1 - RELAÇÕES BINÁRIAS

Def. 1

Dados dois conjuntos E e F, não vazios, chama-se produto, cartesiano de E por F o conjunto formado por todos os pares ordenados (x, y) com x em E e y em F.

Notação; E x F . Assim, temos:

E x F = { (x,y) / x E e y F }

Def. 2

Chama-se relação binária de E em F todo subconjunto R de E x F.

( R é uma relação de E em F ) R E x F

Obs: - A definição deixa claro que toda relação é um conjunto de pares ordenados;

- Para indicar que (a,b) R usaremos a notação a R b ( lê-se: “a relaciona-se com b

segundo R” ) ;

- Para indicar que (a,b) R usaremos a notação a .......b

EXEMPLOS:

1) Se E = {0,1,2} e F = {-2, -1,, 0, 1, 2}, então

E x F = { (0,-2), (0,-1), (0,0), (0,1), (0,2),,(1,-2), (1,-1),(1,0), (1,1),(1,2),(2,-2),(2,-1),(2,0),(2,1),

(2,2)}

Qualquer subconjunto de E x F é uma relação de E em F; então são exemplos de relações:

R1 – {(0,0), (1,-1),(1,1)}

R2 = {(0,1), (1,2), (2,-2),(0,-1),( 1,0)}

R3 = {(2, -2)}

2) Se E = F = Z, então E x F é o conjunto formado por todos os pares ordenados de números

inteiros.

Um exemplo de de relação de Z em Z é:

R = { (x,y) ZxZ / x = y } = { ..., (-n, -n), ...,(-1,-1), (0,0), (1,1),..., ( n,n),...}

Talvez falar: 1) domínio e imagemRepresentações gráficas: plano cartesiano , esquema de flechas

1

RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA

Def.:

Uma relação R sobre um conjunto E não vazio é chamado relação de equivalência sobre E se, e somente se, R é reflexiva, simétrica e transitiva, isto é, se são verdadeiras as sentenças:

I)

II) (

III)

Quando R é uma relação de equivalência sobre E, para exprimirmos que (a, b) R usamos a

notação a b(R) , que se lê: “a é equivalente a b módulo R”.

EXEMPLOS:

1) A relação R = {(a,a), (b,b), (c,c), (a,c), (c,a)} é uma relação de equivalência sobre E = {a, b, c}

Fig pag 23

2) A relação de igualdade sobre R:

xRy x = y

é uma relação de equivalência pois:

3) A relação de paralelismo definida para as retas de um espaço euclidiano:

x R y

é uma relação de equivalência, pois se x, y, z são retas do espaço, temos:

I) x // x

II) x // y y // x

III) ( x // y e y // z ) x // z

CLASSES DE EQUIVALÊNCIA

2

Def.:

Seja R uma relação de equivalência sobre E. Dado a E , chama-se classe de equivalência determinada por a, módulo R, o subconjunto de E constituído pelos elementos x tais que x R a. Em símbolos:

= { x E / x R a }

Fig pag 24

Def.2: O conjunto das classes de equivalência módulo R será indicado por E / R e chamado conjunto quociente de E por R.

Obs; é o conjunto de todos os elementos que estão relacionados com um elemento a de E.

EXEMPLOS

1) Na relação de equivalência

R = { (a,a), (b,b), (c,c), (a,c), (c,a) }

Temos:

= { a, c )

= { b}

= { c, a }

E / R = { {a, c} , {b} }

2)

3)

PARTIÇÃO DE UM CONJUNTO

Def.:

3

Seja E um conjunto não vazio. Diz-se que uma classe T de subconjuntos não vazios de E é uma partição de E se, e somente se:

a) dois membros quaisquer de T ou são iguais ou são disjuntos;

b) a união dos membros de T é igual a E.

EXEMPLOS:

1) T = { {1}, {2,3}, {4} } é uma partição do conjunto E = { 1,2,3,4 }

2) Sejam:

P = {x z / x é par }

I = { x Z / x é impar }

Então T = { P, I } é uma partição de Z

3) T = { ] é uma partição de R

Fig pag 26

Obs:

Certos conceitos matemáticos como os de números inteiros, número racional, número real, vetor, etc, são fixados através de relações de equivalência e classes de equivalência cuja construção se baseia nos teoremas a seguir:

Teorema 1

Se R é uma relação de equivalência sobre um conjunto E, então E / R ( conjunto das classes de equivalência modulo R ) é uma partição de E.

Dem:

a) Seja E / R. Como a relação de equivalência sobre um conjunto R é reflexiva, então a R a, portanto, a .

Assim, para todo a E.

b) sejam E / R e E / R tais que . Provaremos que = .

De fato, seja y ; então:

4

c) provemos que

I) para cada a E, temos E, portanto, .

II) sendo x um elemento qualquer de E, temos:

x E .

Assim, E

Teorema 2:

Se T é uma partição de E, então existe uma relação R de equivalência sobre E de modo que

E/R = T.

Dem:

Seja R uma relação sobre E assim definida:

x R y

isto é, x está na relação com y quando existe um conjunto A da partição T que contém x e y.

Temos:

I) Para todo x em E, existe uma classe A em T tal que x A, portanto,

x R x.

II) Sendo x E e y E, vem:

x R y

III) Sendo x, y, z Î E, vem:

x R y Þ $A1 Î T / x , y Î A1

y R z Þ $A2 Î T / y, z Î A2

Como A1∩ A2 então A1 = A2 Portanto x, z Î A1 = A2 Î T e, assim

xRz

5

EXEMPLOS:

Dada a partição T = {{a, b}, {c}, {d, e, f } } de E = { a, b, c, d, e, f },

a ela podemos associar a relação de equivalência

R = {(a,a), (a,b), (b,a), (b,b), (c,c), (d,d), (d,e), (e,d), (e,e), (e, f), (f, e), ( f,f), (f,d), (d, f) }

e temos:

E/R = { {a, b}, {c}, {d, e, f} } = T

EXERCÍCIOS - 1

1) quais das relações abaixo são relações de equivalência sobre E = { a, b, c } Pag 28

a) R1 = { (a,a), (a,b), (b,a), (b,b),(c,c) }

b) R2 = { (a,a), (a,b), ( b,a), (b,b), (b,c) }

c) R3 = { (a,a), (b,b), (b,c), (c, b), (a,c), (c,a) }

d) R4 = E x E

e) R5 =

2) Seja E = { a Z / -3 e x R y x – y = 2k , k Z.

a) construir a relação R

b) Determinar E/R

c) Provar que R é de equivalência;

RELAÇÕES DE ORDEM

Intuitivamente, podemos pensar numa relação de ordem quando lembramos de uma fila no banco, de uma fila de alunos dispostos numa sala de aula, na relação "menor ou igual" no números naturais, etc.

Def.:

6

Uma relação R sobre um conjunto E não vazio é chamada relação de ordem parcial sobre E se, e somente se, R é reflexiva, anti-simétrica e transitiva, isto é, são verdadeiras as sentenças:

I)

II)

III)

Obs:

- Dizemos que R é anti-simétrica quando:

ou a equivalente:

x não relaciona com y ou y não relaciona com x ), isto é ,

- Se x e y são elementos distintos, então x não se relaciona com y ou y não se relaciona com x.

Ex:

Nas relações sobre E = { a, b, c }

R1 = { ( a,a), (b,b), (a,b), (a,c) } é anti-simétrica

R2 = { (a,a), (a,b), (b,a), (b,b), (c,c) } não é anti-simétrica, pois a b e a R b e b R a

- Quando R é uma relação de ordem parcial sobre E, para exprimirmos que (a, b) R usaremos a

notação a b ( R), que se lê: “a precede b na relação R”.

- Para exprimirmos que (a, b) R e a b usaremos a notação

a < b(R ), que se lê: “ a precede estritamente b na relação R”.

- Quando não houver dúvidas quanto à relação de ordem que está sendo consideradas, escrevemos apenas:

a b ( “ a precede b” ) para indicar (a, b) R e

a < b ( “a precede estritamente b”) para indicar ( a, b) R e a b.

Def 2:

Um conjunto parcialmente ordenado é um conjunto sobre o qual se definiu uma certa relação de ordem parcial.

Def 3:

7

Seja R uma relação de ordem parcial sobre E, os elementos a, b E se dizem compatíveis mediante R se a b ou b a.

Def 4:

Se dois elementos quaisquer de E forem compatíveis mediante R, então R será relação de ordem total sobre E. O conjunto E, nesse caso, é chamado conjunto totalmente ordenado.

Ordem total

Em matemática e ajuste a teoria, a ordem total, ordem linear, ordem simples, ou requisitar (non-estrito) é a relação binária

(denotado aqui perto infix ≤) em algum jogo X. A relação é transitive, antisymmetric, e total. Um jogo emparelhado com uma

ordem total é chamado a jogo totalmente requisitado, a jogo linear requisitado, a jogo simplesmente requisitado, ou a

corrente.

Se X é requisitado totalmente sob o ≤, então a seguinte preensão das indicações para tudo a, b e c em X:

Se a ≤ b e b ≤ a então a = b (antisymmetry); Se a ≤ b e b ≤ c então a ≤ c (transitivity); a ≤ b ou b ≤ a (totality).

Contraste com a ordem parcial, que falta a terceira circunstância. Uma relação que tem a propriedade do “totality” significa que

qualquer par dos elementos no campo da relação seja mutuamente comparável sob a relação.

Totality implica reflexivity, isto é, a ≤ a. Assim uma ordem total é também a ordem parcial, isto é, a relação binária qual é

reflexivo, antisymmetric e transitive. Daqui uma ordem total é também uma ordem parcial que satisf à condição do “totality”.

EXEMPLOS:

1) A relação R = { (a, a), (b,b), ( c,c), (a, b), (b, c), (a, c) é uma relação de ordem total sobre E = { a, b, c }, conforme se pode notar no diagrama abaixo. Observe-se que o fato de não haver dois pontos que não estejam ligados por uma flecha indica que a ordem é total.

2) A relação R sobre definida por x R y ( menor ou igual ) é uma relação de ordem total, denominada ordem habitual, pois:

8

3) A relação de divisibilidade sobre N: x R y x / y é uma relação de ordem parcial pois:

Como se pode provar facilmente, usando a noção de divisor.

4) A relação de inclusão sobre uma família T de subconjuntos de um dado conjunto é uma relação de ordem pois:

LIMITES SUPERIORES E INFERIORES

Seja E um conjunto parcialmente ordenado mediante a relação . Seja A um subconjunto de E, com A .

Def 1:

Um elemento L E é um limite superior de A se for verdadeira a proposição:

Isto é, quando qualquer elemento de A precede L.

Def 2:

Um elemento E é um limite inferior de A se for verdadeira a proposição:

Isto é, quando l precede qualquer elemento de A.

9

MÁXIMO E MÍNIMO

Seja A um subconjunto não vazio do conjunto E parcialmente ordenado pela relação

Def.1

Um elemento M A é um máximo de A quando se verifica a seguinte propriedade:

Isto é, quando M é um limite superior de A e pertence a A.

Def 2:

Um elemento m de A é um mínimo de A quando se verifica a seguinte propriedade:

Isto é, quando m é um limite inferior de A e pertence a A.

Proposição 01:

Se A é um subconjunto do conjunto, parcialmente ordenado E existe um máximo ( mínimo) de A, então ele é único.

Dem:

Faremos a demonstração apenas no qjue tange ao máximo.

Admitamos que M1 e M2 sejam máximos de A. Temos:

M1 é máximo de A e M2 A M2 M1

M2 é máximo de A e M1 A M1 M2

Então M1 = M2.

SUPREMO E INFIMO

Def.:

10

Seja A um subconjunto não vazio do conjunto parcialmente ordenado E. Chama-se supremo de A o mínimo ( caso exista) do conjunto dos limites superiores de A.

Chama-se ínfimo de A o máximo (caso exista) do conjunto dos limites inferiores de A.

Obs:

• Supremo: o menor dos limitantes superiores

• Ínfimo: o maior dos limitantes inferiores

• Quando existem são únicos

ELEMENTOS MAXIMAIS E MINIMAIS X

Seja A um subconjunto não vazio do conjunto parcialmente ordenado E.

Def.1:

Um elemento m1 A é um elemento maximal de A quando se verifica:

(

Isto é, quando o único elemento de A precedido por m1 é ele próprio.

Def.2:

Um elemento m0 A é um elemento minimal de A quando se verifica:

Isto é, quando o único elemento de A que precede m0 é ele próprio.

Obs: Num certo sentido, não há elemento ‘maior’ que um elemento maximal nem há elemento ‘menor’ que um elemento minimal.

EXEMPLOS:

1) se E = , A = ] 0, 1 ] e a ordem é a habitual, temos:

a) são limites superiores de A os números L 1

b) são limites inferiores de A os números

c) o máximo de A é 1

d) A não tem mínimo;

e) O supremo de A é 1;

f) O ínfimo de a é 0; 11

( conjunto dos limites inferiores pode coincidir com o mínimo, quando houver)

g) Só 1 é elemento maximal de A;

h) A não tem elementos minimais.

EXERCÍCIOS - 2

3) Mostre que ( Z, £ ) é parcialmente ordenado

Obs: O símbolo £ quando não definido explicitamente, indica a relação de ordem habitual seja em N, Z, Q ou R.

Obs: APLICAÇÃO

Def: Seja f uma relação de E em F. Dizemos que f é uma aplicação de E em F se:

a) D(f) = E ; (domínio da aplicação é E )

b) Dado a D(f), é único o elemento b F de modo que (a, b) f

Obs: elementos distintos imagens distintas

Obs: - se f é uma aplicação de E em F, escrevemos b = f(a) ( lê-se: “ b é imagem de a pela f”

- f : E F ( lê-se f é uma aplicação de E em F )

2 - OPERAÇÕES BINÁRIAS

são operações cujo domínio é um conjunto resultante de um produto cartesiano. Podemos defini-la como uma função parcial do tipo: f: A X B C

Exemplo

1) Considerando a aplicação f: N X N N tal que f(x, y) = x + y. Dados dois números x e y naturais, ao par ( x, y) a aplicação f associa sua soma x + y. A aplicação f é conhecida como operação de adição sobre N.

12

2)

Def.1:

Operações Internas: operações internas a um conjunto A são operações cujo domínio e contradomínio são definidos sobre um mesmo conjunto A. Uma operação binária interna ao conjunto A é uma operação do tipo: f: A X A A

Lê-se: “operação sobre A ou operação interna em A”

Exemplos:

1) A operação de divisão nos números racionais f: Q* X Q* Q* tal que f(x, y) = é uma

operação binária interna em Q.

2) A operação quadrado nos números naturais f : N X N , definida a seguir, é uma operação interna f: NXN N tal que f(x, y) = xy

Obs:

- Quaisquer que sejam os naturais x e y, o símbolo xy representa um número natural, portanto f

está bem definida..

- Esta operação não pode ser estendida a Z por que , por exemplo, a imagem de (2, -1) seria 2-1

que não pertence a Z.

3) A aplicação f: E x E E , onde E = Mmxn (R ) = conjunto das matrizes do tipo mxn com elementos reais, tal que f(x, y) = x + y é a operação de adição sobre Mmxn (R )

CONCEITUAÇÃO

Def:

Sendo E um conjunto não vazio, toda aplicação f: E x E E recebe o nome de operação

sobre E ou lei de composição interna sobre E

De forma geral podemos indicar que uma operação f associa a cada par (x, y) de E x E um

elemento x * y de E, isto é, x * y é uma outra forma de indicar f(x, y)

- O elemento x * y chama-se composto de x e y pela operação f

13

- Os elementos x e y do composto x * y são chamados termos do composto;

- Os termos x e y do compostos são chamados respectivamente, primeiro e segundo termos

NOTAÇÕES UTILIZADAS PARA INDICAR UMA OPERAÇÃO SOBRE E:

a) Notação aditiva

Nesse caso o símbolo da operação é + e a operação é chamada de adição, o composto x + y é chamado soma.

b) Notação multiplicativa

nesse caso, o símbolo é . , a operação é chamada multiplicação , o composto x.y é chamado produto

c) outros símbolos utilizados para operações genéricas : etc

PROPRIEDADES DAS OPREAÇÕES

Seja * uma lei de composição interna em E. Vejamos algumas propriedades que * pode

apresentar:

a) Propriedade Associativa

Def.:

Dizemos que * tem a propriedade associativa quando

x * ( y * z) = (x * y ) * z, quaisquer que sejam x, y e z E.

EXEMPLO:

1) As adições em N, Z, Q, R ou C são operações que gozam da propriedade associativa;

2) As multiplicações em N, Z, Q, R ou C são operações associativas

CONTRA- EXEMPLOS

1) a potenciação em N não é associativa pois:

= 281 e ( 23 )4 = 212

2) A divisão em R* não é associativa pois

14

( 24 : 4 ) : 2 = 6 : 2 = 3 e 24 : ( 4 : 2 ) = 12

b) Propriedade Comutativa

Def.:

Dizemos que * tem a propriedade comutativa quando x * y = y * x, , quaisquer que sejam x, y E.

EXEMPLOS:

1) As adições em N, Z, Q, R e C são operações comutativas

2) as multiplicações em N, Z, Q, R e C são operações comutativas

3) A adição em Mmxn(R ) é comutativa

CONTRA-EXEMPLOS

1) A potenciação em N não é comutativa

23 = 8 e 32 = 9

2) A divisão em R* não é comutativa pois

1 : 5 = 1/5 e 5 : 1 = 5

3) A multiplicação em M2x2 (R ) não é comutativa pois:

Escrever exemplo

c) Elemento Neutro

Def.:

Dizemos que e E é um elemento neutro à esquerda para a operação * quando:

e * x = x para todo x E

Dizemos que e E é um elemento neutro à direita para a operação * quando:

x * e = x para qualquer x E.

Se e é elemento neutro à direita e à esquerda para *, então dizemos que e é elemento neutro pra

esta lei.

15

EXEMPLOS:

1) O elemento neutro das adições em N, Z, Q, R e C é o número 0 pois 0 + x = x + 0 para qualquer número x.

2) O elemento neutro das multiplicações em N, Z, Q, R, e C é o número 1 pois 1. x = x = x . 1 para

qualquer número x.

3) o elemento neutro da adição em Mmxn(R ) é a matriz nula do tipo mxn pois:

0mxn + X = X + 0mxn = X

CONTRA-EXEMPLOS

1) A subtração em Z admite 0 como elemento neutro à direita pois x – 0 = x, x Z mas não

tem o elemento neutro à esquerda pois não existe e (fixo) tal que e – x = x , x Z .

2) A divisão em R* admite 1 como elemento neutro à direita pois x : 1 = x , x R* mas não

tem o neutro à esquerda pois não existe e (fixo) tal que e : x = x, x R*

d) Elementos simetrízáveis

Dizemos que x E é um elemento simetrizável, para a operação * que tem neutro e,

se existe x’ E tal que: x’ * x = x * x’ = e

O elemento x’ é chamado simétrico de x para a operação *.

Quando a operação é uma adição ( + ), o simétrico de x também é chamado de oposto de x e indicado por –x.

Quando a operação é uma multiplicação ( . ), o simétrico de x é chamado inverso de x e indicado por x-1

NOTAÇÃO

PAG 118 CONJUNTO DOS SIMETRIZÁVEIS

16

EXEMPLOS

1) 2 é um elemento simetrizável para a adição em Z e seu simétrico é -2 pois:

(-2) + 2 = 0 = 2 + (-2).

2) 2 é um elemento simetrizável para a multiplicação em Q e seu simétrico é pois:

. 2 = 1 = 2 .

e) Elementos regulares

Def.:

Dizemos que um elemento a E é regular ( ou simplificável) em relação à operação * se:

a * x = a * y x = y (1)

x * a = y * a x = y (2) quaisquer que sejam x, y E.

Valendo (1 ), dizemos que a é regular à esquerda. Valendo ( 2), a é regular à direita.

Obs:

.Se * é comutativa, regular à esquerda significa regular à direita e vice-versa..

EXEMPLOS:

1) 3 é regular para a adição em N pois:

3 + x = 3 + y x = y , para todo x , y N.

2) 3 é regular para a multiplicação em Z pois:

3 . x = 3 . y x = y, para todo x, y Z

3) 0 não é regular para a multiplicação em Z pois:

0 . 2 = 0 . 3 e 2 3.

PROPOSIÇÃO:

Se a operação * é associativa, tem elemento neutro e e um elemento a E é simetrizável, então a é regular.

Dem:

17

Sejam x e y elementos quaisquer de E tais que a * x = a * y e x * a = y * a . Temos:

(1) a * x = a * y a’ * ( a * x ) = a’ * ( a * y )

(a’ * a) * x = ( a’ * a) * y

e * x = e * y x = y.

E, analogamente:

(2) x a = y = y a x = y. portanto , a é regular .

Notação:

Sendo uma operação sobre E, indica-se por R* (E) o conjunto dos elementos regulares de E

para a operação .

Ex:

a) R+ (N) = N

b) R(Z) = Z*

c) R+(Mmxn(R)) = Mmxn (R).

Notemos que se * tem neutro em E , então e (E), portanto , (E) .

Observemos ainda que se, além disso, é associativa, (E) (E) . conforme proposição anterior.

f) Propriedade distributiva

Def.:

Sejam e duas operações sobre E. Dizemos que é distributiva em relação a se :

X ( y z) = ( x y) ( x z ) e ( 1)

( y z ) x = (y x ) (z x ) ( 2) quaisquer que sejam x, y, z E.

Valendo (1), dizemos que é distributiva à esquerda de .

Valendo (2) dizemos que é distributiva à direita de .

Obs: se é comutativa, então distributiva à esquerda ou à direita de * são equivalentes.

18

EXERCÍCIOS - 3

4) Em cada caso abaixo, considere a operação sobre E e verifique se é associativa, se é comutativa, se existe elemento neutro e se existe o simétrico:

a) E = R+ e x y =

b) E = R e x y =

TÁBUA DE UMA OPERAÇÃO

Construção

Seja E = {a1, a2, ... an } ( n 1 ) um conjunto com n elementos. Cada operação sobre E é uma

aplicação f: E X E E que associa a cada par ( ai, aj ) o elemento ai aj = aij .

Podemos indicar o correspondente aij para cada par ( ai, aj ) por meio de uma tabela de dupla entrada.

1º ) marcamos na linha fundamental e na coluna fundamental os elementos do conjunto E.

2º) Dado um elemento ai na coluna fundamental e um elemento aj na linha fundamental, na intersecção da linha i com a coluna j marcamos o composto aij .

EXEMPLOS

1) Tábua da operação de multiplicação sobre E – { -1, 0, 1 }

-1 0 1

-1 1 0 -1

0 0 0 0

1 -1 0 1

19

2) Tábua da operação de intersecção sobre E = { A, B, C, D } , onde os conjuntos A, B, C, D são tais que

A B C D

A A A A A

B A B B B

C A B C C

D A B C D

PROPRIEDADES

Vejamos como se pode estudar as propriedades de uma operação * sobre E = { a1, a2, ..., an } quando * é dada por meio de uma tábua.

a) Associativa

Pode ser feita de dois modos:

1º) calculam-se todos os compostos do tipo ai (aj ak ) com i, j, k { 1, 2, 3, ..., n };

calculam-se todos os compostos do tipo ( ai aj ) ak , com i, j, k { 1, 2, 3, ..., n }.

Notemos que este método exige o cálculo de 2n3 compostos.

2º ) Encontra-se um conjunto F dotado de uma operação que se sabe ser associativa, de vtal forma que exista f: E F com as seguintes propriedades:

a) Bijetora;

b) F( x y) = f(x) f(y) para todos x, y E.

c) Se isso ocorrer, então a lei * também é associativa

Demonstrar como exercício

c) Comutativa

Chamamos de diagonal principal da tábua de uma operação o conjunto formado pelos compostos a11, a22, a33, ... , ann.

Sabemos que uma operação é comutativa se:

Ai * aj = aj * ai isto é, se aij = aij para quaisquer i, j = 1, 2, 03, ..., n

20

Observamos que aij e aji ocupam posições simétricas relativamente à diagonal principal.

Portanto uma operação * é comutativa desde que sua tábua seja simétrica em relação á diagonal principal, isto é, compostos colocados simetricamente em relação à diagonal sejam iguais.

Nos quadros exemplos vistos anteriormente, as operações são todas comutativas.

Um exemplo de operação não comutativa é dado pela tábua abaixo:

* a b c

a a b c

b b c a

c c b a

Notemos que b c = a e c b = b

c) Elemento Neutro

Sabemos que um elemento e é neutro para a operação * quando:

(I) e x = x , E e

(II) x e = x , E

Da condição (I) decorre que a linha de e é igual a linha fundamental.

Da condição (II) decorre que a coluna de e é igual à coluna fundamental.

Assim, uma operação * tem neutro desde que exista um elemento cuja linha e coluna sejam respectivamente iguais a linha e coluna fundamentais.

21

No quadro exemplo 1 visto anteriormente, a operação tem neutro que é 1

No quadro exemplo 2, a operação tem neutro que é D

Um exemplo de operação sem neutro é dado pela tábua abaixo.

* a b c

a a b c

b c a b

c b a c

Notemos que a é neutro só à esquerda.

c) Elementos Simetrizáveis

Sabemos que um elemento ai E é simetrizável para a operação * ( que tem neutro e ) quando

existe um aj E tal que:

( I ) aj ai = e

e ( II ) ai aj = e

Da condição (II) decorre que a linha de ai deve apresentar ao menos um composto igual a e ;

Da condição (I) decorre que a coluna de ai deve apresentar ao menos um composto igual a e .

Como aji = aij = e , decorre que o neutro deve figurar em posições simétricas relativamente à diagonal principal.

22

Assim, um elemento ai é simetrizável quando o neutro figura ao menos uma vez na linha i e na coluna i da tábua, ocupando posições simétricas em relação à diagonal principal.

EXEMPLO

A tábua abaixo define uma operação sobre E = {e, a1, a2, a3, a4, } que tem neutro e. Os elementos simetrizáveis de E são a1 e a4 .

Obs: elementos iguais em toda a diagonal onde está o elemento observado

* e a1 a2 a3 a4

e e a1 a2 a3 a4

a1 a1 a2 a3 e e

a2 a2 a3 a4 a1 a2

a3 a3 a4 a1 a2 a1

a4 a4 e a3 a4 a2

d) Elementos Regulares

Sabemos que um elemento a E é regular em relação à operação * quando:

( I ) x y a x a y e

( II ) x y x a y a, onde x e y são elementos quaisquer de E .

Isto significa que a é regular quando, composto com elementos distintos ( à esquerda deles ou à direita), produz resultados distintos.

Assim, um elemento a é regular quando na linha e na coluna de a não houver resultados iguais.

EXEMPLO

23

A tábua abaixo define uma operação sobre E = { e, a, b, c, d } onde os elementos regulares são e, a , c.

* e a b c d

e e a b c d

a a b d e c

b b c c b b

c c d e a b

d d e b d b

e a c

3 – ESTRUTURAS ALGÉBRICAS

Relembrando

Operações internas

Def.1:

Operações Internas: operações internas a um conjunto A são operações cujo domínio e contradomínio são definidos sobre um mesmo conjunto A. Uma operação binária interna ao conjunto A é uma operação do tipo: f: A X A A

Lê-se: “operação sobre A ou operação interna em A”

Exemplo

1) Considerando a aplicação f: N X N N tal que f(x, y) = x + y. Dados dois números x e y naturais, ao par ( x, y) a aplicação f associa sua soma x + y. A aplicação f é conhecida como operação de adição sobre N.

PROPRIEDADES DAS OPREAÇÕES

Seja * uma lei de composição interna em E. Vejamos algumas propriedades que * pode

apresentar:

Propriedade Associativa, comutativa, elemento neutro, elemento simetrizável, elementos regulares, distributiva

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

24

1 ) GRUPOS

Def:

Seja G um conjunto não vazio e (x, y ) x * y uma lei de composição interna em G.

Dizemos que G é um grupo em relação a essa lei se, e somente se,

a) a * ( b * c ) = ( a * b ) * c , a, b, c G ,

isto é, vale a propriedade associativa ;

b) existe e G de maneira que a * e = e * a = a , a G,

ou seja, existe um elemento neutro;

c) todo elemento de G é simetrizável em relação à lei considerada:

a G, a’ G / a * a’ = a’ * a = e

Obs:

- Quando a lei de composição considerada for uma “adição” diremos que o grupo em questão é um “grupo aditivo” ao passo que se a lei for uma “multiplicação” nos referimos a ele como um grupo “multiplicativo”.

- Se a lei que faz de G um grupo é dada por ( x, y) x * y também se costuma dizer que o par (G,

* ), onde * simboliza a lei, é um grupo.

GRUPOS COMUTATIVOS OU ABELIANOS

Def.:

Dizemos que um grupo (G, * ) é abeliano ou comutativo se, e somente se, a lei ( x, y) x * y é comutativa, isto é:

a * b = b * a , a, b G.

GRUPOS FINITOS – TÁBUA DE UM GRUPO FINITO

25

Um grupo finito é um grupo ( G, * ) no qual o conjunto G é finito. O número de elementos de G, nesse caso, é chamado de ordem do grupo G.

A tábua de um grupo finito ( G, *) é a tábua da lei de composição considerada em G.

Denotaremos a ordem de um grupo finito G por o(G).

EXEMPLO

G = { -1, 1 } é um grupo em relação à multiplicação usual.

É um grupo finito de ordem 2.

* 1 -1

1 1 -1

-1 -1 1

ALGUNS GRUPOS IMPORTANTES

a) Grupo Aditivo dos Inteiros

Para a adição usual em Z vale,

a + ( b + c ) = (a + b ) + c

a + 0 = 0 + a = a

a + (-a) = (-a) + a = 0

a+ b = b +a

Logo (Z, + ) é um grupo abeliano. É o grupo aditivo dos inteiros.

b) Grupo aditivo dos Racionais

é o grupo ( Q, + ) onde a adição considerada é a usual

c) Grupo Aditivo dos Reais

É o grupo ( R, + ) onde a adição também é a usual

d) Grupo multiplicativo dos Racionais

o conjunto Q* é fechado para a multiplicação usual em Q pois:26

( a, b Q ) ( a 0 e b 0 ab 0 ) . Alem disso tem-se:

(a.b) . c = a.(b.c)

a.1 = 1.a = a

a. a-1 = a-1.a = 1

a.b = b.a.

Logo (Q*, . ) é um grupo abeliano, é um grupo multiplicativo dos racionais;

Obs: 0 não possui inverso 0 . x = x . 0 =1 (F)

Ex: a operação (R, x) não é grupo, pois não vale a propriedade simétrica.

d) Grupo multiplicativo dos Reais

É o grupo ( R*, . ) cuja multiplicação é a habitual.

e) Grupo multiplicativo dos Complexos

dados os números complexos = a + bi e = c + di, ambos não nulos, então . = (ac – bd) + (ad + bc).i também é um número complexo não nulo. Além disso tem-se:

.( . ) = ( . ).

.1 = 1. =

. -1 = -1. = 1

. = .

Lembramos que 1 = 1 + 0i e -1 = + desde que = a + bi 0.

Logo ( C*, . ) também é um grupo abeliano. É o grupo multiplicativo dos complexos.

Tem-se ainda: Grupo multiplicativo das matrizes, grupos lineares de grau n; grupos multiplicativos de classes de restos, grupos de permutações, ...e outros.

PROPRIEDADES IMEDIATAS DOS GRUPOS

EXERCÍCIOS - 4Pag. 90.. ve Mat discretar PDF pag 52, álgebra PDF pag28

27

5 )Seja M2(Z) o conjunto de todas as matrizes de ordem 2 com elementos inteiros. Verifique se (M2(Z), + ) é um grupo e se é abeliano.

6 ) 6) Verifique se (R, * ) é um grupo em que a * b = a + b – 2

Obs: considere o conjunto dos números reais munido da operação * definida por a * b = a + b – 2

SUBGRUPO

O que e? Vamos então comentar a definição:

< G, * > um grupo,

Um subgrupo de G é uma estrutura algébrica < H, * > que satisfaz às seguintes condições:

I) H é um subconjunto não vazio de G.

II) * (asterisco) ( a operação) é associativa em H

III) * admite oi elemento neutro em H

IV) todo elemento de H admite simétrico com relação à operação * em H.

Estas quatro propriedades nos levam a perceber que H na verdade também é um grupo.

Então, para termos um subgrupo de um grupo G, na verdade, é necessário encontrar um grupo dentro do ,grupo G.

Indica-se H < G

Depois dessa observação é fácil ver que todo grupo é subgrupo de si mesmo.

Na verdade, todo grupo G tal que 2 tem, pelo menos, dois subgrupos: ele próprio e o conjunto formado pelo elemento neutro. Esses são chamados de subgrupos triviais.

Afirmação:

I) H < G e H 0

II) * é associativa em H

Claro, A operação *, operação go grupo, é associativa em H

III) * admite o elemento neutro em H

IV) H e seu simétrico também pertence a H

SUBGRUPOS NÃO TRIVIAIS

28

O nosso interesse maior são pelos subgrupos não triviais, se eles existirem, são chamados de subgrupos próprios.

DETERMINAÇÃO DE SUBGRUPOS

Exemplo

Considerando o grupo <Z6 , + > responda:

H = < 0, 2, 3 > é subgrupo? não? Por que?

Para a operação + (adição) não é uma operação interna em H. essa é uma condição necessária. Observe que, se somarmos 2 + 3, obteremos 5 e 5 não pertence ao conjunto H ( fechamento) , portanto não é um subgrupo.

Propriedade importante para subgrupos mas não vamos demonstrá-la aqui.

Proposição I

Seja G um grupo e H um subgrupo de G.

O simétrico de h em H coincide com o simétrico de h nem G.

Proposição II

Seja G um grupo e H um subgrupo não vazio de G. H é um subgrupo de G se:

I) h1h2 H , h1 , h2 H

II) h-1 H , h H

A verificação de H ser não, vazio é feita verificando-se se o elemento neutro do grupo está em H obs??????

veja que não há necessidade de verificar a associatividade pois os elementos de H são de G, para os quais está garantida a associatividade.

Exemplos:

1) verificar se H = { 0, 2, 4, 6, 8, 10 } é subgrupo de Z12 .

Solução:

29

I) o elemento neutro de Z12 é o zero e que pertence a H

II) cada elemento de H tem seu simétrico também em H:

o simétrico de zero é o próprio zero 0-1 = o H

o simétrico de 2 é 10 2-1 = 10 H

4-1 = 8 H

6-1 = 6 H

Obs: 4 + 2 = 2 + 4 por ser Z12 um grupo abeliano

6 + 6 = 0 8 + 8 = 4

6 + 8 = 2 8 + 10 = 6

6 + 10 = 4 10 + 10 = 8

É um grupo fechado

Logo H é subgrupo de Z12.

TEOREMA DE LAGRANGE

O teorema de Lagrange vai auxiliar na determinação de quais subconjuntos de um determinado grupo são ou não subgrupo desse grupo.

Seja G um grupo me H um subgrupo de G.

Então ordem de H divide ordem de G

Em particular, denotamos da seguinte forma:

( G : H ) = H

G

Demonstração:

Suponhamos ( G : H ) = r e seja G/H = { a1H, a2H, ...,arH }

Então, devido à proposição que diz que a relação de equivalência sobre G definida por a b , se e só se a-1b Î H e se a Î G , então a classe de equivalência determinada por a é o conjunto aH = {aH / hÎH }

30

Então

G = a1H U a2H U ...U arH e aiH ajH

(OBS: como a união é disjunta, classes distintas, o número de elementos de G é igual à soma do número de elementos de cada classe lateral da união)

Sempre que i j

Mas devido à proposição que diz que o numero de elementos de cada uma das classes laterais é igual ao número de elementos de H, ou seja, é igual a ordem de H , o(H), portanto:

o(G) = o(H) + o(H) + ...+ o(H)

Em que o numero de parcelas é r = ( G : H ), De onde:

o(G) = ( G : H) o(H) e o(H) / o(G).

Obs:

1. Ao dividirmos a ordem de G pela ordem de H que são números naturais, vamos encontrar um terceiro número, que também é natural. Esse número é denominado índice de H em G.

2. É necessário que um determinado subconjunto tenha ordem ( sendo um divisor da ordem de G ) para que ele seja então um possível subgrupo. Se isso não valer, com certeza não é subgrupo.

Exemplos:

1) considere o grupo aditivo Z10

Z10 = { 0, 1, 2, 3, ... 9}

Usando o Teorema de Lagrange, verificar quais dos subconjuntos abaixo são subgrupos de Z10.

H1 = { 0, 2, 4, 8 } H4 = { 0, 5 }

H2 = { 0, 2, 4 } H5 = { 1, 2, 4, 8, 6 }

H3 = { 0, 8 } H6 = { 0, 2, 4, 6, 8 }

Eliminamos de imediato os subconjuntos que não são subgrupos observado pelo Teorema de Lagrange:

H1 não é subgrupo, pois O(H1 ) = 4 e 4 não divide 10

H2 não é subgrupo, pois O( H2 ) = 3 e 3 não divide 10

O Teorema garante candidatos a subgrupos, que são:31

H2 , H4, H5 e H6

Que fazer para determinar quais desses subconjuntos são subgrupos?

Não temos outra saída senão verificar se as condições para subgrupos são ou não atendidas.

Para o subconjunto.

H3 = { 0, 8 }

I) é não vazio

II) o elemento neutro do grupo é zero e 0 Î H3

III) todo elemento do subconjunto tem seu simétrico no subconjunto:

0-1 = 0 Î H3 , 8-1 = 2 e 2 não pertence a H3

Logo, H3 não é subgrupo de Z10.

H4 = { 0, 5 }

I) 0 Î H4 e o elemento neutro do grupo é 0

II) 0-1 = 0 Î H4 , 5-1 = 5 Î H4

III) a operação realizada entre dois elementos quaisquer dentro do grupo tem resultado dentro do próprio grupo ( fechamento).

0 + 0 = 0 Î H4

0 + 5 = 5 Î H4

5 + 5 = 5 Î H4

logo H4 < Z10

Conclusão: H4 é subgrupo de Z10

H5= { 1, 2, 4, 6, 8 }

I) O zero, elemento neutro de Z10, deve pertencer ao subconjunto, como 0 H5 concluímos que H5 não é subgrupo de Z10

H6 = { 0, 2, 4, 6, 8 }

I) 0 Î H4 e o elemento neutro do grupo é 0

II) 0-1 = 0 Î H6 , 4-1 = 6 Î H6 , 6-1 = 4 Î H6

32

2-1 = 8 Î H6 , 8-1 = 2 Î H6

III) a operação realizada entre dois elementos quaisquer dentro do grupo tem resultado dentro do próprio grupo ( fechamento).

0 + 0 = 0 Î H4 2 + 0 = 2 Î H4 4 + 0 = 4 Î H4 6 + 0 = 6 Î H4

0 + 2 = 2 Î H4 2 + 2 = 4 Î H4 4 + 2 = 6 Î H4 6 + 2 = 8 Î H4

0 + 4 = 4 Î H4 2 + 4 = 6 Î H4 4 + 4 = 8 Î H4 6 + 4 = 0 Î H4

0 + 6 = 6 Î H4 2 + 6 = 8 Î H4 4 + 6 = 0 Î H4 6 + 6 = 2 Î H4

0 + 8 = 8 Î H4 2 + 8 = 0 Î H4 4 +8 = 2 Î H4 6 + 8 = 4 Î H4

Mas 8 + 8 = 1 H4 e portanto, a operação não é fechada no conjunto

Logo, H6 não é subgrupo de Z10

+ 0 2 4 6 8

0 0 2 4 6 8

2 2 4 6 8 0

4 4 6 8 0 2

6 6 8 0 2 4

8 8 0 2 4 1

NOTAS

GRUPO

TÁBUA DE UMA OPERAÇÃO

(TABELA DE DUPLA ENTRADA)

EXEMPLO:

Seja A = { 0, 1, 2, 3 }

33

+ 0 1 2 3

0 0 1 2 3

1 1 2 3 0

2 2 3 0 1

3 3 0 1 2

Obs:

NA OPERAÇÃO NA TABELA (usual)

- soma e divide por 4, que é o(A), ordem de A

- deixa apenas o resto

0*0 = 0

ELEMENTO SIMÉTRICO:

Obs: na tabela verifica o simétrico para ter o neutro

O simétrico de 1 é 3 , pois 1 * 3 = 0

O simétrico de 2 é 2 , pois 2 * 2 = 0

GRUPO DAS CLASSES RESIDUAIS

Cada classe de resíduo modulo n pode ser representada por um de seus membros, embora nós geralmente

representemos cada classe residual pelo menor inteiro não negativo pertencente à classe (pois este é o

próprio resto que resulta da divisão). Note que quaisquer dois membros de diferentes classes residuais

módulo n são congruentes módulo n. Além disso cada inteiro pertence a uma e somente uma classe

residual módulo n.3

O conjunto de inteiros {0, 1, 2, ..., n - 1} é chamado o menor sistema de resíduos módulo n . Qualquer

outro conjunto de n inteiros, com nenhum par deles congruente módulo n é chamado um sistema completo

de resíduos módulo n .

É claro que o menor sistema de resíduos é uma sistema completo de resíduos e que um sistema completo

de resíduos é simplesmente um conjunto contendo precisamente um representante de cada classe de

resíduo módulo n. O menor sistema de resíduos módulo 4 é {0, 1, 2, 3}. Alguns outros sistemas de resíduos

módulo 4 são:

{1,2,3,4}

{13,14,15,16}

34

{-2,-1,0,1}

{-13,4,17,18}

{-5,0,6,21}

{27,32,37,42}

Alguns conjuntos que não são um sistema completo de resíduos módulo 4 são:

{-5,0,6,22} pois 6 é congruente a 22 módulo 4.

{5,15} pois um sistema completo de resíduos deve ter exatamente 4 elementos.

GRUPO ADITIVO DAS CLASSES REDIDUAIS

z/m = { 1,...3,2,1,0 m }

Z/10 = { 9,...3,2,1,0 }

0 = { 0, 10, 20, 30, ... }

1 = { 1, 11, 21, ... }

8 = { 8, 18, 28, ... }

Z/4 = { 3,2,1,0 }

Z/2 = { 2,1,0 }

Obs: na divisão por 2 ou deixa resto 1 ou 2.

z/ 10 , 2/2 deixa resto 0 ou 1

ORDEM DE UM ELEMENTO DO GRUPO

Seja G um grupo e seja a Î G. se o subgrupo <a> for finito, então dizemos que a ordem, ou período, de a, denotada por ord(a), é o número de elementos de <a>, ou seja, é igual à ordem de <a>.

Se <a> for um grupo infinito, então dizemos que a ordem de a é infinita.

É o menor número inteiro m tal que am = e

35

Notação:

ord(a) ou a ou o(a)

Exemplo 1

Em Z*/5 = { 1, 2, 3, 4 }

Determinar a ordem de cada elemento

Obs: na tabela verifica o simétrico para ter o neutro ( x * x´ = e )

x 1 2 3 4

1 1 2 3 4

2 2 4 1 3

3 3 1 4 2

4 4 3 2 1

Obs: na tabela , ve-se que o neutro é 1

am = 1

o(1) = 1, pois 11= 1

o(2) = 4 pois 24 = 1

Obs: ver as potencias de 2 para ver o neutro

12

32

42

22

4

3

2

1

o(3) = 4 pois 34 = 1

potencias de 3

13

23

43

33

4

3

2

1

o(4) = 2 pois 42 = 1

36

potencias de 4

12564

46434

1164

44

4

3

2

1

16 : 5 = 1

Exemplo 2

Em Z/5 = {0, 1, 2, 3, 4 }

+ 0 1 2 3 4

0 0 1 2 3 4

1 1 2 3 4 0

2 2 3 4 0 1

3 3 4 0 1 2

4 4 0 1 2 3

Simétrico de 1 é 4 pois 1 * 4 = 0

Simétrico de 2 é 3 pois 2*3 = 0 m.a = e

Menor inteiro m tal que m.1 = 0

0(0) = 1 , pois 1.0 = 0

O(1) = 5 , pois 5.1 = 5

O(2) = 5 , pois 5.2 = 0

O(3) = 5 , pois 5.3 = 0

O(4) = 5 , pois 5.4 = 0

o(1) =

051.511111

41.41111

31.3111

21.211

O(2) =

02.522222

42.222

22.1

37

O(3)

03.533333

23.43333

43.3333

13.233

33.1

o(4) =

0204.544444

1164.44444

2124.3444

384.244

Vamos apresentar teoria e conceitos que nos vão permitir provar alguns resultados bem interessantes. Um

deles é que é possível “dividir” grupos entre si. O conceito de grupo quociente vai ser tratado

posteriormente. Vimos que, quando um grupo G e um subgrupo H é dado, é possível particionar o grupo em

classes, chamadas de classes laterais. Estas classes são precisamente as classes de equivalência de uma

relação induzida da seguinte forma: xRy se e só se xy -1 Î H (para classes laterais

direitas), x-1y (para classes laterais esquerdas).

Um dos fatos importantes a respeito da ordem de um subgrupo de um grupo é que: se G é um grupo finito e

H é um subgrupo de G, então [H] divide [G], isto é, a ordem (número de elementos) de H divide a ordem de

G. Este resultado é conhecido com teorema de Lagrange.

Assim, por exemplo, um grupo G de 8 elementos só poderá vir a ter subgrupos de 1, 2, 4 ou 18 elementos

(sendo possível que G tenha vários subgrupos de, por exemplo, 2 elementos).

Para um melhor entendimento do Teorema de Lagrange, vamos introduzir o conceito de classes laterais.

Definição 1 - Sejam (G, *) um grupo e H um subgrupo de G. Para cada elemento a G, define-se a classe

lateral direita de H, determinada por a, como sendo o conjunto H*a = {h*a | h H}

De forma semelhante, define-se a*H = {a*h | h H} como sendo a classe lateral esquerda de H,

determinada por a.

Da definição de classe lateral, pode-se concluir que, a*H = H*a, a G, se e somente se G for um grupo

abeliano.

Definição 2 - Se H*a = a*H, para todo a G, H é chamado um subgrupo normal de G.

Exemplo 1.

Sejam (G, *) = (Z12, +) e seja H = < 3 > = {0, 3, 6, 9 }.

Para cada elemento a Z12 (a Z), a classe lateral direita de H, determinada por a, é definida como sendo

o conjunto H + a = {h + a | h H}.

Assim temos:

H + 0 = H = {0, 3, 6, 9}

H + 1 = {1, 4, 7, 10}

38

H + 2 = {2, 5, 8, 11}

Observe que:

H + 0 = H + 3 = H + 6 = H + 9

H + 1 = H + 4 = H + 7 = H + 10

H + 2 = H + 5 = H + 8 = H + 11

Como pode ser notado, existem apenas três classes laterais direitas de H em Z12, que são as classes H + 0

= H, H + 1 e H + 2.

CLASSES DE EQUIVALÊNCIA DE UMA RELAÇÃO BINÁRIA

Def.:

Seja R uma relação de equivalência sobre E. Dado a E , chama-se classe de equivalência determinada por a, módulo R, o subconjunto de E constituído pelos elementos x tais que x R a. Em símbolos:

= { x E / x R a }

Fig pag 24

Def.2: O conjunto das classes de equivalência módulo R será indicado por E / R e chamado conjunto quociente de E por R.

Obs; é o conjunto de todos os elementos que estão relacionados com um elemento a de E.

EXEMPLOS

1) Na relação de equivalência

R = { (a,a), (b,b), (c,c), (a,c), (c,a) }

Temos:

= { a, c )

= { b}

= { c, a }

E / R = { {a, c} , {b} }

2)

39

Seja A={ 1, 2, 3 } e R uma relação de equivalência em A definida por R={ (1, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 1),

(3, 3) } , temos que as classes de equivalência de 1 e 3 são respectivamente: cl(1) = { 1, 2 } e cl(3)

= { 3 } . Note que a classe de equivalência do 2 é cl(2) ={ 1, 2 } , isto é cl(2)= cl(1)

CLASSE LATERAL

Definição 1

Sejam G um grupo e H um subgrupo de G. Dado a ∈ G, chamamos de uma classe lateral (à

esquerda) ao conjunto aH = {a . h | h ∈ H}.

Observação:

1. Se G for um grupo aditivo, então denotaremos a classe lateral aH por

a + H = {a + h | h ∈ H}

2. Se e for o elemento neutro do grupo G, então eH = H. Mais ainda, a ∈ aH para todo a ∈ G.

3. O conceito de classe lateral à direita é definido de modo análogo:

4. É o subconjunto de G definido por Há = { ha / h Î H }

5. Onde H é um subgrupo de G e a Î G

Exemplo:

1) calcular as classes laterais do subgrupo H = { I, } de S = { I, , 2 , , , 2 }

Usando a tabela:

x I 2 2

I I 2 2

2 I 2

2 2 I 2

2 I 2

40

2 2 I

2 2 2 I

Assim temos:

H = {I, } = { I, } = { , 2 }

2H = 2 {I, } = { 2 I, 2 } = { 2 , }

H = {I, } = { I, 2 { = { , I } = H

H = {I, } = { ( )I, ( ) } = { , 2 } = 2 H

2 H = 2 {I, } = { ( 2 )I, ( 2 ) } = { 2 , } = H

Observe que as classes laterais distintas, nesse caso, são H , H e 2 H

Portanto G/H = { H, H , 2 H } ( conjunto de classes distintas )

Obs:

O número de elementos distintos de G/H é chamado de índice de H em G e é denotado por ( G :

H ).

No exemplo temos (G:H ) = 3

Exemplo 2

Seja G o grupo aditivo Z6 = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }. Considerando o subgrupo H = { 0, 3 }, temos:

0 + H = H = { 0, 3 ) , 1 + H = { 1, 4 } e 2 + H = {2, 5 }

41

2 ) ANEIS

Conceito de anel:

Sejam (x, y) x + y e (x, y) x.y leis de composição internas num conjunto A 0. Suponhamos que:

I) O conjunto A é um grupo abeliano em relação à primeira dessas leis, isto é:

( a) ( a, b, c A ) ( a + ( b + c ) = (a + b) + c

(b) ( a, b A ) ( aq + b = b + a )

c) Existe elemento neutro para a adição. Será indicado por 0A ou apenas 0.> `´e o zero do anel. Portanto para todo a A, temos: a + 0 = a;

d) Todo elemento de A admite um simétrico aditivo. Ou seja, para todo a A existe um elemento em A, indicado por (- a), de forma que a + ( -a) = 0 ;

II) A segunda das leis consideradas ( multiplicação) é associativa:

( a, b, c A ) ( a(b.c) = (a.b).c )

III) A multiplicação é distributiva em relação à adição: ( a, b, c A ) (a (b + c) = a.b + a.c e (a + b).c = a.c + b.c .

Def.:

Nas condições acima, dizemos que o conjunto A é um anel em relação à adição e à multiplicação consideradas. Ou seja, que a terna ordenada formada pelo conjunto A, a adição e a multiplicação

( A, +, . ) é um anel.

Obs:

Ao simplificar a linguagem dizendo que A é um anel” , pressupõe naturalmente, um par de leis de composição interna em A ( com as propriedades citadas) sobre as quais não há nenhuma dúvida.

EXEMPLOS IMPORTANTES DE ANEL

1) ( Z, +, . ) , onde a adição e a multiplicação consideradas são as usuais. É o anal dos inteiroa.42

2) ( Q, +, . )

3) ( R, +, . )

4) ( C, + , . )

5) anéis de matrizes, anéis de funções, ...etc

PROPRIEDADES DE UM ANEL

EXERCÍCIOS Ver......

1)

3) CORPOS

Obs:

ANEIS COMUTATIVOS Pag 135

ANEL COM UNIDADE PAG. 135

Os anéis Z e Q são ambos comutativos com unidade. Para ambos vale a lei do anulamento do produto. Mas, enquanto que no anel Z somente o 1 e o -1 admitem simétrico multiplicativo, no anel Q todo elemento não nulo admite simétrico multiplicativo. Fatos como messe sugerem a definição de Corpo.

Def,:

Um anel K, comutativo com unidade, recebe o nome de corpo se todo elemento não nulo de k admite simétrico multiplicativo. Ou seja:

( a K) ( a o b K / a.b = 1 )

Obs:

- O elemento b é chamado de inverso de a e é indicado por a-1 .

- Num anel com unidade indica-se por U(A) o subconjunto de A formado pelos elementos para os quais existe simétrico multiplicativo (inverso). Esses elementos são chamados de inversíveis.

Assim um corpo K é um anel comutativo com unidade tal que U(K) = K* = K – { 0 } .

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EXEMPLOS

1) O anel Z não é um corpo, pois U(Z) = {1, -1 }

2) Os anéis Q, R e C são corpos

3)

EXERCÍCIOS

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RESPOSTAS

1) 1) quais das relações abaixo são relações de equivalência sobre E = { a, b, c } Pag 28

a) R1 = { (a,a), (a,b), (b,a), (b,b),(c,c) }x

b) R2 = { (a,a), (a,b), ( b,a), (b,b), (b,c) }x

c) R3 = { (a,a), (b,b), (b,c), (c, b), (a,c), (c,a) }

d) R4 = E x E

e) R5 =

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3) Mostre que (Z,£) é parcialmente ordenado

se (a, b) € Z e a £ b ( a precede b )

– Temos que a £ a para todo inteiro a: reflexiva

– Se a £ b e b £ a então a = b: anti-simétrica

– Se a £ b e b £ c então a £ c: transitiva

– Logo £ é uma ordem parcial no conjunto dos inteiros e (Z, £ ) é um conjunto parcialmente ordendo.

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4) Em cada caso abaixo, considere a operação sobre E e verifique se é associativa, se é comutativa, se existe elemento neutro e se existe o simétrico:

a) E = R+ e x y =

fazer da nota

5 )Seja M2(Z) o conjunto de toda as matrizes de ordem 2 com elementos inteiros. Verifique se (M2(Z), + ) é um grupo e se é abeliano.

Para verificarmos se a operação ,2 é um grupo abeliano, precisamos verificar quaispropriedades ela satisfaz:

- (M2(Z), + ) é fechada pois a adição de duas matrizes 2x2 é uma matriz 2x2

- (M2(Z), + ) é associativa pois A +( B + C) = ( A + B) + C obs: construir exemplo com elementos literais

- (M2(Z), + ) possui elemento neutro

(M2(Z), + ) possui elemento inverso. Por exemplo, a inversa da matriz é a matriz

Logo é um grupo e como vale a propriedade comutativa pois A + B = B + A é um grupo abeliano.

6) Verifique se (R, * ) é um grupo em que a * b = a + b – 2

Obs: considere o conjunto dos números reais munido da operação * definida por a * b = a + b – 2

a) associatividade

E, (a * b) * c = a* (b* c)

(a + b – 2) * c = a* (b + c – 2)

(a + b – 2) + c – 2 = a + ( b + c – 2 ) – 2

a + b + c – 4 = a + b + c – 4 ( V )

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b) elemento neutro

E , x * e = x

x + e – 2 = x

e – 2 = 0

e = 2

c) elemento simetrizável

E , x * x’ = e

x + x’ - 2 = 2

x’ = 4 – x

até aqui verifica-se que é um grupo.

d) comutatividade

E, a * b = b * a

a + b – 2 = b + a – 2 ( V )

É um grupo abeliano.

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