PROF. GILBERTO SANTOS JR -...

PROF. GILBERTO SANTOS JR

FUNÇÃO ATÉ FUNÇÃO DO 1º GRAU

SUMÁRIO

1 . PRODUTO CARTESIANO ............................... 1

2 . RELAÇÃO ................................................... 1

2.1 Representação gráfica de relação ................. 1

3 . NOÇÃO INTUITIVA DE FUNÇÃO .................... 3

4 . DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO ............................... 3

5 . DOMÍNIO, IMAGEM E CONTRADOMÍNIO DE

FUNÇÃO ......................................................... 5

6 . ESTUDO DO DOMÍNIO ................................. 5

7 . FUNÇÃO BIJETORA ...................................... 5

7.1 Função sobrejetora..................................... 5

7.2 Função injetora .......................................... 5

7.3 Função bijetora .......................................... 5

8 . GRÁFICO DE FUNÇÃO NO PLANO CARTESIANO

..................................................................... 6

9 . FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU ............... 6

9.1 O gráfico ................................................... 6

9.2 Parte fixa e variável ................................... 7

9.3 Raiz ou zero da função do 1º grau................ 8

9.4 Crescimento e decrescimento ...................... 8

10 . FUNÇÃO INVERSA ................................... 17

10.1 Em diagramas ........................................ 17

10.2 Processo para determinar a função inversa 17

10.3 O gráfico de função inversa ..................... 18

Referências ................................................... 20

1 . PRODUTO CARTESIANO Dados dois conjuntos não vazios A e B,

denomina-se produto cartesiano de A por B o con-junto formado pelos pares ordenados nos quais o

1º elemento pertence a A e o 2º elemento perten-

ce a B. simbolicamente,

A B = {(x, y)/ x ∈ A e y ∈ B}

Exemplo: Sejam A = {0, 1, 2} e B = {2, 4}. De-

termine A B.

Resolução:

A B = {(0, 2),(0, 4),(1, 2),(1, 4),(2, 2),(2, 4)}.

EXERCÍCIO PROPOSTO

1) Sejam A = {0, 1} e B = {1, 3, 5}. Determine o produto cartesiano:

a) A B = b) B A = c) A2 =

2 . RELAÇÃO É um subconjunto de um produto cartesia-

no, determinado por uma sentença matemática.

Exemplo: Sejam A = {1, 2, 3, 4} e B = {1, 2, 3,

4} e A B = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1),

(2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4),

(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4)}.

a) O conjunto R de A B, tais que x = y:

Resposta: R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)}.

b) O conjunto R de A B, tais que x é o dobro de y:

Resposta: R = {(2, 1), (4, 2)}.

c) O conjunto R de A B, tais que y é o dobro

de x:

Resposta: R = {(1, 2), (2, 4)}.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

2) Sejam A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 3, 4, 6}. Determine:

a) A B =

b) a relação R tal que y = x.

c) a relação R tal que x é o dobro de y.

d) a relação R tal que y é o dobro de x.

e) a relação R tal que x é a metade de y.

f) a relação R tal que y = x + 1.

3) No lançamento de dois dados, anotando todas as possibilidades de resultados possíveis em pares

ordenados. Determine: a) a quantidade de pares ordenados possíveis;

b) o conjunto dos pares ordenados cuja soma dos

resultados seja igual a 7;

c) o conjunto dos pares ordenados (x, y), tais que

x = y;

d) o conjunto dos pares ordenados (x, y), tais que

y é a metade de x.

2.1 Representação gráfica de relação Dados os conjuntos A = {0, 1, 2, 3} e

B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, a relação R tal que

y = x + 1, seguem as representações gráficas:

a) Por diagramas:

R = {(0, 1),(1, 2),(2, 3),(3, 4)}

D = {0, 1, 2, 3}

Im = {1, 2, 3, 4}

CD = {0, 1, 2, 3, 4, 5}

2

b) No plano cartesiano:


4) Sejam A = {2, 3, 4} e B = {1, 2, 3, 4}. De-termine:

a) a relação R tal que y = x - 1.

b) represente a relação em diagramas.

c) represente a relação no plano cartesiano.

d) o domínio D.

e) a imagem Im.

f) o contradomínio CD.

5) Sejam A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4, 5, 6, 7}. Determine:

a) a relação R tal que y = 2x.



d) o domínio D.

e) a imagem Im.


6) Sejam A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4, 5, 6, 7}. Determine:

a) a relação R tal que y = 2x + 1.



d) o domínio D.

e) a imagem Im.


7) Localize no plano cartesiano os pontos:

A(1, 2), B(1, -2), C(2, 3), D(-2, 2), E(3, -3), F(5, -1), G(0, 0), H(4, 3), I(1, 0) e J(0, 1).

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO

8) Uma companhia telefônica tem um plano para seus clientes, a tabela abaixo mostra o valor a ser

pago pelos seus clientes em função do tempo de ligação:

Responda:

a) Represente a tabela em diagramas;

b) Represente a tabela em plano cartesiano.

EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES

9)(Enem-2015) Devido o aumento do fluxo de passageiros, uma empresa de transporte coletivo

urbano está fazendo estudos para a implantação

de um novo ponto de parada em uma determinada rota. A figura mostra o percurso, indicado pelas

setas, realizado por um ônibus nessa rota e a loca-

lização de dois de seus atuais pontos de parada,

representados por P e Q.

Os estudos indicam que o novo ponto T deverá ser

instalado, nesse percurso, entre as paradas já

existentes P e Q, de modo que as distâncias per-corridas pelo ônibus entre os pontos P e T e entre

os pontos T e Q sejam iguais.

De acordo com os dados, as coordenadas do novo

ponto de parada são

(a) (290; 20) (c) (410; 20) (e) (440; 20)

(b) (410; 0) (d) (440; 0) R: (e)

10)(UEPA-2013, modificada) No Brasil, uma empresa de comércio para internet multiplicou

suas vendas nos últimos anos, conforme ilustrado

no gráfico abaixo.

Em relação às vendas afirma-se que: (a) tiveram um crescimento de 2 milhões de reais

de 2008 para 2009.

(b) em 2009 cresceram quatro vezes em relação a

2008. (c) triplicaram de 2009 para 2010.

(d) em 2010 cresceram 2,4 milhões de reais em

relação a 2009.

(e) tiveram um crescimento de 4,8 milhões de

reais de 2009 para 2011.

1

1

0 2 3

3

2

4

5

x

y

3

3 . NOÇÃO INTUITIVA DE FUNÇÃO Observe a tabela abaixo que relaciona o

número de litros de gasolina e o preço a pagar.

Nº de litros Preço (R$)

1 2,10

2 4,20

3 6,30

4 8,40

5 10,50 ⋮ ⋮

x 2,10.x

Observe:

As grandezas “Nº de litros” e “Preço” são variáveis;

Para cada quantidade em litros de gasolina co-

locada há um único preço; O preço a ser pago depende do número de litros

de gasolina a ser colocado, isto é, o preço está em função do número de litros colocados;

Para x litros de gasolina comprada, o preço a

ser pago será 2,10 vezes x, isto é

P = 2,10.x

P – preço a ser pago é a variável dependente;

x - número de litros de gasolina é a variável in-dependente.

Exemplos:

A população de um determinado país está em

função do tempo;

A área de um quadrado está em função de seu lado.


11) Na tabela abaixo temos a quantidade de ovos (em dúzias) e o seu respectivo preço.

Quantidade (em dúzia) Preço (em R$)

1 1,20

2 2,40

3 3,60

4 4,80 ⋮ ⋮

x 1,20.x

Responda o que se pede:

a) O preço a ser pago está em função da quanti-dade de ovos comprados?

b) O que depende do quê?

c) Qual é a variável dependente?

d) Qual é a variável independente?

e) Qual é a regra (fórmula) que associa a quanti-

dade de dúzias com o preço a pagar?

f) Qual é o preço de 9 dúzias de ovos?

12) Uma panificadora vende o pão francês de 50 gramas, mais conhecido como “pão careca”, ao

preço de R$ 0,25 cada. Para não ter que fazer

conta a toda hora, os funcionários da panificadora montaram a seguinte tabela:

Quantidade de pães Preço (R$)

1 0,25

2 0,50

3 0,75

4 1,00

5 1,25

6 1,50

7 1,75

8 2,00

9 2,25

10 2,50

Responda o que se pede: a) O preço a ser pago está em função da quanti-

dade de pães comprados?

b) O que depende do quê?

c) Qual é a variável dependente?

d) Qual é a variável independente?

e) Qual é a regra (fórmula) que associa a quanti-

dade de pães e o preço a pagar?

f) Qual é preço de 6 pães?

g) Qual é preço de 12 pães?

h) Se tenho R$ 4,00. Qual é a quantidade de

pães que dá para eu comprar?

4 . DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO

Dados os conjuntos A e B, não vazios, e

uma relação R de A em B, quando para todo ele-

mento x ∈ A, existe um único f(x) ∈ B, dizemos

que R é uma função f de A em B.

Notação: f: A B.


13) Quais das seguintes relações são funções?

a) c)

b)

14) Marque os diagramas representam função:

(a)( )

(b)( ) (c)( )

-10

01

12

2

A B

-1 -1

0 0

1 1

2 2

A B

- 1 -1

0 0

1 1

2

A B

4

(d)( ) (e)( ) (f)( )

(g)( ) (h)( )

15) Verifique se é função ou apenas relação:

a) Dado A = {0, 5, 15} e B = {0, 5, 10, 15, 20, 25}, seja a relação de A em B. Expressa pela lei

y = x + 5, com x ∈ A e y ∈ B.

b) Dado A = {-2, 0, 2, 5} e B = {0, 2, 5, 10, 20},

seja a relação de A em B expressa pela lei y = x,

com x ∈ A e x ∈ B.

c) Dado A = {-3, -1, 1, 3} e B = {1, 3, 6, 9}, seja

a relação de A em B. Expressa pela lei y = x2, com

x ∈ A e y ∈ B.


16) Uma companhia telefônica tem um plano pa-

ra seus clientes, a tabela abaixo mostra o valor a ser pago pelos seus clientes em função do tempo

de ligação:

Responda:

a) Represente a tabela em diagramas;

b) Sendo o conjunto A, a variável “Tempo de liga-ções”; e o conjunto B, a variável “Valor em reais”,

a tabela representa uma função de A em B?


17)(UF-MG) Das figuras abaixo, a única que re-

presenta o gráfico de uma função real y = f(x), x [a, b], é:

(a) (d)

(b) (e)

(c)

R: (c)

18)(UEPA-2003) Dentre os romeiros, há aqueles que acompanham o círio carregando miniaturas de

casa, barcos, parte do corpo humano em cera,

velas, etc. Por considerarem atendidas por nossa senhora de Nazaré as suas súplicas. Estes objetos

são tantos que existem carros especiais para reco-

lhê-los. Considerando a existência de um conjun-

to A, formado pelos romeiros do círio, e um conjunto B formado pelos objetos oferta-

dos/recolhidos durante a procissão, é correto

afirmar que:

(a) Todos os elementos de A estão associados a

elementos de B, o que caracteriza uma função de A em B.

(b) Alguns elementos de A estão associados a

elementos de B, que caracteriza uma relação de A

em B. (c) Nenhum elemento de A está associado a ele-

mentos de B.

(d) Existem elementos de B que não estão associ-

ados a elementos de A. (e) Todas as alternativas acima estão corretas. R: (b)

19)(UFF-RJ) Em certo dia, três mães deram à luz em uma maternidade. A primeira teve gê-

meos, a segunda, trigêmeos e a terceira, um úni-co filho. Considere, para aquele dia, o conjunto

das 3 mães, o conjunto das 6 crianças e as se-

guintes relações:

I . A que associa cada mãe ao seu filho. II . A que associa cada filho à sua mãe.

III . A que associa cada criança ao seu irmão.

São funções:

(a) somente a I (d) todas

(b) somente a II (e) nenhuma

(c) somente a III R: (b)

-1

01

1

2

A B

-1

0

1

1

2

A B

- 1 -1

00

1 1

2

2

-2

3

A

B

- 1 -1

00

1 1

2

2

- 2

3

A

B

-10

01

1

22

A B

5

5 . DOMÍNIO, IMAGEM E CONTRADOMÍ-

NIO DE FUNÇÃO

O conjunto A cha-

ma-se Domínio da função (Df), o conjunto B contra-

domínio da função (CDf) e

o elemento f(x) ∈ B chama-

se imagem de x pela fun-

ção. O conjunto imagem da

função é Imf = {f(x) ∈ B/ x

∈ A}. Os diagramas ao lado

serão simbolizados, a partir de agora, simplesmente,

assim f: A → B.

Exemplo: Sejam A = {0, 1, 2} e B = {0, 1, 2, 3,

4, 5, 6}, f: A → B, definida

por f(x) = x + 1.

Df = {0, 1, 2}

Imf = {1, 2, 3}

CDf = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}

Observações: O domínio 0 tem imagem 1, simbolicamente

f(0) = 1;

O domínio 1 tem imagem 2, simbolicamente

f(1) = 2;

O domínio 2 tem imagem 3, simbolicamente

f(2) = 3.


20) Dados A = {0, 1, 2, 3} e B = {0, 1, 2, 3, 4,

5, 6, 7} e a relação R tal que y = 2x + 1: a) Construa a relação R em diagramas;

b) Verifique se essa relação é uma função. Em

caso afirmativo determine o Df, Imf e CDf.

21) O diagrama de flechas re-

presenta uma função f de A em

B. Determine:

a) D(f) = {2,3,5}

b) CD(f) = {0,2,4,6,8,10}

c) lm(f) = {4,6,10}

d) f(3) = 6

e) f(5) = 10

f) x tal que f(x) = 4 2

6 . ESTUDO DO DOMÍNIO É o conjunto com todos os possíveis valores

de x.

Exemplo: Calcule o domínio da função:

a) f(x) = 2x – 5

Resposta: fica implícito que x pode ser qualquer nú-

mero real, logo, Df = ℝ.

b) f(x) =

Resposta: x pode ser qualquer número real, com

exceção do 2, pois se x = 2, o denominador será 0

(zero) e não existe fração com denominador zero.

Logo o Df = ℝ – {2}.


22) Determine o domínio da função

f(x) = 16 - x

3 5x . S = {x ∈ ℝ/ x ≠ 16}


f(x) = 3x - 5 . S = {x ∈ ℝ/ x ≤ 5/3}


f(x) = 4 - x + 2 - x

1. S = {x ∈ ℝ/ x ≥ 4}

7 . FUNÇÃO BIJETORA

7.1 Função sobrejetora Quando uma função f tem a sua imagem

igual a seu contradomínio, isto é, Imf = CDf .

7.2 Função injetora Quando f: A → B transforma elementos

diferentes de A em elementos diferentes de B, isto

é, x1 ≠ x2 em A ⟹ f(x1) ≠ f(x2) em B.


25) Verifique se f é sobrejetora: Seja A = {-2, -1, 0, 1}, B = {0, 1, 4}, f : A → B,

definida f(x) = x2. f é sobrejetora.

26) Seja A = {-3, -2, 0, 1}, B = {2, 3, 5, 6}, f: A B, tal que f(x) = x + 5. Verifique se f é

sobrejetora ou não. f é sobrejetora.

27) Verifique se f é injetora: a) A = {0, 1, 2, 3}

B = {1, 3, 5, 7}

f: A B, f(x) = 2x + 1 f é injetora.

b) A = {2, 5, 10}

B = {10, 23} f não é injetora.

f: A → B, definida por x é divisor de y.

7.3 Função bijetora Uma função f é dita bijetora quando é so-

brejetora e injetora.

EXERCÍCIO PROPOSTO

28) Verifique se f é bijetora:

A = {0, 2, 3} B = {1, 5, 7}

f: A → B, f(x) = 2x + 1 f é bijetora.

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO

29) Os alunos Bruno, Jéssica e Paulo, do 1° ano,

estavam estudando matemática e perceberam a formação de dois conjuntos. O conjunto A formado

pelas disciplinas estudadas por eles e um conjunto

B formado pelos professores dessas disciplinas. É

correto afirmar que a relação de A em B: (a) Não representa uma função.

(b) representa uma função somente injetora.

(c) representa uma função somente sobrejetora.

2x

32x

x f(x)

A

B

f

1

A

B

0

2

1

2

3

0

4

5

6

6

(d) representa uma função bijetora.

(e) representa uma função não injetora e nem

sobrejetora. R: (d)

30) Estudando a teoria das funções alguns alunos propuseram a seguinte questão: De todas as mu-

lheres, algumas são mães, porém, todo filho obri-

gatoriamente apresenta uma mãe e uma mulher é

mãe se apresenta pelo menos um filho. Chamando o conjunto das mulheres de A e o conjunto dos

filhos de B. É correto afirmar que a relação de B

em A:

(a) Não representa uma função.





sobrejetora. R: (e)


31)(UEPA-2005) Patrícia está paquerando três colegas: Ricardo, Paulo e Maurício. Para conhecer

um pouco sobre suas personalidades recorreu ao zodíaco. Ficou sabendo que Ricardo é do signo de

Áries, Paulo é de Leão e Maurício, de Virgem. Con-

siderando A o conjunto formado por esses colegas

de Patrícia e B o conjunto dos 12 signos do zodía-co, é correto afirmar que a relação de A em B:

(a) não representa uma função.





sobrejetora. R: (b)

32)(UFF-RJ) Sendo ℝ o conjunto dos números

reais e a aplicação 𝑓: ℝ → ℝ definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥2,

podemos afirmar que 𝑓:

(a) é sobrejetora e não injetora

(b) é bijetora

(c) é sobrejetora

(d) é injetora

(e) não é sobrejetora nem injetora R: (e)

8 . GRÁFICO DE FUNÇÃO NO PLANO CAR-

TESIANO Construir uma tabela com os valores de x esco-

lhidos convenientemente e calcular os respecti-

vos valores de f(x);

A cada par ordenado (x, f(x)) associar um pon-

to no plano cartesiano;

Marcar o número suficiente de pontos, até que

seja possível esboçar o gráfico.


33) Construa o gráfico da função f(x) = 2x + 1,

sendo o domínio D = {0, 1, 2, 3}.

34) Construa o gráfico da função f(x) = 2x + 1, sendo o domínio D = {x ∈ ℝ/ 0 < x < 3}.

35) Construa o gráfico da função f: ℝ → ℝ dada

por f(x) = 2x + 1.

9 . FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU

Chama-se função polinomial do 1º grau, ou

função afim, a qualquer função f: ℝ → ℝ dada por

uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são

números reais fixos, com a ≠ 0; x e f(x) são vari-

áveis. O número a é chamado de coeficiente de x

e o número b é chamado termo constante.

Exemplos: 1) f(x) = 5x – 3, no qual a = 5 e b = -3

2) f(x) = -2x + 7, no qual a = -2 e b = 7

3) f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0

9.1 O gráfico

Exemplo: Construir o gráfico da função

f(x) = 2x - 1.

Para x = 1, f(x) = 2 · 1 - 1 = 1; portanto, um

ponto é (1, 1);

Para x = 2, f(x) = 2 · 2 - 1 = 3; portanto, ou-

tro ponto é (2, 3);

Marcamos os pontos (1, 1) e (2, 3) no plano

cartesiano e ligamos os dois com uma reta.

x f(x)

1 1

2 3


36) Construa, no plano cartesiano, o gráfico das seguintes funções, definidas de ℝ em ℝ:

a) f(x) = x + 1 d) f(x) = 3x + 1

b) f(x) = x + 2 e) f(x) = -2x + 1

c) f(x) = x + 4

37) Um corpo se movimenta em velocidade cons-

tante de acordo com a fórmula matemática s = 2t – 3, em que s indica a posição do corpo

(em metros) no instante t (em segundos). Cons-

trua o gráfico de s em função de t.

38) Uma máquina, ao sair da fábrica, sofre uma desvalorização constante pelo seu uso, represen-

tada pela função P(t) = 50 – 5t, em que P é o

preço da máquina (em reais) e t é o tempo de uso

(em anos). Determine: a) o gráfico dessa função;

x

y

1

1

3

2

7

b) o custo da máquina ao sair da fábrica; R$ 50,00

c) o custo da máquina após 5 anos de uso; R$ 25,00

d) o tempo para que a máquina se desvalorize totalmente. 10 anos

39) Um móvel em movimento retilíneo uniforme obedece à função s = 5t + 15, em que s é o espa-ço percorrido pelo móvel (em metros) e t é o tem-

po gasto em percorrê-lo (em segundos). Determi-

ne:

a) construa o gráfico s(t) da função.

b) a posição do móvel no instante t = 0 s; 15 m c) a posição do móvel no instante t = 5 s; 40 m

d) a posição do móvel no instante t = 10 s; 65 m

e) o instante em que o móvel se encontra a 35 m

da origem. 4 s

9.2 Parte fixa e variável A função do 1º grau f(x) = ax + b tem uma

parte fixa (ax) e uma parte variável (b).

f(x) = parte variável + parte fixa

f(x) = ax + b

Observação:

Lucro = venda - custo

Exemplo: Uma revendedora de cosméticos vende

um perfume por R$ 100,00, que custou 70,00. Qual é o lucro da vendedora?

Resolução:

L = 100 – 70

L = 30

Resposta: O lucro da vendedora é de R$ 30,00.


40) Na produção de peças, uma indústria tem um custo fixo de R$ 8,00 mais um custo variável de

R$ 0,50 por unidade produzida. Sendo x o núme-

ro de unidades produzidas:

a) Escreva a lei da função que fornece o custo total de x peças; C(x) = 0,50x + 8,00

b) Calcule o preço de 100 peças. R$ 58,00

41) Um comerciante comprou uma caixa de um

determinado produto, teve um custo fixo com transporte de R$ 230,00. Venderá cada unidade

por R$ 5,00, o lucro final será dado em função

das x unidades vendidas. Sabendo que

Lucro = venda - custo

Responda:

a) Qual é a lei dessa função f?

b) Se o comerciante vender 1 unidade desse pro-

duto terá lucro ou prejuízo?

c) Se o comerciante vender 10 unidades desse

produto terá lucro ou prejuízo?

d) Se o comerciante vender 40 unidades desse

produto terá lucro ou prejuízo?

e) Se o comerciante vender 50 unidades desse produto terá lucro ou prejuízo?

42) Um comerciante teve uma despesa de R$ 230,00 na compra de certa mercadoria. Como vai vender cada unidade por R$ 5,00, o lucro final

será dado em função das x unidades vendidas.

Responda:

a) Qual é a lei dessa função f? L(x) = 5x – 230

b) Para que valores de x temos f(x) = 0? Como

pode ser interpretado esse caso? R: x = 46 unidades

c) Para que o valor de x haverá lucro de

R$ 315,00? R: x = 109 unidades

d) Para que valores de x o lucro será maior que

R$ 280,00? R: x maior que 102

e) Para que valores de x o lucro estará entre R$ 100,00 e R$ 180,00? R: x maior que 66 e menor que 82

43) Um fabricante vende um produto por R$ 0,80 a unidade. O custo total do produto con-siste numa taxa fixa de R$ 40,00 mais o custo de

produção de R$ 0,30 por unidade.

a) Qual o número de unidades que o fabricante

deve vender para não ter lucro nem prejuízo? R: 80 unidades

b) Se vender 200 unidades desse produto, o co-merciante terá lucro ou prejuízo? R: lucro (lucro de R$ 60,00)


44) Uma companhia telefônica tem um plano pa-ra seus clientes, a tabela abaixo mostra o valor a

ser pago pelos seus clientes em função do tempo de ligação:

Considere x ∈ ℝ, y ∈ ℝ. Construa o gráfico da fun-

ção.


45)(Unicamp-SP, modificada) O preço a ser pago por uma corrida de táxi inclui uma parcela

fixa, denominada bandeirada, e uma parcela que

depende da distância percorrida. Se a bandei-rada custa R$ 3,50 e cada quilômetro rodado cus-

ta R$ 1,20.

a) Escreva a lei da função que fornece o preço a

ser pago pela corrida em função da distância x

percorrida; P(x) = 1,20x + 3,5

b) o preço de uma corrida de 10 km; R: R$ 15,50

c) a distância percorrida por um passageiro que

pagou R$ 27,50 pela corrida. R: 20 km

46)(UEPA-2002) Um pequeno comerciante in-vestiu R$ 300,00 na produção de bandeiras do

seu time favorito, para venda em um estádio de futebol. Foram vendidas x bandeiras ao preço de

R$ 8,00 cada uma. Então o lucro L(x) obtido na

venda de x bandeiras é dado por:

(a) L(x) = 300 - 8x (d) L(x) = 8x

(b) L(x) = 8x + 300 (e) L(x) = - 8x - 300

(c) L(x) = 8x - 300 R: (c)

8

47)(UEPA-2006, modificada) [...] Em relação a pesca artesanal, estima-se que existam hoje 200

mil pescadores artesanais no Estado do Pará, que

sustentam as suas famílias com essa atividade. O volume médio mensal de produção por cada pes-

cador é aproximadamente igual a 120 quilos de

peixe.

A função que representa o lucro de um

pescador durante um mês, sabendo que x repre-senta o preço de um quilo de peixe e c representa

o custo fixo mensal existente na produção, é:

(a) L (x) = 120x + c (d) L (x) = 120c + x

(b) L (x) = 120x – c (e) L (x) = 120x

(c) L (x) = 120c - x R: (b)

48)(Enem-2009) Uma empresa produz jogos

pedagógicos para computadores, com custo fixo

de R$ 1.000,00 e custos variáveis de R$ 100,00

por unidade de jogo produzida. Desse modo, o

custo total x jogos produzido é dado por

C(x) = 1 + 0,1x (em R$ 1.000,00).

A gerência da empresa determina que o preço de

venda do produto seja de R$ 700,00. Com isso a

receita bruta para x jogos é dada por

R(x) = 0,7x (em R$ 1.000,00). O lucro líquido,

obtido pela venda de x unidades de jogos, é calcu-

lado pela diferença entre a receita bruta e os cus-

tos totais. O gráfico que modela corretamente o

lucro líquido dessa empresa, quando são produzi-

dos x jogos, é

(a) (d)

(b) (e)

(c)

49)(UFRA-2004) Uma função de custo linear é da forma C(x) = Ax + B, onde B representa a

parte fixa desse custo total. Suponha que uma

indústria ao produzir 150 unidades de um produ-

to, gasta R$ 525,00 e quando produz 400 unida-des seus gastos são de R$ 700,00, então pode-

mos afirmar que os custos fixos dessa indústria

são, em reais,

(a) 175 (b) 225 (c) 375 (d) 420 (e) 475 R: (d)

9.3 Raiz ou zero da função do 1º grau

É o valor de x para f(x) = 0

Exemplo: Obtenha o zero da função de f(x) = 2x -

6:

f(x) = 0 ⇒ 2x - 6 = 0 ⇒ x = 2

6 ⇒ x = 3.

EXERCÍCIO PROPOSTO

50) Calcule a raiz da função:

a) f(x) = 3x – 6 R: 2 c) h(x) = -2x + 10 R: 5

b) g(x) = 2x + 10 R: -5 d) g(x) = x + 1 R: -1

Observação: No plano cartesiano o zero ou raiz da

função é a abscissa do ponto onde o gráfico corta

o eixo x.

9.4 Crescimento e decrescimento Consideremos a função f(x) = 3x - 1,

x aumenta

x -1 0 1 2 3 4 5

f(x) -4 -1 2 5 8 11 14

f(x) aumenta

quando aumentamos o valor de x, os correspon-

dentes valores de f(x) também aumentam. Dize-

mos que a função f(x) = 3x - 1 é crescente. Ob-

servamos o seu gráfico:

9

Agora, consideremos f(x) = -3x - 1, x aumenta

x -2 -1 0 1 2 3 4

f(x) 5 2 -1 -4 -7 -10 -13

f(x) diminui

quando aumentamos o valor de x, os correspon-

dentes valores de f(x) diminuem. Dizemos que a função f(x) = -3x - 1 é decrescente. Observamos

o seu gráfico:

Regra Geral: A função do 1º grau f(x) = ax + b

é crescente quando a > 0 e decrescente quando a

< 0. O a é também chamado de coeficiente an-

gular e o b de coeficiente linear.


51) Construa o gráfico de cada uma das seguin-tes funções e diga se é função é crescente, de-

crescente ou constante; linear ou afim:

a) f(x) = x + 5 d) f(x) = 5 g) f(x) = x R: crescentes e afim R: constante R: crescente e linear (essa

chamada identidade)

b) f(x) = 5x e) f(x) = -5x h) f(x) = -3 R: crescente e linear R:decrescente e linear R: constante

c) y = 5x + 1 f) f(x) = -5 R: crescente e afim R: constante

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO

52)

a) De que trata o gráfico? Identifique as variáveis

envolvidas. R: menor crescimento da população e tempo (em anos)

b) Qual o período em que a taxa de fecundidade

se manteve praticamente constante? R: 1940 à 1960 c) A partir de que data a função é decrescente?

R: 1960 d) Entre que período a taxa de fecundidade redu-

ziu em 50%? R: 1960 à 1991

53) Um botânico mede o crescimento de uma

planta, em centímetros, todos os dias. Ligando-se os pontos colocados por ele num gráfico, resulta a

figura seguinte. Se for mantida sempre esta rela-

ção entre tempo e altura, determine a altura que a

planta terá no 30º dia. R: 6 cm


54)(Enem-2017) Os congestionamentos de trânsito constituem um problema que aflige, todos

os dias, milhares de motoristas brasileiros. O grá-

fico ilustra a situação, representando, ao longo de um intervalo definido de tempo, a variação da ve-

locidade de um veículo durante um congestiona-

mento.

Quantos minutos o veículo permaneceu imóvel ao longo do intervalo total analisado? R: (c)

(a) 4 (b) 3 (c) 2 (d) 1 (e) 0

55)(Enem-2016) Um reservatório com água por uma torneira e um ralo faz a drenagem da água

desse reservatório. Os gráficos representam as vazões Q, em litros por minuto, do volume de

água que entra no reservatório pela torneira e do

volume que sai pelo ralo, em função do tempo t,

em minutos.

x

y

1

2

5

2

x

y

-1

2

-4

1

10

Em qual intervalo de tempo, em minuto, o reser-vatório tem vazão constante de enchimento?

(a) De 0 a 10. (c) De 5 a 15. (e) De 0 a 25.

(b) De 5 a 10. (d) De 15 a 25. R: (b)

56)(Enem-2012) O dono de uma farmácia resolveu colocar à vista do público o gráfico

mostrado a seguir, que apresenta a evolução do total de vendas (em Reais) de certo medicamento

ao longo do ano de 2011.

De acordo com o gráfico, os meses em que

ocorreram, respectivamente, a maior e a menor venda absolutas em 2011 foram

(a) março e abril (d) junho e setembro

(b) março e agosto (e) junho e agosto

(c) agosto e setembro R: (e)

57)(Enem-2012) O gráfico mostra a variação da extensão média de gelo marítimo, em milhões de

quilômetros quadrados, comparando dados dos anos 1995, 1998, 2000, 2005 e 2007. Os dados

correspondem aos meses de junho a setembro. O

Ártico começa a recobrar o gelo quando termina o

verão, em meados de setembro. O gelo do mar atua como o sistema de resfriamento da Terra,

refletindo quase toda a luz solar de volta ao

espaço. Águas de oceanos escuros, por sua vez,

absorvem a luz solar e reforçam o aquecimento do Ártico, ocasionando derretimento crescente do

gelo.

Com base no gráfico e nas informações do texto, é possível inferir que houve maior aqueci-

mento global em

(a) 1995 (c) 2000 (e) 2007

(b) 1998 (d) 2005 R: (e)

58)(Enem-MEC) Um estudo sobre o problema do desemprego na Grande São Paulo, no período

1985-1996, realizado pelo SEADE-DIEESE, apre-

sentou o seguinte gráfico sobre taxa de desem-prego.

Pela análise do gráfico, é correto afirmar que, no

período considerado, (a) a maior taxa de desemprego foi de 14%.

(b) a taxa de desemprego no ano de 1995 foi a

menor do período.

(c) a partir de 1992, a taxa de desemprego foi

decrescente.

(d) no período 1985-1996, a taxa de desemprego esteve entre 8% e 16%.

(e) a taxa de desemprego foi crescente no período

compreendido entre 1988 e 1991. R: (d)

59)(Enem-MEC) Para convencer a população local da ineficiência da Companhia Telefônica Vila-

tel na expansão da oferta de linhas, um político

publicou no jornal local o gráfico I, representado a

seguir. A Companhia Vilatel respondeu publicando

dias depois o gráfico II, através do qual pretende justificar um grande aumento na oferta de linhas.

O fato é que, no período considerado, foram insta-

ladas, efetivamente, 2OO novas linhas telefônicas.

Analisando os gráficos, pode-se concluir que: R: (d)

(a) o gráfico II representa um crescimento real

maior do que o do gráfico I.

11

(b) o gráfico I apresenta o crescimento real, sen-

do o II Incorreto.

(c) o gráfico II apresenta o crescimento real,

sendo o I incorreto.

(d) a aparente diferença de crescimento nos dois gráficos decorre da escolha das diferentes escalas.

(e) os dois gráficos são incomparáveis, pois usam

escalas diferentes.

60)(Enem-2016) O cultivo de uma planta rara só é viável se do mês do plantio para o mês sub-

sequente o clima da região possuir as seguintes

peculiaridades:

A variação do nível de chuva (pluviosidade),

nesses meses não for superior a 50 mm;

A temperatura mínima, nesses meses, for su-

perior a 15 °C;

Ocorrer, nesse período, um leve aumento não

superior a 5 °C na temperatura máxima.

Um floricultor, pretendendo investir no plantio

dessa flor em sua região, fez uma consulta a um meteorologista que lhe apresentou o gráfico com

as condições previstas para os 12 meses seguintes

nessa região.

Com base nas informações dos gráficos, o

floricultor verificou que poderia plantar essa planta

rara. O mês escolhido para o plantio foi

(a) janeiro (c) agosto (e) dezembro

(b) fevereiro (d) novembro R: (a)

61)(UEPA-2012) O treinamento físico, na dependência da qualidade e da quantidade de

esforço realizado, provoca, ao longo do tempo, aumento do peso do fígado e do volume do

coração. De acordo com especialistas, o fígado de

uma pessoa treinada tem maior capacidade de

armazenar glicogênio, substância utilizada no metabolismo energético durante esforços de longa

duração. De acordo com dados experimentais

realizados por Thörner e Dümmler (1996), existe

uma relação linear entre a massa hepática e o

volume cardíaco de um indivíduo fisicamente treinado. Nesse sentido, essa relação linear pode

ser expressa por y = ax +b, onde “y” representa o

volume cardíaco em mililitros (ml) e “x”

representa a massa do fígado em gramas (g). A partir da leitura do gráfico abaixo, afirma-se que a

lei de formação linear que descreve a relação

entre o volume cardíaco e a massa do fígado de

uma pessoa treinada é:

(fonte: Cálculo Ciências Médicas e Biológicas, Editora Harbra Ltda, São Paulo,1988 –

Texto Adaptado)

(a) y = 0,91.x – 585 (d) y = - 0,94.x + 585

(b) y = 0,92.x + 585 (e) y = 0,95.x – 585

(c) y = - 0,93.x – 585 R: (b)

62)(UEPA-2011)

O Produto Interno Bruto (PIB) representa a soma

de todas as riquezas produzidas em um país. O crescimento do PIB é uma forma de garantir a

melhoria da qualidade de vida da população. O

gráfico acima mostra a variação anual do PIB no

Brasil. O crescimento do PIB de 2005 para 2007, em porcentagem foi de:

(a) 15,5 (c) 47,6 (e) 87,5

(b) 20,8 (d) 65,4 R: (e)

63)(UEPA-2011) Uma fábrica apresenta um gasto fixo de R$ 11 000 na produção de papel

reciclado e R$ 0,06 na produção de cada folha. O

gráfico que representa o custo total que a fábrica

tem por mês na produção de folha de papel reci-clado será:

(a) Uma curva que passa pela origem do sistema

de coordenadas.

(b) Uma reta de origem no ponto (0, 11 000).

(c) Uma reta de origem no ponto (6 600, 11 000). (d) Uma reta de origem no ponto (11 000, 327).

(e) Uma reta de origem no ponto (6, 11 000). R: (b)

64)(UEPA-2010) O gráfico abaixo representa o número de notificações relacionadas a fraudes,

invasões e tentativas de invasão sofridas por

usuários de computador.

12

Analisando o gráfico, observa-se que:

(a) as notificações foram decrescentes entre 2006

e 2008.

(b) em 2006 aconteceu o maior número de

notificações.

(c) a razão de notificações entre 2004 e 2005 é 37863/34000.

(d) em 2008 houve o maior número de

notificações.

(e) em 2006 as notificações duplicaram em

relação às notificações de 2005. R: (d)

65)(UEPA-2010) No processo de geração de um sinal de vídeo por meio dos sensores CCD/CMOS,

quanto maior a quantidade de luz recebida por um

determinado pixel, mais intensa a corrente elétrica gerada (efeito fotoelétrico na superfície foto-

sensível do pixel) e, portanto, maior a carga con-

centrada nos acumuladores individuais associados

a cada pixel. Em outras palavras, quanto maior a luminosidade maior será a corrente gerada. Essa

relação no sensor é sempre diretamente proporci-

onal. O gráfico abaixo que melhor representa a

relação da luminosidade com a voltagem é: Fonte: Texto adaptado de www.fazendovideo.com.br/vtsin3.asp

(a) (d)

(b) (e)

(c)

R: (c)

66)(UEPA-2009) O gráfico abaixo ilustra a área

desmatada na Amazônia, mês a mês, conforme

dados do Instituto Nacional de Pesquisas Espaci-

ais:

Sobre o gráfico acima, é correto afirmar que:

(a) o período de agosto a novembro de 2007 re-

presenta uma função sempre crescente.

(b) no período de abril a julho de 2008 houve

apenas tendência de queda na área desmatada.

(c) no período de março a abril de 2008 houve

uma tendência de crescimento de 67,45 %.

(d) no segundo semestre de 2007 houve apenas

tendência de queda na área desmatada.

(e) o período de janeiro a março de 2008 repre-

senta uma função sempre decrescente. R: (b)

67)(UEPA-2009) O gráfico abaixo mostra a va-riação do consumo de gasolina em função da cilin-

drada do motor.

Fonte: Veja, 20/08/08

Sobre o gráfico acima, é correto afirmar que:

(a) é gráfico de uma função linear crescente.

(b) é gráfico de uma função linear decrescente.

(c) quanto maior a cilindrada maior o consumo de

gasolina.

(d) é gráfico de uma função quadrática com con-

cavidade voltada para cima.

(e) quanto maior a cilindrada menor o consumo

de gasolina. R: (e)

68)(UEPA-2006)

A aquicultura e a pesca artesanal

Em 2001, a aquicultura (criação de animais e plantas aquáticas) nacional produziu, aproxima-

damente, 210.000 toneladas/ano, incluindo pei-

xes, moluscos e crustáceos, valor extremamente

baixo quando comparado ao real potencial do se-tor. De acordo com as previsões feitas em 2001

pelo Departamento de Pesca e Aquicultura – DPA

do Ministério da Agricultura, Pecuária e Abasteci-

13

mento, caso sejam mantidas as taxas atuais de

crescimento da aquicultura de 15% ao ano, é pos-

sível que o Brasil, em poucos anos, alcance uma boa produção. Dessa produção, os peixes de água

doce – concentrados em carpas, tilápias e bagres

– contribuem com aproximadamente 85% do total

cultivado. Os restantes correspondem basicamente a camarões marinhos e mexilhões. Contudo, há

uma tendência de aumento do consumo, princi-

palmente, através de produtos beneficia-

dos/industrializados, tais como filés e empanados. De todos os setores de produção animal, a

aquicultura é a atividade que cresce mais rapida-

mente. Desde 1970 a aquicultura cresceu a taxas

médias de 9,2 % ao ano. Em relação à pesca ar-tesanal, estima-se que existam hoje 200 mil pes-

cadores artesanais no Estado do Pará, que sus-

tentam as suas famílias com essa atividade. O

volume médio mensal de produção por cada pes-

cador é aproximadamente igual a 120 quilos de peixe. O Estado do Pará possui 100 embarcações

para a captura de camarão, 48 barcos para a pes-

ca da piramutaba e para o pargo.

Supondo que as embarcações de camarão capturam x toneladas de camarão ao ano, as de

piramutaba pescam y toneladas de piramutaba ao

ano e as de pargo z toneladas de pargo ao ano,

sendo x > y > z > 0. O gráfico que melhor repre-senta o número de embarcações (linhas de 34 a

36), em função das

toneladas/ano, é:

(a) (d)

(b) (e)

(c)

69)(UEPA-2005) Para produzir colares feitos com sementes de açaí, uma artesã teve uma des-

pesa de R$ 24,00 na aquisição de matéria prima.

Sabendo que o preço de custo por unidade produ-zida é de R$ 2,00 e que a artesã pretende vender

cada colar por R$ 5,00, analise as afirmativas

abaixo:

I . A lei matemática que permite calcular a receita

bruta R, a ser obtida com a venda desses colares, em função da quantidade x de unidades vendidas,

é R(x) = 5,00x.

II . A lei matemática que permite calcular o custo

total C decorrente dessa produção, em função da

quantidade x de colares produzidos é C(x) = 24,00 + 2,00x.

III . A venda desses produtos só dará lucro se a

quantidade de colares vendidos for superior a 8.

É correto afirmar que:

(a) todas as afirmativas são verdadeiras

(b) todas as afirmativas são falsas

(c) somente as afirmativas II e III são falsas

(d) somente as afirmativas I e II são verdadei-

ras

(e) somente as afirmativas I e III são verdadei-

ras R: (a)

70)(UEPA-2005, modificada)

AÇAÍ

(...) Hoje já existem projetos que pagam aos ribei-

rinhos R$ 10,00 a lata rasa de 14kg, para uma

produção de até 20 latas diárias. Para produção acima de 20 latas se paga 10% a mais por lata. A

expressão matemática que representa a receita R

do ribeirinho, em reais, em função do número x de

latas vendidas diariamente, é:

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

R: (c)

71)(UEPA-2004) Nas feiras de artesanato de Belém do Pará, é comum, no período natalino, a venda de árvores de natal feitas com raiz de

patchouli. Um artesão paraense resolve incremen-

tar sua produção, investindo R$ 300,00 na com-

pra de matéria prima para confecciona-las ao pre-

ço de custo de R$ 10,00 a unidade. Com a inten-ção de vender cada árvore ao preço de R$ 25,00,

quantas deverá vender para obter lucro?

14

(a) mais de 8 e menos de 12 árvores.

(b) mais de 12 e menos de 15 árvores.

(c) mais de 15 e menos de 18 árvores.

(d) mais de 18 e menos de 20 árvores.

(e) mais de 20 árvores. R: (e)

72)(UEPA-2003) Durante as festividades do Círio, são vendidos tradicionalmente os brinquedos

de miriti vindos, em sua maioria, do município de

Abaetetuba. Um produtor destes brinquedos fabri-ca canoas ao custo de R$ 2,00 a unidade, ven-

dendo por R$ 5,00 cada uma. Sabendo que ele

gasta com transporte R$ 20,00, quantas canoas

terá que vender para lucrar R$ 100,00?

(a) 40 (b) 50 (c) 60 (d) 70 (e) 80 R: (a)

73)(UFPA–2010) Em uma viagem terrestre, um motorista verifica que, ao passar pelo quilômetro

300 da rodovia, o tanque de seu carro contém 45

litros de combustível e que, ao passar pelo quilômetro 396, o marcador de combustível

assinala 37 litros. Como o motorista realiza o

trajeto em velocidade aproximadamente

constante, o nível de combustível varia

linearmente em função da sua localização na rodovia, podendo portanto ser modelado por uma

função do tipo C(x) = a.x + b, sendo C(x) o nível

de combustível quando o automóvel se encontra

no quilômetro x da rodovia. Baseado nessas informações, é correto afirmar que, com o

combustível que possui, o automóvel chegará, no

máximo, até o quilômetro:

(a) 800 (c) 890 (e) 990

(b) 840 (d) 950 R: (b)

74)(UFPA–2010) O gráfico abaixo apresenta a incidência de tuberculose, de 1990 a 2006, em

quatro países lusófonos, Angola, Brasil, Moçambique e Portugal, segundo dados da

Organização Mundial de Saúde.

Com base neste gráfico, é INCORRETO afirmar: (a) Brasil e Portugal apresentaram

comportamentos parecidos, com queda

aproximadamente linear em seus índices.

(b) No período de 1990 a 2006, dos quatro

países, Moçambique foi o que apresentou maior crescimento de incidência relativa de tuberculose.

(c) Nos últimos três anos do levantamento, de

2004 a 2006, Brasil e Portugal apresentaram

diminuição da incidência relativa de casos de tuberculose, enquanto Angola e Moçambique

apresentaram crescimento do índice.

(d) No início do período estudado, dos quatro

países, Angola era o país que apresentava maior

índice de incidência, mas foi largamente ultrapassado por Moçambique, cujo índice

aproximadamente dobrou na década de 90.

(e) Em 2006, o índice de incidência de

tuberculose em Angola era superior ao quíntuplo

do índice brasileiro, enquanto o índice de Moçambique era superior a oito vezes o índice do

Brasil.

75)(UFPA-2009) Na semana de 15 a 21 de se-tembro de 2008 o governo dos Estados Unidos da

América divulgou um plano de socorro às institui-

ções financeiras em crise. O Índice da Bolsa de

Valores de São Paulo (IBOVESPA) teve forte varia-ção e obteve, no fechamento de cada dia da se-

mana, os seguintes valores:

Dia 15 16 17 18 19 Índice 48909 48989 47348 48484 52718

O gráfico que representa essa variação é:

(a) (d)

(b) (e)

(c)

R: (c)

76)(UFPA–2008) Um fornecedor A oferece a um supermercado, um certo produto com os seguintes

custos: RS 210,00 de frete mais R$ 2,90 por cada kilograma. Um fornecedor B oferece o mes-

mo produto, cobrando R$ 200,00 de frete mais

R$ 3,00 por cada kilograma. O gráfico que repre-

senta os custos do supermercado com os fornece-dores, em função da quantidade de kilogramas é:

(a) (d)

15

(b) (e)

(c)

R: (a)

77)(UFPA–2007) Em um jornal de circulação

nacional foi publicada uma pesquisa, realizada no Brasil, com os percentuais, em função do ano, de

famílias compostas por pai, mãe e filhos, chama-

das famílias nucleares, e de famílias resultantes de

processos de separação ou divórcio, chamadas novas famílias. Sabendo-se que os gráficos abaixo

representam, a partir de 1987, a variação percen-

tual desses dois tipos de família, com suas respec-

tivas projeções para anos futuros,

é correto afirmar: (a) No ano 2030, o número de novas famílias será

igual ao de famílias nucleares.

(b) No ano 2030, o número de novas famílias será

menor do que o de famílias nucleares.

(c) No ano 2030, o número de novas famílias será maior do que o de famílias nucleares.

(d) No ano 2015, o número de novas famílias será

igual ao de famílias nucleares.

(e) No ano 2012, o número de famílias nucleares

será menor do que a de novas famílias. R: (c)

78)(UFPA-2006) Uma locadora de veículos apresenta, para aluguel de certo tipo de carro, a

seguinte tabela:

Em uma diária, com percurso não superior a

100km, para que a 2ª opção seja menor em reais, é necessário que o número de quilômetros

percorridos pelo locatário pertença ao intervalo

(a) [60,100] (c) ]60,100] (e) [0,60[

(b) ]60,100[ (d) [0,60] R: (e)

(UFPA–2004) Texto para questões 78 e 79

Um professor estava assistindo ao programa Zorra Total e ao ouvir a frase “VOU BEIJAR MUUUUIII-

TO”, no quadro da Tália, teve a ideia de fazer uma

pesquisa nas escolas onde leciona, relacionando

idade dos alunos com média de beijos/dia. O pro-fessor apresentou aos seus alunos os dados obti-

dos na pesquisa, na forma do gráfico abaixo,

79) Analizando o gráfico, a alternativa que co-

rresponde, respectivamente, ao intervalo da idade

utilizada na pesquisa e ao da média de beijos/dia

encontrados é a:

(a) [0, 12] ; [0, 4] (d) [0, 18] ; [0, 16]

(b) [12, 18] ; [4, 16] (e) [4, 18] ; [12, 16]

(c) [4, 12] ; [16, 18] R: (b)

80) O resultado da pesquisa pode ser representa-

do por uma função matemática. Essa função e a

média de beijos/dia dos alunos de 15 anos são,

respectivamente,

(a) y = x + 2 e 12 (d) y = 2x – 20 e 10

(b) y = x2 – 16x + 23 e 8

(e) y = x – 5 e 10 (c) y = 2x - 12 e 8 R: (d)

81)(UFPA-00) Uma loja no centro de Belém alu-ga microcomputadores para usuários que desejam

navegar pela Internet. Para utilizar esse serviço, o usuário paga uma taxa de R$ 2,00 acrescida de

R$ 3,00 por hora de utilização da máquina. O

gráfico que melhor representa o preço desse ser-

viço é:

3

2

16

(a) (d)

(b) (e)

(c)

R: (c)

82)(UFPA) Mensalmente, pago pela prestação de minha casa 1/5 do meu salário; metade do resta

gasto em alimentação e 1/3 do que sobra coloco na poupança, restando-me ainda R$ 800,00 para

gastos diversos. O valor colocado na poupança é

de:

(a) R$ 800,00 (c) R$ 400,00 (e) R$ 100,00

(b) R$ 650,00 (d) R$ 250,00 R: (c)

83)(UFRA-2003) Numa feira livre, o dono de uma barraca de verduras verificou que, quando o

preço da couve é R$ 1,00 o maço, são vendidos 20 maços, porém, quando o preço cai R$ 0,50

são vendidos 30 maços. Considerando essa de-

manda linear e supondo serem vendidos x maços

a um preço y, a função que melhor descreve essa situação é:

(a) y = -20x + 40 (d) y = -20x

(b) y = -0,05x + 2 (e) y = -2x + 4

(c) y = 0,05x R: (b)

84)(CEFET–2008) Segundo fonte da Embrapa Amazônia Oriental, a produção de frutos do açai-

zeiro no Estado do Pará cresceu de cerca de 90

mil toneladas, em 1994, para cerca de 150 mil em 2000.

Se essa tendência de crescimento, mostrada no

gráfico, se manteve até 2004, a produção nesse ano teve um aumento, em relação a 1994, de

aproximadamente:

(a) 100% (c) 111% (e) 98%

(b) 200% (d) 211% R: (c)

85)(UNAMA-2009/1) O gráfico abaixo repre-senta o custo (C), em reais, na fabricação de X

unidades de um produto. Nessas condições, para

se produzir 25 unidades desse produto serão gas-tos:

(a) R$ 60,00 (c) R$ 75,00

(b) R$ 72,00 (d) R$ 80,00

R: (d)

86)(UEL-PR) O custo C, em reais, da produção de x exemplares de um livro é dado por C(x) = 2000 + 3,5x. Se cada exemplar é vendi-

do por 8 reais, quantos exemplares, no mínimo,

devem ser vendidos para que a editora não tenha

prejuízo?

(a) 438 (c) R$ 27,50 (e) 450

(b) 442 (d) 445 R: (d)

87)(UFPE) Um provedor de acesso a internet oferece dois planos para seus assinantes: plano A – Assinatura mensal de R$ 8,00 mais R$ 0,03

por cada minuto de conexão durante o mês. Plano

B – Assinatura mensal de R$ 10,00 mais R$ 0,02

por cada minuto de conexão durante o mês. Acima

de quantos minutos de conexão por mês é mais econômico optar pelo plano B?

(a) 160 (b) 180 (c) 200 (d) 220 (e) 240 R: (c)

88)(CESGRANRIO) O valor de um carro novo é de R$ 9.000,00 e, com 4 anos de uso, é de R$ 4.000,00. Supondo que o preço caia com o tem-

17

Valor da Conta (R$) 40

15

30 50 volume consumido(m

3)

po, segundo uma linha reta, o valor de um carro

com 1 ano de uso é:

(a) R$ 8.250,00 (d) R$ 7.500,00

(b) R$ 8.000,00 (e) R$ 7.000,00

(c) R$ 7.750,00 R: (c)

89)(Furb-SC) O gráfico abaixo é formado por segmentos de reta e relaciona o valor de uma con-

ta de água e o correspondente volume consumido.

O valor da conta, quando o consumo for de 40 m3

será de:

(a) R$ 50,00 (c) R$ 27,50 (e) R$ 26,50

(b) R$ 28,00 (d) R$ 26,00 R: (c)

90)(Unificado-RJ) Uma barra de ferro com tem-

peratura inicial de 10 ºC foi aquecida até 30 ºC. O gráfico representa a variação da temperatura da

barra em função do tempo gasto nessa experiên-

cia. Calcule em quanto tempo, após o início da

experiência, a temperatura da barra atingiu 0 ºC.

(a) 1 min (c) 1 min 10 s (e) 1 min 20 s

(b) 1 min 5 s (d) 1 min 15 s R: (d)

91)(FETEC) Na figura a seguir tem se o gráfico da função f, onde f(x) representa o preço pago

em reais por x cópias de um mesmo original, na

Copiadora Reprodux. De acordo com o gráfico, é

verdade que o preço pago nessa copiadora por:

(a) 228 cópias de um mesmo original é R$ 22,50.

(b) 193 cópias de um mesmo original é R$ 9,65.

(c) 120 cópias de um mesmo original é R$ 7,50.

(d) 100 cópias de um mesmo original é R$ 5,00.

(e) 75 cópias de um mesmo original é R$ 8,00. R: (b)

10 . FUNÇÃO INVERSA

Dada uma função 𝑓: 𝐴 → 𝐵, bijetora, denomina-

se função inversa de 𝑓 a função 𝑔: 𝐵 → 𝐴 tal que

∀ 𝑎 ∈ 𝐴 e ∀ 𝑏 ∈ 𝐵, se 𝑓(𝑎) = 𝑏, então 𝑔(𝑏) = 𝑎.

10.1 Em diagramas

Exemplo 1:

𝑓: 𝐴 → 𝐵 𝑔: 𝐵 → 𝐴

𝑓 é função inversa de 𝑔, pois

𝑓(1) = 6 e 𝑔(6) = 1

𝑓(3) = 8 e 𝑔(8) = 3

𝑓(4) = 9 e 𝑔(9) = 4

Observação: 𝑓 e 𝑔 são bijetoras.

Exemplo 2: Sejam os conjuntos 𝐴 = {1, 2, 3, 7} e

𝐵 = {4, 8, 12, 28}, 𝑓: 𝐴 → 𝐵, 𝑔: 𝐵 → 𝐴, definidas

por 𝑓(𝑥) = 4𝑥 e 𝑔(𝑥) =𝑥

4.

𝑓: 𝐴 → 𝐵 𝑔: 𝐵 → 𝐴

𝑓(𝑥) = 4𝑥 𝑔(𝑥) =𝑥

4

𝐷𝑓 = {1, 2, 3, 7} 𝐷𝑔 = {4, 8, 12, 28}

𝐼𝑚𝑓 = {4, 8, 12, 28} 𝐼𝑚𝑔 = {1, 2, 3, 7}

𝑓 é função inversa de 𝑔.

Observação: 𝑓 e 𝑔 são bijetoras.

10.2 Processo para determinar a função

inversa Na situação que acabamos de ver (Exemplo

2 do Tópico 10.1), dada a função bijetora cuja lei é

𝑓(𝑥) = 4𝑥, a função 𝑓−1 inversa de 𝑓, tem como lei

𝑓−1 =𝑥

4.

Vejamos como a partir de 𝑓 chegar a 𝑓−1: Escrevemos a 𝑓(𝑥) = 4𝑥 na forma 𝑦 = 4𝑥;

Em 𝑦 = 4𝑥 trocamos 𝑦 por 𝑥 e 𝑥 por 𝑦,obtendo

𝑥 = 4𝑦;

Em 𝑥 = 4𝑦, isolamos 𝑦, obtendo 𝑦 =𝑥

4;

Escrevemos 𝑦 =𝑥

4 na forma 𝑓(𝑥)−1 =

𝑥

4, que é a

função inversa de 𝑓. Veja o esquema abaixo:

0 100

5

10

f(x)

x

18

𝑦 = 4𝑥

𝑥 = 4𝑦

⇕

𝑦 =𝑥

4 , que escrevemos na forma 𝑓(𝑥)−1 =

𝑥

4

Observação:

Uma função 𝑓 é invertível se, e somente se, 𝑓 é

bijetora.


92) Determine a função inversa das seguintes

funções bijetoras de ℝ em ℝ:

(a) f(x) = x - 6

(b) f(x) = 1 – 2x

(c) f(x) = 3x + 4

(d) f(x) = 3x

93) Determine a função inversa de cada função:

(a) y = x – 3 R: y = x + 3

(b) y = 4

2 x R: y = 4x − 2

(c) y = 3 - 4x

2 3x ,

4

3 x R: y =

3x−2

4x−3 (𝑥 ≠

3

4)

(d) g(x) = 3 - 2x

5 x , cujo domínio é D = ℝ -

2

3.

R: y =3x+5

2x−1 (𝑥 ≠

1

2)

94) Sejam os conjuntos A = {-2, -1, 1, 2, 3} e

B = {2, 5, 10} e a função 𝑓: A → B tal que

𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 1.

a) Construa o diagrama de flechas representando

a função 𝑓.

b) Construa o diagrama de flechas representando

a função 𝑓−1.

c) A relação 𝑓−1 é função?

d) A função 𝑓 é invertível?

95) Sejam os conjuntos A = {9, 4, 1, 0} e

B = {3, 2, 1, 0} e a função 𝑓: A → B tal que

𝑓(𝑥) = √𝑥.

a) Construa o diagrama de flechas representando

a função 𝑓.

b) Construa o diagrama de flechas representando

a função 𝑓−1.

c) A relação 𝑓−1 é função?

d) A função 𝑓 é invertível? Por quê?

96) Seja a função invertível 𝑓: ℝ → ℝ dada por

𝑓(𝑥) = 𝑥3. Determine 𝑓−1(𝑥). R: y = √𝑥3


97)(UFPA-2008) O custo C de produção de uma peça em função do número n de produtos é dado

pela fórmula 𝑪(𝒏) = 𝟏

𝟏+𝒏𝟐. A função inversa desta

fórmula é

(a) 𝑛 = 1/√1 + 𝐶2 (d) 𝑛 = 1/√(1 + 𝐶)/𝐶

(b) 𝑛 = 1/(1 − 𝐶2) (e) 𝑛 = 1/√(1 + 𝐶2)/𝐶

(c) 𝑛 = 1/√(1 − 𝐶)/𝐶 R: (c)

98)(Mackenzie-SP) Dada a função 𝑓: ℝ → ℝ,

definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 1, sua inversa 𝑓−1: ℝ → ℝ

é definida por:

(a) 𝑓−1(𝑥) = √𝑥3 + 13

(d) 𝑓−1(𝑥) =1

√𝑥3+13

(b) 𝑓−1(𝑥) =1

𝑥3+1 (e) n.d.a.

(c) 𝑓−1(𝑥) = √𝑥 − 13

R: (c)

10.3 O gráfico de função inversa Vamos observar, através de exemplos, co-

mo ficam dispostos os gráficos de uma função 𝑓 e

da sua inversa 𝑓−1 em um mesmo sistema de ei-

xos.

a) Seja a função 𝑓 dada por 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2 e a sua

inversa dada por 𝑓−1(𝑥) = 𝑥 − 2.

b) Seja a função bijetora 𝑓: ℝ+ → ℝ+ dada por

𝑓(𝑥) = 𝑥2 e a sua função inversa 𝑓−1: ℝ+ → ℝ+,

dada por 𝑓−1(𝑥) = √𝑥.

19

Os exemplos dados mostram que o gráfico

de uma função 𝑓 e o gráfico da sua função inversa

𝑓1 são simétricos em relação à reta 𝑦 = 𝑥 que re-

presenta a bissetriz do 1º e 3º quadrantes. Isso

ocorre em todos os casos de função inversa.

Veja que a função exponencial é a função inversa da função logarítmica na Apostila de Fun-

ção Logarítmica.

EXERCÍCIO PROPOSTO

99) Seja 𝑓: ℝ → ℝ a função definida por 𝑓(𝑥) =

−6𝑥 + 2.

a) Determine 𝑓−1(𝑥).

b) Construa os gráficos de 𝑓 e 𝑓−1 no mesmo sis-

tema de eixos.

EXERCÍCIOS ANALÍTICOS-DISCURSIVOS

DE VESTIBULARES

100)(UEPA-2004) Foi criado pelo Estado o tri-buto Pessoa Natural para facilitar a legalização de

algumas empresas, desde que seu faturamento anual esteja dentro de determinada faixa. Com

esse imposto, o beneficiado passa a usar notas

fiscais padronizadas pela Secretaria de Fazenda,

sem a necessidade do Cadastro Nacional da Pes-

soa Jurídica (CNPJ), tendo apenas que recolher mensalmente a importância de R$ 10,00 aos co-

fres públicos. O proprietário de uma fabrica de

vassouras de piaçava, incluído no programa Pes-

soa Natural, gasta R$ 0,60 por vassoura produzi-da. Pede–se:

(a) A expressão que fornece o custo mensal C,

tomando como dados, o imposto e o custo por x

vassouras produzidas. R: C = 0,60.x + 10,00

(b) O número de vassouras produzidas no mês em que o custo mensal foi de R$ 1 090,00.

R: 1 800 vassouras

101)(UEPA-2001) Para produzir um determina-do artigo, uma indústria tem dois tipos de despe-

sas: uma fixa e uma variável. A despesa fixa foi

estima em R$ 90,00 (noventa reais), e a variável

deverá corresponder a 30% do total das vendas.

Se, para o mês de março de 2001, pretende-se

que o lucro em relação ao produto represente

20% do total das vendas, qual deve ser, em re-

ais, o volume de vendas e de quanto será o lucro? R: venda R$ 180,00; lucro R$ 16,00.

102)(UEPA-00) O empregado de uma empresa

ganha mensalmente x reais. Sabe-se que ele paga de aluguel R$ 120,00 e gasta ¾ de seu salário

em sua manutenção, poupando o restante. Então:

a) Encontre uma expressão matemática que defi-

na a poupança p em função do salário x.

b) Para poupar R$ 240,00, qual deverá ser o seu

salário mensal? R: a) x/4 – 120; b) R$ 1 440,00

103)(UEPA-98) Um marreteiro compra diaria-mente objetos por R$ 3,00 e os revende por

R$ 5,00, gastando R$ 100,00 com transporte. Se

x é a quantidade vendida e y o lucro diário do marreteiro, então escreva a lei que determina este

lucro. R: L = 2,00x – 100

EXERCÍCIOS EXTRAS

104) Os gráficos abaixo mostram como tem au-mentado a expectativa de vida do brasileiro, desde

a década de 50, e como tem caído a taxa de mor-

talidade infantil.

a) De 1950 a 1980, qual foi o período em que

houve um aumento maior na expectativa de vida do brasileiro?

b) Qual é o aumento percentual esperado, na ex-

pectativa de vida, de 1998 para 2020?

c) Qual o período em que a mortalidade infantil

teve uma diminuição maior: de 1950 a 1970 ou de 1970 a 1991?

d) Pense e discuta com os colegas na classe se há

alguma relação entre aumento da expectativa de

vida e queda da mortalidade infantil.

105) Uma barra de ferro aquecida até uma tem-peratura de 30ºC e a seguir resfriada até uma

temperatura de 6ºC no intervalo de tempo de 0 a

6 min.

a) Esboce o gráfico da temperatura em função do tempo.

b) Em que intervalo de tempo a temperatura es-

teve negativa?

https://drive.google.com/file/d/0B7ygrDKg518UUlJYdEJVOHgwWjQ/view

https://drive.google.com/file/d/0B7ygrDKg518UUlJYdEJVOHgwWjQ/view

20

106) O gráfico mostra a temperatura de uma região do Rio Grande do Sul desde 5h até 11h.

a) Em que horário desse período a temperatura

atingiu 0ºC? R: 6h

b) Entre que horas desse período a temperatura

esteve negativa? R: [5 h, 6 h)

c) Entre que horas desse período a temperatura

esteve positiva? R: (6 h, 11 h]

107) O valor de um determinado carro decresce linearmente com o tempo, devido ao desgaste.

Sabendo-se que hoje ele vale dez mil dólares e,

daqui a cinco anos, quatro mil dólares, qual será

o seu valor daqui a três anos? R: R$ 6 400,00

108) Seu Joaquim comprou, em 1988, uma casa no valor de R$ 2 000,00. Após dois anos, um

corretor avaliou a casa em R$ 24 000,00. Supon-do que o valor da casa em função do tempo seja

descrito por uma função do 1º grau e que o tempo

0 seja o ano de compra da casa:

a) Determine a expressão do valor da casa em

função do tempo;

b) Determine o valor mínimo da venda da casa;

c) Cite o ano de construção da casa, sabendo que

o terreno onde ela foi construída tem o valor fixo

de R$ 8 000,00.

109) O salário fixo mensal de um segurança é de R$ 560,00. Para aumentar sua receita, ele faz

plantões noturnos em boate, onde recebe

R$ 60,00 por noite de trabalho.

a) Se em um mês o segurança fizer 3 plantões, que salário receberá?

b) Qual é o salário final y quando ele realiza x

plantões?

c) Qual é o número mínimo de plantões necessá-

rios para gerar uma receita superior a

R$ 850,00?

110) Um vendedor recebe mensalmente um salá-rio composto de duas partes: uma parte fixa, no

valor de R$ 900,00, e uma variável, que corres-ponde a uma comissão de 8% do total de vendas

que ele fez durante o mês.

a) Expresse a lei da função que representa seu

salário mensal.

b) Calcule o salário do vendedor sabendo que du-rante um mês ele vendeu R$ 50 000,00 em pro-

dutos.

111) Uma companhia de telefones celulares ofe-rece a seus clientes duas opções: na 1ª opção,

cobra R$ 38,00 pela assinatura mensal e mais

R$ 0,60 por minuto de conversação; na 2ª opção não há taxa de assinatura, mais o minuto de con-

versação custa R$ 1,10.

a) Qual é a opção mais vantajosa para 1 hora de

conversação mensal?

b) A partir de quanto tempo deve-se optar pela 1ª opção?

“Você constrói a sua vitória.”

“A perseverança alimenta a esperança.”

Nunca deixe que lhe digam:

Que não vale a pena

Acreditar no sonho que se tem

Ou que seus planos

Nunca vão dar certo

Ou que você nunca

Vai ser alguém...

Renato Russo

Atualizada em 14/11/2017

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Referências

DANTE, L.R. Matemática: Contexto & Aplicações. 1. Ed. São

Paulo: Ática, 2000, v.1.

GIOVANNI, J.R.; BONJORNO, J.R. Matemática 1: Uma nova

abordagem. São Paulo: FTD, 2000, v.1.

Lima, E.L. Curso de Análise. 11. Ed. Rio de Janeiro: Associa-

ção Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada, 2004,

v.1. (Projeto Euclides).

PAIVA, M. Matemática. 1. Ed. São Paulo: Moderna, 1999,

v.único. (Coleção base).

10

6

5

-211 tempo(h)

temperatura(°c)

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