2. Raciocinio Logico

5/8/2018 2. Raciocinio Logico - slidepdf.com

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1. ESTRUTURAS LÓGICAS, LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO, ESTRUTURAS LÓGICAS

Iniciaremos com os primeiros passos da Lógica:

PROPOSIÇÕES

Temos vários tipos de sentenças:

DeclarativasInterrogativasExclamativasImperativas

VALORES LÓGICOS DAS PROPOSIÇÕES

O valor lógico de uma proposição r é a verdade(ou verdadeiro) se r é verdadeira.Escreve-se v(r) = V, isto é, o valor lógico de r é V.

O valor lógico de uma proposição s é a falsidade(ou falso) se s é falsa.Escreve-se v(s) = F, isto é, o valor lógico de s é F.

Os valores “verdadeiro” (V) e “falso(F) são chamados de valores lógicos”.

LEIS DO PENSAMENTO

Vejamos algumas leis do pensamento para que possamos desenvolver corretamente o nosso pensar.

PRINCÍPIO DA IDENTIDADE. Se qualquer proposição é verdadeira, então, ela é verdadeira.

PRINCÍPIO DE NÃO-CONTRADIÇÃO. Nenhuma proposição pode ser verdadeira e falsa.

PRINCÍPIO DO TERCEIRO EXCLUÍDO. Uma proposição ou é verdadeira ou é falsa.

SENTENÇAS ABERTAS Quando substituímos numa proposição alguns componentes por variáveis, teremos usentença aberta.

CONECTIVOS

Chama-se conectivo a algumas palavras ou frases que em lógica são usadas para formarem proposiçõescompostas.

Veja alguns conectivos:

A negação não cujo símbolo é ~.A desjunção ou cujo símbolo é v.A conjunção e cujo símbolo é ^

O condicional se,....., então, cujo símbolo é -->.O bicondicional se, e somente se, cujo símbolo é <->.

PROPOSIÇÕES SIMPLES

Uma proposição é simples quando declara ou afirma algo sem o uso de nenhum dos conectivos e, ou, se...., ee se , e somente se.

PROPOSIÇÕES COMPOSTAS

Uma proposição é composta quando formada por mais de uma proposição simples.



1 - INTRODUÇÃO

A Lógica Matemática, em síntese, pode ser considerada como a ciência do raciocínio e da demonstração.Este importante ramo da Matemática desenvolveu-se no século XIX, sobretudo através das idéias de GeorgeBoole , matemático inglês (1815 - 1864), criador da Álgebra Booleana, que utiliza símbolos e operações algébricaspara representar proposições e suas inter-relações.

As idéias de Boole tornaram-se a base da Lógica Simbólica, cuja aplicação estende-se por alguns ramosda eletricidade, da computação e da eletrônica.

A lógica matemática (ou lógica simbólica), trata do estudo das sentenças declarativas também conhecidascomo proposições , as quais devem satisfazer aos dois princípios fundamentais seguintes:

Princípio do terceiro excluído: uma proposição só pode ser verdadeira ou falsa , não havendo outra alternativa.

Princípio da não contradição: uma proposição não pode ser ao mesmo tempo verdadeira e falsa.Diz-se então que uma proposição verdadeira possui valor lógico V (verdade) e uma proposição falsa possui valor lógico F (falso). Os valores lógicos também costumam ser representados por 0 (zero) para proposições falsas ( 0ou F) e 1 (um) para proposições verdadeiras ( 1 ou V ).

As proposições são indicadas pelas letras latinas minúsculas: p, q, r, s, t, u, ...

De acordo com as considerações acima, expressões do tipo, "O dia está bonito" , "3 + 5" , "x é um númeroreal" , "x + 2 = 7", etc., não são proposições lógicas, uma vez que não poderemos associar a ela um valor lógicodefinido (verdadeiro ou falso).

Exemplificamos a seguir algumas proposições, onde escreveremos ao lado de cada uma delas, o seu valor lógicoV ou F. Poderia ser também 1 ou 0.

p: " a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º " ( V )q: " 3 + 5 = 2 " ( F )r: " 7 + 5 = 12" ( V)s: " a soma dos ângulos internos de um polígono de n lados é dada por Si = (n - 2) . 180º " ( V )t: " O Sol é um planeta" ( F )

w: " Um pentágono é um polígono de dez lados " ( F )

2 - SÍMBOLOS UTILIZADOS NA LÓGICA MATEMÁTICA

∼ não

∧ e

∨ ou

→ se ... então

↔ se e somente se

| tal que

⇒ implica

⇔ equivalente

∃ existe

∃ | existe um e somente um

∀ qualquer que seja

3 - O MODIFICADOR NEGAÇÃO

Dada a proposição p , indicaremos a sua negação por ~p . (Lê-se " não p " ).

Ex.: p: Três pontos determinam um único plano ( V )~p: Três pontos não determinam um único plano ( F )

Obs.: duas negações eqüivalem a uma afirmação ou seja, em termos simbólicos: ~(~p) = p .



4 - OPERAÇÕES LÓGICAS

As proposições lógicas podem ser combinadas através dos operadores lógicos ∧ , ∨ , → e ↔ , dandoorigem ao que conhecemos como proposições compostas . Assim , sendo p e q duas proposições simples,poderemos então formar as seguintes proposições compostas: p∧ q , p∨ q , p→ q , p↔ q (Os significados dossímbolos estão indicados na tabela anterior).

Estas proposições compostas recebem designações particulares, conforme veremos a seguir.

Conjunção: p∧ q (lê-se "p e q " ).

Disjunção: p∨ q (lê-se "p ou q ") .Condicional: p→ q (lê-se "se p então q " ).

Bi-condicional: p↔ q ( "p se e somente se q") .

Conhecendo-se os valores lógicos de duas proposições simples p e q , como determinaremos os valológicos das proposições compostas acima? Ah! caro vestibulando! Isto é conseguido através do uso da tabelaseguir, também conhecida pelo sugestivo nome de TABELA VERDADE.

Sejam p e q duas proposições simples, cujos valores lógicos representaremos por 0 quando falsa (F) quando verdadeira (V). Podemos construir a seguinte tabela simplificada:

p q p ∧ q p ∨ q p→ q p ↔ q1 1 1 1 1 11 0 0 1 0 00 1 0 1 1 00 0 0 0 1 1

Da tabela acima, infere-se (deduz-se) que:

a conjunção é verdadeira somente quando ambas as proposições são verdadeiras. a disjunção é falsa somente quando ambas as proposições são falsas. a condicional é falsa somente quando a primeira proposição é verdadeira e a segunda falsa. a bi-condicional é verdadeira somente quando as proposições possuem valores lógicos iguais.

Ex.: Dadas as proposições simples:p: O Sol não é uma estrela (valor lógico F ou 0)q: 3 + 5 = 8 (valor lógico V ou 1)

Temos:p∧ q tem valor lógico F (ou 0)p∨ q tem valor lógico V (ou 1)

p→ q tem valor lógico V (ou 1)p↔ q tem valor lógico F (ou 0).

Assim, a proposição composta "Se o Sol não é uma estrela então 3 + 5 = 8" é logicamente verdadeiraobstante ao aspecto quase absurdo do contexto da frase!

Não quero lhe assustar, mas o fato das proposições verdadeiras (valor lógico 1) ou falsas (valor lógiconão podem estar associadas à analogia de que zero (0) pode significar um circuito elétrico desligado e um (1)pode significar um circuito elétrico ligado? Isto lembra alguma coisa vinculada aos computadores? Pois é, caroamigos, isto é uma verdade, e é a base lógica da arquitetura dos computadores!

Seria demais imaginar que a proposição p∧ q pode ser associada a um circuito série e a proposição pum circuito em paralelo?

Pois, as analogias são válidas e talvez tenham sido elas que mudaram o mundo!

Vi t t t i t b l d d d id b i it d t i l ló i



Vi t t t i t b l d d d id b i it d t i l ló i

p q p∧ q p∨ q p→ q p↔ q1 1 1 1 1 11 0 0 1 0 00 1 0 1 1 00 0 0 0 1 1

Nota: valor lógico verdadeiro = 1 ou Vvalor lógico falso = 0 ou F

Podemos observar que é muito fácil entender (e o nosso intelecto admitir) as regras contidas na tabela acima paraa conjunção, disjunção e equivalência, ou seja:

a conjunção "p e q" só é verdadeira quando p e q forem ambas verdadeiras. A disjunção "p ou q" só é falsa quando p e q forem ambas falsas. A bi-condicional só e falsa quando p e q possuem valores lógicos opostos.

Quanto à condicional "se p então q" , vamos analisá-la separadamente, de modo a facilitar o entendimentodas regras ali contidas:

p q p→ qV V VV F FF V VF F V

O raciocínio a seguir, será a base da nossa análise:

Se é dada uma proposição p e é possível fazer-se um raciocínio válido que nos conduza a outraproposição q, consideraremos que p→ q é verdadeira.

Visto isso, vamos analisar as quatro possibilidades contidas na tabela acima:

1º) p é V e q é V: somente através de um raciocínio válido é possível partir de uma proposição verdadeira paraoutra também verdadeira. Logo, p→ q é verdadeira.

2º) p é V e q é F: não existe raciocínio válido capaz de , partindo-se de uma proposição verdadeira chegar-se auma proposição falsa. Logo, neste caso, p→ q é falsa.

3º) p é F e q é V: É possível partir de uma proposição falsa e chegar-se através de um raciocínio válido, a umaproposição verdadeira. Isto é um pouco difícil de entender, mas acompanhe o exemplo abaixo:

Sejam as proposições:p: 10 = 5 (valor lógico F)q: 15 = 15 (valor lógico V)

Através de um raciocínio válido, vamos mostrar que é possível a partir de p (falsa), chegar a q(verdadeira).

Com efeito, se 10 = 5, então podemos dizer que 5 = 10. Somando membro a membro estas igualdades vem: 10+5= 5+10 e portanto 15 = 15. Portanto a partir de p FALSA foi possível, através de um raciocínio válido chegar-se a qVERDADEIRA. Logo, p→ q é verdadeira

4º) p é F e q é F: É possível partir de uma proposição falsa e chegar-se através de um raciocínio válido, a umaproposição também falsa. Senão vejamos:

Sejam as proposições:

p: 10 = 5 (valor lógico F)q: 19 = 9 (valor lógico F)

Através de um raciocínio válido vamos mostrar que é possível a partir de p FALSA chegarmos a q



Através de um raciocínio válido vamos mostrar que é possível a partir de p FALSA chegarmos a q

Somando agora membro a membro estas duas igualdades, obtemos 10+9 = 5+4 e portanto 19 = 9, que é aproposição q dada. Logo, p→ q é verdadeira (V).

Exercícios:

1) Sendo p uma proposição verdadeira e q uma proposição falsa, qual o valor lógico da proposição composta (p∧ ∼ q) → q ?

Solução: Teremos, substituindo os valores lógicos dados: p = V , q = F e ~q = V .r: (V ∧ V) → F , logo, pelas tabelas acima vem: r: V → F e portanto r é falsa. Valor lógico F ou 0.

2) Qual das afirmações abaixo é falsa?a) se Marte é um planeta então 3 = 7 - 4.b) a soma de dois números pares é um número par e 72 = 49.c) 3 = 5 se e somente se o urso é um animal invertebrado.d) se 102 = 100 então todo número inteiro é natural.e) 2 = 32 - 7 ou a Terra é plana.

Analisando os valores lógicos das proposições simples envolvidas e usando-se as tabelas anteriores,concluiremos que apenas a proposição do item (d) é falsa, uma vez que 102 = 100 é V e "todo número inteiro natural" é F ( o número negativo -3 por exemplo é inteiro, mas não é natural) . Portanto, temos V → F , que

sabemos ser falsa. (Veja a segunda linha da tabela verdade acima).

Resumo da Teoria

1 - Tautologias e ContradiçõesConsidere a proposição composta s: (p∧ q) → (p∨ q) onde p e q são proposições simpleslógicas quaisquer. Vamos construir a tabela verdade da proposição s :

Considerando-se o que já foi visto até aqui, teremos:p q p∧ q p∨ q (p∧ q) → (p∨ q) V V V V V V F F V V

F V F V V F F F F V

Observe que quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições simples p e q, a proposição composta ssempre logicamente verdadeira. Dizemos então que s é uma TAUTOLOGIA.

Trazendo isto para a linguagem comum, considere as proposições: p: O Sol é um planeta(valor lógico falso - F) e q: A Terra é um planeta plano (valor lógico falso - F), podemos concluir que a proposiçcomposta "Se o Sol é um planeta e a Terra é um planeta plano então o Sol é um planeta ou a Terra é um planplano" é uma proposição logicamente verdadeira.

Opostamente, se ao construirmos uma tabela verdade para uma proposição composta, verificarmos que ela ésempre falsa, diremos que ela é uma CONTRADIÇÃO.

Ex.: A proposição composta t: p ∧ ~p é uma contradição, senão vejamos:

p ~p p∧ ~pV F FF V F

NOTA: Se uma proposição composta é formada por n proposições simples, a sua tabela verdade possuirá 2n linhas.

Ex.: Construa a tabela verdade da proposição composta t: (p∧ q) ∨ r



Teremos:p q r (p∧ q) (p∧ q) ∨ r V V V V VV V F V VV F V F VV F F F FF V V F V

F V F F FF F V F VF F F F F

Observe que a proposição acima não é Tautologia nem Contradição.

Apresentaremos a seguir, exemplos de TAUTOLOGIAS, as quais você poderá verifica-las, simplesmenteconstruindo as respectivas tabelas verdades:

Sendo p e q duas proposições simples quaisquer, podemos dizer que as seguintes proposições compostas, sãoTAUTOLOGIAS:

1) (p∧ q) → p2) p → (p∨ q)3) [p∧ (p→ q)] → q (esta tautologia recebe o nome particular de "modus ponens")4) [(p→ q) ∧ ~q] → ~p (esta tautologia recebe o nome particular de "modus tollens")

Você deverá construir as tabelas verdades para as proposições compostas acima e comprovar que elas realmentesão tautologias, ou seja, na última coluna da tabela verdade teremos V V V V.

NOTAS: a) as tautologias acima são também conhecidas como regras de inferência.b) como uma tautologia é sempre verdadeira, podemos concluir que a negação de uma tautologia é sempre falsa,ou seja, uma contradição.

2 - Álgebra das proposições

Sejam p , q e r três proposições simples quaisquer, v uma proposição verdadeira e f uma proposição falsa. Sãoválidas as seguintes propriedades:

a) Leis idempotentesp∧ p = pp∨ p = p

b) Leis comutativasp∧ q = q∧ pp∨ q = q∨ p

c) Leis de identidadep ∧ v = pp ∧ f = f p ∨ v = vp ∨ f = p

d) Leis complementares~(~p) = p (duas negações eqüivalem a uma afirmação)p ∧ ~p = f p ∨ ~p = v~v = f

~f = v

e)Leis associativas



( ) ( )

f) Leis distributivasp∧ (q∨ r) = (p∧ q) ∨ (p∧ r)p∨ (q∧ r) = (p∨ q) ∧ (p∨ r)

g) Leis de Augustus de Morgan~(p∧ q) = ~p ∨ ~q~(p∨ q) = ~p ∧ ~q

h) Negação da condicional~(p→ q) = p∧ ~q

Todas as propriedades acima podem ser verificadas com a construção das tabelas verdades.Vamos exemplificar verificando a propriedade do item (h):

Para isto, vamos construir as tabelas verdades de ~(p→ q) e de p∧ ~q :

Tabela1: p q p→ q ~(p→ q)V V V FV F F V

F V V FF F V F

Tabela 2: p q ~q p∧ ~qV V F FV F V VF V F FF F V F

Observando as últimas colunas das tabelas verdades 1 e 2 , percebemos que elas são iguais, ou seja, ambasapresentam a seqüência F V F F , o que significa que ~(p

→q) = p

∧~q .

Exs.:1) Qual a negação da proposição composta: "Eu estudo e aprendo"?Do item (g) acima, concluímos que a negação procurada é: "Eu não estudo ou não aprendo".

2) Qual a negação da proposição "O Brasil é um país ou a Bahia é um estado" ?Do item (g) acima, concluímos que a negação é: "O Brasil não é um país e a Bahia não é um estado".

3) Qual a negação da proposição: "Se eu estudo então eu aprendo" ?Conforme a propriedade do item (h) acima, concluímos facilmente que a negação procurada é: "Eu estudo e naprendo"

Dado um conjunto de proposições P1, P2 , P3 , ... , Pn , Q (simples ou compostas) chama-se ARGUMENTO àproposição composta S : ( P1 ∧ P2 ∧ P3 ∧ ... ∧ Pn ) → Q .

As proposições P1, P2 , P3 , ... , Pn são denominadas PREMISSAS e a proposição Q é denominada CONCLUS

Costuma-se representar um argumento, também da forma simplificada:P1, P2 , P3 , ... , Pn ∴ Q , onde o símbolo ∴ significa "logo" ou "de onde se deduz " .

O argumento S : ( P1 ∧ P2 ∧ P3 ∧ ... ∧ Pn ) → Q será VÁLIDO se e somente se a proposição compostas : ( P1 ∧ P2 ∧ P3 ∧ ... ∧ Pn ) → Q for uma TAUTOLOGIA, ou seja, a última coluna da sua TABELA VERDADE scontiver o valor lógico verdadeiro (V). Caso contrário, o argumento não será válido e será denominado FALÁC

Consideremos o seguinte exemplo de argumento:

Se chove então faz frio.Não chove,



Este argumento é válido? Vejamos:

Sejam as proposições:p: " chove "q: " faz frio "

Claro que a proposição "não chove" será ~p (a negação de p) e "não faz frio" será ~q (a negação de q).Poderemos então escrever o argumento na forma simbólica indicada acima:

s: [(p → q) ∧ ~p] → ~q

Para saber se o argumento apresentado é válido ou não, teremos que construir a tabela verdade da proposiçãocompostas: [(p → q) ∧ ~p] → ~q.

Teremos, com base nos nossos conhecimentos anteriores:

p q ~p ~q p→ q [(p → q)∧ ~p

s

V V F F V F VV F F V F F VF V V F V V FF F V V V V V

Como a proposição composta

s: [(p → q) ∧ ~p] → ~q não é uma Tautologia (apareceu um F na terceira linha da última coluna), concluímos que oargumento dado não é válido. O argumento é, portanto, uma FALÁCIA.

Vamos agora considerar o seguinte argumento:

Se chove então faz frio.Não faz frio.

Logo, não chove.

Este argumento é válido? Vejamos:

Sejam as proposições:p: " chove "q: " faz frio "Claro que a proposição "não chove" será ~p (a negação de p) e "não faz frio" será ~q (a negação de q).Poderemos então escrever o argumento na forma simbólica:

s: [(p → q) ∧ ~q] → ~p

Para saber se o argumento apresentado é válido ou não, teremos que construir a tabela verdade da proposição

compostas: [(p → q) ∧ ~q] → ~p .


p q ~p ~q p → q [(p → q) ∧ ~q s

V V F F V F VV F F V F F VF V V F V F VF F V V V V V

Como a proposição compostas: [(p → q) ∧ ~q] → ~p é uma Tautologia (só aparece V na última coluna), concluímos que o argumento dado éválido.

http://d/CD%20ap%20especifica/MPU/Apostilas/arq1-3.htm

http://d/CD%20ap%20especifica/MPU/Apostilas/arq1-3.htm



a tabela verdade conterá 22 = 4 linhas, com três premissas, a tabela verdade conterá 23 = 8 linhas e assimsucessivamente. Com quatro premissas, a tabela verdade conterá 24 = 16 linhas; imagine 10 premissas!

A tabela verdade conteria 210 = 1024 linhas. Aí, só os computadores resolveriam ...

Considere outro exemplo, agora com 3 premissas:

Se o jardim não é florido então o gato mia.Se o jardim é florido então o passarinho não canta.O passarinho canta.Logo, o jardim é florido e o gato mia.

Sejam as proposições:p: " o jardim não é florido"q: " o gato mia"r: " o pássaro canta"Poderemos escrever o argumento na seguinte forma simbólica:

s : [(p → q) ∧ (~ p → ~ r) ∧ r ] → ( ~ p ∧ q )


p q r ~ r ~p ∧ q p → q ~p ~p → ~ r [(p → q) ∧ (~p → ∼ r) ∧ ( ~ r )

s

V V V F F V F V F V

V V F V F V F V V F

V F V F F F F V F V

V F F V F F F V F V

F V V F V V V F F V

F V F V V V V V V V

F F V F F V V F F VF F F V F V V V V F

Como o argumento s não é uma Tautologia (apareceu F na última coluna) , o argumento não é válido.

Notas:1 – o entendimento da tabela verdade acima, requer muita atenção.2 – neste tipo de exercício, não devemos usar a intuição, somente. A construção da tabela verdade é umanecessidade imperiosa, embora possa parecer muito trabalhosa.3 – recomendamos enfaticamente, imprimir o arquivo e analisar criteriosamente a tabela verdade.

Agora resolva estes:

1 - Se o jardim não é florido então o gato mia.O gato não mia.Logo, o jardim é florido.Resposta: o argumento é válido.

2 - Se o jardim não é florido então o gato não mia.O jardim é florido.Logo, o gato mia.Resposta: o argumento não é válido.



Portanto, pela regra de Cramer, teremos:x1 = ∆ x1 / ∆ = 120 / 24 = 5x2 = ∆ x2 / ∆ = 48 / 24 = 2x3 = ∆ x3 / ∆ = 96 / 24 = 4

Logo, o conjunto solução do sistema dado é S = { (5, 2, 4) }.

Observe que resolvemos este mesmo sistema através do método de escalonamento, em Sistemas Lineares II

conveniente rever aquela solução clicando AQUI. Para retornar, clique em VOLTAR no seu browser.Agora, resolva este:2 x + 5y + 3z = 205 x + 3y - 10z = - 39x + y + z = 5Resp: S = { (-1, 2, 4) }

3. PROBABILIDADES

A história da teoria das probabilidades, teve início com os jogos de cartas, dados e de roleta. Esse é omotivo da grande existência de exemplos de jogos de azar no estudo da probabilidade. A teoria da probabilida

permite que se calcule a chance de ocorrência de um número em um experimento aleatório.Experimento Aleatório

É aquele experimento que quando repetido em iguais condições, podem fornecer resultados diferentesseja, são resultados explicados ao acaso. Quando se fala de tempo e possibilidades de ganho na loteria, aabordagem envolve cálculo de experimento aleatório.

Espaço Amostral

É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. A letra que representa oespaço amostral, é S.

Exemplo:Lançando uma moeda e um dado, simultaneamente, sendo S o espaço amostral, constituído pelos 12 elemen

S = {K1, K2, K3, K4, K5, K6, R1, R2, R3, R4, R5, R6}

Escreva explicitamente os seguintes eventos:A={caras e m número par aparece},B={um número primo aparece},C={coroas e um número ímpar aparecem}.

Idem, o evento em que:a) A ou B ocorrem;b) B e C ocorrem;

c) Somente B ocorre.

Quais dos eventos A,B e C são mutuamente exclusivos

Resolução:Para obter A, escolhemos os elementos de S constituídos de um K e um número par:A={K2, K4, K6};

Para obter B, escolhemos os pontos de S constituídos de números primos: B={K2,K3,K5,R2,R3,R5}

Para obter C, escolhemos os pontos de S constituídos de um R e um número ímpar: C={R1,R3,R5}.

(a) A ou B = AUB = {K2,K4,K6,K3,K5,R2,R3,R5}

(b) B e C = B1 C = {R3,R5}

http://www.terra.com.br/matematica/arq12-5.htm

http://www.terra.com.br/matematica/arq12-5.htm



B1Ac1Cc = {K3,K5,R2}

A e C são mutuamente exclusivos, porque A1 C =i

Conceito de probabilidade

Se num fenômeno aleatório as possibilidades são igualmente prováveis, então a probabilidade de ocorrer um

evento A é:

Por, exemplo, no lançamento de um dado, um número pasra pode ocorrer de 3 maneiras diferentes dentre 6igualmente prováveis, portanto, P = 3/6= 1/2 = 50%

Dizemos que um espaço amostral S (finito) é equiprovável quando seus eventos elementares têm probabilidadesiguais de ocorrência.

Num espaço amostral equiprovável S (finito), a probabilidade de ocorrência de um evento A é sempre:

Propriedades Importantes

1. Se A e A’ são eventos complementares, então:P( A ) + P( A' ) = 1

2. A probabilidade de um evento é sempre um número entre Æ (probabilidade de evento impossível) e 1(probabilidade do evento certo).

0≤P (S) ≤1

Probabilidade Condicional

Antes da realização de um experimento, é necessário, que já tenha alguma informação sobre o eventoque se deseja observar.Nesse caso o espaço amostral se modifica e o evento tem a s sua probabilidade deocorrência alterada.

Fórmula de Probabilidade Condicional

P(E1 e E2 e E3 e ...e En-1 e En) é igual a P(E1).P(E2/E1).P(E3/E1 e E2)...P(En/E1 e E2 e ...En-1).

Onde P(E2/E1) é a probabilidade de ocorrer E2, condicionada pelo fato de já ter ocorrido E1;

P(E3/E1 e E2) é a probabilidade ocorrer E3, condicionada pelo fato de já terem ocorrido E1 e E2;

P(Pn/E1 e E2 e ...En-1) é a probabilidade de ocorrer En, condicionada ao fato de já ter ocorrido E1 e E2...En-1.

Exemplo:Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se ocorrer um sorteio de 2 bolas, uma de cada vez e semreposição, qual será a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul?

Resolução:Seja o espaço amostral S=30 bolas, bolinhas e considerarmos os seguintes eventos:A: branca na primeira retirada e P(A) = 10/30B: preta na segunda retirada e P(B) = 20/29Assim:

P(A e B) = P(A).(B/A) = 10/30.20/29 = 20/87



Eventos independentes

Dizemos que E1 e E2 e ...En-1, En são eventos independentes quando a probabilidade de ocorrer um deles nãodepende do fato de os outros terem ou não terem ocorrido.

Fórmula da probabilidade dos eventos independentes:

P(E1 e E2 e E3 e ...e En-1 e En) = P(E1).P(E2).p(E3)...P(En)

Exemplo:Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se sortearmos 2 bolas, 1 de cada vez e respondo asorteada na urna, qual será a probabilidade de a primeira ser branca e a segunda ser preta?

Resolução:Como os eventos são independentes, a probabilidade de sair vermelha na primeira retirada e azul na segundaretirada é igual ao produto das probabilidades de cada condição, ou seja, P(A e B) = P(A).P(B). Ora, aprobabilidade de sair vermelha na primeira retirada ´e 10/30 e a de sair azul na segunda retirada 20/30. Daí,usando a regra do produto, temos: 10/30.20/30=2/9.

Observe que na segunda retirada forma consideradas todas as bolas, pois houve reposição. Assim, P(B/A) =Pporque o fato de sair bola vermelha na primeira retirada não influenciou a segunda retirada, já que ela foi repona urna.

Probabilidade de ocorrer a união de eventos

Fórmula da probabilidade de ocorrer a união de eventos:P(E1 ou E2) = P(E1) + P(E2).P(E1 e E2)

De fato, se existirem elementos comuns a E1 e E2, estes eventos estarão computados no cálculo de P(E1) e PPara que sejam considerados uma vez só, subtraímos P(E1 e E2).

Fórmula de probabilidade de ocorrer a união de eventos mutuamente exclusivos:P(E1 ou E2 ou E3 ou ... ou En) = P(E1) + P(E2) + ... + P(En)

Exemplo: Se dois dados, azul e branco, forem lançados, qual a probabilidade de sair 5 no azul e 3 no branco?Considerando os eventos:A: Tirar 5 no dado azul e P(A) = 1/6B: Tirar 3 no dado branco e P(B) = 1/6Sendo S o espaço amostral de todos os possíveis resultados, temos:n(S) = 6.6 = 36 possibilidades. Daí, temos:P(A ou B) = 1/6 + 1/6 – 1/36 = 11/36

Exemplo: Se retirarmos aleatoriamente uma carta de baralho com 52 cartas, qual a probabilidade de ser um 8um Rei?Sendo S o espaço amostral de todos os resultados possíveis, temos: n(S) = 52 cartas. Considere os eventos:A: sair 8 e P(A) = 8/52B: sair um rei e P(B) = 4/52Assim, P(A ou B) = 4/52 + 4/52 – 0 = 8/52 = 2/13. Note que P(A e B) = 0, pois uma carta não pode ser 8 e rei a

mesmo tempo. Quando isso ocorre dizemos que os eventos A e B são mutuamente exclusivos.

4. COMBINAÇÕES

Foi a necessidade de calcular o número de possibilidades existentes nos chamados jogos de azar quelevou ao desenvolvimento da Análise Combinatória, parte da Matemática que estuda os métodos de contagem

Esses estudos foram iniciados já no século XVI, pelo matemático italiano Niccollo Fontana (1500-1557conhecido como Tartaglia. Depois vieram os franceses Pierre de Fermat (1601-1665) e Blaise Pascal (1623-1

A Análise Combinatória visa desenvolver métodos que permitam contar - de uma forma indireta - o núde elementos de um conjunto, estando esses elementos agrupados sob certas condições.

FATORIALSeja n um número inteiro não negativo. Definimos o fatorial de n (indicado pelo símbolo n! ) como sendo:



Para n = 0 , teremos : 0! = 1.Para n = 1 , teremos : 1! = 1Exemplos:

a) 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720b) 4! = 4.3.2.1 = 24c) observe que 6! = 6.5.4!d) 10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1e) 10! = 10.9.8.7.6.5!f ) 10! = 10.9.8!

PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM - PFC

Se determinado acontecimento ocorre em n etapas diferentes, e se a primeira etapa pode ocorrer de k1 maneirasdiferentes, a segunda de k2 maneiras diferentes, e assim sucessivamente, então o número total T de maneiras deocorrer o acontecimento é dado por:T = k1. k2 . k3 . ... . kn Exemplo:

O DETRAN decidiu que as placas dos veículos do Brasil serão codificadas usando-se 3 letras do alfabeto e 4algarismos. Qual o número máximo de veículos que poderá ser licenciado?

Solução:Usando o raciocínio anterior, imaginemos uma placa genérica do tipo PWR-USTZ.Como o alfabeto possui 26 letras e nosso sistema numérico possui 10 algarismos (de 0 a 9), podemos concluir que: para a 1ª posição, temos 26 alternativas, e como pode haver repetição, para a 2ª, e 3ª também teremos 26alternativas. Com relação aos algarismos, concluímos facilmente que temos 10 alternativas para cada um dos 4lugares. Podemos então afirmar que o número total de veículos que podem ser licenciados será igual a:26.26.26.10.10.10.10 que resulta em 175.760.000. Observe que se no país existissem 175.760.001 veículos, osistema de códigos de emplacamento teria que ser modificado, já que não existiriam números suficientes paracodificar todos os veículos. Perceberam?

PERMUTAÇÕES SIMPLES

1 - Permutações simples de n elementos distintos são os agrupamentos formados com todos os n elementos eque diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos.

Exemplo: com os elementos A,B,C são possíveis as seguintes permutações: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB e CBA.

2 - O número total de permutações simples de n elementos distintos é dado por n!, isto éPn = n! onde n! = n(n-1)(n-2)... .1 .

Exemplos:a) P6 = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720

b) Calcule o número de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de um banco retangular de cinco

lugares.P5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120

3 - Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma palavra, que podem ter ou nãosignificado na linguagem comum.

Exemplo:Os possíveis anagramas da palavra REI são:REI, RIE, ERI, EIR, IRE e IER.

PERMUTAÇÕES COM ELEMENTOS REPETIDOS

Se entre os n elementos de um conjunto, existem a elementos repetidos, b elementos repetidos, c elementos

repetidos e assim sucessivamente , o número total de permutações que podemos formar é dado por:



Exemplo:Determine o número de anagramas da palavra MATEMÁTICA.(não considere o acento)

Solução:Temos 10 elementos, com repetição. Observe que a letra M está repetida duas vezes, a letra A três , a letra Tduas vezes. Na fórmula anterior, teremos: n=10, a=2, b=3 e c=2. Sendo k o número procurado, podemos escrk= 10! / (2!.3!.2!) = 151200Resposta: 151200 anagramas.

ARRANJOS SIMPLES

1 - Dado um conjunto com n elementos , chama-se arranjo simples de taxa k , a todo agrupamento de k elemedistintos dispostos numa certa ordem. Dois arranjos diferem entre si, pela ordem de colocação dos elementosAssim, no conjunto E = {a,b,c}, teremos:a) arranjos de taxa 2: ab, ac, bc, ba, ca, cb.b) arranjos de taxa 3: abc, acb, bac, bca, cab, cba.

2 - Representando o número total de arranjos de n elementos tomados k a k (taxa k) por An,k , teremos a segufórmula:

Obs : é fácil perceber que An,n = n! = Pn . (Verifique)Exemplo:

Um cofre possui um disco marcado com os dígitos 0,1,2,...,9. O segredo do cofre é marcado por uma seqüêncde 3 dígitos distintos. Se uma pessoa tentar abrir o cofre, quantas tentativas deverá fazer(no máximo) paraconseguir abri-lo?

Solução:As seqüências serão do tipo xyz. Para a primeira posição teremos 10 alternativas, para a segunda, 9 e para aterceira, 8. Podemos aplicar a fórmula de arranjos, mas pelo princípio fundamental de contagem, chegaremosmesmo resultado:10.9.8 = 720.Observe que 720 = A10,3

COMBINAÇÕES SIMPLES

1 - Denominamos combinações simples de n elementos distintos tomados k a k (taxa k) aos subconjuntosformados por k elementos distintos escolhidos entre os n elementos dados. Observe que duas combinações sdiferentes quando possuem elementos distintos, não importando a ordem em que os elementos são colocados

Exemplo:No conjunto E= {a,b.c,d} podemos considerar:a) combinações de taxa 2: ab, ac, ad,bc,bd, cd.b) combinações de taxa 3: abc, abd,acd,bcd.

c) combinações de taxa 4: abcd.2 - Representando por Cn,k o número total de combinações de n elementos tomados k a k (taxa k) , temos aseguinte fórmula:

Nota: o número acima é também conhecido como Número binomial e indicado por:

Exemplo: ma prova consta

0 questões?U de 15 questões das quais o aluno deve resolver 10. De quantas formas epoderá escolher as 1 Solução:Observe que a ordem das questões não muda o teste. Logo, podemos concluir que trata-se de um problema d

combinação de 15 elementos com taxa 10.Aplicando simplesmente a fórmula chegaremos a:C 15! / [(15 10)! 10!] 15! / (5! 10!) 15 14 13 12 11 10! / 5 4 3 2 1 10! 3003



C = 15! / [(15 10)! 10!] = 15! / (5! 10!) = 15 14 13 12 11 10! / 5 4 3 2 1 10! = 3003

Agora que você viu o resumo da teoria, tente resolver os 3 problemas seguintes:

01 - Um coquetel é preparado com duas ou mais bebidas distintas. Se existem 7 bebidas distintas, quantoscoquetéis diferentes podem ser preparados?Resp: 120

02 - Sobre uma circunferência são marcados 9 pontos distintos. Quantos triângulos podem ser construídos comvértices nos 9 pontos marcados?Resp: 84

03 - Uma família com 5 pessoas possui um automóvel de 5 lugares. Sabendo que somente 2 pessoas sabemdirigir, de quantos modos poderão se acomodar para uma viagem?Resp: 48

Exercício resolvido: Um salão tem 6 portas. De quantos modos distintos esse salão pode estar aberto?

Solução:Para a primeira porta temos duas opções: aberta ou fechadaPara a segunda porta temos também, duas opções, e assim sucessivamente.Para as seis portas, teremos então, pelo Princípio Fundamental da Contagem - PFC:N = 2.2.2.2.2.2 = 64Lembrando que uma dessas opções corresponde a todas as duas portas fechadas, teremos então que o númeroprocurado é igual a 64 - 1 = 63.

Resposta: o salão pode estar aberto de 63 modos possíveis.

5. ARRANJOS E PERMUTAÇÕES

Fatorial de um número:

Definições especiais:

ades. possibilid242.3.4 lugar 3ºo paraades possibilid

2elugar 2ºo paraades possibilid3sobrandolugar,1ºo paraades possibilid4Existem:R

lugares? primeirostrêsos paraades possibilidassãoQuantasmundo.docampeões

dostorneioodisputamFlamengo)ePauloSãoSantos,(Grêmio,futeboldetimesQuatro3)

negativo.númeroumdefatorialexistenão pois,7:Resposta

-8x

7x

2

151

2

2251 056

56x 56))(1( 56)!1(

)!1)()(1( 56

)!1(

)!1(

.56)!1(

)!1( equaçãoaResolva2)

1020010100100100.101100!99

!99.100.101!99.100

!99

!101!100

.!99

!101!100 expressãodavalor oCalcule1)

2

2

=→

=

=

=⇒

±−=⇒

±−=⇒=−+⇒

⇒=+⇒=+⇒=−

−+⇒=

−

+

=−

+

=+=+=+

=+

+

x

x x x x

x x x x

x x x

x

x

x

x

0!=1

n!=n.(n-1).(n-



ARRANJO SIMPLES

)!(

!,

pn

n A pn

−=

40

17

80

34

872

202430

)!18(!8

)!29(!9

)!25(

!5

)!34(

!4

)!26(

!6

. Calcule)4

1,82,9

2,53,42,6

1,82,9

2,53,42,6

==+

−+=

−+

−

−−

−+

−=

+

−+

+

−+

A A

A A A

A A

A A A

números.3366.7.8!5

!5.6.7.8

!5

!8

)!38(

!81.

:entãos,disponívei

números8existemaindatrêsoutrosos parae(2),ade possibilidumaapenasexistealgarismo

primeirooPara3000).e2000entreestá(poisalgarismosquatroter devenúmeroO:R

9?e6,7,81,2,3,4,5,entreescolhidosdistintos

algarismos por formados3000e2000entredoscompreendinúmerosossãoQuantos6)

números.1366472é5 por divisíveisdenúmeroO:Resposta

números.648.8!7

!7.8.

!7

!7.8

!7

!8.

!7

!8

)!18(

!8.

)!18(

!8.1.

0).ser podealgarismosegundo(oades possibilid8existemtambémalgarismosegundo

o paraE).algarismos2denúmeroumseria(senão0comcomeçar podenãonúmeroo pois

ades, possibilid8aindaexistemalgarismo primeirooPara(5).ade possibilidumaapenasexiste

algarismoterceiroo para:5comterminam5 por divisíveisquantoscalculamosAgora

números.728.9!7

!7.8.9

!7

!9

)!29(

!91.

:é0comterminamque5 por divisíveisdenúmerooPortantos.disponíveinúmeros9existem

ainda primeirosdoisos parae(0),ade possibilid1apenasexistealgarismoterceirooPara

:0comterminamque5 por divisíveisdenúmeroocalcular vamos

ntePrimeirame5.comou0comterminar deveele5,divisívelser númeroumPara:R 5.POR DIVISÍVEISSEJAMc)

números.8!7

!7.8

!7

!8

)!18(

!81.1.

:ades possibilid8existemaindasegundooPara(5).ade possibilid1apenasexiste

tambémterceiroo parae(2),ade possibilid1apenasexistealgarismo primeirooPara:R

5.COMTERMINEME2COMCOMECEM b)

números.728.9!7

!7.8.9

!7

!9

)!29(

!91.

:sdisponíveinúmeros9existemaindadoisoutrosos parae(1)ade possibilid

1apenasexiste primeiroo paraquesendo,algarismosês possuir tr podenúmeroO:R

1.COMCOMECEMa)

:quemododerepetir,ossem),5,6,7,8,9(0,1,2,3,4decimalsistema

doalgarismosocomformar podemosdistintosalgarismos3denúmerosQuantos5)

3,8

1,81,8

2,9

1,8

2,9

====−

=

=+

====−−

=

→

====−

=

→

===−

=

====−

=

A

A A

A

A

A



)(

PERMUTAÇÃO SIMPLES

É um caso particular de arranjo simples. É o tipo de agrupamento ordenado onde entram todos os elementos.

!n P n =

maneiras.1152576576étotaloPortanto

maneiras.57624.24!4!.4.

:tambémtemos posição primeiranadamaumaColocando

maneiras.57624.24!4!.4.

:maneirasdetotalnúmerocomotemos posição primeiranacavalheiroumColocando

C-D-C-D-C-D-C-DouD-C-D-C-D-C-D-C

:issofazer demaneirasduasExistem:R damas.duasescavalheirodois juntosfiquemnãoqueforma

defila,numas,cavalheiro4edamas4dipostasser podemmaneirasquantasdeCalcule8)

anagramas.1201.2.3.4.5!5.1.1.1.1

:étotaloEntãoades. possibilid5existemletras5outrasas parae

(E),1existesótambémúltima parae(A),ade possibilid1existeletra primeiraaPara

E.comterminameAPOR COMEÇAM b)

anagramas.7201.2.3.4.5.6!6.1.1:étotaloEntãoades. possibilid6existem

letras6outrasas parae(A),ade possibilidumaapenasexisteletra primeiraaPara

A.POR COMEÇAMa)

:EDITORA palavradaanagramasQuantos8)

números.1201.2.3.4.5!5

8?e1,2,3,5 por formadosser podemdistintosalgarismos5denúmerosQuantos)7

44

44

5

6

5

=+

===

===

===

===

===

P P

P P

P

P

P



COMBINAÇÃO SIMPLES

É o tipo de agrupamento em que um grupo difere do outro apenas pela natureza dos elementoscomponentes.

)!(!

!,

pn p

nC pn

−

=

comissões.52515.352

30.

!3

210

!2!.4

!4.5.6.

!4!.3

!4.5.6.7

)!46(!4

!6.

)!37(!3

!7

.. produtooéresultadoO

-MOÇAS

-RAPAZES

moças?4erapazes

3comformar podemoscomissõesquantasmoças,6erapazes7comreunião Numa11)

saladas.detipos21024

5040

!4

5040

!4!.6

!6.7.8.9.10

)!610!.(6

!10

feitas?ser podem

diferentesespécies6contendosalada,detiposquantosfrutas,deespécies10Com10)

.Chaver podenão porquerespostaaénão 1:obs .5:Resposta

1''

5'

2

166 056

056 06

3323

026

22

0!2

)1.(!3

)2).(1.(

0)!2(!2

)!2).(1.(

)!3(!3

)!3).(2).(1.(

0)!2(!2

!

)!3(!3

!

.0equaçãoaResolver 9)

4,63,7

4,6

3,7

6,10

1,3

2

23223

2223

2,3,

====−−

====−

=

=

=

=

=⇒

±=⇒=+−

=+−⇒=+−+−

=−

−+−−

=−−−−

=−

−−−

−

−−−

=−

−−

=−

C C

C

C

C

mm

m

mmmm

mmmmmmmm

mmmmmm

mmmmm

m

mmm

m

mmmm

m

m

m

m

C C mm



SIMULADO DE RACIOCÍNIO LÓGICO

1) Sabe-se que existe pelo menos um A que é B.Sabe-se, também, que todo B é C. Segue-se,portanto, necessariamente quea) todo C é Bb) todo C é Ac) algum A é Cd) nada que não seja C é A

e) algum A não é C

2) Considere as seguintes premissas (onde X, Y, Z e Psão conjuntos não vazios):Premissa 1: "X está contido em Y e em Z, ou X estácontido em P"Premissa 2: "X não está contido em P"Pode-se, então, concluir que, necessariamentea) Y está contido em Zb) X está contido em Zc) Y está contido em Z ou em Pd) X não está contido nem em P nem em Ye) X não está contido nem em Y e nem em Z

3) Três rapazes e duas moças vão ao cinema edesejam sentar-se, os cinco, lado a lado, namesma fila. O número de maneiras pelas quais elespodem distribuir-se nos assentos de modo que asduas moças fiquem juntas, uma ao lado da outra, éigual aa) 2b) 4c) 24d) 48e) 120

4) De um grupo de 200 estudantes, 80 estão

matriculados em Francês, 110 em Inglês e 40 nãoestão matriculados nem em Inglês nem em Francês.Seleciona-se, ao acaso, um dos 200 estudantes. Aprobabilidade de que o estudante selecionado estejamatriculado em pelo menos uma dessas disciplinas(isto é, em Inglês ou em Francês) é igual aa) 30/200b) 130/200c) 150/200d) 160/200e) 190/200

5) Uma herança constituída de barras de ouro foitotalmente dividida entre três irmãs: Ana, Beatriz eCamile. Ana, por ser a mais velha, recebeu a metadedas barras de ouro, e mais meia barra. Após Ana terrecebido sua parte, Beatriz recebeu a metade do quesobrou, e mais meia barra. Coube a Camile o restanteda herança, igual a uma barra e meia. Assim, onúmero de barras de ouro que Ana recebeu foi:a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5

6) Chama-se tautologia a toda proposição que é

sempre verdadeira, independentemente daverdade dos termos que a compõem. Um exemplo detautologia é:

b) se João é alto, então João é alto e Guilherme égordoc) se João é alto ou Guilherme é gordo, entãoGuilherme é gordod) se João é alto ou Guilherme é gordo, então João éalto e Guilherme é gordoe) se João é alto ou não é alto, então Guilherme é

gordo

7) Sabe-se que a ocorrência de B é condiçãonecessária para a ocorrência de C e condiçãosuficiente para a ocorrência de D. Sabe-se, também,que a ocorrência de D é condição necessária esuficiente para a ocorrência de A. Assim, quando Cocorre,a) D ocorre e B não ocorreb) D não ocorre ou A não ocorrec) B e A ocorremd) nem B nem D ocorreme) B não ocorre ou A não ocorre

8) Se Frederico é francês, então Alberto não éalemão. Ou Alberto é alemão, ou Egídio éespanhol. Se Pedro não é português, então Fredericoé francês. Ora, nem Egídio é espanhol nem Isaura éitaliana. Logo:a) Pedro é português e Frederico é francêsb) Pedro é português e Alberto é alemãoc) Pedro não é português e Alberto é alemãod) Egídio é espanhol ou Frederico é francêse) Se Alberto é alemão, Frederico é francês

9) Se Luís estuda História, então Pedro estudaMatemática. Se Helena estuda Filosofia, então Jorge

estuda Medicina. Ora, Luís estuda História ou Helenaestuda Filosofia. Logo, segue-se necessariamenteque:a) Pedro estuda Matemática ou Jorge estuda Medicinab) Pedro estuda Matemática e Jorge estuda Medicinac) Se Luís não estuda História, então Jorge nãoestuda Medicinad) Helena estuda Filosofia e Pedro estuda Matemáticae) Pedro estuda Matemática ou Helena não estudaFilosofia

10) Maria tem três carros:um Gol, um Corsa e um Fiesta.Um dos carros é branco, o outro é preto, e o outro éazul.Sabe-se que:1) ou o Gol é branco, ou o Fiesta é branco,2) ou o Gol é preto, ou o Corsa é azul,3) ou o Fiesta é azul, ou o Corsa é azul,4) ou o Corsa é preto, ou o Fiesta é preto. Portanto,as cores do Gol, do Corsa e do Fiesta são,respectivamente,a) branco, preto, azulb) preto, azul, brancoc) azul, branco, pretod) preto, branco, azule) branco, azul, preto



) J ã é lt tã J ã é lt G ilh é

GABARITO

1) C2) B3) D

4) D5) E6) A

7) C8) B9) A

10) E

SIMULADO 02

01. O economista José Júlio Senna estima que em1998 o déficit em conta corrente do país será de US$40 bilhões, mas, no próximo ano, devido à reduçãodas importações, esse déficit diminuirá em US$ 12bilhões. No entanto, em 1999, o país deverá pagarUS$ 29 bilhões em amortizações. Nessas condições,mesmo supondo que entrem US$ 17 bilhões eminvestimentos diretos e US$ 15 bilhões para fi-nanciar as importações, ainda faltarão para o paísequilibrar suas contas uma quantia em dólares igualaa)

b) c) d) e)

a) b) c) d) e)

a) b) c) d) e)

a) b) c) d) e)

a) b) c) d) e)

a)

b) c) d) e)

a) b)

c) d) e)

1 bilhão

13 bilhões25 bilhões29 bilhões32 bilhões

02. Numa sala estão 100 pessoas, todas elas commenos de 80 anos de idade. É FALSO afirmar quepelo menos duas dessas pessoas

nasceram num mesmo ano.nasceram num mesmo mês.nasceram num mesmo dia da semana.nasceram numa mesma hora do dia.têm 50 anos de idade.

03. Com 1.260 kg de matéria prima uma fábricapode produzir 1.200 unidades diárias de certo artigodurante 7 dias. Nessas condições, com 3.780 kg dematéria prima, por quantos dias será possívelsustentar uma produção de 1.800 unidades diáriasdesse artigo?

14121097

04. Alberto recebeu R$ 3.600,00, mas dessedinheiro deve pagar comissões a Bruno e a Carlos.

Bruno deve receber 50% do que restar após serdescontada a parte de Carlos e este deve receber20% do que restar após ser descontada a parte deBruno. Nessas condições, Bruno e Carlos devemreceber, respectivamente,

1.800 e 720 reais.1.800 e 360 reais.1.600 e 400 reais.1.440 e 720 reais.1.440 e 288 reais.

05. Para entrar na sala da diretoria de uma empresaé preciso abrir dois cadeados. Cada cadeado é

aberto por meio de uma senha. Cada senha éconstituída por 3 algarismos distintos. Nessascondições, o número máximo de tentativas paraabrir os cadeados é

518.4001.44072012054

06. Somando-se parcelas iguais a 5 ou a 8 é possívelobter como resultado quase todos os números

inteiros positivos. Exemplos: 32 = 8 + 8 + 8 + 8; 33= (5 + 8) + (5 + 5 + 5 + 5).O maior número que NÃO pode ser obtido dessamaneira éa) 130b) 96c) 29d) 27e) 22

07. São lançadas 4 moedas distintas e não viciadas.Qual é a probabilidade de resultar exatamente 2caras e 2 coroas?

25%

37,5%42%44,5%50%

08. Numa loja de roupas, um terno tinha um preçotão alto que ninguém se interessava em comprá-lo.O gerente da loja anunciou um des-conto de 10% nopreço, mas sem resultado. Por isso, ofereceu novodesconto de 10%, o que baixou o preço para R$648,00. O preço inicial desse terno era superior aopreço final em

R$ 162,00R$ 152,00

R$ 132,45R$ 71,28R$ 64,00

09. Numa ilha há apenas dois tipos de pessoas: asque sempre falam a verdade e as que semprementem. Um explorador contrata um ilhéu chamadoX para servir-lhe de intérprete. Ambos encontramoutro ilhéu, chamado Y, e o explorador lhe perguntase ele fala a verdade. Ele responde na sua língua e ointérprete diz - Ele disse que sim, mas ele pertenceao grupo dos mentirosos. Dessa situação é corretoconcluir que

Raciocínio Lógico 37



a) b) c) d) e)

a) b) c) d) e)

a) b) c) d)

e)

a) b) c)

d) e)

a) b) c) d) e)

a) b) c)

d) e)

a)

b) c) d) e)

a)

b)

c)

d)

e)

Y fala a verdade.a resposta de Y foi NÃO.ambos falam a verdade.ambos mentem.X fala a verdade.

10. Se 1 hectare corresponde à área de umquadrado com 100 m de lado, então expressando-sea área de 3,6 hectares em quilômetros quadradosobtém-se

3.600360,360,0360,0036

11. Sabe-se que existe pelo menos um A que é B.Sabe-se, também, que todo B é C. Segue-se,portanto, necessariamente que

todo C é Btodo C é Aalgum A é Cnada que não seja C é A

algum A não é C12. Considere as seguintes premissas (onde X, Y, Ze P são conjuntos não vazios):

Premissa 1: ''X está contido em Y e em Z, ou X estácontido em P''

Premissa 2: ''X não está contido em P''Pode-se, então, concluir que, necessariamente

Y está contido em ZX está contido em ZY está contido em Z ou em P

X não está contido nem em P nem em YX não está contido nem em Y e nem em Z

13. Se o jardim não é florido, então o gato mia. Se o jardim é florido, então o passarinho não canta. Ora,o passarinho canta. Logo:

jardim é florido e o gato mia jardim é florido e o gato não mia jardim não é florido e o gato mia jardim não é florido e o gato não miase o passarinho canta, então o gato não mia

14. Um crime foi cometido por uma e apenas umapessoa de um grupo de cinco suspeitos: Armando,

Celso, Edu, Juarez e Tarso. Perguntados sobre quemera o culpado, cada um deles respondeu:Armando: ''Sou inocente''Celso: ''Edu é o culpado''Edu: ''Tarso é o culpado''Juarez: ''Armando disse a verdade''Tarso: ''Celso mentiu''Sabendo-se que apenas um dos suspeitos mentiu eque todos os outros disseram a verdade, pode-seconcluir que o culpado é:

ArmandoCelsoEdu

JuarezTarso

15. Três rapazes e duas moças vão ao cinema edesejam sentar-se, os cinco, lado a lado, na mesmafila. O número de maneiras pelas quais eles podemdistribuir-se nos assentos de modo que as duasmoças fiquem juntas, uma ao lado da outra, é igualaa) 2b) 4c) 24d) 48e) 120

16. De um grupo de 200 estudantes, 80 estãomatriculados em Francês, 110 em Inglês e 40 nãoestão matriculados nem em Inglês nem em Francês.Seleciona-se, ao acaso, um dos 200 estudantes. Aprobabilidade de que o estudante selecionado estejamatriculado em pelo menos uma dessas disciplinas(isto é, em Inglês ou em Francês) é igual a

30/200

130/200150/200160/200190/200

17. Uma herança constituída de barras de ouro foitotalmente dividida entre três irmãs: Ana, Beatriz eCamile. Ana, por ser a mais velha, recebeu a metadedas barras de ouro, e mais meia barra. Após Ana terrecebido sua parte, Beatriz recebeu a metade do quesobrou, e mais meia barra. Coube a Camile orestante da herança, igual a uma barra e meia.Assim, o número de barras de ouro que Ana recebeufoi:

a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5

18. Chama-se tautologia a toda proposição que ésempre verdadeira, independentemente da verdadedos termos que a compõem. Um exemplo detautologia é:

se João é alto, então João é alto ou Guilherme égordose João é alto, então João é alto e Guilherme égordo

se João é alto ou Guilherme é gordo, entãoGuilherme é gordose João é alto ou Guilherme é gordo, então Joãoé alto e Guilherme é gordose João é alto ou não é alto, então Guilherme égordo

19. Sabe-se que a ocorrência de B é condiçãonecessária para a ocorrência de C e condiçãosuficiente para a ocorrência de D. Sabe-se, também,que a ocorrência de D é condição necessária esuficiente para a ocorrência de A. Assim, quando Cocorre,

38



a) b) c) d) e)

a) b) c) d) e)

a)

b)

c)

d)

a)

b)

c)

d)

a) b) c) d)

a)

D ocorre e B não ocorreD não ocorre ou A não ocorre B e A ocorrem nem B nem D ocorrem B não ocorre ou A não ocorre

20. Dizer que ''Pedro não é pedreiro ou Paulo épaulista'' é, do ponto de vista lógico, o mesmo quedizer que:

se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulistase Paulo é paulista, então Pedro é pedreiro se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista se Pedro não é pedreiro, então Paulo não épaulista.

GABARITO

01-C | 02-E | 03-A | 04-C | 05-B | 06-D | 07-B | 08-B | 09-E | 10-D11-C | 12-B | 13-C | 14-E | 15-D | 16-D | 17-E | 18-A | 19-C | 20-A

SIMULADO 03

01. Com a promulgação de uma nova lei, umdeterminado concurso deixou de ser realizado pormeio de provas, passando a análise curricular a ser oúnico material para aprovação dos candidatos. Neste

caso, todos os candidatos seriam aceitos, casopreenchessem e entregas-sem a ficha de inscrição etivessem curso superior, a não ser que não tivessemnascido no Brasil e/ou tivessem idade superior a 35anos.José preencheu e entregou a ficha de inscrição epossuía curso superior, mas não passou noconcurso.Considerando o texto acima e suas restrições, qualdas alternativas abaixo, caso verdadeira, criaria umacontradição com a desclassificação de José ?

José tem menos de 35 anos e preencheu a fichade inscrição corretamente.José tem mais de 35 anos, mas nasceu no Brasil.

José tem menos de 35 anos e curso superiorcompleto.José tem menos de 35 anos e nasceu no Brasil.

02. Uma rede de concessionárias vende somentecarros com motor 1.0 e 2.0. Todas as lojas da redevendem carros com a opção dos dois motores,oferecendo, também, uma ampla gama de opcionais.Quando comprados na loja matriz, carros com motor1.0 possuem somente ar-condicionado, e carros commotor 2.0 têm sempre ar-condicionado e direçãohidráulica. O Sr. Asdrubal comprou um carro com ar-condicionado e direção hidráulica em uma loja darede.

Considerando-se verdadeiras as condições do textoacima, qual das alternativas abaixo precisa serverdadeira quanto ao carro comprado pelo Sr.Asdrubal?

Caso seja um carro com motor 2.0, a compranão foi realizada na loja matriz da rede.Caso tenha sido comprado na loja matriz, é umcarro com motor 2.0.É um carro com motor 2.0 e o Sr. Asdrubal nãoo comprou na loja matriz.Sr. Antônio comprou, com certeza, um carrocom motor 2.0.

03. Em uma viagem de automóvel, dois amigospartem com seus carros de um mesmo ponto nacidade de São Paulo. O destino final é Maceió, emAlagoas, e o trajeto a ser percorrido também é o

mesmo para os dois. Durante a viagem eles fazemdez paradas em postos de gasolina parareabastecimento dos tanques de gasolina. Na décimaparada, ou seja, a última antes de atingirem oobjetivo comum, a média de consumo dos doiscarros é exatamente a mesma. Considerando queamanhã os dois sairão ao mesmo tempo epercorrerão o último trecho da viagem até o mesmoponto na cidade de Maceió, podemos afirmar que:I - Um poderá chegar antes do outro e, mesmoassim manterão a mesma média de consumo.II - Os dois poderão chegar ao mesmo tempo e,mesmo assim manterão a mesma média deconsumo.

III - O tempo de viagem e o consumo decombustível entre a paradas pode ter sido diferentepara os dois carros.

Somente a hipótese (I) está correta.Somente a hipótese (II) está correta.Somente a hipótese (III) está correta.As hipóteses (I), (II) e (III) estão corretas.

04. Vislumbrando uma oportunidade na empresa emque trabalha, o Sr. Joaquim convidou seu chefe para

jantar em sua casa. Ele preparou, junto com suaesposa, o jantar perfeito que seria servido em umamesa retangular de seis lugares - dois lugares decada um dos lados opostos da mesa e as duas

cabeceiras, as quais ficariam vazias. No dia do jantar, o Sr. Joaquim é surpreendido pela presençada filha de seu chefe junto com ele e a esposa,sendo que a mesa que havia preparado esperavaapenas quatro pessoas. Rapidamente a esposa doSr. Joaquim reorganizou o arranjo e acomodou maisum prato à mesa e, ao sentarem, ao em vez de asduas cabeceiras ficarem vazias, uma foi ocupadapelo Sr. Joaquim e a outra pelo seu chefe.Considerando-se que o lugar vago não ficou perto doSr. Joaquim, perto de quem, com certeza, estava olugar vago?

Perto do chefe do Sr. Joaquim.

39



b) c) d)

a) b) c) d)

a)

b)

c)

d)

a)

b)

c)

d)

a) b) c) d)

a) b) c) d)

a)

b)

c)

d)

a) b)

c) d) e)

a) b) c)

Perto da esposa do chefe do Sr. Joaquim.Perto da filha do chefe do Sr. Joaquim.Perto da esposa do Sr. Joaquim.

05. Uma companhia de ônibus realiza viagens entreas cidades de Corumbá e Bonito. Dois ônibus saemsimultaneamente, um de cada cidade, parapercorrerem o mesmo trajeto em sentido oposto. Oônibus 165 sai de Corumbá e percorre o trajeto auma velocidade de 120 km/h. Enquanto isso, o 175sai de Bonito e faz a sua viagem a 90 km/h.Considerando que nenhum dos dois realizounenhuma parada no trajeto, podemos afirmar que:I - Quando os dois se cruzarem na estrada, o ônibus175 estará mais perto de Bonito do que o 165.II - Quando os dois se cruzarem na estrada, oônibus 165 terá andado mais tempo do que o 175.

Somente a hipótese (I) está errada.Somente a hipótese (II) está errada.Ambas as hipóteses estão erradas.Nenhuma das hipóteses está errada.

06. Stanislaw Ponte Preta disse que ''a prosperidade

de alguns homens públicos do Brasil é uma provaevidente de que eles vêm lutando pelo progresso donosso subdesenvolvimento.''. Considerando que aprosperidade em questão está associada àcorrupção, podemos afirmar que esta declaraçãoestá intimamente ligada a todas as alternativasabaixo, EXCETO:

nível de corrupção de alguns homens públicospode ser medido pelo padrão de vida que levam.A luta pelo progresso do subdesenvolvimento doBrasil está indiretamente relacionada àcorrupção dos políticos em questão.A luta pelo progresso do subdesenvolvimento doBrasil está diretamente relacionada à corrupção

dos políticos em questão.progresso de nosso subdesenvolvimento podeser muito bom para alguns políticos.

07. Em uma empresa, o cargo de chefia só pode serpreenchido por uma pessoa que seja pós-graduadaem administração de empresas. José ocupa umcargo de chefia, mas João não. Partindo desseprincípio, podemos afirmar que:

José é pós-graduado em administração deempresas e João também pode ser.José é pós-graduado em administração deempresas, mas João, não.José é pós-graduado em administração de

empresas e João também.José pode ser pós-graduado em administraçãode empresas, mas João, não.

08. Três amigos - Antônio, Benedito e Caetano -adoram passear juntos. O problema é que elesnunca se entendem quanto ao caminho que deve serseguido. Sempre que Antônio quer ir para aesquerda, Benedito diz que prefere a direita. Jáentre Antônio e Caetano, um sempre quer ir para aesquerda, mas nunca os dois juntos. Fica ainda maiscomplicado, pois Benedito e Caetano também nuncaquerem ir para a direita ao mesmo tempo. Se

considerarmos um passeio com várias bifurcações,o(s) único(s) que pode(m) ter votado esquerda edireita respectivamente, nas duas últimasbifurcações, é ou são:

Antônio.Benedito.Caetano.Antônio e Caetano.

09. Em um concurso para fiscal de rendas, dentre os50 candidatos de uma sala de provas, 42 sãocasados. Levando em consideração que as únicasrespostas à pergunta ''estado civil'' são ''casado'' ou''solteiro'', qual o número mínimo de candidatosdessa sala a que deveríamos fazer essa perguntapara obtermos, com certeza, dois representantes dogrupo de solteiros ou do grupo de casados?

03092126

10. Em uma viagem ecológica foram realizadas três

caminhadas. Todos aqueles que participaram dastrês caminhadas tinham um espírito realmenteecológico, assim como todos os que tinham umespírito realmente ecológico participaram das trêscaminhadas. Nesse sentido, podemos concluir que:

Carlos participou de duas das três caminhadas,mas pode ter um espírito realmente ecológico.Como Pedro não participou de nenhuma das trêscaminhadas ele, é antiecológico.Aqueles que não participaram das trêscaminhadas não têm um espírito realmenteecológico.Apesar de ter participado das três caminhadas,Renata tem um espírito realmente ecológico.

11. O economista José Júlio Senna estima que em1998 o déficit em conta corrente do país será de US$40 bilhões, mas, no próximo ano, devido à reduçãodas importações, esse déficit diminuirá em US$ 12bilhões. No entanto, em 1999, o país deverá pagarUS$ 29 bilhões em amortizações. Nessas condições,mesmo supondo que entrem US$ 17 bilhões eminvestimentos diretos e US$ 15 bilhões parafinanciar as importações, ainda faltarão para o paísequilibrar suas contas uma quantia em dólares iguala:

32 bilhões29 bilhões

25 bilhões13 bilhões1 bilhão

12. Considere o seguinte texto de jornal:''O ministro X anunciou um corte de verbas de 2,43bilhões de dólares, o que corresponde a umaeconomia equivalente a 0,3% do PIB.''Dessa informação deduz-se que o PIB do país,expresso em dólares, é

890 000 000 000810 000 000 000128 600 000 000

40



d) e)

a) b) c) d) e)

a) b) c) d) e)

a) b) c) d) e)

a) b) c) d) e)

a) b) c) d) e)

a) b) c) d) e)

a) b) c) d) e)

a) b) c) d) e)

a) b) c) d) e)

810 000 000128 600 000

13. Numa sala estão 100 pessoas, todas elas commenos de 80 anos de idade. É FALSO afirmar quepelo menos duas dessas pessoas

têm 50 anos de idade.nasceram num mesmo ano.nasceram num mesmo mês.nasceram num mesmo dia da semana.nasceram numa mesma hora do dia.

14. São lançadas 4 moedas distintas e não viciadas.Qual é a probabilidade de resultar exatamente 2caras e 2 coroas?

50%44,5%42%37,5%25%

15. Com 1 260 kg de matéria prima uma fábricapode produzir 1 200 unidades diárias de certo artigo

durante 7 dias. Nessas condições, com 3 780 kg dematéria prima, por quantos dias será possívelsustentar uma produção de 1 800 unidades diáriasdesse artigo?

79101214

16. Alberto recebeu R$ 3 600,00, mas dessedinheiro deve pagar comissões a Bruno e a Carlos.Bruno deve receber 50% do que restar após serdescontada a parte de Carlos e este deve receber

20% do que restar após ser descontada a parte deBruno. Nessas condições, Bruno e Carlos devemreceber, respectivamente,

1 440 e 288 reais.1 440 e 720 reais.1 600 e 400 reais.1 800 e 360 reais.1 800 e 720 reais.

17. Quatro pessoas querem trocar presentes. Onome de cada pessoa é escrito em um papelzinho ecolocado numa caixa. Depois, cada uma das pessoassorteia um papelzinho para saber quem ela irápresentear. A chance de as quatro pessoassortearem seus próprios nomes é de

1 em 32 em 71 em 41 em 81 em 16

18. Somando-se parcelas iguais a 5 ou a 8 é possívelobter como resultado quase todos os númerosinteiros positivos. Exemplos: 32 = 8 + 8 + 8 + 8; 33= (5 + 8) + (5 + 5 + 5 + 5).O maior número que NÃO pode ser obtido dessamaneira é

22272996130

19. Se 1 hectare corresponde à área de umquadrado com 100 m de lado, então expressando-sea área de 3,6 hectares em quilômetros quadradosobtém-se

0,00360,0360,36363600

20. Um atleta faz um treinamento cuja primeiraparte consiste em sair de casa e correr em linha retaaté certo local à velocidade de 12 km/h. Depois, sem

intervalo, ele retorna andando a 8 km/h. Se o tempogasto nesse treinamento foi exatamente 3 horas, otempo em que ele correu superou o tempo em quecaminhou em

15 minutos.22 minutos.25 minutos.30 minutos.36 minutos.

GABARITO

01-D | 02-B | 03-D | 04-A | 05-C | 06-B | 07-A | 08-B | 09-A | 10-C11-D | 12-E | 13-E | 14-A | 15-C | 16-B | 17-D | 18-B | 19-B | 20-D

SIMULADO 04

01 (ESAF/AFTN/96) - Três amigas, Tânia, Janete eAngélica, estão sentadas lado a lado em um teatro.Tânia sempre fala a verdade; Janete às vezes fala averdade; Angélica nunca fala a verdade. A que estásentada à esquerda diz: "Tânia é quem está sentadano meio". A que está sentada no meio diz: "Eu souJanete". Finalmente, a que está sentada à direitadiz: "Angélica é quem está sentada no meio". A queestá sentada à esquerda, a que está sentada no

meio e a que está sentada à direita são,respectivamente:

Janete, Tânia e AngélicaJanete, Angélica e TâniaAngélica, Janete e TâniaAngélica, Tânia e JaneteTânia, Angélica e Janete

41



02 (ESAF/AFTN/96) - José quer ir ao cinema assistirao filme "Fogo contra Fogo" , mas não tem certezase o mesmo está sendo exibido. Seus amigos, Maria,Luís e Júlio têm opiniões discordantes sobre se ofilme está ou não em cartaz. Se Maria estiver certa,então Júlio está enganado. Se Júlio estiverenganado, então Luís está enganado. Se Luís estiverenganado, então o filme não está sendo exibido.Ora, ou o filme "Fogo contra Fogo" está sendoexibido, ou José não irá ao cinema. Verificou-se queMaria está certa. Logo:o filme "Fogo contra Fogo" está sendo exibidoa) b) c) d)

a) b) c) d) e)

a) b) c) d) e)

a) b) c) d) e)

a) b) c) d) e)

a)

b)

c)

d)

e)

a) b) c) d) e)

a) b) c) d) e)

Luís e Júlio não estão enganadosJúlio está enganado, mas não LuísLuís está engando, mas não JúlioJosé não irá ao cinema

03 (ESAF/AFTN/96) - De todos os empregados deuma grande empresa, 30% optaram por realizar umcurso de especialização. Essa empresa tem suamatriz localizada na capital. Possui, também, duafiliais, uma em Ouro Preto e outra em Montes Claros.Na matriz trabalham 45% dos empregados e na filial

de Ouro Preto trabalham 20% dos empregados.sabendo-se que 20% dos empregados da capitaloptaram pela realização do curso e que 35% dosempregados da filial de Ouro Preto também ofizeram, então a percentagem dos empregados dafilial de Montes Claros que não optaram pelo curso éigual a:

60%40%35%21%14%

04 (ESAF/AFTN/96) - Se Nestor disse a verdade,

Júlia e Raul mentiram. Se Raul mentiu, Lauro falou averdade. Se Lauro falou a verdade, há um leão feroznesta sala. Ora, não há um leão feroz nesta sala.Logo:

Nestor e Júlia disseram a verdadeNestor e Lauro mentiramRaul e Lauro mentiramRaul mentiu ou Lauro disse a verdadeRaul e Júlia mentiram

05 (ESAF/AFTN/96) - Os carros de Artur, Bernardoe Cesar são, não necessariamente nesta ordem, umaBrasília, uma Parati e um Santana. Um dos carros écinza, um outro é verde, e o outro é azul. O carro de

artur é cinza; o carro de Cesar é o Santana; o carrode Bernardo não é verde e não é a Brasília. As coresda Brasília, da Parati e do Santana são,respectivamente:

cinza, verde e azulazul, cinza e verdeazul, verde e cinzacinza, azul e verdeverde, azul e cinza

06 (ESAF/AFTN/96) - Sabe-se que na equipe do XFutebol Clube (XFC) há um atacante que sempremente, um zagueiro que sempre fala a verdade e um

meio-campista que às vezes fala a verdade e àsvezes mente. Na saída do estádio, dirigindo-se a umtorcedor que não sabia o resultado do jogo queterminara, um deles declarou "Foi empate", osegundo disse "Não foi empate" e o terceiro falou"Nós perdemos". O torcedor reconheceu somente omeio-campista mas pôde deduzir o resultado do jogocom certeza. A declaração do meio-campista e oresultado do jogo foram, respectivamente:

"Foi empate"/ o XFC venceu"Não foi empate"/ empate"Nós perdemos / o XFC perdeu"Não foi empate" / o XFC perdeu"Foi empate" / empate

07 (ESAF/AFTN/96) - Em um laboratório deexperiências veterinárias foi observado que o temporequerido para um coelho percorrer um labirinto, naenésima tentativa, era dado pela função C(n) =(3+12/n) minutos. Com relação a essa experiênciapode-se afirmar, então, que um coelho:

consegue percorrer o labirinto em menos de trêsminutos

gasta cinco minutos e quarenta segundos parapercorrer o labirinto na quinta tentativagasta oito minutos para percorrer o labirinto naterceira tentativapercorre o labirinto em quatro minutos nadécima tentativapercorre o labirinto numa das tentativas, em trêsminutos e trinta segundos

08 (ESAF/AFTN/96) - O salário mensal de umvendedor é constituído de uma parte fixa igual a R$2.300,00 e mais uma comissão de 3% sobre o totalde vendas que exceder a R$ 10.000,00. Calcula-seem 10% o percentual de descontos diversos que

incidem sobre seu salário bruto. Em dois mesesconsecutivos, o vendedor recebeu, líquido,respectivamente, R$ 4.500,00 e R$ 5.310,00. Comesses dados, pode-se afirmar que suas vendas nosegundo mês foram superiores às do primeiro mêsem:

18%20%30%33%41%

09 (ESAF/AFTN/96) - Em determinado país existemdois tipos de poços de petróleo, Pa e Pb. Sabe-se

que oito poços Pa mais seis poços Pb produzem emdez dias tantos barris quanto seis poços Pa mais dezpoços Pb produzem em oito dias. A produção dopoço Pa, portanto, é:

60,0% da produção do poço Pb60,0% maior do que a produção do poço Pb62,5% da produção do poço Pb62,5% maior do que a produção do poço Pb75,0% da produção do poço Pb

10 (ESAF/AFTN/96) - Uma ferrovia será construídapara ligar duas cidades C1 eC2, sendo que estaúltima localiza-se a vinte quilômetros ao sul de C1.

42



No entanto, entre essas duas cidades, existe umagrande lagoa que impede a construção da ferroviaem linha reta. Para contornar a lagoa, a estradadeverá ser feita em dois trechos, passando pelacidade C3, que está a dezesseis quilômetros a lestee dezoito quilômetros ao sul de C1. O comprimento,em quilômetros, do trecho entre a cidade C3 e acidade C2 é igual a:

a) b) c) d) e)

2 / Ö 5Ö 5 / 24 / Ö 52 Ö 54 Ö 5

11 (ESAF/AFTN/98) - Considere as afirmações: A) sePatrícia é uma boa amiga, Vítor diz a verdade; B) seVítor diz a verdade, Helena não é uma boa amiga;C) se Helena não é uma boa amiga, Patrícia é umaboa amiga. A análise do encadeamento lógico dessastrês afirmações permite concluir que elas:a) implicam necessariamente que Patrícia é uma boaamiga

b) são consistentes entre si, quer Patrícia seja umaboa amiga, quer Patrícia não seja uma boa amigac) implicam necessariamente que Vítor diz a verdadee que Helena não é uma boa amigad) são equivalentes a dizer que Patrícia é uma boaamigae) são inconsistentes entre si

12 (ESAF/AFTN/98) - Indique qual das opçõesabaixo é verdadeira.a) Para algum número real x, tem-se que x < 4 eque x2 + 5x = 0b) Para todo número real y, tem-se que y < 3 e quey > 2

c) Para todo número real positivo x, tem-se que x2

>xd) Para algum número real k, tem-se que k > 5 eque k2 – 5k = 0e) Para algum número real x, tem-se que x < 4 eque x > 5

13 (ESAF/AFTN/98) - O valor de y para o qual aexpressão trigonométrica:(cosx + senx)2 + y senx cosx - 1 = 0representa uma identidade é:a) 0b) -2c) -1

d) 2e) 1

14 (ESAF/AFTN/98) - Sejam as matrizes

0 1A =1 0

3/5 -7/8B =

4/7 25/4

0 0C =

3/7 -29/4

e seja x a soma dos elementos da segunda coluna damatriz transposta de Y. Se a matriz Y é dada por Y =(AB) + C, então o valor de x é:

a) - 7/8b) 4/7c) 0d) 1e) 2

15 (ESAF/AFTN/98) - Há três suspeitos de um crime:o cozinheiro, a governanta e o mordomo. Sabe-seque o crime foi efetivamente cometido por um oupor mais de um deles, já que podem ter agidoindividualmente ou não. Sabe-se, ainda, que: A) seo cozinheiro é inocente, então a governanta é

culpada; B) ou o mordomo é culpado ou agovernanta é culpada, mas não os dois; C) omordomo não é inocente. Logo:

a) a governanta e o mordomo são os culpadosb) somente o cozinheiro é inocentec) somente a governanta é culpadad) somente o mordomo é culpadoe) o cozinheiro e o mordomo são os culpados

16 (ESAF/AFTN/98) - Em uma cidade, 10% daspessoas possuem carro importado. Dez pessoasdessa cidade são selecionadas, ao acaso e comreposição. A probabilidade de que exatamente 7 das

pessoas selecionadas possuam carro importado é:a) 120 (0,1)7 (0,9)3 b) (0,1)3 (0,9)7 c) 120 (0,1)7 (0,9)d) 120 (0,1) (0,9)7 e) (0,1)7 (0,9)3

17 (ESAF/AFTN/98) - Uma empresa possui 20funcionários, dos quais 10 são homens e 10 sãomulheres. Desse modo, o número de comissões de 5pessoas que se pode formar com 3 homens e 2mulheres é:

a) 1650

b) 165c) 5830d) 5400e) 5600

18 (ESAF/AFTN/98) - Sejam três retas: a reta R1 queé a bissetriz do primeiro quadrante; a reta R2 que éa bissetriz do quarto quadrante e a reta R3 que édada pela equação x = 1. A área, em cm2, dotriângulo cujos lados coincidem com essas três retasé:a) 1,5b) 0,5

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c) 1d) 2e) 2,5

19 (ESAF/AFTN/98) - Em um triângulo retângulo, umdos catetos forma com a hipotenusa um ângulo de450. Sendo a área do triângulo igual a 8 cm2, entãoa soma das medidas dos catetos é igual a:a) 8 cm2 b) 4 cmc) 8 cmd) 16 cm2 e) 16 cm

20- Um trapézio ABCD possui base maior igual a 20cm, base menor igual a 8 cm e altura igual a 15 cm.Assim, a altura, em cm, do triângulo limitado pelabase menor e o prolongamento dos lados nãoparalelos do trapézio é igual a:

a) 7b) 5c) 17

d) 10e) 12

GABARITO

01-B 02-E 03-A 04-B 05-D 06-A 07-E 08-C 09-C 10-D11-B 12-A 13-B 14-C 15-E 16-A 17-D 18-C 19-C 20-D

44

2. Raciocinio Logico

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