Regime de Juros CompostosConceito: cada aumento é calculado sobre o valor no período anterior.

Dessa forma, sendo:

C: capital.

M: Montante.

i%: taxa de juros ao período.

n: número de períodos.

niCM )1(

Temos ainda:

1)1(

)1(

n

n

iCJ

CiCJCMJ

Em que J representa o juro da aplicação.

Exemplo 1: Sendo R$ 1.000,00 um capital aplicado à taxa de 20% ao ano, qual será o montante obtido após 3 anos de aplicação ?

Exemplo 2: Sendo R$ 2.662,00 o montante de uma aplicação à taxa de 10% ao ano por 3 anos, qual foi capital aplicado?

Exemplo 3: Sendo R$ 1440,00 o montante de uma aplicação de R$ 1.000,00 à taxa de 20% ao ano, durante quantos meses o dinheiro ficou aplicado?

Exemplo 4: Sendo R$ 1464,10 o montante de uma aplicação de R$ 1.000,00 após 4 anos, qual foi a taxa anual de juros aplicada?

Taxas Equivalentes

Duas taxas são consideradas equivalentes caso produzam um mesmo montante a partir de um mesmo capital num mesmo intervalo de tempo.

Sendo

i1%: taxa para um período n1.

i2%: taxa para um período n2..

Temos:2

1

)1(1 12n

n

ii

Exemplo 5: Qual é a taxa de juros trimestral equivalente a uma taxa mensal de 20% ao mês.

Exemplo 6: Qual é a taxa mensal de juros equivalentes à uma taxa quadrimestral de 46,41%?

Equivalência de Capitais

Dois ou mais capitais, são equivalentes quando, levados para uma mesma data focal à mesma taxa de juros, tiverem valores iguais.

Convenção Linear e Exponencial

Quando o número de períodos é não inteiro com relação à taxa,

(exemplo taxa de 12% ao ano aplicado por 18 meses), pode-se adotar duas formas para o cálculo do montante.

Convenção Exponencial: Todo o cálculo é através do regime composto mesmo que o expoente seja fracionário.

Convenção Linear: O cálculo à juros composto sé feito até o maior inteiro menor que o prazo estipulado e a partir daí o cálculo é feito à juros simples.

(ARFR 2002) Os capitais de R$ 2.500,00, R$ 3.500,00, R$ 4.000,00 e R$ 3.000,00 são aplicados a juros simples durante o mesmo prazo às taxas mensais de 6%, 4%, 3% e 1,5%, respectivamente. Obtenha a taxa média mensal de aplicação desses capitais.

(a)2,9%. (b) 3%. (c) 3,138% (d) 3,25%

(e) 3,5%.

(ARFR 2002) Um capital é aplicado a juros compostos à taxa de 40% ao ano durante um ano e meio. Calcule o valor mais próximo da perda percentual do montante considerando o seu cálculo pela convenção exponencial exponencial em relação ao seu cálculo em relação ao seu cálculo pela convenção linear, dado que 1,45=1,656502.

(a)0,5%. (b) 1%. (c) 1,4% (d) 1,7%

(e) 2%.

Uma conta no valor de R$ 2.000,00 deve ser paga em um banco segunda-feira, dia 8. O não pagamento implica em uma multa fixa de 2% sobre o valor da conta mais uma taxa de permanência de 0,2% por dia útil de atraso, calculada como juros simples sobre o valor da conta. Calcule o valor do pagamento devido no dia 22 do mesmo mês considerando que não há nenhum feriado bancário no período.

Os capitais de R$ 7.000,00, R$ 6.000,00, R$ 3.000,00 e R$ 4.000,00 são aplicados às taxas de 6%, 3%, 4% e 2%, ao mês no regime de juros simples pelo mesmo prazo. Calcule a taxa proporcional média anual de aplicação destes capitais.

(a) Represente o fluxo de 5 pagamentos mensais de R$500,00 sem entrada.

(b) Qual seria o valor a ser pago no ato ao invés dessa série supondo uma taxa mensal de 2%.

Fórmula do valor atual de uma série de n pagamentos de PMT reais considerando uma taxa de i% ao período.

n

n

ii

iPMTPV

)1(

1)1(

Freqüentemente é utilizado o coeficiente abaixo, cuja tabela de valores é dada pela banca.

n

n

in ii

ia

)1(

1)1(

Fórmula do montante de uma série de n pagamentos de PMT reais considerando uma taxa de i% ao período.

i

iPMTFV

n 1)1(

Freqüentemente é utilizado o coeficiente abaixo, cuja tabela de valores é dada pela banca.

i

is

n

in

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Fórmula do valor atual de uma série de n pagamentos de PMT reais considerando uma taxa de i% ao período.

n

n

ii

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Freqüentemente é utilizado o coeficiente abaixo, cuja tabela de valores é dada pela banca.

n

n

in ii

ia

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Fórmula do montante de uma série de n pagamentos de PMT reais considerando uma taxa de i% ao período.

i

iPMTFV

n 1)1(

Freqüentemente é utilizado o coeficiente abaixo, cuja tabela de valores é dada pela banca.

i

is

n

in

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(ARFR 2002) Um capital é aplicado a juros compostos à taxa de 40% ao ano durante um ano e meio. Calcule o valor mais próximo da perda percentual do montante considerando o seu cálculo pela convenção exponencial exponencial em relação ao seu cálculo em relação ao seu cálculo pela convenção linear, dado que 1,41,5=1,656502.

(a)0,5%. (b) 1%. (c) 1,4% (d) 1,7%

(e) 2%.

Uma pessoa tem que pagar 10 parcelas no valor de R$1000,00 cada que vencem todos os dias 5 dos próximos 10 meses. Todavia ela combina com o credor um pagamento único no dia 5 do último mês para quitar a dívida. Calcule este pagamento considerando juros simples de 4% ao mês.

Calcule o montante mais próximo ao fim de 18 meses de um fluxo de aplicações realizadas ao fim de cada mês: dos meses 1 a 6, cada aplicação é de R$2000,00, dos meses 7 a 12 cada aplicação é de R$4000,00 e dos meses 13 a 18 cada aplicação é de R$6000,00. Considere juros composto e que a remuneração da aplicação é de 3% ao mês.

Um país captou um empréstimo no mercado internacional por intermédio do lançamento de bônus com dez cupons semestrais vencíveis ao fim de cada semestre, sendo o valor nominal do bônus US$ 1,000.00 e de cada cupom US$ 60.00. Assim, ao fim do quinto ano o país deve pagar o último cupom mais o valor nominal do bônus. Considerando que os bônus foram lançados com um ágio de 7,72% sobre o seu valor nominal, obtenha o valor mais próximo da taxa nominal anual cobrada no empréstimo, desprezando custos de registro da operação, de intermediação, etc.a) 16% b) 14% c) 12% d) 10% e) 8%

Na compra de um carro em uma concessionária no valor de R$ 25.000,00, uma pessoa dá uma entrada de 50% e financia o saldo devedor em doze prestações mensais a uma taxa de 2% ao mês. Considerando que a pessoa conseguefinanciar ainda o valor total do seguro do carro e da taxa de abertura de crédito, que custam R$ 2.300,00 e R$ 200,00, respectivamente, nas mesmas condições, isto é, em doze meses e a 2% ao mês, indique o valor que mais se aproximada prestação mensal do financiamento global.

Um país captou um empréstimo por intermédio do lançamento de uma certa quantidade de bônus no mercado internacional com valor nominal de US$1,000.00 cada bônus e com doze cupons semestrais no valor de US$ 60.00 cada cupom, vencendo o primeiro ao fim do primeiro semestre e assim sucessivamente até o décimo segundo semestre, quando o país deve pagar o último cupom juntamente com o valor nominal do título. Considerando que a taxa de risco do país mais a taxa de juros dos títulos de referência levou o país a pagar uma taxa final de juros nominal de 14% ao ano, obtenha o valor mais próximo do preço de

lançamento dos bônus, abstraindo custos de intermediação financeira, de registro etc.

Considerando a série abaixo de pagamentos no fim de cada ano, obtenha o número que mais se aproxima do valor atual total destes pagamentos no início do ano 1, a uma taxa de desconto racional de 10% ao ano, juros compostos.Ano 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Valor 400 400 400 400 200 200 200 200 200 1.200

A quantia de R$ 500.000,00 é devida hoje e a quantia de R$ 600.000,00 é devida no fim de um ano ao mesmo credor. Na medida em que os dois compromissos não poderiam ser honrados, uma negociação com o credor levou ao acerto de um pagamento equivalente único ao fim de dois anos e meio. Calcule o valor deste pagamento considerando que foi acertada uma taxa de juros compostos de 20% ao ano, valendo a convenção exponencial para cálculo do montante (despreze os centavos).

Uma empresa recebe um financiamento para pagar por meio de uma anuidade postecipada constituída por vinte prestações semestrais iguais no valor de R$ 200.000,00 cada. Imediatamente após o pagamento da décima prestação, por estar em dificuldades financeiras, a empresa consegue com o financiador uma redução da taxa de juros de 15% para 12% ao semestre e um aumento no prazo restante da anuidade de dez para quinze semestres. Calcule o valor mais próximo da nova prestação do financiamento.

Uma pessoa, no dia 1º de agosto, contratou com um banco aplicar mensalmente R$ 1.000,00 durante seis meses, R$ 2.000,00 mensalmente durante os seis meses seguintes e R$ 3.000,00 mensalmente durante mais seis meses. Considerando que a primeira aplicação seria feita em 1º de setembro e as seguintes sempre no dia primeiro de cada mês e que elas renderiam juros compostos de 2% ao mês, indique qual o valor mais próximo do montante que a pessoa teria dezoito meses depois, no dia 1o de fevereiro.

Calcule o valor mais próximo do valor atual no início do primeiro período do seguinte fluxo de pagamentos vencíveis ao fim de cada período: do período 1 a 6, cada pagamento é de R$3.000,00, do período 7 a 12, cada pagamento é de R$2.000,00, e do período 13 a 18, cada pagamento é de R$1.000,00. Considere juros compostos e que a taxa de desconto racional é de 4% ao período.

Ana quer vender um apartamento por R$ 400.000,00 a vista ou financiado pelo sistema de juros compostos a taxa de 5% ao semestre. Paulo está interessado em comprar esse apartamento e propõe à Ana pagar os R$ 400.000,00 em duas parcelas iguais, com vencimentos a contar a partir da compra. A primeira parcela com vencimento em 6 meses e a segunda com vencimento em 18 meses. Se Ana aceitar a proposta de Paulo, então, sem considerar os centavos, o valor de cada uma das parcelas será igual a:

Uma casa pode ser fi nanciada em dois pagamentos. Umaentrada de R$ 150.000,00 e uma parcela de R$ 200.000,00seis meses após a entrada. Um comprador propõe mudar o esquema de pagamentos para seis parcelas iguais, sendo a primeira parcela paga no ato da compra e as demais vencíveis a cada trimestre. Sabendo-se que a taxa contratada é de 6 % ao trimestre, então, sem considerar os centavos, o valor de cada uma das parcelas será igual a:

Uma empresa adquiriu de seu fornecedor mercadorias no valor de R$ 100.000,00 pagando 30% a vista. No contrato de financiamento realizado no regime de juros compostos, ficou estabelecido que para qualquer pagamento que for efetuado até seis meses a taxa de juros compostos será de 9,2727% ao trimestre. Para qualquer pagamento que for efetuado após seis meses, a taxa de juros compostos será de 4% ao mês. A empresa resolveu pagar a dívida em duas parcelas. Uma parcela de R$ 30.000,00 no final do quinto mês e a segunda parcela dois meses após o pagamento da primeira. Desse

modo, o valor da segunda parcela, sem considerar os centavos, deverá ser igual a:

O valor nominal de uma dívida é igual a 5 vezes o desconto racional composto, caso a antecipação seja de dez meses. Sabendo-se que o valor atual da dívida (valor de resgate)é de R$ 200.000,00, então o valor nominal da dívida, semconsiderar os centavos, é igual a:

Em janeiro de 2005, uma empresa assumiu uma dívida noregime de juros compostos que deveria ser quitada em duasparcelas, todas com vencimento durante o ano de 2005. Uma parcela de R$ 2.000,00 com vencimento no final de junho e outra de R$ 5.000,00 com vencimento no final de setembro. A taxa de juros cobrada pelo credor é de 5% ao mês. No fi nal de fevereiro, a empresa decidiu pagar 50% do total da dívida e o restante no final de dezembro do mesmo ano. Assim, desconsiderando os centavos, o valor que a empresa deverá pagar no final de dezembro é igual a:

Edgar precisa resgatar dois títulos. Um no valor de R$50.000,00 com prazo de vencimento de dois meses, e outro de R$ 100.000,00 com prazo de vencimento de três meses. Não tendo condições de resgatá-los nos respectivos vencimentos, Edgar propõe ao credor substituir os dois títulos por um único, com vencimento em quatro meses. Sabendo-se que a taxa de desconto comercial simples é de 4% ao mês, o valor nominal do novo título, sem considerar os centavos, será igual a:

Paulo aplicou pelo prazo de um ano a quantia total de R$50.000,00 em dois bancos diferentes. Uma parte dessa quantia foi aplicada no Banco A, à taxa de 3% ao mês. O restante dessa quantia foi aplicado no Banco B a taxa de 4%ao mês. Após um ano, Paulo verificou que os valores finais de cada uma das aplicações eram iguais. Deste modo, o valor aplicado no Banco A e no Banco B, sem considerar os centavos, foram, respectivamente iguais a:

Um banco deseja operar a uma taxa efetiva de juros simplesde 24% ao trimestre para operações de cinco meses. Destemodo, o valor mais próximo da taxa de desconto comercialtrimestral que o banco deverá cobrar em suas operações decinco meses deverá ser igual a: