Prof. Cesário

a + b = c

ab

1 – GRANDEZAS ESCALARES E VETORIAIS

Medidas como tempo, a carga elétrica, a massa,são identificadas apenas pelo seu valor ou módulo.

Grandezas como força, deslocamento, campo elétrico,Além de sua medida é necessário indicar uma orientação.

No primeiro caso, as grandezas são denominadas GRANDEZAS ESCALARES enquanto que no segundo caso são chamadas de GRANDEZAS VETORIAIS.

As grandezas vetoriais são representadas graficamente por um segmento

de reta orientado, a quem denominamos vetor.

Isto é um vetor.

A (origem)

B (extremidade)

v

Indicações:

Letra minúscula encimada por uma seta.

AB Origem e extremidade

B - A Extremidade - origem

2 - Características de um vetor

Módulo: comprimento do vetor que representa em escala a medida da grandeza.

Direção: reta da qual originou o vetor.

Sentido: indicado pela seta.200N, na horizontal para a direita

mód

ulo

dir

eçã

o

sen

tid

o

100 N

4 - O VETOR DESLOCAMENTO

Usaremos como modelo, para melhor entendimento, o vetor deslocamento,assim definido:

“deslocamento é o vetor que tem origem no ponto de partida e extremidade no ponto de chegada”

Tomando por exemplo, uma viagem de Conselheiro Lafaiete para Guarapari.

Usando (não aconselho) o trajeto indicadono mapa, a distância percorrida será de986 km.

Porém, o deslocamento é o vetor indicado,cujo valor é:

335 km, para leste.

EXERCÍCIOS

1 – Para ir à casa de sua avó, Maria fez o seguinte trajeto: (i) 5 quarteirões para o norte (ii) 3 quarteirões para leste (iii) 2 quarteirões para o sul (iv) 6 quarteirões para o norte (v) 3 quarteirões para oeste Qual foi o deslocamento (vetor) de Maria?

2 – O ponteiro dos minutos de um relógio mede 10 cm. Qual é o deslocamento do extremo desse ponteiro entre: (a) 2 h 30 min e 8 h 30 min? (b) 12 h e 18 h 30 min (c) 6 h 30 min e 7 h 45 min

3 – Uma formiguinha estava no fundo de um pote e bem no centro. Para que ela pudesse sair do pote ela usou uma mola que estava dentro do mesmo. Se ela saiu bem no centro da tampa e o pote tem 10 cm de altura, qual foi o deslocamento da formiga?

4 - ADIÇÃO

a

b

a

b

a b

Para somá-los vamos colocar um seguido ao outro.

Tem-se os vetores a e b.

A pessoa deslocou então, da origemdo primeiro até a extremidade do segundo.Este é o vetor soma.

Vejamos isto usando os valores dos vetores.

É como se uma pessoa se deslocasse conforme ovetor a e depois conforme o vetor b. Um vez que, sãoapenas estes dois, a pessoa não poderia retornar. Assim, os vetores devem ser seguidos um ao outro.

Assim, para somar dois ou mais vetores, fixa-seum deles. Em sua extremidade coloca o outro. Eassim, sucessivamente. O vetor soma terá origemna origem do primeiro e extremidade na extremidade do último.

b = 45 m, L30ºN

N

S

LO

Vamos somar os vetores:

70 m, N20ºL + 45 m, L30ºNEscala: 1 cm = 10 m

a = 70 m, N20ºL

a + b = 108,4 m, N36ºL

5 – MULTIPLICAÇÃO POR ESCALAR

v

eu sou o ve

tor v

Um escalar é um número.

Ao multiplicar um vetor por um escalar obtém-seoutro vetor de módulo igual ao escalar vezes omódulo do vetor.

Se o escalar for positivo, o vetor e o produto terão o mesmo sentido.

Se o escalar for negativo, o vetor e o produtoterão sentidos opostos.

5 x 30 km para o norte = 150 km para o norte.

-3 x 40 km para leste = 120 km para oeste.

Mesmos sentidospositivo

negativo Sentidos opostos

Pois eu so

u o vetor 2

v

Já eu, s

ou o vetor –

v ou (-

1)v.

5 - SUBTRAÇÃO

1º processo – operação inversa

Levando em conta que a + b = c, tem-se c – a = b.

A figura mostra a adição de a com b.

ou c – a = b.

Observando as posições dos vetores c e a, veremos que:

(i) Quando se quer c – a, fazemos coincidir as suas origens;

(ii) Ligamos de a para c para obter o vetor c – a.

a

b

c

u – v = ?

u

vu

v

u – v

2º processo – o vetor simétrico

Assim, para subtrair dois vetores, somamos ao primeiro, o simétrico do segundo.

As operações a – b e a + (-b) são equivalente.

O vetor –b é chamado de simétrico do vetor b.

a b

a

- b

somandoa - b

EXERCÍCIOS

1 – Determine o vetor soma dos seguintes pares de vetores

(a) 322 km, N60ºL + 118 km, N60ºL(b) 120 km, S20ºO + 80 km, L70ºN(c) 60 km, N + 80 km, L

2 – Dois lados de um hexágono regular estão postados na direção leste-oeste. Neste hexágono estão dispostos os vetores conforme indica a figura.

Se cada vetor tem módulo 30 m,qual é a soma desses vetores?

3 – Escreva uma relação entre os vetores, observando se cada um deles está somando (ou subtraindo) ao anterior (do anterior).

ac

b

d

ef