esse problema é e• tudo seaelhante ao do item (e) ;

ter-se-ia um estado de deslocamentos (4) definido pelas

variações llt41

de comprimento das barras acarretada por erro

aleatório, dentro de limites pré-definidos.

. Impondo-se esse estado de deslocamentos ( 4) ao estado

de forças ( 1) , conveniente para calcular o deslocamento

vertical do nó 5 , tem-se, do P.T.V.:

1. c5 vSpr

t

I N du = [ N J 1 du

1 ' ti 4 1 o e•lr

ou:

c5 v5pr

Como:

1 :5 1000 t,

procura-se:

52

c5 •áx máx { [ N Al } V pr 1 1 4 1

ou: mfn

{ Al se N <O c5 •4X [ N

4 1 1 1

vSpr 1 1 •áx Al se N >O

4 1 1 1

ou, ainda, como:

1 Al:áx 1 1

mín 1 Al 1000 l

4 1

tem-se:

c5 v5pr

Efetuando essas operações na TABELA 3. 2, tem-se, da

coluna "10":

c5 v5p r

1 1000 . 48000

ou:

c5 = 48 mm v5pr

Desse resultado é possível perceber a extrema

importância da precisão na fabricação de elementos para

montagem posterior, ou da importância de se ter sistemas de

ajustes para evitar uma grande distorção da estrutura

montada a partir de peças.

53

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54

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3 . 3. DESLOCAMENTOS EM ESTRUTURAS PLANAS FLETIDAS USUAIS

3.3.1. Estruturas planas fletidas usuais

Pretende-se neste sub-item analisar alguns tipos de

estruturas planas com carregamento em seu plano, como vigas,

pórticos e arcos: pretende-se a partir das formulações

gerais para o cálculo de deslocamentos, particularizar e

detalhar técnicas de cálculo para situações mais comuns, com

pequenos acenos a situações menos frequentes.

Numa estrutura plana fletida mais geral, um estado de

deslocamentos (b) pode incluir deformações du , dv e d• de b b b

um elemento de comprimento ds numa posição genérica ~-

O cálculo de um particular deslocamento implicaria em

criar um conveniente estado de forças (a), com forças

externas criteriosamente escolhidas de forma que a expressão

do trabalho externo representasse exatamente o deslocamento

a medir; essas forças deveriam satisfazer as condições de

equilíbrio com os esforços internos N , V e M da mesma " " a

posição genérica I· Nessas condições, aplicando o P. T. V .

ter-se-ia, confonae expressão (3.1):

T J N du + J V dv + J M d~ (3. 9) ext .. b a b .. b

eetr eetr eatr

conforme a (3.1), ou (3.9), um deslocamento poderia ser

pensado como composto de três parcelas, ou três integrais,

em principio uma tão importante quanto as outras, dependendo

da causa que tenha dado origem ao estado de deslocamentos

(b). Entretanto, é muito frequente o cálculo de

deslocamentos em estruturas submetidas a um carregamento

qualquer, valendo a pena analisar a significância relativa

entre essas três parcelas no caso de as deformações dub, dvb

55

···· ''-'t&i;B: -----------.---------------

e d• serem provocadas pelos esforços internos N , V e li b b b b

do estado de deslocamentos (b). Da resistência clássica dos

materiais tem-se:

dv b

N b ~ds

cV b

GS de

Com as (3.10), (3.11) e (3.12) a (3.9) fica:

T • "t I Nb I N. ES ds +

CV v. GSb ds + J

eatr e• t. r •• t. r

(3 .10)

(3.11)

(3.12)

(J.13)

Para analisar a significância das parcelas da (3.13)

nada melhor que utilizar um exemplo representativo; seja

então o problema de determinar o deslocamento vertical do

ponto A para a estrutura da fig.3.9.

56

SEÇÃO B ISSIMÉTRICA

DADOS :

E - mód. de e l as! i c i dade

"IJ- caef. de Pa i sson

1 - mom. de i nérc i a

S - a·rea da seção

1 - compr da barra

Fi9. 3.9 - Exemplo representativo

a)Estado de deslocamentos (b)

o carregamento correspondente ao estado deslocamentos (b), dado, consta da fig.3.10.a;

fig.3.10.b, c e d contêm os esforços internos N v e M b' b b.

M •-'/'[' . P. s b 2

'ª 1 'b, ( c 1 (d,

Fig. 3.10 - Estado de deslocamentos (b): car9as e esforços inter nas

57

de

as

b)Estado de forças (a)

O carregamento externo correspondente ao estado de

forças (a), conveniente para calcular o deslocamento

vertical de A consta da fig.J.11.a; as fig.J.11.b, c e d

contêm os esforços internos Nª, v. e Ma.

la 1

Vi' N •-­a 2

'b, lc 1 (d)

F iQ . 3. 11 - Estado de for c;as 1 a 1 : cargas e es fo rc;os inter nos

c) Cálculo do deslocamento vertical do ponto A

Impondo o estado de desloca.entoa (b) ao estado de

forças (a) tem-se, do P.T.V.:

I eatr

N du + J a b

••tr

Vadvb + J ••lr

ou então, das (3.10) a (3.12):

58

como:

onde:

ô VA J

estr

V

estr

cV ~ + J b GS

e s t r

ds MaMbEl

(3.14)

O deslocamento õvA da expressão (3.14) pode ser posto

I N

I V

J e• t r

J e e t r

I e a t r

ds VªcVb-c;g-

ds H,.HbEl

Jl P ds -2-·"ES

o

Jl P ds ~.c. GS

o

Il P 2 ds -2-.s . EI

o

Pl 2ES

cPl 2GS

(3.15)

(3 .16)

(3.17)

t interessante comparar IN e Iv a I" e verificar que,

salvo em condições mui to particulares, essas parcelas são

desprezíveis.

Valeria a pena efetuar essa comparação para algumas

seções usuais em materiais usuais, analisando relações

usuais entre dimensões da seção transversal e dimensões

longitudinais da estrutura. Assim, para a estrutura de

concreto, uma seção transversal típica é a retangular, e uma

relação h/l típica varia de 1/5 a 1/10; para estrutura de

aço uma seção típica seria o perfil I, laminado, e uma

relação h/l típica varia de 1/20 a 1/30.

59

d) Comparação entre I e I N N

Das (3.15) e (3.17):

1. Pt 6EI :: 3 I 1 3 12

1 2ES Pt 3 s- t2 t2 "

onde i é o rai.o de giração da seção transversal.

Para seção retangular, em concreto:

e, portanto:

0,250 (+) 2

Para a situação usual:

1 h 1 IN -rõ" s -r- s --s-- ~ 0,0025 s ~ s 0,0100

ou, I• varia entre 0,25% e 1% de I", usualmente.

Para perfil I, em aço:

i 111 0,390h ~ valor médio para vigas I, padrão a•ericano

e, portanto:

h2 ( h 12 3.0,3902 ~ - 0,456 -r-

Para a situação usual:

60

l h l IN ~ s -r- s ~ ~ 0,0005 s y;-- s 0,0011

ou, I" varia entre 0,05% e 0,11% de I", usualmente.

Com isso, usualmente, I" é desprezível diante de IN;

evidentemente, se se trabalhar com peças muito curtas,

principalmente metálicas, é interessante tomar um certo

cuidado: também é o caso de tomar cuidado ao tratar com

estruturas onde a flexão é parasita, como no caso de arcos

abatidos, com uma carga preponderante permanente e eixos

projetados para resistir sem flexão a essa carga permanente.

e) Comparação entre Iv e I"

Das (3.16) e (J.17):

cPt 6EI 2GS •---;tJ

o coeficiente .k depende essencialmente da forma da

seção e muito pouco do coeficiente de Poisson.

Para seção retangular de concreto:

c • 1,20

V 111 0,10

E -e;- - 2(1 + v) - 2,20

· e {,ortanto:

~: - 0,660 (+) 2

61

Para a situação usual:

1 h 1 IV -rõ s -,- s -s- ~ 0,0066 s -x; s 0,0264

ou, Iv varia entre 0,66t e 2,64\ de I", usualmente.

Para perfil I, em aço:

c 11 2,0

V 11 0 1 3

E -C- = 2(1 + v) 2,6

e portanto:

2,37 (+(

Para a situação usual:

1 h 1 ~ 30 s -,- s -rõ • 0,0026 s ~ s 0,0059

ou, I varia entre 0,26t e 0,59\ de I • V "

Dessa análise, então, se pode concluir que 1. ~

desprezível diante de I", tendendo a deixar de sê-lo ao se

trabalhar com barras de altura •uito grande e• relação ao

comprimento.

f) Conclusão do exemplo

Salvo casos excepcionais os desloca11entos e• peças

fletidas submetidas a wn carregamento pode• ser

calculados computando apenas as deformações provocadas pela

62

flexão; assim a (3.13) ficaria apenas como:

T = J ext eatr

ds M11 Mb Er° (3.18)

O cálculo de deslocamentos, então, além do natural

engenho em criar um estado de forças conveniente, ficará

restrito ao mero cálculo de integrais do tipo das que

aparecem na (3.9), na (3.13) ou na (3.18), valendo a pena

exemplificar alguns procedimentos mais gerais para casos

particulares e detalhar um pouco mais os casos mais

frequentes; isso será feito sempre a partir de exemplos

numéricos.

3.3.2. Exemplo 1 - Integração analítica

As funções envolvidas nos integrandos da expressão

(3.18) podem ser tais que seja viável efetuar a integração

analítica; seja o caso então de calcular o deslocamento

horizontal do apoio B na viga curva de eixo circular, e

seção transversal constante, da fig. 3.12.

p. 51 t

A

F io . 3 .12 - Exemplo l

63

E • 2100 ltlcm2

I • 40000 cm4

a) Estado de deslocamentos (o)

Do estado de deslocamentos (o), definido pelo

carregamento da fi9.1.12, interessa• apenas os 110J1ento•

fletores M0

, convencionados coao positivos se provocarem

ttação embaixo. t imediato calcular, ea função de a:

M PR ( v; - sen a) o s 9 s n

o -2- para -3-

M - PR ( v; + sen e) para - n s 9 s o o -2- -3-

Esses esforços são, evidentemente, simétricos.

b) Estado de forças (1)

O estado de forças ( 1) conveniente para deterainar o

deslocamento horizontal do ponto B, positivo se orientado da

esquerda pàra a direita, tem uaa única força externa,

unitária, horizontal, com essa aesma orientação: o momento

fletor M1

é facilmente calculável, na mesma convenção

adotada para M0

, em função de e:

M1

= R (cos a 1

-r

c) Cálculo do deslocaaento ~ ..

Do P. T. V. , desprezando o efeito das deforaaçóes

provocadas por esforço axial e por esforço cortante:

eetr

64

Sendo EI constante e ds

a simetria: R da tem-se, levando em conta

ou:

n [ v; J 3

cos9 d9 -

o

n

1 I 3 + - 2- sena d9 - h -4-

o

Como:

n n

I 3 cose

o

da 1

-03 sena

n

1 J 3 sena cosa dB -r o

1 (- 1 - 1)

3 -r -r ,-

rr n

h -2-

n

J 3 sen2a

o

n

I 3 sena

o

cosa d9 +

d2a 1 -4- COS2a

I 3 sena

o

da - cosa 1:= - (-i- - 1) =-}-

65

n

1:

tem-se:

6 HB

[+-ou:

ou ainda:

PR3 (!/ Er

n l PR3

4;-;--Er

PR:i 0,1716 -n-

r;--2-

3 0,1716 . 5.1000

2100.40000

J 1 1 - -a + -2-·-2-

10,21 CJI

J.J.3. Exemplo 2. Integração nullérica

h ·+] --4-

A integração numérica viabiliza a integração de

qualquer função por mais co•plexa que seja, desde que, ao

todo ou em parte, se estabeleça uma correspondência

biunívoca entre uma variável .1. qualquer e a variável .@.,

implícita nas funções que aparecem na (3.18) ou na (3.14), e

desde que se consiga calcular a função integrada em relação

a I ou .1., ponto por ponto.

66

Sendo~ a variável de integração e f(z) a função a ser

integrada num intervalo de z0

z

I J nf(z) dz

z o

a z , n

obtem-se I, dado por:

(J.19)

Para obter aproximações numéricas para I, a maneira

mais comum é utilizar, conhecendo a função f(z) nos (n+l)

pontos determinados pela divisão em n partes iguais do

intervalo de integração, a "regra do trapézio" e a "regra de

Simpson".

Sendo:

z -z Az n o

n (J. 20)

pela "regra do trapézio", obtida substituindo a função f(z),

em cada intervalo, por uma reta coincidindo com a função nos

pontos extremos do intervalo, obtem-se um valor aproximado

para I dado por:

I f(z )

Az[--2- º-

De mesma forma se se substituir a função f(z) em cada

dois intervalos consecutivos por uma parábola de 2o. grau,

tem-se, para n forçosamente par, outra aproximação para I

dada por:

I

67

(3. 22)

Da mesma forma poder-se-ia ter outras aproximações

análogas utilizando parábolas

substituindo a função em :m. de grau

intervalos

.!!l qualquer,

consecutivos,

tomando-se m como submúltiplo de n; para fins práticos em

geral isso é desnecessário, sendo mais interessante, para

obter melhor precisão, aumentar o número n de intervalos ou

sub-dividir a integração nuJlérica em trechos diferentes,

nos casos patológicos.

Tanto a regra do trapézio, expressa pela (3.21) quanto

a regra de Simpson, expressa pela (3.22), podem ser postas

como:

n I Az r k

1f(z

1) (3. 23)

1 =O

Para o caso da regra de trapézio:

k k 1

o n -2-(3. 24)

k k2 k 1 1 n-1

Para o caso da regra de Simpson:

k k 1

o n -3-

k k ks k 4 ••• = -3-1 3 n-1

(3. 25)

k k k k 2 .•• = -3-2 4 6 n-2

68

Como aplicação, seja o caso de calcular, usando a regra

de Simpson, o deslocamento vertical do ponto central da

viga de concreto, com seção retangular de largura b = 0,20m,

constante, representada na fig. 3.13.

r-· Ç'''" 111n11[~ ! 5,00 m _J E =200t 1 1cm

2

Fi9. Jl3 - Exemplo 2

No estado de deslocamentos (o), representado na

fig.3.13, é imediato calcular os momentos fletores M em

função da variável x lá definida; assim, em t, e m:

M 5,5 X o

M 5,0 + 9,5x -o

o parâmetro de

facilmente

EI

EI

em função de

33,33 (5+x) 3

J 33,33 (15-x)

para 0,00 s X s 5,00

2 5, CIO 10,00 X para s X s

rigidez EI também pode ser x; assim:

para 0,00 s x s 5,00

para 5,00 s x s 10,00

o

posto

Para calcular o deslocamento vertical do ponto central

69

da viga, cria-se um estado de forças (1) conveniente, com

uma carga externa uni tá ria na direção do deslocamento a

medir; assumindo a carga unitária como vertical, orientada

de cima para baixo, seria também imediato calcular os

momentos fletores nesse estado de forças; assim:

M1

= O,SOx para o,oo s x s 5,00

0,50 (10-x) para 5,00 s x s 10,00

Impondo o estado de deslocamentos (o) ao estado de

forças (1) ten-se, pelo P.T.V.:

o

Fazendo:

f(x)

tem-se:

1 o. 00

.Sv J f(x)dx

o

dx

Adotando n=lO, com Ax=lm, utilizando a regra de

Simpson, expressa na forma da (3 . 2 3) , com as k 1

definidas

pela (3.25), tem-se:

1 o .Sv ""'Ax [ k

1 f(x

1)

l = O

Com o auxílio da TABELA 3.3, da coluna "B":

70

ou:

1,00 . 0,012976 0,012976 m

.5 V

1,2976 cm

Utilizando a regra do trapézio chegar-se-ia a:

.5v = 1,2933 cm

TAR~:LA 1. 3 - F.xemp.1 o 2

l 2 3 4 5 1

6 7 8

Pont o X Ml M (1

EI f ( x1) k, k

1f(x

1)

() o.ou u,uu º·ºº 4167 u U,3333 u - - -·-

1 l,UU 0,5U 5,50 7200 O,UU0382 1. 3333 0,000509 · ·····-

2 2,00 l, 00 11,00 114 33 O,OOU962 0,6667 0,000641 ·-

3 ).00 1, 50 16,50 17067 0,U0145U 1, 3333 U,001933 ----

4 4 , 00 2 , 0U 22 ,00 24)00 0,001811 0,6667 0,001207 --

5 5,00 2,50 27,50 33333 O,U02063 1,3333 0,002751 ···--- ·-

6 6,00 2,00 26,00 24300 0,002140 0,6667 0,0U1427 -- ·-··--- ·-

7 7 ,ou l,5U 22,50 17U67 U,001978 1,3333 O,U02637 ·- -- - - -

8 8,00 1,00 17 .uo 11433 0,001487 0,6667 0,000991 -- ------- -

9 9,0U U,5U 9,50 72UU U,OUU66U 1 ; 3333 0,000880

10 10,00 º·ºº 0,00 4167 o 0,3333 o ' / 7 . ' / ; 7 , _// / , / / 7 / / _/ / /

I , 0,012976 , , / , / ./ / ,, / j ·' - /

71

3.3.4. Exemplo 3. Integração utilizando tabelas

Uma classe bastante comu• dentre as estruturas

fletidas, como pórticos e vigas, é aquela constituída por

trechos prismáticos, isto é, por trechos retos de seção

transversal constante, em toda a estrutura ou por trecho.

Sendo a seção tranversal constante em toda a estrutura,

uma expressão do tipo da (3.13) poderia ficar como:

T 1 J ext- ES N N • b ds + ~s J V V

• b ds + ~I J M M ds li b

eatr ••lr eatr

(3.26)

ou, então, com os considerandos do item 3.31, apenas:

T ext

M M ds a b

(3.27)

eatr

De qualquer forma, as funções a serem integradas se

reduziriam a produtos de apenas duas funções.

As cargas usuais, em geral consideradas em qualquer

tipo de pórtico ou viga, •uito frequentemente são complexas

no conjunto, mas quase se•pre são simples em cada trecho

reto, nunca indo além de forças ou mo•entos concentrados,

cargas uniformemente distribuídas e raramente cargas

linearmente distribuídas. Isso faz com que cada uaa das

funções envolvidas no produto a ser integrado seja, em cada

trecho, uma constante, uaa reta, u•a parábola de 2o.grau ou

no máximo uma parábola cúbica. Assim, raciocinando, por

questão de simplicidade, apenas co• a expressão ( 3. 27) ,

particionando-a em integrais por trechos retos, tem-se:

72

T ext (3.28)

Cada uma das funções M ou M pode ser, nas condições a b

usuais expressas acima, colocada como uma soma de funções

elementares, constantes, retas, parábolas de 20. grau ou

parábolas cúbicas; assim:

M M + M + ••. + M + •.• + M a at a2 af an

M b

M + M + ••• + M + ... + M bl b2 bk b•

e com isso a (3.28) ficaria então como:

T ext

1 EI

l

r [ J 1M M ds a I b 1

1

I + ••• + J 1

M M ds + . . • + .. J b k

o o

I + J 1M M ds ]

an b• (3 .29)

o

A TABELA 1, do ANEXO, fornece as integrais de produtos

de duas funções elementares f(s) e g(s) ao longo do trecho

reto de

expressa

define.

exemplo,

comprimento l;

em função do

A composição

f(s) e g(s)

respectivamente.

cada uma das funções elementares é

número mínimo de parâmetros que a

dessa tabela é simples; sejam por

definidos conforme fig.3.14.a e b

73

t • t-=--

1 1

1a1 ( b 1

fia . ~ . l .. - funç6e1 fltl e 11111

o valor tabelado na interseção da linha l com a coluna

1 v pode ser facilmente calculado: assim, sendo:

b f(s) • "T" s

(3-a. • g(s} - a. + --i-

tem-se:

o

ou:

cxb Jl 1- "T" sds + o

ou, ainda:

o

l b(fJ-a.) J s 2 ds

tª o

74

cxb -r

l2 2+

l b( 11-a.) _l_

la • 3

I 1 t -r b(a + 2~)

Como exemplo de aplicação, seja o caso de calcular a

rotação relativa

fig.3.15.a. Os

na articulação B

momentos fletores

da viga prismática

M desse estado o

deslocamentos (o) estão representados na fig.3.15.b.

1 a J

14,33

1b1

E I 1200 tf m 2

Mo

1 tf m)

E

Fi9 . 3. 15 - Exemplo _3 - Estado de deslocamentos 101

da

de

O estado de forças ( 1) conveniente para calcular a

rotação relativa, assumida como positiva se com "bico em

cima", está representado na fig.3.16.a. Os momentos fletores

M desse estado de forças estão representados na fig.3.16.b. t

75

:;:0.~~hJ~~·P·'.································ .. ·······································

1 l

1 a l )o(

E

Fi9 J 16 - Exemplo J · Estada de for~as ( 1 l

Impondo o estado de deslocamentos (o) ao estado de

forças (1), tem-se, do P.T.V.:

e•lr

ds MIMO EI

sendo EI constante em toda a estrutura, pa·rticionando a

integral em trechos i visando posterior utilização, com novo

particionamento, da TABELA l, tem-se:

EI ti . rB

[ 1

com:

t I = f 1

M M ds 1 1 o

o

a) Trecho AB; t1

2 m

76

/•(~ +~º}(~1,0 )ds o 14,JJ

l,JJJ

Ao efetuar o produto, interessa o sinal relativo das

ordenadas, não importando, no caso de momentos fletores, o

que se convenciona como positivo; assim, da TABELA 1, linha

2 com coluna IV e linha 7 com coluna IV:

+ i,o) = -16,35

b) Trecho BC; t2= 4 m

77

X · .c/í;i;.'iÍ.l.llíl' ' ---------------..-----------------

Da TABEIA 1, linha 3 com coluna IV e linha 1 co• coluna

IV:

4. ! .10,61(1,0 + 2.0,333) + 4.+.J,000(1,0 +

+ 0,333) = 17,18

c) Trecho CD: l3

2 JD

t ~l,0 Jtl ~)(~)d J3( )(~)ds+ ( s o 0,67 0,333 o

Da TABEIA 1, linha 4 com coluna II e linha 7 co• coluna

II:

I3= 2.-i-(2.10,61 - 3,oo)o,333 + 2.-j-.o,15.o,333

2,20

d) Trecho DE; 14= 2 m

o

Com isso:

78

ou:

EI• rB -16,35 + 17,18 + 2,20 + ~ · 3,03

Substituindo o valor de EI :

3,03 1200

• = 8'41" rB

0,00253 rd

Seria interessante analisar, neste mesmo item, também o

caso bastante frequente de se ter estrutura prismática por

trechos, isto é, com EI constante por trecho. Nessa

condição EI pode ser colocado em evidência em cada trecho i prismático,

a forma:

T e x t

ficando uma expressão do tipo da ( 3 . 18), com

(3 . 30) o

Por questão de simplificação no manuseio das parcelas

que compõem o deslocamento, chegando a uma expressão do tipo

da (3.28) para EI constante, é possível fazer uma mudança

de variável de integração em cada trecho ,i,. Assim, sendo Ec

e I e valores de comparação

poder- se-ia, na (3.30), colocar E

quaisquer para E e I,

e I em evidência, tendo: e

T ext

1 t" J' 1 EI L MaMb e e 1

E I e e

ds (3.31) E I 1 1 o

79

Mudando em cada trecho i a variável ~ por uma variável

s' definida por: 1

s' 1

E I e e

S (3. 32)

para efetuar cada integral i•pl íc i ta na ( J. 31) , a única

providência a ser tomada é •udar o li•ite de integração, já

que, com o uso da TABELA 1, não há necessidade de explicitar

as funções M., e Mb

fica:

T ext

com:

l 1

,

na nova variável s'. 1

Assim, a (3.31)

(3.33)

(3.34)

Ao l definido pela (3. 34) pode ser . dado o nome de 1

comprimento fictício ou comprimento elástico fictício: com

ele um deslocamento numa estrutura prismática por trechos

pode ser calculada pela (3.33), em tudo semelhante à (3.28),

apropriada para o caso de EI constante.

Como exemplo complementar, seja o caso de calcular o

deslocamento horizontal do ponto D para a estrutura e

carregamento da fig.3.17.a. Nesse estado de deslocamentos

(o) o diagrama de momentos fletores está representado na

fig. 3. 17. b.

80

( 1,0 t1 /m

E' 2100 tr/cm2

j '5000 cm4

f a 1 ( b 1

Fi9 317 - Exemplo complementar - Estado de deslocamentos (0)

O estado de forças ( 1) conveniente para determinar o

deslocamento horizontal do ponto B, positivo se orientado da

esquerda para a direita, está representado na fig. 3.18.a. o diagrama de momentos fletores M

1, correspondente, est4

representado na fig.3.18.b.

1 Q 1

1,875 1, 8 7 5 "\., ,+.M"'l'.,.....~.o:i.;.u..1....L..L...1..1~L.,

1b1

F i 9 3 18 - E iemplo complementar - Estado de forças f l 1

81

Iapondo o estado de deslocamentos (o) ao estado de

forças (1) tea-se do P.T.V.:

eetr

ou, adotando valores de comparação E c·I e:

E 1 6 e e HB

MM l o

o

E 1 e e

E 1 1 1

ds

Mudando a variável de integração para variáveis coa

validade restrita a cada trecho prismático, tea-se:

Esses comprimentos fictícios consta• da fig. 3 . 19.

82

e o .... t.i

2,00m 0,80m

e ~ õ

Fi9 J .19 - Comp timenlos f ict í c ios

Utilizando convenientemente a TABELA 1:

E 1 c5 e r. H D

1 7 -2,50.-3-.2,19.1,875 + 2 , 50 . -w.13,89".l,875 +

1 1 2,00.-3-.2,19.1,875 + 2,00.-3- .2,00 . 1,875 +

1 1 + 0,80. - 3- .13,81.1 , 875 - 0,80. 3 ·- .2 , 00.1,875 +

1 + 0,60. - 3- .13,81.1,875 18,819

Sendo:

.E I EJ 2100 . 5000 1,05.107 t cm 2 1050 tm 2

e e f f

tem-se:

c5 = 18,819 0,0179 m 1,79 cm 48 1050

83

3.4. DESLOCAMENTOS EM OUTROS TIPOS DE ESTRUTURA

3.4.1. Outros tipos usuais de estrutura

Combinando-se as técnicas de integração utilizadas nos

itens anteriores e aplicáveis a treliças e a estruturas

f latidas poder-se-ia, em princípio, calcular deslocamentos

em qualquer tipo de estrutura, plana ou mes•o espacial,

simples ou mista; vale a pena ressaltar, através de

exemplos, alguns casos como o de pórticos ou arcos

atirantados, vigas sobre apoios elásticos e grelhas.

3.4.2 . Exemplo 1 - Pórtico atirantado

Num pórtico, viga ou arco atirantado, ou num pórtico

parcialmente treliçado, o cálculo de deslocamentos devidos a

cargas seria feito com uma expressão do tipo da (3 . 13),

desprezando, com as considerações do item 3.31, as parcelas

correspondentes aos esforços axiais e cortantes, só que I

agora só na parte da estrutura submetida a flexão; na parte

da estrutura submetida a esforço axial apenas, e portanto,

com seções transversais em geral com áreas •uito pequenas,

não seria prudente desprezar, a priori, essas contribuições .

Assim a (3.13) seria reduzida a:

T = f ext

M

M., E~ ds + f (3.35)

c / fle x a / flex

Seja o caso, então, de calcular o deslocamento vertical

da articulação B, do pórtico, ou arco poligonal, de

concreto, com um tirante de aço, da fig.3.20.a. Na

fig. 3. 20 . b. estão anotados os esforços relevantes nesse

estado de deslocamentos (o),isto é, os momentos fletores M

no arco e o esforço N no tirante. ot

84

o

N0 t = 4,08

E = 200 t 1 /c m2

I = 50 0 0 0 c m4 S t = 3 cm2

( a 1 ( b )

F ig. 3. 20 - E•emplo l - Estado de des l o cam entos (o 1

O estado de forças ( 1) conven i ente para c a l c ula r o

deslocamento vertical de B, positivo se orientado de c i ma

para bai xo, consta da f i g.3.21 . a . Na f ig.3 . 21.b, estão

anotados os esf or ços r elevantes, i sto é, os momentos f l e t ores

M no pórtico, e o esforço N no tirante. t lt

( a )

Nu =l,16 7

M1 lml N11 (ad i m. )

( b )

F i g. 3 21 - E • em plo l - Est ado de forç as ( l )

8 5

Impondo o estado de deslocamento-a (o)

forças ( 1), tem-se, desprezando parcelas

importância, conforme já discutido:

M ds o "1-n- + J

p6rt.lco tlranle

ao estado de

de pequena

Para o caso de EI constante e um tirante único, fica-se

então com:

c5 VB

l 1 I: J 1

M H ds + N N ~ 1 o lt. oi o

Utilizando convenientemente a TABEIA 1, obtém-se:

a = 1 (-3,61 • + . J.08 .0,833 +

y B 200. 50000 .10-4

1 1 -3,61.~3-.1,13.0,833 - 4,12 • ~3- . 3,08 . 0,833 +

1 1 - 4,12 • ~3- . 2,00. 0,833 + 4,12 . ~3--2,92 . 0,833 +

1 ) 14,00 + 3,61 . ~3-.2,92 • 0,833 + 1,167.4,08- 2100.J

= -0,00376 + 0,01058 0,00682 m

ou:

c5ve 0,682 cm

86

Desprezando

obtido:

a deformação axial do tirante

3. 4. 3. Exemplo 2 - Viga com vínculos elá.sticos

ter-se-ia

Em vigas, pórticos ou arcos que tenham apoios não

infinitamente rígidos, a deformação desses apoios influi no

cálculo de qualquer deslocamento da estrutura~ pensando em

vínculos elásticos com uma rigidez kJ ao deslocamento

linear, numa expressão do tipo da (3.9) ter-se-ia que

computar, além das parcelas correspondentes à deformação d•b

devida à flexão, também a devida à deformação dub dos apoios

elásticos, ou molas~ obtendo-se:

T e X t.

(3.36)

eatr •o 1 as

Sendo N8

constante em cada mola j, a segunda parcela da

(3.36) pode ser posta como:

I N du a b

mola• •ola

du b

Como a mola i tem rigidez, ou constante de mola, k , e J

sendo NbJ o esforço nessa mola, tem-se:

lll bJ

Com isso a expressão (3.36) fica na forma:

87

T ext

M ds

I M b +I:4-N N a-ri- li. aJ bJ

J J e li t r

(3. 37)

Como exemplo numérico seja então o caso de calcular a

rotação relativa na articulação B da viga de EI constante da

fig.3.22.a, apoiada sobre molas de mesma rigidez K· Os

esforços internos relevantes, isto é, os momentos fletores

M na viga e os esforços axiais N nas molas, nesse estado o oj

de deslocamentos (o), estão anotados na fig.3.22.b.

P'lt1/m

lfjlllllllllllJl 1

l f..l ! J 6m -i= lOm J

E I • 1000 t1 m2

k,20011/m

(o)

10,0

1 b)

Fig . 3.22 - Exemplo 2 - Estado de deslocamentos (o 1

O estado de forças ( 1) , conveniente para calcular a

rotação relativa na articulação e, assumida como positiva se

provocar "bico embaixo", está esquematizado na fig. 3. 23 .a: na fig.3.23.b estão anotados os esforços relevantes, M na

t viga e N nas molas.

IJ

88

1 1 N12= - 0,333

M1 (odim. I

N1j(m-1l

1 a J ( b )

FiQ 3 23 - Exemplo 2 - Estado de forças ( 1 1

Impondo o estado de deslocamentos (o) ao estado de

forças (1) tem-se, do P.T.V. com as adaptações implícitas na

(3.37):

J M ds

1 IP rB

M o

+ [ N N 1 EI k 1 J o j

vlga J

Sendo EI constante e as molas todas iguais tem-se:

IP r e

Utilizando convenientemente a TABELA 1:

1 1000

1 1 ~3- . 1,25.10,0 - 6 • ~3- . 1,25.4 , 5 +

1 1 + 10 . ~3- . 1,25 . 10,0 - 10 . ~3- 1,25.12,5) +

+ 2~0 (-0,208 . 1,33 + 0,333.10,67 - 0,125.4,00)

89

0,00333 + 0,01388

f> r B 0,01121 rd 59'10"

Desprezando a deformação nas molas ter-se-ia:

f> = 0,00333 rd = 11'27" B

3.4.4. Exemplo 3 - Grelha

Uma grelha é definida como uma estrutura plana

apropriada para receber carga normal ao seu plano. Em sua

análise estarão envolvidos, a semelhança dos pórticos

planos, apenas três esforços internos e consequentemente

três deformações provocáveis pelas cargas previstas; a

diferença é que esses esforços internos serão agora um

esforço cortante normal ao plano da grelha e um momento

geral nesse plano; esse momento pode ser considerado como

consistindo de duas componentes, uma de flexão, normal ao

eixo da barra, e uma de torção, axial à barra. Não se

demonstrou o P. T. V. para casos incluindo torção por mera

questão didática, mas acredita-se ser fácil aceitar, sem

maiores considerações, sua validade para o caso.

Um estado de deslocamentos ( b) incluiria a deformação

d~b do elemento de comprimento ds; no caso de d~b ser

provocado por um carregamento poder-se-ia complementar as

(3.10) a (3.12) com:

T ds b

GJ t

(3.38)

e a expressão análoga a (3.13), obtida do P.T.V. e aplicável

90

ao caso, seria:

T exl J cvb J V ds + .. --c;s-

Mb J M., ~ ds +

eatr estr e s t r

(3. 39)

Por motivos já discutidos no item 3.3.1, a primeira das

integrais da expressão ( 3. 39) pode, em geral, ser

desprezada; a última delas, como se verá, é muito grande

comparada com a segunda, podendo-se cogitar em alguns casos

de desprezar essa segunda contribuição.

seja então o caso de se calcular o deslocamento

vertical do ponto B para a grelha com barras ortogonais e

seção transversal constante, vista em perspectiva na fig.

3. 24. a. Para esse estado de deslocamentos (o), os esforços

internos relevantes, M e T , constam das fig. 3. 24. b e c, o o

respectivamente.

E = 200 lf /cm2

G= 90 t1/cm2

l = 200 000 cm4

J 1= 100000 cm4

'ª,

Mo

( lt m)

( b)

lo (lf m)

(>o horário )

1 e l

Fi9 . J .24 - Exemplo J - Estado de deslocamentos 1 o l

o estado de forças ( 1) conveniente para calcular o

deslocamento vertical do ponto B, positivo se orientado para

baixo, consta da fig . 3. 25 .a. Nas fig. 3. 25 .b e c, estão

anotados os esforços internos relevantes M l

e

91

respectiva11ente.

Tl e t, m 1

(>o horciriol

1 a 1 e b 1 1 e 1

F iCJ 3 25 ·- Exemplo 3 - Estada de forças 1 l I

Impondo o estado de deslocamentos (o) ao estado de

forças (1) tem-se, do P.T.V.:

+

J M

o MI EI ds +

eatr J

T o

T1

GJ ds t

e e t r

Para o caso particular de seção transversal constante:

~ VB

1 EI E

o

T T ds 1 o

Utilizando convenien.temente a TABELA 1:

1 1 • 2. 2.~3-· 2,00.3,00 +

200. 200000 .10- 4

1 • 3.2,00.3,00

90 .100000 . 10-4

92

~VB 0,0020 + 0,0200 0,0220 Ili 2,20 cm

Observe-se que a parcela do deslocamento provocada pela

torção é significativamente grande comparada com a devida a

flexão; essa grelha em particular é muito flexível à

torção.

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94

CAPfTU..O IV

O PROCESSO DOS ESFORÇOS

4.1. CONSIDERAÇÕES GERAIS

o processo dos esforços é certamente o processo mais

siaples para resolver estruturas hiperestáticas, rompendo a

indeterminação dos esforços internos e

tipo de estruturas. Numa estrutura

das reações nesse

hiperestática as

condições de equilíbrio não são suficientes para determinar

esses esforços internos e reações: existem infinitas

possibilidades de se ter equilíbrio, donde a necessidade de

se gerar equações adicionais, provenientes de hipóteses

adicionais, para resolver o problema: essas equações

adicionais se caracterizarão, no caso da estática clássica,

como condições de compatibilidade, ou condições de coerência

de deslocamentos, donde a ênfase que se deu, no capítulo

anterior, ao cálculo de deslocamentos.

O processo dos esforços se caracteriza essencialmente

por se procurar determinar esforços em número igual ao grau

de indeterminação estática, ou grau de hiperestaticidade;

conhecidos esses esforços, arbitrados como incógnitas

hiperestáticas, com as condições de equilíbrio se determinam

os diagramas de esforços internos e as reações.

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