Questões Resolvidas e Comentadas
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Livros de Matemática destinado a quem vai prestar ENEM, vestibulares e concursos.
Transcript of Questões Resolvidas e Comentadas
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www.livrorapido.com
ISBN 978-85-406-0944-0
9 788540 609440
Questes Resolvidas
e Comentadas
Digenes Santos
Di
genes S
anto
s Mat
emt
ica
"Questes Resolvidas e Comentadas" voltado
para quem vai prestar vestibulares, concursos
pblicos e o Exame Nacional do Ensino Mdio
(ENEM). Nele, o estudante encontrar todas as
questes de matemtica do vestibular da
Universidade de Pernambuco (UPE), de 1999
a 2014. So 401 questes, separadas por
assuntos, resolvidas e comentadas de forma
clara, simples e objetiva. O livro complementa
o estudo dirio e esclarece as dvidas mais
frequentes da Matemtica.
Qu
est
es R
eso
lvid
as e
Com
en
tad
as
para o Vestib
ular, ENEM e Concursos Pblicos
para o Vestibular, ENEM
e Concursos Pblicos
Digenes Santos pernambucano,
militar da Fora Area Brasileira
desde 1997, licenciado em Matem-
tica pela Universidade Federal de
Pernambuco, em 2008. Alm da
graduao, est cursando o mestra-
do do PROFMAT (Mestrado Profis-
sional em Matemtica em Rede
Nacional) pela Universidade Fede-
ral Rural de Pernambuco (UFRPE).
Comeou a dar aulas em 2006 no
Vestibular Solidrio da UFPE, quan-
do ainda era estudante de Licencia-
tura em Matemtica. Em sua trajet-
ria profissional acumula ampla
experincia voltada para o ensino da
Matemtica em vestibulares e con-
cursos pblicos.
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Questes Resolvidas e
Comentadas
Digenes Santos
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Copyright 2014 by Digenes Santos
Todos os direitos reservados ao Autor
Digenes Santos
Contato: [email protected]
Impresso no Brasil
Printed in Brazil
Foto da Capa
Arquivo pessoal do Autor
Montagem de Capa e Diagramao
Andreza de Souza
Reviso
Do Autor
Dados Internacionais de Catalogao na Publicao (CIP) Ficha Catalogrfica
Santos, Digenes
S237q Questes resolvidas e comentadas / Digenes Santos. Olinda: Livro Rpido, 2014.
426 p.: graf., tab. Contm bibliografia p. 427 (bibliografia localizada)
ISBN 978-85-406-0944-0
1. Matemtica. 2. Questes de matemtica. 3. Resolues de matemtica. 4. Questes de matemtica da Universidade de Pernambuco (UPE). I. Ttulo.
510 CDU (1999)
Fabiana Belo - CRB-4/1463
Editora Livro Rpido Elgica
Coordenadora editorial: Maria Oliveira
Rua Dr. Joo Tavares de Moura, 57/99 Peixinhos
Olinda PE CEP: 53230-290
Fone: (81) 2121.5307/ (81) 2121.13
www.livrorapido.com
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Agradecimentos
Em primeiro lugar, e no poderia ser diferente, Deus, que na Sua
infinita bondade e sabedoria fez com que tudo acontecesse no seu devido
tempo. A Ele, sempre presente em minha vida, devo tudo.
A Karla Oliveira, amiga e companheira, que foi quem mais acreditou
e apoio este projeto. Muitas das vezes, ao pensar em desistir, foi ela quem
reativou a vontade de seguir em frente. Reafirmo meu carinho e admirao
a essa pessoa to especial.
Ao pessoal do meu trabalho (TNEl-KM), que durante todo tempo, de
forma direta ou indireta, deram fora e ideias na confeco deste livro.
Ao prof. Thiago Dias, que por muitas vezes corrigiu questes e deu
solues maravilhosas.
A minha eterna professora e educadora Maximnia Magda, por um
dia ter acreditado em um ningum. Ela com certeza mudou meus caminhos.
Ao meus carssimos alunos que, ao trazerem as dvidas, ajudaram no
meu crescimento e que gerou a criao deste livro.
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Prefcio
A confeco deste livro veio com os questionamentos de alguns
alunos que, por muitas vezes, traziam provas e questes aleatrias para tirar
dvidas. Percebi que eles no tinham material um especfico, algo que os
orientassem e os preparassem para as provas. Sendo assim, separei por
assuntos as questes de matemtica da Universidade de Pernambuco (UPE),
de 1999 a 2014, e resolvi todas, passo a posso, de forma que os estudantes,
que j tenham visto a teoria dos assuntos, possam resolver as questes e
caso precisem consultem as resolues.
Claro que as resolues aqui apresentadas so sugestes de solues
e os alunos, principalmente os mais "criativos", por certo descobriro outras
maneiras e formas de resolv-las.
Como se diz em matemtica, "no importa o caminho a ser seguido
na soluo do problema, o que importa sempre chegar no mesmo lugar."
"Forte aquele que forte se imagina..."
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Contedo
QUESTES
Captulo I Funes do Primeiro e Segundo Graus, Modular e Conceitos ..01
Captulo II Funes Exponenciais e Logartmicas ......................................13
Captulo III Funes Trigonomtricas ........................................................19
Captulo IV Matemtica Bsica .................................................................29
Captulo V Sequncias, P.A. e P.G. ............................................................53
Captulo VI Geometria Plana .....................................................................61
Captulo VII Geometria Espacial ................................................................77
Captulo VIII Geometria Analtica .............................................................93
Captulo IX Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares ..................... 109
Captulo X Anlise Combinatria e Binmio de Newton ........................ 119
Captulo XI Probabilidade ....................................................................... 123
Captulo XII Nmeros Complexos ........................................................... 131
Captulo XIII Polinmios ......................................................................... 135
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RESOLUES
Captulo I Funes do Primeiro e Segundo graus, Modular e Conceitos .151
Captulo II Funes Exponenciais e Logartmicas ................................... 176
Captulo III Funes Trigonomtricas ..................................................... 187
Captulo IV Matemtica Bsica .............................................................. 208
Captulo V Sequncias, P.A. e P.G. ......................................................... 239
Captulo VI Geometria Plana .................................................................. 255
Captulo VII Geometria Espacial ............................................................. 282
Captulo VIII Geometria Analtica .......................................................... 316
Captulo IX Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares ..................... 354
Captulo X Anlise Combinatria e Binmio de Newton ........................ 371
Captulo XI Probabilidade ....................................................................... 376
Captulo XII Nmeros Complexos ........................................................... 388
Captulo XIII Polinmios ......................................................................... 400
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Funes do Primeiro e Segundo Graus, Modular e Conceitos
Questes 1
Questes
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Funes do Primeiro e Segundo Graus, Modular e Conceitos
Questes 1
Captulo I
Funes do Primeiro e Segundo Graus, Modular e Conceitos
1) UPE1999 Um fabricante vende certo produto aos distribuidores a R$ a unidade
para pedidos de menos de 50 unidades. No caso de pedidos de 50 unidades ou mais, o
preo unitrio goza de um desconto de 2 centavos vezes o nmero encomendado. Sabendo
que o pedido mximo que pode ser atendido de unidades, qual o pedido encomendado
que proporciona maior receita para o fabricante?
A) 200 unidades
B) 300 unidades
C) 400 unidades
D) 500 unidades
E) 600 unidades
2) UPE1999 Um retngulo est inscrito em um semicrculo de raio 1, tendo um dos seus
lados (base) sobre o dimetro. Se a rea do retngulo mxima, pode-se afirmar que a razo
entre a altura e a base desse retngulo :
A) B) C) D) E)
3) UPE1999 Assinale na coluna I, as afirmativas verdadeiras e na coluna II, as falsas.
I II
0 0 A imagem da funo
2 1( ) ,
1
xf x
x
1,x { | 2}.y y
1 1 Se f uma funo definida nos nmeros naturais e ( ) (1 ) ,nf n C i ento
( ) ( 1) (1 ).f n f n C i
2 2 Se ,a b e x so nmeros reais positivos, distintos e diferentes de 1, ento
log log.a a
b xx b
3 3 12 3 10 9 10(10 1) (10 1) (10 1) ... (10 1) .
9
nn n
4 4 O valor mnimo da funo 2( ) 4 8f x x x no intervalo [ 3,1] 5.
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Captulo I
Digenes Santos 2
4) UPE2000 Uma funo :
( )
f
x f x
linear se
( ) ( ) ( )
( ) ( )
f x y f x f y
f a x a f x
quaisquer
que sejam ,x y em e a uma constante real. Considerem-se as funes indicadas a
seguir, com domnio, o conjunto dos nmeros reais .
Podemos afirmar que linear:
A) ( ) (2 5)f x sen x
B) ( ) 2 5f x x
3C) ( ) 1f x x
2 2D) ( ) ( 1) ( 1)f x x x
E) ( ) 3xf x
5) UPE2000 Em um terreno retangular de 90 m de permetro, Maria Eduarda pretende
construir um galpo para depsito de sua fbrica de confeces. O cdigo de obras da cidade
exige que sejam dados recuos de 2 m na frente e nos fundos e 1,5 m em cada lateral.
Podemos afirmar que a rea mxima do galpo, em metros quadrados, :
A) B) C) D) E)
6) UPE2001 Uma questo da prova de matemtica foi para determinar as razes do
polinmio dado por 2( ) ,f x ax bx c onde ,a b e c so nmeros reais e a no nulo.
O aluno Neto copiou errado o coeficiente do 1 grau e encontrou para razes 2 e 3. A aluna
Maria Eduarda copiou errado o termo independente e encontrou para razes 5 e 1. Sendo
(1) 1,f podemos afirmar que as razes do polinmio ( )f x so:
A) Dois nmeros inteiros.
B) Dois nmeros complexos no reais.
C) Dois nmeros racionais
D) Dois nmeros irracionais
E) Dois nmeros reais cujo quociente negativo.
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Funes do Primeiro e Segundo Graus, Modular e Conceitos
Questes 3
7) UPE2002 Assinale na coluna I, as afirmativas verdadeiras e na coluna II, as falsas.
I II
0 0 Se *: ,f definida por ( ) ,f x Ln x ento ( ) ( ) ( ).f x y f x f y
1 1 Se f uma funo definida no conjunto dos nmeros reais positivos por
( ) ( ) ( ),
(1) 2
f x y f x f y
f
ento (5) 32.f
2 2 A soma de duas funes injetoras uma funo injetora.
3 3 A trajetria de um objeto dada pelo grfico da funo definida por 2( ) 8 ,f t t t onde t medido em segundos e ( )f t medido em metros. Aps
3 segundos, o objeto alcanar a altura mxima.
4 4 Se f uma funo de A em , definida por ( ) 4,f x x x ento a
imagem de f o conjunto { | 4}.y y
8) UPE2004-MAT1 Assinale na coluna I, as afirmativas verdadeiras e na coluna II, as
falsas.
Um laboratrio farmacutico, aps estudo do mercado, verificou que o lucro obtido com a
venda de x milhares do produto A era dado pela frmula:
( ) 100(12.000 )( 4.000).L x x x Analisando-se as afirmaes, tem-se que:
I II
0 0 O laboratrio ter lucro para qualquer quantidade vendida do produto .A
1 1 O laboratrio ter lucro, se vender mais de 4.000 e menos de 12.000 unidades do
produto .A
2 2 Se o laboratrio vender mais de 12.000 unidades do produto ,A ele ter prejuzo.
3 3 O lucro do laboratrio ser mximo se forem vendidos 8.000 unidades do produto
.A
4 4 Se o laboratrio vender 4.000 unidades do produto ,A no ter lucro.
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Captulo I
Digenes Santos 4
9) UPE2004-MAT2 Assinale na coluna I, as afirmativas verdadeiras e na coluna II, as
falsas.
Considere as funes.
I II
0 0 Se f uma funo tal que ( ) ( ) ( )f x y f x f y para todo x e y pertencente
ao domnio de ,f ento (0) 1f igual a 1.
1 1 Se f uma funo definida nos nmeros naturais tal que ( ) ( ) ( )f x y f x f y
e (1) 3,f ento ( ) 3 .nf n
2 2 Se ( 2) 1,f x x ento ( )f x uma funo mpar.
3 3 Se f uma funo par e
1( ) ,
( )g x
f x ento g uma funo par para todo ,x
pertencente ao domnio de .g
4 4 Se ( ) 7 1 ,f x x x ento seu domnio [ 7,1].
10) UPE2004-MAT2 Assinale na coluna I, as afirmativas verdadeiras e na coluna II, as
falsas.
Uma bola lanada para cima. Se h a altura, em metros, alcanada pela bola t segundos
aps o lanamento e 2( ) 8 ,h t t t ento:
I II
0 0 Dezesseis segundos aps o lanamento, a bola atinge a altura mxima.
1 1 Quatro segundos aps o lanamento, a bola atinge a altura mxima.
2 2 A altura mxima alcanada pela bola 16 .m
3 3 Aps dezesseis segundos, a bola toca o solo.
4 4 Aps oito segundos, a bola toca o solo.
11) UPE2005-MAT1 Considere f e g funes reais definidas por 2( ) 2 | | 1f x x x
e 1
( ) 1.2
g x x Pode-se afirmar que a soma das razes de ( ) ( )f x g x igual a:
A) B) C) D) E)
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Funes do Primeiro e Segundo Graus, Modular e Conceitos
Questes 5
12) UPE2005-MAT1 Assinale na coluna I, as afirmativas verdadeiras e na coluna II, as
falsas.
O grfico abaixo representa uma funo polinomial do 2 grau ( ),y p x que corta o eixo
das abscissas em 1x e 2,x tal que (0) 2.p
I II
0 0 O valor mnimo de ( )p x 2.y
1 1 2( ) 2.p x x x
2 2 ( ) 0p x se 1 ou 2.x x
3 3 A soma dos coeficientes de ( )p x ( 2).
4 4 A imagem de ( )p x [ 9 / 4, ).
13) UPE2005-MAT1 Assinale na coluna I, as afirmativas verdadeiras e na coluna II, as
falsas.
Para produzir uma determinada pea, uma empresa tem um custo de R$ (um real e
vinte centavos) por unidade produzida e uma despesa fixa de R$ (quatro mil
reais), independente da quantidade de peas produzidas. O preo de venda da unidade de
R$ (dois reais), e a empresa vende toda a produo. Ento:
I II
0 0 Se a empresa produz e vende unidades, ela ter um lucro de R$
1 1 O custo para produzir unidades de R$
2 2 Se a empresa produz e vende unidades, o lucro ser de R$
3 3 Se a empresa produz e vende unidades, ela ter um prejuzo de R$
4 4 Se a empresa produz e vende unidades, ela no ter prejuzo.
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Captulo I
Digenes Santos 6
14) UPE2005-MAT2 Assinale na coluna I, as afirmativas verdadeiras e na coluna II, as
falsas.
Observe a figura abaixo.
Na figura, a reta ( )r de equao ( )f x ax b intercepta a parbola de equao
2( )g x ax bx c nos pontos e
I II
0 0 A equao cartesiana da reta r 4 8.y x
1 1 A equao da parbola 2 2 .y x x
2 2 O valor mximo da parbola 2.
3 3 O coeficiente angular da reta r 2.
4 4 ( ) ( )f x g x para todo x pertencente ao intervalo 4 2.x
15) UPE2006-MAT1 Assinale na coluna I, as afirmativas verdadeiras e na coluna II, as
falsas. No Brasil, quem ganha um salrio mensal menor ou igual a R$ est isento do
pagamento de Imposto de Renda. Quem ganha um salrio mensal acima de R$ at
R$ paga um IR igual a da parte de seu salrio que excede R$ quem
ganha um salrio mensal acima de R$ paga um IR igual a R$
(correspondente a da parte do salrio entre R$ e R$ ) mais da
parte do salrio que excede R$
I II
0 0 Se um funcionrio ganha R$ de salrio, ele paga R$ de .IR
1 1 Uma pessoa que paga R$ de IR tem um salrio de R$
2 2 Uma pessoa que ganha R$ paga R$ de .IR
3 3 Uma pessoa que ganha R$ paga R$ de .IR
4 4 Uma pessoa que paga R$ de IR tem um salrio acima de R$
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Matemtica Bsica
Questes 29
Captulo IV
Matemtica Bsica
78) UPE1999 A empresa "Consultores Associados" firmou contrato com a "Roupagem
S/A", para o planejamento de Marketing na cidade do Recife. Os administradores Jnior,
Daniela e Maria Eduarda, foram convocados para realizarem o trabalho. Aps vrias
reunies foi constatado que, Jnior e Daniela, trabalhando juntos, fariam o planejamento
em 15 dias. Jnior e Maria Eduarda, trabalhando juntos, gastariam 20 dias para realizar o
trabalho. Daniela e Maria Eduarda, trabalhando juntas, precisariam de 12 dias para
concluir a tarefa. Se Maria Eduarda trabalhasse sozinha, em quantos dias estaria concludo
o planejamento?
A) 45 dias B) 30 dias C) 35 dias D) 40 dias E) 50 dias
79) UPE1999 Sejam 1 1( , )x y e 2 2( , )x y dois pares ordenados de nmeros reais que
satisfazem o sistema:
2 2
3 2 2
1 0.
2 0
x xy y
x x y xy x y
Pode-se afirmar que 1 2 1 2x x y y igual a:
A) 6 B) 6 C) 5 D) 5 E) 0
80) UPE2001 Suponha que a e b so nmeros reais, ento:
A) ,2
a ba b
a igualdade ocorrendo somente quando 2 .b a
B) ,a b a b qualquer que sejam a e b reais.
C) ,a b a b qualquer que sejam a e b reais no negativos.
D) 2 ,a a para todo 0.a
E) ,a a para todo nmero real 0.a
Nota: Essa questo da maneira como foi redigida ficou sem sentido, pois no foi feito
pergunta alguma a respeito das alternativas. Aps a resoluo, observamos que existem
quatro alternativas falsas e uma verdadeira. Portanto, vamos "imaginar" que a questo se
refere a encontrar a alternativa verdadeira.
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Captulo IV
Digenes Santos 30
81) UPE2001 Os filhos do Sr. Jnior, Neto e Maria Eduarda, nasceram em 20 /12. Em
20/12/ 2000, dia do aniversrio deles, Daniela, amiga de Jnior, perguntou as idades das
crianas. Jnior respondeu: Suas idades so tais que cinco vezes a idade de Maria Eduarda
somada a treze vezes a idade de Neto igual a 38 anos. No dia 20/12/ 2000, a soma das
idades de Maria Eduarda e Neto :
A) 5 anos B) 6 anos C) 7 anos D) 8 anos E) 9 anos
82) UPE2001 Um consumidor necessita comprar um determinado produto. Na loja, o
vendedor oferece-lhe duas condies de pagamento. A primeira, pagamento vista com um
desconto de 10% sobre o preo de tabela; e a segunda em duas parcelas, pelo preo de
tabela, sendo 50% de entrada e o restante com 30 dias. O consumidor dispe do valor
para o pagamento a vista. Se ele optar pelo pagamento em duas vezes, pode aplicar o
restante taxa de 25% ao ms ( 30 dias), ento:
A) mais vantajoso ele comprar a prazo.
B) Se comprar a prazo, ele tem um lucro de 8%.
C) mais vantajoso comprar a vista.
D) Se comprar a prazo, ter um prejuzo de 8%.
E) indiferente comprar a vista ou a prazo.
83) UPE2002 Uma mquina produz 1500 unidades de um produto no perodo de 30
dias, ao custo total de R$ 0,25 por unidade. A voltagem de funcionamento da mquina
220 volts. Por razes de racionamento, a Concessionria de Energia resolve reduzir a
tenso em 10%. Para que essa possa funcionar, o empresrio investe a importncia de
R$3.000,00, para ser paga em 20 meses (considerar o ms com 30 dias), na compra de
um estabilizador de tenso. Admitindo um lucro de 5% sobre o custo total de uma unidade
do produto, o preo de venda, em real, dever ser de
A) 0,3500 B) 0,3600 C) 0,3721 D) 0,3584 E) 0,3675
84) UPE2002 Os amigos Neto, Maria Eduarda, Daniela e Marcela receberam um prmio
de R$ que deve ser dividido, entre eles, em partes inversamente proporcionais
s respectivas idades. Sabendo que as idades esto em progresso aritmtica, que Daniela
a mais velha e tem anos, Neto o mais novo e tem anos, podemos afirmar que:
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Matemtica Bsica
Questes 31
A) Neto recebeu R$
B) Marcela recebeu R$
C) Daniela recebeu R$
D) Neto recebeu o dobro de Maria Eduarda.
E) Maria Eduarda recebeu R$
85) UPE2003 O Sr. Jnior, atacadista do ramo de tecidos, resolveu vender seu estoque
de um determinado tecido. O estoque tinha sido comprado ao preo de R$ o metro.
Esse tecido foi revendido no varejo s lojas pertencentes a Daniela, Eduarda, Neto e
Antnio, respectivamente. A loja de Daniela comprou 1/ 3 do estoque a R$ o metro.
A loja de Eduarda comprou a quarta parte do que sobrou a R$ o metro. A metade do
resto do estoque foi vendido a Antnio pelo Sr. Jnior a R$ o metro e o que sobrou, a
Neto a R$ o metro. Sabendo que o Sr. Jnior lucrou R$ e que o estoque por
ele comprado tinha x metros, podemos afirmar que / 50x igual a:
A) m B) m C) m D) m E) m
86) UPE2003 Misturam-se trs litros de lcool a cinco litros de gasolina. Quantos litros
de gasolina devem ser adicionados mistura para 3/ 4 da mistura sejam constitudos por
gasolina?
A)1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
87) UPE2003 Admita-se que N a nota final de um vestibulando; ,E a nota obtida no
ENEM e ,M a mdia aritmtica das provas do vestibular. Suponha-se que a nota do
ENEM tem peso 2,0 e a mdia das provas do vestibular tem peso 8,0 (oito). Um
vestibulando obtm 7,0 (sete) na nota do ENEM e sua nota final foi 8,0 (oito).
Considerando ,N M e E com aproximao de duas casas decimais, pode-se afirmar que a
mdia M das provas do vestibular do candidato foi:
A) 8,00 B) 7,50 C) 8,50 D) 8,10 E) 8,25
88) UPE2004-MAT1 Um certo produto vendido nas lojas A e .B Na loja ,B o
produto R$ mais caro que na loja .A Se a loja B oferecer um desconto de 20%
no produto, o preo seria o mesmo nas duas lojas. O preo do produto na loja A :
A) R$ B) R$ C) R$ D) R$ E) R$
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Captulo IV
Digenes Santos 32
89) UPE2004-MAT1 A Empresa Pernambuco S/A tinha um determinado nmero de
empregados e uma folha F de pagamento. Aps estudos realizados no setor de produo, a
Empresa dispensou 20% de seus empregados e concedeu, na folha F de pagamento, um
aumento de 10%. O salrio mdio da Empresa variou de:
A) 20% B) 25,7% C) 27,5% D) % E) %
90) UPE2004-MAT1 A Empresa Brasil S/A utiliza o seguinte critrio sobre o trabalho
noturno feminino: cada hora de perodo noturno trabalhado por mulheres ter 52 minutos e
30 segundos. A funcionria Daniela trabalha das 22 s 5h do dia seguinte. Ento o
percentual de acrscimo de seu salrio ser aproximadamente de:
A)14, 29% B)18,30% C)17,10% D) 20% E)18,13%
91) UPE2004-MAT1 Em um planto de 4 horas, 5 mdicos atendem 40 pacientes.
Supondo que os mdicos gastam o mesmo tempo para atender um paciente e que o planto
passou a ser de 6 horas, o nmero de mdicos necessrios para atender 60 pacientes
igual a:
A) 7 B) 5 C) 6 D) 8 E) 4
92) UPE2004-MAT1 O reservatrio de gua de um prdio tem a forma de um
paraleleppedo reto retngulo de dimenses 3 ,m 4 m e 2 .m Se o prdio tem 10
apartamentos e, devido ao racionamento, ficou estabelecido que o tanque s seria cheio
uma vez por dia, pode-se afirmar que o gasto mdio de gua dirio por apartamento ser:
A) 2.400 litros
B)1.500 litros
C) 2.500 litros
D) 3.000 litros
E)1.800 litros
93) UPE2004-MAT2 Uma pessoa, ao preencher um cheque, inverteu o algarismo das
dezenas com o das centenas e, por isso, pagou a mais a importncia de R$ Os
nmeros correspondentes a cada um dos dois algarismos esto entre si como est para
No cheque preenchido, o algarismo que est na casa das dezenas
A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2
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Matemtica Bsica
Questes 33
94) UPE2005-MAT1 O nmero de gols, marcados nos jogos da primeira rodada de
um campeonato de futebol, foi e Na segunda rodada, sero realizados
jogos. Qual deve ser o nmero total de gols marcados nessa rodada para que a mdia de
gols, nas duas rodadas, seja superior mdia obtida na primeira rodada?
A)15 B)16 C)17 D)18 E)19
95) UPE2005-MAT1 Uma caravana de pessoas deve atravessar um deserto em
dias. Seu suprimento de gua permite que cada pessoa disponha de litros por dia. Aps
dias, a caravana encontra trs pessoas, vtimas de uma tempestade de areia, e as acolhe.
Quantos litros de gua por dia podero ser consumidos por cada pessoa, se a caravana
prosseguir sua rota como havia planejado?
A) l B) l C) l D) l E) l
96) UPE2005-MAT1 Eduarda, certo dia, fez compras em lojas do Shopping Center.
Em cada uma gastou a metade do que possua e pagou, na sada, R$ (dois reais) de
estacionamento. Aps as despesas, restaram a Eduarda R$ (vinte reais). Quanto
Eduarda possua antes de fazer as compras?
R$ R$ C) R$ D) R$ E) R$
97) UPE2005-MAT1 Um laboratrio utiliza, na fabricao de um determinado remdio,
as substncias A e .B Sabendo que 1ml da substncia A custa R$ ( centavos),
1ml da substncia B custa R$ ( centavos) e que um frasco de 100 ml do remdio
custa R$ (trs reais e sessenta centavos), quantos ml da substncia A tm no frasco?
A) 70
B) 65
C)
D) 50
E) 30
98) UPE2005-MAT2 Pessoas apressadas podem diminuir o tempo gasto em uma escada
rolante, subindo alguns degraus da escada no percurso. Neto uma dessas pessoas. Para
uma certa escada rolante, com velocidade constante, Neto observa que gasta 30 segundos,
quando sobe 5 degraus da escada e, 20 segundos, quando sobe 10 degraus, a fim de
atingir o pavimento superior. Se a escada estiver parada, pode-se afirmar que o nmero de
degraus que Neto sobe para ir ao pavimento superior de:
A) 30
B) 28
C) 20
D) 25
E)18
-
Geometria Plana
Questes 61
Captulo VI
Geometria Plana
176) UPE2000 A figura abaixo um retngulo de lados 10cm e 8 .cm Podemos afirmar
que o valor de ,x em ,cm :
A) 4 B) 4,5 C) 5 D) 6 E) 5,5
177) UPE2001 Um pintor cobra R$ por metro quadrado de pintura. Apresentam-
se trs painis de idnticos materiais e 12 m de permetro. Um em forma de crculo, outro
em forma de um hexgono e um terceiro em forma de um quadrado. O pintor, s tendo
condies de pintar um deles, deve escolher o que lhe proporcionar maior renda. Assim:
A) Ter a maior renda se escolher o painel hexagonal.
B) Ter a menor renda se resolver pintar o painel hexagonal.
C) Se escolher o painel circular, ter a maior renda.
D) Qualquer painel que escolher, a renda ser a mesma.
E) Dever escolher o painel quadrado para ter maior renda.
178) UPE2001 A distncia em linha reta entre duas cidades A e B 10 .km A empresa
de distribuio de gua do Estado necessita construir um reservatrio de gua para o
abastecimento das respectivas cidades. Estudos verificaram que o reservatrio deve ser
construdo em um ponto ,D tal que os ngulos ADB e ABD tenham por medida 45
cada um. O custo pela ligao hidrulica de R$ por metro de encanao do
reservatrio s cidades.
-
Captulo VI
Digenes Santos 62
Quanto gastar o Estado para levar gua s cidades, sabendo que a ligao do reservatrio
s cidades retilnea?
2 1, 4.Faa
A) R$ 36.000,00
B) R$ 525.000,00
C) R$ 27.000,00
D) R$ 48.000,00
E) R$ 25.900,00
179) UPE2001 A circunferncia menor da figura abaixo tangente circunferncia
maior e s semirretas OA e ,OP onde O o centro da circunferncia maior. Se (12, 0)A e
o ngulo AOP mede 60 , podemos afirmar que
A) A rea do crculo menor a quarta parte da rea do crculo maior.
B) A rea do crculo menor igual a 8 unidades de rea.
C) O comprimento da circunferncia menor 8 unidades de comprimento.
D) O raio do crculo menor 3 unidades de comprimento.
E) A distncia do centro do crculo menor semirreta OP 3 unidades de comprimento.
180) UPE2002 Seja ABCD um quadrado de lado 40 .cm O raio da circunferncia, que
passa pelos pontos A e B e tangente ao lado ,CD :
A) 10 .unidades de comprimento
B) 15 .unidades de comprimento
C) 20 .unidades de comprimento
D) 25 .unidades de comprimento
E) 30 .unidades de comprimento
-
Geometria Plana
Questes 63
181) UPE2002 O trapzio da figura tem permetro de 60 m e AD paralela a .BC
A) A medida de ,x em metros, 50 3( 2 3)
.2
B) A altura do trapzio 4 .m
C) A medida da rea do trapzio 240 .m
D) A medida de ,x em metros, 51 3( 2 3)
.2
E) O ngulo A mede 30 .
182) UPE2003 Assinale na coluna I, as afirmativas verdadeiras e na coluna II, as falsas.
I II
0 0 Se a medida da base de um tringulo aumenta e a medida da altura diminui
a rea do tringulo diminui em
1 1 Trs segmentos de medidas 5 ,cm 6 cm e 10cm determinam um tringulo
obtusngulo.
2 2 O aptema de um hexgono regular de lado l 3.l
3 3 A medida da hipotenusa de um tringulo retngulo, inscrito em uma
circunferncia de raio 2 unidades de comprimento, 2 3 unidades de
comprimento.
4 4 A bissetriz de um ngulo interno de um tringulo divide o lado oposto em
segmentos proporcionais.
183) UPE2004-MAT1 Os lados de um paralelogramo medem 3cm e 4 .cm Sabendo-se
que o ngulo formado pelos lados mede 120 ,
pode-se afirmar que a diagonal maior do
paralelogramo mede:
A) 12 cm
B) 17 cm
C) 19 cm
D) 35 cm
E) 37 cm
-
Captulo VI
Digenes Santos 64
184) UPE2004-MAT1 Assinale na coluna I, as afirmativas verdadeiras e na coluna II,
as falsas. Seja um tringulo.
I II
0 0 O ortocentro de ABC pode ser o vrtice .A
1 1 Se a mediana AM relativa ao lado BC mede 9 unidades de comprimento, a
distncia do vrtice A ao baricentro 3 unidades de comprimento.
2 2 O tringulo ABC pode ser issceles e retngulo.
3 3 Se as medidas dos lados so nmeros consecutivos, o tringulo ABC pode ser
retngulo.
4 4 Se o tringulo ABC equiltero de lado ,L a soma das distncias de um ponto
interno do tringulo aos lados igual a 3 / 2.L
185) UPE2004-MAT2 Em um tringulo retngulo, as projees dos catetos sobre a
hipotenusa medem 16cm e 9 .cm O permetro do tringulo igual a:
A) 45 cm
B) 55 cm
C) 60 cm
D) 50 cm
E) 68 cm
186) UPE2005-MAT1 O arquiteto Neto projetou um viaduto de acordo com a figura
abaixo. O viaduto que liga os pontos A e B tem a forma de um arco de uma
circunferncia. Sabe-se que a distncia retilnea de A at B mede 24 m e que a altura
mxima do viaduto de 6 .m Qual a medida do raio da circunferncia do projeto?
A) 12 m
B) 15 m
C) 18 m
D) 20 m
E) 17 m
ABC
-
Geometria Plana
Questes 65
187) UPE2005-MAT1 No paralelogramo ,ABCD o ponto M o ponto mdio do lado
.CD Se AN mede 12 ,cm pode-se afirmar que MN mede:
A) 6 cm
B) 5 cm
C) 4 cm
D) 8 cm
E) 7 cm
188) UPE2005-MAT2 Na figura abaixo, ABCD um quadrado de lado 2 3 ,cm e
ABE e BCF so tringulos equilteros. A rea do tringulo BEF em 2 ,cm igual a:
A) 3 3
B) 5 3
C) 5
D) 6
E) 6 3
189) UPE2005-MAT2 Na figura abaixo, ABC um tringulo equiltero inscrito em um
crculo de centro O e raio igual a 6 .cm Sabendo que AH a altura do tringulo e D o
ponto mdio do arco ,ADC pode-se afirmar que, em 2 ,cm a rea da regio hachurada
-
Captulo VI
Digenes Santos 66
3A) (9 3 2 )
2
3B) (4 3 9 )
2
3C) (9 3 4 )
2
2D) (9 3 2 )
3
2E) (2 3 9 )
3
190) UPE2005-MAT2 Assinale na coluna I, as afirmativas verdadeiras e na coluna II,
as falsas.
Na figura abaixo, B o ponto mdio do segmento DE e ABCD um retngulo de lados
1AB cm e 2 .AD cm
Pode-se afirmar que:
I II
0 0 5 .BD cm
1 1 O cosseno do ngulo ADE igual a 2 / 5.
2 2 2 2 .AE cm
3 3 A rea do tringulo ADE igual a 22 .cm
4 4 A rea do tringulo ABE igual a 24 .cm
191) UPE2006-MAT1 Os lados paralelos de um trapzio so lados de um tringulo
equiltero e de um hexgono regular inscritos em um mesmo crculo de 8cm de dimetro.
Pode-se afirmar que a rea do trapzio, em 2 ,cm igual a:
A) 8
B) 5
C) 7
D) 6
E) 4
-
Funes do Primeiro e Segundo Graus, Modular e Conceitos
Resolues 149
Resolues
-
Captulo I
Digenes Santos 150
-
Funes do Primeiro e Segundo Graus, Modular e Conceitos
Resolues 151
Captulo I
Funes do Primeiro e Segundo graus, Modular e Conceitos
1) O preo do produto dado por 20,00, se 50
20,00 0,02 , se 50 600
xp
x x
e a receita por
,R p x onde p o preo unitrio, x a quantidade do produto e R a receita arrecadada
com a venda.
Exemplo: Se um cliente comprar 40 unidades, ento 40x e o preo unitrio do produto
ser R$ 20,00, pois 50.x Portanto, 40 20,00 800,00.R p x Agora, caso o cliente
compre 80 unidades, ento o preo unitrio ser 20,00 0,0280 20,00 1,60P
18,40; pois 50 600.x Logo, a receita ser 18,4080R 1.472,00. Para encontrar a
maior receita precisamos descobrir a funo receita e achar seu ponto mximo.
Para a venda temos dois casos a considerar:
Primeiro caso: 50.x
Neste caso a receita mxima dada por 20,00 49 980,00.R
Segundo caso: 50 600.x
Como 50 600,x ento o preo por unidade dado por 20 0,02 .p x Sabemos que
2(20 0,02 ) 0,02 20 .R p x x x x x Note que essa receita uma funo quadrtica,
cujos valores mximos encontram-se no vrtice e este dado por
, .2 4
bV
a a
Portanto,
20
2 ( 0,02)vx
20500
0,04 e como x representa a quantidade vendida, ento a receita
mxima ocorre quando se vende 500 unidades e o valor da receita arrecadado 20,02(500) 20(500)R 0,02 250.000 10.000 5.000 10.000 5.000,00.
Comparando os dois casos podemos ver que a receita maior no segundo caso quando so
vendidas 500 unidades e arrecadados R$5.000,00.
. :Resp D
-
Captulo I
Digenes Santos 152
2) Considere abaixo o esboo do retngulo ABCD inscrito no semicrculo de centro O e
raio 1.r
Note que a base AB do retngulo est sobre o dimetro do crculo e igual a 2 .b Do
tringulo OBC encontramos a seguinte relao: 2 2 21h b 2 21h b 21 .h b
A rea RA desse retngulo dada por 2 ,RA bh ento 2 2 42 ( 1 ) 4 4 .RA b b b b
Agora, vamos utilizar o seguinte artifcio: Tome 2 ,x b ento 24 4RA x x e chamando
24 4x x de y temos a seguinte funo 24 4 .y x x Como queremos a rea mxima de
,RA temos que encontrar o valor de y mximo, que dado quando 2
v
bx
a
4 1.
2 ( 4) 2
Como 2 ,x b ento 2
1
2b
2
2b e sendo 21 ,h b ento
2
21
2h
21
4
4 2
4
2.
2 Portanto, a razo entre a altura h e a base 2b do retngulo,
2
12 .2 22
22
h
b
. :Resp A
3) Vamos verificar as assertivas abaixo:
I II
0 0 Verdadeira Dado
2 1( ) ,
1
xf x
x
vamos criar uma funo ( )g x a partir de
( ).f x Seja 2 ( 1) ( 1)1
( )1
x xxg x
x
( 1)x 1.x Note que no podemos dizer
-
Funes do Primeiro e Segundo Graus, Modular e Conceitos
Resolues 153
que as funes f e g so iguais, pois, embora apresentem a mesma sentena,
seus domnios so distintos. Enquanto na funo f o domnio {1}, na
funo g o domnio . Como o funo g afim, ento seu grfico uma
reta e essa funo pode assumir qualquer valor real. Agora, como (1) 1 1 2g
ento a funo ( )f x assumir qualquer valor real, menos o 2, pois 1x no
pertence ao domnio de ( ).f x Logo, a imagem da funo ( )f x
{ | 2}.y y
1 1 Falsa Dado ( ) (1 ) ,nf n C i precisamos encontrar ( 1),f n ento
( 1)f n 1(1 )nC i (1 )
.1
nC i
i
Portanto, ( ) ( 1)f n f n (1 )
(1 )1
nn C iC i
i
(1 ) (1 ) (1 )
1
n ni C i C i
i
(1 ) (1 1)
1
nC i i
i
(1 ) ( )
1
nC i i
i
(1 ).C i
2 2 Verdadeira Tome ay log b ya b ento a a
log b log xx b
( )a alog b log xyx a ( )alog x ya ( ) .alog byx x Portanto, o segundo termo igual ao
primeiro.
3 3 Verdadeira Dado 2(10 1) (10 1) ... (10 1)n
110 9 10,
9
n n ento
vamos desenvolver o primeiro termo e verificar se igual ao segundo.
2(10 1) (10 1) ... (10 1)n 210 10 ... 10 1 1 ... 1n
n
210 10 ... 10 (1 1 ... 1).n
n
Note que 210 10 ... 10n uma soma em
. .PG de razo 10q e 1 =10.a Observe tambm que (1 1 ... 1) .n
Resolvendo a soma em . .PG temos 1 110 10 10
1 1 10
n n
n
a a qS
q
10 10 10.
9
n Logo,
210 10 ... 10 (1 1 ... 1)n 10 10 10
9
n
n
10 10 10 9
9
n n
110 9 10.
9
n n Portanto, o primeiro termo igual ao
segundo.
-
Captulo I
Digenes Santos 154
4 4 Verdadeira O ponto de mnimo da funo 2( ) 4 8f x x x dado por
( 4)2.
2 2v
bx
a
Agora, como essa funo tem concavidade voltada para
cima, quer dizer que o grfico decrescente no intervalo do domnio ] , 2].
Portanto, no intervalo dado [ 3,1] a funo "est decrescendo". Logo, seu
menor valor quando 1,x ou seja, 2(1) 1 4(1) 8 5.f
4) Dada a funo :
,( )
f
x f x
tal que
( ) ( ) ( )
( ) ( )
f x y f x f y
f a x a f x
ento se qualquer uma das
sentenas for falsa, ento a alternativa ser falsa. Vamos analisar cada caso:
A) Dado ( ) (2 5)Falsa f x sen x e utilizando ( ) ( ),f a x a f x temos:
( )f a x [(2 ) 5]sen ax 2 5 5 2sen ax cos sen cos ax e
( )a f x [ (2 5)]a sen x ( 2 5 5 2 )a sen x cos sen cos x
2 5 5 2 .a sen x cos a sen cos x
Portanto, ( ) ( ).f a x a f x
B) Dado ( ) 2 5Falsa f x x e utilizando ( ) ( ),f a x a f x temos:
( )f a x 2 ( ) 5ax 2 5ax e
( )a f x (2 5)a x 2 5 .ax a
Portanto, ( ) ( ).f a x a f x
3C) Dado ( ) 1Falsa f x x e utilizando ( ) ( ),f a x a f x temos:
( )f a x 3( ) 1a x 3 3 1a x e
( )a f x 3[( ) 1]a x 3 .ax a
Portanto, ( ) ( ).f a x a f x
2 2D) Dado ( ) ( 1) ( 1) ,Verdadeira f x x x vamos primeiro simplificar essa funo.
2 2( ) ( 1) ( 1)f x x x 2 22 1 ( 2 1)x x x x 2 22 1 2 1x x x x 4 .x
Utilizando ( ) ( ),f a x a f x temos:
( )f a x 4 ( )a x 4ax e
( )a f x (4 )a x 4 .ax
-
Funes do Primeiro e Segundo Graus, Modular e Conceitos
Resolues 155
Agora, utilizando ( ) ( ) ( ),f x y f x f y temos:
( )f x y 4 ( )x y 4 4x y e
( ) ( )f x f y 4 4 .x y
Portanto, ( ) ( ) ( ).f x y f x f y
Logo, conclumos que a funo linear pela definio apresentada.
E) Dado ( ) 3xFalsa f x e utilizando ( ) ( ) ( ),f x y f x f y temos:
( )f x y 3x y 3 3x y e
( ) ( )f x f y 3 3 .x y
Portanto, ( ) ( ) ( ).f x y f x f y
. :Resp D
5) Considere dois retngulos, um interno ao outro, de tal forma que x e y representem os
lados do terreno, a e b os lados do galpo e que as distncias entre eles seja de 2 m em
cada frente e 1,5 m em cada lateral, conforme a figura ilustrativa abaixo.
O permetro do terreno 90 ,m ento 2 2 90x y 45.x y A rea GA do galpo
,GA ab mas 4x b 4b x e 3y a 3,a y ento substituindo em ,GA
temos ( 3)( 4) 4 3 12.GA y x xy y x Entretanto 45x y 45y x e
substituindo agora em 4 3 12,GA xy y x temos (45 ) 4(45 ) 3 12GA x x x x
245 180 4 3 12x x x x 2 46 168.x x Portanto, a rea do galpo em funo de x
uma funo quadrtica, onde seu ponto de mximo dado por 2
v
bx
a
46
2( 1)
4623.
2 Agora, para encontrar vy basta usar 45v vy x 45 23 22, mas a questo
-
Captulo I
Digenes Santos 156
pede a rea do galpo em funo de a e ,b ento 4b x 23 4 19 e 3a y
22 3 19. Donde, o galpo de rea mxima ser um quadrado de lado 19 ,m ou seja,
219 19 361 .GA m
. :Resp A
6) Segundo o enunciado, o aluno Neto copiou errado o coeficiente do termo do primeiro
grau, ou seja, o valor de ,b que vamos chamar esse coeficiente de '.b
Lembre-se que 1 2
bx x
a
e 1 2 ,
cx x
a onde 1x e 2x so as razes e ,a b e c so os
coeficientes da equao. Neste caso, temos '
2 3b
a
' 5b a e 2 3
c
a 6 .c a
Substituindo no polinmio ( ),f x encontramos 2 ' 0ax b x c 2 5 6 .ax ax a
Lembrando que o coeficiente do termo de grau 1 foi copiado errado, ento os coeficientes
dos termos do segundo grau e independente esto corretos.
Usando o mesmo raciocnio com relao Maria Eduarda, temos:
Maria Eduarda errou o termo independente, ou seja, o valor de ,c ento vamos chamar esse
coeficiente de '.c
1 5b
a
6b a e
'1 5
c
a ' 5 .c a Substituindo na equao temos
2 ' 0ax bx c 2 6 5 .ax ax a Neste caso, o termo copiado errado o termo
independente, ento os coeficientes dos termos do segundo e primeiro graus esto corretos.
Comparando as duas equaes:
2 2
2 2
: ( ) ' 0 5 6
: ( ) ' 0 6 5
I f x ax b x c ax ax a
II f x ax bx c ax ax a
2( ) 6 6 .f x ax ax a Note que descartamos os valores dos coeficientes do primeiro grau na
equao I e o termo independente na equao II por serem termos copiados erroneamente.
Portanto, 2( ) 6 6f x ax ax a e como (1) 1,f temos (1) 1f
2(1) (1) 6 (1) 6 1f a a a 1.a Logo, a funo 2( ) (1) 6(1) 6(1)f x x x
2 6 6.x x Resolvendo esse polinmio quadrtico, encontramos 1 3 3 3x e
2 3 3 3,x que so dois nmeros irracionais.
. :Resp D
-
Funes do Primeiro e Segundo Graus, Modular e Conceitos
Resolues 157
7) Vamos verificar as assertivas abaixo:
I II
0 0 Verdadeira Dada a funo ( ) ( ),f x Ln x ento ( ) ( )f x y Ln x y
( ) ( ) ( ) ( ).Ln x Ln y f x f y Note que usamos a propriedade dos logaritmos:
( ) ( ) ( ),Ln a b Ln a Ln b com 0a e 0.b
1 1 Verdadeira Pela definio da funo, temos ( ) ( ) ( )f x y f x f y e
(1) 2,f ento (2) (1 1)f f (1) (1)f f 2 2 4 e (3) (1 2)f f
(1) (2)f f 2 4 8. Agora, observe que (5) (2 3)f f (2) (3)f f 4 8
32.
2 2 Falsa Segue contraexemplo: Uma funo dita injetora quando 1 2x x
1 2( ) ( ).f x f x Considere ento duas funes injetoras, ( )f x x e ( ) .g x x
Agora, somando-as temos ( ) ( ) ( ) 0.f x g x x x Note que a soma uma
funo constante. Logo, 1 2x x 1 2( )( ) ( )( ),f g x f g x contrariando a
definio de funo injetora.
3 3 Falsa Note que a equao 2( ) 8f t t t uma funo quadrtica, onde seu
ponto mximo encontra-se no vrtice da parbola. Portanto, a altura mxima
atingida no tempo 2
bt
a
84 3.
2( 1)
4 4 Falsa Seja a funo ( ) 4,f x x x vamos primeiro encontrar o
domnio. Como sabemos no existe raiz de ndice par e radicando negativo no
conjunto dos nmeros reais. Portanto, x 0x e 4 0x 4 0x
4.x Como a soluo tem que satisfazer as duas sentenas, vemos que 4x
satisfaz as duas situaes. Logo, { | 4}.D x x Agora, substituindo 4x
na funo dada, temos (4) 4 4 4f 2 0 2. Note que (4) 2,f
contrariando a afirmativa que a imagem de ( )f x { | 4}.Im y y
8) Analisando a funo dada ( ) 100(12000 )( 4000)L x x x podemos concluir que as
razes de ( )L x so 1 4000x e 2 12000,x pois esses valores anulam a funo. A
concavidade voltada para baixo, pois ao multiplicar 100(12000 )( 4000)x x encontramos
2( ) 100 1600000 4800000000.L x x x Com essas informaes podemos fazer abaixo um
esboo do grfico da funo e em seguida responder as assertivas.
-
Captulo I
Digenes Santos 158
Agora vamos verificar as assertivas abaixo:
I II
0 0 Falsa Podemos ver pelo grfico que o laboratrio s tem lucro entre 4.000 e
12.000, pois nesse intervalo ( ) 0.L x Portanto, para valores menores que
4.000 e maiores que 12.000 ter prejuzo.
1 1 Verdadeira Ver assertiva 00.
2 2 Verdadeira Ver assertiva 00.
3 3 Verdadeira Vemos que 8.000 justamente a mdia aritmtica de 4.000 e
12.000. Logo, o ponto simtrico entre as duas razes de ( ).L x Portanto,
8.000x o ponto de mximo da funo, ou seja, onde o laboratrio tem lucro
mximo.
Obs.: Poderamos tambm encontrar esse valor utilizando a frmula do vrtice
de uma parbola.
4 4 Verdadeira Note que 1 4.000x e 2 12.000x so as razes da funo
( ),L x ou seja, ( ) 0.L x Portanto, nesses pontos o laboratrio no tem prejuzo
nem lucro.
9) Vamos verificar as assertivas abaixo:
I II
0 0 Verdadeira Dada a funo tal que ( ) ( ) ( ),f x y f x f y precisamos saber se
(0) 1 1.f Chamamos (0) 1f de ,k ou seja (0) 1,k f precisamos verificar
se 1.k Agora, (0) (0 0)f f (0) (0)f f 2 (0).f Portanto,
(0) 2 (0)f f 2 (0) (0) 0f f (0)(2 1) 0f (0) 0,f ento
(0) 1k f 0 1 1, como queramos demonstrar.
-
Funes do Primeiro e Segundo Graus, Modular e Conceitos
Resolues 159
1 1 Verdadeira Dada a funo tal que ( ) ( ) ( )f x y f x f y e (1) 3,f ento
temos: 2(2) (1 1) (1) (1) 3 3 3 ;f f f f
2 3(3) (2 1) (2) (1) 3 3 3 ;f f f f
3 4(4) (3 1) (3) (1) 3 3 3 ;f f f f e assim sucessivamente. Seguindo o
mesmo raciocnio, encontramos: ( ) ( 1 1)f n f n ( 1) (1)f n f 13 3n
3 .n Portanto, ( ) 3 .nf n
2 2 Falsa Dada a funo ( 2) 1f x x vamos primeiro encontrar ( )f x e para
isso utilizaremos o seguinte artifcio: Chamamos 2x de ,y ou seja, 2y x
2x y e substituindo na funo, temos ( ) 2 1f y y 3.y Agora, uma
funo dita mpar se ( ) ( ).f y f y J temos ( ),f y falta ento calcular
( ).f y Logo, ( ) 3f y y e ( ) ( 3) 3.f y y y Portanto, vemos
que ( ) ( )f y f y e a funo f no mpar.
3 3 Verdadeira Uma funo ( )h x dita par se ( ) ( ).h x h x Como ( )f x par,
ento por definio ( ) ( ).f x f x Dado 1
( ) ,( )
g xf x
vemos que o domnio de
( )g x qualquer valor, tal que, ( ) 0.f x Como ( )f x par e 1
( ) ,( )
g xf x
logo
1( )
( )f x
g x e
1( ) .
( )f x
g x
Igualando as duas sentenas temos:
( ) ( )f x f x 1 1
( ) ( )g x g x
( ) ( ).g x g x Logo, vemos que a funo
( )g x par para todo x pertencente ao domnio de ( ).g x
4 4 Verdadeira Dada a funo ( ) 7 1f x x x vamos encontrar o domnio
de existncia. Sabemos que no conjunto dos nmeros reais no existem razes de
ndice par e radicando negativo. Portanto, temos que 7 0x 7x e
1 0x 1.x Como os pontos do domnio tem que satisfazer as duas
inequaes ento que o domnio dado por [ 7, 1].
-
Captulo I
Digenes Santos 160
10) Dada a funo 2( ) 8 ,h t t t cujas razes so 2 8 0t t ( 8) 0t t 1 0t ou
2 8.t Portanto, a bola lanada no tempo 1 0 t s e atinge o solo no tempo 2 8 .t s
Agora, fazendo abaixo um esboo do grfico da funo ( ),h t temos:
Agora, vamos verificar as assertivas abaixo:
I II
0 0 Falsa Primeira Soluo: Observando o grfico da funo vemos que a altura
mxima atingida num tempo menor que 8 segundos, pois esse o tempo em que
a bola atinge o solo aps ser lanada.
Segunda Soluo: Para encontrar o tempo em que a bola atinge a altura mxima,
podemos utilizar a frmula do vrtice da funo quadrtica. Portanto, temos
2
bt
a
8
2( 1)
4 16 .s
1 1 Verdadeira Ver assertiva 00.
2 2 Verdadeira A altura mxima quando o tempo 4 segundos. Portanto, 2(4) (4) 8(4) 16 . h m
3 3 Falsa Ver assertiva 00.
4 4 Verdadeira 2(8) 8 8(8)h 64 64 0.
-
Funes do Primeiro e Segundo Graus, Modular e Conceitos
Resolues 161
11) Dadas as funes 2( ) 2 | | 1f x x x e 1
( ) 12
g x x queremos encontrar as razes de
( ) ( ).f x g x Note que a funo ( )f x uma funo modular e para resolv-la vamos
relembrar a definio de mdulo de um nmero real, a saber: , se 0
| | ,, se 0
x xx
x x
ento
2( ) 2 | | 1f x x x 2
2
2 1, se 0( ) .
2 1, se 0
x x xf x
x x x
Agora igualando as funes temos
( ) ( )f x g x
2
2
1. 2 1 1, se 0
2.
1. 2 1 1, se 0
2
I x x x x
II x x x x
Resolvendo a equao I:
2 12 1 1
2x x x 22 4 2 2x x x 22 5 0x x 1 0x ou 2 5 / 2.x
Resolvendo a equao II:
2 12 1 12
x x x 22 4 2 2x x x 22 3 0x x 3 0x ou 4 3/ 2.x
Observe que 3 0x no faz parte da soluo da equao II, pois x deve ser menor que 0.
Portanto, as razes so 3/ 2, 0, , cuja soma 3 5
02 2
3 0 5
2
21.
2
. :Resp A
12) Vamos primeiro encontrar a funo ( ).p x Uma funo quadrtica obedece a seguinte
forma 2( ) ,p x ax bx c com 0.a Neste caso, temos ( 1) 0,p (2) 0p e (0) 2.p
Portanto, podemos montar e resolver o seguinte sistema
2
2
2
( 1) ( 1) 0
(2) (2) 0
0 0 2
a b c
a b c
a b c
0
4 2 0
2
a b c
a b c
c
2 0 ( 2)
4 2 2 0
a b
a b
2 2 4 0( )
4 2 2 0
a b
a b
6 6 0a 1a e
2 0a b 1 2 0b 1.b Donde, 2( ) 2.p x x x
Agora podemos verificar as assertivas abaixo:
-
Captulo I
Digenes Santos 162
I II
0 0 Falsa O valor mnimo encontra-se no vrtice da parbola e dado por 2 [( 1) 4 1 ( 2)] [1 8] 9
2.4 4 (1) 4 4
vya
1 1 Verdadeira Na resoluo encontramos 2( ) 2.p x x x
2 2 Verdadeira Analisando o grfico vemos que ( ) 0p x quando 1x ou
2.x
3 3 Verdadeira Como 2( ) 2,p x x x ento os coeficientes so 1,a 1b
e 2,c cuja soma 1 ( 1) ( 2) 1 1 2 2.
4 4 Verdadeira Pela assertiva 00 vemos que 9 / 4.vy Como a concavidade da
parbola voltada cima, o menor valor que ( )p x pode assumir .vy Portanto, a
imagem da funo quadrtica 9 / 4, .
13) Inicialmente vamos encontrar as funes de custo, venda e lucro. Note que o custo tem
um valor fixo inicial de R$ 4.000,00 mais R$1,20 por unidade produzida. Portanto,
( ) 1,2 4.000,00,C x x onde ( )C x representa a funo custo e x a quantidade a ser
produzida. A venda um valor fixo de R$ 2,00 por produto, ento podemos dizer que
( ) 2 ,V x x onde ( )V x a funo venda. Agora, chamando de ( )L x a funo lucro, que
neste caso, o valor arrecadado com as vendas ( ( ))V x menos o valor do custo ( ( )),C x ou
seja, ( ) ( ) ( )L x V x C x 2 (1,2 4.000,00)x x 2 1,2 4.000,00,x x ou seja,
( ) 0,8 4.000,00.L x x
Agora podemos verificar as assertivas abaixo:
I II
0
0
Falsa Dado 4.000x e substituindo em ( ),L x temos (4.000)L
0,8(4.000) 4.000,00 800,00. Conclumos que a empresa teve um prejuzo de
R$800,00.
1 1 Verdadeira Dado 4.000x e substituindo em ( ),C x temos (4.000)C
1,2(4.000) 4.000,00 4.800,00 4.000,00 8.800,00. Conclumos que a
empresa teve um custo de R$ 800,00 ao produzir 4.000 unidades.
2 2 Verdadeira Dado 6.000x e substituindo em ( ),L x temos (6.000)L
0,8(6.000) 4.000,00 4.800,00 4.000,00 800,00. Conclumos que a
empresa teve um lucro de R$800,00 ao vender 6.000 unidades.
-
Funes do Primeiro e Segundo Graus, Modular e Conceitos
Resolues 163
3 3 Verdadeira Ver assertiva 00.
4 4 Verdadeira Dado 5.000x e substituindo em ( )L x temos (5.000)L
0,8(5.000) 4.000,00 4.000,00 4.000,00 0,00. Conclumos que a empresa
no teve lucro nem prejuzo ao vender 5.000 unidades.
14) Vamos verificar as assertivas abaixo:
I II
0 0 Verdadeira A equao cartesiana da reta dada por .y ax b Sabendo que
a reta passa pelos pontos ( 4, 24) e (2, 0), ento podemos substituir essas
coordenadas na funo e montar o seguinte sistema 24 ( 4)
0 (2)
a b
a b
24 4
2
a b
a b
24 4 2a a 4a e como 2a b 2b a
2 4 8. Portanto, a equao cartesiana da reta r 4 8.y x
1 1 Verdadeira A parbola obedece a forma geral 2( ) ,g x ax bx c com
0.a Observando o grfico dado podemos ver que ( )g x passa pelos pontos
(2, 0), ( 4, 24) e (0, 0). Portanto, podemos montar e resolver o seguinte
sistema
2
2
2
2 2 0
( 4) ( 4) 24
0 0 0 0
a b c
a b c
a b c c
4 2 0 ( 2)
16 4 24
a b
a b
8 4 0( )
16 4 24
a b
a b
24 24a 1a e como 8 4 0a b
8( 1) 4 0b 2.b Logo, a equao da parbola 2( ) 2 .g x x x
2 2 Falsa O valor mximo de uma parbola dado por / 4 .vy a Neste caso,
temos
2[(2) 4 ( 1) (0)] [4 0] 41 2.
4 ( 1) 4 4vy
3 3 Falsa Na assertiva 00 encontramos a funo da reta r que 4 8,y x cujo
coeficiente angular 4.
4 4 Verdadeira Observando o grfico podemos notar que no intervalo 4 2x
a parte do grfico de ( )g x est acima do grfico da funo ( ).f x Portanto,
( ) ( ),f x g x para todo x pertencente ao intervalo dado.
-
Captulo I
Digenes Santos 164
15) Para verificar as afirmativas abaixo vamos chamar de 1IR ao imposto pago sobre os
salrios recebidos no intervalo de R$900,00 a R$1.800,00 e 2IR ao imposto pago no
intervalo maior que R$1.800,00.
Agora vamos verificar as assertivas abaixo:
I II
0 0 Verdadeira Como o desconto incidido em cima do excedente de R$900,00 e
o funcionrio ganha R$ 00,00, ento 1.400,00 900,00 500,00. Logo, o
imposto calculado em cima de R$500,00. Donde, 1 0,15 500,00 75,00.IR
1 1 Verdadeira Vamos admitir que o salrio R$3.000,00 e verificar se com esse
salrio o funcionrio paga R$ 465,00 de imposto. No intervalo salarial de
R$ 900,00 a R$1.800,00 o imposto 1 135,00IR e com o salrio acima de
R$1.800,00 incidido 27,5% de imposto em cima desse excedente, que dado
por 3.000,00 1.800,00 1.200,00, logo 2 0,275 1.200,00IR 330,00.
Portanto, 1 2IR IR 135,00 330,00 465,00. Conclumos que quem paga
R$ 465,00 de imposto recebe R$3.000,00 de salrio.
2 2 Falsa Sabemos que 1 135,00IR e 2.2000,00 1.800,00 400,00, logo,
temos 2 0,275 400,00IR 110,00. Portanto, 1 2IR IR 135,00 110,00
245,00 220,00.
3 3 Verdadeira Sabemos que 1 135,00IR e 12.000,00 1.800,00 10.200,00,
logo, temos 2 0,275 10.200,00IR 2.805,00. Portanto, 1 2IR IR
135,00 2.805,00 2.940,00.
4 4 Falsa Vamos admitir que o salrio R$3.500,00 e verificar se com esse
salrio o funcionrio paga R$ 600,00 de imposto. Pela assertiva 11 sabemos que
1 135,00IR e 3.500,00 1.800,00 1.700,00. Logo, temos
2 0,275 1.700,00IR 467,50. Portanto, 1 2IR IR 135,00 467,50
602,50. Conclumos ento que quem recebe R$3.500,00 de salrio paga
R$ 602,50 de imposto. Portanto, quem paga R$ 600,00 de imposto recebe um
salrio menor que R$3.500,00.
16) A funo horria de Junior 2( ) 2 .s t t t Agora, vamos encontrar a funo horria de
Daniela. Sabendo que ela caminha numa reta, ento a funo da forma ( ) ,f t at b com
0.a Considerando que tanto Junior quanto Daniela esto na origem do sistema ortogonal,
-
Captulo IV
Digenes Santos 208
Captulo IV
Matemtica Bsica
78) Chamamos de ,J D e . .M E os administradores Jnior, Daniela e Maria Eduarda,
respectivamente. Pelo enunciado, Jnior e Daniela fazem juntos o trabalho em 15 dias,
ento ambos realizam diariamente 1
15 do trabalho, ou seja,
1 1 1.
15J D De forma anloga,
vemos que 1 1 1
. . 20J M E e
1 1 1.
. . 12D M E Agora, somando essas duas ltimas
igualdades, temos 1 1 1 1
. . . .J M E D M E
1 1
20 12
1 1 2 2
. . 15J D M E mas
1 1 1,
15J D ento
1 2 2
15 . . 15M E
2 2 1
. . 15 15M E
2 1
. . 15M E . . 30.M E
Logo, Maria Eduarda realiza sozinha o trabalho em 30 dias.
. :Resp B
79) Dado
2 2
3 2 2
1 0
2 0
x xy y
x x y xy x y
2 2
2 2
1
1
( ) 2 0
x xy y
x x xy y x y
( 1) 2 0x x y 2 0x x y 2.y Entretanto, temos 2 2 1x xy y
2 2(2) (2) 1 0x x 2 2 3 0x x e resolvendo essa equao encontramos 1 1x
ou 2 3.x Portanto, a soluo do sistema so os pares ordenados ( 1, 2) e (3, 2). Donde,
1 2 1 2 1 3 2 2 6.x x y y
. :Resp A
80) Vamos verificar cada alternativa abaixo:
Falsa Segue contraexemplo: Considere 1a e 4,b ento a b
( 1) ( 4) 4 2 e 2
a b
1 ( 4)
2
52,5.
2
Portanto, .
2
a ba b
-
Matemtica Bsica
Resolues 209
B Falsa Segue contraexemplo: Considere 9a e 16,b ento a b
( 9) ( 16) 12, mas 9 e 16 no pertencem ao conjunto dos Nmeros
Reais. Logo, .a b a b
C Falsa Segue contraexemplo: Considere 9a e 16,b ento a b 9 16
25 5, mas a b 9 16 3 4 7. Desta forma, .a b a b
D Verdadeira 2 ,a a uma das definies de mdulo de um nmero real 2 | | .a a
Neste caso, como 0,a ento 2 | | .a a a
E Falsa Segue contraexemplo: Considere 1
,4
a ento a a 1 1
4 4
1 1.
2 4
Absurdo! Assim sendo, a alternativa falsa.
. :Resp D
81) Chamamos de N e . .M E os nomes de Neto e Maria Eduarda, respectivamente. Pelo
enunciado temos que 5 . . 13 38M E N 38 13
. . .5
NM E
Como as idades so
representadas por nmeros naturais, ento a nica possibilidade para . .M E ser natural
quando 1,N ou seja, 38 13 1
. .5
M E
38 13
5
255.
5 Portanto, Maria Eduarda tem
5 anos e Neto tem 1. Donde, 5 1 6 anos.
. :Resp B
82) Vamos separar a compra em dois casos.
Primeira caso: Compra a vista.
Suponha que o valor do produto R$100,00 e ao pagar a vista existe um desconto de 10%,
ento R$100,00 10% 90,00. Sobrando dessa forma R$10,00, que ser aplicado a taxa
de 25% ao ms, durante um ms. Sabendo que ,j c i n onde ,j ,c i e n so juros,
capital, taxa e tempo, respectivamente, ento a aplicao lhe rende um juros de
10,00 1 0,25 2,50,j que somado aos R$10,00 d R$12,50. Note que essa seria a
economia ao realizar o pagamento vista aps um ms.
-
Captulo IV
Digenes Santos 210
Segundo caso: Compra a prazo.
Na compra a prazo o consumidor paga 50% do valor do produto no momento da compra e o
restante no prazo de 30 dias. Portanto, pago R$50,00 no ato da compra e aplicado o
mesmo valor a taxa de 25% ao ms, por um ms. Logo, a aplicao lhe rende
50,00 1 0,25 12,50,j e somado com o capital aplicado temos 50,00 12,50 62,50.
Entretanto, ao vencer o prazo o consumidor precisa pagar a segunda parcela,
62,50 50,00 12,50, ou seja, paga R$50,00 e economiza R$12,50.
Analisando os dois casos, vemos que as duas condies so iguais, pois ao final o
consumidor tem R$12,50.
Obs.: A opo de fixar o valor do produto apenas para facilitar a resoluo e que podemos
generalizar a soluo substituindo o valor de R$100,00 por 100%, que o valor do
produto.
. :Resp E
83) Inicialmente a indstria produz 1.500 unidades por ms ao custo de R$ 0,25 cada.
Logo, o custo mensal C de 1.500 0,25 375,00. Com a compra do estabilizador por
R$3.000,00 dividido em 20 meses, h um acrscimo mensal nos custos da empresa de
3.000,00150,00.
20 Portanto, o novo custo 'C para atingir a produo de
' 375,00 150,00C 525,00, durante esses 20 meses. Admitindo um lucro L de 5%
sobre o preo de custo, temos 0,05 525,00 26,25.L Agora, sabendo que ' ,V C L
onde V a venda, ento 525,00 26,25V 551,25. Observe, que esse o valor da
venda das 1.500 unidades e para saber o valor unitrio ,UV basta dividir V por 1.500.
Portanto, 551,25
0,3675.1.500
UV
. :Resp E
84) Para simplificar chamaremos de ,N . .,M E D e ,Ma os nomes de Neto, Maria
Eduarda, Daniela e Marcela, respectivamente. As idades esto em Progresso Aritmtica
( . .)P A ento podemos chamar de 1a e 4a as idades de Neto e Daniela, respectivamente. Da
teoria de . .P A temos que 4 1 3 ,a a r mas 1 4a e 4 28,a ento 28 4 3r 8,r
onde r a razo da . ..P A Agora podemos encontrar as outras duas idades: 2 1a a r
4 8 12 e 3 1 2a a r 4 2 8 20. Portanto, as idades em ordem crescente so: 4,
-
Matemtica Bsica
Resolues 211
12, 20 e 28. Sabemos que N o mais novo e D a mais velha, que so os extremos dessa
. .,P A ento temos duas possibilidades para a sequencia: { , . , , }N M E Ma D ou
{ , , . , }.N Ma M E D
Utilizaremos o primeiro caso: { , . , , }N M E Ma D e {4,12, 20, 28}.
Como o prmio ser dividido de forma inversamente proporcional s suas idades, temos:
. .
1 1 1 1
4 12 20 28
N M E Ma D
. ..
105 35 21 15
N M E M D Agora, sendo o valor do prmio
R$132.000,00, temos . . 132.000,00
750,00.105 35 21 15 176
N M E M D
Podemos agora encontrar o valor distribudo para cada um dos amigos, a saber:
750,00105
N 78.750,00;N
.750,00
35
M E . . 26.250,00;M E 750,00
21
M
15.750,00M e 750,0015
D 11.250,00.D Observe que utilizando a segunda
sequncia encontraramos os valores trocados para Maria Eduarda e Marcela, ou seja,
. . 15.750,00M E e 26.250,00M e que fazendo isso, Neto continuaria ganhando o
mesmo valor.
. :Resp A
85) A venda do produto dada por ,V C L onde V a venda, C o custo e L o lucro. O
Sr. Jnior comprou x metros de tecido a R$ o metro, ento o custo foi de C x e
obteve com a venda um lucro de R$ Agora, vemos que Daniela comprou 1
3 de x
a R$ ou seja, pagou 3
x e restou
2
3 3
x xx metros de tecido no estoque. Eduarda
comprou 1
4 do restante a R$ e pagou
1 22,60
4 3
x
2,60,
6
x restando
2
3 6
x x
3
6 2
x x metros de tecido no estoque. Antnio comprou
1
2 deste a R$ logo, pagou
13,00
2 2
x
3,00
4
x e restou no estoque
2 4 4
x x x metros de tecido, o qual foi vendido a
Neto a R$ que pagou o valor de 3,20
.4
x Podemos ento substituir os valores
-
Captulo IV
Digenes Santos 212
encontrados na frmula de venda, a saber: 2,60 3,00 3,20
3 6 4 4
x x x x
x 10,00 5,20 9,00 9,60x x x x 24,00 58.800,00x
33,8 24 58.800,00x x 9,80 58.800,00x 58.800,00
6.000.9,80
x Entretanto,
queremos o valor de ,50
x ou seja,
6.000120
50 metros de tecido.
. :Resp B
86) Inicialmente a mistura tem 8 litros (lcool e gasolina), dos quais 5 so de gasolina, ou
seja, a sua razo na mistura 5 / 8. Se adicionarmos uma quantidade de x litros de gasolina
para encontrar uma mistura de 3/ 4 de gasolina, a mistura tambm ser acrescido de x
litros. Calculando, temos 5 3
8 4
x
x
20 4 24 3x x 4x litros. Portanto,
precisamos colocar 4 litros de gasolina mistura anterior para que a nova mistura tenha
3/ 4 de gasolina.
. :Resp D
87) Note que a frmula para encontrar a nota desse vestibulando dada por 2 8
10
E MN
tendo em vista que as notas do ENEM tem peso 2 e do vestibular 8. Do enunciado vemos
que 7,0,E 8,0N e M o valor que queremos encontrar. Agora, substituindo as notas
na equao, temos
2 8
10
E MN
2 7 88,0
10
M 80 14 8M 8,25.M
. :Resp E
88) Considere o preo do produto na loja A como sendo ,x ento na loja B o preo de
60,00.x Porm, se houver um desconto na loja B de 20%, o produto ficar com o
mesmo preo nas duas lojas. Note que, dar um desconto de 20% significa vender o produto
por 80% do valor. Logo, temos 0,8( 60,00)x x 0,8 48,00x x
0,2 48,00x 240,00.x Portanto, o preo do produto na loja A R$ 240,00 e na loja
B de R$300,00.
. :Resp E
-
Matemtica Bsica
Resolues 213
89) O salrio mdio definido pela razo entre a folha de pagamento e o nmero de
funcionrios, ou seja, ,F
SMx
onde ,SM F e ,x o salrio mdio, a folha de pagamento
e a quantidade de funcionrios, respectivamente. Com a mudana, a nova mdia salarial
dada por, '
' ,'
FSM
x onde ',SM 'F e 'x so os novos valores do salrio mdio, folha de
pagamento e quantidade de funcionrios, respectivamente. Como a empresa dispensou 20%
dos funcionrios, restaram ento 80% de ,x ou seja, ' 0,8 .x x Aps a dispensa houve um
acrscimo de 10% na folha de pagamento ,F ento ' 1,1 .F F Logo, '
''
FSM
x
1,1 1,1
0,8 0,8
F F
x x 1,375 ,
F
x mas ,
FSM
x donde ' 1,375 .SM SM Conclumos, ento que
houve um acrscimo de 37,5% em relao a mdia salarial anterior.
. :Resp E
90) Para cada 52,5 minutos de trabalho noturno feminino equivalem a 60 minutos de
trabalho diurno, ento podemos montar uma regra de trs, tendo em vista que a funcionria
Daniela trabalhou das 22h s 5 ,h ou seja, 7 horas de trabalho noturno, mas 7 420 .h min
Temos, ento:
. .
420
min noturno min diurno
x
52,5 420 60x 25.200
48052,5
x minutos. Note, que
trabalhar 420 minutos ( 7 horas) no turno feminino da noite o mesmo que trabalhar 480
minutos ( 8 horas) no horrio diurno. Portanto, para saber o acrscimo vamos fazer outra
regra de trs:
%
8007 8 100 114,285.
7
8
h
x x
x
Sendo assim, conclumos que houve um acrscimo de 14,29%.
. :Resp A
-
Captulo IV
Digenes Santos 214
91) Inicialmente, um planto de 4 horas, 5 mdicos atendem 40 pacientes. Entretanto, o
planto passou para 6 horas e a quantidade de pacientes para 60. Queremos saber quantos
x mdicos sero necessrios para atender esses pacientes? Para isso podemos fazer o
seguinte esquema da situao:
4 5 40 .
60
horas mdicos pacientes
x
Note que aumentando a quantidade de mdicos pode-se aumentar o nmero de pacientes para
serem atendidos no mesmo intervalo de tempo e vice-versa. Logo, as duas grandezas so
diretamente proporcionais.
Agora, aumentando a quantidade de mdicos pode-se diminuir as horas (tempo) para serem
atendidos o mesmo nmero de pacientes e vice-versa. Donde, as duas grandezas so
inversamente proporcionais.
Com a anlise feita acima podemos reorganizar a regra de trs, a saber:
4 5 40
60
horas mdicos pacientes
x
6 5 40
60
horas mdicos pacientes
x
4 5 60
56 40
x
mdicos.
. :Resp B
92) O volume de um paraleleppedo reto retngulo, de arestas ,a b e ,c dado por
.V a b c Neste caso, temos 3,a 4b e 2,c ento 33 4 2 24V m Agora,
sabemos que 31 1.000m litros. Logo, a caixa dgua possui 24.000 litros e como o prdio
tem 10 apartamentos conclumos que cada um pode gastar diariamente 24.000
2.40010
litros.
. :Resp A
93) Considere o valor correto da conta na forma ,abc ou ainda, 100 10 .a b c Entretanto,
houve um erro no preenchimento do cheque e a conta foi paga na forma ,bac ou seja,
100 10b a c e com custo adicional de R$180,00. Portanto, 180bac abc
100 10b a c 100 10 180a b c 100( ) 10( ) 180b a a b
-
Matemtica Bsica
Resolues 215
100( ) 10( ) 180b a b a 90( ) 180b a ( ) 2.b a Porm, 1
2
a
b 2 .b a
Logo, 2b a 2 2a a 2a e 2 2 4.b Note que o cheque foi preenchido de
forma incorreta, ou seja, foi escrito bac, ento o valor da dezena 2.
. :Resp E
94) Inicialmente vamos calcular a mdia da primeira rodada, que vamos chamar de 1.M
Logo, 15 3 1 4 0 2
6M
152,5.
6 Entretanto, queremos que a mdia das duas
rodadas, que podemos representar por ,fM seja 20% da primeira, ou seja,
11,20fM M 1,20 2,5 3. Agora, sendo N o nmero de gols marcados na segunda
rodada, temos 15
3.6 5
f
NM
Donde,
153 15 33 18.
6 5
NN N
. :Resp D
95) Vamos considerar a seguinte situao: passados 12 dias e os integrantes tendo bebido a
quantidade de lquido estabelecida por dia, a caravana de 7 pessoas tem 30 dias
consumindo 3,5 litros de gua por dia, por pessoa, para atravessar o restante do deserto.
Entretanto, neste momento, foram acrescentadas mais 3 pessoas para a travessia. Portanto, a
nova situao a seguinte: 10 pessoas tem 30 dias consumindo x litros de gua por dia,
por pessoa, para cruzar o restante do deserto. Donde, temos:
. /
7 3,5 .
10
pessoas liq dia
x
Desta forma, como o perodo o mesmo podemos descart-lo nos
clculos.
Observe que aumentando o nmero de pessoas na caravana, a quantidade de lquido
consumido por dia precisa diminuir, e vice-versa, para o mesmo nmero de dias da viagem.
Logo, as duas grandezas so inversamente proporcionais. Donde, temos:
. /
7 3,5
10
pessoas liq dia
x
. /
10 3,5
7
pessoas liq dia
x
7 3,5
2,4510
x
litros por dia.
. :Resp C
-
Captulo IV
Digenes Santos 216
96) Representamos por x a quantia que inicialmente Eduarda tinha. Agora, em cada loja ela
gastou metade do que possua. Portanto, ao entrar na primeira loja Eduarda tinha x reais,
gastou ,2
x ficando com
2 2
x xx para comprar na segunda loja; e ao entrar nesta gastou
metade desse valor, ou seja, gastou 4
x e ficou com
2 4 4
x x x para comprar na terceira loja;
e assim sucessivamente at fazer as compras na quinta loja. Donde, ela gastou nas lojas ,2
x
,4
x ,
8
x 16
x e .
32
x Na sada teve um gasto de R$ 2,00 com estacionamento e ainda sobraram
R$ 20,00. Somando os valores gastos nas lojas, no estacionamento e o dinheiro que restou,
podemos montar a seguinte equao:
16 8 4 2 64 640 322 20 704,00.
2 4 8 16 32 32
x x x x x x x x x x xx x
. :Resp D
97) Se considerarmos como A e B as quantidades em ml podemos montar o seguinte
sistema:
100
0,03 0,05 3,60
A B
A B
100
0,03 0,05 3,60
A B
A B
0,03(100 ) 0,05 3,60B B
3 0,03 0,05 3,60B B 0,02 0,60B 30.B Portanto, 100A B
100 30 70 .ml
. :Resp A
98) Chamamos de V a velocidade da escada, d o nmero de degraus e t o tempo gasto
para subi-la. Quando Neto sobe 5 degraus ele gasta 30 segundos e quando sobe 10 gasta
20. Observe que ao subir "alguns degraus" como se ele estivesse subtraindo esses degraus
da escada. Agora, como sua velocidade constante e dada por d
Vt
podemos fazer a
seguinte relao:
5 1020 100 30 300 20
30 20
d dd d d
degraus.
. :Resp C
-
Geometria Plana
Resolues 255
Captulo VI
Geometria Plana
176) Fazendo abaixo o esboo do retngulo, vemos que o tringulo issceles e o
segmento a altura e tambm mediana relativa ao lado ento
Como os segmentos e ento
10 ( 2) 10 2 8 .x x x Agora, observe que o tringulo retngulo com
ngulo reto em ento podemos usar o Teorema de Pitgoras para encontrar o valor de
Portanto,
16 80 5.x x
177) O pintor cobra por rea a ser pintada, ento quanto maior a rea de trabalho, maior ser
sua renda. Ele tem trs painis de idnticos materiais e todos com de permetro, mas de
formas diferentes. Precisamos descobrir qual dos painis apresenta maior rea e para isso
vamos calcular separadamente cada caso:
Forma Circular: O comprimento da circunferncia, de raio dado por e a
rea do crculo por Como o permetro ou seja, ento
e a rea
Forma Hexagonal: Podemos considerar o hexgono como sendo regular, pois o que
apresenta maior rea dentre os hexgonos. Como esse polgono de lado possui lados
ACD
BD ,AC 4 .AB BC cm
10BE 2,DE x BD BE DE
BCD
,B
.x2 2 2
CD BC BD 2 2 24 (8 )x x 2 216 64 16x x x
. :Resp C
12 m
C ,r 2C r
CA2.CA r 12, 12,C
2 12r 12
1,91 2
r m
2 2(1,91) 11,46 .CA m
HL 6
-
Captulo VI
Digenes Santos 256
congruentes, temos A rea de um hexgono regular dada por
ou seja,
Forma de Quadrado: O permetro de um quadrado, de lado dado por e
a rea por Portanto, e a rea
Conclumos que o pintor ter maior renda se pintar a forma circular que possui maior rea
dos trs painis.
178) Fazendo abaixo um esboo da figura vemos que os ngulos ento
Como os ngulos dos vrtices e so iguais, ento o tringulo
retngulo issceles, ou seja, Agora, utilizando o Teorema de Pitgoras,
temos mas
ento Conclumos que o reservatrio ser construdo
num ponto distante da cidade e da cidade Portanto, a gua
percorrer um total de para abastecer as cidades. Como
cada metro de encanao custa ento o estado gastar para
construir o reservatrio.
6 12HL 2 .HL m HA
23( ) 3,
2
HH
LA
223(2) 3 6 3 10,39 .
2HA m
QP ,QL 4Q QP L
QA2( ) .Q QA L 4 12QL 3 QL m
2 23 9 .QA m
. :Resp C
o45 ,ABD ADB
B AD o90 . B D ABD
10 .AB AD km
2
BD 2 2
AB AD 2 210 10 100 100 2
200BD 10 2 ,BD km
2 1,4, BD 10 (1,4) 14 .km
D 10 km A 14 km .B
10 14 km km 24 km 24.000 m
R$ 24.000 1,50 36.000
. :Resp A
-
Geometria Plana
Resolues 257
179) Considere abaixo o esboo da figura.
O raio da circunferncia maior pois o ponto tem distncia da origem.
O ngulo mede e como a circunferncia menor tangente interna da
circunferncia maior e das semirretas e ento a semirreta passando pelo
centro da circunferncia menor, de raio divide o ngulo ao meio, ou seja,
Chamamos de a distncia da origem at a circunferncia interna.
Logo, Note que
Portanto, Donde, vemos que as
reas e dos crculos maior e menor, respectivamente, so
e
Ao analisar cada alternativa vemos que no existe resposta, por isso a comisso organizadora
resolveu anul-la.
. :Resp Nula
180) Considere abaixo o esboo da figura.
R 12, (12, 0)A 12
AOP o60
OA ,OP OQ
,r AOP
30 .AOQ POQ x
OQ R x r r 12. 30r
senx r
1
2
r
x r
2x r r
.x r 12x r r 2 12r r 3 12r 4.r
1A 2A2
1A R 2(12) 144
2
2A r 2(4) 16 .
-
Captulo VI
Digenes Santos 258
Observe que os segmentos e so os prprios raios da circunferncia. Logo, o
tringulo issceles e o segmento a altura e tambm mediana desse tringulo,
ento Note que Agora,
usando o Teorema de Pitgoras no tringulo temos
mas
ento unidades de
comprimento.
181) Vamos resolver essa questo em duas etapas:
Primeira etapa: Pelo tringulo o ngulo do vrtice e a hipotenusa
ento que vamos chamar esse segmento de altura
ou seja, Agora, observe que
Segunda etapa: Pelo tringulo vemos que Logo, esse tringulo
retngulo issceles. Para encontrar a hipotenusa podemos utilizar o Teorema de
Pitgoras, a saber: Portanto,
Com os dados encontrados podemos fazer abaixo um esboo do trapzio.
O permetro desse quadriltero ento
,OE OA OB
OAB OF
20.AF BF L EF OF OE OF EF OE .L R
,AFO2 2 2
AO OF AF
2 2 2( ) 20R L R 2 2 22 400R L L R R 22 400,L R L 40,L
22 (40) (40) 400R 80 1600 400R 80 2000R 25R
. :Resp D
CDE D 30 6,CD
o 30CE
senCD
1
2 6
CE 3,CE ,h
3.h CE o 30DE
cosCD
3
2 6
DE 3 3.DE
ABF 3.h BF AF
AB2 2 2
AB BF AF 2 23 3 9 9 18. 2
18AB
3 2.AB
60, 6 3 3 3 3 2 60x x
