Produtos entre VetoresProdutos entre Vetores

Produzido pelo Prof. Dr. Luiz Francisco da Cruz

Março - 2009

2) u · v = 0

PRODUTO ESCALAR

Definição: Sejam u e v. O produto escalar entre esses

vetores, denotado por u · v , é um número real determinado

por u · v = |u|·|v|·cos, onde é o ângulo entre u e v.

Propriedades:

1) Comutativa: u · v = v · u, u e v

um deles é o vetor nulo ou se u e v são ortogonais ( = 90º)

4) (mu)·(nv ) = (m·n)·(u · v ), u e v e m e nR

5) ( u + v)·w = ( u · w )+( v · w )

3) u · u = | u |2

Expressão Cartesiana do Produto Escalar

Interpretação Geométrica do Produto Escalar

u

v

b

a

Sejam u e v dois vetores quaisquer. Então existe um vetor a paralelo a u e um vetor b ortogonal a u, tais que v = a + b.

Vamos determinar a projeção do vetor v na direção do vetor u.

PRODUTO VETORIAL

Definição: Sejam u e v. O produto vetorial entre esses vetores, denotado por u v , é vetor com as seguintes características:

Módulo:

Direção:

Sentido:

Ortogonal ao plano que contem u e v.

Regra da mão direita.

u x v = u v senθ

Propriedades do Produto Vetorial

Expressão Cartesiana do Produto Vetorial

i

kj

Interpretação Geométrica do Módulo do Produto Vetorial

Sejam u e v dois vetores não paralelos.

PRODUTO MISTO

Definição: Sejam u , v e w . O produto misto entre esses vetores é um número real, denotado e definido por:

Expressão Cartesiana do Produto Misto

Propriedades do Produto Misto

Lembrando que:

é a condição de coplanaridade entre 3 vetores. Logo:

Interpretação Geométrica do Produto Misto

Sejam u , v e w três vetores não coplanares.

Exercícios