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Controle de Sistemas Mecânicos

� Introdução� Realimentação de estado

� Realimentação de saída

Realimentação de estado


Introdução

A realimentação de estado envolve� Medição de todo o vetor de estado� Multiplicação pelo vetor de ganhos� Arbitrar as raízes do denominador� Escalamento do numerador


Estratégia de controle

determinar o vetor deganhos que satisfaça as

especificações desejadasde cada sistema

Estratégia decontrole

corresponde a uma alteração dospólos do sistema para novasposições no plano complexo


Diagrama de blocos matricial

� Seja a planta

� onde D=0 sem perda de generalidade

)()(

)()()(

tCxty

tButAxtx

=+=�

C)(sG)(sU )(sY)(sX


Diagrama de blocos geral

Realimentação do estado através do vetor de ganhos K epor conveniência um ganho kp no ramo de malha aberta

)( Kxrku p −=

pk

Realimentação

K

-+

K

BuAxx +=�)(ty)(tr

pk)(tx

C

( )u t


Matematicamente

� substituindo a realimentação na planta

)()(

)()()(

tCxty

tButAxtx

=+=�

BrkxBKkAx

KxrBkAxx

pp

p

+−=

−+=

)(

)(

�

�

)( Kxrku p −= +


Modelo do sistema

� Definindo as novas matrizes

� obtém-se o seguinte modelo de estadoem malha fechada

kA

Cxy

rBxAx kk

=+=�

BrkxBKkAx pp +−= )(�

kB


Função de transferência

� Lembrando: Obtém-se a função detransferência a partir do modelo de estadousando a fórmula

DBAsICsR

sYkk +−= −1)(

)(

)(

Revisão: Modelos canônicos

Controlável

Observável

N(p)D(p)-1

vu y

D(p)-1N(p)

vu y

Considerando um sistema de segunda ordem

Para o sistema

cuja FTO é

e decomposta em

N(p)D(p)-1

vu y

ubdt

dub

dt

udbya

dt

dya

dt

yd012

2

2012

2

++=++

012

012

2)(apap

bpbpbpL

++++=

Para o DB do modelo controlável

Considerando só o denominador

012

1)(

apappD

++=

u

-

∫ ∫

a1

a0

-

12 xx �=2x� vx =1

D(p)-1

vu

Ou ainda

Considerando apenas o numerador

v y0b

dt

db1

2

2

2 dt

db

012

2)( bpbpbpN ++=

N(p)

v y

Para o DB do modelo canônico controlável

Unindo os dois diagramas

v y0b

dt

db1

2

2

2 dt

db

u

-

∫ ∫

a1

a0

-

12 xx �=2x� vx =1

012

012

2)(apap

bpbpbpL

++++=

N(p)

v y

D(p)-1

vu

Diagrama final controlável

Resulta o DB

u

-∫ ∫

a1

a0

-

2x2x� 1x yb0

b1

b2

v y0b

dt

db1

2

2

2 dt

db

u

-

∫ ∫

a1

a0

-

12 xx �=2x� vx =1


Deduzindo o modelo

Partindo do DB

uxaxax

xx

+−−==

21102

21

�

�

222110 xbxbxby �++=

u

-∫ ∫

a1

a0

-

2x2x� 1x yb0

b1

b2

ubxabbxabby 221211020 )()( +−+−=


Modelo canônico controlável

Exemplo DB de um sistema segunda ordem

1

s1

s

a0

Y(s)

a1

+

-

U(s)

b0

b1

b2

+

-

+

+


Sistema de MF com realimentação estado(RE)

1

s1

s

a0

Y(s)

a1

+

-

U(s)

b0

b1

b2

+

-

+

+

k1

k2

-

R(s)

-

+k2

E(s)

pk


1

s1

s

a0

Y(s)

a1

+

-

U(s)

b0

b1

b2

+

-

+

+

k1

k2

-

R(s)

-

+k2

E(s)

DB do Sistema de MF com RE Matricial

B

A

K

Cx yr pkx�


Realimentação de saída

� Considerando o diagrama de blocos

-+

)(sHeq

)(sG)(sY)(sR

pk


Função de transferência equivalente

Observando que o ponto de entrada nocomparador para a malha de realimentaçãocontinua o mesmo

)()()( sYsHsKX eq=-

+

)(sHeq

)(sG)(sY)(sR

pk

-+

K

BuAxx +=�)(ty)(tr

pk)(tx

C

Para um Kachamos umHeq


Função de transferência equivalente

)()()( sYsHsKX eq=

BAsIC

BAsIKsHeq 1

1

)(

)()( −

−

−−=

)()( sCXsY =

)()()( 1 sBUAsIsX −−=)(

)(

)(

)()(

sCX

sKX

sY

sKXsHeq ==


Função de transferência malha fechada

BAsIKk

BAsICk

sR

sY

p

p

1

1

)(1

)(

)(

)(−

−

−+−

=

)()(1

)(

)(

)(

sHsGk

sGk

sR

sY

eqp

p

+= -

+

)(sHeq

)(sG)(sY)(sR

pk

1( ) ( )G s C sI A B−= −

BAsIC

BAsIKsHeq 1

1

)(

)()( −

−

−−=

permite a realocação dos pólospara o sistema em malha fechada

Inclusão do vetor derealimentação de estado


Exemplo22.1: Realimentação de estado

Para a planta cuja FT é

deseja-se que o sistema em malha fechada tenhapólos –1 e –2 utilizando a realimentação dasvariáveis de estado. Determinar o vetor de ganhosrespectivo.

1

52)(

2 ++=

s

ssG


Exp22.1: DB apartir FT

1

52)(

2 ++=

s

ssG 2 5y y u u+ = +��

N1/D

u yx

upNypD )()( =

x x u+ =��

2 5y x x= +�xpNy )(=

uxpD =)(


Exp22.1: DB do sistema

Diagrama de blocos do sistema original

-+

++

5

)(sY)(sU2

s

1

s

1

2x

1x

-+

)(sY)(sU

s

1

s

1

2x

1x

x x u+ =��

2 5y x x= +�


Exp22.1: ME (modelo de estado) apartir ED

1( )( )

( )

Y sC sI A B D

R s−= − +

2 5y y u u+ = +�� [2 5]

[1 0 1]

Np

Dp

==

0 1

1 0A

− =

1

0B

=

[ ]2 5C = 0D =

np=[2 5]dp=[1 0 1]sys=tf(np,dp);[a b c d]=tf2ss(np,dp);


Exp22.1: ME (modelo de estado) apartir DB

0 1

1 0A

= −

0

1B

=

[ ]5 2C = 0D =

-+

++

5

)(sY)(sU2

s

1

s

1

2x

1x

1 2

2 1

1 25 2

x x

x x u

y x x

== − +

= +

��


Exp22.1: FT apartir ME

1

52)(

2 ++=

s

ssG

0 1

1 0A

− =

1

0B

=

[ ]2 5C =

0D =

1( )( )

( )

Y sC sI A B D

R s−= − +

syms si=eye(2,2);ft=c*inv(s*i-a)*b;simplify(ft)


Exp22.1 : usando as equações de estado

Diagrama de blocos do sistema originalacrescentado-se o vetor de controle

-+

++

- -

+ 5

)(ty)(tr2

s

1

s

1

2x1x

pk

2K

1K

Vetor derealimentação

de estados

))(( 112212

21

trxKxKkxx

xx

p +−−+−==

�

�12 52 xxy +=

ganhoproporcional


Exep22.1: Continuação

))(( 112212

21

trxKxKkxx

xx

p +−−+−==

�

�12 52 xxy +=

)()1( 22112

21

trkxKkxKkx

xx

ppp +−+−==

��

12 52 xxy +=

Colocando em evidência asvariáveis de estado

Ak=a-kp*bk bk=kp*b


Exp22.1: Continuação

A nova função detransferência para ospólos especificados

23

52

)2)(1(

52

)(

)(2 ++

+=++

+=ss

s

ss

s

sR

sY

2( 3 2) ( ) (2 5) ( )s s Y s s R s+ + = +

rryyy 5223 +=++ ��

rx

x

x

x

+

−−

=

1

0

32

10

2

1

2

1

��

)(32 212

21

trxxx

xx

+−−==

�

�

1 25 2y x x= +


Exp22.1: Finalizando

)(32 212

21

trxxx

xx

+−−==

��

)()1( 22112

21

trkxKkxKkx

xx

ppp +−+−==

�

�

Comparando-se

21 1 =+ Kkp

32 =Kkp

1=pk 11 =K 32 =K

1=pk


Exp22.1:Solução utilizando a realimentação de saída

)()(1

)(

)(

)(

sHsGk

sGk

sR

sY

eqp

p

+=

-+

)(sHeq

)(sG)(sY)(sR

pk

23

52

)2)(1(

52

)(

)(2 ++

+=++

+=ss

s

ss

s

sR

sY

Função detransferência demalha fechada

comrealimentação de

saída

Função detransferência demalha fechada

desejada

Porcompa-ração



)(

)(

)(

)()(

sCX

sKX

sY

sKXsHeq ==

-+

++

- -

+ 5

)( sY)( sR2

s

1

s

1

)(2 sX

)(1 sXpk

2K

1K

)(2)(5)(2)(5)( 1121 ssXsXsXsXsY +=+=

)()25()( 1 sXssY +=



)(

)(

)(

)()(

sCX

sKX

sY

sKXsHeq ==

)()()( 121 sXsKKsKX +=

)()()()()( 12112211 ssXKsXKsXKsXKsKX +=+=

)25(

)()( 21

s

sKKsHeq +

+=


Exp22.1:Solução utilizando a FT

)()(1

)(

)(

)(

sHsGk

sGk

sR

sY

eqp

p

+=

Função de transferênciade malha fechada comrealimentação de saída

1

52)(

2 ++=

s

ssG

-+

)25(

)()( 21

s

sKKsH eq +

+=

)( sG)( sY)( sR

pk

)25(

)()( 21

s

sKKsH eq +

+=


Exp22.1: Conclusão

)1(

)52(

)(

)(

122 KksKks

sk

sR

sY

pp

p

++++

=

)()(1

)(

)(

)(

sHsGk

sGk

sR

sY

eqp

p

+=

1

52)(

2 ++=

s

ssG

)25(

)()( 21

s

sKKsH eq +

+=

++

+++

++

=

)25()(

152

1

152

)(

)(

212

2

s

sKK

s

sk

s

sk

sR

sY

p

p


Exp22.1: Conclusão:

23

52

)2)(1(

52

)(

)(2 ++

+=++

+=ss

s

ss

s

sR

sY 21 1 =+ Kkp

32 =Kkp

1=pk

1=pk 11 =K 32 =K

)1(

)52(

)(

)(

122 KksKks

sk

sR

sY

pp

p

++++

=

comparando


Exp22.1: Simulink: Escalar


Exp22.1: Simulink: Matricial


Exp22.1: Respostas sem e com controle

MatLabnp=[2 5]dp=[1 0 1]nf=[2 5]df=[1 3 2]

sysg=tf(np,dp)sysmf=tf(nf,df)step(sysg)hold onstep(sysmf)


Exercício 22.1

� Encontrar o vetor de ganhos p/ transformaro sistema de 2a. ordem abaixo porrealimentação de estados e realimentaçãode saída:

FA=0.1

FN=1rad/s

FA=0.707

FN=10rad/s


Exc22.1 - Solução: Continuação

)(

)(

)(

)()(

sCX

sKX

sY

sKXsHeq ==

)()()( 121 sXsKKsKX +=

)()()()()( 12112211 ssXKsXKsXKsXKsKX +=+=

1

)()( 21 sKK

sHeq

+=

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