Prova de Fisica 3 UFRJ

Universidade Federal do Rio de Janeiro Insti-tuto de FsicaFsica III 2014/1 Segunda Prova: 12/05/2014TesteVERSAO: A

Formulario

~Fm = q~v ~B , d~Fm = Id~ ~B ,

S

~B d~A = 0 , d ~B =04

Id~ r

r2,

C

~B d~ = 0Ienc + 00dEdt

, Eind = dBdt

, B = LI , uB =1

2

B2

0.

Secao 1. Multipla escolha (80,6 = 4,8 pontos)

1. Uma barra de comprimento a ocupa uma regiao ondeha um campo magnetico constante (estacionario e uni-

forme) ~B. A barra gira com velocidade angular ~,em torno de um ponto fixo em uma de suas extremi-dades, em um plano perpendicular ao campo. Quale o modulo da tensao ou da diferenca de potencialque acaba se estabelecendo entre as extremidades dabarra?

(a) a2B/4 .

(b) 2a2B .

(c) a2B .

(d) a2B/2 .

(e) 2a2B .

(f) a2B .

(g) 0 .

2. Calcule o campo magnetico no ponto P devido ao cir-cuito com corrente estacionaria de intensidade I.

(a) 0I

4

(1

a

1

b

)z .

(b)0I

4

(1

a

1

b

)z .

(c) 0I

2

(1

a

1

b

)z .

(d)0I

2

(1

a

1

b

)z .

(e) 0I

2

(1

a

1

b

)z .

(f)0I

2

(1

a

1

b

)z .

(g) 0I

4

(1

a

1

b

)z .

(h)0I

4

(1

a

1

b

)z .

1

3. Calcule a forca magnetica resultante sobre o pedacode fio, atraves do qual passa uma corrente eletricaestacionaria de intensidade I, composto por dois seg-mentos retilneos, de comprimento L, muito grande, euma semicircunferencia de crculo, de raio a, na pre-senca de um campo magnetico constante (estacionario

e uniforme) ~B = By, B = const > 0 .

(a) 2IaBz .

(b) 2IaBz .

(c) 2ILBz .

(d) 2ILBz .

(e) 2I(a+ L)Bz .

(f) 2I(a+ L)Bz .

(g) 2I(a L)Bz .

(h) 2I(a L)Bz .

4. Todas as partculas carregadas que passam atravesde uma regiao em que existem campos eletrico emagnetico constantes, ortogonais, sem serem defleti-das tem em comum

(a) a massa.

(b) o momento linear.

(c) a velocidade.

(d) a energia.

(e) a razao entre carga e massa.

5. Por um fio retilneo, muito longo, em repouso, passauma corrente eletrica estacionaria de intensidade I.Proximo a tal fio, ha um retangulo condutor, rgido,coplanar com o fio, conforme mostra a figura. Ori-ginalmente, o retangulo tambem encontra-se em re-pouso, mas, em um certo instante, ele passa a se mo-vimentar em uma das quatro maneiras seguintes: (1)translacao com velocidade ~v1 = v1y; (2) translacaocom velocidade ~v2 = v2x; (3) translacao com velo-cidade ~v3 = v3xx + v3yy, ou (4) rotacao (rgida) emtorno do eixo do proprio fio, com velocidade angular~ = z. Em qual(is) das quatro situacoes, nao surgeuma corrente eletrica induzida ao longo do retangulo?

(a) Somente em 1.

(b) Somente em 4.

(c) Somente em 2.

(d) Somente em 3.

(e) Em 1 e 4.

(f) Em 2 e 3.

(g) Em nenhuma surgira corrente induzida, pois ocampo gerado pelo fio, mantem-se estacionarioe a rea do retangulo nao varia.

2

6. Um capacitor de placas paralelas, circulares e cujoraio das placas e muito maior que a distancia entre asmesmas esta inicialmente descarregado. A partir deum certo instante, o capacitor comeca a ser carregadopor uma corrente que cresce linearmente com o tempoi(t) = bt, onde b = const > 0. Sobre os camposeletrico e magnetico que podem eventualmente surgirentre as placas durante o carregamento do capacitorpode-se afirmar que:

(a) surgira apenas um campo eletrico estacionario.

(b) surgirao um campo eletrico estacionario e umcampo magnetico nao estacionario, colinearesentre si.

(c) surgira apenas um campo eletrico nao esta-cionario.

(d) surgirao um campo eletrico nao estacionario eum campo magnetico estacionario, colinearesentre si.

(e) surgirao um campo eletrico nao estacionario eum campo magnetico estacionario, perpendi-culares entre si.

(f) surgirao um campo eletrico e um campomagnetico, ambos nao estacionarios, e perpen-diculares entre si.

7. Seja um solenoide longo, formado por um enrolamentode espiras circulares. Considere as seguintes tres afir-mativas sobre sua auto-indutancia: (I) ela e propor-cional ao quadrado do raio das espiras; (II) ela e pro-porcional a` taxa de variacao da corrente no solenoide,e (III) ela e proporcional a` corrente que circula no so-lenoide. Assinale a opcao que indica qual(is) dessasafirmativas esta(ao) correta(s).

(a) Nenhuma das afirmativas esta correta.

(b) Apenas a I.

(c) Apenas a II.

(d) Apenas a III.

(e) Apenas a I e a II.

(f) Apenas a I e a III.

(g) Apenas a II e a III.

(h) Todas as afirmativas estao corretas.

8. Considere as seguintes tres afirmacoes sobre a lei deAmpe`re: (I) ela so vale quando ha um alto grau desimetria da distribuicao de correntes; (II) ela so valequando as correntes forem estacionarias, e (III) elaso vale quando os campos magneticos forem esta-cionarios. Assinale a alternativa que indica qual(is)de tais afirmacoes e(sao) correta(s).

(a) Nenhuma afirmacao e correta.

(b) Somente a I.

(c) Somente a II.

(d) Somente a III.

(e) Somente a I e a II.

(f) Somente a I e a III.

(g) Somente a II e a III.

(h) Todas as afirmacoes sao corretas.

Secao 2. Questoes discursivas (22,6 = 5,2 pontos)

Todas as respostas devem ter justificativas!

1. [2,6 pontos] Um cabo coaxial e composto por um fio solido, cilndrico, circular, de raio R, envolto por uma cascaespessa, cilndrica, tambem circular, coaxial, de raios a e b, tais que R < a < b. Ambos os cilindros sao muitolongos e tem o eixo comum Z. Atraves do fio interno, passa uma corrente eletrica estacionaria, cuja densidade decorrente e dada por ~J int = Cr z, onde C = const > 0 e r e a distancia ate o eixo do fio. Atraves da casca externa,passa uma corrente estacionaria, cuja densidade de corrente e dada por ~J ext = J0 z, onde J0 = const > 0.

3

(a) Qual e a (intensidade de) corrente eletrica no fio interno? [0,6 ponto](b) Qual e a (intensidade de) corrente eletrica na casca externa? [0,4 ponto]

(c) Determine o campo magnetico ~B em cada uma das quatro regioes em que o cabo divide o espaco. [1,6 ponto]

2. [2,6 pontos] Um pedaco de fio condutor ohmico isolado e torcido de modo a constituir um circuito em forma deoito. Por razao de simplicidade, modele as duas metades da figura de oito como circunferencias de crculo. Oraio do crculo superior e a e o do inferior e 2a. O circuito completo e puramente resistivo (com capacitancia eauto-indutancia desprezveis), tendo resistencia R. A partir de t = 0 s, um campo magnetico uniforme, mas naoestacionario,

~B = Ct z ,

onde C = const > 0, e aplicado perpendicularmente ao plano dos dois crculos, conforme mostrado na figura.

(a) Para t > 0 s, determine o fluxo total atraves do circuito. [1,2 ponto](b) Para t > 0 s, determine o sentido da corrente eletrica induzida ao longo do fio, indicando-o claramente emcada uma das circunferencias, seja por intermedio de uma seta, seja pelas expressoes horario ou anti-horario.[0,6 ponto](c) Para t > 0 s, determine o modulo da intensidade da corrente eletrica induzida no fio. [0,8 ponto]

4

Gabarito para Versao A


1. (d)

2. (a)

3. (b)

4. (c)

5. (e)

6. (f)

7. (b)

8. (g)


1. Resolucao:

(a) [0,6] A intensidade de corrrente eletrica I[S] atraves de uma superfcie S e a densidade de corrente eletrica

nela, ~J , estao relacionadas por

I[S] =

S

~J n dA .

Logo, para uma secao reta do fio interno, temos

Iint =

Sint

Crz z dA

=

Sint

Cr 2r dr

= 2C

Rr=0

r2 dr ,

ou seja,

Iint =2

3CR3 . (1)

(b) [0,4] Na casca externa, temos

Iext =

Sext

Jext n dA

=

Sext

(J0 z) z dA

= J0

Sext

dA

= J0Aext ,

ou seja,

Iext = J0(b2 a2) . (2)

1

(c) [1,6] Devido a` simetria cilndrica da distribuicao estacionaria de corrente e a` lei de Gauss do magnetismo, emqualquer uma das quatro regioes, o campo magnetico, so tera componente azimutal (circular), ou seja,1

~B(r, ) = B(r) () .

Isso tudo sugere, pois, que usemos a lei de Ampe`re e que tomemos, como curva ampe`riana, uma circunferencia decrculo, concentrico com o eixo da distribuicao de corrente e perpendicular ao seu eixo, de raio generico r. Assim,a expressao funcional para a circulacao do campo magnetico ao longo da amperiana fica, em qualquer uma dasquatro regioes, igual a

~B[C] :=

C

~B d

=

C

B(r) () d

=

C

B(r)d

= B(r)

C

d ,

ou seja,~B[C] = 2rB(r) .

A intensidade de corrente encerrada pela curva ampe`riana dependera, contudo, da regiao em questao. De fato,

0 r R: nesse caso, a corrente encerrada Ienc(r) e dada pela Eq. (1), contanto que, nela, troquemos R porr, ou seja:

Ienc(r) = Iint(r)

=2

3Cr3 .

Entao, pela lei de Ampe`re, vem

B(r)2r =2

30Cr

3 ,

e, finalmente,

~B =1

30Cr

2 .

R r a: nesse caso, a corrente encerrada Ienc(r) e dada pela corrente toda do fio interno, ou seja, pelaEq. (1):

Ienc(r) = Iint

=2

3CR3 .


B(r)2r =2

30CR

3 ,

e, finalmente,

~B =0Iint2r

=1

3

0CR3

r .

1A rigor, ainda poderia haver uma componente axial constante, que, suporemos nula, como usual.

2

a r b: nesse caso, a corrente encerrada Ienc(r) e dada pela corrente do fio interno mais a corrente na cascaexterna, Eq, (2), contanto que, nessa ultima, troquemos b por r, ou seja:

Ienc(r) = Iint + Iext(r)

=2

3CR3 J0(r

2 a2) .


B(r)2r = 0

[2

3CR3 J0(r

2 a2)

],

e, finalmente,

~B = 0

[1

3

CR3

r

1

2J0

(r

a2

r

)] .

b r

(c) [0,8] Pela lei de Faraday, temos que a forca eletromotriz (fem) induzida ao longo do circuito e, tendo em vistaa Eq. (3),

Eind[C] = d

dt= 3Ca2 .

Como o circuito e puramente resistivo e satisfaz a lei de Ohm, temos que a corrente eletrica induzida vale

Iind =Eind

R,

ou seja,

|Iind| =3Ca2

R.

5

Universidade Federal do Rio de Janeiro Insti-tuto de FsicaFsica III 2014/1 Segunda Prova: 12/05/2014TesteVERSAO: B

Formulario

~Fm = q~v ~B , d~Fm = Id~ ~B ,

S

~B d~A = 0 , d ~B =04

Id~ r

r2,

C


, Eind = dBdt

, B = LI , uB =1

2

B2

0.




(a) a2B/4 .

(b) 2a2B .

(c) a2B .

(d) a2B/2 .

(e) 2a2B .

(f) a2B .

(g) 0 .








1


(a) 0I

4

(1

a

1

b

)z .

(b)0I

4

(1

a

1

b

)z .

(c) 0I

2

(1

a

1

b

)z .

(d)0I

2

(1

a

1

b

)z .

(e) 0I

2

(1

a

1

b

)z .

(f)0I

2

(1

a

1

b

)z .

(g) 0I

4

(1

a

1

b

)z .

(h)0I

4

(1

a

1

b

)z .



(a) 2IaBz .

(b) 2IaBz .

(c) 2ILBz .

(d) 2ILBz .

(e) 2I(a+ L)Bz .

(f) 2I(a+ L)Bz .

(g) 2I(a L)Bz .

(h) 2I(a L)Bz .


(a) a massa.


(c) a velocidade.

(d) a energia.




(b) Apenas a I.

(c) Apenas a II.

(d) Apenas a III.





2


(a) Somente em 1.

(b) Somente em 4.

(c) Somente em 2.

(d) Somente em 3.

(e) Em 1 e 4.

(f) Em 2 e 3.




(b) Somente a I.

(c) Somente a II.

(d) Somente a III.








3




~B = Ct z ,



4

Gabarito para Versao B


1. (d)

2. (f)

3. (a)

4. (b)

5. (c)

6. (b)

7. (e)

8. (g)


1. Resolucao:



I[S] =

S

~J n dA .


Iint =

Sint

Crz z dA

=

Sint

Cr 2r dr

= 2C

Rr=0

r2 dr ,

ou seja,

Iint =2

3CR3 . (1)


Iext =

Sext

Jext n dA

=

Sext

(J0 z) z dA

= J0

Sext

dA

= J0Aext ,

ou seja,

Iext = J0(b2 a2) . (2)

1


~B(r, ) = B(r) () .


~B[C] :=

C

~B d

=

C

B(r) () d

=

C

B(r)d

= B(r)

C

d ,




Ienc(r) = Iint(r)

=2

3Cr3 .


B(r)2r =2

30Cr

3 ,

e, finalmente,

~B =1

30Cr

2 .


Ienc(r) = Iint

=2

3CR3 .


B(r)2r =2

30CR

3 ,

e, finalmente,

~B =0Iint2r

=1

3

0CR3

r .


2



=2

3CR3 J0(r

2 a2) .


B(r)2r = 0

[2

3CR3 J0(r

2 a2)

],

e, finalmente,

~B = 0

[1

3

CR3

r

1

2J0

(r

a2

r

)] .

b r

Entao, o fluxo atraves do crculo superior e

sup :=

Ssup

~B n dA

=

Ssup

(Ctz) nsup dA

=

Ssup

(Ctz) (z) dA

= Ct

;Ssup

dA

= CtAsup

= Cta2 .

Analgoamente, para o fluxo atraves do crculo inferior, temos

inf = CtAinf

= 4Cta2 .

Logo, o fluxo total atraves do circuito e = sup + inf

ou seja,

= 3Ca2t . (3)

(b) [0,6 ponto] Como, nitidamente, o modulo do fluxo esta aumentando e a maior contribuicao para ele vem docrculo inferior, devera surgir, pela lei de Lenz, uma corrente induzida que parcialmente cancelara, por intermediodo correspondente campo magnetico induzido, no centro do crculo inferior, o campo magnetico externo. Issoimplica que a corrente induzida tera o sentido indicado pelas setas na figura a seguir, ou ainda,

circunferencia inferior: sentido horario

circunferencia superior: sentido anti-horario .

4


Eind[C] = d

dt= 3Ca2 .


Iind =Eind

R,

ou seja,

|Iind| =3Ca2

R.

5

Universidade Federal do Rio de Janeiro Insti-tuto de FsicaFsica III 2014/1 Segunda Prova: 12/05/2014TesteVERSAO: C

Formulario

~Fm = q~v ~B , d~Fm = Id~ ~B ,

S

~B d~A = 0 , d ~B =04

Id~ r

r2,

C


, Eind = dBdt

, B = LI , uB =1

2

B2

0.









1


(a) Somente em 1.

(b) Somente em 4.

(c) Somente em 2.

(d) Somente em 3.

(e) Em 1 e 4.

(f) Em 2 e 3.




(a) 2IaBz .

(b) 2IaBz .

(c) 2ILBz .

(d) 2ILBz .

(e) 2I(a+ L)Bz .

(f) 2I(a+ L)Bz .

(g) 2I(a L)Bz .

(h) 2I(a L)Bz .



(a) a2B/4 .

(b) 2a2B .

(c) a2B .

(d) a2B/2 .

(e) 2a2B .

(f) a2B .

(g) 0 .

2



(b) Somente a I.

(c) Somente a II.

(d) Somente a III.







(b) Apenas a I.

(c) Apenas a II.

(d) Apenas a III.






(a) 0I

4

(1

a

1

b

)z .

(b)0I

4

(1

a

1

b

)z .

(c) 0I

2

(1

a

1

b

)z .

(d)0I

2

(1

a

1

b

)z .

(e) 0I

2

(1

a

1

b

)z .

(f)0I

2

(1

a

1

b

)z .

(g) 0I

4

(1

a

1

b

)z .

(h)0I

4

(1

a

1

b

)z .


(a) a massa.


(c) a velocidade.

(d) a energia.





3




~B = Ct z ,



4

Gabarito para Versao C


1. (f)

2. (e)

3. (b)

4. (d)

5. (g)

6. (b)

7. (a)

8. (c)


1. Resolucao:



I[S] =

S

~J n dA .


Iint =

Sint

Crz z dA

=

Sint

Cr 2r dr

= 2C

Rr=0

r2 dr ,

ou seja,

Iint =2

3CR3 . (1)


Iext =

Sext

Jext n dA

=

Sext

(J0 z) z dA

= J0

Sext

dA

= J0Aext ,

ou seja,

Iext = J0(b2 a2) . (2)

1


~B(r, ) = B(r) () .


~B[C] :=

C

~B d

=

C

B(r) () d

=

C

B(r)d

= B(r)

C

d ,




Ienc(r) = Iint(r)

=2

3Cr3 .


B(r)2r =2

30Cr

3 ,

e, finalmente,

~B =1

30Cr

2 .


Ienc(r) = Iint

=2

3CR3 .


B(r)2r =2

30CR

3 ,

e, finalmente,

~B =0Iint2r

=1

3

0CR3

r .


2



=2

3CR3 J0(r

2 a2) .


B(r)2r = 0

[2

3CR3 J0(r

2 a2)

],

e, finalmente,

~B = 0

[1

3

CR3

r

1

2J0

(r

a2

r

)] .

b r


Eind[C] = d

dt= 3Ca2 .


Iind =Eind

R,

ou seja,

|Iind| =3Ca2

R.

5

Universidade Federal do Rio de Janeiro Insti-tuto de FsicaFsica III 2014/1 Segunda Prova: 12/05/2014TesteVERSAO: D

Formulario

~Fm = q~v ~B , d~Fm = Id~ ~B ,

S

~B d~A = 0 , d ~B =04

Id~ r

r2,

C


, Eind = dBdt

, B = LI , uB =1

2

B2

0.




(a) 2IaBz .

(b) 2IaBz .

(c) 2ILBz .

(d) 2ILBz .

(e) 2I(a+ L)Bz .

(f) 2I(a+ L)Bz .

(g) 2I(a L)Bz .

(h) 2I(a L)Bz .


(a) 0I

4

(1

a

1

b

)z .

(b)0I

4

(1

a

1

b

)z .

(c) 0I

2

(1

a

1

b

)z .

(d)0I

2

(1

a

1

b

)z .

(e) 0I

2

(1

a

1

b

)z .

(f)0I

2

(1

a

1

b

)z .

(g) 0I

4

(1

a

1

b

)z .

(h)0I

4

(1

a

1

b

)z .

1



(a) a2B/4 .

(b) 2a2B .

(c) a2B .

(d) a2B/2 .

(e) 2a2B .

(f) a2B .

(g) 0 .


(a) a massa.


(c) a velocidade.

(d) a energia.




(b) Somente a I.

(c) Somente a II.

(d) Somente a III.






(a) Somente em 1.

(b) Somente em 4.

(c) Somente em 2.

(d) Somente em 3.

(e) Em 1 e 4.

(f) Em 2 e 3.


2










(b) Apenas a I.

(c) Apenas a II.

(d) Apenas a III.








3




~B = Ct z ,



4

Gabarito para Versao D


1. (b)

2. (a)

3. (d)

4. (c)

5. (g)

6. (e)

7. (f)

8. (b)


1. Resolucao:



I[S] =

S

~J n dA .


Iint =

Sint

Crz z dA

=

Sint

Cr 2r dr

= 2C

Rr=0

r2 dr ,

ou seja,

Iint =2

3CR3 . (1)


Iext =

Sext

Jext n dA

=

Sext

(J0 z) z dA

= J0

Sext

dA

= J0Aext ,

ou seja,

Iext = J0(b2 a2) . (2)

1


~B(r, ) = B(r) () .


~B[C] :=

C

~B d

=

C

B(r) () d

=

C

B(r)d

= B(r)

C

d ,




Ienc(r) = Iint(r)

=2

3Cr3 .


B(r)2r =2

30Cr

3 ,

e, finalmente,

~B =1

30Cr

2 .


Ienc(r) = Iint

=2

3CR3 .


B(r)2r =2

30CR

3 ,

e, finalmente,

~B =0Iint2r

=1

3

0CR3

r .


2



=2

3CR3 J0(r

2 a2) .


B(r)2r = 0

[2

3CR3 J0(r

2 a2)

],

e, finalmente,

~B = 0

[1

3

CR3

r

1

2J0

(r

a2

r

)] .

b r

Entao, o fluxo atraves do crculo superior e

sup :=

Ssup

~B n dA

=

Ssup

(Ctz) nsup dA

=

Ssup

(Ctz) (z) dA

= Ct

;Ssup

dA

= CtAsup

= Cta2 .

Analgoamente, para o fluxo atraves do crculo inferior, temos

inf = CtAinf

= 4Cta2 .

Logo, o fluxo total atraves do circuito e = sup + inf

ou seja,

= 3Ca2t . (3)

(b) [0,6 ponto] Como, nitidamente, o modulo do fluxo esta aumentando e a maior contribuicao para ele vem docrculo inferior, devera surgir, pela lei de Lenz, uma corrente induzida que parcialmente cancelara, por intermediodo correspondente campo magnetico induzido, no centro do crculo inferior, o campo magnetico externo. Issoimplica que a corrente induzida tera o sentido indicado pelas setas na figura a seguir, ou ainda,

circunferencia inferior: sentido horario

circunferencia superior: sentido anti-horario .

4


Eind[C] = d

dt= 3Ca2 .


Iind =Eind

R,

ou seja,

|Iind| =3Ca2

R.

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Prova de Fisica 3 UFRJ

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