Processos Gerais Da Hiperestática Clássica - Cap IV Parte 1a

8/18/2019 Processos Gerais Da Hiperestática Clássica - Cap IV Parte 1a

1/20

UNIVERSIDADE

DE SAO PAULO

ESCOLA DE ENGENH RI DE

SAO

CARLOS

i

t f

m

l l i i l l l l \ J I l l l JJ

0 ~ 6 3 ~ 2 0 0

. . . 11-711,18

0 634

t fm

o )

b )


2/20

UNIVERSIDADE DE SÃO PAU LO

Reitor:

Roberto Leal

Lobo

e

Silva

Filho

Vice Reitor:

Ruv Laurenti

Obra produzida

na Escola

de Engenharia

de

São

Carlos

EESC

Composição

e Edição:

CETEPE

Centro

de

Tecnologia

Educacional para

Engenharia

da

EESC

Impressão:

Serviço Grâfico da

EESC

ª edição 1995

UNIVERSIDADE

DE SÃO PAULO

ESCOLA

OE

ENGENHARIA DE S O CARLOS

PROCESSOS

GER IS

DA

' .

HIPEREST TIC

CL SSIC

JOÃO CARLOS

ANTUNES DE

O E

SOUZA

HELENA M. C. CARMO ANTUNES


3/20

TOOOS 5

DIAEITOS RESERV DOS Nos

termos da

Lei

que resguarda

os

Direitos Autorais, é proibida

a

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de

fotocó

pia e de gravação -

sell

per•lssão,

por

escrito, do(s) autor(es) .

Catalogação na

Fonte

- Se r

viço de Bibl

i

oteca da

EESC - USP

S729p

SOUZA João

Carlos Antunes de OI

iveira

e

Processos

gerais

da hiperes tát ica

clãs

sica/Joâo

Carlos Antunes

de

OI i

ve

i ra

Souza, Helena Maria Cunha do Carmo

Antu

nes.

São

Carlos:

Escola de Eng

enharia

de

São

Carlos, Serviço Gráfico,

1992.

346p.

ISBN 85 -

85205

-02

- 4

1. Estruturas - Estát ica 1. Ti tulo.

C

- 624 .1 715

PREFÁ IO

Er. te l i v r o

como

o já publicado Processo

de

Cross e os em f a se de preparação Técnicas Computacionais

na Es t á t i c a

das Est ruturas

e I n t rodução à

I so s t á t i

c

a

pre tende t e r um

ca rá t e r didát

i co, apresentando

os tópicos

t r a t ados

se m cornpl cações

desnecessár ias ,

mas

senrlo

en t r e t an t o , c onscientemente prol ixo como muitas v e r.es o

processo

de ensino

ne

c e s s i t a s e r .

Os

proce

s sos

aqui

t ra tados

são

ge r a i s

t an to no

aspecto d apl icabi l idode

a

qua lque r

t i po

de

e s t r u t u r a s quanto no de poderem

s e r

encarados

como

va r i ações duais de

woa

mesma

idé ia ;

correspondem a a lguns d os

temas

abordados

na

d i sc ip l ina

Es t á t i c a das Est ruturas na Escola de Engenharia de São

ca r lo s ,

a

par co

m

processos

de us o r es t r i to , como os de

Cross de Propagação,

an t

ecedendo t odo o desen vo lv imento

m a t r i ~ a l vi sando a programação em computador.

São Carlos março de 1992

Os Autores


4/20

r

N D 1

e

E

1. 1

NT

ROOUÇÃO · · · • · · · · · · · • · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

l

1 . OBJETIVOS l.ERA IS

• • . . . . . . • . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . 1

1 2 . ESTRUTLJRllS LI NF ARF S . . . . . . . . . 2

I .3 .

O MÉTODO

CLÁSS

TCO

2

1 li ~ [ J l F . H P n ~ ; 1 ç i i o IW F

FE

o ~ : 7

2 O PR

NCfP

O DOS

TR

ARALHOS RTLJA1S F SUAS

API

1

CACõFS

9

2 . 1 . CONSTDERAÇÕFS

GF

RAIS

• • • • • •

••

9

2 . 2. o PRINC1

PIO

Dor; THABALHOS VIR fl l l \ IS . . . . . . . . . . . J

2 . 1 . POSSIBILIDADES DE J\PLICAÇÃO DO

PRTNCiPTO

DOS

TRABALllOS V IR Tlll\ I S . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 l

2.1 .1 .

Cálculo

de

deslocamentos em

e s t ru tu ra s

i s o s t á t i c a s

. .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

22

2 . 1 . 2 .

Seleção de

uma equação de

e qu i l í b r i

o

numa

e s t r u t u r a i s o s t á t

i

ca

. . . . . . . . . . . . .

27

2 .1 l

o t eorema

da

r ec ip roc idade

d o s

t rabalh o s

ou

Teorema de

Bet t i

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2 .3

.

4 .

O

t eo rema da r ec ip roc idade dos des loca

mC ntos

ou

Teorema de

Max

wr l

1 . . . . . . . . . . 34

3. C LCULO DE

DESLOC MENTOS EM

ESTRUTUR S ISOST T IC S

US

UA i S

37

3 . 1 .

CO

NSIDERAÇÕE

S GERAIS

. • . • . . . • . . . . .

• • •

. . . . . • . . . 3 7

3 . 2 . DESLOCAMENTOS

EM TRELIÇAS

PLANAS IDEAIS • . . • . .

38

3 . J .

3 . 2 . 1 . A t r e l i ç a plana

id e a l . . .

. .

. . . . .

38

J .2 .2 .

Exemplo

l

J . 2 .3

.

Exemplo

2

DESLOCAMENTOS EM

USUAIS

E

ST

RU

TURAS

PLANAS FL

ETIDAS

J . J .1 . Es t r u t u r a s p lanas

f l e t i da s

usuais .

. .

l . J . 2 . Exe mp l o l In t eg ração a na l í t i c a . . . . . .

40

4 9

55

55

63


5/20

3

3

3

Exemplo 2

-

In tegração

numér ica .

......

3 3 4 Exemplo

3

In tegração

u t i l iz a n d o t a b e l a s

3

4 DESLOCAMENTOS

M

OUTROS

TIPOS DE ESTRUTURA

. ..

3

4 .1. o u t r o s Tipos

us ua i s

de es t ru tu ra

3 4 2

Exemplo

1

- Pór t i c o a t i r a n t a d o .

.......

3 4 3

Exemplo 2 Viga com

vínculos

e l ás t i co s

3 4 4 Exemplo 1 Gre lha

.

- -

-

.

-

4 O

PRO ESSO

DOS ESFORÇOS • · · • • · • · · • • • • · · · • • • • · • • • • · ·

4 1

CONSIDERAÇÕES GERAIS

............•..

•

.........

4 2 O PROCESSO OOS ESFORÇOS APLICADO

A

VIGAS .....

4 2 1

Detalhes c a r a c t e r í s t i c o s das

v i ga s

• . .

4 2 2 Exemplo

1

.•.•.........................

4 2 2 1

Resolve r

a

viga submetida ao

carregamento

dado . . . . . . . . . . .

4 2 2 2

Resolve r

a

viga

submetida a

uma

66

72

84

84

84

87

90

95

95

101

101

103

104

va r i a ç ã o de

t empera tura

...••.

114

4 2 2 1 Resolver a v i ga submetida are

calques de apoio.............

121

4 2 J Exemplo

2 •.........

...••.. • • ....... .. 128

4 3

O PROCESSO DOS ESFORÇOS APLICADO A PóRTICOS

PLANOS

4 3 1 Detalhes carac t e r í s t i co s

dos

p ó r t i c o s

planos

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. .......•....

4 .

3

2 Exemplo 1 ..•....................•.....

4 3 2 1

Resolver o pór t i co submetido ao

carregamento dado

•.•.........

4 3 2 2 Resolve r o pór t i co para e f e i t o

de reca lque de apoio ........

4 1 2 3 Resolver o p ó r t i c o pa r a e fe i t o

de var iação de t empera tura ...

4 . 3 . 3 .

Exemplo

2

•.•................

.

.........

4 4

O PROCESSO DOS ESFORÇOS APLICADO A GREI J{AS ...

134

134

136

138

142

144

149

1

57

4 4 1 .

Deta lhe

s carac t e r í s t i co s das qre lhas .. 157

4 4 2

xemplo

1 . .... . .

.. .

. -

· · · · · · ·

4 4

3

xemplo 2 . . . . ..... - - · · · · · · · · · · · · · · · · ·

4 .

4 4 Cálculo de gre lhas

desprezando a r ig idez

à t o r ç ã o

das

bar

ras

.. .

.

.. .

. .... .

·· ·

· · ·

4 4

5

Exemplo 3 ......... . .... .... .. .... .

4

5

O PROCF.SSO

DOS

F.SFORÇOS APLTCADO

AOS ARC OS . . .

161

165

169

176

181

4 5 1

o

que

c a r a c t e r iza

um arco

. . . .....

181

4 .

;,>.

J

i pos

u ;11;i i s

de

a r-co ;

.

• .

4

5 . 3 .

Exemplo de def in

.i

ção de eixos de a r cos

4 5 4

Fo rmu lár io s pa ra a r

co

s h i perestáL ic os

usua i s .. . .

........ ....

- · · · · · · · · · · · ·

4 5 4 1 Convenções

.. .

. .. . .. .. . .... . . .

4 5 4 . 2 Arco b i a r t i c u l a d o s i mé t r i c o . .

4 5 4 3

.

Arco

a t i ran tado

s i mé t r i c o

. .

4 5 4 4

.

Arco biengas tado s i mé t r i c o

4 5 5

Caso

s usuais

de

in te g

r ação

em

a rcos

4

5

6 .

Exemplo

1

-

In tegração an a l í t i ca

.....

4 5 7 . Exemplo 2

- In tegração numérica

4 5 8 Exemplo 3

-

Variação imposta de

EI ....

4

5

9 .

Exemplo 4

-

Arco pr ismát ico

por

t rechos

4 5 10 Exemplo 5

-

Adaptação para

pór t i cos

s i mé t r i c o s

4 5 11 0bservações adic iona i s . ..... . .. . . .

4 6 O PROCESSO DOS ESFORÇOS

APLI

CADO ÀS l REI. IÇAS

PLANAS IDEAIS

. ........ .............

.....

.

4 6

. 1 .

Detalhes

ca

r a c t e r í s t i cos

da

t r e l i ç a

plana idea l ..

. . . .

..

.

.

.....

. .. .

.

..

4 .

6 2

Exemplo

l .

.. .

. .

.. ..

. .

.. .

.....

. · · · · · ·

4 7 O PROCESSO

OS

ESFORÇOS APLICADO A ESTRUTURAS

MISTAS

.........

. .

.. .

.....•

...........

.

.....

4 7

l.

Est ru turas mistas usuais . . .. . . ...... . .

4 . 7 . 2 Exemplo l - Viga sobre

apoios

e lá s t i co s

4

7 3

.

Exemplo

2 -

Pór t ico t r e l i ç a d o .. .

. .

··

1 87

188

188

1 90

1 95

199

20

8

209

215

223

229

234

240

246

246

2

48

255

255

255

260


6/20

5. O PROCESSO DOS

DESLOC MENTOS

• • • • · · • • • • • • • • • • · · · · · ·

267

5 1

CONSIDERAÇÕES

GERAIS

5 .

2 .

EXEMPLO DE

APLICAÇÃO

5 . J

EXEMPLO DE

APLICAÇÃO

5 . 4 .

EXEMPLO

DE

APLICAÇÃO

5 .

5 .

EXEMPLO DE

API.ICAÇÃO

.............. .

............

A

VIGAS

. ..................

A

PóRTICOS

.

..............

A

TRELIÇAS

PIANAS

IDEAIS

A

GRELHAS

. .

-

.......

'

267

273

277

284

289

6. O

PROCESSO

M 1STO • . . . . • . . . • • . . . . . . • . • • . . . • . • . • . . . . . 297

6 . 1 . r;oNSIDERAÇÕES GERAIS

•• • •••

297

6 . 2 . EXEMPLO DE

PÓRTICO

PLANO 302

7.

Sltvf>LIFICACOES

DEVID S A SIMETRIA·· · · · · · · · · · · · · · · ·

7 . 1 . CONSIDERAÇÕES GERAIS

• •

7 . 2 .

REDUÇÃO DA

ESTRUTURA • • . • .

7 . 3 . EXEMPLO

1 -

PÓRTICO

PLANO SIMÉTRICO

• • • • • •

.

7 . 4 . EXEMPLO

2 - GRELHA

COM

DOIS EIXOS

DE SIMETRIA.

7 . 5 . EXEMPLO

3 - VIGA VIERENDELL

8.

BIBLIOGR FI

· · · • • · • • · · · · . • . . . . . • . . • . . • • • • •

• • • • • •

309

309

312

318

324

333

339

PROCESSOS GER IS D HIPEREST TIC

CLÁSSIC

C PITULO 1

INTRODUCÃO

1 .

l . OH ,J E

'

I VOS G

ERAJS

Esta

publ icação pretende

t e r

um cará t e r d idát ico

de

in t rodução à h ip eres t á t i ca c l áss i ca

de

es t ru tu ras l i n eares

discut indo

hipóteses

de cá lculo

, c

omportamento

df

es t ru tu ras

e

s impl i f i cações

gera i s

para

es t ru tu ras

usua i s u t i l i zando

process os

de c á l c u l o muito

simples

mas

apl icá ve i s a

qua lquer

t i p o

de

es t ru tu ra l inear .

Os

pro

c

essos

aqui

t r a t ados

,

que poderiam

se r

c

olocad

os

c omo um ún i c o pr oc

esso

gera l

de

solução

de

uma es t ru tu ra a

par t i r

de

out ra su p

o

s t a conhe

c

ida incluem

o

processo dos

esforços

o

dos deslocamentos

o

mist

o . o

pro

c

e ss

o do s

esforços tem um cará t e r apropr iado para

uma in t rodução

à

h ip eres tú t i ca

permi t indo

em sua

ci.plicação mais s imples

reso lver es t ru tu ras h ip eres t á t i cas

reca indo no

c á l c ulo

e lementa r de

es t ru tu ras

i sos tá t i cas .

O p ro

cesso dos

desl oc a me nt os , dua l do an t e r io r ,

tem como maior

v antagem a

sua s i mplic idade o que o

torna

ideal

para

uma

pos te r ior

automatiza

ç

ão

c

omputacional

;

resolve

es t ru tu ras

h i p e r e s t á t i

c

as reca indo

no c

á l

c ul o

de

s t r u t u r ~ s

com

maio

r

grau

de

hiperestat ícidade

mas mais

simples , e ventualmente

a té tabeláveis . O processo misto

tem

apenas o cará t e r

demons t ra t ivo de

uma genera l i z

ação de

idéias , sendo

vantajoso apenas em a lguns c

asos

p ar t i cu l a res .

Todos os inúmeros processos p ar t i

c

ulare

s ,

apl i cáve i s só

1


7/20

8

C PfTULO li

O PRINCIPIO

DOS

TR B LHOS VIRTU IS E SU S PLIC CõES

2.1 . CONSIIJEHAÇÕES GERAIS

O Pr inc ípio

dos Trabalhos Virtua is

ou Teorema

dos

Trabalhos Virtua is doravante apel idado

de P.T.V .

é

o

único

teorema da

energ ia

realmente essencial

ao

desenvolvimento

de

toda

a

es tá t ica

c

l á s s i

c a ;

diversos outros teoremas que

venham, por questão de s ín t e se

a

se r u t i l i z a dos serã

o

demonstrados

a

p a r t i r

dele .

As

condições

de equ

i l i b r io

podem

se r

demonstradas

a

p a r t i r do P.

T. V. ou o

P.

T . V. pode se r

demonstrado,

agora

como teorema

não

como

princ ip io

a p a r t i r

das condições de

equil íbr io ; optar-se -á

por

es ta úl t ima versão,

por

mera

questão de

se

t e r em gera l

uma

previa

ass imilação ,

em

cará te r

mais

in tu i t iv o

das

r e lações

de e qu i l í b r io

.

A

u t i l i da de essencia l do

P.

T.

V.

será

a

de

permit i r

in te ressantes transformações

de problemas eminentemente

geométricos

em

problemas

es tá t ico s

e

vice-versa

fornecendo

alternativas extremamente

simples

e e f i c i e n t e s em diversas

si tuações

.

2.2 . O PRINCÍPIO DOS TR B LHOS VIRTUAIS

Seja

defin ida

uma

e s t ru tu ra

l in ear qualquer e es te jam

defin idas suas

vinculações , i s to

é suas

l igações

in te rnas

e

vínculos

externos .

Seja um es tado de forç

as

a) sobre

essa

e s t r u ~ u r a

com


8/20

CAPíTU O

CÁLCU O DE

OESLOCAtvENTOS

EM

S T R U

ISOSTATICAS

USUAIS

3.1. CONSIDERAÇÕES

GERAIS

Conforme

di scut ido no capi tu lo I I , i tem 2.3 .1 , dado um

es tad o de

hipóteses

deslocamentos

b ) , r ea l

mas

sa t i s fazendo

as

do

Método

deformações dub,

dvb e

coapr imento ds s i tuado

Cláss ico , conhecido a p a r t i r das

d ~ b de um elemento

in f in i te s ima l

de

numa posição genér ica I, provocadas

por

uma

causa f í s i ca

qualquer , é p o ss ív e l u t i l i z a r o

P.T.V.

para ca lcu la r

qualquer t i p o

de

deslocamento

dos

pontos da

e s t r u tu r a .

Para i s so

c r i a -

s e

ua es tado de fo r ças

(a) , com

forças

ex te rn as

convenientes e cri ter iosamente

esco lh id as

de forma

que,

se

s e

impuser

o

es tado

de

deslocamentos

b)

ao

es tad o

de forças ( a ) ,

seu

t r aba lho , o t rabalho

ex te rn o

, s e j a

exatamente i gua l ao deslocamento que se que r medir . Se a

e s t r u tu r a for

i s o s t á t i ca ,

t e r - s e - á waa única dis t r ibu ição de

es forços

in te

:rnos , tendo-se, em

.§.,

N , V• e M .

Do

P.

T. V. ,

então, t e r -se-á :

T

••l

T

l n l

ou:

T

J

N

du

J

V

dv

M

d.b

(3 .1)

•

b

•

b

•

•

l

e •

r

ealr

••tr

O que

se

pretende, em

todo

o t r anscor re r des te

capi tu lo

I I I ,

é

d e t a l h a r a aplicação da expressão (3 .1) , tan to para o

37


9/20

9

CAPITU O

V

O PROCESSO DOS ESFORÇOS

4.1 .

CONSIDERAÇÕES GERAIS

o processo dos esforços é certamente o processo mais

simples

para r e so lve r

es t ru tu r as h ip eres tá t icas

rompendo

a

indeterminação

dos esforços in te rnos

e

es t ru tu r a

das reações nesse

h ip eres tá t ica as

ip o

de es t ru tu r as .

Numa

condições

de

eq u i l íb r io

não

são su f ic ien tes

para determinar

esses esforços in te rnos

e

reações ; existem i n f in i t a s

poss ib i l i da de s de se t e r

eq u i l íb r io donde a

necess idade

de

se ge ra r

equações

a d ic iona i s provenientes de

hipóteses

a d ic iona i s para r e so lve r

o

problema; essas equações

adic iona is se c a ra c t e r i z a rã o no caso da es tá t i ca

c l á s s i c a

como condições

de

compat ib i l idade ou condições de

coerência

de

des locamentos donde a ênfase que se

deu

no c a p í tu lo

an te r io r

ao cá lculo de des locamentos .

O

processo

dos

esforços se

carac te r iza

essencia lmente

por

se

procurar

determinar esforços

em número igual

ao

grau

de indeterminação es tá t i ca ou grau de h ip eres ta t ic id ad e ;

conhecidos esses esforços a rb i t rados como incógni tas

h ip eres tá t icas com as condições de eq u i l íb r io

se

determinam

os diagramas de

esforços

in te rnos

e

as reações .

95


10/20

Existem dive rsas pos s ib i l idades de se formular esse

processo dos esforços , part indo de diversos teoremas da

energ ia , explorando

mais

di retamente o P.T.V. na geração das

condições adic iona i s de

compat ib i l idade,

ou

então

explorando

ao máximo a

superposição

de

efe i tos com

o uso ind i re to do

P.T.V.

no

cá lcu lo de

deslocamentos. Dada a clareza e a

simpl icidade dessa ú l t ima versão, sem

que

haja qualquer

perda

de

general idade

no

t ratamento

de

problemas da

es t á t i ca

c láss ica , opta r - se -á

por

ela no

decor re r des te

capí tu lo ;

mais

ainda, aqui serão

re so lv idas es t ru turas h ipe res tá t icas

recaindo no cá lcu lo de es t ru turas i sos tá t i cas , conhecidas e

solucionáveis só com as condições de e q u i l í b r i o ;

nada

impedi r ia ent re tan to que se resolvesse

es t ru turas

h ipe res tá t icas recaindo no cálculo

de

out ras es t ru turas

h ipe res tá t icas mais simples , de

cá lcu lo supos to

conhecido,

onde já t ivessem ent rado, além das condições de

equi l íb r io ,

também

algumas

condições de compat ib i l idade.

Se j a o

caso então

de se re so lve r uma es t ru tura com grau

de

hipe res ta t ic idade

n,

submetida, num problema

r ) ,

rea l , a

uma

so l ic i tação

externa qualquer . Ret i rando-se n

vínculos ,

de t a l forma que a es t ru tura r e su l te i sos tá t i ca , o problema

r ) não se a l t e r a desde

que

se subst i tuam es ses vínculos

pelos

n

esforços

correspondentes

F , F , • • . , F ,

• • •

, F .

1 2 J n

Esses esforços

são

de

i n í c io desconhecidos, incógni tos , mas

qualquer

que se ja o seu va lor

haverá

e q u i l í b r i o j á

que

se

manteve a

es t ru tura

como

i sos tá t i ca .

O problema

r ) ,

rea l ,

pode

ser

pensado

agora como um

conjunto

de so l ic i tações numa es t ru tura

i sos tá t i ca ;

esse

conjunto i n c l u i r i a ,

além da so l ic i tação externa,

também cadâ

um dos F

J

Valendo

a

superpos ição

de efe i tos , esse

problema

r ea l

r)

pode

s e r

expandido numa soma de problemas

sobre

a mesma

e s t r u tu r a i sos tá t i ca ,

cada

um dos quais

correspondendo

a uma

dessas so l ic i tações ; assim, a so l ic i tação externa es t a r i a

96

computada sobre a es t ru tura i sos tá t ica ,

chamada

de es t ru tura

básica, num problema chamado (o) ; a

esse

problema

deveriam

ser

superpostos problemas

correspondentes

a

aplicação

de

cada um

dos

F , separadamente; valendo a

J •

F

superposição

de

e fe i tos , entretanto, o valor numérico

de

J

pode

ser

colocado em

evidência, e se r ia superposto

um

problema j ) , correspondente a uma carga uni tá r ia na

direção

e sent ido

de

F

1

,

mult ipl icado pelo

valor

numérico de

F, .

Assim

0

problema

real

hiperes tát ico r) pode

ser

colocado

como uma combinação

l i nea r de problemas

formalmente:

i sos tá t icos ;

que,

r )

o ) +

F (1) + + F j ) + + F

0

(n)

1

J

4 . 1 )

o

que

se pretende dizer com a expressão formal (4 .1)

é

para qualquer

e fe i to

E

(carga, deslocamento,

esforço

interno,

deformação, e tc

) tem-se

que:

E

E

r

o

F E

1 1

C

onhecidos E , E , • • • , E , • • • , E ,

4 .

2)

por se

t ratarem

o t J n

de e fe i tos

de

causas determinadas em

estruturas

isos tá t icas ,

o problema

é

só o

de

determinar os F

1

•

a

equação 4 . 2) ,

observe-se

que se

t e rá uma

equação

envolvendo

os F toda

vez

que se

conhecer

alguma coisa do

J

problema

real r ) ;

ora ,

sabe-se do

problema

real

r )

que

os

vínculos

re t i rados

existem, ou

tudo deve

se passar como se

exist i ssem,

i s to

é ,

os deslocamentos na

di reção

dos

vínculos

re t i rados

são

definidos ,

nulos

ou

não,

mas def in idos.

Chamando de o deslocamento na

di reção

e sent ido de

Jk

k) ,

essas

condições de deslocamento

FJ no problema

presc r i to , ou de

compatibi l idade,

ou

de

coerência

de

deslocamentos ,

poderão se r escr i t as ,

levando

em

conta a

4.2) ,

como:

97


11/20

c c

+

F

c

+

•• •

. +

F 5

+

...

+

F 5

1 r 10

1

11

J

1

J

n

1

n

c

c

+

F

c

+

. .

+

F c

+

+ F

c (4 . 3 )

J r

Jo

1

J l

J J J

n

J n

.

.

.

c

c

+

F

c

+

. . .

+

F 5

+

...

+

F

c

n r

no 1 n l

J

n J

n

nn

c presc r i tos e

os c , p/k

=

O;

1 ; • • •

; n,

Jr Jk

Sendo os

deslocamentos

s is tema

l i nea r

ca lcu la r os F •

em

es t ru turas i sos tá t icas , a solução do

4 • 3 ) .

de

n equações a n incógnitas

, penni e

J

Tendo os F

1

, o

poderia se r

pensado

problema (

r )

, que, como se di s se ,

como

i sos tá t ico ,

es ta rá plenamente

reso lv ido .

Convém observar

ainda

que no

cá lcu lo

dos

deslocamentos

c Jk do es tado de

deslocamentos

( k ) , correspondente ao

problema

(k) ,

o

problema

( j )

é

exatamente

o

es tado

de

forças

conveniente

para ca lcu la r

esse deslocamento

na direção

e

sentido

de F

1

, com o P.T.V ••

Convém observar tambéa

que

os esforços F

J

correspondem a

qualquer

t i po

de

vínculo, externo ou

in terno;

o único

requi s i to

básico é que,

para preservar

as condições

de

equi l íb r io ,

ao serem

re t i rados esses

vínculos a

es t ru tura

deva r e su l ta r i sos tá t ica .

Seja o caso, por exemplo, de r eso lv er a viga com grau

de hiperes tat ic idade igual a 2, da f ig.

4.1 .

Fig 4.1 -

Exemplo

98

Escolhendo como in có g n i tas

hipe res tá t icas

os es fo rço s

correspondentes as reações nos dois apoios i n t e rnos , i s t o

é ,

re t i rando os dois v ínculos correspondentes a esses

apoios

e

subs t i tu indo-os pelos esforços correspondentes , t e r - s e - i a ,

para re so lve r

o

problema (r)

correspondente a

viga da f ig .

4.1,

o

esquema

de

solução da

f ig . 4.2 :

r l

Ili

~ p

r)

0)

ll

Fig 4 . 2 -

Esquema

de saluçilo

para

o

exemplo

Com

esse

esquema de solução,

formalmente se co locou:

(r)

99


12/20

Co condições de coerência de

deslocamentos t ea -se :

o

o

ou então:

{

o

=

1 0

o

2 0

F

1 1 1

F

2 1 2

F

1 2 1

F

2 2 2

Calculados os Jlt e reso lv ido o s is tema de equações

t ea -se F

1

e F

2

; tendo F

1

e F

2

a solução do probleaa

r )

rea l ,

consis te

apenas

em

reso lver

o problema i sos tá t ico da

f ig . 4 .

3 .

Fi9 3

Problema

real isostdtico

Essa i dé ia é ap l icáv e l a qualquer

t ipo

de

es t ru tura ,

fazendo-se

n ecessá r ias

apenas algumas cons iderações sobre a

determinação e s t á t i c a de casos par t i cu la res de es t ru tura e

sobre

t écn icas de cá lcu lo

de deslocamentos;

nos

i t ens

subsequentes

além

dessas considerações

se

procuraril

d i s c u t i r cada t i po de es t ru tura e sua função cada t i p o de

so l i c i t ação

capaz de provocar esforços

in te rn o s

e as

d iv er sas p o ss ib i l id ad es

de solução; além dos carregamentos

externos, como se verá, inúmeros outros t i pos de so l i c i t ação

poderão provocar esforços

in te rn o s ,

o que não acontece com

100

as es t ru turas i sos tá t icas ; recalques variação de

tempratura

r e t r ação

do

mater ia l ,

defei tos de

fabr icação ,

e tc . • . afetarão muito mais

as

es t ru turas h ipe res t á t i cas que

as i sos tá t icas , onde esses fenômenos só

provocam

a

deformação l iv re da

es t ru tura .

4.2 . O

PROCESSO DOS

ESFORÇOS

PLIC DO

A VIGAS

4.2 .1 . Detalhes

ca rac te r í s t icos

das vigas

Uma viga é d ef in id a como uma es t ru tura plana s imét r ica

em relação a um

plano

com eixo

aproximadamente

r e t i l íneo ,

cargas normais ao eixo , no plano e vínculos

que

não

introduzam

so l i c i t açôes ax ia i s .

Do ponto de vis ta da determinação geométrica da posição

das

d iv er sas chapas

i n t e r l igadas que

co n s t i tu i r iam

uma

viga,

cada

chapa n ecess i ta

de dois vínculos

normais

ao eixo e no

plano

para

f ixa r

sua

posição .

Do

ponto de v i s t a da determinação e s t á t i c a

dos esforços

in ternos

e

reações

na mesma chapa dispõe-se

apenas

de

duas

equações

de equi l íb r io

relevantes ,

com as quais se

determinariam os esforços

nas

barras que

vinculam

as chapas .

A f ig .

4.

4 contém um apanhado de vinculações

em

suas

representações usuais

e o

seu

s ig n i f icad o

em

termos de

barras v inculares equivalentes .

Assim uma viga cons t i tu ída por g

chapas

i n t e r l igadas

por

R barras v inculares ,

poderia se r c las s i f i cada em

termos

de

determinação

geométr ica

dependendo da

relação de Q

para

Q

da

seguin te

forma:

b

<

2c

b

2c

b

> 2c

viga

geometr icamente indeterminada

viga geometr icamente determinada

viga

geometr icamente

superdeterminada

101


13/20

ENGASTAMENTO

1

l l

APOIO

FIXO

j

·

MÓVEL

Jt

1

POIO

'

ARTICULAÇÃO

---,__

CONTINU 1OAOE

u

Fi9 4 4

Vinculações equivalentes em

vi9as

Similarmente

se poder ia fazer também a class i f icação do

ponto de

v i s t a

da determinação

es tá t i ca :

b

<

2c

b 2c

b > 2c

viga

hipos t á t i ca

viga

i s o s t á t i ca

viga hiperes tá t ica

o in teresse

na es t á t i ca

c láss ica se r es t r inge

apenas

aos

casos em que b 2c. Se b =

2c

a es t ru tu ra é

geometricamente

determinada e i sos tá t ica : se b

> 2c, sobra•

vínculos : o

número

de

vínculos

que sobram é chamado

grau de

hipe res t a t i c idade

ou grau de

super-de te rminação

geométr ica .

Essa contagem de vínculos não é sempre conclus iva por

depender do

posicionamento

dos vínculos :

além

di sso , convém

observar

que se

uma es t ru tu ra

fo r

geometricamente

determinada

e la

se rá i s o s t á t i ca para qua lquer carregamento;

en t r e tan to , mesmo geometricamente indeterminada

e la

poderá

ser i sos tá t i ca ,

óu

mesmo hiperes tá t ica , para par t icu lares

102

carregamentos.

Seja , como exemplo, o caso de

hipe res t a t i c idade h da

viga

da f ig

equiva len tes estão detalhadas na f ig .

o

1

determinar o grau de

4 .5 .a . As vinculações

4 .

5

. b .

:: ..

1a1

7

1b1

1

Fig

4 5

E emplo de

cálculo

do 9rau de hiperestat ic idade

Da

f ig .

4 .5 .b ,

tem-se:

c

2

b

2c

4

n

b = 6

onde b é o número de

barras vinculares necessár io

para

a

n

determinação geométrica ou

es tá t i ca .

Sobram por tanto

dois

vínculos e então:

h 2

ou, o grau da hiperesta t ic idade

da viga

é igual a 2

4 .2 .2 .

Exemplo

1

s e j a a viga em

p e r f i l único

de aço da

f ig .

4.6, que se

pre tende resolver de diversas maneiras computa ndo

os

efe i tos

de diversas

causas .

103


14/20

l

lt

m

r r1 r1 11 11 ITTTI

Á1

+ lOm

:A2

-+

E= 2

100

lf

cm

2

a=

i6

5

ºc-

1 .

lOm

lOm

I

=37000

4

h

=

46cm

F i9 . 4 .6 - Exemplo

l -

Estrutura e carregamento

4 .2 .2 .1 . Resolver a viga submetida ao carregamento

dado

Para r e so lve r

a

viga da f ig . 4 .6

submetida

ao

carregamento

esquematizado nessa mes•a f igura ex is t i r iam

i n f in i t a s

poss ib i l idades dependendo dos vínculos a s e r e •

re t i rados;uma la .

solução,

que ser ia

quase

uma tendência

natura l ser ia

obt ida

re t irando os vínculos correspondentes

aos apoios in te rnos ; uma 2a. solução, en t re tan to também

simples,

ser ia obt ida

re t irando os

vínculos que

t r ans• i tem

momento na viga

sobre

os apoios internos; essa úl t ima

solução

t e r á diversas vantagens

sobre

a primeira .

l a . SOWÇÃO

a

Esquema de

solução

Esse esquema, obt ido r e t i r ando

os

vínculos

carrespondentes

aos

apoios internos consta da f ig . 4.7.

104

ou:

1 1 1r 1r 1 1 1 1rm

ITIIllf 1 i 1 l lD

101

~ ~ ~ - - - - - - - - - - ~ , -

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 7 ? ~ 1 i . Ili

A

121

Fig . 4 7 -

Esquema

para a

i .

solução

Com esse esquema de solução formalmente se tem:

r)

=

o )

+ F 1) + F 2)

l 2

b Condições de

coerência

de

deslocamentos

o

o

+ F + F

1 0

1 11 2

1 2

o

+

F

+

F

2 0

l

2 1

2

2 2

o

105


15/20

c

Cálculo de deslocamentos

Para ca l cu l a r o deslocamento c na direção e sent ido

Jk

de

FJ

no

problema k )

tem-se:

estado

de deslocamentos problema k )

es tado de forças ~ p r o b l e m j )

Do

P . T . V. :

J

M.,

M

1

EI °

ds

•lr

Sendo EI

cons tan te

para

a

es t ru tu ra

e

prevendo

uma

par t i ção para

v iab i l i zar

o uso

da T BEL 1 :

Elc5 J li

o

M M

ds

J ..

Os

esforços

M

1

e

Mk

constam

da

f ig .

4 .8 .

para j 1 :

2 e k

,667

,667

Fi9 4 8 - Momentos f le to res nos

diversos problemas

106

o 1 : 2,

Com

o uso

convenien te da

T BEL 1:

Eic5

t o

1 1

10. - 3- . 6 , 667 .83 ,33

+

1 0 . -3 - .6 ,6 6 7 .1 2 ,5 0

+

+

10. [6 ,667 2 .83 ,33+66,67)

+

3,333 83 ,33+2.66 ,67) ]

+

+

l o . -} - .1 2 ,5 0 6 ,6 6 7 +3 ,3 3 3 )

+

lo . - -} - .3 ,333 .66 ,67

7083,3

Eic5

2 0

1 1

1 0 . -3 - .3 ,3 3 3 .8 3 ,3 3 + 10. - 3- . 3 , 333 .12 ,50 +

+

1 0 . - i - [3 ,333 2 .83 ,33+66,67)

+

6,667 83 ,33+2.66 ,67) ]

+

+

10. .12 ,so 6 ,667+3,333)

+

10.- -} - .6 ,667 .66 ,67

6666,7

Eic5

1 1

10 . --}- .6,667

2

+ 10. - i - 6 , 667

2

+6,667.3 ,333+

444,4

107


16/20

E H

22

EH

1 1

444 ,4

por

s ime t r ia )

EH

1 2

1 0 . - j - . 3 , 3 3 3 . 6 , 6 6 7

+

1 0 . ~ . [ 3 , 3 3 3 2 . 6 , 6 6 7 +

+3,333)

+ 6,667 6 ,667+2.3 ,333) ] +

10.

~ . 6 6 6 7 . 3 3 3 3

388,9

EH

21

EI6

1 2

388,9

pelo teorema de Maxwell)

d)

Solução

do s is tema de

equações

Mult ipl icando todas as equações

por EI a

solução

não

se

a l t e r a :

então:

l

083,3

+

444,4

F

1

+

388,9

F

2

6666 ,7

+

388,9

F

1

+

444,4

F

2

donde:

F

1

F

2

-12 ,000

t f

- 4 , 500 t

108

o

o

e) Kontagem de

r e su l tados

Depois de calculados F

1

e F

2

é

i n t e re ssan te r e s s a l t a r

que o problema

r ) é

i sos tá t ico , bastando

r e so lve r

a

viga

da

f ig . 4 .9 .a ,

determinando

reações ,

esforços , deslocamentos

ou

o

que

se quiser ; na f ig . 4.9.b

es t á esqúematizado apenas o·

diagrama

de momentos f le to res .

l t f m

o r11T trrrrrID

lo

b l

Fia 4 9 Montoaem de resultodos d i solução

2a. SOLUÇÃO

a) Esquema de solução

Esse esquema,

obt ido re t i rando os

vínculos que

transmitem

momentos f le to res

na

viga,

sobre

os apoios

internos, cons ta da f ig . 4.10 .

om esse

esquema de

solução

formalmente

se

tem:

109


17/20

EI6

22

EI6 444,4

por

s ime t r i a )

EI 6

1 2

1 0 . - } - . 3 , 3 3 3 . 6 , 6 6 7

+

1 0 . ~ . [ 3 , 3 3 3 2 . 6 , 6 6 7 +

+3,333)

+

6 , 6 6 7 6 , 6 6 7 + 2 . 3 , 3 3 3 ) ]

+

10.

~ . 6 6 6 7 . 3 3 3 3

388,9

EI 6

2 1

EI6

1 2

388,9

pelo

teorema

de

Maxwell)

d)

Solução do

s is tema de

equações

Mult ipl icando todas

as

equações por EI a solução

não se

a l t e r a ;

então :

083 ,3 + 444,4 F

1

+ 388,9 F

2

6666,7 + 388 , 9 F

1

+ 444,4 F

2

donde:

F

1

F

2

-12 ,000

t f

- 4 , 5 0 0 t

108

o

o

e) Kontagem de re su l t ados

Depois de ca lcu lados F

1

e F

2

é in teressan te r e s s a l t a r

que o

problema

r )

é i sos t á t i co ,

bastando re so lve r a

viga da

f ig .

4 .9 . a ,

determinando

reações ,

esforços,

deslocamentos ou

o que se

quiser ;

na

f ig . 4 .9 .b

es t á esquemat izado apenas º

diagrama de momentos f l e t o r e s .

l

t

f m

o-IJTJI -irrrn:m

lo l

lbl

Fig 4 9

Montagem

de

resultados

do i soluçao

2a.

SOLUÇÃO

a )

Esquema

de

solução

Esse esquema,

obt ido

re t i r ando

os v íncu los

que

t ransmitem

momentos f l e t o r e s

na

viga, sobre

os

apoios

in ternos ,

cons ta da f ig .

4.10 .

om esse

esquema

de solução formalmente se tem:

109


18/20

IT I In f

IJ I

l

I

l l

,A,.

A A

k

p Ili

U l l ~ ~

Ã

A ~ Í i F 2 ' ~

ITIJ

lÍilllITITD

4

:R: :: ::

.A..

'""'

+

Fl

J:R(( ::: :

.A.

77 7 ?

'

+

F2

:R:

')J/7'

Ã

' " '"

Fig

4 10 - Esquema

poro

o 2

l solução

b)

Condições de coerênc ia de

deslocamentos

c i

{

.

c i 1

r

2 r

o

o

ou:

c i +

F

c i +

F c i

o

1 o 1 1 1 2 1 2

c i

+

F

c +

F

c i

2 0

1

2 1

2 2 2

o

110

Ir

J

( r J

0)

11)

(

2)

e)

Cálculo

de deslocamentos

Para

ca lcu la r o

deslocamento c i

na

direção

e sentido

k

de F

1

no

t ratando

problema

k) , cont inua-se a t e r , mesmo em se

agora

de ro tações

l i nea r :

estado de

deslocamentos

estado

de

forças

DoP.T .V . :

1.c'i

J k

J

e s t r

M

k

M I

ds

re l a t ivas

e

não

problema k)

problema

j )

Sendo EI constante para a

es t ru tu r a :

E H

J k

o

M M

ds

J

k

deslocamento

Os esforços

M

e Mk,

constam da f ig . 4.11.

para j

1 ; 2 e k

O;

1 ;

2

K

,,

o

,.

o

;1f

- ' ' :e:._

1

F

ig

4

11

- Mo mentos

f let

o r

es

nos

diver so

s

problemas

111

M2

1ad

i

m)


19/20

com o

uso conveniente da TABELA 1:

E õ

1 0

Ei õ

20

Eiõ

11

E H

22

Ei õ

12

1 1

1 0 . ~ 3 - . 1 . 1 2 , 5

10 . -3- .1 .12 ,5

1

10 . - 3 - .1 .12 , 5

41,67

10 .

_ _3 .12

10

1 12

· 3 ·

6,667

E H

1 1

6,667

(por

s ime t r ia )

1,667

83,33

Eiõ

21

Ei õ

12

1,667

pelo

teorema de Maxwell)

d) Solução

do s is tema

de

equações

Mult ipl icando todas as

equações

por

EI a

solução

não se

a l t e ra ;

então:

{

3,33

6,667

F

1,667 F

o

1

2

41,67

1,667

F

6,667

F

o

1

2

donde:

F

=

- 11,67

t m

1

f

112

e) Montagem

de r e su l tados

Tendo F

1

e F

2

o problema agora é apenas de re so lve r a

es t ru tu ra i sos tá t ica

da

f ig . 4.12.a . Na f i g .

4.12 .b cons ta ,

como exemplo, o diagrama de M

.

1

tf

m

[l

l

1-

fl_J]

-

J lLITIJ

4 ) R t ) J t > - + ; - - ~ A

11,67

t1 m ~ l l 6 7 1 1 m 3 3 t ~

3,33

tf m

lo)

1b

-

-

. 12,50

12 ,50 Mrl t1m)

F ig

4 .12 - Montagem de resul tados da solução

Comparando

importância de

hiperes tá t icas ;

as

duas

soluções

é poss íve l

v e r i f i ca r a

se esco lhe r .

c r i t e r iosamente

as incógni ta s

aprovei tando o caso específ ico da viga

do

exemplo,

alguns

conselhos poderiam

ser

i n t e re ssan te s :

a Se

simétr icas;

a

es t ru tu ra

for

oportunamente

simétr ica ,

se verá

s is temat icamente

essa

s ime t r i a ,

mas

esco lhe r

como

mesmo

sempre

se

aproveitam cá lcu los que se repetem.

incógni ta s

aprovei tar

sem

i s so

b) Escolher

és t ru tu ras

básicas

próximas da rea l ,

evi tando que, como na la . SOLUÇÃO sejam

manuseados

es f or ços

de uma

ordem

de grandeza muito grande

para

obte r r e su l tados

muito pequenos. I s so acaba

acarre tando

a

necessidade

de se

t r aba lha r

com

um número relat ivamente grande de

algarismos

s ign i f ica t ivos para ev i t a r

ampliação

de e r ros

nos

resul tados.

113


20/20

c) Procurar

minimizar a in te r fe rênc ia de uma

incógni ta

nas ou t ras i s t o é

procurar

obte r predominância

dos e lementos a sobre os a para i - j .

11 . 1J

Com essa

minimização, obtida

ev i ta -se problemas

de

imprecisão na

com a 2a.

solução ,

solução

do

s is tema de

equações.

Assim,

só para

argumentar,

supondo

que

os

deslocamentos t ivessem s ido calculados com uma precisão

de

±

0 1 \ devida por exemplo ao arredondamento

de pa rce l a s i sso

poder ia

a c a r r e t a r e r ros na solução do s is tema e

que

seriam

d i feren tes

para

cada uma das

soluções: assim,

na

l a .

SOWÇÃO

i s so acar re ta r ia

um

erro possível de

±

3 5 \

.

para F

1

e ±

7 0 \ para F

2

:

já na

2a. SOWÇÃO esse erro

se r i a

d e ±

0 5 \ para

F

2

e ± 0 9 \

para

F

2

•

d) Procurar obter es t ru tu ras básicas

s imples ,

evi tando

que

se tenha diagramas de

es f or ços

internos

muito

compl icados .

No caso da

2a.

SOWÇÃO no diagrama de M

0

, em cada

tramo só

estar iam

envolvidas

as cargas

sobre

esse

t ramo:

já

na

l a .

SOLUÇÃO a carga em qualquer

tramo

afe ta r ia todos os

out ros .

4 .2 .2 .2 .

Resolver

a

viga

submetida a uma var iação de

tempera tura

Numa

e s t ru t u r a

i so s t á t i c a as var iações de tempera tura

só acarre tam deformações da es t ru tu ra sem gerar esforços

i n t e rnos o que

se

pode cons t a t a r

facilmente

com as

condições

de

equ i l íb r io

em

si tuação

de

carga

externa

nula:

já

nas h iperes tá t i cas

as vinculações

adic ionais

impediriam

esse

deslocamento l i v r e

gerando-se então

esforços

internos

e

reações

d i feren tes de zero.

Seja

o caso , no

exemplo,

de se

cons ide r a r

o e f e i t o de

uma var iação de tempera tura de â t 100°c para toda a face

s

superior

da

viga, e â t

1

= 2oºc

para toda a face i n f e r io r

assumindo, para

que

as seções planas

permaneçam planas ,

em

concordância com as h ipóteses

do método c láss ico

que ao

longo

da

a l tura haja var iação l inear

de

tempera tura .

a) Esquema

de

solução

Adotando

como

incógnitas

h iperes tá t i cas

os

momentos

f le tores

na viga sobre os apoios , conforme 2a. SOLUÇÃO do

i tem 4 .2 .2 .1 pode-se montar o

esquema

de solução da f ig .

4 .13 .

li

Is

li

5

li

t

Ir

l

.A.

llt i

.4

Liii

4

Liii

à .

I l i

li Is

)Rf

llt

5

):R

li s

Ir

1

A

l l t ;

l l t

Lili

A

Fl-

Fl

Fz ..._ . Fz

Ili

li

t

5

li

5

at

5

0 )

Á .

:R:

Jt

A

Lili

Lili

Lili

...... .. .

+

Fl

., \:-

- - ) - ~ > + - - - - - - - < : k

l

1

( ll

(

2

Fig 4

13

- Esquema para var i

ação

de t empera t u ra

com esse esquema de

solução ,

também:

115

formalmente

se

tem,

Processos Gerais Da Hiperestática Clássica - Cap IV Parte 1a

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