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O Efeito ComptonEinstein, em 1919, concluiu que um fóton de energia E se desloca emuma única direção (diferentemente de uma onda esférica) e é portadorde um momento (linear):
Nas palavras de Einstein:“Se um pacote de radiação provoca a emissão ou absorção de umpacote de energia hf por uma molécula, então há uma transferência demomento para a molécula (no valor hf/c), que será na direção dopacote quando houver absorção e na direção oposta à do pacotequando houver emissão”.
chf
cEp
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O Efeito ComptonCompton e Debye em 1923, independentemente um do outro, ampliaram maisainda a ideia de Einstein sobre o momento. Perceberam que o espalhamento defótons de raios X por elétrons poderia ser explicado considerando-se os fótonscomo partículas puntiformes, com energia hf e momento hf/c, e conservando-se aenergia e o momento do par fóton-elétron na colisão.
Modelo ClássicoModelo
Quântico
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• Classicamente esperaríamos somente um pico de da radiação incidente, o que não ocorre.
• A explicação é baseada no fato do fóton carregar momento linear ( ) e energia ( E ).
0
p
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Na sua análise, Compton previu que o pico deslocado deveria depender do ângulo de espalhamento conforme:
é o comprimento de onda de Compton da partícula espalhada.
onde, m é a massa do elétron.
Equação do deslocamento Compton
)cos1(0
0 cm
h
m1043,2 12
0
cm
hc
)cos1( c
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ExemploEnergia e momento de um fóton
Calcular a energia e o momento de um fóton de comprimento de onda de 700 nm.
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ExemploEspalhamento Compton a 45°
Um feixe de raios X de comprimento de onda 0 = 0,20 nm éespalhado por um alvo. Os raios X espalhados são observados sobângulo de 45° em relação ao feixe incidente. Calcular o comprimentode onda dos raios X espalhados sob este ângulo.
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Espectros atômicosToda substância a uma certa temperatura emite radiação térmica,caracterizada por uma distribuição contínua de comprimentos de onda.A forma da distribuição depende da temperatura e das propriedades dasubstância.
Material aquecido emite no visível
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Espectro de absorção
He
Espectro de emissão
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17100973732,1 mRH
(Constante de Rydberg)
n = 3, 4, 5, 6, ...
A série de Balmer dasraias espectrais dohidrogênio
HHHH
22
1211
nRHSérie de Balmer:
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Outras séries espectrais para o hidrogênio foram descobertas:
Série de Lyman:
Série de Paschen:
Série de Brackett:
Série de Pfund:
22
1111
nRH
n = 2, 3, 4, 5, ...
22
1311
nRH
n = 4, 5, 6, 7, ...
22
1411
nRH
n = 5, 6, 7, 8, ...
22
1511
nRH n = 6, 7, 8, 9, ...
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O modelo quântico de Bohr para o átomo
No início do século XX, os cientistas estavam perplexos ante ao fracasso da física clássica em explicar as características dos espectros atômicos.
• Por que o hidrogênio só emite certas raias na região do espectro visível?
• Por que o hidrogênio só absorve as raias que têm os comprimentos de onda que emite?
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• Rutherford então propôs um modelo no qual toda a carga positiva dos átomos, que comportaria praticamente toda a sua massa, estaria concentrada numa pequena região do seu centro: o núcleo. Os elétrons, então, ficariam orbitando em torno deste núcleo: Modelo “planetário”.
Entretanto, estes elétrons em órbita estariam acelerados (aceleração centrípeta). Assim, segundo o eletromagnetismo, deveriam emitir energia na forma de radiação eletromagnética, até colapsarem para o núcleo!
O átomo na “Antiga” Mecânica Quântica
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A teoria de Bohr era uma combinação de ideias:
• Da teoria quântica original de Planck
• Da teoria de fótons de luz, de Einstein
• Do modelo atômico de Rutherford
O modelo de átomo de Bohr tem aspectos clássicos etambém postulados revolucionários.
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As ideias básicas da teoria de Bohr para o átomo de hidrogênio são asseguintes:
1) O elétron se move em órbitas circulares em torno do próton, sobinfluência da força de atração coulombiana do núcleo.(Mecânica Clássica)
2) Somente certas órbitas são estáveis. Estas órbitas estáveis sãoaquelas nas quais o elétron não irradia. Então, a energia está fixa, ouestacionária, e a mecânica clássica pode ser usada para descrever omovimento do elétron.
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3) A radiação é emitida pelo átomo quando o elétron “salta” de umestado estacionário inicial, com energia maior, para um estado commenor energia. Este “salto” não pode ser visualizado ou tratadoclassicamente. Em particular, a frequência f do fóton emitido no saltoé independente da frequência do movimento orbital do elétron. Afrequência da luz emitida está relacionada com a variação da energiado átomo e é dada pela fórmula de Planck-Einstein
Ei – Ef = h f
Ei é a energia do estado inicial Ef a energia do estado finalEi > Ef
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4) O tamanho das órbitas permitidas do elétron é determinadopela condição quântica adicional imposta ao movimento angularorbital do elétron. Ou seja, as órbitas permitidas são aquelas nasquais o movimento angular orbital do elétron é um múltiplointeiro de
nmvr n = 1, 2, 3, 4, ...
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Níveis de Energia e comprimentos de onda permitidos
2
0
2 12 nakeEn
eVn
En 2
6,13
2
22
mkenrn
O raio das órbitas estacionárias
nmmke
a 0529,02
2
0 A órbita com n =1 tem o menor raio,
é o chamado raio de Bohr
Quantização da energia
n = 1, 2, 3, 4, ...
n = 1, 2, 3, 4, ...
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eVn
En 2
6,13
• O estado fundamental, n = 1, tem a energia: eVE 6,131
• O primeiro estado excitado, n = 2, tem a energia: eVEE 4,322
12
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22
0
2 112 if
fi
nnhake
hEE
f
Juntamente com o terceiro postulado de Bohr, permite que se calcule afrequência do fóton emitido quando o elétron salta de uma órbita maisexterna para uma órbita mais interna:
22
111
ifH nn
R
22
0
2 112
1
if nnhcake
cf
Frequência:
Comprimento de onda:
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Bohr generalizou imediatamente o seu modelo para o hidrogênio eaplicou-o a outros elementos em que todos os elétrons, exceto um,tivessem sido removidos.
Elementos ionizados como: He+, Li++ e Be+++
Zanrn
02
2
2
0
2
2 nZ
akeEn
Carga do núcleo +Ze
n = 1, 2, 3, 4, ...
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ExemploRaias espectrais da estrela -PuppisAs misteriosas raias observadas por Pickering, em 1896 no espectroda estrela -Puppis, ajustam-se à formula empírica
Mostre que estas raias podem ser explicadas pela teoria de Bohrcomo originando-se do He+.
22 2
12
11
ifH nn
R
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ExemploUma transição eletrônica no hidrogênioO elétron, no átomo de hidrogênio, faz uma transição do estado deenergia n = 2 para o estado fundamental (correspondente a n = 1).Ache o comprimento de onda e a frequência do fóton emitido.Qual o comprimento de onda do fóton emitido quando o elétron fazuma transição do estado n = 3 para o estado n =1?
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ExemploSérie de Balmer para o hidrogênioA série de Balmer para o átomo de hidrogênio corresponde a transiçõeseletrônicas que terminam no estado de número quântico n = 2.(a) Achar o comprimento de onda do fóton de maior comprimento de
onda emitido e determinar sua energia.(b) Achar o comprimento de onda do fóton de menor comprimento de
onda emitido e determinar sua energia.
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Princípio da correspondênciaNo estudo da relatividade, vimos que a mecânica newtoniana nãopodia ser usada para descrever fenômenos que ocorressem avelocidades que se aproximavam da velocidade da luz. A mecânicanewtoniana é um caso especial da mecânica relativística e sóaplicável quando v for muito menor do que c.
Analogamente, a mecânica quântica concorda com a física clássicaquando os números quânticos são muito grandes.
Este princípio, enunciado pela primeira vez por Bohr, é o princípioda correspondência.
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Fótons e as ondas eletromagnéticas
A explicação do efeito fotoelétrico e do efeito Compton contribuicom indícios convincentes a favor do conceito corpuscular (fótons)da luz.
Energia hf e momento h/
Como a luz pode ser considerada um fóton (corpúsculo) se ela exibepropriedades ondulatórias?
A luz é uma onda ou partícula?A resposta depende do fenômeno particular que se observa...A teoria dos fótons e a teoria ondulatória da luz se complementammutuamente.
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• Ondas de rádio de 2,5 MHz correspondem a um fóton de energia deapenas 10-8 eV.Muito pequena para ser percebida como um fóton único.Um receptor de rádio sensível precisa de cerca de 1010 desses fótonspara provocar um sinal perceptível.
• Frequências cada vez mais altas. O momento e a energia do fótonaumentam, por isso a natureza corpuscular da luz se torna maisevidente que sua natureza ondulatória.É possível detectar, com facilidade, a absorção de um fóton de raios Xcomo um evento singular. Porém, quando o comprimento de ondadiminui, os efeitos ondulatórios, como os de interferência e difração,tornam-se mais difíceis de observar.
A luz tem dupla natureza: exibe características ondulatórias ecaracterísticas corpusculares.
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As propriedades ondulatórias das partículas
Na sua tese de doutorado, postulou que, em virtude de os fótons teremcaracterísticas ondulatórias e corpusculares, talvez todas as formas dematéria tenham propriedades ondulatórias e também corpusculares.
Conforme de Broglie, os elétrons têmtambém uma natureza dupla de partícula eonda. Acompanhando cada elétron haviauma onda (não uma onda eletromagnética),que guiava ou “pilotava” os elétronsatravés do espaço.
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De Broglie explicou a fonte de sua suposição no seu discurso de aceitaçãodo Prêmio Nobel, em 1929:
Por um lado, a teoria quântica da luz não pode ser consideradasatisfatória, pois define a energia de uma partícula de luz pela equaçãoE = hf que contém a frequência f. Ora, uma teoria corpuscular não temnada que nos permita definir uma frequência; só por esta razão, somoscompelidos, no caso da luz, a introduzir simultaneamente a ideia de umcorpúsculo e a ideia de periodicidade. Por outro lado, a determinação demovimentos estáveis dos elétrons num átomo introduz números inteiros, eaté então os únicos fenômenos da física que envolviam inteiros eram osde interferência e os de modos normais de vibração. Este fato sugeriu-mea ideia de que também os elétrons não pudessem ser consideradossimplesmente corpúsculos, mas que também lhes fosse associada aperiodicidade.
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Fóton:
hchfE
hc
hccEp
mvh
ph
hEf
Energia Momento
De Broglie sugeriu que as partículas de matérias de momento pdevem também ter propriedades ondulatórias e um comprimento deonda determinado.
Uma vez que o momento de uma partícula de massa m e velocidadev é p = mv, o comprimento de onda de de Broglie da partícula é:
A dupla natureza da matéria é evidente nestas duas equações. Istoé, cada equação contém um conceito corpuscular (mv e E) e umconceito ondulatório ( e f).
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Quantização do momento angular no modelo de Bohr
O modelo de Bohr para o átomo tem muitas limitações eproblemas.
Por exemplo:• Quando os elétrons orbitam em torno do núcleo, qual a razão
de apenas certas energias do elétron serem permitidas?
• Por que todos os átomos de um certo elemento têm exatamenteas mesmas propriedades físicas, independentemente da infinitavariedade de velocidades iniciais e de posições iniciais doselétrons em cada átomo?
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A grande intuição de de Broglie foi perceber que as teoriasondulatórias da matéria resolvem elegantemente estes problemasmediante a interferência.
Como o elétron descreve um círculo em torno do núcleo, todosestados possíveis são ondas estacionárias, cada qual com seucomprimento de onda, sua velocidade e sua energia.
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Outro aspecto da teoria de Bohr, que também é mais fácil de visualizarfisicamente mediante a hipótese de de Broglie é o da quantização domomento angular.
Basta admitir que as órbitas permitidas do modelo de Bohr aparecem emvirtude de as ondas de matéria dos elétrons constituírem ondasestacionárias quando um número inteiro de comprimento de onda ajusta-seexatamente à circunferência de uma órbita circular. Então:
rn 2 r é o raio da órbita
mvh
Comprimento de onda de de Broglie:
nmvr Condição de Bohr para a quantização do momento angular:
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A experiência de Davisson-GermerEm 1927, Davison e Germer, conseguiram medir o comprimento de ondados elétrons.
A experiência envolvia espalhamento de elétrons de baixa energia(54 eV) por um cristal de níquel no vácuo.
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elétrons. dos oondulatóri ntocomportame o mostra e difraçãopor obtido valor do próximo muito é que
A67,1
s.J1063,6kg1011,9
J106.1 54 54 54
:acelerados elétrons para Broglie de de relação a Usando
ο
34
31
19
hm
eVEVV
Difração eletrônica:
mEhmEp
mpE
22
2
2
sindο
οο
A65.150A15.2 d
Difração de Bragg:
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• Davisson e Thomson receberam o prêmio Nobel em 1937
Raios X Elétrons
Difração eletrônica:
C. P. Thomson
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Exemplo:
Comprimento de onda de um elétronCalcular o comprimento de onda de de Broglie para um elétron(m = 9,11x10-31 kg) que se move com velocidade de 107 m/s.
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Exemplo:
Comprimento de onda de uma pedraUma pedra, com massa de 50 g, é arremessada com a velocidadede 40 m/s. Qual o comprimento de onda de de Broglie destapedra?
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Exemplo:
Uma carga aceleradaUma partícula de carga q e massa m é acelerada do repouso poruma diferença de potencial V. a) Achar o comprimento de ondade de Broglie da partícula. b) Calcular se a partícula for umelétron e V = 50 V.
