Projeto de Pontes FINAL

1

ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

PEF - DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS E FUNDAÇÕES P E F - 240 4: P o n t es e Gr an d e s E s t r u t u r as

Professor: Fernando Stucchi

PROJETO

DE

PONTES

2

ÍNDICE 1. Características dos componentes 1.1 Longarina 03 1.2 Transversina 05 1.3 Guarda-Rodas06 1.4 Pavimento 07 1.5 Laje 07 1.6 Conjunto Longarina + Laje 08 2. Carregamentos 2.1 Longarina Extrema 10 2.2 Longarina Intermediaria 15 2.3 Longarina Central 23 2.4 Resumo dos Resultados 28 3. Linhas de Influência 3.1 Reações de Apoio 30 3.2 Momento Fletor 30 3.3 Força Cortante 33 4. Esforços Solicitantes 4.1 Longarina Extrema 37 4.2 Longarina Intermediaria 46 4.3 Longarina Central 55 4.4 Resumo dos Resultados 44 5. Envoltórias 4.1 Longarina Extrema 64 4.2 Longarina Intermediaria 66 4.3 Longarina Central 68 6. Protensão 6.1 Longarina Extrema 70 6.1.1 Determinação da protensão necessária 70 6.1.2 Detalhe do Lançamento dos Cabos 73 6.1.3 Perdas Imediatas 75 6.1.4 Perdas Lentas 79 6.1.5 Perdas Totais 81 6.1.6 Verificação do ELU 81 6.2 Longarina Intermediaria 83 6.2.1 Determinação da protensão necessária 83 6.2.2 Detalhe do Lançamento dos Cabos 86 6.2.3 Perdas Imediatas 88 6.2.4 Perdas Lentas 92 6.2.5 Perdas Totais 94 6.2.6 Verificação do ELU 94 6.3 Longarina Central 96 6.3.1 Determinação da protensão necessária 96 6.3.2 Detalhe do Lançamento dos Cabos 99 6.3.3 Perdas Imediatas 101 6.3.4 Perdas Lentas 105 6.3.5 Perdas Totais 107 6.3.6 Verificação do ELU 107

3

1. CARACTERÍSTICAS DOS COMPONENTES 1.1. LONGARINA

Cálculo da área da longarina:

26565

4343

22

11

m056,0AA2

50,1075,0AA

²m015,0AA2

375,008,0AA

²m036,0A08,045,0A²m144,0A12,020,1A

²m45,0A50,130,0A 77

ATOTAL = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7

ATOTAL = 0,144 + 0,036 + 2 x 0,015 + 2 x 0,056 + 0,45 ATOTAL = 0,77 m²

Cálculo do volume por metro de comprimento da longarina:

V = ATOTAL x L V = 0,77 x 1 V = 0,77 m³

Cálculo do peso por metro de comprimento da longarina:

P = V x c P = 0,77 x 25

P = 19,25 KN/m

Determinação do centro de gravidade da longarina:

7654321

77665544332211

AAAAAAAAyAyAyAyAyAyAy

y

4

45,0056,0056,0015,0015,0036,0144,045,075,0056,01056,01015,0553,1015,0553,1036,054,1144,064,1y

y = 1,02 m

Determinação do momento de inércia das seções divididas em relação ao centro de gravidade da longarina:

23

21CG1 02,164,1*12,020,1

1212,020,1dAII

I1 = 0,0555 m4

23

22CG2 02,154,1*08,045,0

1208,045,0dAII

I2 = 0,0097536 m4

23

24CG43 02,1553,1*

208,0375,0

3608,0375,0dAIII

I3=I4= 0,00427 m4

23

26CG65 0,102,1*

25,1075,0

365,1075,0dAIII

I5 = I6 = 0,0071 m4

23

27CG7 75,002,1*5,130,0

125,130,0dAII

I7 = 0,1172

Portanto, o momento de inércia da longarina em relação ao centro de gravidade é:

I = I1 + I2 + I3 + I4 + I5 + I6 + I7 I = 0,0555 + 0,0097536 + 0,00427 + 0,00427 + 0,0071 + 0,0071 + 0,1172

I = 0,205 m4

Determinação dos módulos de resistência à flexão da longarina: Modulo resistente superior ys = 1,70 – 1,02 ys = 0,68 m

68,0205,0

yIW

ss Ws = 0,301 m³

Módulo resistente inferior yi = 1,02 m

02,1205,0

yIW

Ii Wi = 0,201 m³

Determinação das distâncias nucleares da longarina: Distância nuclear superior

77,0301,0

AWK s

s Ks = 0,391 m

Distância nuclear inferior

77,0201,0

AWK i

i Ki = 0,261 m

5

1.2. TRANSVERSINA

Cálculo da área da transversina entre duas longarinas:

²m14,0A12,020,1A

²m13,0A208,02,195,1A

²m62,2A23,195,108,2A

33

22

11

ATOTAL = A1 + A2 + A3

ATOTAL = 2,62 + 0,13 + 0,14 ATOTAL = 2,89 m²

Cálculo do volume da transversina entre duas longarinas:

V = ATOTAL x e V = 2,89 x 0,25

V = 0,72 m³

Cálculo do peso total da transversina:

P = 4 trechos x V x c P = 4 x 0,72 x 25

P = 72,0 KN

Peso que será descarregado em cada longarina:

nPP TOTAL

i

onde: Pi peso da transversina na longarina em estudo n número de longarinas

572Pi

P = 14,4 KN

NOTA: Considera-se que o peso da transversina se distribuirá igualmente entre todas as longarinas.

6

1.3. GUARDA-RODAS

Cálculo da área do guarda-rodas:

²025,0225,020,0

²0625,025.025.0²068,015,045,0

33

22

11

mAA

mAAmAA

²0125,0

250,005,0

²10,050,020,0

35

44

mAA

mAA

ATOTAL = A1 + A2 + A3 + A4 + A5

ATOTAL = 0,068 + 0,0625 + 0,025 + 0,10 + 0,0125 ATOTAL = 0,2675 m²

Cálculo do volume por metro de comprimento do guarda-rodas:

V = ATOTAL x L V = 0,2675 x 1 V = 0,2675 m³

Cálculo do peso por metro de comprimento do guarda-rodas:

P = V x c P = 0,2675 x 25 P = 6,69 KN/m

Determinação do centro de gravidade:

54321

5544332211

AAAAAAxAxAxAxAxx

250,005,050,020,0

225,020,025,025,015,045,0

250,005,0217,050,020,010,0

225,020,0267,025,025,0

225,015,045,0

245,0

x

x = 0,158m

7

54321

5544332211

AAAAAAyAyAyAyAy

y

250,005,050,020,0

225,020,025,025,015,045,0

250,005,0567,050,020,065,0

225,020,0233,025,025,0275,015,045,0

215,0

y

y = 0,374m

1.4. PAVIMENTO

Cálculo do peso por metro quadrado de pavimento:

p = espessura x P p = 0,10 x 24

p = 2,4 KN/m²

1.5. LAJE

Cálculo da área da laje sobre a longarina:

A = 2,40 x 0,20 A = 0,48 m²

Cálculo do volume da laje por metro de comprimento:

V = ATOTAL x L V = 0,48 x 1 V = 0,48 m³

Cálculo do peso da laje sobre a longarina por metro de comprimento:

P = V x c P = 0,48 x 25 P = 12 KN/m

8

1.6. CONJUNTO LONGARINA + LAJE Os três tipos de longarinas (extremas, intermediárias e centrais) são idênticas.

Cálculo da área do conjunto: A1 = 0,77 m² (já calculado no item 1.1) A2 = 0,48 m² (já calculado no item 1.5)

ATOTAL = A1 + A2

ATOTAL = 0,77 + 0,48 ATOTAL = 1,25 m²

Cálculo do volume por metro de comprimento do conjunto:

V = ATOTAL x L V = 1,25 x 1 V = 1,25 m³

Cálculo do peso por metro de comprimento do conjunto:

P = V x c P = 1,25 x 25

P = 31,25 KN/m

Determinação do centro de gravidade do conjunto:

21

2211

AAAyAy

y

48,077,048,080,177,002,1y

y = 1,32 m

9

Determinação do momento de inércia das seções divididas em relação ao centro de gravidade do conjunto:

221CG1 02,132,1*77,0205,0dAII I1 = 0,274 m4

23

22CG2 32,180,1*48,0

1220,040,2dAII

I2 = 0,112 m4

Portanto, o momento de inércia do conjunto em relação ao centro de gravidade é:

I = I1 + I2 I = 0,274 + 0,112

I = 0,386 m4

Determinação dos módulos de resistência à flexão do conjunto: Modulo resistente superior ys = 1,90 – 1,32 ys = 0,58 m

58,0386,0

yIW

ss Ws = 0,666 m³

Módulo resistente inferior yi = 1,32 m

32,1386,0

yIW

ii Wi = 0,292 m³

Determinação das distâncias nucleares do conjunto: Distância nuclear superior

25,1666,0

AW

K ss Ks = 0,533 m

Distância nuclear inferior

25,1292,0

AWK i

i Ki = 0,233 m

10

2. CARREGAMENTOS 2.1. LONGARINA EXTREMA 2.1.1. CARGAS PERMANENTES g1 carga permanente devido ao peso próprio do conjunto (longarina + laje)

g1 = 31,25 KN/m g2 carga permanente devido ao peso próprio da transversina

g2 = 14,4 KN/m g3 carga permanente devido ao peso próprio do pavimento

g3 = 2,4 KN/m

g4 carga permanente devido ao peso próprio do guarda rodas

g4 = 6,69 KN/m As cargas g3 e g4 são aplicadas após a construção da grelha, portanto deve ser considerado o efeito grelha na sua distribuição. Devido à simetria transversal, o centro elástico está no centro da obra.

onde: ei posição da longarina em estudo em relação ao centro elástico (m); ej posição da carga em relação ao centro elástico (m); rij parcela da carga unitária aplicado em ej que vai para a longarina “i” em estudo; n número de longarinas. Quando as longarinas são iguais:

2i

jiij e

een1r

Para a longarina extrema:

2222

jj1 8,44,204,28,4

e8,451r

11

r1j = 0,2 – 0,083 x ej

Para a variação da posição da carga ej, tem-se os seguintes valores:

ej r1j - 6,0 0,698 - 4,8 0,5984 - 2,4 0,3992

0 0,2 2,4 0,0008 4,8 - 0,1984 6,0 - 0,298

A posição da carga que não provoca reação na longarina extrema é:

r1j = 0,2 – 0,083 x ej 0 = 0,2 – 0,083 x ej

ej = 2,41 m

Graficamente, tem-se:

g5 carga que recebe a longarina devido à g3 e g4

12

g5 = g4 x [r1(-6,0 + 0,158) + r1 (6,0 – 0,158)] + g3 x Ar1j

2

2561,059,32

6608,096,74,2285,0685,069,6g 5

g5 = 2,68 + 5,21

g5 = 7,89 KN/m

O carregamento permanente distribuído total é:

gper = g1 + g5 gper = 31,25 + 7,89

gper = 39,14 KN/m

ESQUEMA LONGITUDINAL DAS CARGAS PERMANENTES

13

2.1.2. TREM TIPO Cálculo do fator de impacto:

= 1,4 – 0,007 x l

= 1,4 – 0,007 x 30,00 = 1,19

O gráfico do coeficiente de repartição é:

TREM TIPO POSITIVO

SEÇÃO NO EIXO DO VEÍCULO

SEÇÃO FORA DO VEÍCULO

14

TREM TIPO NEGATIVO


SEÇÃO FORA DO VEÍCULO As cargas geradas pelo trem tipo positivo na longarina extrema são: Q carga das rodas na longarina em estudo Q = 75 x x [ r1(-6,0 + 0,45 + 0,25) + r1(-6,0 + 0,45 + 0,25 + 2,0)] Q = 75 x 1,19 x (0,6399 + 0,4739) Q = 99,41 KN q1 carregamento distribuído da seção do eixo do veículo na longarina em estudo

221,5)50,00,225,045,00,6(r5q 11

221,54324,019,15q1

q1 = 6,70 KN/m q2 carregamento distribuído da seção fora do veículo na longarina em estudo

296,7)45,00,6(r5q 12

296,76607,019,15q 2

q2 = 15,65 KN/m

15

TREM TIPO POSITIVO

As cargas geradas pelo trem tipo negativo na longarina extrema são: Q carga das rodas na longarina em estudo Q = 75 x x [ r1(6,0 – 0,45 – 0,25) + r1(6,0 – 0,45 – 0,25 – 2,0)] Q = 75 x 1,19 x (- 0,2399 - 0,0739) Q = - 28,00 KN q1 carregamento distribuído da seção do veículo na longarina em estudo

239,0)50,00,225,045,00,6(r5q 11

239,0)0324,0(19,15q1

q1 = - 0,038 KN/m q2 carregamento distribuído da seção fora do veículo na longarina em estudo

214,3)45,00,6(r5q 12

214,3)26,0(19,15q 2

q2 = - 2,43 KN/m

TREM TIPO NEGATIVO

Quando o vão for maior ou igual a 30m, permite-se o uso do trem tipo homogeneizado que corresponde ao TT-45 com a carga distribuída de 5KN/m² também sobre o veículo, subtraindo-se das rodas o acréscimo de carga correspondente, ou seja: Novo valor da carga na roda:

KN606

)536(75n

cA75 VEIC

onde: c carga sobre o veículo n número de rodas Portanto, os novos valores das cargas que atuam na longarina serão de:

16

Trem-Tipo Positivo: Q = 60 x x [ r1(-6,0 + 0,45 + 0,25) + r1(-6,0 + 0,45 + 0,25 + 2,0)] Q = 60 x 1,19 x (0,6399 + 0,4739) Q = 79,53 KN

TREM TIPO POSITIVO HOMOGENEIZADO

Trem-Tipo Negativo: Q = 60 x x [ r1(6,0 – 0,45 – 0,25) + r1(6,0 – 0,45 – 0,25 – 2,0)] Q = 60 x 1,19 x (- 0,2399 - 0,0739) Q = - 22,40 KN

TREM TIPO NEGATIVO HOMOGENEIZADO

17

2.2. LONGARINA INTERMEDIÁRIA 2.2.1. CARGAS PERMANENTES g1 carga permanente devido ao peso próprio do conjunto (longarina + laje)



g3 = 2,4 KN/m



onde:

ei posição da longarina em estudo em relação ao centro elástico (m); ej posição da carga em relação ao centro elástico (m); rij parcela da carga unitária aplicado em ej que vai para a longarina “i” em estudo; n número de longarinas. Quando as longarinas são iguais:

2i

jiij e

een1r

Para a longarina intermediária:

2222

jj2 8,44,204,28,4

e4,251r

r2j = 0,2 – 0,0417 x ej

18

Para a variação da posição da carga ej, tem-se os seguintes valores:

ej r2j - 6,0 0,4502 - 4,8 0,4002 - 2,4 0,3001

0 0,2 2,4 0,0999 4,8 - 0,0002 6,0 - 0,0502

A posição da carga que não provoca reação na longarina intermediária é:

r2j = 0,2 – 0,0417 x ej 0 = 0,2 – 0,0417 x ej

ej = 4,80 m



19

g5 = g4 x [r2(-6,0 + 0,158) + r2 (6,0 – 0,158)] + g3 x Ar2j

2

314,075,02

4314,035,104,20436,04436,069,6g 5

g5 = 2,68+ 5,64

g5 = 8,32 KN/m


gper = g1 + g5 gper = 31,25 + 8,32

gper = 39,57 KN/m



= 1,4 – 0,007 x l

= 1,4 – 0,007 x 30,00 = 1,19


20

TREM TIPO POSITIVO



TREM TIPO NEGATIVO



21

As cargas geradas pelo trem tipo positivo na longarina intermediária são: Q carga das rodas na longarina em estudo Q = 75 x x [ r2(-6,0 + 0,45 + 0,25) + r2(-6,0 + 0,45 + 0,25 + 2,0)] Q = 75 x 1,19 x (0,421 + 0,338) Q = 67,74 KN q1 carregamento distribuído da seção do eixo do veículo na longarina em estudo

200,8)50,00,225,045,00,6(r5q 21

200,8317,019,15q1


235,10)45,00,6(r5q 12

235,10431,019,15q 2

q2 = 13,27 KN/m

TREM TIPO POSITIVO

As cargas geradas pelo trem tipo negativo na longarina intermediária são: Q carga das rodas na longarina em estudo Q = 75 x x [ r1(6,0 – 0,45 – 0,25) + r1(6,0 – 0,45 – 0,25 – 2,0)] Q = 75 x 1,19 x (- 0,021 + 0,062) Q = + 3,66 KN Obs: O valor encontrado será desprezado porque resultou positivo. q1 carregamento distribuído da seção do veículo na longarina em estudo Obs: O carregamento q1 não existe, porque o eixo do veículo já está do lado positivo, sendo assim na seção do eixo do veículo não sobra lugar para o carregamento distribuído. q2 carregamento distribuído da seção fora do veículo na longarina em estudo

22

275,0)45,00,6(r5q 12

275,0)031,0(19,15q 2

q2 = - 0,07 KN/m

TREM TIPO NEGATIVO


KN606

)536(75n

cA75 VEIC

onde: c carga sobre o veículo n número de rodas Portanto, os novos valores das cargas que atuam na longarina serão de: Trem-Tipo Positivo: Q = 60 x x [ r1(-6,0 + 0,45 + 0,25) + r1(-6,0 + 0,45 + 0,25 + 2,0)] Q = 60 x 1,19 x (0,421 + 0,338) Q = 54,19 KN


Trem-Tipo Negativo: Como as cargas das rodas resultaram em um valor positivo e esse valor foi desprezado, não existe nenhuma redução a ser feita na carga de rodas e o trem tipo negativo homogeneizado é igual ao carregamento da seção fora do veículo.


23

2.3. LONGARINA CENTRAL 2.3.1. CARGAS PERMANENTES g1 carga permanente devido ao peso próprio do conjunto (longarina + laje)



g3 = 2,4 KN/m



onde:

ei posição da longarina em estudo em relação ao centro elástico (m); ej posição da carga em relação ao centro elástico (m); rij parcela da carga unitária aplicado em ej que vai para a longarina “i” em estudo; n número de longarinas. Quando as longarinas são iguais:

2i

jiij e

een1r

Para a longarina c entr:

2222

jj3 8,44,204,28,4

e051r

r3j = 0,2

24

Para a variação da posição da carga ej, tem-se sempre os mesmos valores:

ej r3j - 6,0 0,2 - 4,8 0,2 - 2,4 0,2

0 0,2 2,4 0,2 4,8 0,2 6,0 0,2



g5 = g4 x [r3(-6,0 + 0,158) + r3 (6,0 – 0,158)] + g3 x Ar3j

2,010,114,22,02,069,6g 5

g5 = 2,68 + 5,33

g5 = 8,01 KN/m


gper = g1 + g5 gper = 31,25 + 8,01

gper = 39,26 KN/m

25



= 1,4 – 0,007 x l

= 1,4 – 0,007 x 30,00 = 1,19


TREM TIPO POSITIVO


26


TREM TIPO NEGATIVO Não existe o trem tipo negativo. Não há coeficiente de repartição negativo. As cargas geradas pelo trem tipo positivo na longarina central são: Q carga das rodas na longarina em estudo Q = 75 x x ( r3 + r3 ) Q = 75 x 1,19 x (0,2 + 0,2) Q = 35,70 KN q1 carregamento distribuído da seção do eixo do veículo na longarina em estudo

35,8r5q 31 35,82,019,15q1


10,11r5q 32 10,112,019,15q 2

q2 = 13,21 KN/m

TREM TIPO POSITIVO


KN606

)536(75n

cA75 VEIC

27

onde: c carga sobre o veículo n número de rodas Portanto, os novos valores das cargas que atuam na longarina serão de: Trem-Tipo Positivo: Q = 60 x x ( r3 + r3 ) Q = 60 x 1,19 x (0,2 + 0,2) Q = 28,56 KN


28

2.4. RESUMO DOS RESULTADOS 2.4.1. LONGARINA EXTREMA CARREGAMENTO PERMANENTE

TREM TIPO



2.4.2. LONGARINA INTERMEDIÁRIA CARREGAMENTO PERMANENTE

TREM TIPO


29


2.4.3. LONGARINA CENTRAL CARREGAMENTO PERMANENTE

TREM TIPO


30

3. Linhas de Influência 3.1. Reações de apoio

onde: x distância da carga em relação a origem em A; a distância da seção em estudo em relação a origem A; l comprimento da viga; P carga unitária aplicada a longarina; RA reação no apoio A devido ao carregamento P; RB reação no apoio B devido ao carregamento P;

l)xl(PR A

lxPR B

3.2. Momento Fletor Cálculo da linha de influência para momento fletor:

O momento na seção S é dado por: Quando a carga P está a esquerda de S: Quando a carga P está a direita de S: (Quando x a) MS = RB · (l - a)

allxPMS

(Quando a x l) MS = RA · a

al

)xl(PMS

Supondo uma divisão da longarina em 10 trechos iguais, pode-se calcular a linha de influência para as diferentes seções apenas substituindo valores nas equações.

31

SEÇÃO 0 = SEÇÃO 10 a = 0 Para qualquer posição da carga: MS = 0 SEÇÃO 1 = SEÇÃO 9 a = 3m Quando a carga está a esquerda de S: Para x = 0 MS = 0 Para x = a MS = 2,7 KN x m Quando a carga está a direita de S: Para x = a MS = 2,7 KN x m Para x = l MS = 0

LINHA DE INFLUÊNCIA DE MOMENTOS PARA A SEÇÃO 1

SEÇÃO 2 = SEÇÃO 8 a = 6m Quando a carga está a esquerda de S: Para x = 0 MS = 0 Para x = a MS = 4,8 KN x m Quando a carga está a direita de S: Para x = a MS = 4,8 KN x m Para x = l MS = 0

32

LINHA DE INFLUÊNCIA DE MOMENTOS PARA A SEÇÃO 2

SEÇÃO 3 = SEÇÃO 7 a = 9m Quando a carga está a esquerda de S: Para x = 0 MS = 0 Para x = a MS = 6,3 KN x m Quando a carga está a direita de S: Para x = a MS = 6,3 KN x m Para x = l MS = 0

LINHA DE INFLUÊNCIA DE MOMENTOS PARA A SEÇÃO 3 SEÇÃO 4 = SEÇÃO 6 a = 12m Quando a carga está a esquerda de S: Para x = 0 MS = 0 Para x = a MS = 7,2 KN x m Quando a carga está a direita de S: Para x = a MS = 7,2 KN x m Para x = l MS = 0

LINHA DE INFLUÊNCIA DE MOMENTOS PARA A SEÇÃO 4 SEÇÃO 5 a = 15m

33

Quando a carga está a esquerda de S: Para x = 0 MS = 0 Para x = a MS = 7,5 KN x m Quando a carga está a direita de S: Para x = a MS = 7,5 KN x m Para x = l MS = 0

LINHA DE INFLUÊNCIA DE MOMENTOS PARA A SEÇÃO 5 3.3. Força Cortante Cálculo da linha de influência para força cortante:

A força cortante na seção S é dada por: Quando a carga P está a esquerda de S: Quando a carga P está a direita de S: (Quando x a) VS = - RB

lxPVS

(Quando a x l) VS = + RA

l)xl(PVS

Supondo uma divisão da longarina em 10 trechos iguais, pode-se calcular a linha de influência para as diferentes seções apenas substituindo valores nas equações.

SEÇÃO 0 = SEÇÃO 10 a = 0

34

Quando a carga está em x=0: VS = + 1 KN Quando a carga está em x = L: VS = 0

LINHA DE INFLUÊNCIA DE CORTANTES PARA A SEÇÃO 0

SEÇÃO 1 = SEÇÃO 9 a = 3m Quando a carga está a esquerda de S: Para x = 0 VS = 0 Para x = a VS = - 0,1 KN Quando a carga está a direita de S: Para x = a VS = + 0,9 KN Para x = l VS = 0


SEÇÃO 2 = SEÇÃO 8 a = 6m Quando a carga está a esquerda de S: Para x = 0 VS = 0 Para x = a VS = - 0,2 KN Quando a carga está a direita de S: Para x = a VS = 0,8 KN Para x = l VS = 0

35


SEÇÃO 3 = SEÇÃO 7 a = 9m Quando a carga está a esquerda de S: Para x = 0 VS = 0 Para x = a VS = - 0,3 KN Quando a carga está a direita de S: Para x = a MS = 0,7 KN Para x = l MS = 0

LINHA DE INFLUÊNCIA DE CORTANTES PARA A SEÇÃO 3 SEÇÃO 4 = SEÇÃO 6 a = 12m Quando a carga está a esquerda de S: Para x = 0 VS = 0 Para x = a VS = - 0,4 KN Quando a carga está a direita de S: Para x = a VS = 0,6 KN x m Para x = l VS = 0

LINHA DE INFLUÊNCIA DE CORTANTES PARA A SEÇÃO 4 SEÇÃO 5 a = 15m Quando a carga está a esquerda de S:

36

Para x = 0 VS = 0 Para x = a VS = - 0,5 KN Quando a carga está a direita de S: Para x = a VS = + 0,5 KN Para x = l VS = 0


37

4.1. LONGARINA EXTREMA 4.1.1. CARGAS PERMANENTES

MOMENTO FLETOR

distância x (m) Seção Cálculo Mg

(KN x m) 0 0 0,00 0,00

3,0 1 (587,10 – 14,4) x 3 – 39,14 x 32/2 = 1541,97 6,0 2 (587,10 – 14,4) x 6 – 39,14 x 62/2 = 2731,68 9,0 3 (587,10 – 14,4) x 9 – 39,14 x 92/2 = 3569,13 12,0 4 (587,10 – 14,4) x 12 – 14,4 x 2 – 39,14 x 122/2 = 4025,52 15,0 5 (587,10 – 14,4) x 15 – 14,4 x 5 – 39,14 x 152/2 = 4115,25

FORÇA CORTANTE

distância x (m) seção Cálculo Vg

(KN) 0 0 615,90 – 14,4 = 601,50

3,0 1 601,50 – 39,14 x 3 = 484,08 6,0 2 484,08 – 39,14 x 3 = 366,66 9,0 3 366,66 – 39,14 x 3 = 249,24

12,0 4 249,24 – 14,4 – 39,14 x 3 = 117,42 15,0 5 117,42 – 39,14 x 3 = 0,00

4.1.2. CARGAS VARIÁVEIS A) SEÇÃO 0 MOMENTO FLETOR As cargas variáveis, em quaisquer posições, não geram momentos fletores nessa seção, portanto: MQ

+ = 0 KN x m Mq + = 0 KN x m MQ – = 0 KN x m Mq – = 0 KN x m

38

FORÇA CORTANTE

ESQUEMA PARA CORTANTE MÁXIMA

Vq + = 213065,15 Vq + = 234,75 KN

VQ

+ = 79,53 x (1 + 0,95 + 0,9) VQ + = 226,66 KN

ESQUEMA PARA CORTANTE MÍNIMA

Vq – = 213043,2 Vq – = - 36,45 KN

VQ

– = - 22,4 x (1 + 0,95 + 0,9) VQ – = - 63,84 KN

B) SEÇÃO 1 = SEÇÃO 9 MOMENTO FLETOR

MQ + = 79,53 x (2,7 + 2,55 + 2,4) MQ

+ = 608,40 KN x m (devido à carga concentrada)

Mq + =

27,23065,15 Mq + = 633,83 KN x m (devido à carga distribuída)

39

MQ – = - 22,4 x (2,7 + 2,55 + 2,4) MQ – = - 171,36 KN x m (devido à carga concentrada)

Mq – =

27,23043,2 Mq

– = - 98,42 KN x m (devido à carga distribuída)

FORÇA CORTANTE


Vq + = 29,02765,15 -

2)1,0(343,2

Vq + = 190,51 KN

VQ1

+ = 79,53 x (0,9 + 0,85 + 0,8) VQ1 + = 202,80 KN (adota-se esse, pois é o maior!)

VQ2

+ = - 22,4 x (- 0,1 - 0,05 - 0,0) VQ2 + = 3,36 KN


Vq – = 2

)1,0(365,1529,02743,2

Vq – = - 31,87 KN

VQ1

– = - 22,4 x (0,9 + 0,85 + 0,8) VQ1 – = - 57,12 KN (adota-se esse, pois é o menor!)

VQ2

– = 79,53 x (-0,1 - 0,05 – 0,0) VQ2 – = - 11,93 KN

40

C) SEÇÃO 2 = SEÇÃO 8 MOMENTO FLETOR

MQ + = 79,53 x (4,8 + 4,5 + 4,2) MQ

+ = 1073,66 KN x m (devido a carga concentrada)

Mq + =

28,43065,15 Mq

+ = 1126,80 KN x m (devido a carga distribuída)

MQ – = - 22,4 x (4,8 + 4,5 + 4,2) MQ

– = - 302,40 KN x m (devido à carga concentrada)

Mq – =

28,43043,2 Mq


FORÇA CORTANTE


Vq + = 28,02465,15 -

2)2,0(643,2

Vq + = 151,70 KN

VQ1 + = 79,53 x (0,8 + 0,75 + 0,7) VQ1

+ = 178,94 KN (adota-se esse, pois é o maior!)

41

VQ2 + = - 22,4 x (- 0,2 - 0,15 - 0,1) VQ2

+ = 10,08 KN


Vq – = 2

)2,0(665,1528,02443,2

Vq – = - 32,72 KN

VQ1

– = - 22,4 x (0,8 + 0,75 + 0,7) VQ1 – = - 50,40 KN (adota-se esse, pois é o menor!)

VQ2

– = 79,53 x (-0,2 - 0,15 – 0,1) VQ2 – = - 35,79 KN

D) SEÇÃO 3 = SEÇÃO 7 MOMENTO FLETOR

MQ + = 79,53 x (6,3 + 5,85 + 5,4) MQ


Mq + =

23,63065,15 Mq


MQ – = - 22,4 x (6,3 + 5,85 + 5,4) MQ


Mq – =

23,63043,2 Mq


42

FORÇA CORTANTE


Vq + = 27,02165,15 -

2)3,0(943,2

Vq + = 118,31 KN

VQ1 + = 79,53 x (0,7 + 0,65 + 0,6) VQ1

+ = 155,08 KN (adota-se esse, pois é o maior!) VQ2

+ = - 22,4 x (- 0,3 - 0,25 - 0,2) VQ2 + = 16,8 KN


Vq – = 2

)3,0(965,1527,02143,2

Vq – = - 38,99 KN

VQ1

– = - 22,4 x (0,7 + 0,65 + 0,6) VQ1 – = - 43,68

VQ2

– = 79,53 x (-0,3 - 0,25 – 0,2) VQ2 – = - 59,65 KN (adota-se esse, pois é o menor!)

E) SEÇÃO 4 = SEÇÃO 6 MOMENTO FLETOR

43

MQ + = 79,53 x (7,2 + 6,6 + 6,3) MQ


Mq + =

22,73065,15 Mq


MQ – = - 22,4 x (7,2 + 6,6 + 6,3) MQ


Mq – =

22,73043,2 Mq


FORÇA CORTANTE


Vq + = 26,01865,15 -

2)4,0(1243,2

Vq + = 90,34 KN

VQ1 + = 79,53 x (0,6 + 0,55 + 0,5) VQ1


+ = - 22,4 x (- 0,4 - 0,35 - 0,3) VQ2 + = 23,52 KN


Vq – = 2

)4,0(1265,1526,01843,2

Vq – = - 50,68 KN

44

VQ1 – = - 22,4 x (0,4 + 0,35 + 0,3) VQ1

– = - 23,52 KN VQ2


F) SEÇÃO 5 MOMENTO FLETOR

MQ + = 79,53 x (7,5 + 6,75 + 6,75) MQ


Mq + =

25,73065,15 Mq


MQ – = - 22,4 x (7,5 + 6,75 + 6,75) MQ


Mq – =

25,73043,2 Mq


FORÇA CORTANTE


45

Vq + = 25,01565,15 -

2)5,0(1543,2

Vq + = 67,80 KN

VQ1 + = 79,53 x (0,5 + 0,45 + 0,4) VQ1


+ = - 22,4 x (- 0,5 - 0,45 - 0,4) VQ2 + = 30,24 KN


Vq – = 2

)5,0(1565,1525,01543,2

Vq – = - 67,80 KN

VQ1

– = - 22,4 x (0,5 + 0,45 + 0,4) VQ1 – = - 30,24 KN

VQ2


4.1.3. RESUMO DA LONGARINA EXTREMA

RESUMO DOS MOMENTOS FLETORES

distância x(m) Seção Mg

(KN x m) MQ

+ (KN x m)

Mq +

(KN x m) MQ

– (KN x m)

Mq – (KN x m)

0 0 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 3,0 1 1541,97 608,40 633,83 - 171,36 - 98,42 6,0 2 2731,68 1073,66 1126,80 - 302,40 - 174,96 9,0 3 3569,13 1395,75 1478,93 - 393,12 - 229,64

12,0 4 4025,52 1598,55 1690,20 - 450,24 - 262,44 15,0 5 4115,25 1670,13 1760,63 - 470,40 - 273,38

RESUMO DAS FORÇAS CORTANTES

distância x(m) Seção Vg

(KN) VQ

+ (KN)

Vq +

(KN) VQ

– (KN)

Vq – (KN)

0 0 601,50 226,66 234,75 - 63,84 - 36,45 3,0 1 484,08 202,80 190,51 - 57,12 - 31,87 6,0 2 366,66 178,94 151,70 - 50,40 - 32,72 9,0 3 249,24 155,08 118,31 - 59,65 - 38,99

12,0 4 117,42 131,22 90,34 - 83,51 - 50,68 15,0 5 0,00 107,37 67,80 - 107,37 - 67,80

46

4.2. LONGARINA INTERMEDIÁRIA 4.2.1. CARGAS PERMANENTES

MOMENTO FLETOR


(KN x m) 0 0 0,00 0,00

3,0 1 (622,35– 14,4) x 3 – 39,57 x 32/2 = 1645,79 6,0 2 (622,35 – 14,4) x 6 – 39,57 x 62/2 = 2935,44 9,0 3 (622,35 – 14,4) x 9 – 39,57 x 92/2 = 3868,97 12,0 4 (622,35 – 14,4) x 12 – 14,4 x 2 – 39,57 x 122/2 = 4417,56 15,0 5 (622,35 – 14,4) x 15 – 14,4 x 5 – 39,57 x 152/2 = 4595,63

FORÇA CORTANTE


(KN) 0 0 622,35 – 14,4 = 607,95

3,0 1 607,95 – 39,57 x 3 = 489,24 6,0 2 489,24 – 39,57 x 3 = 370,53 9,0 3 370,53 – 39,57 x 3 = 251,82

12,0 4 251,82 – 14,4 – 39,57 x 3 = 118,71 15,0 5 118,71 – 39,57 x 3 = 0,00

4.2.2. CARGAS VARIÁVEIS A) SEÇÃO 0 MOMENTO FLETOR As cargas variáveis, em quaisquer posições, não geram momentos fletores nessa seção, portanto: MQ

+ = 0 KN x m Mq + = 0 KN x m MQ – = 0 KN x m Mq – = 0 KN x m

47

FORÇA CORTANTE


Vq + = 213027,13 Vq + = 199,05 KN

VQ

+ = 54,19 x (1 + 0,95 + 0,9) VQ + = 154,44 KN


Vq – = 213007,0 Vq – = - 1,05 KN

VQ – = 0 KN

B) SEÇÃO 1 = SEÇÃO 9 MOMENTO FLETOR

MQ + = 54,19 x (2,7 + 2,55 + 2,4) MQ


Mq + =


48

MQ – = 0 KN x m (devido à carga concentrada)

Mq – =

27,23007,0 Mq


FORÇA CORTANTE


Vq + = 29,02727,13 -

2)1,0(307,0

Vq + = 161,24 KN

VQ

+ = 54,19 x (0,9 + 0,85 + 0,8) VQ + = 138,18 KN


Vq – = 2

)1,0(327,1329,02707,0

Vq – = - 2,84 KN

VQ

– = 54,19 x (-0,1 - 0,05 – 0,0) VQ – = - 8,13 KN

49


MQ + = 54,19 x (4,8 + 4,5 + 4,2) MQ


Mq + =

28,43027,13 Mq


MQ –

= 0 KN x m (devido à carga concentrada)

Mq – =

28,43007,0 Mq


FORÇA CORTANTE


Vq + = 28,02427,13 -

2)2,0(607,0

Vq + = 127,43 KN

VQ

+ = 54,19 x (0,8 + 0,75 + 0,7) VQ + = 121,93 KN

50


Vq – = 2

)2,0(627,1328,02407,0

Vq – = - 8,63 KN

VQ

– = 54,19 x (-0,2 - 0,15 – 0,1) VQ – = - 24,39 KN


MQ + = 54,19 x (6,3 + 5,85 + 5,4) MQ


Mq + =

23,63027,13 Mq


MQ –


Mq – =

23,63007,0 Mq


FORÇA CORTANTE

51


Vq + = 27,02127,13 -

2)3,0(907,0

Vq + = 97,63 KN

VQ

+ = 54,19 x (0,7 + 0,65 + 0,6) VQ + = 105,67 KN


Vq – = 2

)3,0(927,1327,02107,0

Vq – = - 18,43 KN

VQ

– = 54,19 x (-0,3 - 0,25 – 0,2) VQ – = - 40,64 KN


MQ + = 54,19 x (7,2 + 6,6 + 6,3) MQ


Mq + =

22,73027,13 Mq


52

MQ –


Mq – =

22,73007,0 Mq


FORÇA CORTANTE


Vq + = 26,01827,13 -

2)4,0(1207,0

Vq + = 71,83 KN

VQ

+ = 54,19 x (0,6 + 0,55 + 0,5) VQ + = 89,41 KN


Vq – = 2

)4,0(1227,1326,01807,0

Vq – = - 32,23 KN

VQ

– = 54,19 x (-0,4 - 0,35 – 0,3) VQ – = - 56,90 KN


53

MQ + = 54,19 x (7,5 + 6,75 + 6,75) MQ


Mq + =

25,73027,13 Mq


MQ –


Mq – =

25,73007,0 Mq


FORÇA CORTANTE


Vq + = 25,01527,13 -

2)5,0(1507,0

Vq + = 50,03 KN

VQ

+ = 54,19 x (0,5 + 0,45 + 0,4) VQ + = 73,16 KN


Vq – = 2

)5,0(1527,1325,01507,0

Vq – = - 50,03 KN

VQ

– = 54,19 x (-0,5 - 0,45 – 0,4) VQ – = - 73,16 KN

54

4.2.3. RESUMO DA LONGARINA INTERMEDIÁRIA


distância x(m) Seção Mg

(KN x m) MQ

+ (KN x m)

Mq +

(KN x m) MQ

– (KN x m)

Mq – (KN x m)

0 0 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 3,0 1 1645,79 414,55 537,44 0,00 - 2,84 6,0 2 2935,44 731,57 955,44 0,00 - 5,04 9,0 3 3868,97 951,03 1254,02 0,00 - 6,62

12,0 4 4417,56 1089,22 1433,16 0,00 - 7,56 15,0 5 4595,63 1137,99 1492,88 0,00 - 7,88



(KN) VQ

+ (KN)

Vq +

(KN) VQ

– (KN)

Vq – (KN)

0 0 607,95 154,44 199,05 0 - 1,05 3,0 1 489,24 138,18 161,24 - 8,13 - 2,84 6,0 2 370,53 121,93 127,43 - 24,39 - 8,63 9,0 3 251,82 105,67 97,63 - 40,64 - 18,43

12,0 4 118,71 89,41 71,83 - 56,90 - 32,23 15,0 5 0,00 73,16 50,03 - 73,16 - 50,03

55

4.3. LONGARINA CENTRAL 4.3.1. CARGAS PERMANENTES

MOMENTO FLETOR


(KN x m) 0 0 0,00 0,00

3,0 1 (617,70 – 14,4) x 3 – 39,26 x 32/2 = 1633,23 6,0 2 (617,70 – 14,4) x 6 – 39,26 x 62/2 = 2913,12 9,0 3 (617,70 – 14,4) x 9 – 39,26 x 92/2 = 3839,67 12,0 4 (617,70 – 14,4) x 12 – 14,4 x 2 – 39,26 x 122/2 = 4384,08 15,0 5 (617,70 – 14,4) x 15 – 14,4 x 5 – 39,26 x 152/2 = 4560,75

FORÇA CORTANTE


(KN) 0 0 617,70 – 14,4 = 603,30

3,0 1 603,30 – 39,26 x 3 = 485,52 6,0 2 485,52 – 39,26 x 3 = 367,74 9,0 3 367,74 – 39,26 x 3 = 249,96

12,0 4 249,96 – 14,4 – 39,26 x 3 = 117,78 15,0 5 117,78 – 39,26 x 3 = 0,00

4.3.2. CARGAS VARIÁVEIS Obs.: Conforme foi explicado no item 2 (cálculo dos carregamentos), vale lembrar que para a longarina central não existe trem tipo negativo. A) SEÇÃO 0 MOMENTO FLETOR As cargas variáveis, em quaisquer posições, não geram momentos fletores nessa seção, portanto: MQ

+ = 0 KN x m Mq + = 0 KN x m

56

FORÇA CORTANTE


Vq + = 213021,13 Vq + = 198,15 KN

VQ

+ = 28,56 x (1 + 0,95 + 0,9) VQ + = 81,40 KN

Obs.: Como não há trem tipo negativo, não existe contribuição negativa nessa seção. Vq – = 0 KN VQ

– = 0 KN B) SEÇÃO 1 = SEÇÃO 9 MOMENTO FLETOR

MQ + = 28,56 x (2,7 + 2,55 + 2,4) MQ


Mq + =


FORÇA CORTANTE

57


Vq + = 29,02721,13 Vq + = 160,50 KN

VQ

+ = 28,56 x (0,9 + 0,85 + 0,8) VQ + = 72,83 KN


Vq – = 2

)1,0(321,13 Vq – = - 1,98 KN

VQ

– = 28,56 x (-0,1 - 0,05 – 0,0) VQ – = - 4,28 KN


MQ + = 28,56 x (4,8 + 4,5 + 4,2) MQ


Mq + =

28,43021,13 Mq


FORÇA CORTANTE

58


Vq + = 28,02421,13 Vq + = 126,82 KN

VQ

+ = 28,56 x (0,8 + 0,75 + 0,7) VQ + = 64,26 KN


Vq – = 2

)2,0(621,13 Vq – = - 7,93 KN

VQ

– = 28,56 x (-0,2 - 0,15 – 0,1) VQ – = - 12,85 KN


MQ + = 28,56 x (6,3 + 5,85 + 5,4) MQ


Mq + =

23,63021,13 Mq


FORÇA CORTANTE

59


Vq + = 27,02121,13 Vq + = 97,09 KN

VQ

+ = 28,56 x (0,7 + 0,65 + 0,6) VQ + = 55,69 KN


Vq – = 2

)3,0(921,13 Vq – = - 17,83 KN

VQ

– = 28,56 x (-0,3 - 0,25 – 0,2) VQ – = - 21,42 KN


MQ + = 28,56 x (7,2 + 6,6 + 6,3) MQ


Mq + =

22,73021,13 Mq


FORÇA CORTANTE

60


Vq + = 26,01821,13 Vq + = 71,33 KN

VQ

+ = 28,56 x (0,6 + 0,55 + 0,5) VQ + = 47,12 KN


Vq – = 2

)4,0(1221,13 Vq – = - 31,70 KN

VQ

– = 28,56 x (-0,4 - 0,35 – 0,3) VQ – = - 29,99 KN


MQ + = 28,56 x (7,5 + 6,75 + 6,75) MQ


Mq + =

25,73021,13 Mq


FORÇA CORTANTE

61


Vq + = 25,01521,13 Vq + = 49,54 KN

VQ

+ = 28,56 x (0,5 + 0,45 + 0,4) VQ + = 38,56 KN


Vq – = 2

)5,0(1521,13 Vq – = - 49,54 KN

VQ

– = 28,56 x (-0,5 - 0,45 – 0,4) VQ – = - 38,56 KN

4.3.3. RESUMO DA LONGARINA CENTRAL


distância

x(m) Seção Mg (KN x m)

MQ +

(KN x m) Mq +

(KN x m) MQ

– (KN x m)

Mq – (KN x m)

0 0 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 3,0 1 1633,23 218,48 535,00 0,00 0,00 6,0 2 2913,12 385,56 951,12 0,00 0,00 9,0 3 3839,67 501,23 1248,35 0,00 0,00

12,0 4 4384,08 574,06 1426,68 0,00 0,00 15,0 5 4560,75 599,76 1486,13 0,00 0,00


distância

x(m) Seção Vg (KN)

VQ +

(KN) Vq +

(KN) VQ

– (KN)

Vq – (KN)

0 0 603,30 81,40 198,15 0 0 3,0 1 485,52 72,83 160,50 - 4,28 - 1,98 6,0 2 367,74 64,26 126,82 - 12,85 - 7,93 9,0 3 249,96 55,69 97,09 - 21,42 - 17,83

12,0 4 117,78 47,12 71,33 - 29,99 - 31,70 15,0 5 0,00 38,56 49,54 - 38,56 - 49,54

62

4.4. RESUMO GERAL DOS RESULTADOS MOMENTOS FLETORES

LONGARINA EXTREMA distância


MQ +

(KN x m) Mq +

(KN x m) MQ

– (KN x m)

Mq – (KN x m)

0 0 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 3,0 1 1541,97 608,40 633,83 - 171,36 - 98,42 6,0 2 2731,68 1073,66 1126,80 - 302,40 - 174,96 9,0 3 3569,13 1395,75 1478,93 - 393,12 - 229,64

12,0 4 4025,52 1598,55 1690,20 - 450,24 - 262,44 15,0 5 4115,25 1670,13 1760,63 - 470,40 - 273,38

LONGARINA INTERMEDIÁRIA distância


MQ +

(KN x m) Mq +

(KN x m) MQ

– (KN x m)

Mq – (KN x m)

0 0 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 3,0 1 1645,79 414,55 537,44 0,00 - 2,84 6,0 2 2935,44 731,57 955,44 0,00 - 5,04 9,0 3 3868,97 951,03 1254,02 0,00 - 6,62

12,0 4 4417,56 1089,22 1433,16 0,00 - 7,56 15,0 5 4595,63 1137,99 1492,88 0,00 - 7,88

LONGARINA CENTRAL distância


MQ +

(KN x m) Mq +

(KN x m) MQ

– (KN x m)

Mq – (KN x m)

0 0 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 3,0 1 1633,23 218,48 535,00 0,00 0,00 6,0 2 2913,12 385,56 951,12 0,00 0,00 9,0 3 3839,67 501,23 1248,35 0,00 0,00

12,0 4 4384,08 574,06 1426,68 0,00 0,00 15,0 5 4560,75 599,76 1486,13 0,00 0,00

FORÇAS CORTANTES

LONGARINA EXTREMA distância


VQ +

(KN) Vq +

(KN) VQ

– (KN)

Vq – (KN)

0 0 601,50 226,66 234,75 - 63,84 - 36,45 3,0 1 484,08 202,80 190,51 - 57,12 - 31,87 6,0 2 366,66 178,94 151,70 - 50,40 - 32,72 9,0 3 249,24 155,08 118,31 - 59,65 - 38,99

12,0 4 117,42 131,22 90,34 - 83,51 - 50,68 15,0 5 0,00 107,37 67,80 - 107,37 - 67,80

63

LONGARINA INTERMEDIÁRIA


(KN) VQ

+ (KN)

Vq +

(KN) VQ

– (KN)

Vq – (KN)

0 0 607,95 154,44 199,05 0 - 1,05 3,0 1 489,24 138,18 161,24 - 8,13 - 2,84 6,0 2 370,53 121,93 127,43 - 24,39 - 8,63 9,0 3 251,82 105,67 97,63 - 40,64 - 18,43

12,0 4 118,71 89,41 71,83 - 56,90 - 32,23 15,0 5 0,00 73,16 50,03 - 73,16 - 50,03

LONGARINA CENTRAL distância


VQ +

(KN) Vq +

(KN) VQ

– (KN)

Vq – (KN)

0 0 603,30 81,40 198,15 0 0 3,0 1 485,52 72,83 160,50 - 4,28 - 1,98 6,0 2 367,74 64,26 126,82 - 12,85 - 7,93 9,0 3 249,96 55,69 97,09 - 21,42 - 17,83

12,0 4 117,78 47,12 71,33 - 29,99 - 31,70 15,0 5 0,00 38,56 49,54 - 38,56 - 49,54

64

5. ENVOLTÓRIAS 5.1. LONGARINA EXTREMA 5.1.1. MOMENTOS FLETORES

Tabela – Resumo de todos os resultados calculados para a longarina extrema

distância x (m) Seção Mg

(KN x m) MQ

+ (KN x m)

Mq +

(KN x m) MQ

–

(KN x m) Mq –

(KN x m) 0 0 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

3,0 1 1541,97 608,40 633,83 - 171,36 - 98,42 6,0 2 2731,68 1073,66 1126,80 - 302,40 - 174,96 9,0 3 3569,13 1395,75 1478,93 - 393,12 - 229,64 12,0 4 4025,52 1598,55 1690,20 - 450,24 - 262,44 15,0 5 4115,25 1670,13 1760,63 - 470,40 - 273,38

Tabela – Momentos máximos e mínimos para a longarina extrema

distância

x (m) Seção MMAX (KN x m) (Mg + MQ

+ + Mq +) MMIN (KN x m) (Mg + MQ

- + Mq -) 0 0 0 0

3,0 1 2784,2 1272,19 6,0 2 4932,14 2254,32 9,0 3 6443,81 2946,37 12,0 4 7314,27 3312,84 15,0 5 7546,01 3371,47

ENVOLTÓRIA DE MOMENTOS PARA A LONGARINA EXTREMA

010002000300040005000600070008000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Seção

M (K

N x

m)

65

5.1.2. FORÇAS CORTANTES

Tabela – Resumo de todos os resultados calculados para a longarina extrema


(KN) VQ

+ (KN)

Vq +

(KN) VQ

– (KN)

Vq – (KN)

0 0 601,50 226,66 234,75 - 63,84 - 36,45 3,0 1 484,08 202,80 190,51 - 57,12 - 31,87 6,0 2 366,66 178,94 151,70 - 50,40 - 32,72 9,0 3 249,24 155,08 118,31 - 59,65 - 38,99

12,0 4 117,42 131,22 90,34 - 83,51 - 50,68 15,0 5 0,00 107,37 67,80 - 107,37 - 67,80

Tabela – Forças cortantes máximas e mínimas para a longarina extrema

distância

x (m) Seção VMAX (KN) (Vg + VQ

+ + Vq +) VMIN (KN)

(Vg + VQ - + Vq -)

0 0 1062,91 501,21 3,0 1 877,39 395,09 6,0 2 697,30 283,54 9,0 3 522,63 150,60 12,0 4 338,98 -16,77 15,0 5 175,17 -175,17 18,0 6 16,77 -338,98 21,0 7 -150,60 -522,63 24,0 8 -283,54 -697,30 27,0 9 -395,09 -877,39 30,0 10 -501,21 -1062,91

ENVOLTÓRIA DE FORÇAS CORTANTES PARA A LONGARINA EXTREMA

-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Seção

V (K

N)

66

5.2. LONGARINA INTERMEDIÁRIA 5.2.1. MOMENTOS FLETORES

Tabela – Resumo de todos os resultados calculados para a longarina intermediária

Distância x (m) Seção Mg

(KN x m) MQ

+ (KN x m)

Mq +

(KN x m) MQ

–

(KN x m) Mq –

(KN x m) 0 0 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

3,0 1 1645,79 414,55 537,44 0,00 - 2,84 6,0 2 2935,44 731,57 955,44 0,00 - 5,04 9,0 3 3868,97 951,03 1254,02 0,00 - 6,62 12,0 4 4417,56 1089,22 1433,16 0,00 - 7,56 15,0 5 4595,63 1137,99 1492,88 0,00 - 7,88

Tabela – Momentos máximos e mínimos para a longarina intermediária

distância


+ + Mq +) MMIN (KN x m)

(Mg + Mq -) 0 0 0,00 0,00

3,0 1 2597,78 1642,95 6,0 2 4622,45 2930,40 9,0 3 6074,02 3862,35 12,0 4 6939,94 4410,00 15,0 5 7226,50 4587,75

ENVOLTÓRIA DE MOMENTOS PARA A LONGARINA INTERMEDIÁRIA

010002000300040005000600070008000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Seção

M (K

N x

m)

67


Tabela – Resumo de todos os resultados calculados para a longarina intermediária


(KN) VQ

+ (KN)

Vq +

(KN) VQ

– (KN)

Vq – (KN)

0 0 607,95 154,44 199,05 0 - 1,05 3,0 1 489,24 138,18 161,24 - 8,13 - 2,84 6,0 2 370,53 121,93 127,43 - 24,39 - 8,63 9,0 3 251,82 105,67 97,63 - 40,64 - 18,43

12,0 4 118,71 89,41 71,83 - 56,90 - 32,23 15,0 5 0,00 73,16 50,03 - 73,16 - 50,03

Tabela – Forças cortantes máximas e mínimas para a longarina intermediária

distância


+ + Vq +) VMIN (KN)

(Vg + VQ - + Vq -)

0 0 961,44 606,90 3,0 1 788,66 478,27 6,0 2 619,89 337,51 9,0 3 455,12 192,75 12,0 4 279,95 29,58 15,0 5 123,19 -123,19 18,0 6 -29,58 -279,95 21,0 7 -192,75 -455,12 24,0 8 -337,51 -619,89 27,0 9 -478,27 -788,66 30,0 10 -606,90 -961,44

ENVOLTÓRIA DE FORÇAS CORTANTES PARA A LONGARINA INTERMEDIÁRIA

-1000-750-500-250

0250500750

1000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Seção

V (K

N)

68

5.3. LONGARINA CENTRAL 5.3.1. MOMENTOS FLETORES

Tabela – Resumo de todos os resultados calculados para a longarina central

Distância x (m) Seção Mg

(KN x m) MQ

+ (KN x m)

Mq +

(KN x m) MQ

–

(KN x m) Mq –

(KN x m) 0 0 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

3,0 1 1633,23 218,48 535,00 0,00 0,00 6,0 2 2913,12 385,56 951,12 0,00 0,00 9,0 3 3839,67 501,23 1248,35 0,00 0,00 12,0 4 4384,08 574,06 1426,68 0,00 0,00 15,0 5 4560,75 599,76 1486,13 0,00 0,00

Tabela – Momentos máximos e mínimos para a longarina central

distância


+ + Mq +) MMIN (KN x m)

(Mg) 0 0 0,00 0,00

3,0 1 2386,71 1633,23 6,0 2 4249,80 2913,12 9,0 3 5589,25 3839,67 12,0 4 6384,82 4384,08 15,0 5 6646,64 4560,75

Obs.: Note que como não existe trem tipo negativo o valor do momento mínimo é o próprio valor do momento devido ao peso próprio.

ENVOLTÓRIA DE MOMENTOS PARA A LONGARINA CENTRAL

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Seção

M (K

N x

m)

69


Tabela – Resumo de todos os resultados calculados para a longarina central


(KN) VQ

+ (KN)

Vq +

(KN) VQ

– (KN)

Vq – (KN)

0 0 603,30 81,40 198,15 0 0 3,0 1 485,52 72,83 160,50 - 4,28 - 1,98 6,0 2 367,74 64,26 126,82 - 12,85 - 7,93 9,0 3 249,96 55,69 97,09 - 21,42 - 17,83

12,0 4 117,78 47,12 71,33 - 29,99 - 31,70 15,0 5 0,00 38,56 49,54 - 38,56 - 49,54

Tabela – Forças cortantes máximas e mínimas para a longarina central

distância


+ + Vq +) VMIN (KN)

(Vg + VQ - + Vq -)

0 0 882,85 603,30 3,0 1 718,85 479,26 6,0 2 558,82 346,96 9,0 3 402,74 210,71 12,0 4 236,23 56,09 15,0 5 88,10 -88,10 18,0 6 -56,09 -236,23 21,0 7 -210,71 -402,74 24,0 8 -346,96 -558,82 27,0 9 -479,26 -718,85 30,0 10 -603,30 -882,85

ENVOLTÓRIA DE FORÇAS CORTANTES PARA A LONGARINA CENTRAL

-1000-750-500-250

0250500750

1000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Seção

V (K

N)

70

6.1. LONGARINA EXTREMA 6.1.1. DETERMINAÇÃO DA PROTENSÃO NECESSÁRIA Os dados conforme cálculo no item 1.6 são:

A = 1,25 m² Wi = 0,292 m³ Ws = 0,666 m³ Ki = 0,233 m Ks = 0,533 m³

yi = 1,32m ys = 0,58m Analisaremos a seção 5, que é a mais solicitada. Para esta longarina temos os seguintes esforços solicitantes:

Mg = 4115,25 KN x m

MQ + = 1670,13 + 1760,63

MQ + = 3430,76 KN x m

Para a condição de protensão limitada, é preciso verificar se o pior caso ocorre com o carregamento quase permanente (CQP) ou com o carregamento freqüente (CF). Carregamento Quase Permanente (CQP) Para este carregamento deve ser respeitado o estado limite de descompressão, ou seja, a máxima tensão admissível à tração na peça é:

t = 0

O momento utilizado nesse caso é:

M = Mg + 0,3 x MQ +

M = 4115,25 + 0,3 x 3430,76

M = 5144,48 KN x m

A força de protensão necessária é dada por:

pi

iiCQP eK

WMP

Onde: M momento calculado para o carregamento quase permanente(KN x m); i tensão máxima permitida de tração nas fibras inferiores(KN/m²); Wi modulo de resistência à flexão das fibras inferiores(m³); Ki distância nuclear para as fibras inferiores(m); ep excentricidade da força de protensão em relação ao c.g. da seção(m).

71

O valor da excentricidade da protensão pode ser calculado do seguinte modo:

ep = yi – 0,15 ep = 1,32 – 0,15

ep = 1,17 m

Obs: Foi suposto que a distância da face inferior do conjunto até o centro de geométrico das armaduras é de 0,15m, ao final do cálculo se essa distância for maior que o arbitrado, devem ser refeitos os cálculos para a nova distância e verificar se ainda a peça ainda possui resistência adequada. Caso a distância seja menor que 0,15m não é necessária nenhuma verificação, pois isso resulta um braço de alavanca interno maior do que o arbitrado, ou seja, a favor da segurança. O cálculo do valor da força necessária de protensão é:

17,1233,0292,0048,5144PCQP

PCQP = 3666,77 KN

Carregamento Freqüente (CF) Para este carregamento deve ser respeitado o estado limite de formação de fissuras, ou seja, a máxima tensão admissível à tração na peça é:

3 2t fck21,0

3 2t 3521,0

t = 2,25 Mpa ou

t = 2250 KN/cm²


M = Mg + 0,5 x MQ +

M = 4115,25 + 0,5 x 3430,76

M = 5830,63 KN x m O cálculo do valor da força necessária de protensão é:

17,1233,0292,0225063,5830PCF

PCF = 3687,55 KN

Como o valor de PCF > PCQP, então o valor que deve ser utilizado para protensão é:

PCF = P = 3687,55 KN

72

O valor calculado acima é o valor necessário para a força, porém sempre existe uma perda de aproximadamente 25%. Sendo assim, a força inicial com que deve ser protendida a viga é:

75,0PPINICIAL

75,055,3687PINICIAL PINICIAL = 4916,73 KN

Iremos adotar cabos com 12 12,5mm, cujas características estão descritas abaixo. Tipo: CP 190 RB A = 0,987 cm² (área de 1 de 12,5mm) O valor da força que um cabo de protensão pode fornecer é:

Po = 12 x A x 0,77 x e Po = 12 x 0,987 x 0,77 x 190

Po = 1732,77 KN

O número de cabos necessários é:

O

INICIAL

PPn

77,173273,4916n n = 2,83

Como precisamos de um número inteiro de cabos, poderiamos arredondar para o número inteiro mais próximo (3 cabos), mas como 2,83 está muito próximo de 3, pode ser que ao adotar 3 cabos, após todas as perdas, os mesmos não tenham eficiência em fornecer a força de protensão necessária. Portanto iremos adotar um cabo o seguinte número de cabos:

n = 4 cabos

73

6.1.2 DETALHE DO LANÇAMENTO DOS CABOS

DETALHE DA SEÇÃO CENTRAL

DETALHE DA SEÇÃO DO APOIO

74

DETALHE DA SAÍDA DOS CABOS NA SEÇÃO DO APOIO

DETALHE DO POSICIONAMENTO DOS CABOS NA SEÇÃO CENTRAL

DETALHE DO POSICIONAMENTO DOS CABOS NA SEÇÃO DO APOIO

75

6.1.3 PERDAS IMEDIATAS Todas as perdas imediatas acontecem em canteiro, onde a viga é protendida, portanto todas as características geométricas devem ser tomadas em relação a viga pré-moldada, conforme calculado em 1.1 6.1.3.1 PERDAS POR ATRITO EM CABOS PÓS-TRACIONADOS A força de protensão após as perdas por atrito é dada pela equação:

P = Po x (1 – · – k · x) Onde: coeficiente de atrito = 0,2 ângulo de saída do cabo em relação a horizontal (rad); k coeficiente de atrito por irregularidade do cabo = 0,002 m -1 x comprimento do trecho analisado. Para o cabo 1, após as perdas por atrito, a força de protensão é: Na posição x = 5,0m (posição do fim do trecho parabólico):

5002,0

18030,72,0177,1732P1

P1 = 1671,29 KN

Na posição x = 15,0m (posição da seção analisada):

15002,0

18030,72,0177,1732P1

P1 = 1636,63 KN

Para o cabo 2, após as perdas por atrito, a força de protensão é:

Na posição x = 7,5m (posição do fim do trecho parabólico):

5,7002,0

18087,102,0177,1732P2

P2 = 1641,03 KN


15002,0

18087,102,0177,1732P2

P2 = 1615,04 KN

76



75,8002,0

18088,122,0177,1732P3

P3 = 1624,54 KN


15002,0

18088,122,0177,1732P3

P3 = 1602,88 KN



10002,0

18064,152,0177,1732P4

P4 = 1603,52 KN


15002,0

18064,152,0177,1732P4

P4 = 1586,19 KN

A força total P antes da protensão era:

P = 4 x 1732,77

P = 6931,08 KN

A força total de protensão após as perdas por atrito é:

P = 1636,63 + 1615,04 + 1602,88 + 1586,19

PREDUZIDO = 6440,74 KN A perda representativa das forças de atrito é:

% perdas de atrito = 100P

PP

INICIAL

REDUZIDOINICIAL

77

% perdas de atrito = 10008,6931

74,644008,6931

% perdas de atrito = 7,07 %

6.1.3.2 PERDAS POR ACOMODAÇÃO DAS CUNHAS A perda por acomodação das cunhas é dada por:

0,006AE

)a(aΔP2a

AE2PP

211aXo 1

Onde: a1 posição do final do trecho parabólico, em relação ao apoio; Px=a1 força de protensão no final do trecho parabólico; E módulo de elasticidade do concreto = 19000 KN/cm²; A área de aço do cabo em análise = 12 x0,987 = 11,844 cm²; a2 posição da seção em estudo, em relação ao apoio; P perda de protensão (KN). Para o cabo 1:

0,006844,1190001

5)1(ΔP25

844,1190001229,167177,7321 1

P1 = 69,52 KN

Para o cabo 2:

0,006844,11900015)1(ΔP

27,5

844,1190001203,164177,7321 2

P2 = 44,14 KN

Para o cabo 3:

0,006844,11900015)1(ΔP

28,75

844,1190001254,162477,7321 3

P3 = 26,88 KN

Para o cabo 4:

0,006844,11900015)1(ΔP

210

844,1190001252,160377,7321 4

P4 = 3,85 KN

78

A força total P antes da protensão era: P = 6931,08 KN

A perda de protensão por cravação é:

PTOTAL = P1 + P2 + P3 + P4

PTOTAL = 69,52 + 44,14 + 26,88 + 3,85 PTOTAL = 144,39 KN

A perda representativa da cravação das cunhas é:

% perdas por cravação = 100PP

INICIAL

TOTAL

% perdas por cravação = 10008,6931

39,144

% perdas por cravação = 2,08 %

A perda total devido às forças de atrito e cravação das cunhas é:

% perdas por atrito + cravação = 7,07 + 2,08 % perdas por atrito + cravação = 9,15 %

6.1.3.3 PERDAS NA PROTENSÃO SUCESSIVA A perda de tensão na armadura por protensão sucessiva é dada por:

2n

1nσσαΔσ CPgP

Onde: perda de tensão na armadura (KN/m²); P relação entre o módulo elasticidade do aço de protensão e do concreto = 5,85; g tensão no c.g. da armadura devido ao peso próprio somente da longarina; cp tensão no concreto devido a protensão (KN/m²); n número de cabos. O valor de g é:

PVP

gog e

IM

σ )15,002,1(0,205

2165,63σ g g = 9190,70 KN/m²

O valor de cp é:

Ie

A1Pσ

2P

cp

0,2050,87

0,77135,2966σ

2

cp cp = - 31424,43 KN/m²

79

421443,3142470,919085,5Δσ

= - 48775,25 KN/m²

A perda por protensão sucessiva é:

PTOTAL = x A PTOTAL = - 48775,25 x 4 x 12 x 0,0000987

PTOTAL = 231,08 KN A perda representativa da protensão sucessiva é:

% perdas por protensão sucessiva = 100PP

INICIAL

TOTAL

% perdas por protensão sucessiva = 10008,693108,231

% perdas por protensão sucessiva = = 3,33 %

A perda imediata total é:

% perdas por atrito + cravação + protensão sucessiva = 9,15 + 3,33 % perdas por atrito + cravação + protensão sucessiva = 12,48 %

6.1.4 PERDAS LENTAS As perdas lentas possuem quatro origens:

- Retração no concreto; - Fluência no concreto; - Relaxação do aço; - Fluência da armadura de protensão;

A perda de tensão após todas as perdas lentas é dada por:

211

21

Δσ2

1000

1000,

C

P

CPP

PipigcPPCS

Ie

AA

E

onde: cs deformação de retração após a estabilização = - 0,00021 m/m c,pig tensão no concreto na posição da resultante da armadura de protensão; pi tensão na armadura devido a força de protensão após perdas imediatas; Ap área das armaduras de protensão; Ac área da seção composta (viga + laje).

80

O valor da protensão após todas as perdas imediatas é:

P = 1732,77 x 4 – 0,1248 x (1732,77 x 4) P = 6066,08 KN

O valor de c,pig é: Mg = 4115,25 KN x m (retirado da tabela 5.1)

c,pig = - 13891,76 KN/m² O valor de pi é:

A perda de tensão devido as perdas lentas é:

= - 229868,17 KN/m²

A perda lenta total é:


PTOTAL = 1089,02 KN A perda lenta total é:

% perdas lentas = 100PP

INICIAL

TOTAL

% perdas lentas = 10008,693102,1089

% perdas lentas = = 15,7 %

386,0)15,032,1(08,6066

1,256066,08)15,032,1(

0,3864115,25σ

2

pigc,

IeP

APe

IM

σ2P

pg

pigc,

2pipi

Ppi KN/m02,2804121σ

0,00009871246066,08σ

APσ

22,21

386,017,1

25,110000987,012485,5

2059,01

059,002,12804122,276,1389185,51900000000021,0Δσ2

81

6.1.5 PERDAS TOTAIS A perda total é:

Perda Total = Perdas imediatas + Perdas Lentas Perda Total = 12,48 + 15,7

Perda Total = 28,18 % A força final de protensão na seção 5 após todas as perdas é:

P = 1732,77 x 4 – 0,2818 x (1732,77 x 4) P = 4977,90 KN

Conclusão: Como a força final de protensão após todas as perdas ainda é maior que a força de protensão necessária, esta protensão atende a protensão limitada.

P < P APÓS PERDAS

3687,55 < 4977,90

6.1.6 VERIFICAÇÃO DO ELU

Iremos adotar como armadura passiva 2 16mm. Força de protensão após perdas: P = 4977,90 KN (calculado no item 6.1.4.5) O aço de protensão já possui um pré-alongamento de:

O momento de cálculo na ruptura é:

Md = 1,35 x 4115,25 + 1,5 x 3430,76 Md = 10701,73 KN x m

Fazendo a hipótese de que a peça está nos domínios 2 ou 3, então a armadura escoa, e a força no aço é:

FAÇO = 7999,51 KN

Para esta força a área de concreto necessária para equilibrar essa força é de:

FAÇO = F CON = Ac x 0,85 x fcd

005,0190000000

14120000987,0

90,49779,0

PRÉ

15,1190987,0124

15,15098,12 AÇOF

82

AC = 0,38 m² Área da laje = 2,40 x 0,20 = 0,48 m² (conclui-se que a área está dentro da laje)

0,38 = x’ x 2,40 x’ = 0,16 m

A verdadeira posição da linha neutra é:

x = 1,25 x 0,16 x = 0,20m

Considerando que o centro geométrico das armaduras continua no centro geométrico das armaduras de protensão, o que é a favor da segurança já que o braço de alavanca seria aumentado caso fosse calculado, pois a armadura passiva está mais abaixo da armadura de protensão), o braço de alavanca é:

Z = 1,90 – 0,15 – 0,5 x 0,16

Z = 1,67 m

Sendo assim o momento último resistente dessa viga é:

MU = FAÇO x Z MU = 7999,51 x 1,67

MU = 13359,18 KN x m Conclusão: Como o momento último resistente é maior que o momento último de cálculo a peça passa pela verificação da ruptura.

Md < MU 10701,73 < 13359,18 KN x m

4,13500085,051,7999 CA

83

6.2 LONGARINA INTERMEDIÁRIA 6.2.1. DETERMINAÇÃO DA PROTENSÃO NECESSÁRIA Os dados conforme cálculo no item 1.6 são:

A = 1,25 m² Wi = 0,292 m³ Ws = 0,666 m³ Ki = 0,233 m Ks = 0,533 m³


Mg = 4595,63 KN x m

MQ + = 1137,99 + 1492,88

MQ + = 2630,87 KN x m


t = 0


M = Mg + 0,3 x MQ +

M = 4595,63 + 0,3 x 2630,87

M = 5384,89 KN x m


pi

iiCQP eK

WMP


84


ep = yi – 0,15 ep = 1,32 – 0,15

ep = 1,17 m


17,1233,0292,0048,5144PCQP

(5384,89-0x0,292)/0,233+1,17

PCQP = 3838,13 KN


3 2t fck21,0

3 2t 3521,0

t = 2,25 Mpa ou

t = 2250 KN/cm²


M = Mg + 0,5 x MQ +

M = 4595,63 + 0,5 x 2630,87


17,1233,0292,0225063,5830PCF

(5911,1-2250x0,292)/0,233+1,17

PCF = 3744,9 KN

Como o valor de PCF < PCQP, então o valor que deve ser utilizado para protensão é:

PCQP = P = 3838,13 KN

85


75,0PPINICIAL

75,055,3687PINICIAL (3838,13/0,75) PINICIAL = 5117,5 KN


Po = 12 x A x 0,77 x e Po = 12 x 0,987 x 0,77 x 190

Po = 1732,77 KN


O

INICIAL

PPn

77,173273,4916n (5117,5/1732,77) n = 2,95


n = 4 cabos

86

6.2.2. DETALHE DO LANÇAMENTO DOS CABOS



87




88

6.2.3 PERDAS IMEDIATAS Todas as perdas imediatas acontecem em canteiro, onde a viga é protendida, portanto todas as características geométricas devem ser tomadas em relação a viga pré-moldada, conforme calculado em 1.1 6.2.3.1 PERDAS POR ATRITO EM CABOS PÓS-TRACIONADOS A força de protensão após as perdas por atrito é dada pela equação:


5002,0

18030,72,0177,1732P1

P1 = 1671,29 KN


15002,0

18030,72,0177,1732P1

P1 = 1636,63 KN



5,7002,0

18087,102,0177,1732P2

P2 = 1641,03 KN


15002,0

18087,102,0177,1732P2

P2 = 1615,04 KN

89



75,8002,0

18088,122,0177,1732P3

P3 = 1624,54 KN


15002,0

18088,122,0177,1732P3

P3 = 1602,88 KN



10002,0

18064,152,0177,1732P4

P4 = 1603,52 KN


15002,0

18064,152,0177,1732P4

P4 = 1586,19 KN


P = 4 x 1732,77

P = 6931,08 KN


P = 1636,63 + 1615,04 + 1602,88 + 1586,19



PP

INICIAL

REDUZIDOINICIAL

90


74,644008,6931



0,006AE

)a(aΔP2a

AE2PP

211aXo 1


0,006844,1190001

5)1(ΔP25

844,1190001229,167177,7321 1

P1 = 69,52 KN

Para o cabo 2:

0,006844,11900015)1(ΔP

27,5

844,1190001203,164177,7321 2

P2 = 44,14 KN

Para o cabo 3:

0,006844,11900015)1(ΔP

28,75

844,1190001254,162477,7321 3

P3 = 26,88 KN

Para o cabo 4:

0,006844,11900015)1(ΔP

210

844,1190001252,160377,7321 4

P4 = 3,85 KN

91



PTOTAL = P1 + P2 + P3 + P4

PTOTAL = 69,52 + 44,14 + 26,88 + 3,85 PTOTAL = 144,39 KN



INICIAL

TOTAL


39,144





2n

1nσσαΔσ CPgP


PVP

gog e

IM

σ )15,002,1(0,205

2165,63σ g g = 9190,70 KN/m²

O valor de cp é:

Ie

A1Pσ

2P

cp

0,2050,87

0,77135,2966σ

2

cp cp = - 31424,43 KN/m²

92

421443,3142470,919085,5Δσ

= - 48775,25 KN/m²





INICIAL

TOTAL





6.2.4 PERDAS LENTAS As perdas lentas possuem quatro origens:



211

21

Δσ2

1000

1000,

C

P

CPP

PipigcPPCS

Ie

AA

E

onde: cs deformação de retração após a estabilização = - 0,00021 m/m/ c,pig tensão no concreto na posição da resultante da armadura de protensão; pi tensão na armadura devido a força de protensão após perdas imediatas; Ap área das armaduras de protensão; Ac área da seção composta (viga + laje).

93


P = 1732,77 x 4 – 0,1248 x (1732,77 x 4) P = 6066,08 KN




= - 214814,14 KN/m²





INICIAL

TOTAL

% perdas lentas = 10008,693102,1089

(954,27/6931,08)*100

% perdas lentas = 14,68 %

386,0)15,032,1(08,6066

1,256066,08)15,032,1(

0,3864115,25σ

2

pigc,

IeP

APe

IM

σ2P

pg

pigc,

2pipi

Ppi KN/m02,2804121σ

0,00009871246066,08σ

APσ

22,21

386,017,1

25,110000987,012485,5

2059,01

059,002,12804122,276,1389185,51900000000021,0Δσ2

94




P = 1732,77 x 4 – 0,2716 x (1732,77 x 4) P = 5048,6 KN


P < P APÓS PERDAS

3838,13 < 5048,6


Iremos adotar como armadura passiva 2 16mm. Força de protensão após perdas: P = 5048,6 KN (calculado no item 6.2.5) O aço de protensão já possui um pré-alongamento de:

0,00511 O momento de cálculo na ruptura é:

Md = 1,35 x 4595,63 + 1,5 x 2630,87 Md = 10150,41 KN x m


FAÇO = 7999,51 KN



005,0190000000

14120000987,0

90,49779,0

PRÉ

15,1190987,0124

15,15098,12 AÇOF

95


0,38 = x’ x 2,40 x’ = 0,16 m


x = 1,25 x 0,16 x = 0,20m


Z = 1,90 – 0,15 – 0,5 x 0,16

Z = 1,67 m


MU = FAÇO x Z MU = 7999,51 x 1,67


Md < MU 10150,41 < 13359,18 KN x m

4,13500085,051,7999 CA

96

6.3 LONGARINA CENTRAL 6.3.1. DETERMINAÇÃO DA PROTENSÃO NECESSÁRIA Os dados conforme cálculo no item 1.6 são:

A = 1,25 m² Wi = 0,292 m³ Ws = 0,666 m³ Ki = 0,233 m Ks = 0,533 m³


Mg = 4560,75 KN x m

MQ + = 599,76 + 1486,13

MQ + = 2085,89 KN x m


t = 0


M = Mg + 0,3 x MQ +

M = 4560,75 + 0,3 x 2085,89

M = 5186,52 KN x m


pi

iiCQP eK

WMP


97


ep = yi – 0,15 ep = 1,32 – 0,15

ep = 1,17 m


17,1233,0292,0048,5144PCQP

(5186,52-0*0,292)/(0,233+1,17)

PCQP = 3696,74 KN


3 2t fck21,0

3 2t 3521,0

t = 2,25 Mpa ou

t = 2250 KN/cm²


M = Mg + 0,5 x MQ +

M = 4560,75 + 0,5 x 2085,89


17,1233,0292,0225063,5830PCF

(5603,7-2250X0,292)/(0,233+1,17)

PCF = 3525,8 KN

Como o valor de PCF < PCQP, então o valor que deve ser utilizado para protensão é:

PCQP = P = 3696,74 KN

98


75,0PPINICIAL

75,055,3687PINICIAL (3696,74)/0,75 PINICIAL = 4929 KN


Po = 12 x A x 0,77 x e Po = 12 x 0,987 x 0,77 x 190

Po = 1732,77 KN


O

INICIAL

PPn

77,173273,4916n (4929/1732,77) n = 2,84


n = 4 cabos

99

6.3.2. DETALHE DO LANÇAMENTO DOS CABOS




100



101

6.3.3 PERDAS IMEDIATAS Todas as perdas imediatas acontecem em canteiro, onde a viga é protendida, portanto todas as características geométricas devem ser tomadas em relação a viga pré-moldada, conforme calculado em 1.1 6.3.3.1. PERDAS POR ATRITO EM CABOS PÓS-TRACIONADOS A força de protensão após as perdas por atrito é dada pela equação:


5002,0

18030,72,0177,1732P1

P1 = 1671,29 KN


15002,0

18030,72,0177,1732P1

P1 = 1636,63 KN



5,7002,0

18087,102,0177,1732P2

P2 = 1641,03 KN


15002,0

18087,102,0177,1732P2

P2 = 1615,04 KN

102



75,8002,0

18088,122,0177,1732P3

P3 = 1624,54 KN


15002,0

18088,122,0177,1732P3

P3 = 1602,88 KN



10002,0

18064,152,0177,1732P4

P4 = 1603,52 KN


15002,0

18064,152,0177,1732P4

P4 = 1586,19 KN


P = 4 x 1732,77

P = 6931,08 KN


P = 1636,63 + 1615,04 + 1602,88 + 1586,19



PP

INICIAL

REDUZIDOINICIAL

103


74,644008,6931



0,006AE

)a(aΔP2a

AE2PP

211aXo 1


0,006844,1190001

5)1(ΔP25

844,1190001229,167177,7321 1

P1 = 69,52 KN

Para o cabo 2:

0,006844,11900015)1(ΔP

27,5

844,1190001203,164177,7321 2

P2 = 44,14 KN

Para o cabo 3:

0,006844,11900015)1(ΔP

28,75

844,1190001254,162477,7321 3

P3 = 26,88 KN

Para o cabo 4:

0,006844,11900015)1(ΔP

210

844,1190001252,160377,7321 4

P4 = 3,85 KN

104



PTOTAL = P1 + P2 + P3 + P4

PTOTAL = 69,52 + 44,14 + 26,88 + 3,85 PTOTAL = 144,39 KN



INICIAL

TOTAL


39,144





2n

1nσσαΔσ CPgP


PVP

gog e

IM

σ )15,002,1(0,205

2165,63σ g g = 9190,70 KN/m²

O valor de cp é:

Ie

A1Pσ

2P

cp

0,2050,87

0,77135,2966σ

2

cp cp = - 31424,43 KN/m²

105

421443,3142470,919085,5Δσ

= - 48775,25 KN/m²





INICIAL

TOTAL





6.3.4. PERDAS LENTAS As perdas lentas possuem quatro origens:



211

21

Δσ2

1000

1000,

C

P

CPP

PipigcPPCS

Ie

AA

E

onde: cs deformação de retração após a estabilização = - 0,00021 m/m/ c,pig tensão no concreto na posição da resultante da armadura de protensão; pi tensão na armadura devido a força de protensão após perdas imediatas; Ap área das armaduras de protensão; Ac área da seção composta (viga + laje).

106


P = 1732,77 x 4 – 0,1248 x (1732,77 x 4) P = 6066,08 KN




= - 216290,83 KN/m²





INICIAL

TOTAL

% perdas lentas = 10008,693102,1089

(958,55/6931,08)

% perdas lentas = 14,78 %

386,0)15,032,1(08,6066

1,256066,08)15,032,1(

0,3864115,25σ

2

pigc,

IeP

APe

IM

σ2P

pg

pigc,

2pipi

Ppi KN/m02,2804121σ

0,00009871246066,08σ

APσ

22,21

386,017,1

25,110000987,012485,5

2059,01

059,002,12804122,276,1389185,51900000000021,0Δσ2

107




P = 1732,77 x 4 – 0,2861 x (1732,77 x 4) P = 4948,1 KN


P < P APÓS PERDAS

2696,74 < 4948,1


Iremos adotar como armadura passiva 2 16mm. Força de protensão após perdas: P = 4948,1 KN (calculado no item 6.3.5) O aço de protensão já possui um pré-alongamento de:

0,0049 O momento de cálculo na ruptura é:

Md = 1,35 x 4560,75 + 1,5 x 2085,89 Md = 9285,85 KN x m


FAÇO = 7999,51 KN



005,0190000000

14120000987,0

90,49779,0

PRÉ

15,1190987,0124

15,15098,12 AÇOF

108


0,38 = x’ x 2,40 x’ = 0,16 m


x = 1,25 x 0,16 x = 0,20m


Z = 1,90 – 0,15 – 0,5 x 0,16

Z = 1,67 m


MU = FAÇO x Z MU = 7999,51 x 1,67


Md < MU 9285,85 < 13359,18 KN x m

4,13500085,051,7999 CA

Projeto de Pontes FINAL

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