Programação Linear

Problemas de Optimização

São problemas em que se procura a melhor

solução (a que dá menor prejuízo, maior lucro, a

que é mais eficiente, etc.) Alguns destes problemas resolvem-se procurando máximos

ou mínimos de uma função, outros resolvem-se por outros

processos, tais como Método de Programação Linear.

Programação LinearÉ um ramo da Matemática que estuda formas de

resolver problemas de optimização cujas condições

podem ser expressas por inequações lineares, isto é,

inequações do primeiro grau.

Um problema de programação linear que tenha só duas

variáveis pode ser resolvido graficamente,

representando as soluções de cada uma das inequações

por um semiplano e em seguida procurando o ponto do

polígono obtido que corresponde à solução óptima.

Passos a seguir na resolução de um problema de Programação Linear: 1º Passo: Organizar os dados;  2º Passo: Identificação das variáveis de decisão. As decisões a tomar são

representadas por variáveis x, y, … 

3º Passo: Identificação da função objectivo;  A base de um problema de programação é maximizar ou minimizar uma

função: função objectivo, que satisfaz um conjunto de condições (restrições). As restrições lineares definem um polígono convexo, formado por um conjunto de pontos a admissíveis – região admissível; 

4º Passo: Identificação das restrições. As restrições são representadas por inequações do 1ºgrau;

  5º Passo: Representação gráfica das restrições. O conjunto das restrições

define um domínio plano, designado por região admissível;

6º Passo: Determinação da solução óptima;   7º Passo: Calcular o valor da função objectivo nos vértices da região

admissível e confirmar a solução obtida graficamente.

ProblemaUma fábrica de confecções produz dois modelos de

camisas de luxo.

Uma camisa do modelo A necessita de 1 metro de

tecido, 4 horas de trabalho e custa 120€.

Uma camisa do modelo B exige 1,5 metros de tecido, 3

horas de trabalho e custa 160€.

Sabendo que a fábrica dispõe diariamente de 150

metros de tecido, 360 horas de trabalho e que

consegue vender tudo o que fabrica, quantas camisas

de cada modelo será preciso fabricar para obter um

rendimento máximo?

2 3 4 5 6 7

Uma camisa do modelo A necessita de 1 metro de tecido, 4

horas de trabalho e custa 120€.

Uma camisa do modelo B exige 1,5 metros de tecido, 3

horas de trabalho e custa 160€.

Sabendo que a fábrica dispõe diariamente de 150 metros de tecido, 360 horas de trabalho

1º Passo: Organizar os dadosMetros de

tecidoHoras de trabalho

Preço (em €)

Modelo A

Modelo B

Disponibilidade

1

1,5

150

4

3

120

160

360

P

2º Passo: Identificar as variáveisx – nº de camisas de modelo A

y – nº de camisas de modelo B

P

Organizar os dadosMetros de

tecidoHoras de trabalho

Preço (em €)

Modelo A

Modelo B

Disponibilidade

x

y

(1x)

(1,5y)

(4x)(3y)

1

1,5

150

4

3

120

160

360

P

x – nº de camisas de modelo Ay – nº de camisas de modelo B

(120x)(160y)

Rendimento Máximo:

Vende-se x camisas do modelo A Ganha-se 120 x  Vende-se y camisas do modelo B Ganha-se 160 y

3º Passo: Definir Função objectivo

R= 120 x + 160 y

P

Função objectivo

4º Passo: Escrever as Restrições0x

0y

1,5 150x y

4 3 360x y

x - é a quantidade, em metros, de tecido gasto para confeccionar as camisas do modelo A.

1,5y - é a quantidade, em metros, de tecido gasto na confecção das camisas do modelo B.

150 - é a quantidade de tecido, em metros, de que a fábrica dispõe diariamente.4x é o número de horas necessárias para confeccionar as camisas do modelo A

3y é o número de horas necessárias para fabricar as camisas do modelo B

360 é o número total de horas de trabalho diário.

O número de camisas de cada modelo tem de ser não negativo.

P

4º Passo: Escrever as Restrições

1 5 150

4 3 360

0

0

x , y

x y

x

y

Escrever, sempre que possível, cada uma das restrições em ordem a y

P

1 5 150

3 360 4

0

0

, y x

y x

x

y

150

1 5

4 360

30

0

xy

,

xy

x

y

2100

34

1203

0

0

y x

y x

x

y

x 4

y x 1203

4

y 30 120 803

4

y 60 120 603

30

60

x 2

y x 1003

2

y 30 100 803

2

y 60 100 603

30

60

120

110

100

90

80

70

60

50

40

30

20

10

20 40 60 80 100 120 140

5º Passo: Definir Região admissível (Região de validez)

Região de validez é o polígono convexo definido pelas restrições do problema.

2y x 100

x 1,5y 150 34x 3y 360 4

y x 1203x 0

x 0y 0y 0

P

x 0

y 0

2

y x 1003

2

y x 1003

4

y x 1203

4

y x 1203

2y x 100

34

y x 1203

x 0

y 0

Para resolvermos analiticamente temos de aceitar algumas regras:Se um problema de programação linear tem uma solução,

esta está localizada num dos vértices da região admissível.Se um problema de programação linear tem múltiplas

soluções, pelo menos uma delas está localizada num dos vértices da região admissível.

Em qualquer dos casos o valor correspondente da função objectivo é único.

6º Passo: Resolver o problema analiticamente

A

BC

D

P

Resolução analíticaAs coordenadas dos quatro vértices são:

A(30,80), B(90,0), C(0,0) e D(0,100).Para cada um dos pares teremos de obter o

valor da função objectivo, eliminando o par (0,0). (0,100) R 120 0 160 100 16000

A solução óptima será então x = 30 e y = 80

E o rendimento máximo será de 16400€.

P

30,80 R 120 30 160 80 16400

90,0 R 120 90 160 0 10800

7º Passo: RespostaResposta:

Será preciso fabricar, por dia, 30 camisas do modelo A e 80 do modelo B para que a fábrica tenha o máximo de rendimento.

P