Raciocínio Lógico - Prof. Marcos Duarte

CURSO EM PDF – RACIOCÍNIO LÓGICO - FCC Prof. Marcos Duarte

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APRESENTAÇÃO

Amigos a amigas concurseiros, sou o professor Marcos Duarte, sou Fiscal de Rendas da Prefeitura da Cidade do Rio de Janeiro (PCRJ), e exerço minhas funções no Imposto sobre Serviços de Qualquer Natureza (ISS). Sou também professor de Legislação Tributária Municipal, referente ao ISS. Sou formado pela Escola Naval, e resolvi dar um novo rumo em minha vida, mais precisamente quanto a poder planejar meu tempo.

Antes de iniciar a aula, darei um breve comentário sobre nossa matéria.

De uns tempos para cá, todas as bancas de concurso público passaram a dar uma atenção maior para esta matéria. E o motivo é simples: RLM ajuda em muito a desenvolver a capacidade de resolver problemas, e não somente os matemáticos. Para vocês terem um exemplo, as provas de Fiscais de Rendas e Auditores-Fiscais, muitas vezes, acabam aprovando uma grande quantidade de engenheiros. E por quê? Pelo fato de as questões poderem ser resolvidas por exclusão de alternativas, sem precisar, necessariamente, saber a resposta correta. E é assim que funciona a cabeça de um engenheiro, muitas vezes, por exclusão.

Ou seja, as pessoas com formação em engenharia conseguem resolver as questões com certa facilidade, sendo elas envolvendo números ou Direito. E aqui, meus amigos e amigas, será o meu dever: descomplicar as questões para facilitá-los nas resoluções.

Para isso, o curso será feito abordando questões de RLM, utilizando as últimas provas realizadas pela Fundação Carlos Chagas. Pelo que percebi nos anos de estudo, RLM é o tipo de matéria em que o mais importante não é saber a teoria, mas sim ter a capacidade de desenvolver a questão o mais rápido o possível.

Antes de resolver cada questão, colocarei o assunto a ser tratado, para que cada um, dentro do descrito em edital, estude o que queira. Em alguns momentos precisarei explicar a teoria, mas não o farei de forma detalhada, pois como disse, o que mais importa é conseguir "enxergar" o que a questão está querendo.

Enfim, sintam-se a vontade em ver todas as questões, pois como disse, RLM ajuda na resolução não só de suas especificidades, mas como também desenvolve a capacidade de aprendizado.

Além desta aula teremos mais 4 aulas !!!

Então, vamos começar?



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1. LISTA DE QUESTÕES COMENTADAS

1. (ADMINISTRADOR - DNOCS – 2010) Um comerciante pediu ao caixa de um banco que lhe trocasse R$5,00 em moedas de 10 e 25 centavos; além disso, solicitou também que houvesse pelo menos um tipo de cada moeda e que suas respectivas quantidades fossem números primos entre si. Nessas condições, de quantos modos o caixa pode atender ao pedido desse comerciante?

a) Dois.

b) Três.

c) Quatro.

d) Cinco.

e) Mais que cinco.

ASSUNTO DA QUESTÃO: M.D.C (MÁXIMO DIVISOR COMUM)

Acho muito interessante iniciar nossa aula com algo que todos sabem, mas sempre se complicam. Peço que tenham um carinho quanto à velha e famosa tabuada, pois em questões de RLM, será uma grande aliada sua...pode acreditar!

A questão nos revela que o comerciante quer moedas de 10 e 25 centavos, que completem R$ 5,00, que haja pelo menos uma de cada, e DESDE QUE sejam primos entre si.

ATENÇÃO!!!

Você conhece os chamados números primos: 2, 3, 5, etc.

O número 1 NÃO é primo

Só que a questão quer primos ENTRE si. E o que isso significa? Que as quantidades de moedas não possuam números coincidentes, EXCETO o número 1. Vamos a um exemplo.

6: pode ser dividido por 1, 2 e 3;

10: pode ser dividido por 1, 2 e 5.

Assim, percebeu que ambos, 6 e 10, podem ser divididos por 1 e 2? Logo, não são primos entre si. Continuando.



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8: pode ser dividido por 1, 2, 4 e 8;

21: pode ser dividido por 1, 3 e 7.

Notaram que 8 e 21 não possuem, quando decompostos, números em comum, exceto o número 1? Eis um exemplo de números primos entre si.

Voltando a questão, devemos antes prestar atenção ao detalhe que se deseja moedas de 25 centavos. Então, você concorda que só poderá ter final: 25, 50, 75 ou 00? Entretanto, como também se quer moedas de 10 centavos, percebe que SOMENTE poderá haver números terminados em 0? E isso já nos facilita em muito, pois excluiremos todas as quantidades terminadas em 5, certo?

Você pode até encontrar esta questão resolvida com fórmula, porém, para quem não possui facilidade com números, resolver ela de uma maneira mais objetiva pode te deixar mais confortável. Sei que há pouco tempo para fazer a prova, mas RLM nada mais é do que praticar as mais diferentes questões. Então vamos.

Múltiplos de R$ 0,25, desconsiderando os com final 5, e entre parênteses ficarão suas quantidades em moedas:

0,25; 0,50(2); 0,75; 1,00(4); 1,25; 1,50(6); 1,75; 2,00(8); 2,25; 2,50(10); 2,75; 3,00(12); 3,25; 3,50(14); 3,75; 4,00(16); 4,25; 4,50(18); 4,75.

Agora, completaremos os valores, até atingir R$ 5,00, com moedas de R$ 0,10.

2 de R$ 0,25 com 45 de R$ 0,10: 2 e 45 são primos entre si.

4 de R$ 0,25 com 40 de R$ 0,10: 4 e 40 não são primos entre si


8 de R$ 0,25 com 30 de R$ 0,10: 8 e 30 não são primos entre si.






Desta forma, percebe-se que há 4 modos de ser atendida a solicitação.



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Concordo que a explicação é longa, mas é a melhor forma de explicar esta questão. A resolução dela fica em menos de 1 linha quando já estamos com a prática! Isso mesmo! É rápida e sem complicações, mas para isso, devemos exercitar e acostumar nossa mente a analisar o comando da questão de forma mais fácil.

Gabarito: Letra C

2. (ADMINISTRADOR - DNOCS – 2010) Dois funcionários de uma empresa - Jadilson e Geildo - foram incumbidos de arquivar os 140 documentos de um lote e dividiram o total de documentos entre si, na razão inversa de suas respectivas idades: 24 e 32 anos. Sabe-se que:

– ambos iniciaram a execução dessa tarefa quando eram decorridos 17/48 do dia e trabalharam ininterruptamente até terminá-la;

– durante a execução da tarefa a capacidade operacional de Geildo foi 75% da de Jadilson.

Nessas condições, se Jadilson terminou de arquivar a sua parte às 12 horas e 30 minutos, Geildo terminou de arquivar a dele às

a) 13 horas e 50 minutos.

b) 13 horas e 15 minutos.

c) 13 horas.

d) 12 horas e 45 minutos.

e) 12 horas e 30 minutos.

ASSUNTO DA QUESTÃO: PORCENTAGEM

Quando você souber como se resolve esta questão, não vai gostar, nem um pouco, de saber que nem precisava fazer conta!rsrs.

Antes, quero dar um conselho que parece óbvio:

LEIA O ENUNCIADO!!!

Isso mesmo, a resposta desta questão está dada no enunciado. Não saia tentando resolver as questões, fazer cálculos, sem ao menos ler e entender o que a questão está querendo.



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Quando diz que os documentos serão divididos na razão inversa das idades, significa que Geildo, o mais velho, irá receber menos documentos do que Jadilson. Para sabermos o quanto, dividimos as idades:

24/32 = 0,75 --> 75%.

Ou seja, pela razão inversa das idades, Geildo receberá 75% dos documentos de Jadilson. Assim, para cada 4 documentos que Jadilson receber, Geildo receberá 3 documentos, levando-se em consideração apenas a razão inversa das idades.

Entretanto, o enunciado nos revela que a capacidade operacional de Geildo, durante a execução da tarefa, foi de 75% da capacidade de Jadilson. Assim, enquanto Geildo realiza uma tarefa em 1 hora, Jadilson faz a mesma tarefa em 45 minutos, levando-se em consideração apenas a capacidade operacional.

Percebeu que tanto os documentos recebidos quanto à capacidade operacional de Geildo são de 75% dos de Jadilson? Isto quer dizer que ambos executaram as tarefas no mesmo período de tempo! Observe: Geildo recebe 75% dos documentos de Jadilson e executa suas tarefas com capacidade de 75% da de Jadilson. Ou seja, a proporcionalidade é mantida tanto na quantidade de documentos quanto na capacidade de arquivá-los.

Quando você for resolver questões de RLM preste atenção ao enunciado, para saber quais informações você consegue obter, antes de começar a resolver a questão.

Outra forma de resolver:

Caso você não perceba este tipo de situação, vai ter que fazer na mão mesmo. Então vamos a ela.

Foi visto que, enquanto Jadilson recebe 4 documentos, Geildo recebe 3 (75% de 4 = 3), certo?

Agora, quanto à capacidade operacional, temos que Geildo executa sua tarefa a 75% da de Jadilson.

12 horas e 30 minutos é igual a 750 minutos. Juntado as proporções, teremos:

1/(75%) * 75% * 750 = 1/(75%) * 75% * 750 = 750 minutos

Apenas como conhecimento::



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# 140 documentos serão distribuídos na razão inversa de suas idades (24/32 = 75% = 3/4). Ou seja, será 140 dividido por 7 (3+4) = 20, e distribuídos em função de suas respectivas idades, o que teremos:

Jadilson: 4 * 20 = 80;

Geildo: 3 * 20 = 60; ou, 75% de 80 = 60.

Gabarito: Letra E

3. (ADMINISTRADOR - DNOCS – 2010) Certo dia em que faltou luz em uma cidade, duas velas de mesma altura e mesma forma foram acesas num mesmo instante. Relativamente a essas duas velas, sabe-se que: suas chamas se mantiveram acesas até que fossem totalmente consumidas; ambas queimaram em velocidades constantes; uma delas foi totalmente consumida em 4 horas, enquanto que a outra o foi em 3 horas. Assim sendo, a partir do instante em que as velas foram acesas, quanto tempo foi decorrido até que a medida da altura de uma das velas ficou igual ao triplo da medida da altura da outra?

a) 2 horas.


c) 2 horas e 40 minutos.

d) 3 horas.


ASSUNTO DA QUESTÃO: M.M.C (MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM) E MEDIDAS

São 2 velas de mesmo tamanho, que iniciam a queima no mesmo instante. A utilização de m.m.c. nos ajuda para saber um tamanho que seja múltiplo de ambos, pois isso nos ajuda em muito. Sabendo que as velas são consumidas em 3 e 4 horas, o m.m.c. entre eles é 12, visto serem primos entre si. Então diremos que o tamanho das velas seja de 12 u (unidades).

Para sabermos a velocidade da queima (v = e/t) de cada vela devemos dividir seu tamanho pelo tempo decorrido, que teremos:

V(3) = 12/3 v(3) = 4 u/h;



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V (4) = 12/4 v(4) = 3 u/h.

Agora, devemos saber um quantum do que foi queimado até que uma das velas seja o triplo da outra. Concorda que a vela que demora 3 horas é consumida mais rápida do que a que demora 4 horas? Isto significa que o quantum consumido pela vela de 3 horas será maior do que o de 4 horas, ou seja, a v(4) será a que terá o triplo do tamanho da v(3) após algum tempo.

V(3) V(4)

Para sabermos o quanto foi queimado, devemos subtrair de 12 u (unidades) a sobra de cada vela. A vela que estiver menor – V(4)-, diremos que sobrou K de seu comprimento, o que teremos 12 - K . Para a vela maior – V(3)-, diremos que sobrou 3K de seu comprimento (isso por comando da própria questão), o que teremos 12 – 3K .

Devemos agora lembrar de que: v = e/t (fórmula da velocidade); para sabermos a velocidade da queima no caso de as velas serem completamente consumidas.

Para V(3): v(3) = 12/3 v(3) = 4 u/h

Para V(4): v(4) = 12/4 v(4) = 3 u/h.

Em posse da velocidade de queima de cada vela, reaplicaremos a fórmula, porém, agora, utilizaremos como espaço o total queimado achado anteriormente, e tendo como T o fator tempo, que será a resposta de nossa questão.

V(3): 4 = (12-K)/T 4T=12-K, K=12-4T

V(4): 3 = (12-3K)/T 3T=12-3K (dividindo por 3) T=4-K, K=4-T;

Igualando K:

12-4T=4-T, 3T=8 T=2,666 horas, 0,666(2/3) hora = 40 minutos;

T = 2 horas e 40 minutos

Acreditem em mim...explicar escrevendo é MUITO mais difícil do que fazendo.rsrs. Sem dúvidas! A questão não é difícil, mas requer conhecimento básico de fórmula. Este tipo de questão não cai em qualquer prova, mas não sabemos o que se passa na cabeça do examinador, certo? E é questão recente da FCC de 2010, o que



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reforça a necessidade de estarmos preparados para eventuais surpresas.

Gabarito: Letra C

PRÓXIMO ASSUNTO: LÓGICA DAS PROPOSIÇÕES

Antes de iniciar a resolução de questões sobre este tópico, necessitarei falar sobre as implicações lógicas, suas negações e equivalências. Esse é um momento em que realmente preciso passar algumas informações, não tem jeito. Motivo: é a parte mais importante de RLM!

Após tudo, estaremos aptos a desenvolver o raciocínio quanto às demais questões que abordem este tema. Com o treinamento exaustivo, você já lerá o enunciado da questão resolvendo.

Embora ninguém goste do que direi, mas é a pura verdade: DECORE TODAS AS TABELAS-VERDADE ABAIXO!!! Isso facilitará em muito sua vida. Acredite! Já será o seu resumo.

I) Sentença

Maneira de se expressar, que pode ser:

i) Aberta: não é possível saber, imediatamente, se é verdadeiro ou falso, pois irá depender de uma variável. Ex:

a) 2Y + 4 = 0;

b) Z > 8;

ii) Exclamativa, imperativa, interrogativa e afirmativa: formas de se expressar em que não é possível atribuir qualquer valor lógico. São frases em que o interlocutor deseja transmitir uma informação, sem que possa haver qualquer julgamento. Ex:

a) Feliz Natal! (exclamativa);

b) Vá estudar. (imperativa);

c) O Vasco será campeão da Libertadores? (interrogativa);

d) Uma mesa amarela. (afirmativa).

iii) Fechada: frase ou equação que possui sentido, em que podemos atribuir um valor lógico de verdadeiro ou falso, sem maiores análises. EX:



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a) 4 + 2 < 5. (F);

b) 2 + 3 = 1 + 4. (V);

c) Haverá concurso para o INSS. (V).

ATENÇÃO! Esta é a parte mais importante de RLM. Pois as sentenças fechadas também são chamadas de sentenças declarativas.

II) Proposição

São frases, equações ou símbolos com sentido completo, em que podemos afirmar algo, ou exprimir juízo quanto a certas situações. Possuem 3 (três) princípios:

i) Identidade: Uma proposição verdadeira é sempre verdadeira; uma falsa é sempre falsa;

ii) Não-Contraditório: Não há qualquer proposição que seja verdadeira e falsa ao mesmo tempo;

iii) Terceiro Excluído: Uma proposição só pode assumir um valor, quer seja verdadeiro, quer seja falso, sem qualquer outra possibilidade.

Em resumo, são as sentenças fechadas ou declarativas, que podem ser:

A) Simples (ou atômica): possui sentido próprio, sem qualquer outra proposição. Normalmente são simbolizadas por letras do alfabeto (p, q, r, etc.). Ex:

a) Carlos é médico;

b) Rio de Janeiro é a cidade Maravilhosa.

B) Composta (conectada, molecular ou fórmula): mais de uma proposição, ligadas por um conectivo. Agora, vamos ao que interessa!

III) CONECTIVOS

São palavras usadas nas proposições simples, que se transformaram em compostas.

1) Negação (~)

Fazer uma negação de uma proposição não significa recusar ou repudiar, mas sim atribuir um valor em sentido contrário, ou seja, inverter seu valor lógico. Ex:



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p = Paulo é escorpiano.

~p = Paulo NÃO é escorpiano.

2) Conjunção (e, ^ )

Somente será verdadeiro se ambas também forem verdadeiras. Caso trate de conjuntos, interseção (∩).

Propriedades:

A) Comutativa: p ^ q = q ^ p

B) Associativa: p ^ (q ^ r) = (p ^ q) ^ r = p ^ q ^ r

3) Disjunção (ou, ∨)

Somente será falsa se ambas forem falsas. Caso trate de conjuntos, união (U).

p q p v q V V V V F V F V V F F F

Propriedades:

A) Comutativa: p ∨ q = q ∨ p

B) Associativa: p ∨ (q ∨ r) = (p ∨ q) ∨ r = p ∨ q ∨ r

# Propriedades inerentes a conjunção e disjunção:

i) p ∨ (p ^ q) = p

ii) p ^ (p v q) = p

iii) p ^ (q v r) = (p ^ q) v (p ^ r)

p ~p V F F V

p q p ^ q V V V V F F F V F F F F



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iv) p v (q ^ r) = (p v q) ^ (p v r)

4) Disjunção exclusiva ( ou...ou, ∨)

Será verdadeiro se as proposições possuírem valores opostos, ou falso se possuírem o mesmo valor lógico.

p q p v q V V F V F V F V V F F F

Propriedades:

A) Comutativa: p ∨ q = q ∨ p

B) Associativa: p ∨ (q ∨ r) = (p ∨ q) ∨ r = p ∨ q ∨ r

5) Condicional ou implicação ( Se...então, −>)

Caso trate de conjuntos, está contido (⊂). p q p −> q V V V V F F F V V F F V

OBS: Para a compreensão da condicional, é preciso entendermos que o 1º termo (p) é conhecido como suficiente, e o 2º, necessário (q).

*p −> q = p é suficiente para q;

#~q −> (~p) = q é necessário para p

O motivo é que pela tabela verdade da aula demo, se notarem, não há dependência de p ser V ou F para a implicação lógica ser V, logo, p é suficiente para a proposição.

Entretanto, quando q for F, e então verificarmos que p for V, a implicação lógica necessariamente será F.

Ressaltando, a condicional NÃO é comutativa!!!

6) Bicondicional ou Bi-implicação (Se e somente se, ↔)

Duplamente Condicional, sendo verdadeira quando possuírem o mesmo valor lógico. Caso trate de conjuntos, igualdade (=).



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OBS: p é condição suficiente e necessária para q.

p q p ↔ q V V V V F F F V F F F V

Propriedade:

A) Comutativa: p ↔ q = q ↔ p

B) Associativa: p ↔ (q ↔ r) = (p ↔ q) ↔ r = p ↔ q ↔ r

Repito : DECOREM!!! Após esta explicação extremamente importante, vamos voltar às questões.

4. (ADMINISTRADOR - DNOCS – 2010) Considere a seguinte proposição:

“Se uma pessoa não faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho, então ela não melhora o seu desempenho profissional.”

Uma proposição logicamente equivalente à proposição dada é:

a) É falso que, uma pessoa não melhora o seu desempenho profissional ou faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho.

b) Não é verdade que, uma pessoa não faz cursos de aperfeiçoamento profissional e não melhora o seu desempenho profissional.

c) Se uma pessoa não melhora seu desempenho profissional, então ela não faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho.

d) Uma pessoa melhora o seu desempenho profissional ou não faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho.

e) Uma pessoa não melhora seu desempenho profissional ou faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho.

Passo a passo:

1º: identificar as proposições

p = uma pessoa não faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho;



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q = ela não melhora o seu desempenho profissional

2º: identificar o conectivo

Se...então = −>

3º: Saber qual será o equivalente (resumo na próxima aula)

p −> q = ~ p v q

Sei que você não está concordando, então, irei demonstrar.

p q p −> q V V V V F F F V V F F V

~p q ~p v q F V V F F F V V V V F V

Você está se perguntando por quê, certo? Lembra da comutatividade inerente ao conectivo OU? Pois bem, se as proposições podem se inverter, o problema está resolvido! A única que não é comutativa é a condicional! Guarde isso.

Gabarito: Letra E

5. (ADMINISTRADOR - DNOCS – 2010) Argemiro, Belisário, Coriolano e Divina são funcionários de um mesmo setor do Departamento Nacional de Obras Contra as Secas. Certo dia, após a realização de uma reunião em que se discutiu um projeto de irrigação a ser implantado numa região, algumas pessoas fizeram as seguintes declarações sobre seus participantes:

− Se Divina participou da reunião, então o Diretor também participou.

− Se Coriolano não participou da reunião, então Divina participou.

− Se Argemiro participou da reunião, então Belisário e Coriolano não participaram.

q ~p q v ~p V F V F F F V V V F V V



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Considerando que o Diretor não participou de tal reunião e que as três declarações são verdadeiras, é correto afirmar que, com certeza, também não participaram

a) Argemiro e Belisário.

b) Argemiro e Divina.

c) Belisário e Coriolano.

d) Belisário e Divina.

e) Coriolano e Divina.

INFORMAÇÃO IMPORTANTE!!!

A maior parte das questões irá tratar do conectivo "Se..então", e isso, por incrível que pareça, nos ajuda. O motivo é que quando a proposição "q" é FALSA e a proposição "p" é VERDADEIRA, a implicação é FALSA. Ou seja, a questão irá nos dar essa dica,e, por conseguinte, faremos no sentido contrário. Tentarei explicar melhor.

Nesse tipo de questão, a proposição composta (que no nosso caso é "p −> q") quando se lê a frase de traz para frente, fica mais fácil. Vamos fazer para você poder me entender.

O enunciado da questão diz: "Considerando que o Diretor NÃO participou de tal reunião e que as três declarações são verdadeiras..."; isto é, todas as três declarações deverão ter como VERDADEIRA a implicação resultante. Assim:

1ª declaração: Se Divina participou da reunião, então o Diretor também participou.

Ora, o Diretor NÃO participou, o que nos dará pela seguinte situação


Isto é o que significa que todas as declarações serem verdadeiras. Por isso é que fica relativamente mais fácil quando se usa o conectivo "Se...então", pois ambas proposições deverão ser falsas. Conclusão da 1ª declaração:

- Divina NÃO participou da reunião



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2ª declaração: Se Coriolano não participou da reunião, então Divina participou. Já sabendo que Divina não participou, teremos:


Conclusão da 2ª declaração:

- Coriolano PARTICIPOU da reunião

3ª declaração: Se Argemiro participou da reunião, então Belisário e Coriolano não participaram.

Aqui temos o seguinte: p −> (q ^ r)

Sabemos que Coriolano participou da reunião. Entretanto, a declaração que ele faz parte (q ^ r) diz que nem ele e nem Belisário participaram da reunião. Vamos a tabela-verdade do conectivo "e":

Percebeu algo interessante? Independentemente de Belisário ter participado ou não da reunião, a resposta será FALSA?! Assim, para que toda a proposição composta seja verdadeira [p −> (q ^ r)], tendo como FALSA a (q ^ r), apenas se Argemiro NÃO tiver participado da reunião, pela peculiaridade do conectivo "Se...então"!

O enunciado da questão diz: "... é correto afirmar que, COM CERTEZA, também não participaram"; ou seja, SÓ podemos afirmar que Divina e Argemiro NÃO participaram da reunião! Não temos informação segura se Belisário participou ou não da reunião, pois é indiferente, por causa do conectivo "e".

Conclusão da 3ª declaração:

- Argemiro NÃO participou da reunião, e não podemos afirmar nada quanto a Belisário

Gabarito: Letra B

q r q ^ r V V V V F F F V F F F F



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6. (ADMINISTRADOR - DNOCS – 2010) Considere a sucessão dos infinitos múltiplos positivos de 4, escritos do seguinte modo:

4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 . . .

Nessa sucessão, a 168a posição deve ser ocupada pelo algarismo

a) 6.

b) 4.

c) 2.

d) 1.

e) 0.

ASSUNTO DA QUESTÃO: RLM PURO

A questão não quer saber o 168º número, mas sim o algarismo que ocupe a 168ª posição.

Lembrou-se de decorar a tabuada?rsrs. Então, até o número 100, EXCLUSIVE, são 24 múltiplos de 4 (4 * 24 = 96). Porém, os números 4 e 8 são compostos por apenas um algarismo, isto é, podemos dizer que são 23 pares de números, o que nos dará 46 algarismos, certo? (22 pares dos múltiplos de 4 acima do 12, que são compostos por dois algarismos; e dois números compostos por apenas um algarismo: 4 e 8; que juntos, formam 1 par).

Bem, a questão quer o algarismo da 168ª posição. Assim, devemos fazer: 168 - 46 = 122; ou seja, devemos ver quais os múltiplos de 4 acima de 100, INCLUSIVE, para sabermos qual será o múltiplo que possuirá o 168º algarismo.

Sabemos que a partir do 100, INCLUSIVE, os números são formados por três algarismos. Preste bem atenção!

Primeiro, para saber o número que possuirá o 168º algarismo, devemos pegar o múltiplo de 3 IMEDIATAMENTE posterior a 122 (acima calculado), qua será o 123, e dividi-lo por 3: 123/3 = 41. Ou seja, o 41º número após o 100, INCLUSIVE, é o que possuirá o 168º algarismo, em seu algarismo do meio!!!



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Segundo, devemos lembrar que se trata do 41º número APÓS o 100, INCLUSIVE! Isto é, o algarismo da 168ª posição será a soma dos 41 números após o 100, INCLUSIVE, com os 24 antes do 100, EXCLUSIVE: 41 + 24 = 65.

Terceiro, a resposta será o algarismo do meio da multiplicação: 4 * 65 = 260; sendo o algarismo do meio o 6.

Gabarito: Letra A

7. (Auxiliar da Fiscalização Financeira II 2009 TCE-SP) Duas lojas X e Y vendem um mesmo tipo de cartucho de tinta para impressoras pelo mesmo preço unitário. Certo mês, essas duas lojas fizeram as seguintes promoções para a venda de tal tipo de cartucho:

Loja X: “Compre 4 cartuchos e leve 5.”

Loja Y: “Compre 4 cartuchos e pague 3.”

De acordo com essas promoções, é verdade que

a) era mais vantajoso comprar na loja X.

b) quem optou por comprar na loja X, obteve 25% de desconto.

c) quem optou por comprar na loja Y obteve 27% de desconto.

d) o desconto oferecido pela loja Y excedia o dado pela loja X em 5%.

e) os descontos oferecidos pelas duas lojas eram iguais.

ASSUNTO DA QUESTÃO: PORCENTAGEM

As lojas vendem os cartuchos pelo mesmo preço K, logo:

Loja X: compra = pagar 4; 4*K = 4K. Mas levou 5, que se fosse pagar por todos os cartuchos daria 5*K = 5K. Isto é, deveria pagar 5K, mas pagou 4K. Assim, ele pagou o equivalente a 4k/5K= 0,8K, o que dá 80% do valor sem a promoção. Para saber o desconto promovido, devemos fazer 100% - 80% = 20%.

Loja Y: compra = levar! Na verdade, ele pagou 3; 3*K = 3K. Mas levou 4, que se fosse pagar por todos os cartuchos daria 4*K = 4K. Isto é, deveria pagar 4K, mas pagou 3K. Assim, ele pagou o



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equivalente a 3k/4K= 0,75K, o que dá 75% do valor sem a promoção. Logo, o desconto promovido será de 100% - 75% = 25%.

Conclusão: a loja Y dá 5% a mais de desconto do que a loja X.

Gabarito: Letra D

8. (Auxiliar da Fiscalização Financeira II 2009 TCE-SP) Certo dia, pela manhã, Mariquinha digitou 4/7 do total das páginas de um texto em 2 horas de trabalho ininterrupto e, à tarde, ela digitou as páginas restantes. Se no período da tarde sua capacidade de produção foi 60% da do período da manhã, então, para digitar as páginas restantes ela levou






ASSUNTO DA QUESTÃO: PORCENTAGEM E MEDIDAS

Mariquinha fez 4/7 P, em 2horas (120 minutos), em 100% da capacidade.

O restante 7/7 - 4/7 = 3/7 irá fazer em 60% de sua capacidade.

Se Mariquinha fizesse todo o trabalho dela a 100%, seria:

4/7 - 120

7/7 - X } 7/7 = 1

4X/7 = 120, 4X = 840; X = 210 minutos.

Ou seja, como ela demorou 120 minutos para fazer 4/7, caso ela continuasse a 100%, faria os outros 3/7 em 90 minutos. Porém, sua capacidade foi de 60%. Assim, para sabermos o tempo que será feito teremos:

90minutos/60% = 90minutos/0,60 = 150 minutos = 2,5 horas =

2 horas e MEIA = 2 horas e 30 minutos.

Prestem atenção nisto! 2,5 horas = 2 horas e 30 minutos!!!



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Gabarito: Letra C

9. (FISCAL DE TRIBUTOS SANTOS/SP 2006) Para jogar um jogo de futebol, os funcionários de certa empresa pretendem montar um time em que o ataque deverá ser composto por 5 pessoas, que serão escolhidas entre as elencadas de dois setores da empresa:

Setor A: Juca, Romão, Santos e Lupércio

Setor B: Zeca, Nonô, Gugu, Aristides e Chico

Para compor o ataque será considerado que

• ele deverá ter exatamente 2 jogadores do setor A e 3 do setor B

• exatamente três funcionários escolhidos entre Juca, Santos, Gugu e Chico deverão jogar

• Se Gugu jogar, então Nonô não jogará

• Santos e Romão não deverão jogar juntos

Nessas condições, se Nonô jogar, os funcionários do setor A que deverão compor o ataque são:

a) Santos e Romão

b) Santos e Lupércio

c) Juca e Romão

d) Santos e Juca

e) Juca e Lupércio

ASSUNTO DA QUESTÃO: LÓGICA DAS PROPOSIÇÕES

Antes de tudo tenho algo a mostrar. A FCC é mestra em utilizar expressões misturadas: declarativas, afirmativas e afins. Perceba que a terceira frase, é declarativa com conectivo "Se...então", sendo que no próprio enunciado já nos dá a dica: Nonô JOGA. Vamos a tabela-verdade da 3ª frase - Se Gugu jogar, então Nonô não jogará:

p q p −> q V V V V F F



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F V V F F V

Conclusão: Sabemos então que Gugu NÃO joga.

Pela 2ª frase, pelo fato de Gugu NÃO jogar, teremos:

- Juca, Santos e Chico deverão jogar.

Já chegamos a resposta! Você está se perguntando: e como seria a 4ª frase? Vamos a tabela-verdade dela:

p q p ^ q ~(p ^ q) V V V F V F F V F V F V F F F V

A tabela-verdade da 4º frase - Santos(p) e Romão(q) não deverão jogar juntos- é [~(p ^ q)], e sabendo que Santos irá jogar, a única forma de a validade do argumento dar verdadeiro é Romão não jogando.

Gabarito: Letra D

10. (Técnico da Fazenda Estadual SEFAZ-SP 2010) Considere as seguintes premissas:

p: Estudar é fundamental para crescer profissionalmente.

q: O trabalho enobrece.

A afirmação “Se o trabalho não enobrece, então estudar não é fundamental para crescer profissionalmente” é, com certeza, FALSA quando:

a) p é falsa e q é falsa.

b) p é verdadeira e q é verdadeira.

c) p é falsa e q é verdadeira.

d) p é verdadeira e q é falsa.

e) p é falsa ou q é falsa.




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Vamos descobrir como será formada a declaração: (~q −> ~p)

p ~p q ~q V F V F V F F V F V V F F V F V

~q ~p ~q −> ~p F F V V F F F V V V V V

Antes de marcar a resposta, percebeu algo interessante? Uma ajudinha:


Isso mesmo:

(~q −> ~p) = p −> q

Apenas tomem cuidado com (~q −> ~p), pois caso não notasse que são iguais, você teria que negar a negação!rs.

Eis mais uma equivalência, e é por esse método que se comprova a condição necessária de "q" em relação a "p".

Atenção também para as alternativas "A" e "E", pois apresentam os conectivos "e", "ou", e na hora da prova, às vezes não prestamos atenção, e acabamos marcando a errada.

Gabarito: Letra D

11. (TÉCNICO JUDICIÁRIO CONTABILIDADE TRF 1ª 2006) Algum X é Y. Todo X é Z. Logo,

a) algum Z é Y.

b) algum X é Z.



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c) todo Z é X.

d) todo Z é Y.

e) algum X é Y.

ASSUNTO DA QUESTÃO: CONJUNTOS

Vamos agora tratar sobre conjuntos. Esta questão também pode ser feita utilizando a lógica das proposições.

- Algum X é Y: Significa que há uma interseção (∩). entre X e Y

(veja o conectivo "e").

X ∩ Y

Exemplo:

X = {1,4,7}

Y = {1,3,4,8}

X ∩ Y = {1,4}

- Todo X é Z: Significa que pode ser uma igualdade entre X, Z; ou que X está contido em Z.

ATENÇÃO! Não temos como comprovar que X=Z! Exemplo:

X = {1,4,7}

Z = {1,4,7}

X Y



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Percebe que todo X é Z? Entretanto, NÃO podemos afirmar isso,

por falta de dados! Só temos certeza é que X pertence a Z (X ⊂ Z). Exemplo:

X = {1,4,7}

Z = {1,3,4,7,9}

X ⊂ Z = {1,4,7} = X

Notou que todo X é Z, mas o inverso não? Ou seja, todos os elementos de X pertencem a Z, mas nem todo Z pertencerá a X. Ou

podemos afirmar também que Z contém X (Z ⊃ X).

X ⊂ Z

CUIDADO!

A letra E é sedutora! Pelo enunciado, algum X é Y, mas não podemos atribuir valor lógico, pois é uma sentença ABERTA! Isto é, a questão solicita é a conjunção entre as duas sentenças: algum X é Y e todo X é Z. Notou o conectivo "e"? Quando aparece "ponto" entre duas sentenças, devemos entendê-lo como conectivo "e", para que estejam corretas.

Ou seja, para que todas as informações dêem um resultado verdadeiro, devemos fazer com que sejam também verdadeiras. Então vamos adiante.

Pela 2ª sentença: todo X é Z; percebemos que TODO o conjunto X está inserido em Z. Logo, algum Y é Z ou algum Z é Y.

Exemplo:

Z

X



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X = {1,4,7}

Y = {1,3,4,8}

Z = {1,3,4,7,9}

Em comum aos 3 conjuntos temos: {1,4}. Perceba que pelo exemplo que dado, ao menos {1,4} fazem parte dos 3 conjuntos.

Gabarito: Letra A

OBS: Falarei na próxima aula sobre as expressões usados nas sentenças abertas.

12. (TÉCNICO JUDICIÁRIO CONTABILIDADE TRF 1ª 2006) Se todos os nossos atos têm causa, então não há atos livres. Se não há atos livres, então todos os nossos atos têm causa. Logo,

a) alguns atos não têm causa se não há atos livres.

b) todos os nossos atos têm causa se e somente se há atos livres.

c) todos os nossos atos têm causa se e somente se não há atos livres.

d) todos os nossos atos não têm causa se e somente se não há atos livres.

e) alguns atos são livres se e somente se todos os nossos atos têm causa.


Vamos aos passos:

1º: identificar as proposições

p = todos os nossos atos têm causa

q = não há atos livres

2º: identificar o conectivo

Se...então = −>

3º: saber o equivalente (resumo na próxima aula)



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(p −> q) ^ (q −> p) = p ↔ q; trata-se de uma bi-condicional, logo, todos os nossos atos têm causa se e somente se não há atos livres.

ATENÇÂO!

Pelo fato do conectivo "Se e somente se" poder ser comutativo, não haveria diferença caso a resposta fosse "q ↔ p": não há atos livres se e somente se todos os nossos atos têm causa.

Gabarito: Letra C

Bem amigos, por hoje é só!

Gostaria e muito que vocês vejam e revejam quantas vezes for necessário as tabelas-verdade, pois só desta forma, seremos capazes de realizar diversas questões de RLM.

Até a próxima aula!

Bons estudos!!!



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2. LISTA DE QUESTÕES SEM COMENTÁRIOS

1. (PROVA DE ADMINISTRADOR - DNOCS – 2010) Um comerciante pediu ao caixa de um banco que lhe trocasse R$5,00 em moedas de 10 e 25 centavos; além disso, solicitou também que houvesse pelo menos um tipo de cada moeda e que suas respectivas quantidades fossem números primos entre si. Nessas condições, de quantos modos o caixa pode atender ao pedido desse comerciante?

a) Dois.

b) Três.

c) Quatro.

d) Cinco.

e) Mais que cinco.

2. (PROVA DE ADMINISTRADOR - DNOCS – 2010) Dois funcionários de uma empresa - Jadilson e Geildo - foram incumbidos de arquivar os 140 documentos de um lote e dividiram o total de documentos entre si, na razão inversa de suas respectivas idades: 24 e 32 anos. Sabe-se que:

– ambos iniciaram a execução dessa tarefa quando eram decorridos 17/48 do dia e trabalharam ininterruptamente até terminá-la;

– durante a execução da tarefa a capacidade operacional de Geildo foi 75% da de Jadilson.

Nessas condições, se Jadilson terminou de arquivar a sua parte às 12 horas e 30 minutos, Geildo terminou de arquivar a dele às



c) 13 horas.





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3. (PROVA DE ADMINISTRADOR - DNOCS – 2010) Certo dia em que faltou luz em uma cidade, duas velas de mesma altura e mesma forma foram acesas num mesmo instante. Relativamente a essas duas velas, sabe-se que: suas chamas se mantiveram acesas até que fossem totalmente consumidas; ambas queimaram em velocidades constantes; uma delas foi totalmente consumida em 4 horas, enquanto que a outra o foi em 3 horas. Assim sendo, a partir do instante em que as velas foram acesas, quanto tempo foi decorrido até que a medida da altura de uma das velas ficou igual ao triplo da medida da altura da outra?

a) 2 horas.



d) 3 horas.


4. (PROVA DE ADMINISTRADOR - DNOCS – 2010) Considere a seguinte proposição:

“Se uma pessoa não faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho, então ela não melhora o seu desempenho profissional.”

Uma proposição logicamente equivalente à proposição dada é:

a) É falso que, uma pessoa não melhora o seu desempenho profissional ou faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho.

b) Não é verdade que, uma pessoa não faz cursos de aperfeiçoamento profissional e não melhora o seu desempenho profissional.

c) Se uma pessoa não melhora seu desempenho profissional, então ela não faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho.

d) Uma pessoa melhora o seu desempenho profissional ou não faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho.

e) Uma pessoa não melhora seu desempenho profissional ou faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho.



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5. (PROVA DE ADMINISTRADOR - DNOCS – 2010) Argemiro, Belisário, Coriolano e Divina são funcionários de um mesmo setor do Departamento Nacional de Obras Contra as Secas. Certo dia, após a realização de uma reunião em que se discutiu um projeto de irrigação a ser implantado numa região, algumas pessoas fizeram as seguintes declarações sobre seus participantes:

− Se Divina participou da reunião, então o Diretor também participou.

− Se Coriolano não participou da reunião, então Divina participou.

− Se Argemiro participou da reunião, então Belisário e Coriolano não participaram.

Considerando que o Diretor não participou de tal reunião e que as três declarações são verdadeiras, é correto afirmar que, com certeza, também não participaram

a) Argemiro e Belisário.

b) Argemiro e Divina.

c) Belisário e Coriolano.

d) Belisário e Divina.

e) Coriolano e Divina.

6. (PROVA DE ADMINISTRADOR - DNOCS – 2010) Considere a sucessão dos infinitos múltiplos positivos de 4, escritos do seguinte modo:

4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 . . .

Nessa sucessão, a 168a posição deve ser ocupada pelo algarismo

a) 6.

b) 4.

c) 2.

d) 1.

e) 0.



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7. (Auxiliar da Fiscalização Financeira II 2009 TCE-SP) Duas lojas X e Y vendem um mesmo tipo de cartucho de tinta para impressoras pelo mesmo preço unitário. Certo mês, essas duas lojas fizeram as seguintes promoções para a venda de tal tipo de cartucho:

Loja X: “Compre 4 cartuchos e leve 5.”

Loja Y: “Compre 4 cartuchos e pague 3.”

De acordo com essas promoções, é verdade que

a) era mais vantajoso comprar na loja X.

b) quem optou por comprar na loja X, obteve 25% de desconto.

c) quem optou por comprar na loja Y obteve 27% de desconto.

d) o desconto oferecido pela loja Y excedia o dado pela loja X em 5%.

e) os descontos oferecidos pelas duas lojas eram iguais.

8. (Auxiliar da Fiscalização Financeira II 2009 TCE-SP) Certo dia, pela manhã, Mariquinha digitou 4/7 do total das páginas de um texto em 2 horas de trabalho ininterrupto e, à tarde, ela digitou as páginas restantes. Se no período da tarde sua capacidade de produção foi 60% da do período da manhã, então, para digitar as páginas restantes ela levou






9. (FISCAL DE TRIBUTOS SANTOS/SP 2006) Para jogar um jogo de futebol, os funcionários de certa empresa pretendem montar um time em que o ataque deverá ser composto por 5 pessoas, que serão escolhidas entre as elencadas de dois setores da empresa:

Setor A: Juca, Romão, Santos e Lupércio

Setor B: Zeca, Nonô, Gugu, Aristides e Chico



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Para compor o ataque será considerado que

• ele deverá ter exatamente 2 jogadores do setor A e 3 do setor B

• exatamente três funcionários escolhidos entre Juca, Santos, Gugu e Chico deverão jogar

• Se Gugu jogar, então Nonô não jogará

• Santos e Romão não deverão jogar juntos

Nessas condições, se Nonô jogar, os funcionários do setor A que deverão compor o ataque são:

a) Santos e Romão

b) Santos e Lupércio

c) Juca e Romão

d) Santos e Juca

e) Juca e Lupércio

10. (Técnico da Fazenda Estadual SEFAZ-SP 2010) Considere as seguintes premissas:

p: Estudar é fundamental para crescer profissionalmente.

q: O trabalho enobrece.

A afirmação “Se o trabalho não enobrece, então estudar não é fundamental para crescer profissionalmente” é, com certeza, FALSA quando:

a) p é falsa e q é falsa.

b) p é verdadeira e q é verdadeira.

c) p é falsa e q é verdadeira.

d) p é verdadeira e q é falsa.

e) p é falsa ou q é falsa.

11. (TÉCNICO JUDICIÁRIO CONTABILIDADE TRF 1ª 2006) Algum X é Y. Todo X é Z. Logo,

a) algum Z é Y.

b) algum X é Z.



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c) todo Z é X.

d) todo Z é Y.

e) algum X é Y.

12. (TÉCNICO JUDICIÁRIO CONTABILIDADE TRF 1ª 2006) Se todos os nossos atos têm causa, então não há atos livres. Se não há atos livres, então todos os nossos atos têm causa. Logo,

a) alguns atos não têm causa se não há atos livres.

b) todos os nossos atos têm causa se e somente se há atos livres.

c) todos os nossos atos têm causa se e somente se não há atos livres.

d) todos os nossos atos não têm causa se e somente se não há atos livres.

e) alguns atos são livres se e somente se todos os nossos atos têm causa.



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GABARITO

1-C 2-E 3-C 4-E 5-B

6-A 7-D 8-C 9-D 10-D

11-A 12-C

Raciocínio Lógico - Prof. Marcos Duarte

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