UNIVERSIDADE LUTERANA DO BRASIL

DIRETORIA ACADÊMICA

CURSO DE MATEMÁTICA LICENCIATURA

TÓPICOS DE GEOMETRIA PLANA E ESPACIAL

ÁREA DE FIGURAS PLANAS

Carmen Teresa Kaiber 1

Introdução

Em capítulos anteriores trabalhamos com figuras planas e espaciais. Com

relação às figuras espaciais, como prismas, pirâmides, cilindros, cones, entre outros,

vimos que as mesmas podem ser planificadas. Quando nos referimos, por exemplo,

a um prisma, podemos distinguir tanto o volume que ocupa no espaço como a medida

da sua superfície. Quando nos referimos a uma superfície plana, como o polígono de

uma das faces de um prisma, além da medida da sua superfície podemos distinguir a

linha poligonal que a delimita e, também, atribuir-lhe um valor, a partir de uma

medição. São essas questões que vamos tratar aqui, ou seja, quantificar

comprimentos, áreas de superfícies planas e volume de sólidos. Nosso objetivo é

aprofundar o estudo sobre área e volume buscando operacionalizar o cálculo de áreas

de regiões planas simples e o volume de sólidos que se constituem em poliedros,

porém, sempre que possível, vamos buscar produzir algum tipo de prova que valide o

que está sendo afirmado.

Perímetro e área de regiões planas

Em capítulos anteriores trabalhamos com figuras planas e espaciais e vimos

que figuras como prisma, pirâmide e mesmo um cilindro podem ser planificadas. Ao

planificarmos uma figura espacial obtemos uma superfície plana que será constituída

1 Carmen Teresa Kaiber é doutora em Ciências da Educação pela Universidade Pontifícia de Salamanca e docente do curso de Licenciatura em Matemática e do Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática da ULBRA.

por polígonos que compõem tanto a superfície lateral como a base do sólido, conforme

já estudado. Vamos considerar, na Figura 1, uma pirâmide de base quadrada

Figura 1 - Pirâmide reta de base quadrada e esboço da sua planificação

Vamos iniciar nosso estudo considerando uma das regiões triangulares que

delimitam a pirâmide da Figura 1. Trata-se de um triângulo isósceles (Figura 2), já que

a pirâmide é reta.

Figura 2 - Triângulo isósceles da superfície lateral de uma pirâmide

Uma região triangular, como a da Figura 2, pode ser definida como um conjunto

formado pela união de todos os segmentos cujas extremidades pertencem a um

triângulo. O triângulo é chamado de fronteira da região triangular. O conjunto de

pontos de uma região triangular que não pertencem a sua fronteira é chamado de

interior da região triangular.

Já uma região poligonal é um conjunto união de um número finito de regiões

triangulares que, duas a duas, não têm pontos interiores em comum, como ilustrado

nos exemplos da Figura 3.

Figura 3 - Regiões poligonais

Um ponto é interior a uma região poligonal se existe alguma região triangular

contida na região poligonal à qual o ponto pertença. O interior da região poligonal é o

conjunto dos pontos que lhe são interiores. A fronteira da região poligonal é constituída

pelos pontos da região que não pertencem ao seu interior. A soma das medidas dos

lados do polígono é chamada perímetro.

A continuidade do nosso trabalho vai estar baseada nos axiomas que vamos

enunciar, a partir dos quais vamos estabelecer relações que permitam determinar a

área de algumas regiões planas simples.

• A toda região poligonal corresponde um número maior do que zero. O

número a que se refere este axioma é chamado de área da região.

• Se uma região poligonal é a união de duas ou mais regiões poligonais, que

duas a duas não tenham pontos interiores em comum, então sua área é a

soma das áreas daquelas regiões.

• Regiões triangulares limitadas por triângulos congruentes têm áreas de

mesma medida.

• Se ABCD é um retângulo então sua área é dada pelo produto: 𝐴𝐵. 𝐶𝐷

Assim, no que segue, vamos determinar a área de algumas regiões planas

simples.

Área do paralelogramo

Dado um paralelogramo ABCD, seja b o comprimento do lado AB e h o

comprimento de um segmento que liga as retas que contém os segmentos AB e CD,

e que seja perpendicular a ambas. Esse segmento h é chamado de altura do

paralelogramo relativa ao lado AB.

Vamos admitir, aqui, a área de um paralelogramo como sendo o produto do

comprimento de um de seus lados pelo comprimento da altura relativa a este lado.

Assim, dado um paralelogramo ABCD como na Figura 4, vamos traçar, a partir

dos pontos A e B, dois segmentos, AE e BF, perpendiculares à reta CD.

Figura 4 – Paralelogramo ABCD

Na figura, os triângulos ADE e BCF formados são congruentes pelo caso da

hipotenusa e do cateto e o quadrilátero ABFE é um retângulo cuja área é dada por

𝐴𝐵. 𝐵𝐹, já que triângulos congruentes tem áreas com a mesma medida. Em termos

da notação, 𝐴𝐵. 𝐵𝐹, é exatamente b.h.

Assim, podemos escrever:

Área (ABCD) = Área (ABCE) + Área (ADE) = Área (ABCE) + Área (CFD) =

Área (ABFE) = b.h

Área do paralelogramo ABCD = b.h

Área do triângulo

A área de um triângulo é a metade do produto do comprimento de qualquer de

seus lados pela altura relativa a esse lado. Vamos observar o triângulo da Figura 5.

Figura 5 - Triângulo ABC

Dado um triângulo ABC, como na figura, vamos traçar, pelo vértice C, uma reta

paralela ao lado AB e, pelo vértice B, uma reta paralela ao lado AC. Estas duas retas

se interceptam em um ponto D e o polígono ABDC gerado é um paralelogramo

formado pelos triângulos ABC e DCB que são congruentes pelo caso LAL (𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≅ 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ ,

𝐶𝐵̅̅ ̅̅ lado comum e 𝐴�̂�𝐶 ≅ 𝐷�̂�𝐵 já que são alternos internos formado pela reta 𝐵𝐶 ⃡ que

é transversal as paralelas 𝐴𝐵 ⃡ e 𝐶𝐷 ⃡ ). Assim, considerando a que a área do

paralelogramo ABDC é dada pela soma das áreas dos triângulos ABC e DCB e que a

área do triângulo ABC tem a mesma medida que a área do triângulo DCB, podemos

escrever que Área (ABC)= 1

2 Área (ABDC). Como a altura h do triângulo ABC e relativa

ao lado AB (b) é exatamente a altura do paralelogramo ABDC relativa ao lado AB,

podemos escrever que:

Área do triângulo ABC= 1

2 b.h

Exemplo 1: Determinar a área de um triângulo equilátero em função do seu lado

l.

Solução: Considerando o triângulo equilátero ABC da figura, de lado l e altura

h, a altura o divide em dois triângulos retângulos. Tomando o triângulo AHC e

aplicando o teorema de Pitágoras, podemos determinar a altura em função do lado l

e, em seguida, estabelecer a área do triângulo ABC.

Cálculo da altura do triângulo equilátero ABC:

𝑙2 = ℎ2 + (𝑙

2)

2

⟹ 𝑙2 = ℎ2 +𝑙2

4⟹ 𝑙2 −

𝑙2

4= ℎ2 ⟹ 4𝑙2 − 𝑙2 = 4ℎ2

⟹ 3𝑙2

4= ℎ2 ⟹ ℎ = √

3𝑙2

4⟹ ℎ =

𝑙√3

2

Cálculo da área do triângulo ABC em função do lado:

Exemplo 2: (PUCMG 2010) De uma placa quadrada de 16cm2 foi recortada

uma peça conforme ilustrado na figura. Queremos determinar a área da superfície da

peça.

𝐴∆ = 𝑙.

𝑙√322

𝐴∆ = 𝑙.

𝑙√322

𝐴∆ =𝑙2√3

4

Solução: Para determinar a área da peça, e considerando que a placa é

quadrada e tem 16cm2 de área, vamos dividir a peça em um quadrilátero (A1) e um

triângulo (A2) conforme representado na figura. A área da peça pode ser dada por: A

(peça)= A1+A2

Para o cálculo de A1, como temos dois triângulos de base 1 cm e altura 2cm e

um retângulo de 1cm por 2cm vamos utilizar: 2 (1.2

2) + 1.2 = 4𝑐𝑚2

Para o cálculo de A2, como temos um triângulo de base 1 cm e altura relativa a

essa base 2 cm vamos utilizar: 1.2

2= 1𝑐𝑚2

A (peça) = 4𝑐𝑚2 + 1𝑐𝑚2 = 5𝑐𝑚2

Exemplo 3: (UFRGS 2008) Na figura abaixo, a malha quadriculada é formada

por quadrados de área 1. Os vértices do polígono sombreado coincidem com os

vértices dos quadrados dessa malha. Queremos calcular a área do polígono

sombreado.

Solução: A área do polígono sombreado pode ser dada tomando-se a área total

(36) e dela subtraindo quatro vezes a área de um triângulo de base 6 e altura 2.

Apol=36 − 4 (6.2

2) = 36 − 24 = 12 u.a. (unidades de área)

Área do trapézio

A área de um trapézio é metade do produto do comprimento de sua altura pela

soma dos comprimentos de suas bases.

Seja ABCD um trapézio cujas bases são os lados AB e CD como na Figura 6.

Figura 6 - Trapézio ABCD

No trapézio ABCD vamos traçar a diagonal AC para dividir o trapézio em dois

triângulos, ABC e ACD. Vamos traçar, também, as alturas CE, do triângulo ACB, e

AF, do triângulo ACD. Assim, temos que a medida de 𝐴𝐹 é igual a medida de 𝐶𝐸, já

que os lados AB e CD são paralelos.

Como consequência temos que:

Área(ABCD)= Área (ACB) + Área (ACD) = 1

2. 𝐴𝐵. 𝐶𝐸 +

1

2. 𝐷𝐶. 𝐴𝐹 =

1

2(𝐴𝐵 + 𝐷𝐶). 𝐶𝐸

Um trapézio apresenta duas bases, as quais são denominadas, via de regra,

“base maior” e “base menor”, sendo que na notação usual são designadas,

respectivamente, por “B” e “b”. Assim, considerando h a altura (tanto dos triângulos

quanto do trapézio) podemos escrever:

Área do trapézio ABCD = 1

2 (𝐵 + 𝑏).ℎ

Exemplo 4: A altura de um trapézio retângulo mede x metros e suas bases

excedem a altura respectivamente em 4m e 2m. Queremos determinar as medidas

das bases desse trapézio, sabendo que sua área mede 18m2.

Solução: Vamos representar a situação posta no problema a partir de uma

figura.

Como a área do trapézio é dada por Área do trapézio=1

2 (𝐵 + 𝑏). ℎ, temos que:

Á𝑟𝑒𝑎 =1

2 ((𝑥 + 4) + (𝑥 + 2)). 𝑥 =18

1

2 (2𝑥 + 6). 𝑥 = 18

𝑥2 + 3𝑥 = 18

𝑥2 + 3𝑥 − 18 = 0

𝑥 =−3 ± √32 − 4.1. (−18)

2

𝑥 = 3 𝑜𝑢 𝑥 = −9

Como estamos nos referindo a medidas de lados de um polígono estas não

podem ser negativas, logo 𝑥 = 3𝑚 é a altura do trapézio e suas bases medem

respectivamente, 7m (base maior) e 5m (base menor).

Exemplo 5: Considerando o trapézio do exemplo anterior queremos, agora,

determinar o seu perímetro.

Solução: A partir da solução do exemplo anterior temos um trapézio de altura

3cm, e bases 7cm e 5cm faltando, portanto, a medida (y) do seu quarto lado para que

possamos calcular o perímetro (ver figura). Como se trata de um trapézio retângulo

cuja altura mede 3cm podemos, então, considerar um triângulo retângulo de lados

3cm e 2cm (diferença entre as medidas das bases) e hipotenusa y.

Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos que:

𝑦2 = 32 + 22 ⟹ 𝑦2 = 9 + 4 ⟹ 𝑦 = √13𝑐𝑚

Como o perímetro é dado pela soma da medida dos lados temos que o

perímetro P é dado por:

P=3+5+7+√13 = 15√13cm

Área do losango

Um losango é um paralelogramo e, portanto, sua área também é dada como

sendo o produto do comprimento de um de seus lados pelo comprimento da altura

relativa a este lado. Porém, considerando as propriedades do losango (lados paralelos

e congruentes) é possível estabelecer uma fórmula para o cálculo de sua área a partir

das suas diagonais.

Assim, dado um losango ABCD com o da Figura 7, vamos traçar suas diagonais

e, pelos vértices, conduzir paralelas às diagonais.

Figura 7 - Losango

Tomando como referência a figura podemos considerar que a área do losango

equivale a metade da área dos oito triângulos gerados a partir da construção das

diagonais e das paralelas às diagonais. Assim, podemos escrever:

𝐴𝑙𝑜𝑠𝑎𝑛𝑔𝑜 =𝐴8 𝑡𝑟𝑖â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠

2

Área do losango ABCD = 𝑑1.𝑑2

2

Área do quadrado

Dado um quadrado de lado l, como o da Figura 8, temos que a área do

quadrado é dada por l2, pois o quadrado é um retângulo particular.

Figura 8 - Quadrado de lado l

Área do quadrado = 𝑙2

Perímetro e área do círculo

Dado um círculo de centro O e raio r (Figura 9), vamos destacar relações que

estabeleçam seu perímetro e sua área.

Figura 9 - Círculo de centro O e raio r

O perímetro C de um círculo de centro O raio r é dada pela relação:

𝐶𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜 = 2𝜋𝑟

Já a área A de um círculo de centro O e raio r é dada pela relação:

𝐴𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜 = 𝜋𝑟2

Observação: O perímetro do círculo corresponde ao comprimento do segmento que

obtemos ao retificarmos uma circunferência sendo, também, denominado de

comprimento da circunferência (ver representação na Figura 10).

Figura 10 – Comprimento da circunferência

Podemos agora calcular áreas de superfícies de alguns dos sólidos estudados.

Exemplo 6: Se quer construir uma embalagem com o formato de um

paralelepípedo reto cujas dimensões são 20 cm, 30 cm e 40 cm. Considerando que

essa embalagem deve ter uma tampa, qual a quantidade de material necessário para

construir as diversas faces dessa embalagem? Se comprarmos uma quantidade de

material que corresponde a área da superfície total da embalagem será possível

construí-la?

Solução: A embalagem que queremos construir tem dimensões são 20cm,

30cm e 40cm e podemos representá-la pela figura a seguir.

A área da superfície dessa figura é dada por:

A = 2(20x30) + 2(20x40) + 2(30x40) = 5200cm2 ou 0,52m2. Porém, se comprarmos

exatamente a quantidade de material que corresponde a área da superfície,

provavelmente não vamos poder construir a embalagem pois sempre há algum tipo

de desperdício ou há a necessidade de material para que se possa montar a

embalagem. Além disso é necessário conhecer o tipo de material e como o mesmo é

vendido.

Exemplo 7: Um silo de formato cilíndrico e cobertura em forma de um cone, tem

base circular de 5m de raio e 18m de altura. A superfície lateral desse silo vai ser

pintada com uma tinta vendida em galões de 18 litros suficiente para cobrir uma

superfície de 50m2. Qual o número mínimo de galões de tinta a serem comprados?

Solução: Para estabelecermos o número de galões de tinta a serem comprados

é necessário calcularmos a área da superfície a ser pintada. Como só a superfície

lateral do silo será pintada, estamos nos referindo a um retângulo de medidas 18m

por 10π m, como esquematizado na figura (usar π = 3,14).

𝐴 = 2𝜋. 5.18 = 565,2 𝑚2

Como cada galão tem cobertura de 50m2, temos 565,2 ÷ 50 = 11,304. Assim, são

necessários, no mínimo, 12 galões de tinta.

Referências Bibliográficas

CARVALHO, Paulo Cezar Pinto. Introdução à Geometria Espacial. Rio de Janeiro: SBM, 1993.

EUCLIDES. Os Elementos. Tradução e introdução de Irineu Bicudo. São Paulo: UNESP, 2009.

NASSER, Lilian, TINOCO, Lucia Arruda de Albuquerque. Curso Básico de Geometria – Enfoque Didático. Módulos I, II, III. Rio de Janeiro: UFRJ, 2004-2006.

UNIVERSIDADE LUTERANA DO BRASIL. Geometria I. Canoas/RS: ULBRA, 2014. UNIVERSIDADE LUTERANA DO BRASIL. Geometria Plana e Espacial. Canoas/RS:

ULBRA, 2014.