Regime Permanent Eac
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Regime Permanente Senoidal Álvaro Medeiros
Introdução › Objetivos
– Mostrar comportamento da LT com entrada senoidal – Apresentar parâmetros relativos ao regime permanente AC – Analisar a LT sem reflexões e LT sem distorção
Introdução › Equações do Telegrafista
› Aplicações – Transmissão de potência (60 ou 50 Hz) – Sinais de faixa estreita
( ) ( ) ( )txit
LtxRitxex
,,,∂∂
−−=∂∂
( ) ( ) ( )txet
CtxGetxix
,,,∂∂
−−=∂∂
Solução para LT em regime permanente AC › Representação fasorial
› Equações da LT
( ) ( ) ( )θ
ωω θωj
tjtj
eEE
tEEeexEtxe
=
+=== cosReRe,
( ) ( ) ( )θ
ωω θωj
tjtj
eII
tIIeexItxi
=
+=== cosReRe,
( ) ( ) tjtj IeLjREex
ωω ω+−=∂∂ ( ) ( ) tjtj EeCjGIe
xωω ω+−=
∂∂
Solução para LT em regime permanente AC › Simplificando
› Definição – Impedância-série da LT (Ω/m): Z = R + jωL – Admitância-paralela da LT (S/m): Y = G + jωC
› Atenção! Y ≠ 1/Z
( ) ZIILjRdxdE
−=+−= ω
( ) YEECjGdxdI
−=+−= ω
Solução para LT em regime permanente AC › Derivando com relação a x
› Solução
dxdIZ
dxEd
−=2
2
( )EYZdx
Ed=2
2 Eq. da onda no regime permanente senoidal
)( esquerda àpropagando onda
2
)( direta àpropagando onda
1
↓
+
↑
− +=
x
xYZ
x
xYZ eCeCE
Solução para LT em regime permanente AC › Substituindo
› Impedância característica da linha
( ) ( ) ZIeZYCeZYCdxdE xZYxZY −=+−= −
21
( )xZYxZY eCeCYZ
I 211
−= −
Ω++== em 0 CjG
LjRYZZ
ωω
Solução para LT em regime permanente AC › Para a LT sem perdas (R=G=0)
– Note que Z0 ≠ Z(x) = E(x)/I(x)
› Constante de propagação da LT
› Para a LT sem perdas (R=G=0)
CLZ =0
( )( ) βαωωγ jCjGLjRYZ +=++==
LCjCjLj ωωωγ =⋅=
LCωβα == e 0
Linha sem reflexões › Modelo matemático mais simples é a linha infinita
0 ℓ x
Eg
Zg Z0
.....
.....
Es
+
-
Linha sem reflexões › Circuito equivalente
0 ℓ x
Eg
Zg Z0 Es
+
-
Linha casada, corretamente terminada ou não-ressoante
Linha sem reflexões › Onda progressiva (apenas primeira componente)
› Em t=0
› Temos então que
xYZeCE −= 1
( ) 10 CExE s ===
xYZseEE −=
xseEE γ−=
xjxs eeEE βα −−=
xeEE xs βα −∠= −
Linha sem reflexões › Analogamente
› Tensão na entrada – Lembrando que fasor de amplitude = √2 fasor eficaz
0
0
θβα jxjxs eeeZEI −−−= 000 θ∠= ZZ
( ) tjxjxs eeeEtxe ωβα −−= Re,
( ) ( )xteEtxe xs βωα −= − cos,
Se considerado real
Linha sem reflexões › Para ωt – βx constante
› Linha sem perdas
( ) 0 0 =−⇒=−dtxdxt
dtd βωβω
βω
==dtxdvp
Velocidade de fase da onda
1LC
vp =LCωβ =
βπλπβ 2 2 =⇒=x Comprimento de onda
Linha sem reflexões › Velocidade de fase = velocidade de uma onda senoidal
estacionária › Velocidade de fase = velocidade de propagação dos
campos elétrico e magnético › Velocidade de fase ≠ velocidade dos elétrons
– Elétrons realizam movimento oscilatório que se sobrepõe a sua velocidade usual
Linha sem reflexões Onda progressiva em
linha casada com ℓ=4λ/3 e α=0,9 neper
Linha sem reflexões › Tensão ao longo da linha varia
senoidalmente à medida que a onda passa – Fase se atrasa progressivamente – Amplitude tem valor √2Ese-αx e
valor eficaz Ese-αx – Atraso de fase é igual a βx
› Exemplo: em λ/4 atraso é de 90º
Variação do fasor de tensão em linha casada com ℓ=7λ/8 e α=0,8 neper
Atenuação na linha › Relação entre E ou I dois pontos da linha
E1 E2
Nepers lnlnlnlnNepers em Atenuação1
1
2
1
2
1 xeeE
EII
EE x
x ααα ==
=
=
= −
x
=
=
=
2
1
2
1
2
1 log20log20log10dB em AtenuaçãoII
EE
PP
Neper em Atenuação686,8ln10ln
20dB em Atenuação2
1 ⋅=
=
II
Decibel (dB) › Importante em telecomunicações
– Resposta em frequência do ouvido humano e de canais é logarítmica – Ganhos e perdas ao longo de um sistema de comunicações estão em ordem
exponencial
› dB não é nenhuma unidade de medição de uma grandeza elétrica › dB corresponde a uma relação entre duas grandezas elétricas, tais
como Potência (W), Tensão (V), Corrente (A)
Sistema Entrada Saída
Decibel (dB) › Decibel (dB)
– O dB permite comparar saídas com entradas e vice-versa – Se a saída é maior que a entrada diz-se que existe um ganho (+) – Se a saída é menor que a entrada diz-se que existe uma perda (-) – Valor em dB = 10 log10(P2/P1)
Sistema
P1 P2
Decibel (dB) › Decibel em Potências
PdB
2mW 4mW PdB=10log(4/2)= +3,01 dB
+9dB 6mW P2 P2=6 x 10(9/10)= 48 mW
PdB 10mW 0,1mW PdB=10log(0,1/10)= -20 dB
Decibel (dB) › Regras básicas
– Multiplicar equivale a somar em dB – Dividir equivale a subtrair em dB
– Quadrado equivale a multiplicar por 2 – Raiz quadrada equivale a dividir por 2
PdB=10log(A x B) =10log(A)+10log(B) = A + B dB
PdB=10log(A / B) =10log(A)-10log(B) = A - B dB
Decibel (dB) › Regras básicas
– Exemplo
equivale a
+7dB 15mW P2
+10dB = 10 vezes -3 dB = dividir por 2 P2=15x10/2 = 75mW +10dB
15mW -3dB P2
Decibel (dB) › dBm e dBW
– Derivados do dB e continuam a ser uma relação – Medidas de potência
› dBm é relacionado a 1mW › dBW é relacionado a 1W
– Valor em dBm = 10 log10(P / 1mW) – Valor em dBW = 10 log10(P / 1W)
1mW = 0dBm 1W = 0dBW
+30dBm= 1000mW =1W = 0dBW -30dBW = 0,001W = 1mW = 0dBm
Decibel (dB) › dBm e dBW
– Exemplo: Calcular P2 em dBm
– Exemplo: Calcular P1 em dBm
+23dB 8mW P2
-17dB 10mW P1
Decibel (dB) › Decibel em Tensão e Corrente
– Valor em dB = 20 log10(V2 / V1) apenas se R1=R2
P1=V12/R1
P2=V22/R2
PdB=10log(P2/P1) = 10log[ (V22/R2)/(V1
2/R1)] =10log(V2
2/V12)+10log(R1/R2)
=20log(V2/V1) + 10log(R1/R2)
Decibel (dB) › Exemplo
– Um estação transmissora de rede celular utiliza um transmissor que entrega 1W ao cabo que liga à antena. O cabo tem uma perda de 0,2dB/m e comprimento 30m. A antena apresenta um ganho de 3dB ao sinal. Qual a máxima perda do sinal (em dB) no ar se o receptor (celular) opera com potência de recepção mínima de -100dBm? 1W
Análise na frequência › Parâmetros importantes
› Casos particulares – Corrente contínua – Altas frequências
› Em linhas com boa isolação – Perdas no condutor muito maiores que na isolação G/C<<R/L
CjGLjRZ
ωω
++=0 ( )( )CjGLjRj ωωβαγ ++=+=
GRZ =⇒= 00ω RG==αγCLZ =⇒∞→ 0ω LCjj ωβγ ==
LRj
CLZ
ω−= 10
Análise na frequência › Aproximação deixa de ser
válida à medida que a frequência diminui
› Exemplo – Linha telefônica: R/L=2780
e G/C=36,5 – Cabo telefônico: R/L=60000
e G/C=33
› Linhas com dielétrico sólido podem ter perdas bastante elevadas
Análise na frequência › Aproximação
› Constante de propagação
– Para frequência mais alta, R<<ωL e G<<ωC, então
( )( )
+⋅
+≅++=
CjGCj
LjRLjCjGLjR
ωω
ωωωωγ 1
21
2
CLZ =0
baa
baba >>+≅+ para 12
LCjCLG
LCR ωγ ++=
22 LCGZZR ωβα =+=⇒ e
22 0
0
Análise na frequência › Dois condutores de cobre 10 AWGN espaçados de 30,5cm
Sistemas lineares › Resposta na frequência
– Aplicando Transformada de Fourier
› X(w) – Função densidade espectral de x(t) › Y(w) – Função densidade espectral de y(t) › H(w) – Função de transferência do sistema
( ) ( ) ( ) ( )wHwXthtx ↔∗
Y(w) X(w) H(w)
Sistemas lineares › Função de transferência
– Geralmente é uma função complexa
– |H(w)| é denominada resposta em amplitude do sistema
– θh(w) é denominada resposta em fase do sistema
( ) ( ) ( )wj hewHwH θ=
( ) ( )( )wXwY
wH =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) wHwHwww xyh Re
Imtan 1−=−= θθθ
Sistemas lineares › Alterações na amplitude
– Se |H(w)|=1 ⇒ sistema passa-tudo
– Amplificador ideal
› |H(w)|= constante na faixa do sinal a ser amplificado
– Se |H(w)|≠ constante
› Alterações no sinal
› Alterações desejadas: Filtros, equalizadores
› Alterações indesejadas: distorções
Sistemas lineares › Alterações na fase
– Seja
– Se
– Se
( ) ( ) ( ) ( )321 6cos324cos
212cos
211 φπφπφπ ++++++= ttttx
0321 === φφφ
12;8;4 321 === φφφ
Sistemas lineares › Alterações na fase
– Seja
– Se
– Se
( ) ( ) ( ) ( )321 2cos322cos
212cos
211 φπφπφπ ++++++= ttttx
93,0;7,2;6 321 =−== φφφ
7;1,4;2,1 321 −=== φφφ
Transmissão sem distorção › Entrada e saída tem formas de onda idênticas
– Geralmente é uma função complexa – Sinal de entrada x(t) e de saída y(t) satisfazem a condição
› k – constante multiplicativa › t0 – atraso imposto pelo sistema
( ) ( )0ttxkty −⋅=x(t)
t y(t)
t t0
Transmissão sem distorção › Transformada de Fourier
– Como Y(w)= H(w) X(w), então
– Resposta em amplitude |H(w)|=k – Resposta em fase θh(w)= -wt0
( ) ( )wXkewY jwt0−=
( ) 0jwtkewH −=
Transmissão sem distorção
› Resposta em amplitude constante
› Resposta em fase decresce linearmente com a frequência
Transmissão sem distorção
› Sistema passa-tudo – Resposta em fase não necessariamente linear – Mudanças na fase não-lineares com a frequência podem acarretar
em mudanças no sinal de saída – Não confundir com sistema sem distorção
› Na prática, sistemas reais podem apenas aproximar-se das características ideais dos sistemas sem distorção
› Um método para verificar a linearidade da fase é analisar a sua derivada
Transmissão sem distorção
› Exemplo
( ) ( )
( ) 6101 onde
11
11
==+
=
+=
+=
RCa
jwaawH
jwRCjwCRjwCwH
Transmissão sem distorção
› Exemplo
( )
( )
( ) 22
1
22
tan
waa
dwdwt
aww
waawH
hd
h
+=−=
−=
+=
−
θ
θ( )
( )
( ) 6101
1 para
−=≅
−≅
=≅
<<
awt
aww
wHaw
d
hθ
Transmissão sem distorção
Distorção em sinais de áudio e vídeo › Áudio
– Ouvido humano é mais sensível a distorções em amplitude do que em fase
– Distorção de fase torna-se perceptível quando a variação do atraso td(w) é da mesma proporção da duração do sinal
– Exemplo: Sinal de voz › Cada sílaba é considerada um sinal individual de duração entre 0,001 a
0,1 segundos › Sistemas de áudio apresentam td(w) da ordem de frações de milisegundos › Fabricantes apresentam apenas |H(w)|
Distorção em sinais de áudio e vídeo › Vídeo
– Olho humano é mais sensível a distorções em fase do que em amplitude
– Na TV, distorções em amplitude apresentam-se como destruição nas componentes de cores, que é imperceptível ao olho humano
– Distorções em fase podem apresentar atrasos diferentes os elementos da imagem, resultando em uma imagem manchada
original distorcida
Linha sem distorção › Sistema não causa distorção no sinal de entrada se sinal de saída
tem o mesmo formato em todas as frequências › Para isso, componentes em frequência devem ser atenuadas
igualmente e devem ter a mesma variação (velocidade) de fase, então
› Linha sem distorção pode ser obtida se
› Assim,
constante e constante ==βωα
CG
LR=
LCjRG ωγ += LCRG ωβα ==⇒ e
Carregamento indutivo › Normalmente G/C<<R/L › Para reduzir a distorção, pode-se
– Aumentar G ⇒ Aumento das perdas no dielétrico – Redução de R ⇒ Aumento de diâmetro dos fios – C pode ser diminuída e L pode ser aumentada aumentando
espaçamento entre condutores
› Na prática utiliza-se o carregamento indutivo (pupinização) – Envolve-se condutores com tiras metálicas de alta
permeabilidade – Insere-se bobinas indutoras em intervalos regulares
Carregamento indutivo › Principal motivação é a redução na atenuação
› Exemplo: α = 4,8×10-3 + 0,06 ×10-3
– Se L aumenta 4 vezes, α = 2,4×10-3 + 0,12 ×10-3 = 2,5 ×10-3
› Carregamento indutivo é mais comum em cabos telefônicos – R alto e L baixo – Condutores mais finos e muito próximos – O uso de bobinas tornam a linha em filtro passa- baixas
› Problemas com o ADSL – Regeneradores e amplificadores são mais utilizados hoje em dia
CLG
LCR
22+≅α
Velocidade de fase e de grupo › Velocidade de fase de uma onda senoidal progressiva
– Esta velocidade vale para sistemas em que fase é linarmente proporcional à frequência
› Considere uma onda senoidal modulada em amplitude por outra portadora senoidal
βω
=pv
( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) ( )[ ]xtE
xtExtEtxeββωω
βωββωω∆+−∆++
−+∆−−∆−=cos
coscos,
2
12
Velocidade de fase e de grupo › Como cos(a+b)=cosa cosb – sena senb, temos
› A velocidade de fase da envoltória do sinal é
› Para componentes muito agrupadas (∆ω→0 e ∆β→0)
( ) ( )[ ] ( )
portadora freq modulante sinal
21 coscos2, xtxtEEtxe βωβωω
−∆−∆+=∆
βω
∆∆
=gv
βω
ddvg = Velocidade de grupo
Velocidade de fase e de grupo › Velocidade de grupo é o
inverso da inclinação da função de fase com a frequência
› Velocidade de grupo ≠ velocidade de fase – Porém se igualam em sistemas
sem distorção
-1
=ωβ
ddvg
Exemplo › Um cabo telefônico tem as seguintes constantes na
frequência de 30 kHz: R=32,63 ohms/km, L=0,68 mH/km, C=38,53 nF/km, G=0,54 µmho/km. (a)Calcule α, β, comprimento de onda, velocidade de fase. (b) Encontre o comprimento da linha capaz de produzir uma atenuação de 3 dB. (c) Nesta frequência, a linha pode ser considerada sem distorção? Justifique. (d) Se a linha possui distorção, quanto deve ser aumentada a indutância com o carregamento indutivo para que ela não apresente distorção nesta frequência?
Lista de exercícios › Capítulo 2 (Johnson)
– 1, 2, 3, 6, 7, 10, 11, 13