Prof. Dr. João Muccillo Netto

INTRODUÇÃO1. Juros

TerraTrabalho

AluguelSalário

Segundo a Teoria Econômica, o homem combina

TrabalhoCapital

SalárioJuro

para produzir os bens de que necessita.

Juro é a remuneração do fator capital emprestado ou aplicado produtivamente.

Percentual – refere-se a centos do capital

Formas de apresentação da taxa de juros:

2. Taxa de Juros

É a relação entre juros e capital aplicado na unidade de tempo. Refere-sesempre a uma unidade de tempo. Exemplo: 12% ao ano.

Percentual – refere-se a centos do capital

Unitária – refere-se a unidade do capital

3. Capital

Qualquer valor representado monetariamente, aplicado para produzirrendimentos pode ser considerado capital.

4. MontanteMontante é a soma de capital mais juros.

5. Regimes de CapitalizaçãoEntende-se por regime de capitalização como sendo o processo de formação

Simples – somente o capital inicial (também chamado principal) produz

juros. A base de cálculo dos juros é fixa.

Composto – os juros são incorporados ao capital inicial e produzem

juros nos períodos subseqüentes. Há, portanto, juro sobre juros.

Entende-se por regime de capitalização como sendo o processo de formaçãodos juros.

6. O valor do dinheiro no tempoOs problemas financeiros decorrem essencialmente do conceito de que o dinheiro tem valordiferenciado no tempo, isto é, quantias iguais, em diferentes instantes de tempo, devemnecessariamente ser consideradas como sendo valores diferentes.

800 1.200 200

Uma forma clara e ilustrativa de representar esse conceito é oDiagrama do Fluxo de Caixa.

Eixo horizontal – representa os períodos de tempo ou o horizonte de planejamento.

Eixo vertical – representa entradas e saídas de dinheiro.

1 2 3 40

1.000 1.100

O conceito de fluxo de caixa é essencial na solução de problemas que envolvem Matemática Financeira.

1. Cálculo do Juro

J = Cin

IMPORTANTE:

C = Capital (ou principal)

i = taxa de juros (sempre unitária)

n = prazo

i e n devem ser consistentes, isto é, devem estar na mesma unidade de tempo.

2. Montante

M = C (1 + in) Como o montante (M) é a soma de capital mais juros:

Exemplo:

Um capital inicial de $ 100.000 é aplicado por 180 dias a uma taxa de juros simples de

3,5% a.m.. Determinar os juros e o montante.Resposta: $ 21.000 e $ 121.000.

1. Cálculo do MontanteSendo:

PV = capital inicial

FV = montante

n = prazo

i = taxa de juros compostos

FV1 = PV + PV • i

FV1 = PV (1 + i) ⇒ para o 1o. Período

FV = PV (1 + i)n ⇒⇒⇒⇒ fórmula básica dos juros compostos

FV1 = PV (1 + i) ⇒ para o 1o. Período

FV2 = FV1 (1 + i)

FV2 = PV (1 + i) (1 + i)

FV2 = PV (1 + i)2 ⇒ para o 2o. Período

Generalizando:

É importante lembrar que:

⇒ a taxa de juros i e o prazo n estão na mesma unidade de tempo;

⇒ a taxa de juros i é unitária.

Como resolver a expressão (1 + i)n ?

⇒ pela tabela financeira

⇒ pela calculadora com a função yx

⇒ pela calculadora financeira.

Exemplo:

Um capital inicial de $ 120.000 foi aplicado durante 12 meses em uma instituição

financeira a uma taxa de juros compostos de 5% a.m.. Qual o montante resgatado?Resposta: $ 215.503.

Exemplo:

Calcular o montante produzido por um capital de $ 10.000 aplicado nas taxas e prazos abaixo:

Prazo Taxa

• 1 ano 2% a.m.

• 1 mês 1% a.d.

• 12 meses 20% a.a.Resposta: $ 12.682; $ 13.478; $ 12.000.

2. Quando há períodos fracionários

O que fazer quando o prazo não é um número inteiro? É recomendável não “mexer”

na taxa quando se trata de juro composto e o período é fracionário.

Exemplo: Um investidor aplicou $ 100.000 a uma taxa de 4% a.m. durante 189 dias.

Calcule o valor recebido por esse investidor.

Resposta:

3. A diferença entre juros compostos e juros simples

Exemplo:• João do Alentejo resolveu intermediar operações financeiras. Tomou emprestado junto a

um amigo a importância de $ 10.000 a uma taxa de juros simples de 10% a.m. paraemprestá-la à mesma taxa, porém a juros compostos a diversos amigos. Quais osmontantes pagos e recebidos pelo Sr. João se os prazos fossem de: a) 15 dias; b) 30 diase c) 60 dias.e c) 60 dias.

Prazo Montante Simples Montante Composto Ganho

15 dias

30 dias

60 dias

4. O conceito de valor atualAnalogamente ao conceito de desconto simples, pode-se imaginar a sua aplicação também emjuros compostos. O conceito de valor atual a juros compostos é largamente utilizado nasdecisões financeiras.

FV = PV (1 + i)n ⇒ PV = --------------(1 + i)n

FV

Exemplo: Quanto vale hoje um título de $ 10.000, vencível daqui a 6 meses se a taxa deExemplo: Quanto vale hoje um título de $ 10.000, vencível daqui a 6 meses se a taxa dejuros é de: a) 6% a.m.; b) 2% a.m..Resposta: $ 7.050; $ 8.880.

5. Cálculo da taxa de jurosÉ comum nosso interesse em calcular a taxa de juros de uma aplicação ou empréstimo.

Exemplo: Um Certificado de Depósito Bancário foi adquirido por $ 2.000 pelo prazo de 120dias tendo sido resgatado $ 2.210. Qual a taxa mensal de juros recebida pelo aplicador?Resposta: 2,53% a.m..

1. Taxas equivalentesDuas ou mais taxas são equivalentes quando aplicadas a um mesmo capital durante omesmo prazo produzem o mesmo montante. É, portanto, indiferente aplicarmos auma ou outra taxa.

Fórmula de transformaçãoAdmitindo-se:i = taxa maioriq = taxa menorq = número de períodos menores contidos no período maior

PV (1+i)n = PV (1+iq)nq

FV = PV (1+i)n

FV’ = PV (1+iq)nq

FV = FV’

(1+i) = (1+iq)q

i = (1+iq)q -1

iq = (1+i)1/q -1

à Dada a taxa menorencontra-se a taxamaior.

à Dada a taxa maiorencontra-se a taxamenor.

ou

1. Taxas equivalentes

Exemplo: Qual a taxa anual equivalente a 5% a.m.?Qual a taxa mensal equivalente a 0,7% a.d.?Qual a taxa diária equivalente a 9% a.m.?Resposta: a) 79,6% a. a. b) 23,3% a.m. c) 0,29% a.d.

2. Taxa NominalSegundo a Matemática Financeira, quando o período a que se refere a taxa de jurosnão coincide com o período da capitalização dos juros, aquela taxa se denominarátaxa de juros nominal.

12% a.a.c.m. = 1% a.m.

12% a.a.c.m. = 12,68% a.a.

Usando o conceito de taxas equivalentes, conclui-se que:

(sempre)

12% a.a.c.m. = 12,68% a.a.

Em Matemática Financeira costuma-se dizer que 12,68% a.a. é a taxa efetiva de 12% a.a.c.m..

Cuidado:12% a.a.c.m. ≠ 12% a.a.12% a.a.c.m. = 1% a.m.12% a.a.c.m. = 12,68% a.a.

Caso comum da taxa nominal no Brasil é a caderneta de poupança.

2. Taxa NominalExemplo: Qual a taxa efetiva anual que remunera as cadernetas de poupança?Resposta: 6,17% a.a.

3. Taxa de Juros RealQuando se empresta um capital, a taxa de juros cobrada (denominada taxa de jurosaparente) inclui uma parcela que se destina a repor a perda do poder aquisitivo docapital emprestado e outra destinada a remunerar propriamente o capital. Esta taxase denomina taxa de juros real.

Sendo:j = taxa de inflaçãor = taxa de juros reali = taxa de juros aparente

PV (1+i)n = PV (1+j)n . (1+r)n

FV = PV (1+j)n

FV = PV (1+j)n . (1+r)n

FV = PV (1+i)n

à Apenas repõe o poder de compra

à Apresenta remuneração real

3. Taxa de Juros Real

i = (1+j) . (1+r) - 1 à Fórmula da taxa aparente

(1+i) à Fórmula da taxa real

Na realidade a taxa de juros real incide sobre o capital corrigido

monetariamente. Este aspecto é conhecido como efeito Fisher.

(1+i) r= -1

(1+j)

_______

3. Taxa de Juros RealExemplo: Se um banco deseja uma remuneração real de 2% a.a. para seus empréstimos, que taxa de juros deverá anunciar para seus clientes, estimando-se uma inflação de 20% a.a.?Resposta: 22,4% a.a.

3. Taxa de Juros RealExemplo: Admita no exemplo anterior que a taxa de inflação se efetivou em 24% a.a., portantosuperior a prevista originalmente. Neste caso qual teria sido a taxa de juros real recebidapelo banco?Resposta: - 1,3% a.m.

3. Taxa de Juros RealExemplo: Um investidor fez uma aplicação em fundo que oferece uma remuneração de 4,5% a.m.. Que taxa real de juros mensal obterá o investidor se a inflação for de:a) 2,5% a.m.; b) 4% a.m.; c) 70% a.a.Resposta: a) 1,95% a.m. b) 0,48% a.m. c) ?

Dado que o dinheiro tem valor diferenciado no tempo, decisões que envolvem

diversos capitais em diversas datas exigem que se adote um padrão uniforme que

permita a escolha.

Comprar à vista ou a prazo, investir em A ou em B, substituir pagamentos etc. são

situações corriqueiras para todos.

Essas questões são resolvidas através de um princípio de Matemática FinanceiraEssas questões são resolvidas através de um princípio de Matemática Financeira

denominado Equivalência de Capitais.

Pela sua importância na solução de problemas financeiros é importante

compreender o Princípio da Equivalência de Capitais.

“Dois conjuntos de capitais serão equivalentes quando, a umadada taxa de juros, as somas de seus respectivos valores atuaisforem iguais (numa mesma data).”

Exemplo:Considere os fluxos A e B abaixo:

Mês Fluxo A Fluxo B0 - 88.5901 100.125 -2 - 130.0903 124.570 105.0003 124.570 105.0004 132.320 -

a) Monte um diagrama para cada um dos fluxos;b) Calcule o valor atual de cada fluxo a uma taxa de 10% a.m.;c) Se lhe fosse dada a opção de escolher, qual fluxo você gostaria de receber?Resposta:

1. Comparação de Fluxos FinanceirosExemplo: Durante certa liquidação anual, certa loja oferece, como promoção na venda de suasmercadorias, as seguintes condições de pagamento:a) À vista com 10% de desconto;b) Com cartão, sem desconto (admitir 30 dias para pagamento do cartão);c) Em 3 parcelas iguais (1+2), sem juros.Qual a melhor alternativa para uma taxa de juros de 5% a.m.Resposta:

1. Comparação de Fluxos FinanceirosExemplo:Uma loja vende um aparelho de som no valor de $ 1.200, com uma entrada e dois pagamentos iguais de $ 500. A uma taxa de juros de 2,5% a.m., qual o valor da entrada?Resposta: $ 236,28.

2. Substituição de Fluxos FinanceirosExemplo:Um automóvel pode ser adquirido, em promoção, através de uma entrada de $ 4.510 mais2 pagamentos mensais iguais de $ 3.200. Um comprador interessado no automóvel propõeadquiri-lo através de dois pagamentos iguais em 60 e 90 dias, sem entrada. Sabendo-seque a loja trabalha com uma taxa de juros de 2,5% a.m., qual o valor das novasprestações?Resposta: $ 5.673.

1. O Modelo Básico- Caracterização

Na medida em que os fluxos de pagamentos ou recebimentos se ampliam em número de valores,há necessidade de buscar soluções que simplifiquem o processo de cálculo. Independentementedas simplificações adotadas, permanecem os conceitos e princípios já vistos.

A situação mais comumente encontrada refere-se a um conjunto de pagamentos (ourecebimentos) de mesmo valor, em períodos sucessivos de tempo denominado Série Uniforme dePagamentos (SUP).

Características de uma Série Uniforme de Pagamentos do tipo Modelo Básico:Características de uma Série Uniforme de Pagamentos do tipo Modelo Básico:

ØTermos constantesØPeriodicidade constanteØTemporária (final determinado) ØO 1o. Termo ocorre no final do 1o. período.

0 1 2 3 4 5 6

PMT PMT PMT PMT PMT PMT

Modelo básico de uma série uniforme de pagamentos

Utilizando-se do conceito de equivalência de capitais, o valor atual de umaSUP será a soma dos valores atuais de seus termos.

Basta “levar” todos os PMT’s para a data zero.

1. O Modelo Básico - Fórmula Geral

PV =PMT PMT PMT PMT______ ______ ______ ______+ + +(1+i)1 (1+i)2 (1+i)3 (1+i)n

......+(1+i)1 (1+i)2 (1+i)3 (1+i)n

PV = PMT (1+i)n - 1

(1+i)n . i

________àààà Fórmula do valor atual de uma SUP do tipo modelo básico.

IMPORTANTE: as calculadoras financeiras “trabalham” com o modelo básico.

1. O Modelo BásicoExemplo:Publicou-se em jornais que um certo magazine vende uma bicicleta em 10 prestaçõesmensais de $ 127,10, sem entrada. O mesmo anúncio diz que a taxa de juros da loja é de5,5% a.m.. Qual o preço à vista da bicicleta?Resposta: $ 958,00.

1. O Modelo Básico – Cálculo da Prestação

Exemplo:Um automóvel, no valor de $ 75.000 pode ser adquirido com uma entrada de 20% e orestante em 30 parcelas mensais iguais. Sendo a taxa de juros de 1,3% a.m., qual o valordas prestações?Resposta: $ 2.428,10.

1. O Modelo Básico – Cálculo da da Taxa de Juros

Exemplo:Um microcomputador no valor de $1.750,00 à vista está sendo oferecido, sem entrada, em 6 parcelas mensais de $ 328,00. Qual a taxa de juros cobrada pela loja?Resposta: 3,46% a.m..

Com o desenvolvimento das calculadoras financeiras, o cálculo da taxa de juros dos fluxos financeiros tornou-se bastante simples. Até então, o cálculo era extremamente trabalhoso.

1. O Modelo Básico – Cálculo da da Taxa de Juros

Exemplo:Um taxista fez três perguntas:a) Pretendia comprar um novo carro no valor de $17.000,00, dando uma entrada de

$3.000,00 mais 24 prestações mensais iguais de $ 818,00. Qual a taxa mensal de juros?b) Caso desse $ 6.000,00 de entrada, qual seria o valor das nova prestação?c) Para que cada prestação fosse de exatamente $ 530,00, quanto deveria dar de entrada?Resposta: a) 2,9% a.m.; b) $ 642,54; c) $ 7.926,00.

2. Série Uniforme Antecipada

Exemplo:Na compra de um eletrodoméstico, a loja facilita em 15 parcelas mensais iguais de $ 75,00,sendo que a primeira parcela é dada como entrada. A uma taxa de juros de 7,0% a.m., qual ovalor para pagamento à vista?

Por vezes nos defrontamos com um conjunto de pagamentos (ou recebimentos) que não segue omodelo básico. Caso muito comum acontece quanto o 1o. termo ocorre no início do 1o. Período.A maioria das calculadoras dispõe de mecanismos que permitem soluções simples para estescasos.

a) Cálculo do valor atual

valor para pagamento à vista?Resposta: $ 730,91.


Exemplo:Certa loja comercial anuncia uma mercadoria por $ 1.000,00 “à vista” ou em 5 parcelas iguais“sem juros” (1+4). Admitindo-se uma taxa de juros de 2% a.m., que abatimento percentualsobre o preço anunciado você pleitearia para pagar realmente à vista?Resposta: -3,85%.



Exemplo:A assinatura de uma revista, cujo preço à vista é $ 78,00, pode ser feita em 4 parcelas mensaisiguais, sendo cobrada uma taxa de juros de 5,5% a.m.. Se a 1a. Parcela é paga no ato daassinatura, qual o valor das prestações?Resposta: $ 21,09.

b) Cálculo da prestação


Exemplo:Se um fogão no valor de $ 220,00 é vendido em 15 parcelas iguais mensais de $ 22,00, sendo aprimeira dada como entrada, qual a taxa de juros cobrada pela loja?Resposta: 6,53% a.m..

c) Cálculo da taxa de juros

3. Série Uniforme com Carência

Há casos de amortização de dívidas em que o 1o. pagamento ocorre após o 1o.

Período. Isto equivale a dizer que há um período de carência.

0 1 2 3 4 5 8

PMT PMT PMT PMT PMT PMT

76

período de carência


Exemplo:Um automóvel pode ser adquirido em diversas revendedoras com opções de pagamentos diferentes:Loja Azul:10 prestações mensais iguais de $ 6.500, sendo a primeira paga 30 dias após a compra.Loja Verde:8 prestações mensais iguais de $ 8.100, sendo a primeira parcela dada como entrada.Loja Branca:6 prestações mensais iguais de $ 11.400, sendo a primeira paga 4 meses após a compra.


6 prestações mensais iguais de $ 11.400, sendo a primeira paga 4 meses após a compra.A uma taxa de juros de 2,5% a.m., qual seria a loja mais conveniente para se efetuar a compra?Resposta: através dos valores atuais: $ 56.888, $ 59.530, $ 58.309.


Exemplo:Admita, na situação precedente, que todas as lojas vendem o automóvel por $ 55.000 à vista.Que taxa de juros mensal cada loja está cobrando nas vendas a prazo?Resposta: 3,16% a.m.; 4,98% a.m.; 3,44% a.m..

b) Cálculo da taxa de juros

4. Série de Pagamentos não Uniforme

Exemplo:Um apartamento é colocado à venda. Pode-se adquiri-lo sem entrada através de:a) 10 prestações iguais de $ 10.000;b) mais 2 prestações semestrais de $ 15.000 e $ 20.000, respectivamente e;c) finalmente um pagamento no 12o. mês de $ 30.000.Admita as seguintes questões:1) Um comprador propõe pagamento à vista. Qual deve ser o valor para uma taxa de juros de 1% a.m.?

Até o advento das calculadoras financeiras, o processo de cálculo de séries não uniformes erabastante trabalhoso. Entretanto, partindo-se do princípio que as calculadoras “trabalham” com oconceito do diagrama de fluxo de caixa, pode-se simplificar o seu cálculo.

1) Um comprador propõe pagamento à vista. Qual deve ser o valor para uma taxa de juros de 1% a.m.?2) O comprador aceita pagar a prazo, mas exige que o pagamento seja liquidado em 12 parcelas mensais iguais.

Qual o valor de cada parcela?3) Que taxa de juros está sendo computada pelo proprietário se está disposto a vender por $ 145.000 à vista?Resposta: $ 153.216; $ 13.613; 1,76% a.m..

Juros Simples

1. Que montante receberá um aplicador que tenha investido $ 5.000,00, se astaxas de aplicação e respectivos prazos forem:

Taxas de Juros Prazosa) 18% a.a. 6 mesesb) 31,8% a.a. 2 anos e 7 mesesc) 42% a.a. 4 anos e 3 meses

Resposta: a) $ 5.450; b) $ 9.107,50; c) $ 8.925

2. Que taxa anual de juros está sendo cobrada em cada um dos casos abaixo, se2. Que taxa anual de juros está sendo cobrada em cada um dos casos abaixo, seuma pessoa aplicar um capital de $ 1.000,00 e receber:

Montante Prazosa) $ 1.420,00 2 anosb) $ 1.150,00 10 mesesc) $ 1.350,00 1 ano e 9 meses

Resposta: a) 21% a.a.; b) 18% a.a.; c) 20% a.a.

3. Determinada pessoa tem condições de aplicar seu dinheiro a uma taxa de jurosde 3,5% a.m.. Como está pretendendo comprar um carro no valor de $10.000,00 daqui a 12 meses que capital deverá aplicar hoje?

Resposta: $ 7.042,25

Juros Compostos

1. Calcular o montante de um capital de $ 500.000 considerando as taxas e prazosabaixo:a) 5% a.m. em 30 meses;b) 10% a.s. em 3 anos;c) 2% a.m. em 4 anos.

Resposta: a) $ 2.160.971; b) $ 885.780; c) $ 1.293.535.

2. Durante suas promoções uma loja vende um microcomputador no valor de $5.000 oferecendo duas alternativas de pagamento:5.000 oferecendo duas alternativas de pagamento:a) à vista com 20% de desconto;b) uma entrada de 10% e o restante após 60 dias.Que taxa de juros a loja está computando em suas promoções?

Resposta: 13,4% a.m..

1. Certa pessoa pretende comprar um automóvel usado no valor de $ 10.000 daquia 6 meses. Quanto deverá aplicar hoje, admitindo-se que consiga aplicar seusrecursos de acordo com as taxas de juros abaixo:a) 1,8% a.m.;b) 2,5% a.m.;c) 4% a.m..

Resposta: a) $ 8.985; b) $ 8.623; c) $ 7.903.

Taxa de Juros

1. Calcule a taxa de juros anual equivalente às seguintes taxas:a) 2% a.m.;b) 3% a.m.;c) 2% a.s.;d) 8% a.b..

Resposta: a) 26,82%; b) 42,58%; c) 4,04%; d) 58,68%.

2. Calcular as taxas equivalentes mensais nas hipóteses abaixo:a) 50% a.a.;a) 50% a.a.;b) 21% a.a.;c) 30% a.s..

Resposta: a) 3,44%; b) 1,60%; c) 4,47%.

1. Um investidor fez aplicações em um fundo a uma taxa de juros pré-fixada de2,5% a.m.. Qual será sua taxa de juros real se a inflação no período for:a) 0,5% a.m.;b) 1% a.m..

Resposta: a) 1,99% a.m.; b) 1,49% a.m..

Série Uniforme de Pagamentos

1. Qual o valor à vista de uma mercadoria que pode ser paga em 6 parcelas iguaisde $ 97,00, se a loja cobra uma taxa de juros de 5,7% a.m.?

Resposta: $ 481,50 (sem entrada) ou $ 508,95 (com entrada).

1. A assinatura da Revista Veja custa $ 206 à vista ou em 4 pagamentos de $ 54.Que taxa de juros a Editora Abril está considerando na assinatura da revista se:a) o 1o. Pagamento é feito um mês após a compra;b) o 1o. Pagamento é feito no ato da assinatura.

Resposta: a) 1,92% a.m.; b) 3,25% a.m.

3. Admita que na assinatura da revista no dia 25/04 o carnê de pagamentosapresentasse as datas de 25/04, 20/05, 15/06 e 10/07 para vencimento dasparcelas. Neste caso, qual seria a taxa de juros mensal?

Resposta: 3,91% a.m..

4. As revendedoras FIAT anunciam a venda de carros OK com 60% de entrada e osrestantes 40% em 10 parcelas mensais iguais sem juros e sem correçãomonetária. Uma fábrica concorrente ofereceu um desconto no preço à vistapara combater a promoção da FIAT. De quanto deve ser o desconto? Admitauma taxa de juros de 2,5% a.m..

Resposta: 5%..

Série Uniforme de Pagamentos

5. Um proprietário de uma garagem no centro de São Paulo recebe de aluguel $1.200 mensalmente. Disposto a vender a garagem, que preço vocêrecomendaria para pagamento à vista? Considere uma taxa de juros de 1% a.m..

Resposta: $ 120.000.

6. Um investidor comprou por $ 1.000 um lote de ações 12 meses atrás. Recebeu $60 de dividendos nos 7 primeiros meses e $ 30 nos 5 meses restantes, quandoentão vendeu-as por $ 860. Que taxa de retorno obteve esse investidor?

Resposta: 3,99% a.m.

7. Caso desejasse um retorno de 8% a.m., por quanto deveria vender o lote?Resposta: $ 1.555.

8. As Lojas Paranapuã anunciam, em barulhenta promoção, a venda de qualquermercadoria em 6 parcelas mensais iguais, sem entrada. Caso o cliente paguetodas as 5 primeiras prestações em dia obterá um desconto de 50% nopagamento da última parcela. Como a loja faz questão absoluta de receberuma taxa de juros de 5% a.m., qual deve ser o valor de cada parcela? (Parafacilidade de solução, admita uma mercadoria de $ 1.000).

Resposta: $ 212,65 e $ 106,32.

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