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PROJETO MA225, 2016, UNICAMP

Publicado pela editora Dejamani.

Publicado em 25 de Novembro de 2016

Entenda o seu livro

• Cada capítulo é iniciado informando seus objetivos.

• Quando encontrar o robô será porque é necessário relembrar algo para prosseguir noentendimento dos próximos conceitos.

• Conteúdos em caixinhas onde está escrito "Definição"são conteúdos que devem ser lembra-dos.

Definição:

Conteúdos em caixas como esta são importantes!

• Caixas verdes guardam fórmulas matemáticas muito úteis para resolver os exercícios.

Fórmulas!

• Também temos caixas com o título "Exemplo". Nelas você encontrará exercícios resolvidospasso a passo para ajudar no entendimento do conteúdo.

Exemplo

Olhe bem para os exemplos;Leia com atenção;

• Curiosidades

Curiosidade 1.Aqui sempre terá alguma curiosidade, algo interessante de se saber ou conteúdos históricossobre matemática e os assuntos em estudo.

• Na parte de exercícios - encontrados sempre no final de cada capítulo - temos:

roxo: aqui você encontra exercícios básicos de modo a cumprir com o objetivo do capí-tulo.

azul: exercícios para você fixar o conteúdo.

marrom exercícios onde você terá de interpretá-los antes de resolvê-los.

vermelho são exercícios extras para quem busca questões mais desafiadoras. Se vocêchegou até eles, não deixe de tentar. É a sua oporunidade de encarar desafios maiores.

Capítulos

1 FORMAS GEOMÉTRICAS 71.1 Polígonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2 Triângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3 Quadriláteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 PERÍMETRO E ÁREA 252.1 Perímetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2 Área . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

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Capítulo 1

FORMAS GEOMÉTRICAS

Introdução

As formas geométricas se fazem presentes em nosso cotidiano de maneiras diversas. Estudá-las nos proporciona um entendimento básico e, ao mesmo tempo, dinâmico de todos os objetos,construções, caminhos e articulações com os quais convivemos sem perceber. Neste capítulo in-troduziremos as figuras geométricas denominadas Polígonos, dando atenção especial a um grupoespecífico deles : Os polígonos convexos.

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Você já deve ter andado por uma calçada assim. Chama-se calçada de encaixe, e tem a formade um polígono que veremos logo adiante: Hexágonos regulares. Calçadas como esta são muitocomuns em espaços públicos.

Calçada características do estado de São Paulo, formada por polígonos de oito lados (octógo-nos) que, por sua vez, são formados de pequenos quadradinhos, os quais compõem o ladrilho.Alguns estados tem um design característico nas calçadas de suas ruas mais importantes ou

movimentadas. A calçada de São paulo, por exemplo, imita a figura que representa o mapa doestado dentro do mapa do Brasil.

1.1 Polígonos

Denomina-se Polígono a região plana fechada, delimitada por segmentos de reta que se inter-sectam dois a dois, sem nunca se cruzar.

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Denifição:

Toda linha fechada formada apenas por segmentos de reta que não se cruzam é chamadapolígono.

Os polígonos têm diversas propriedades, que serão estudadas ao longo deste capítulo. Inici-almente, deve-se ter o entendimento de que o nome dos polígonos se relaciona diretamente como número de lados que ele apresenta, fazendo assim uma classificação geral.

Ainda de maneira generalizada, podemos classificar os polígonos em dois grandes grupos:Polígonos convexos e Polígonos não convexos (ou côncavos).

Denifição:

Polígonos convexos são aqueles em que pode-se traçar um segmento de reta entre quais-quer dois pontos do polígono e o mesmo estará inteiramente contido no polígono.

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Figura 1.1: Polígonos convexos

Denifição:

Já os Polígono côncavos (ou não convexos) são aqueles onde um segmento de reta traçadoentre dois pontos quaisquer do polígono não está inteiramente contido nele

Figura 1.2: Polígonos côncavos (não convexos)

Neste capítulo, daremos foco ao estudo dos polígonos convexos.Veremos, agora, algumas características específicas dos polígonosLados: São segmentos de reta consecutivos, que delimitam a área do polígono;

Vértices: São os pontos de interseção de dois lados consecutivos;Ângulo: Os ângulos internos de um polígono são aqueles formados por dois lados consecutivos;Ângulo externo: Os ângulos externos de um polígono são formado por um lado qualquer e o pro-longamento de um de seus lados consecutivos

Diagonais : São os segmentos de reta traçados entre um vértice e seus lados não conse-cutivos.

1.2 Triângulos

Triângulos são, muito provavelmente, as formas geométricas mais presentes em nosso coti-diano. Encontram-se desde sacadas de prédio até comidas populares que assumem o formatotriângular.

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Nada mais cotidiano que um belo pedaço de pizza.Denifição:

Os triângulos são, como já visto, figuras geométricas de três lados e três ângulos, quepodem receber classificações de acordo com a relação entre seus lados ou com a relaçãoentre seus ângulos.

• Quanto aos lados, os triângulos podem ser:Equilátero, que são os triângulos que possuem todos os lados com a mesma medida.Isósceles, que são triângulos que possuem apenas dois lados congruentes;Escaleno, onde todos os lados divergem entre si.

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Observe que o Triangulo 1 possui os três lados medindo 3cm, sendo então um triângulo equi-látero.O Triângulo 2 tem dois lados (AB e AC) medindo 4cm, e o lado BC, oposto ao vértice A (deno-minado base do triângulo) medindo 3cm. Este é, portanto, um triângulo isósceles.

Já o Triângulo 3 conta com três lados distintos, sendo por definição um triângulo escaleno.

• Quanto aos ângulos, os triângulos podem ser:Reto, triângulo característico que possui um ângulo reto;Acutângulo, triângulo cuja característica é que todos os ângulos sejam agudos (tenham me-didas menores que 90o);Obtusângulo, que são os triângulos que possuem um ângulo obtuso (maior que 90o).

Denifição:

Polígonos regulares são aqueles que possuem todos os lados com o mesmo comprimentoe todos os ângulos com a mesma medida.

Os triângulos equiláteros, que estudamos mais cedo, são polígonos regulares. Qualquer polí-gono convexo pode ser regular, desde que tenha os lados com medidas congruentes.

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Uma bola de futebol de gomos, por exemplo, é formada por dois polígonos regulares : Osgomos pintados de preto são Pentagonais, e os de brancos tem formato Hexagonal.

Um favo de mel é um exemplo de construção estável que utiliza polígonos regulares. A utiliza-ção de polígonos regulares em construções primárias,como a calçada hexagonal vista no iníciodo capítulo e o favo de mel acima, pode ser explicada pela facilidade de encaixá-los, uma vez quetem lados do mesmo tamanho e com a mesma angulação.

1.3 Quadriláteros

Os quadriláteros são figuras muito presentes em nosso cotidiano.Denifição:

Os quadriláteros são figuras formadas por quatro pontos no plano, bem como quatro ladose quatro ângulos.

As piscinas olímpicas são quadriláteros com lados paralelos

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Em sua grande maioria, quadras esportivas, como a de Badminton que vemos na figura, sãoquadriláteros. Isso se deve à facilidade de dividí-los ao meio, delimitando o espaço pertencentea cada equipe.

Assim como os triângulos, os quadriláteros também são classificados em subcategorias espe-cíficas de acordo com suas características, contudo, esta classificação baseia-se basicamente narelação de paralelismo entre os lados.

Trapézios: são figuras que possuem apenas dois de seus lados paralelos. A esses lados dá-seo nome de bases do trapézio

O trapézio ABCD tem os lados AD e BC paralelos, sendo eles as bases do trapézio.O lado BCrecebe o nome de base maior e o lado AD de base menor.

Trapézio isósceles é aquele em que os dois lados que não são bases tem o mesmo compri-mento.Trapézio reto é aquele onde um dos lados forma um ângulo reto com as bases.Trapézio escaleno é aquele em que todos os lados têm tamanhos divergentes.

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Na figura, os trapézios 1, 2 e 3 são, respectivamente, trapézios isósceles, retângulo e escaleno.

Losangos são quadriláteros que possuem o mesmo comprimento nos quatro lados, compares de ângulos opostos congruentes.

O ângulo compreendido pelo vértice B é congruente ao do vértice D (opostos), assim como osdos vértices A e C.

Paralelogramos são quadriláteros (quatro pontos, quatro lados e quatro ângulos) que possuemos pares de lados e ângulos opostos paralelos e de mesma medida.

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As piscinas olímpicas são paralelogramos imensos, com os lados maiores medindo 50 me-tros, e os menores 25 metros.Para a classificação dos paralelogramos utilizamos a relação entre os ângulos e lados do polí-gono.

Retângulo é o paralelogramo que possui seus quatro ângulos internos retos.

Um quadrilátero pontual é o quadrado. Ele possui os quatro lados congruentes e os quatroângulos de mesma medida (retos), sendo o único quadrilátero regular, e classificando-se comoparalelogramo e retângulo.

São muito presentes em nosso cotidiano, principalmente na medida de áreas, assunto queveremos no próximo capítulo.

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TESTE SEUS CONHECIMENTOS

1. Identifique nas figuras a seguir quais são polígonos. Justifique as que não são.

2. Nomeie, de acordo com o número de lados, os polígonos encontrados acima.

3. Dos figuras a seguir, quantas são convexas? Quais?

4. Identifique nas figuras abaixo os polígonos existentes. Como são chamados?

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EXERCÍCIOS

1. Olhando a seu redor, identifique 5 objetos baseados em figuras geométricas.

SÓ PROBLEMAS

1. Indique, para cada uma das figuras a seguir, os polígonos presentes e os esportes repre-sentados:

2. Juca, o senhor que cuida do paisagismo da comunidade de Isabel, podou o jardim de formapeculiar. Isabel, que tem 10 anos e sabe muito pouco sobre formas geométricas, está tentandoidentificá-las. Você consegue ajudá-la ?

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3. Descobriu-se recentemente que Quéops, grande faraó do Egito, gostava de frequentaruma sorveteria italiana tradicional, localizada ao norte da pirâmide mais equilátera do Egito. Ana-lisando a imagem a lado, você conseguiria encontrá-la?

4. Identifique, no esboço a seguir, quais polígonos foram mais utilizados na construçãodas bases do telhado da casa.

5. Para as compras de fim de ano, Mariana decidiu dar de presente para a sua irmãum suéter de quadrados. Após solicitar a um vendedor um suéter de quadrados, Mariana foiapresentada ao seguinte suéter :

Mariana explicou ao vendedor que estes não eram quadrados, porém não soube dizer oporquê. Você consegue ajudá-la?

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EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES

1. Em seu caderno desenhe 6 palitos de fósforo da mesma medida, e construa com eles omaior número de polígonos que conseguir. Os polígonos podem ser convexos ou côncavos, e nãoé necessário utilizar todos os 6 palitos em todas as construções.

2. Decomponha as peças do tangram e, unindo-as apenas pelos vértices, forme figuras, comoflores e animais.No final dos exercícios tem um tangram para recortar e fazer suas figuras.

3. Decomponha os polígonos a seguir em triângulos, utilizando apenas os segmentos de retaformados pelas diagonais. Qual a relação entre o número de triângulos formados e o número delados do triângulo decomposto?

Para refletir : Você já notou que toda figura poligonal convexa pode ser construida a partir detriângulos equivalentes?

4. Nosso amigo robozinho está sentindo falta de uma companhia mecânica e hidráulicapara os estudos. Para ajudá-lo, vamos criar um novo robozinho, utilizando apenas os polígonos(podem ser côncavos ou convexos) apresentados na figura a seguir. Observação: Para construirseu robozinho, aumente, diminua e/ou gire sua figura como precisar! Você pode repeti-las tam-bém, contanto que use apenas polígonos. No final dos exercícios você encontra essas figuraspara recortar e utilizar.

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RESPOSTAS

Teste seus conhecimentos1. a,b,e,f são polígonos. g e d não são, pois nem todos os lados são segmentos de reta.

2. a é um paralelogramo,f é um trapézio, b é um pentágono, e é um triângulo.

3. a, d são convexas.4. a é um quadrado. b é um paralelogramo, d é um triângulo retângulo e c é um retângulo.

Exercícios1. Lousa, armário, caderno, celular, nachos.Só Problemas1. As traves do campo de futebol são retangulares, e o obstáculo da pista de hipismo é um

retangulo, com as diagonais demarcadas formando triângulos.A área demarcada para o lançamento do arremesso de peso é um trapézio, e as traves dehandebol são retangulares.

2. da esquerda pra direita : hexágono, hexágono, (circulos) hexágono, quadrado3. a pirâmide amarela, de lados AAA, é nesta figura a pirâmide mais equilátera do egito.4. os telhados são formados por trapézios isósceles, com projeções triangulares das estru-

turas que se juntam. A casa é composta por vários retangulos, bem como as portas e as janelas.

5. A semelhança entre os quadrados e losangos (representados no suéter) são os quatro la-dos de mesma medida. contudo, nos quadrados os quatro ângulos também tem a mesma medida,enquanto no losango apenas os pares de ângulos opostos são congruentes.

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Para recortar e usar nos exercícios complementares:

Usar no exercício 2

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Usar no exercício 4

Divirta-se!

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Capítulo 2

PERÍMETRO E ÁREA

IntroduçãoO conceito de perímetro e área estão presentes sempre em nosso dia a dia. Por exemplo:

• Para colocação dos rodapés em um cômodo é preciso medir o comprimento de seus lados,calcular o perímetro e descontar a largura das portas;

• O perímetro funciona como um fator determinante para quem pretende saber qual é aquantidade necessária para pintar um ambiente;

• Florestas que viraram uma área de preservação ambiental;

• Área metropolitana de São Paulo;

• Área de um terreno em que se deseja construir uma casa;

• E até mesmo no futebol onde temos a Grande Área.

2.1 Perímetro

João e Júlia estavam na quadra da escola durante a aula de Educação Física, quando o pro-fessor lhes deu a seguinte atividade física:“ Vocês terão que correr em volta da quadra um total de 344 metros. ”

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Sabe-se que a quadra tem medida de 27m x 16m, então qual o perímetro da quadra? E emquantas voltas João e Júlia completaram o percurso total?Mas afinal, o que é perímetro?

Denifição:

Perímetro é a medida do contorno de um objeto, ou seja, a soma de todos os lados de umafigura geométrica

Sabendo isso agora conseguimos achar o perímetro total da quadra, então como a quadraforma o retângulo ABCD, basta somarmos as medidas dos lados (AB + BC + CD + DA) que encon-tramos o perímetro total.

Perímetro = ladoAB + ladoBC + ladoCD + ladoDA

P = 27m+16m+27m+16m

P = 86m

Já sabemos que o perímetro da quadra é de 86 metros, agora precisamos saber quantasvoltas João e Júlia terão que dar para completar o percurso dado pelo professor.Para isso é simples, basta dividirmos o total do percurso pedido pelo professor, pelo perímetro

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da quadra:

34486 = 4 voltas

Então, João e Júlia terão que dar 4 voltas em torno da quadra para poder completar o per-curso pedido pelo professor.

Casos específicos do cálculo de perímetro

• Perímetro de polígonos:

Sabemos que para calcular o perímetro de uma figura geométrica basta somarmos todos oslados da figura.

Exemplo

Dados: AB = 2m, BC = 3m, CD = 2m, DE = 2m, EF = 6m, FG = 5m. Calcule o perímetro da figuraabaixo.

P = AB +BC +CD +DE +EF +FA

P = 2m+3m+2m+2m+6m+5m

P = 20m.

Portanto, a figura tem 20 metros de perímetro.

• Perímetro de Circunferências

E como fazemos para calcular o perímetro de uma circunferência?

Para calcularmos o perímetro de uma circunferência, precisamos conhecer apenas o tamanhodo seu raio (R) ou diâmetro (D)

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O perímetro será:

P = D.π, usando o diâmetroP = 2.π.R, se usarmos o raio.

Curiosidade 2.A razão entre o perímetro de um círculo e o seu diâmetro produz o número PI. É um númeroque mobilizou e ainda mobiliza muitos matemáticos. A principal curiosidade, no caso do PI, é aobtenção de um valor sempre igual e constante, adicionando-se também um mistério: o de nãopodermos conhecer a última casa. Por esse motivo, o PI passou a ser representado pela letra (doalfabeto grego). Foi uma estratégia para simplificar o registro.

Na Babilônia, o valor do pi era considerado igual a três e hoje podemos escrevê-lo com muitascasas depois da vírgula, com as reticências informando que ele não terminou - e não terminará:

pi = 3, 14159265358979323846...

Exemplo

Calcule o perímetro de um círculo de raio 3 cm e aproxime o o valor de π para 3,14

Sabemos que o raio mede 3 cm, basta multiplicarmos por 3,14 e achamos o perímetro.

P = 6.3,14

P = 18,84cm

• Perímetro de uma Região Irregular

Se não conhecermos o tamanho dos lados de uma figura, como na figura abaixo, uma soluçãopara acharmos o perímetro dela é contorná-la com um barbante para então esticá-lo e medi-lo.

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Figura 2.1: Contorne esta figura com um barbante, depois estique-o e meça seu comprimento.

Curiosidade 3.

A área territorial brasileira é de 8.547.403,5km2 e seu perímetro abrange 23.086 km,limitando-se em 7.367 km, com o Oceano Atlân-tico, ou seja 31,9% de sua linha divisória. É oterceiro maior país do continente em termosde área e o primeiro da América do Sul, ocu-pando 47% da área territorial sul-americana.

2.2 ÁreaEm construções civis, por exemplo, para colo-car o piso no cômodo é necessário saber aárea do piso e das lajotas que serão usadaspara que o pedreiro possa calcular e comprara quantidade de material necessário.Você já tem alguma ideia de como podemos definir o conceito de área?

Denifição:

Área é uma função que associa a cada região delimitada por uma figura, um número realpositivo. Esse número representa a superfície delimitada pela figura.

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Como consequência, não existe área negativa e vamos definir a área de um segmento comosendo zero.

Exemplo

Luiz deseja colocar azulejos novos em sua cozinha. Para isso, ele mediu o comprimento ea largura da cozinha e anotou os dados obtidos.

Largura: 5 metros.Comprimento: 6 metros.

Na loja de construção, cada azulejo tem 1 metro de comprimento por 1 metro de largura.Supondo que não sobre nenhum espaço - que todo o chão da cozinha é preenchido - temosque são necessários 30 azulejos, ou seja, 5 ·6 = 30 azulejos.

Além disso, tomando um azulejo como unidade de medida de superfície, a cozinha de Luiztem 30 metros quadrados de área pois são necessários 30 azulejos para cobrir toda asuperfície da cozinha.

Porém, nem todos os retângulos possuem medidas de lado como sendo um número inteiro.Podemos ter, por exemplo, um retângulo com medidas 1,4 u.c e 2,8 u.c. Por isso, define-se a áreade um retângulo como sendo o produto da medida da largura com a medida da altura.

A = b ·h

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Como a área é uma grandeza de duas dimen-sões, temos que a unidade de medida de área- independente de qual seja - é sempre a uni-dade de comprimento ao quadrado, ou seja,[unidade de comprimento]2. Por exemplo, umretângulo com dimensões 4 cm x 3 cm tem 12cm2 de área.Se a área de uma região é a união de duas ou mais regiões de modo que essas duas ou mais

não se sobrepõem, então, sua área é a soma das áreas daquelas regiões.

Com isso, vamos determinar as áreas de algumas regiões delimitadas por paralelogramo,triângulo, trapézio e losango.

• Área da região delimitada por um paralelogramo

Seja b o comprimento do lado CD e h a altura do paralelogramo em relação ao lado CD.

Traçando os segmentos AE e BF perpendiculares a CD, temos que os triângulos formadostêm a mesma área.

Como foi definido anteriormente, temos que a soma da área do triângulo ADE com o quadrilá-tero ABCE é igual a soma da área do triangulo BCF com o quadrilátero ABCE.Em outras palavras, se transportarmos o triângulo ADE para o triangulo BCF, formamos um re-

tângulo ABEF com EF = b e BF = h. Logo, a área é definida pelo produto da base com a altura, ouseja,

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A = b ·h

Exemplo

Calcule a área da região delimitada pelo paralelogramo a seguir.

A área de um paralelogramo é dada por:A = base ·altura

A = 11 ·8

A = 88cm2

Portanto, a área do paralelogramo é de 88 cm2.

Consequentemente, temos a área de uma região triangular.

• Área da região triangular

Seja ABC um triângulo qualquer como na figura abaixo.

A

C

B

Pelo vértice B trace uma reta paralela ao segmento AC e, pelo vértice C, trace uma reta pa-ralela ao segmento AB. Vamos denominar D o ponto de encontro dessas retas. Temos então umparalelogramo e os triângulos ABC e BCD têm áreas iguais.

A

C

B

D

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Como a área do paralelogramo ABCD é igual a soma das áreas dos triângulos ABC e BCD e,além disso, os triângulos possuem a mesma área, temos que a área do triângulo é igual a metadeda área do paralelogramo.

A = b ·h2

Exemplo

Calcule a área da região triangular abaixo

A área de um triângulo é dada por:A = base ·altura

2A = 8 ·10

2A = 40cm2

Portanto, a área do triângulo é de 40 cm2.

• Área de uma região delimitada por um trapézio

Seja EFGH um trapézio onde EH é a base maior com comprimento igual a B, e FG é a basemenor com comprimento igual a b. Seja h a altura do trapézio.

Traçando o segmento EG, dividimos o trapézio em dois triângulos EFG e EHG.Calculando a área desses triângulos, temos:

A(EFG) = b ·h2

A(EHG) = B ·h2

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Logo a área do trapézio é dada pela soma das áreas do triângulo EFG e EHG, ou seja,

A = B ·h2 + b ·h

2Ouainda,

Exemplo

Calcule a área da região delimitada pelo trapézio abaixo

A área de um trapézio é dada por:A = (Basemaior + basemenor) ·altura

2

A = (B + b) ·altura

2

A = (15+7) ·32

A = (22) ·32

A = 662

A = 33cm2

Portanto, a área do trapézio é de 33 cm2.

• Área de uma região delimitada por um losango

Seja ABCE um losango onde AC é a diagonal menor denominada por d, e BE é a diagonalmaior denominada por D.

Observe que se traçarmos a diagonal menor, obtemos dois triângulos (ABC e ACE) com based e altura D

2 . Logo, sua área é dada por:

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Área(ABC) =

D ·d22 = D ·d

4

Área(ACE) =

D ·d22 = D ·d

4Somando temos

A = D ·d4 + D ·d

4 = D ·d2

Em outras palavras, a área de um losango é dada pela metade do produto de suas diagonais.

A = D ·d2

Exemplo

Calcule a área da região delimitada pelo losango abaixo

A área de um losango é dada por:A = D ·d

2A = 20 ·10

2A = 200

2A = 100cm2

Portanto, a área do losango é de 100 cm2.

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Decomposição de Áreas

Quando queremos calcular a área de uma região que a princípio não possui uma fórmuladefinida, decompomos a área em figuras conhecida e menores de modo que podemos calcularsuas áreas separadamente.Por exemplo, na região abaixo, não temos uma fórmula que calcule a área com apenas um cálculo.

Por isso, é necessário decompor a área em figuras que nos são conhecidas, como por exemplo,

Aqui dividimos a região em três partes. Observe que dividimos a região de modo a formarretângulos pois, dessa forma, conseguimos calcular a área de cada uma delas. Temos, então:Área da região verde = 8·2 = 16

Áreadaregiãovermelha = 8 ·2 = 16

Áreadaregiãoazul = 10 ·2 = 20

Logo, a área total é dada pela soma das áreas das regiões menores, ou seja,

Área total = Área da região verde + Área da região vermelha + Área da região azulÁrea total = 16 + 16 + 20

Área total = 52

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Teste seus conhecimentos

1. Faça o desenho das seguintes figuras planas e calcule o seu perímetro e sua área:a) Um retângulo de comprimento 25 m e largura 12 m.b) Um quadrado de lado 8 cm.c) Um losango de lado 5 cm, diagonal maior de 8 cm e diagonal menor de 6 cm.d) Um triângulo isósceles de lados 5 cm, 5 cm e 8 cm, e altura de 3 cm em relação ao lado de 8

cm.e) Um paralelogramo de lados 10 m e 6 m e altura de 4,2 m em relação ao lado de 10 m.

Exercícios

1. Considere um quadrado com lado 1 cm. Construa três regiões planas diferentes onde cadauma tem 10cm2 de área.

2. Em um papel quadriculado, construa um triângulo com área igual a 10 cm2 de modo que asmedidas sejam números inteiros.

3. Dado um retângulo A com a base medindo 10 cm e a altura medindo 8 cm, e um losango Bcom diagonal maior medindo 15 cm e a diagonal menor medindo 10 cm, qual das duas figuras temmaior área?

4. Qual é a área de toda parte colorida da região delimitada pela figura abaixo? Qual é aárea da região não colorida?

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SÓ PROBLEMAS

1. A praça de uma cidade possui a forma de um quadrado. Calcule quantos metros decorda deverá ser gasto para cercar a praça para uma festa sabendo que possui 45 m de lado edeseja-se dar 4 voltas com a corda.

2. O perímetro de um triângulo equilátero corresponde a 5/6 do perímetro de um quadradoque tem 9 cm de lado. Qual é a medida, em metros, do lado desse triângulo equilátero?

3. Considerando que uma pizza tradicional grande possui 35 cm de raio e uma pizza tra-dicional pequena apresenta 25 cm, determine a diferença entre o perímetro das duas pizzas.

4. Qual o perímetro de um terreno retangular de 20 m de comprimento, se a largura é aquarta parte dessa medida?

5. Um campo de futebol de formato retangular tem 100 metros de largura por 70 metros decomprimento. Antes de cada treino, os jogadores de um time dão cinco voltas e meia correndoao redor do campo. Sendo assim, determine:a) Quantos metros os jogadores correm ao dar uma volta completa no campo?b) Quantos metros eles percorrem ao dar as cinco voltas e meia ao redor do campo?c) Se eles repetem essa corrida cinco vezes por semana, quantos metros os jogadores corremem uma semana?

6. Sabendo que o perímetro de um hexágono regular é 48,6 cm, qual é a medida de cada ladodo hexágono?

7. Determine a medida do raio de uma praça circular que possui 9420 m de comprimento (Useπ como aproximadamente 3,14).

8. Uma piscina tem a forma indicada na figura com r = 2,4m. Calcule o perímetro da piscina.

9. Emma e Regina planejam construir uma casa e, para isso, compraram um terreno de 300metros quadrados. Após algumas trocas de ideias, as duas concordaram com o seguinte modelode casa:

Sabendo que: Área da sala de estar: 21m2

Área da cozinha: 9m2

Área do corredor: 5m2

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Área do banheiro: 4m2

Área do quarto 1: 7m2

Área do quarto 2: 7,8m2

Área da suíte: 1,2m2

Área da garagem: 22m2

Com base nessas informações, responda:a) Quantos metros quadrados tem a casa (incluindo a garagem)?

b) Na cozinha, Emma e Regina optaram por colocar o seguinte azulejo com dimensões 0,5mx0,5m.

Sabendo também que o m2 desse mesmo azulejo custa 14 reais, quanto será gasto com os

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azulejos?

c) A parte externa da casa, com exceção da piscina, será coberta com grama. Qual é a áreada parte externa da casa? Quantos m2 de grama serão necessários?

d) Na construção da piscina, que tem 1,8 m de profundidade, foi decidido que haveria lajotas nasparedes laterais da piscina. Sabendo que cada lajota tem dimensões 0,3mx0,3m, quantas lajotasserão necessárias? Se o custo de cada lajota é de 5 reais, quanto elas gastarão?

10. Um terreno tem forma de um trapézio de bases 20 metros e 14 metros, e altura de 11 me-tros. Nesse terreno, construiu-se uma piscina retangular de 8 metros por 5 metros. No restantedo terreno foram colocadas pedras mineiras. Qual foi a área onde se colocou a pedra?

11. Dada uma cartolina com 50 centímetros de comprimento e 66 centímetros de largura,recorta-se um quadrado de lado medindo 10 centímetros. Quantos cm2 de cartolina sobrou? épossível recortar outro quadrado de lado medindo 10 centímetros?

EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES

1. (ENEM-2011) Em uma certa cidade, os moradores de um bairro carente de espaços delazer reivindicam à prefeitura municipal a construção de uma praça. A prefeitura concorda com asolicitação e afirma que irá construí-la em formato retangular devido às características técnicasdo terreno. Restrições de natureza orçamentária impõem que sejam gastos, no máximo, 180 m detela para cercar a praça. A prefeitura apresenta aos moradores desse bairro as medidas dosterrenos disponíveis para a construção da praça:Terreno 1: 55 m por 45 mTerreno 2: 55 m por 55 mTerreno 3: 60 m por 30 mTerreno 4: 70 m por 20 mTerreno 5: 95 m por 85 mPara optar pelo terreno de maior área, que atenda às restrições impostas pela prefeitura, osmoradores deverão escolher o terrenoA) 1.B) 2.C) 3.D) 4.

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E) 5.

2. (SEAP1203/001 – AgtSegPenitenciária ClasseI – 2013) – O dono de uma fábrica irá instalar cercaelétrica no estacionamento que tem forma retangular de dimensões 100 m por 140 m. Também,por motivo de segurança, pretende, a cada 40 metros, instalar uma câmera. Sendo assim, eleutilizará de cerca elétrica, em metros, e de câmeras, respectivamente,(A) 480 e 12.(B) 380 e 25.(C) 420 e 53.(D) 395 e 30.(E) 240 e 40.

3. (FCC – 2012) – Um terreno retangular de 500 metros de comprimento por 750 metros delargura será cercado com 4 fios de arame farpado. A quantidade necessária de arame farpado,expressa em quilômetros, é

(A) 10(B) 8(C) 7,5(D) 7(E) 5

4. (Unicamp-SP) Alguns jornais calculam o número de pessoas presentes em atos públicosconsiderando que cada metro quadrado é ocupado por 4 pessoas. Qual a estimativa do númerode pessoas presentes numa praça de 4000 m que tenha ficado lotada para um comício, segundoessa avaliação?

RESPOSTAS

Teste seus conhecimentosa) P = 32cm e A = 64m2

b) P = 32cm e A = 64cm2

c) P = 20cm e A = 24cm2

d) P = 18cm e A = 12cm2

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e) P = 32m e A = 42m2

Exercícios

1.2. Temos 4 possibilidades de triângulos:• triângulo com b = 1 cm e h = 20 cm

• triângulo com b = 20 cm e h = 1 cm

• triângulo com b = 4 cm e h = 5 cm

• triângulo com b = 5 cm e h = 4 cm

3. Retângulo.4. Área da região colorida = 8 cm2

Áreadaregiãonãocolorida = 8cm2

Só Problemas1. 720 m2. 10 cm3. 20 π cm

4. 50 cm5.a) 340 mb) 1870 mc) 9350 m

6. 8,1 cm7. 1500 m8. (9.6 + 4,8π) cm

9.a) 77m2

b) R$ 126,00c) 210,5m2

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d) 300 lajotas e R$ 1500,00

10. 147m2

11. Restou 3200cm2

Sim

Exercícios Complementares1. C.2. A.

3. A.4. 16000 pessoas.

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Bibliografia

[1] Dante, L.R,Tudo é Matemática - 5o série, ed. ática, 2005.

[2] Bonjorno, J.R, Bonjorno, R.A, Matemática: Pode contar comigo - 4o série, ed.FTD, 1995.

[3] Dante, L.R,Matemática contexto e aplicações - Ensino Médio 2, ed. ática, 2011.

Figurashttps://www.shutterstock.com/

http://www.clker.com/clipart-importante.htmlhttp://vidaestudantil.com/enem/dicas-de-matematica-com-resolucao-de-questoes-do-enem-2/https://smdfinal20102.wordpress.com/http://tex.stackexchange.com/

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