Notas de Aulas 4 - Funcoes Elementares -Parte I

Prof Carlos A S Soares

Neste momento do curso de Elementos de Calculo 1, estamos interessados em rever algu-mas funcoes ja estudadas no Ensino Medio de forma a desenvolver os importantes conceitosde limites e continuidade. Comecamos esbocando o grafico de algumas funcoes, de forma aexplorar o significado da expressao

limx→x0

f(x) = l.

(leia-se: limite de f(x) quando x tende a x0 e igual a l.)

1 O conceito geral de funcoes reais

1.1 Apresentacao e Exemplos

Conceito 1.1 Seja A um subconjunto nao vazio de R. Uma funcao real de domınio A, in-dicada por f : A → R, e uma regra que faz corresponder a cada elemento de A um unicoelemento de R.

Exemplo 1.2 (1) f : [0, 1] → R dada por f(x) = x− 1. domınio=[0, 1]

(2) f : R → R dada por f(x) = x2 + 3x domınio=R

(3) f : R \ {0} → R dada por f(x) = 1xdomınio=R \ {0}

Lembramos que quando somente a regra e dada, o domınio da funcao e o maior suconjuntode R onde a regra se torna funcao. Determinar o domınio de uma funcao, quando a regra edada, significa determinar o maior subconjunto de R onde a regra se torna funcao.

Exemplo 1.3 Determine o domınio da funcao

f(x) =x− 1

2x− 1.

Solucao 1.4 E claro que a unica restricao e que o denominador seja nao nulo, isto e, devemoster 2x− 1 = 0, ou ainda, x = 1/2. Logo, o domınio e o conjunto R \ {1/2}.

Exemplo 1.5 Determine o domınio da funcao

f(x) =

√x− 1

2x− 1.

1

Solucao 1.6 Neste caso temos duas restricoes, quais sejam, x − 1 ≥ 0 e 2x − 1 = 0, o quenos leva a x ≥ 1 e x = 1/2. Portanto, o domınio de f e o conjunto [1,∞[.

Exemplo 1.7 Determine o domınio da funcao

f(x) =x− 1√2x− 1

.

Solucao 1.8 Neste caso, a restricao e 2x − 1 > 0, isto e, devemos ter 2x − 1 > 0. Logo, odomınio e o conjunto ]1/2,∞[= {x ∈ R; x > 1/2}.

Definicao 1.9 Dadas funcoes f, g de mesmo domınio, podemos definir as funcoes f + g,f − g, f.g e f/g como:

1) (f + g)(x) = f(x) + g(x), (f − g)(x) = f(x)− g(x)

2) (f.g)(x) = f(x).g(x)

3)(

fg

)(x) = f(x)

g(x).

4) Se k ∈ R definimos, ainda, a funcao kf dada por (kf)(x) = kf(x)

Salientamos que, em (1), (2) e (4) acima, as funcoes possuem o mesmo domınio das funcoesf e g, ja em (3) o domınio da funcao e o conjunto formado pelos numeros x que estao nodomınio da funcao g mas que nao anulam g, isto e, aqueles numeros x no domınio de g taisque g(x) = 0.

Exemplo 1.10 Considerando as funcoes f(x) = x− 1 e g(x) = x + 1, determine as funcoesf + g, f − g, fg e f

g.

Solucao 1.11 Pela definicao acima, teremos,

(f + g)(x) = f(x) + g(x) = x− 1 + x+ 1 = 2x

(f − g)(x) = x− 1− (x+ 1) = x− 1− x− 1 = −2

(fg)(x) = f(x)g(x) = (x− 1)(x+ 1) = x2 − 1

(fg)(x) = f(x)

g(x)= x−1

x+1desde que x+ 1 = 0, isto e, x = −1.

Observacao 1.12 Enfatizamos que duas funcoes reais f e g sao iguais se, e somente se,possuem o mesmo domınio e f(x) = g(x) para todo numero x no domınio.

Exemplo 1.13 Considere as funcoes f(x) = 1 e g(x) = xx. Note que f e g nao sao iguais

pois o domınio de f e R e o domınio de g e R \ {0}.

1.2 Zeros e estudo do sinal de funcoes

Dada uma funcao f , determinar os zeros ou raızes de f e determinar os numeros reais x nodomınio de f tais que f(x) = 0. Logo, as raızes de f sao as abscissas dos pontos onde o graficode f corta(ou toca ) o eixo x.

2

Exemplo 1.14 Determine as raızes da funcao f(x) = x2 − 1.

Solucao 1.15 Devemos ter x2 − 1 = 0, o que nos leva a x = ±1.

Exemplo 1.16 Determine as raızes da funcao f(x) = x2−1√x−1

.

Solucao 1.17 Devemos ter x2 − 1 = 0, o que nos leva a x = ±1 mas, observando que odomınio de f sao os numeros maiores que 1, teremos que a funcao nao possui zeros.

Recordemos que estudar o sinal de uma funcao f e determinar os numeros x no domıniode f tais que f(x) > 0, os numeros x tais que f(x) < 0 e os zeros de f .

Exemplo 1.18 Estudar o sinal da funcao f(x) = 5x+ 1.

Solucao 1.19 Devemos determinar os numeros x tais que 5x− 1 > 0, os numeros x tais que5x+ 1 < 0 e os numeros x tais que 5x+ 1 = 0. Teremos, entao,

f(x) > 0 ⇔ 5x+ 1 > 0 ⇔ x > 1/5 e

f(x) < 0 ⇔ 5x+ 1 < 0 ⇔ x < 1/5. Portanto, f(x) > 0 se x > 1/5, f(x) < 0 se x < 1/5 ef(x) = 0 se x = 1/5.

Exemplo 1.20 Estudar o sinal da funcao f(x) = (2x− 1)(x− 1).

Solucao 1.21 Inicialmente, lembremos que o produto de dois numeros e positivo se, e somentese, os dois numeros sao positivos ou os dois numeros sao negativos. Neste caso, entao, teremos

f(x) > 0 ⇔ (2x > 1 e x− 1 > 0) ou (2x < 1 e x− 1 < 0). Logo,

f(x) > 0 ⇔ (x > 1/2 e x > 1) ou (x < 1/2 e x < 1) ⇔ x > 1 ou x < 1/2. Logo,f(x) > 0 ⇔ x ∈ ] − ∞, 1/2[

∪]1,∞[. (E bom ter em mente que o e sempre resultara em

intersecao e o ou em uniao!)

De maneira analoga, teremos, f(x) < 0 ⇔ x ∈]1/2, 1[. Note que os zeros da funcao saox = 1/2 e x = 1.

1.3 Exercıcios

1. Qual o domınio da funcao f(x) =√5x+ 1? Justifique!

2. Considere as funcoes f(x) =√

x−1x+1

e g(x) =√x−1√x+1

. Responda, justificando:

(a) Qual o domınio da funcao f?

(b) Qual o domıno da funcao g?

(c) As funcoes f e g sao iguais?

3. Quais os zeros da funcao f(x) = x2 − 6x+ 10? Justifique!

4. Estude o sinal e determine os zeros da funcao f(x) = (x−1)(x−2)x

. Qual o domınio de f?Justifique!

3

2 Funcoes do Primeiro Grau e Funcoes Constantes

2.1 Funcoes do Primeiro Grau

Definicao 2.1 Uma funcao f : R → R sera dita uma funcao do primeiro grau se existem a eb numeros reais, com a = 0, tais que

f(x) = ax+ b ∀ x ∈ R.

Exemplo 2.2 Esbocar o grafico da funcao f(x) = x− 1.

Lembramos que o grafico de uma funcao do primeiro grau e sempre uma reta e, portanto,para esboca-lo basta escolhermos dois pontos nesta reta.

Solucao 2.3 Note que f(1) = 0 e f(0) = −1, isto e, o grafico de f passa pelos pontos (1, 0)e (0,−1). Segue o esboco do grafico

x

y

1

-1

Exemplo 2.4 Determine, se existir, uma funcao do primeiro grau tal que f(0) = −1 e f(1) =2. Determine os zeros e faca um esboco do grafico da funcao encontrada.

Solucao 2.5 Devemos determinar uma funcao do tipo f(x) = ax + b tal que f(0) = −1 ef(1) = 2, isto e, os numeros a e b devem satisfazer o sistema{

a.0 + b = −1a.1 + b = 2

.

Resolvendo, encontramos b = −1 e a = 3, logo a funcao e f(x) = 3x− 1. Para determinar oszeros, fazemos 3x− 1 = 0 e encontramos x = 1/3. Segue um esboco do grafico

4

x

y

-1

1

2

Exemplo 2.6 Estudar o sinal da funcao f(x) = 2x− 1

Solucao 2.7 Lembramos que estudar o sinal de uma funcao f e determinar os numeros xdo domınio de f tais que f(x) > 0, os numeros tais que f(x) < 0 e os numeros tais quef(x) = 0. No caso de uma funcao do primeiro grau, como neste exemplo, isto pode ser feitomuito facilmente. Vejamos:

f(x) > 0 ⇔ 2x− 1 > 0 ⇔ x > 12. Da mesma forma temos f(x) < 0 ⇔ x < 1

2. Logo,

f(x) > 0 ⇔ x > 1/2, f(x) < 0 ⇔ x < 1/2 e f(x) = 0 ⇔ x = 1/2.

Exemplo 2.8 Estudar o sinal da funcao f(x) = −2x+ 4

Solucao 2.9 A unica diferenca neste caso e que devemos ter cuidado ao lidarmos com ocoeficiente negativo de x. Logo, temos

f(x) > 0 ⇔ −2x + 4 > 0 ⇔ −2x > −4 ⇔ 2x < 4 ⇔ x < 2. Novamente, de maneiraanaloga, teremos,

f(x) < 0 ⇔ −2x+ 4 < 0 ⇔ −2x < −4 ⇔ 2x > 4 ⇔ x > 2 E claro que f(x) = 0 ⇔ x = 2.Portanto

f(x) > 0 ⇔ x < 2, f(x) < 0 ⇔ x > 2, f(x) = 0 ⇔ x = 2.

Exemplo 2.10 Resolver a inequacao

x+ 2

3− x− 1

2≥ x

Solucao 2.11 Temos

x+23

− x−12

≥ x ⇔ x+23

− x−12

−x ≥ 0 ⇔ 2(x+2)−3(x−1)−6x ≥ 0 ⇔ −7x+7 ≥ 0 ⇔ x ≤ 1.Logo, o conjunto solucao e igual a S =]∞, 1] = {x ∈ R; x ≤ 1}.

Exemplo 2.12 Resolver a inequacao

(3x− 2)(x− 1) > 0.

Solucao 2.13 Este tipo de inequacao e comumente chamada de inequacao produto. Suasolucao pode ser obtida facilmente lembrando, como ja o fizemos anteriormente, que o pro-duto de dois numeros e positivo se, e somente se, os dois numeros sao positivos ou os dois saonegativos. Devemos, entao, estudar o sinal de 3x− 2 e x− 1. Mas, claramente, temos

5

3x− 2 > 0 ⇔ x > 2/3 e 3x− 2 < 0 ⇔ x < 2/3. Temos, ainda, que

x − 1 > 0 ⇔ x > 1 e x − 1 < 0 ⇔ x < 1. Logo os dois serao positivos ⇔ x > 1 e osdois sao negativos ⇔ x < 2/3. Logo a solucao sera S =]−∞, 2/3[

∪]1,∞[. A representacao

abaixo e muito usada para resolvermos este tipo de inequacao. Na primeira reta temos o sinalde x− 1, na segunda o sinal de 3x− 2 e na terceira o produto dos sinais. Observe!

+

+ +

_ _

_

1

2/3

2/31

++

x-1

2x-3

(x-1)(2x-3)

_

Exemplo 2.14 Resolver a inequacao

3x+ 2 < −x+ 3 ≤ x+ 4.

Solucao 2.15 Neste tipo de inequacao devemos encontrar todos os valores de x que satisfazem3x+ 2 < −x+ 3 e −x+ 3 ≤ x+ 4. Mas

3x+ 2 < −x+ 3 ⇔ x < 1/4 e

−x+ 3 ≤ x+ 4 ⇔ −1 ≤ 2x ⇔ x ≥ −1/2. Logo, o conjunto solucao sera

S = {x ∈ R;−1/2 ≤ x < 1/4} = [−1/2, 1/4[.

Exemplo 2.16 Resolver a inequacao

−x+ 2

2x− 1≤ 0.

Solucao 2.17 Neste caso, temos uma inequacao quociente, que pode ser resolvida tal comofizemos com a inequacao produto em 2.12. Observe o estudo do sinal na figura a seguir.

6

_

++

2

1/2

1/2 1

++

-x+2

2x-1

(-x+2)/(2x-1)

+

_

++

Logo, nao existem numeros x tais que −x+22x−1

< 0 e, portanto, a solucao sera S = {2}.

Observacao 2.18 O significado geometrico dos numeros a e b na funcao f(x) = ax + b jafoi suficientemente abordado no estudo da reta. Manteremos a mesma denominacao, isto e, asera dito a declividade da funcao e b seu coeficiente linear.

Uma funcao f : A → R sera dita crescente se para quaisquer x1 < x2 em A, tivermosf(x1) < f(x2). De maneira analoga, uma funcao f : A → R sera dita decrescente se paraquaisquer x1 < x2 em A, tivermos f(x1) > f(x2). De maneira informal, dizer que uma funcaoe crescente significa que ao percorremos o grafico no sentido positivo do eixo x seu grafico irasubir. Dizer que uma funcao e decrescente significa que ao percorremos o grafico no sentidopositivo do eixo x seu grafico ira descer. Nao e difıcil perceber que uma funcao f(x) = ax+ b,com a = 0, sera crescente ou decrescente conforme a > 0 ou a < 0, respectivamente. Observea figura a seguir.

x

y

a>0

x

y

a<0

Exemplo 2.19 A funcao f(x) = 2x−1 e crescente. Ja a funcao f(x) = −2x−1 e decrescente.

2.2 Funcao Constante

Definicao 2.20 Uma funcao sera dita uma funcao constante se existe um numero real k talque

f(x) = k ∀ x ∈ R.

Lembramos que o grafico de uma funcao constante e sempre uma reta horizontal!

7

Exemplo 2.21 Esbocar o grafico da funcao f(x) = −1.

Solucao 2.22 Segue o esboco do grafico.

x

y

-1

Exemplo 2.23 Determine uma funcao constante tal que f(0) = 1/2.

Solucao 2.24 Devemos buscar a equacao de uma reta horizontal que passe pelo ponto (0, 1/2).E claro que tal reta tem equacao y = 1/2 e esta e a funcao, isto e, f(x) = 1/2.

2.3 Funcoes definidas por duas ou mais sentencas

Muitas vezes, nosso interesse recaira sobre funcoes que sao restricoes de funcoes conhecidas, istoe, funcoes que em parte do domınio coincidem com uma funcao f e em outra parte coincidemcom uma outra funcao g. Vejamos alguns exemplos.

Exemplo 2.25 Esbocar o grafico da funcao

f(x) =

{x+ 1, se x ≤ 01, se x > 0

Solucao 2.26 Note que o grafico de tal funcao sera o da reta y = x+ 1 se x ≤ 0 e o da retay = 1 se x > 0. Segue o esboco do grafico da funcao.

x

y

1

-1

Exemplo 2.27 Esbocar o grafico da funcao

f(x) =

{x+ 1, se x ≤ 02, se x > 0

8

x

y

1

2

Solucao 2.28 Neste caso, o grafico da funcao e o grafico da reta y = x + 1 se x ≤ 0( notea inclusao de 0, assinalada no grafico pelo uso do cırculo cheio! ) e da reta y = 2 se x > 2(cırculo vazio pois excluımos 0 ). Veja o grafico acima.

Exemplo 2.29 Esbocar o grafico da funcao

f(x) =

x+ 1, se x ≤ 01, se 0 < x < 12, se x ≥ 1

Solucao 2.30 Tal como no exemplo anterior temos o grafico a seguir. Note que naquelespontos onde terıamos cırculo cheio e vazio, prevalece o cheio!

x

y

1

2

2.4 Exercıcios

1. Estude os sinais das funcoes abaixo.

(a)f(x) = 2x+ 3 (b)y = −3x+ 2(c)y = 4− x (d)y = 5 + x(e)f(x) = 3− x

2(f)f(x) = x

3+ 3

2

(g)y = 2x− 43

(h)y = −x

2. Para quais valores de x a funcao f(x) = 2/3− x/2 e negativa? justifique!

9

3. Considere as funcoes f(x) = 2x + 3, g(x) = 2 − 3x e h(x) = 4x−12

. Para quais numerosreais x teremos:

(a)f(x) ≥ g(x) (b)g(x) < h(x) (c)f(x) ≥ h(x)

4. Resolver as inequacoes:

(a)− 2 < 3x− 1 < 4 (b)− 4 < 4− 2x ≤ 3(c)− 3 < 3x− 2 < x (d)x+ 1 ≤ 7− 3x < x

2− 1

(e)3x+ 4 < 5 < 6− 2x (f)2− x < 3x+ 2 < 4x+ 1

5. Resolver as inequacoes:

(a)(3x+ 3)(5x− 3) > 0 (b)(4− 2x)(5 + 2x) < 0(c)(5x+ 2)(2− x)(4x+ 3) > 0 (d)(3x+ 2)(−3x+ 4)(x− 6) < 0(e)(6x− 1)(2x+ 7) ≥ 0 (f)(5− 2x)(−7x− 2) ≤ 0(g)(3− 2x)(4x+ 1)(5x+ 3) ≥ 0 (h)(5− 3x)(7− 2x)(1− 4x) ≤ 0

6. Resolver as inequacoes:

(a)2x+1x+2

> 0 (b)3x−23−2x

< 0

(b)3−4x5x+1

≥ 0 (d)−3−2x3x+1

≤ 0

7. Resolver as inequacoes:

(a)5x−33x−4

> −1 (b)5x−23x+4

< 2

(c)x−1x+1

≥ 3 (d)3x−52x−4

≤ 1

8. Resolver as inequacoes:

(a) (1−2x)(3+4x)(4−x)

> 0 (b) (3x+1)(2x+5)(5x+3)

< 0

(c) (5x+4)(4x+1)5−4x

≥ 0 (d) 1−2x(5−x)(3−x)

≤ 0

9. Especifique qual funcao abaixo e crescente e qual e decrescente.

(a)y = 1 + 5x (b)f(x) = −3− 2x(c)f(x) = x+ 2 (d)y = 3− x(e)y = −2x (f)f(x) = 3x

10. Para cada funcao abaixo determine os valores de m que a faca crescente ou decrescente.

(a)f(x) = (m+ 2)x− 3 (b)y = (4−m)x+ 2(c)y = 4− (m+ 3)x (d)f(x) = m(x− 1) + 3− x

11. Esboce o grafico de cada funcao abaixo:

(a)y = 1/2 (b)f(x) = −2x− 1

(c)f(x) =

{x− 1, se x ≤ −12, se x > −1

(d)f(x) =

{2x+ 1, se x ≤ 1−2x, se x > 1

(e)f(x) =

x− 1, se x ≤ −12, se − 1 < x ≤ 34, se x > 3

(f)y =

{−1, se x ≤ 12x, se x > 1

10

3 Funcao Quadratica ou Funcao do Segundo Grau

3.1 Conceito, zeros e grafico

Definicao 3.1 Uma funcao f : R → R sera dita funcao quadratica ou do segundo grau seexistem numeros reais a, b e c, com a = 0, tais que

f(x) = ax2 + bx+ c, ∀ x ∈ R.

Exemplo 3.2 1)f(x) = x2 (b)f(x) = −x2 + 2x− 1 (c)f(x) = (2x− 1)2

Observacao 3.3 (1) Tal como visto anteriormente, o grafico de uma funcao do segundo graue uma parabola de diretriz horizontal e vertice dado por

V (− b

2a,−∆

4a) onde ∆ = b2 − 4ac,

com concavidade voltada para cima se a > 0 e para baixo se a < 0.

(2) Para esbocarmos o grafico de uma funcao do segundo grau, muitas vezes, e convenientedeterminarmos os zeros da funcao, isto e, os numeros x tais que f(x) = 0. Lembramos quetais numeros existem se, e somente se, ∆ = b2 − 4ac ≥ 0. Neste caso, os zeros serao dadospor

x =−b±

√∆

2a.

Exemplo 3.4 Para a funcao f(x) = x2 − 5x+ 6 pede-se:

(a) Determine seus zeros

(b) Determine seu vertice

(c) Esboce seu grafico assinalando o vertice e os zeros.

Solucao 3.5 (a) Inicialmente, note que a = 1, b = −5 e c = 6. Logo, os zeros serao dadospor

x = −b±√∆

2a=

−(−5)±√

(−5)2−4.1.6

2.1= 5±1

2⇒ x1 = 2, x2 = 3.

(b) Tal como observado acima o vertice sera dado por (− (−5)2.1

,− 14.1

) = (5/2,−1/4).

(c) Abaixo temos o esboco do grafico

x

y

2 3

V

Vertice(5/2,-1/4)

Zeros: x=2 e x=3

11

Exemplo 3.6 Faca um esboco do grafico da funcao

f(x) =

x+ 3, se x ≤ −1x2 − 1, se −1 < x ≤ 2

3, se x > 2

Solucao 3.7 Note que ate −1, inclusive, teremos o grafico da reta y = x+3. Entre −1(exclusive)e 2(inclusive), teremos o grafico da parabola y = x2 − 1 e, apos x = 2, temos a reta horizontaly = 3. Segue o esboco do grafico.

x

y

-1

2

3

3.2 Estudo do sinal

Iniciemos o estudo do sinal das funcoes do segundo grau atraves de um exemplo.

Exemplo 3.8 Estudar o sinal da funcao f(x) = x2 − 5x+ 6.

Solucao 3.9 Ja sabemos que os zeros desta funcao sao 2 e 3 e que seu grafico e uma parabolavoltada para cima. Logo, e simples concluir que

f(x) > 0 ⇔ x < 2 ou x > 3 e f(x) < 0 ⇔ 2 < x < 3.

No caso geral, pensando no grafico, e simples concluir que para uma funcao do tipo f(x) =ax2 + bx+ c, com a = 0, teremos:

1) Se ∆ > 0, isto e, se f possui duas raızes, entao f assume o mesmo sinal de a fora dasraızes e sinal contrario entre as raızes.

2) Se ∆ = 0, isto e, se f possui uma unica raız, entao f assume o mesmo sinal de a emtodos os numeros, exceto, e claro, na raız.

3) Se ∆ < 0, isto e, se f nao possui raız, entao f assume o mesmo sinal de a em todos osnumeros. Vide figuras a seguir.

12

x

y

+ +

_

a>0∆>0

x

y

_

+

_

a<0∆>0

x

y

+ + +

a>0∆=0

x

y

_ _ _

a<0∆=0

x

y

+ + +

a>0∆<0

x

y

_ _ _

a<0∆<0

Exemplo 3.10 Estudar o sinal da funcao f(x) = −x2 − 4x+ 12

Solucao 3.11 Facilmente calculamos as raızes de f encontrando x1 = −6 e x2 = 2. Comoa = −1 < 0, usando (1) acima, teremos

f(x) > 0 ⇔ −6 < x < 2, f(x) < 0 ⇔ x < −6 ou x > 2, f(x) = 0 ⇔ x = −6 ou x = 2.

Exemplo 3.12 Estudar o sinal da funcao f(x) = 4x2 − 20x+ 25

Solucao 3.13 Facilmente calculamos ∆ = 0, raız=5/2 e, sendo a = 4 > 0, teremos, usando(2) acima,

f(x) > 0 ⇔ x = 5/2 e f(x) = 0 ⇔ x = 5/2.

13

Exemplo 3.14 Estudar o sinal da funcao f(x) = −x2 + 3x− 7

Solucao 3.15 Neste caso, temos ∆ = −19 < 0 e, sendo a = −1 < 0, teremos, usando (3)acima,

f(x) < 0 ∀ x ∈ R.

Exemplo 3.16 Resolver a inequacao −x2 − 4x+ 12 ≤ 0.

Solucao 3.17 Inicialmente, deverıamos estudar o sinal da funcao, estudo este ja feito acima.Logo, temos

S = {x ∈ R;x ≤ −6 ou x ≥ 2} =]−∞,−6]∪

[2,∞[.

3.3 Exercıcios

1. Esboce o grafico das funcoes abaixo;

(a)f(x) = x2 − 2x− 3 (b)y = 4x2 − 10x+ 4(c)y = −x2 + 1

2x+ 1

2(d)f(x) = −3x2 + 6x− 3

(e)y = x2 − 3x+ 94

(f)f(x) = 3x2 − 4x+ 2(g)y = −x2 + x− 1 (h)y = −1

2x2 − x− 3

2

2. Estude o sinal de cada funcao do item anterior.

3. Resolver as inequacoes:

(a)x2 − 3x+ 2 > 0 (b)− x2 + x+ 6 > 0(c)− 3x2 − 8x+ 3 ≤ 0 (d)− x2 + 3

2x+ 10 ≥ 0

(e)8x2 − 14x+ 3 ≤ 0 (f)4x2 − 4x+ 1 > 0(g)x2 − 6x+ 9 ≥ 0 (h)− 4x2 + 12x− 9 ≥ 0(i)x2 + 3x+ 7 > 0 (j)− 3x2 + 3x− 3 < 0(k)2x2 − 4x+ 5 < 0 (l)− 1

3x2 + 1

2x− 1

4> 0

4. Resolva as inequacoes:

(a)(1− 4x2)(2x2 + 3x) > 0(b)(2x2 − 7x+ 6)(2x2 − 7x+ 5) ≤ 0(c)(x2 − x− 6)(−x2 + 2x− 1) > 0(d)(x2 + x− 6)(−x2 − 2x+ 3) ≥ 0

5. Resolver as inequacoes:

(a) 4x2+x−52x2−3x−2

> 0 (b)−9x2+9x−23x2+7x+2

≤ 0

(c) x2+2xx2+5x+6

≥ 0 (d) 2−3x2x2+3x−2

< 0

(e) x2+3x−16−x2+7x−10

≥ 1 (f)2x2+4x+5

3x2+7x+2< −2

6. Resolver as inequacoes:

(a)4 < x2 − 12 ≤ 4x(b)x2 + 1 < 2x2 − 3 ≤ −5x(c)0 ≤ x2 − 3x+ 2 ≤ 6(d)7x+ 1 < x2 + 3x− 4 ≤ 2x+ 2(e)0 < x2 + x+ 1 < 1(f)4x2 − 5x+ 4 < 3x2 − 6x+ 6 < x2 + 3x− 4

14

7. Determine m para que o grafico da funcao quadratica definida por f(x) = (m2 − 4)x2 +x+m tenha concavidade voltada para cima.

8. Determine m para que a funcao quadratica definida por f(x) = 3x2−6x−m tenha duasraızes distintas.

9. Determine m para que a funcao quadratica definida por f(x) = mx2 + x+ 1 tenha umaunica raız.

10. Seja a funcao

f(x) =

x2 + 3 se x ≤ −1x2 − x se −1 < x ≤ 2

3 se x > 2

Pede-se:

(a) Determine os zeros de f

(b) Faca um esboco do grafico de f

4 A Funcao Modulo

4.1 Apresentacao

Definicao 4.1 Chamamos funcao modulo ou funcao modular a funcao f : R → R dada por

f(x) = |x| ={

x, se x ≥ 0−x, se x < 0

Exemplo 4.2 (1) Como√2 > 0, temos |

√2| =

√2

(2) Como −1 < 0, temos | − 1| = −(−1) = 1

Observacao 4.3 (1) Note que 0 e o unico numero x satisfazendo |x| = 0. Sendo a > 0,existem dois numeros x tais que |x| = a, quais sejam, a e −a. Ja se a < 0 nao existe numerox tal que |x| = a.

(2) E simples notar que |x|2 = x2.

(3) Um erro frequente e fazer√x2 = x independente de x, mas isto so e verdade se x ≥ 0.

No caso geral, isto e, para qualquer numero x, o correto e√x2 = |x|.

(4) Enfatizamos que |x| ≥ 0 e |x| ≥ x qualquer que seja o numero x.

4.2 Equacoes simples envolvendo modulo

Nao pretendemos fazer um estudo pormenorizado de equacoes envolvendo modulos, tao so-mente abordaremos equacoes de tres tipos bem simples.

Tipo 1: Equacoes do tipo |f(x)| = a

Neste caso a equacao so tera solucao se a ≥ 0 e, sendo assim, a solucao sera encontradafazendo f(x) = a ou f(x) = −a. Vejamos alguns exemplos.

15

Exemplo 4.4 Resolver a equacao |3x− 1| = 2

Solucao 4.5 Como 2 > 0, fazemos 3x− 1 = 2 ou 3x− 1 = −2, obtendo assim, x1 = 1, x2 =−1/3.

Exemplo 4.6 Resolver a equacao |x2 − 1| = 0.

Solucao 4.7 Neste caso basta fazer x2 − 1 = 0, encontrando x = ±1.

Exemplo 4.8 Resolver a equacao |x2 + 2x− 1| = −1.

Solucao 4.9 Como −1 < 0, teremos S = ∅.

Tipo 2: Equacoes do tipo |f(x)| = |g(x)|

Obtemos as solucoes para equacoes deste tipo fazendo f(x) = g(x) ou f(x) = −g(x).

Exemplo 4.10 Resolva a equacao |x− 3| = |4x− 1|.

Solucao 4.11 Tal como mencionado, teremos

|x − 3| = |4x − 1| ⇔ x − 3 = 4x − 1 ou x − 3 = −(4x − 1). Resolvendo, encontramosx1 = −2/3 ou x2 = 4/5, isto e, S = {−2/3, 4/5}.

Tipo 3: Equacoes do tipo |f(x)| = g(x). Neste caso devemos exigir que g(x) ≥ 0 e, sendoassim, fazemos f(x) = g(x) ou f(x) = −g(x)

Exemplo 4.12 Resolver a equacao |3x+ 9| = 1− x.

Solucao 4.13 Devemos exigir que 1− x ≥ 0, isto e, x ≤ 1. Agora, fazemos

|3x + 9| = 1− x ⇔ 3x+ 9 = 1− x ou 3x + 9 = −(1− x) ⇔ x = −2 ou x = −5. Como osdois numeros satisfazem a condicao ≤ 1 teremos

S = {−2,−5}.

Exemplo 4.14 Resolver a equacao |2x− 1| = 5x+ 3.

Solucao 4.15 Devemos exigir que 5x+ 3 ≥ 0, isto e, x ≥ −3/5. Agora, fazemos

|2x − 1| = 5x + 3 ⇔ 2x − 1 = 5x + 3 ou 2x − 1 = −(5x + 3) ⇔ x = −4/3 ou x = −2/7.Note que −4/3 < −3/5, nao satisfazendo a condicao ≥ −3/5. Logo, temos,

S = {−2/7}.

Algumas equacoes, ainda que nao se enquadrem nos tipos acima, podem ser resolvidasfacilmente atraves de uma mudanca de variavel. Vejamos um exemplo.

Exemplo 4.16 Resolver a equacao x2 − 3|x| − 28 = 0.

Solucao 4.17 No inıcio desta secao observamos que x2 = |x|2 e, portanto, a equacao propostae equivalente a |x|2 − 3|x| − 28 = 0. Fazendo |x| = y, teremos a equacao y2 − 3y− 28 = 0, queresolvida resulta em y1 = 7 e y2 = −4. Retornando, agora, para obter os valores de x, teremos|x| = 7 ou |x| = −4, o que nos leva a solucao

S = {±7}.

16

4.3 Exercıcios

1. Resolva as equacoes:

(a)|x− 8| = 9 (f)4|x| − 5|x| =

112

(b)|x2 − 1| = 7 (g)|x2 − 4x| = |x− 6|(c)3|4x− 9| − 1 = 0 (h)|3x− 5|.(4x2 − 1) = 0(d)4|x− 3| = 13 (i)|3− |4x− 11|| = 6(e)|5− x| = |4x+ 12| (j)|7x− 1|+ 3 = 0

2. Resolva as equacoes:

(a)3x2 − 10|x| − 8 = 0 (b)(x− 3)2 + |x− 3| − 12 = 0

3. Resolva as equacoes:

(a)|3x− 1| = 6x+ 2 (b)|5x+ 6| = 3x− 1 (c)|x2 − 6x| = 2x− 12

4. Resolva o sistema {|3x+ 4| = 2y|2x− 1| = y

.

4.4 Zeros e graficos

Como |x| ={

x, se x ≥ 0−x, se x < 0

temos que o unico zero da funcao f(x) = |x| e x = 0. A seguir

temos o grafico desta funcao.

x

y

1

1

2

-2

Vejamos alguns exemplos de graficos de algumas funcoes simples envolvendo modulo.

Exemplo 4.18 Determine os zeros e esboce o grafico da funcao f(x) = |x− 1|.

Solucao 4.19 Os zeros podem ser obtidos facilmente fazendo |x − 1| = 0, o que nos leva ax− 1 = 0, ou ainda, x = 1.

Para esbocar o grafico, o ideal e escrevermos f como uma funcao de duas ou mais sentencas.Neste caso, note que

|x− 1| ={

x− 1, se x ≥ 1−(x− 1), se x < 1

.

Logo, devemos fazer o grafico da funcao

f(x) =

{x− 1, se x ≥ 1−x+ 1, se x < 1

.

17

Abaixo temos o grafico

x

y

1

1

y=x-1

y=-x+1

Exemplo 4.20 Determine os zeros e esboce o grafico da funcao f(x) = |x2 − 1|.

Solucao 4.21 Novamente, os zeros podem ser obtidos facilmente fazendo |x2 − 1| = 0, o quenos leva a x2 − 1 = 0, ou ainda, x = ±1.

Para esbocar o grafico, novamente, escrevemos f como uma funcao de duas ou mais sen-tencas. Neste caso, note que

|x2 − 1| ={

x2 − 1, se x2 − 1 ≥ 0−(x2 − 1), se x2 − 1 < 0

.

Estudando o sinal da funcao x2 − 1, chegamos a conclusao de que devemos fazer o grafico dafuncao

f(x) =

{x2 − 1, se x ≤ −1 ou x ≥ 1−x2 + 1, se − 1 < x < 1

.

Abaixo temos o grafico

x

y

-1 1

1

y=x^2-1y=x^2-1

y=-x^2+1

Observacao 4.22 Podemos poupar um pouco de trabalho ao fazermos graficos de funcoes dotipo acima, isto e, funcoes do tipo |f(x)|. Se conhecemos o grafico de uma funcao f(x), entaopodemos obter facilmente o grafico de |f(x)| bastando, para isto, refletir em torno do eixo x aparte do grafico que estiver abaixo do eixo x e manter inalterada a parte que ja esta cima doeixo x.

18

A seguir temos tres exemplos, lado a lado, dos graficos de uma funcao f(x) e a respectivafuncao |f(x)|.

x

y

-1

1

y=x+1

x

y

-1

1

y=|x+1|

x

y

-1 3

1

-4V

f(x)=x^2-2x-3

x

y

-1 31

4

f(x)=|x^2-2x-3|

x

y

-2 2

4

f(x)=-x^2+4

x

y

-2 2

4

f(x)=|-x^2+4|

Vale ressaltar que a observacao acima so e valida para o grafico de uma funcaodo tipo |f(x)|. Veja os exemplos abaixo.

Exemplo 4.23 Esbocar o grafico da funcao f(x) = x+ |x+ 1|.

Solucao 4.24 Inicialmente, note que

|x+ 1| ={

x+ 1, se x+ 1 ≥ 0−(x+ 1), se x+ 1 < 0

=

{x+ 1, se x ≥ −1−x− 1, se x < −1

.

Logo, teremos,

f(x) =

{x+ (x+ 1), se x ≥ −1x+ (−x− 1), se x < −1

.

19

ou ainda

f(x) =

{2x+ 1, se x ≥ −1−1, se x < −1

.

Logo, segue o esboco do grafico

x

y

-1

-1

y=2x+1

y=-1

y=x+|x+1|

Exemplo 4.25 Esbocar o grafico da funcao f(x) = x2 + |x− 1|.

Solucao 4.26 Novamente, note que

|x− 1| ={

x− 1, se x ≥ 1−x+ 1, se x < 1

e, portanto, teremos

f(x) =

{x2 + x− 1, se x ≥ 1x2 − x+ 1, se x < 1

Segue o grafico

x

y

1

1

y=x^2+x-1

y=x^2-x+1

Exemplo 4.27 Esbocar o grafico da funcao f(x) = |x2 − 1|+ 1.

20

Solucao 4.28 Neste caso, observamos que

|x2 − 1| ={

x2 − 1, se − 1 ≤ x ou x ≥ 1−x2 + 1, se − 1 < x < 1

Logo,

f(x) =

{x2, se − 1 ≤ x ou x ≥ 1

−x2 + 2, se − 1 < x < 1

A seguir temos o grafico

x

y

1-1

1

2

y=x^2

y=x^2

y=-x^2+2

4.5 Exercıcios

1. Esboce o grafico da funcaof(x) = |5x+ 1|.

2. Esbocar o grafico da funcaof(x) = |x|+ 1

3. Esbocar o grafico da funcao

y =|x|x.

4. Esbocar o grafico da funcao

y =|x|+ x

2.

5. Esbocar o grafico da funcaof(x) = x2 − |x| − 2.

6. Esbocar o grafico da funcao

f(x) = x2 − |x− 2|+ 3.

7. Esbocar o grafico da funcaof(x) = |4x2 − 1| − 3x.

21

8. Esbocar o grafico da funcao

f(x) = x+ x√

(x− 1)2.

9. Esbocar o grafico da funcao

f(x) =1

2(x2 − 1− |x2 − 1|)

10. Esbocar o grafico da funcao

f(x) =x4 − 1

|x2 − 1|.

11. Esbocar o grafico da funcao

f(x) = (|x| − 1)(x+ 2).

22