relacoes_funcoes
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MATEMÁTICA DISCRETA
RELAÇÕES E FUNÇÕES
Profa. Eulanda Miranda dos Santos PhD. Eng.
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CURSO NÍVEL DEPARTAMENTO PERIODO
Engenharia da Computação
Graduação Ciência da Computação
MATUTINO
OBJETIVO DA AULA:
Identificação de relações, determinação de ordem, testar funções e taxa de crescimento de funções
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ASSUNTOS ANTERIORES
1. Teoria dos Números
2. Lógica de Predicados
3. Técnicas de Demonstração
4. Teoria dos Conjuntos
5. Análise Combinatória
6. Teoria dos Grafos
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1. INTRODUÇÃO
• Há muitas relações na Matemática e na Ciência da Computação– “Menor do que”– “É paralelo à”– “É um subconjunto de”
• Tipos de relações:– Relações de equivalência– Relações de ordem– Funções
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2. RELAÇÕESPRODUTO DE CONJUNTOS: Sejam A e B : A x B = {(x,y)|x A e y B}– Conjunto de todos os pares ordenados (x,y)
• A x A = A2
– Ex: A = {1,2} e B = {3,4} A x B = {(1,3), (1,4),(2,3),(2,4)} B x A = {(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)} A2 = {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)} A3 = {(1,1,1),(1,1,2),(1,2,1),(1,2,2), (2,1,1),(2,1,2),(2,2,1),(2,2,2)}
– Portanto, |AxB| = 4 e |A| x |B| = 4
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2. RELAÇÕESRELAÇÕES BINÁRIAS EM UM CONJUNTO
– Uma relação binária é um conjunto de pares ordenados
• Dado o conjunto A, é uma relação binária em A, se for um conjunto de pares ordenados de membros de A.
• É um subconjunto de A2.
– Existem relações unárias, ternárias, quaternárias, etc.– Em geral uma relação binária é definida por uma
descrição da relação predicado binário
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2. RELAÇÕESRELAÇÕES BINÁRIAS EM UM CONJUNTO• Ex: Considere o conjunto S = {1, 2, 4}
– Relaçõesa) x y x = y/2 ; b) x y x + y é ímpar;
RELAÇÕES BINÁRIAS ENTRE CONJUNTOS DIFERENTES• Dados dois conjuntos S e T, uma relação binária de S para T é um
subconjunto de SxT
{(1,2), (2,4)} satisfazem
{(1,2), (1,4)} satisfazem
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2. RELAÇÕESRELAÇÕES BINÁRIAS ENTRE CONJUNTOS DIFERENTES• Ex: Considere os conjuntos
• E - Todos os estudantes de Engenharia da Computação (EC)• L - Todos os laboratórios do DCC• P - Todos os professores do DCC• D - Todas as disciplinas do curso de EC
– Relaçõesa)e l (e,l) E x L, e está matriculado e estagia no lab 1b)e d (e,d) E x D, e está matriculado na disciplina dc)d p (d,p) D x P, disciplina d é ensinada por p
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2. RELAÇÕESTIPOS DE RELAÇÕES BINÁRIAS
– Um para um: cada componente aparece apenas uma vez na relação.
– Um para muitos: se a primeira componente aparece mais de uma vez.
– Muitos para um: se a segunda componente aparece em mais de um par.
– Muitos para muitos: se cada componente aparece em mais de um par.
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2. RELAÇÕESPROPRIEDADES DAS RELAÇÕES
Dado o conjunto A– é reflexiva x x para todo x A
• Ex: <= e = sobre N
– é simétrica x y y x para todo x, y A• = sobre N, e irmãos sobre pessoas
– é transitiva x y e y z x z para todo x, y, z A• <, <= e = sobre N
– é anti-simétrica x y e y x x=y para todo x, y A
• = sobre N
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2. RELAÇÕESExercícios
Teste as relações no conjunto dado S e diga suas propriedades:
1.S = N; x Y x + y é par 2.S = Z+; x Y x divide y3.S = N; x Y x = y2
4.S = {0,1}; x Y x = y2
5.S = {1,2,3}; = {(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)}
Reflexiva, simétrica e transitiva
Reflexiva, anti-simétrica e transitiva
Anti-simétrica
Reflexiva, simétrica, anti-simétrica e transitiva
Reflexiva, simétrica e transitiva
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2. RELAÇÕESFECHOS DE RELAÇÕES
– Uma relação binária * em um conjunto S é o fecho de uma relação em S em relação à propriedade P se
1. * tem a propriedade P;2. *;3.* é subconjunto de qualquer outra relação em S que
inclua e tenha a propriedade P
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2. RELAÇÕESEx: Sejam S={1,2,3} e = {(1,1),(1,2),(1,3),(3,1),(2,3)}
– é reflexiva, simétrica e/ou transitiva? – O fecho de em relação à reflexividade:
– O fecho de em relação à simetria:
– O fecho de em relação à transitividade:
• Exercício: Encontre os fechos reflexivo, simétrico e transitivo da relação: S = {a,b,c}; = {(a,a), (a,b), (b,c),(c,c)}
NÃO
{(1,1),(1,2),(1,3),(3,1),(2,3), (2,2), (3,3)}
{(1,1),(1,2),(1,3),(3,1),(2,3), (2,1), (3,2)}
{(1,1),(1,2),(1,3),(3,1),(2,3), (3,2), (3,3),(2,1),(2,2)}
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RELAÇÃO DE ORDEM PARCIAL– Uma relação binária em um conjunto S que seja
reflexiva, anti-simétrica e transitiva.– Conjunto parcialmente ordenado: é o par ordenado
(S, ), em que é uma ordem parcial em S.– Ex:
• Relação < = no conjunto R • Relação “a divide b” no conjunto N+
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2. RELAÇÕESRELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA
– Uma relação binária em um conjunto S que seja reflexiva, simétrica e transitiva.
– Ex: Em N, x Y x + y é par• Em {1,2,3}, = {(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)}
RELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA E PARTICÕES– Seja S um conjunto não vazio, uma partição de S é uma
subdivisão de S em conjuntos não vazios disjuntos.• Ex: Seja S = {1, 2, …, 8,9}
– Partição de S = [{1, 3, 5}, {2, 4, 6, 8}, {7,9}]
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2. RELAÇÕESTEOREMA:
– Uma relação de equivalência em um conjunto S determina uma partição de S e uma partição de S determina uma relação de equivalência;
CLASSE DE EQUIVALÊNCIA [X]– Dados uma relação de equivalência no conjunto S e x
S;– [x] conjuntos de todos os elementos de S relacionados a x.– [x] = {y | y S x y}
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2. RELAÇÕESEx1: Em S= {1,2,3}, = {(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)}
[1][2]
Ex 2: x y x + y é par em N. 1. par: se x é um número par, então, para todo número par y, x +
y é par, e y [x].2. ímpar: se x é um número ímpar, então, para todo número
ímpar y, x + y é par, e y [x].
S
1 2 3
[1] = [2]
[3] = {3}
pares ímpares
N
= {1,2};
= {1,2};
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EXERCÍCIO1. Diga quais dos pares ordenados pertencem às relações
binárias abaixo, definidas em N:a) x y x = y + 2; (0,2), (4,2), (6,3), (5,3)b) x y y é o quadrado perfeito de x; (1,1), (4,2), (3,9), (25,5)
2. Teste se as relações binárias em S dadas a seguir são reflexivas, simétricas, anti-simétricas ou transitivas:a) S = N; x y x * y é parb) S = {1,2,3}; ={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,3)}c) S = {1,2,3}; ={(1,1),(1,2), (2,2),(2,3)}
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EXERCÍCIO3. Encontre os fechos reflexivo, simétrico e transitivo da
relação abaixo:a) S = {a, b, c, d}; = {(a,a),(b,b),(c,c),(a,c),(a,d), (b,d), (c,a),
(d,a)}
4. Seja a relação de equivalência no conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}: = {(1,1),(1,5),(2,2),(2,3),(2,6), (3,2),(3,3),(3,6), (4,4),(5,1),
(5,5), (6,2),(6,3),(6,6)}Mostre as classes de equivalência de
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CONTEÚDO
1. Introdução
2. Relações
3. Funções
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3. FUNÇÕES– Sejam S e T conjuntos
• Uma função f de S em T, f:ST, é um subconjunto de S x T tal que cada elemento de S aparece uma única vez como primeiro componente de um par ordenado.
– S – domínio; T – contradomínio; t – imagem de s;s – imagem inversa de t;
s
Domínio S Contradomínio T
. f(s)=t
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EXERCÍCIOSeja f: A B ?
– Domínio de f: – Contra-domínio de f:– Imagem de f:
Quais das relações abaixo são funções?a) f: S T, onde S = T = {1,2,3}; f = {(1,1),(2,3),(3,1),(2,1)}b) g: Z N, onde g é definida por g(x) = |x| (módulo de x)c) h : NN, onde h é definida por h(x) = x – 4d) f : RR, onde f é definida por f(x) = 4x – 1
Não
Sim
Não
Sim
A
B
{b : existe a tal que f(a) =b
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3. FUNÇÕESEXEMPLOS DE FUNÇÕES
– Função piso: x ; Função teto: x– Função módulo: f(x) = x mod n
FUNÇÕES IGUAIS : Funções que têm o mesmo domínio, o mesmo contra-domínio e a mesma associação de valores de contra-domínio a valores de domínio.
• Ex: Prove que f=g, dados S= {1,2,3} e T= {1,4,9} e f={(1,1), (2,4),(3,9)} e
2
)24()( 1
n
k
kng
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3. FUNÇÕESPROPRIEDADES DE FUNÇÕES• Injetora (“one-to-one”) se:
– f(a1) = b e f(a2) = b a1 = a2– Ex: f: R R, f(x)= x3
• Sobrejetora (“onto”) se:– A imagem de f é o contra-domínio de f.– Ex: f: R R, f(x)= x3
• Bijetora (correspondência um-para-um) se:– É injetiva e sobrejetiva.– Ex: f: R R, f(x)= x3
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3. FUNÇÕES– FUNÇÃO COMPOSTA
• Sejam f : S T e g : T U. A função composta g o f é função de F em U definida por :
(g o f)(s) = g(f(s))
• Ex: Seja f: R R definida por f(x) = x2. Seja g: R R definida por g(x) = x
– Valor de (g o f)(2.3)? 5
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3. FUNÇÕES– FUNÇÕES EM ANÁLISES DE ALGORITMOS
• Função teto e função piso 3,14 = 3 3,14 = 4
• Funções valor inteiro e valor absolut0: INT(3,14) = 3 ABS (-14) = 14
• Função resto 25 (mod 7) = 4• Funções exponenciais• Funções logarítmicas
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3. FUNÇÕES– Exercício
• Diga quais são funções, e suas propriedades:a) f: Z N, onde f (x)= x2+1b) f:{1,2,3} {p,q,r}, onde f{(1,q),(2,r),(3,p)} (módulo de x)c) g : NN, onde g é definida por g(x) = 2x
• Defina f:NN por f(x) = x+1. Seja g:NN dada por g(x) = 3x. Calcule as seguintes expressões:
a)(g o f)(5)? b)(f o g)(5)?