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QUESTÕES COMENTADAS

2014 - 2º Exame de Qualificação - Questão 22Área do conhecimento: Matemática


Ano 6, n. 18, ano 2013

O personagem da tira diz que, quando ameaçado, o comprimento de seu peixe aumenta 50 vezes, ou

seja, 5000%.

Admita que, após uma ameaça, o comprimento desse peixe atinge 1,53 metros.

O comprimento original do peixe, em centímetros, corresponde a:

(A) 2,50

(B) 2,75

(C) 3,00

(D) 3,25

Alternativa correta: (C)

Eixo interdisciplinar: Aritmética

Item do programa: Números reais

Subitem do programa: Porcentagem

Objetivo: Calcular um número real com base em fator de aumento.

Comentário da questão:

O comprimento original do peixe corresponde a x. Como, após ameaçado, x aumenta 50 vezes, o peixe

passa a ter o seguinte comprimento:

x + 50x = 1,53 m

51x = 153,00 cm

x = 3,00 cm

Percentual de acertos: 63,94%

Nível de dificuldade: Médio (acima de 30% e igual ou abaixo de 70%)

Ano 6, n. 18, ano 2013

Observe no gráfico o número de médicos ativos registrados no Conselho Federal de Medicina (CFM) e o

número de médicos atuantes no Sistema Único de Saúde (SUS), para cada mil habitantes, nas cinco

regiões do Brasil.

http://www.revista.vestibular.uerj.br/questao/questao-objetiva.php?seq_questao=1445



O SUS oferece 1,0 médico para cada grupo de x habitantes.Na região Norte, o valor de x é aproximadamente igual a:

(A) 660

(B) 1000

(C) 1334

(D) 1515

Alternativa correta: (D)



Subitem do programa: Regra de três

Item do programa 2: Representação de dados

Subitem do programa 2: Tabulações

Objetivo: Calcular um número real com base em regra de três.


De acordo com o gráfico, na região Norte, há 0,66 médicos atuantes no SUS para cada 1000 habitantes.

Logo, nessa região, o SUS oferece 1,0 médico para cada grupo de x habitantes, ou seja:


Nível de dificuldade: Difícil (abaixo de 30%)

Ano 6, n. 18, ano 2013

Um quadrado ABCD de centro O está situado sobre um plano . Esse plano contém o segmento OV,

perpendicular a BC, conforme ilustra a imagem:

Admita a rotação de centro O do segmento OV em um plano perpendicular ao plano , como se observa

nas imagens:


Considere as seguintes informações:

• o lado do quadrado ABCD e o segmento OV medem 1 metro;

• a rotação do segmento OV é de x radianos, sendo 0 < x ;

• x corresponde ao ângulo formado pelo segmento OV e o plano ;

• o volume da pirâmide ABCDV, em metros cúbicos, é igual a y.

O gráfico que melhor representa o volume y da pirâmide, em m3, em função do ângulo x, em radianos,

é:

(A)

(B)

(C)

(D)

Alternativa correta: (A)

Eixo interdisciplinar: Geometria

Item do programa: Figuras tridimensionais

Subitem do programa: Volume de Pirâmides

Eixo interdisciplinar 2: Álgebra

Item do programa 2: Funções

Subitem do programa 2: Seno e coseno

Objetivo: Calcular volume de um sólido em função de um ângulo.


O volume de uma pirâmide corresponde a:

sendo

A = área da base

h = altura

Na pirâmide ABCDV, como os lados da base medem 1 m, sua área é igual a 1 m2. Já sua altura

corresponde a sen x. Assim:

Trata-se de uma função seno, com . O gráfico que melhor representa essa função é:





Ano 6, n. 18, ano 2013

Admita a realização de um campeonato de futebol no qual as advertências recebidas pelos atletas são

representadas apenas por cartões amarelos. Esses cartões são convertidos em multas, de acordo com

os seguintes critérios:

• os dois primeiros cartões recebidos não geram multas;

• o terceiro cartão gera multa de R$ 500,00;

• os cartões seguintes geram multas cujos valores são sempre acrescidos de R$ 500,00 em

relação ao valor da multa anterior.

Na tabela, indicam-se as multas relacionadas aos cinco primeiros cartões aplicados a um atleta.

Considere um atleta que tenha recebido 13 cartões amarelos durante o campeonato.O valor total, em reais, das multas geradas por todos esses cartões equivale a:

(A) 30.000

(B) 33.000

(C) 36.000

(D) 39.000

Alternativa correta: (B)

Eixo interdisciplinar: Álgebra

Item do programa: Sucessões

Subitem do programa: Progressões Aritméticas

Objetivo: Calcular a soma de termos de uma progressão aritmética.


O atleta que recebeu 13 cartões vai pagar um total T de 11 multas. Cada multa corresponde a um

número múltiplo de 500:

Colocando 500 em evidência, obtém-se:

A expressão entre parênteses corresponde a soma dos 11 termos de uma P.A., logo:






Ano 6, n. 18, ano 2013

Na figura a seguir, estão representados o triângulo retângulo ABC e os retângulos semelhantes I, II e

III, de alturas h1, h2 e h3 respectivamente proporcionais às bases , e .

Se = 4 m e = 3 m, a razão é igual a:

(A) 5

(B) 4

(C) 3

(D) 2



Item do programa: Figuras no plano

Subitem do programa: Relações métricas

Objetivo: Calcular uma razão.


De acordo com o teorema de Pitágoras, se = 4m e = 3m, = 5m.

Como h1, h2 e h3 são proporcionais a 5, 4 e 3, respectivamente, então existe um número real positivo

n, tal que h1 = 5n, h2 = 4n e h3 = 3n.

Calculando-se a razão:



Ano 6, n. 18, ano 2013

Em um escritório, há dois porta-lápis: o porta-lápis A com 10 lápis, dentre os quais 3 estão apontados, e

o porta-lápis B com 9 lápis, dentre os quais 4 estão apontados.


(A) 0,64

(B) 0,57

(C) 0,52

(D) 0,42



Item do programa: Problemas de contagem

Subitem do programa: Cálculo de probabilidades

Objetivo: Calcular uma probabilidade.


O porta-lápis A possui 3 lápis apontados e 7 não apontados, enquanto o porta-lápis B possui 4 lápis

apontados e 5 não apontados.

Considere os seguintes eventos e suas probabilidades:

Um funcionário retira um lápis qualquer ao acaso do porta-lápis A e o coloca no porta-lápis B.

Novamente ao acaso, ele retira um lápis qualquer do porta-lápis B.

A probabilidade de que este último lápis retirado não tenha ponta é igual a:

E = Retirar um lápis do porta-lápis A e ele ser apontado.

= Retirar um lápis do porta-lápis A e ele não ser apontado.

= Retirar um lápis não apontado do porta-lápis B. A probabilidade de ocorrer , dado que ocorreu oevento E, é:

Então:

A probabilidade de ocorrer , dado que ocorreu o evento , é:

Então:

Observe a árvore de probabilidades:




A probabilidade pedida corresponde a:

Ano 6, n. 18, ano 2013

O gráfico abaixo mostra o segmento de reta AB, sobre o qual um ponto C (p, q) se desloca de A até B

(3, 0).

O produto das distâncias do ponto C aos eixos coordenados é variável e tem valor máximo igual a 4,5.O comprimento do segmento AB corresponde a:

(A) 5

(B) 6

(C)

(D)



Item do programa: Funções

Subitem do programa: Quadrática

Eixo interdisciplinar 2: Geometria

Item do programa 2: Figuras no plano

Subitem do programa 2: Simetrias e homotetias

Objetivo: Calcular uma distância com base na função quadrática.


Considere o triângulo:





Os triângulos OAB e CPB são semelhantes, então:

Se OA = h, logo:

Designando o produto entre p e q por y, tem-se:

y = p × q

Como p é variável e h fixo, tem-se uma função polinomial do 2º grau. O máximo dessa função é 4,5.Portanto:

h = 6

O triângulo OAB é retângulo; assim, pelo teorema de Pitágoras:

Ano 6, n. 18, ano 2013

Para saber o dia da semana em que uma pessoa nasceu, podem-se utilizar os procedimentos a seguir.

1. Identifique, na data de nascimento, o dia D e o mês M, cada um com dois algarismos, e o ano A,

com quatro algarismos.

2. Determine o número N de dias decorridos de 1º de janeiro até D/M.

3. Calcule Y, que representa o maior valor inteiro que não supera .

4. Calcule a soma S = A + N + Y.

5. Obtenha X, que corresponde ao resto da divisão de S por 7.

6. Conhecendo X, consulte a tabela:



O dia da semana referente a um nascimento ocorrido em 16/05/1963 é:

(A) domingo

(B) segunda-feira

(C) quarta-feira

(D) quinta-feira




Subitem do programa: Adição, subtração, multiplicação

Objetivo: Calcular um número real com base em procedimentos apresentados.


De acordo com os procedimentos:

1. A data de nascimento ocorreu em D = 16, M = 05 e A = 1963.

2. O número N de dias decorridos de 1º de janeiro até D/M corresponde a

N = 136 dias

3.

Como y é um número inteiro que não supera , y = 490.

4. S = 1963 + 136 + 490

S = 2589

5. X é o resto da divisão de 2589 por 7, logo X = 6.

6. O dia da semana referente ao nascimento em 16/05/1963 é quinta-feira.



Ano 6, n. 17, ano 2013



De acordo com as informações do texto, a soma x + y é igual a:

(A) 13,7

(B) 15,0

(C) 23,5

(D) 29,0




Subitem do programa: Adição, subtração

Objetivo: Calcular uma adição de números reais.


De acordo com as informações, pode-se considerar x = 14,5 – 0,8 e y = 14,5 + 0,8. Então,

x + y = (14,5 – 0,8) + (14,5 + 0,8)

x + y = 14,5 + 14,5

x + y = 29,0


Nível de dificuldade: Fácil (acima de 70%)

Ano 6, n. 17, ano 2013

Considere uma placa retangular ABCD de acrílico, cuja diagonal AC mede 40 cm. Um estudante, para

construir um par de esquadros, fez dois cortes retos nessa placa nas direções AE e AC, de modo que

DÂE = 45º e BÂC = 30º, conforme ilustrado a seguir:

Após isso, o estudante descartou a parte triangular CAE, restando os dois esquadros.

Admitindo que a espessura do acrílico seja desprezível e que = 1,7, a área, em cm2, do triângulo CAE

equivale a:

(A) 80

(B) 100

(C) 140

(D) 180






Subitem do programa: Relações trigonométricas; áreas

Objetivo: Calcular a área de um triângulo.


No triângulo retângulo ABC, o ângulo BÂC mede 30º, logo:

O triângulo retângulo ADE é isósceles, logo:

Pode-se, com esses valores, calcular a base do triângulo ACE:

Como a altura do triângulo ACE relativa à base é , tem-se:

Área do triângulo



Ano 6, n. 17, ano 2013

Uma farmácia recebeu 15 frascos de um remédio. De acordo com os rótulos, cada frasco contém 200

comprimidos, e cada comprimido tem massa igual a 20 mg.

Admita que um dos frascos contenha a quantidade indicada de comprimidos, mas que cada um destes

comprimidos tenha 30 mg. Para identificar esse frasco, cujo rótulo está errado, são utilizados os

seguintes procedimentos:

• numeram-se os frascos de 1 a 15;

• retira-se de cada frasco a quantidade de comprimidos correspondente à sua numeração;

• verifica-se, usando uma balança, que a massa total dos comprimidos retirados é igual a 2540 mg.

A numeração do frasco que contém os comprimidos mais pesados é:

(A) 12

(B) 13

(C) 14



(D) 15




Subitem do programa: Progressões aritméticas

Objetivo: Calcular uma soma com base em progressão aritmética.


Supondo que todos os frascos contivessem comprimidos de mesma massa igual a 20 mg, a massa total

T dos comprimidos corresponderia a:

T = 20 + 2(20) + 3(20) + ... + 15(20)

T = 20(1 + 2 + 3 + ... + 15)

A soma entre parênteses é a de uma progressão aritmética (P.A.) de razão 1, portanto:

Com uma balança, verificou-se que a massa total de comprimidos corresponde, de fato, a 2540 mg. Isso

ocorre pois o frasco n contém comprimidos de massa igual a 30 mg, ou seja, cada um possui 10 mg a

mais do que o indicado no rótulo. Assim:

10 × n = 2540 – 2400

10 × n = 140

n = 14

A numeração do frasco que contém os comprimidos mais pesados é 14.



Ano 6, n. 17, ano 2013

Uma máquina possui duas engrenagens circulares, sendo a distância entre seus centros A e B igual a

11 cm, como mostra o esquema:

Sabe-se que a engrenagem menor dá 1000 voltas no mesmo tempo em que a maior dá 375 voltas, e

que os comprimentos dos dentes de ambas têm valores desprezíveis.

A medida, em centímetros, do raio da engrenagem menor equivale a:

(A) 2,5

(B) 3,0

(C) 3,5

(D) 4,0




Subitem do programa: Circunferências e círculo; perímetros



Objetivo: Calcular a medida do raio de um círculo.


O comprimento de uma volta de qualquer circunferência é igual a 2 vezes o seu raio. Sendo R e r as

medidas dos raios das circunferências de centros A e B, respectivamente, tem-se:

R = 11 – r

8r = 3 (11 – r)

8r = 33 – 3r

11r = 33

r = 3 cm

Logo, o raio da engrenagem menor é igual a 3 cm.



Ano 6, n. 17, ano 2013

Em uma sala, encontram-se dez halteres, distribuídos em cinco pares de cores diferentes. Os halteres

de mesma massa são da mesma cor. Seu armazenamento é denominado “perfeito” quando os halteres

de mesma cor são colocados juntos.

Nas figuras abaixo, podem-se observar dois exemplos de armazenamento perfeito.

Arrumando-se ao acaso os dez halteres, a probabilidade de que eles formem um armazenamento

perfeito equivale a:

(A)

(B)

(C)

(D)



Item do programa: Problemas de contagem



Subitem do programa: Análise combinatória simples e com repetição

Objetivo: Calcular uma probabilidade com base em análise combinatória.


O número total de arrumações distintas é igual ao número de permutações dos dez objetos com

repetições de dois objetos cinco vezes, isto é:

O número de armazenamentos perfeitos é igual ao número de permutações simples dos cinco pares de

mesma cor. Isso corresponde a:

Portanto, a probabilidade de organizar ao acaso os halteres, obtendo um armazenamento perfeito,

equivale a:

Veja-se outra solução possível a seguir

A probabilidade de escolher um halter qualquer corresponde a , e a probabilidade de o segundo

halter ter a mesma cor do primeiro é de .

Então, a probabilidade de os halteres do primeiro par terem a mesma cor é de .

A probabilidade de escolher outro halter qualquer, dado que já foram arrumados dois da mesma cor, é

de .

A probabilidade de um quarto halter ter a mesma cor do terceiro é de

Então, a probabilidade de os halteres do segundo par terem a mesma cor é de .

Para os outros três pares de halteres, o raciocínio é o mesmo. Observe:

• Probabilidade de os halteres do terceiro par terem a mesma cor

• Probabilidade de os halteres do quarto par terem a mesma cor

• Probabilidade de os halteres do quinto par terem a mesma cor

Então, a probabilidade de obter um armazenamento perfeito ao acaso equivale a:



Ano 6, n. 17, ano 2013



Um feirante vende ovos brancos e vermelhos. Em janeiro de um determinado ano, do total de vendas

realizadas, 50% foram de ovos brancos e os outros 50% de ovos vermelhos. Nos meses seguintes, o

feirante constatou que, a cada mês, as vendas de ovos brancos reduziram-se 10% e as de ovos

vermelhos aumentaram 20%, sempre em relação ao mês anterior.

Ao final do mês de março desse mesmo ano, o percentual de vendas de ovos vermelhos, em relação ao

número total de ovos vendidos em março, foi igual a:

(A) 64%

(B) 68%

(C) 72%

(D) 75%




Subitem do programa: Porcentagem

Objetivo: Calcular uma porcentagem.


Em janeiro, suponhamos que o total de vendas tenha sido de 200n ovos, sendo 100n de ovos brancos

e 100n de ovos vermelhos. Como reduzir 10% corresponde a multiplicar por 0,9 e aumentar 20%

corresponde a multiplicar por 1,2, pode-se resumir a evolução da quantidade de ovos vendidos a cada

mês conforme a tabela abaixo:

Tipo de ovos Janeiro Feverei ro Março

brancos 100 n 90 n 81 n

vermelhos 100 n 120 n 144 n

tota l 200 n 210 n 225 n

Logo, o percentual de vendas dos ovos vermelhos vendidos em março corresponde a:



Ano 6, n. 17, ano 2013

Em um recipiente com a forma de um paralelepípedo retângulo com 40 cm de comprimento, 25 cm de

largura e 20 cm de altura, foram depositadas, em etapas, pequenas esferas, cada uma com volume

igual a 0,5 cm3. Na primeira etapa, depositou-se uma esfera; na segunda, duas; na terceira, quatro; e

assim sucessivamente, dobrando-se o número de esferas a cada etapa.

Admita que, quando o recipiente está cheio, o espaço vazio entre as esferas é desprezível.

Considerando 210 = 1000, o menor número de etapas necessárias para que o volume total de esferas

seja maior do que o volume do recipiente é:

(A) 15

(B) 16

(C) 17

(D) 18






Subitem do programa: Progressões geométricas

Eixo interdisciplinar 2: Geometria

Item do programa 2: Figuras tridimensionais

Subitem do programa 2: Volumes de prismas

Objetivo: Calcular o volume de sólidos.


O volume VE, em cm3, de todas as esferas depositadas até a enésima etapa é:

A expressão entre colchetes corresponde à soma dos n primeiros termos de uma progressão

geométrica (P.G.) de razão 2. Então:

Como o recipiente tem o formato de um paralelepípedo, o volume VR do recipiente, em cm3, equivale a:

Como VE > VR, tem-se:

Logo, o menor número de etapas é 16.



Ano 6, n. 17, ano 2013

Uma esfera de centro A e raio igual a 3 dm é tangente ao plano a de uma mesa em um ponto T. Uma

fonte de luz encontra-se em um ponto F de modo que F, A e T são colineares. Observe a ilustração:


Considere o cone de vértice F cuja base é o círculo de centro T definido pela sombra da esfera projetada

sobre a mesa.

Se esse círculo tem área igual à da superfície esférica, então a distância FT, em decímetros,

corresponde a:

(A) 10

(B) 9

(C) 8

(D) 7



Item do programa: Figuras tridimensionais

Subitem do programa: Áreas de cones e esferas

Objetivo: Calcular a altura de um cone com base em semelhança de triângulos.


Considere-se o raio do círculo definido pela sombra igual a x. A área desse círculo será igual a x2.

A esfera possui raio r = 3 dm. Logo, a área de sua superfície corresponde a:

4 r2 = 36

Como a área do círculo é igual à da superfície esférica:

x2 = 36

x2 = 36

x = 6 dm

Observe agora a figura:

Os triângulos FMT e AFN são semelhantes. Sua razão de semelhança é expressa por:

Sabe-se assim que cada lado do triângulo maior equivale ao dobro do lado correspondente do triângulo

menor. Pode-se estabelecer a seguinte equivalência:

No triângulo AFN:

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