1

EXPERIMENTO 07 MODELAGEM DO MOTOR CC A PARTIR DA RESPOSTA EM FREQUNCIA

EXPERIMENTO 08 COMPENSAO POR LUGAR DAS RAZES

Resumo O presente relatrio apresenta um estudo de modelagem de um motor CC e de determinao

dos parmetros de um controlador PID, proporcional-

integral-derivativo. Para modelar o motor CC foi

utilizado uma tcnica a partir da resposta em

frequncia, na qual variando a frequncia de entrada

pode-se determinar a funo de transferncia da

planta do sistema, utilizando-se o Diagrama de Bode.

Aps determinado a funo do motor CC calculou-se

os parmetros do controlador PID. O clculo do

compensador foi realizado a partir do Lugar das

Razes, tcnica utilizada para adicionar ou deslocar

polos e zeros do sistema.

Palavras-Chave: Diagrama de Bode, Modelagem a

partir da Resposta em Frequncia, Compensador pelo

Mtodo do Lugar das Razes

I. INTRODUO TERICA

I.1 Modelagem a partir da Resposta em Frequncia

Para realizar a modelagem de um sistema a

partir da Resposta em Frequncia geralmente aplica-

se a planta diversas entradas senoidais com mesma

amplitude e frequncias diferentes. Com a finalidade

de determinar e descrever a resposta em regime

permanente do sistema.

Um sistema linear e invariante no tempo que

est sujeito a uma entrada senoidal em estado

estacionrio ter uma sada tambm senoidal de

mesma frequncia que a entrada, mas com amplitude

e fase diferente. Podendo caracterizar a resposta do

sistema.

I.1.1 Diagrama de Bode

O Diagrama de Bode possui dois grficos,

sendo um, o de Magnitude, que representa a

amplitude da resposta em frequncia em dB, e outro,

o de Fase, que representa a fase do sistema em funo

da frequncia.

As duas curvas permitem determinar as

margens de ganho e fase do sistema, bem como as

respectivas frequncias de cruzamento e, com elas,

analisar a estabilidade absoluta do sistema em malha

fechada e a estabilidade relativa.

A Figura 1 mostra as curvas assintticas de

magnitude e fase associadas a cada uma das classes

de termos bsicos que compe as funes de

transferncias.

ECA004 SISTEMA DE CONTROLE CLSSICO MAIO/2015 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUB

CAMPUS AVANADO DE ITABIRA

ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAO

ENGENHARIA ELTRICA

2

Fig. 1 Curvas assintticas dos termos bsicos de uma

funo de transferncias

I.1.2 Escala Logartmica de Amplitude

Os grficos de magnitude nos diagramas de

Bode so frequentemente apresentados utilizando no

eixo das ordenadas a escala em decibel. O bel definido como logaritmo na base 10 do quociente de

dois nveis de potncia. Como na prtica esta unidade

era muito grande, definiu-se por convenincia o

decibel, 1/10 bel como sendo a unidade padro para

expressar o logaritmo da razo entre dois nveis de

potncia. Uma vez que elementos dissipativos

possuem relao quadrtica entre a amplitude das

variveis aplicadas a eles e a potncia por eles

dissipadas, a magnitude da resposta em frequncia da

funo de transferncia G(j) definida pela razo entre as amplitudes da varivel senoidal de sada

Y(j) e de entrada do sistema U(j), i.e.

2010() = 2010|()|

|()|

Eq.[1]

I.2 Sintonia de um controlador PID pelo Mtodo do

Lugar das Razes

O Projeto do Lugar das Razes um sistema

de controle aplicvel em malha fechada. A tcnica

controla, pelo menos, algum dos lugares dos polos do

sistema.

De certa forma, o projeto de controle pelo

Lugar das Razes permite prever e modificar a

resposta transitria, o que, na maioria das vezes, pode

influenciar na resposta em regime permanente.

Como o projeto de compensao via Lugar

das Razes desloca os polos do sistema em malha

fechada, sempre indicado que aps os clculos dos

parmetros do controlador verifique se o sistema no

perdeu sua estabilidade, j que o mtodo pode

deslocar os polos do sistema para o semi plano

direito.

Para desenvolver o controlador pelo mtodo

do Lugar das Razes necessrio que exista um

conhecimento prvio da funo de transferncia da

planta. Deve-se aplicar uma entrada ao sistema e

observar alguns parmetros da resposta, como o erro

em regime permanente (), o overshoot (), e o tempo de acomodao (). Os trs compensadores mais utilizados so os

de Avano de Fase (ou PD), os de Atraso de Fase (ou

PI) e os PID.

Tanto o controlador do tipo Avano de Fase,

como o controlador do tipo Atraso de Fase adiciona

um polo e um zero ao sistema.

O controlador do tipo Avano de Fase

contribui com um ngulo positivo no critrio de

ngulo do sistema. O que permite melhorar a resposta

transitria. Isto ocorre porque h um deslocamento

do lugar das razes, no plano S, para a esquerda

melhorando a estabilidade do sistema.

J o controlador do tipo Atraso de Fase

contribui com um ngulo negativo no critrio de

ngulo do sistema. Ou seja, melhora a resposta

estacionria mas tende a levar o sistema a

instabilidade, existindo um deslocamento do lugar

das razes para a direita.

O controlador PID, proporcional-integral-

derivativo, utilizado em sistemas que deseja-se

melhorar tanto a resposta transitrio como o regime

permanente. Adicionando ao sistema dois zeros e um

polo, sendo um dos zeros apenas para limitar o ganho

em altas frequncias.

II. OBJETIVOS

Confeccionar e analisar o diagrama de Bode para a resposta em frequncia de sistema complexo,

identificando os parmetros da planta (no caso, o

motor CC) para futuras sintonias de um controlador.

Alm de sintonizar dois controladores PID, com

alguns parmetros j pr-estabelecidos, utilizando o

mtodo do Lugar das Razes.

III. Materiais e Mtodos

III.1 Materiais

- Motor de corrente contnua, fabricante Labtools;

- NI LabVIEW;

- MatLab.

3

III.2 Mtodos

O relatrio contm duas prticas que visam

modelar e controlar um motor CC.

Com a finalidade de modelar o motor CC

fabricante Labtools, acoplado ao mdulo Elvis da

National Instruments, foi utilizado a plataforma do

programa LabVIEW para simular e coletar os dados

de sada do sistema.

J para calcular os valores do parmetro do

controlador PID utilizou-se o programa MatLab, com

a tcnica do compensador pelo Lugar das Razes.

III.2.1 Modelagem do motor CC a partir da resposta

em frequncia

Primeiramente foi montado o diagrama de

blocos da Figura 2 no programa LabVIEW. Com este

foi possvel aplicar uma onda senoidal com

amplitude de 3V e frequncia de 0.001Hz a 1 Hz, de

acordo com a Tabela 1 nos Resultados.

Fig. 2 Diagrama de Blocos para aquisio de dados do

motor CC no LabVIEW

Foram salvo as amplitudes de entrada e sada

do sistema, a fim de obter as magnitudes pela

Equao 1, da Introduo Terica.

Os valores coletados foram utilizados para

plotar o Diagrama de Bode (o grfico de resposta em

frequncia do sistema), exposto na Figura 3 nos

Resultados.

Aps plotar o Diagrama de Bode foi

aproximado os pontos encontrados a uma funo de

transferncias a partir da definio dos plos, zeros e

ganho desta, observando-se a Figura 1 da Introduo

Terica.

No Matlab, plotou-se o grfico original e o

diagrama de bode do sistema aproximado em um

mesmo grfico para realizar uma anlise e uma

comparao das curvas.

Com o mesmo diagrama de blocos (o Figura

2), aplicou-se uma onda quadrada de tenso com

amplitude de 3V e frequncia baixa o suficiente para

que a velocidade atinja o seu estado estacionrio. Os

resultados foram salvos.

Com a funo de transferncia do motor CC

encontrada, foi realizado o mesmo teste no programa

MatLab e assim comparado os resultados reais com a

modelagem obtida para termos de validao.

III.2.2 Compensao por lugar das razes

A partir do modelo, do motor CC,

encontrado e utilizando o mtodo de compensao

pelo lugar das razes, foi realizado o clculo dos

parmetros de dois controladores PID com as

seguintes caractersticas:

Controlador 1 a. 10% de sobressinal;

b. tempo de assentamento de 80% da constante de

tempo do sistema;

c. erro de 10% a uma rampa unitria.

Controlador 2 a. 30% de sobressinal;

b. tempo de assentamento de 110% da constante de

tempo do sistema;

c. erro de 20% a uma rampa unitria.

A definio dos parmetros foi realizada no

programa Matlab, o cdigo encontra-se no anexo

deste relatrio.

IV. RESULTADOS

IV.1 Modelagem do motor CC a partir da resposta

em frequncia

Magnitudes calculadas, pela Equao 1, para

cada frequncia aplicada ao sistema encontra-se na

Tabela 1.

Tabela 1 Frequncias aplicadas no teste para a

modelagem

Frequncia

[Hz]

Amplitude

[V]

Sada

[V]

Magnitude

[dB]

0,01 3 1,42 -6,50

0,04 3 1,38 -6,74

0,05 3 1,39 -6,68

0,08 3 1,38 -6,74

0,10 3 1,37 -6,81

0,15 3 1,3 -7,26

0,20 3 1,25 -7,60

0,25 3 1,16 -8,25

0,30 3 1,12 -8,56

0,35 3 1,11 -8,64

0,40 3 1,05 -9,12

0,45 3 0,98 -9,72

0,80 3 0,84 -11,06

1 3 0,70 -12,64

2 3 0,45 -16,48

4 3 0,20 -23,52

8 3 0,12 -27,96

4

10 3 0,10 -29,54

Com os dados coletados e calculados

anteriormente foi possvel gerar o grfico de

resposta em frequncia do sistema, o Diagrama

de Bode, na Figura 3.

Fig. 3 Diagrama de Bode do motor CC com os dados

experimentais

Analisando o grfico encontrado, Figura 3, a partir dos dados experimentais, Tabela 1, tem-se que

a resposta se aproxima de um sistema de 1 ordem

com caractersticas de um passa-baixas. Assim, pelos

tipos de respostas apresentadas na Tabela 1, da

Introduo Terica, tem-se que a Funo de

Transferncia (FT) correspondente a essa resposta,

aquela que possui um plo com posio fora da

origem. Ento, a equao da FT no domnio da

frequncia que descreve o comportamento do sistema

tem o seguinte formato:

() = K

1 +

1

Eq.[2]

w1 3.581, obtidos no cruzamento das duas

retas retilneas na Figura 3.

Para o clculo do ganho K utilizou-se os

dados da frequncia de 0.01:

= 106.5

20

Eq.[6]

A FT no domnio da frequncia :

() =0.473

1 +

3.581

Eq.[3]

De forma anloga, substituindo s=jw e

w1=3.581 tem-se que a FT no domnio de Laplace:

() =0.473

1 +

3.581

Eq.[4]

Feito isso, plotou-se o diagrama de Bode da

FT no domnio de Laplace para verificar possveis

semelhanas e diferenas frente ao obtido com os

dados experimentais. O diagrama pode ser visto na

Figura 4.

Fig. 4 Diagrama de Bode da FT aproximada G(s)

Fig. 5 Diagrama de Bode do motor CC com os dados

experimentais e o modelo encontrado

No grfico da Figura 5 podemos observar o

esboo do Diagrama de Bode a curva azul,

representada tambm na Figura 3, e o Diagrama de

5

Bode do sistema aproximado, a curva vermelha

traada.

Mesmo com todos os mtodos de

aproximao e do ajuste fino observamos que a curva

original (o esboo do Diagrama de Bode) e a curva

aproximada (o Diagrama de Bode) ainda no esto

totalmente alinhadas. Justificamos este fato pelos

valores da coleta de dados de sada, parte emprica do

experimento, que em alguns casos ocorreu a

aproximao demasiada do valor, influenciando o

clculo da magnitude e por consequncia todas as

outras etapas do experimento.

Aps encontrado o modelo do motor, faz se

necessrio validao do mesmo, para certificar de

que o modelo realmente representa a realidade, e se

caso no, discutir sobre as causas das diferenas entre

os modelos.

Para a validao do modelo encontrado, foi

utilizado o programa do LabVIEW para aplicar uma

onda quadrada de tenso com amplitude de 3V e

frequncia baixa o suficiente para que a velocidade

atingisse o seu estado estacionrio.

No MatLab utilizou-se a mesma entrada de

onda quadrada na funo de transferncia

encontrada. Com os dados simulados e reais,

construiu-se um grfico com a entrada de onda

quadrada, a resposta real e a modelada, como pode

ser visto na Figura 6.

Fig. 6 Comparao da resposta real e da modelada

Como pode ser visto na Figura 6, o modelo

encontrado se aproxima muito do real. Como os

dados de amplitude registrados foram todos

positivos, o modelo se aproximou mais da parte

positiva do sinal, pois a planta possui uma dinmica

diferente quando se aplica um sinal negativo.

Conclui-se por esta anlise que a modelagem

por frequncia muito til e resulta em um modelo

confivel e preciso.

IV.2 Compensao por lugar das razes

A definio dos parmetros foi realizada no

programa Matlab, o cdigo encontra-se no anexo

deste relatrio. Para que os ganhos dos controladores

fossem vlidos, foi necessrio alterar os valores do

fator de amortecimento e os de fii dos controladores.

. Resultados:

Controlador 1 a. 10% de sobressinal;

b. tempo de assentamento de 80% da constante de

tempo do sistema;

c. erro de 10% a uma rampa unitria.

1 = 0.3647 2 + 12.77 + 21.13

OBS.: Adicionou-se 0.3 no fator de amortecimento e

1.5 em fii.

Controlador 2 a. 30% de sobressinal;

b. tempo de assentamento de110% da constante de

tempo do sistema;

c. erro de 20% a uma rampa unitria.

2 = 0.3736 2 + 3.152 + 10.56

OBS.: Adicionou-se 0.5 no fator de amortecimento e

2.5 em fii.

V. DISCUSSES

V.1 Modelagem do motor CC a partir da resposta em

frequncia

A anlise do sistema pelo mtodo da resposta

em frequncia tem-se a vantagem de poder verificar

o comportamento do sistema sem o devido

conhecimento prvio da funo de transferncia, que

nesse experimento representa o modelo de um motor

CC.

Pelo diagrama de Bode, obteve-se os

grficos de magnitude e de fase com os dados

coletados no experimento e a partir da anlise de

ambos, obteve-se uma funo de transferncia

relativa ao sistema.

Aps a realizao do ajuste fino dos dados da

funo de transferncia e obteno de seu devido

ganho, obteve-se uma tima aproximao quando

comparada a resposta dos dados experimentais.

Assim, o modelo encontrado se mostrou satisfatrio.

6

V.2 Compensao por lugar das razes

Os valores encontrados para as constantes

proporcional e derivativa em ambos os controladores

no eram aceitveis para os dados fornecidos, visto

que no existe controlador com constantes negativas.

Sendo assim, foi necessrio alterar os valores

do fator de amortecimento e os de fii dos

controladores.

VI. CONCLUSO

Ambos os experimentos, a modelagem do

motor CC e o clculo dos parmetros do controlador

PID, foram teis para a compreenso da Resposta em

Frequncia e do Mtodo do Compensador pelo Lugar

da Razes.

Ao fim da atividade prtica e da elaborao

deste relatrio, podemos classifica-los como

satisfatrios, uma vez que cumpriu com todos os

objetivos traados para o experimento da

modelagem, infelizmente para os clculos dos

parmetros dos controladores foi necessrio alterar os

valores do fator de amortecimento e os de fii dos

controladores.

VII. ANEXOS

Cdigo para modelar o motor CC, pela

Resposta em Frequncia: X = 3; f = [0.01 0.04 0.05 0.08 0.1 0.15 0.2

0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.80 1 2 4 8

10]; w = 2 * pi * f; Y = [1.42 1.38 1.39 1.38 1.37 1.3 1.25

1.16 1.12 1.11 1.05 0.98 0.84 0.7 0.45

0.2 0.12 0.10]; A = Y / X;

figure(1) semilogx(w, 20*log10(A)); xlabel('rad.s^-1') ylabel('Magnitude[dB]') title('SemilogX')

figure(2) semilogx(w, 20*log10(A)); hold on;

K = 0.473; w_1 = 3.581; f = 0:0.01:10; w = 2 * pi * f; s = j * w; G = K ./ (1 + s/w_1); semilogx(w, 20*log10(abs(G)),'--r'); hold off;

ylabel('20log_10(|G(jw)|)'); xlabel('w(rad/s)'); title('Diagrama de Bode'); legend('Experimental', 'Modelo'); xlim([0 100]);

figure(3) num = [1.695]; den = [1 3.581]; bode(num,den)

Cdigo para calcular os parmetros do

controlador PID. Controlador 1: %% % Controlador 1 % a. 10% de sobressinal; % b. tempo de assentamento de 80% da

constante de tempo do sistema; % c. erro de 10% a uma rampa unitria.

disp('Controlador 1')

N1 = [1.695]; D1 = [1 3.581]; Gp1 = tf(N1, D1) H1 = 1

Mep1 = 10/100; zeta1 =

(sqrt((log(Mep1))^2/((log(Mep1))^2+(pi

)^2))) + 0.3

constante_de_tempo = 1/3.581; Ta1 = constante_de_tempo*0.8; omega1 = 4/(zeta1*Ta1)

s1 = - zeta1*omega1 + j*omega1*sqrt(1-

zeta1^2)

figure(4) rlocus(series(Gp1,H1)) xlabel('Re(s)') ylabel('Im(s)') title('Lugar das Razes') hold on plot(real(s1),imag(s1),'d') sgrid(zeta1,omega1)

GPH=@(s)(1.695)/(s+3.581) K1=-1/GPH(s1)

sM = abs(s1) beta = angle(s1)+ 1.5 M = abs(GPH(s1)) psi = angle(GPH(s1)) ess = 0.1; K = 1/ess Ki = K/(1.695/3.581)

7

Kp = -sin(beta+psi)/(M*sin(beta))-

2*Ki*cos(beta)/sM Kd = sin(psi)/(sM*M*sin(beta))+Ki/sM^2 NC = [Kd Kp Ki]; DC = [1 0] GC = tf(NC, DC)

Controlador 2:

%% % Controlador 2 % a. 30% de sobressinal; % b. tempo de assentamento de 110% da

constante de tempo do sistema; % c. erro de 20% a uma rampa unitria.

disp('Controlador2')

N1 = [1.695]; D1 = [1 3.581]; Gp1 = tf(N1, D1) H1 = 1

Mep1 = 30/100; zeta1 =

(sqrt((log(Mep1))^2/((log(Mep1))^2+(pi

)^2))+0.5

constante_de_tempo = 1/3.581; Ta1 = constante_de_tempo*1.1; omega1 = 4/(zeta1*Ta1)

s1 = - zeta1*omega1 + j*omega1*sqrt(1-

zeta1^2)

figure(5) rlocus(series(Gp1,H1)) xlabel('Re(s)') ylabel('Im(s)') title('Lugar das Razes') hold on plot(real(s1),imag(s1),'d') sgrid(zeta1,omega1)

GPH=@(s)(1.695)/(s+3.581) K1=-1/GPH(s1)

sM = abs(s1) beta = angle(s1)+2.5 M = abs(GPH(s1)) psi = angle(GPH(s1)) ess = -0.2; K = 1/ess Ki = K/(1.695/3.581) Kp = -sin(beta+psi)/(M*sin(beta))-

2*Ki*cos(beta)/sM Kd = sin(psi)/(sM*M*sin(beta))+Ki/sM^2 NC = [Kd Kp Ki]; DC = [1 0] GC = tf(NC, DC)

)

VIII. REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS

[1] Ogata, Katsuhiko; Problemas de Ingenieria de

Control utilizando Matlab, 1edio, Prentice Hall,

2000.

[2] Phillips, Charles L. e Harbor, Royce D.; Sistemas

de Controle e Realimentao, MAKRON Books, 1

Edio. 1996.

[3] Maya, Paulo e Leornardi, Fabrizio; Controle

Essencial, 1edio, Pearson

[4] Ogata, Katsuhiko; Engenharia de Controle

Moderno, 5edio, Pearson Education do Brasil,

2010.

[5] Nise, Norman S.; Engenharia de Sistemas de

Controle, LTC, 6 Edio. 2013.