ESCOLA DE ENGENHARIA

RESUMO TEÓRICO Disciplina de Resistência dos Materiais II

Semestre 2013.2

Esforços Internos Prof. Fernando Peroba

ROTEIRO PARA DETERMINAÇÃO DAS EQUAÇÕES DOS ESFORÇOS INTERNOS. O presente resumo teórico apresenta um roteiro para determinar as equações de esforços

internos em elementos estruturais. Considere a viga isostática da Figura 1 que será

utilizada como exemplo.

Figura 1. Viga isostática.

1. Divisão da viga em trechos.

Antes de qualquer outro procedimento, faz-se necessário dividir a viga em trechos por

meio da nomeação dos nós. Isto quer dizer que cada nó receberá uma letra maiúscula que

o identificará. Assim, um trecho fica definido entre dois nós. Para cada trecho deverá ser

calculada a equação dos esforços internos.

Para o exemplo apresentado, existem quatro nós que definirão 3 trechos (ver Figura 2).

Portanto, haverá a necessidade de se determinar três equações diferentes para cada tipo

de esforço interno (N, Q e M).

Figura 2. Viga com nós nomeados.

As cotas representam a distância entre os nós e o comprimento de cada trecho. No entanto,

objetiva-se a determinação de equações dos esforços internos. Tais equações são funções

da variável independente �. Ou seja, não a distância e sim a posição de cada ponto da

viga deverá ser levada em consideração. Quando se fala em posição, deve-se

imediatamente definir o referencial adotado. Este terá a posição inicial � = 0 e a posição

D C B A

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de todos os outros pontos será definida a partir disso. Por convenção, costuma-se adotar

um sentido crescente ou progressivo das posições da esquerda para a direita.

Nesse contexto, adotando-se o ponto A como referencial, tem-se para os outros pontos as

respectivas posições: �� = 4�, �� = 6� e � = 8�. Caso fosse adotado outro ponto

como referencial, as posições iriam mudar. Teoricamente pode-se adotar como referencial

qualquer ponto dentro do contorno geométrico da viga.

Depois de escolhido o referencial no ponto A, o domínio das funções dos esforços

internos para cada trecho é:

• AB � � = {� ∈ �/0 ≤ � ≤ 4}, onde � é o conjunto dos números reais.

• BC � � = {� ∈ �/4 ≤ � ≤ 6}, onde � é o conjunto dos números reais.

• CD � � = {� ∈ �/6 ≤ � ≤ 8}, onde � é o conjunto dos números reais.

2. Cálculo das reações de apoio.

O próximo passo é calcular as reações nos apoios da viga. Para tanto, deve-se

primeiramente determinar a resultante das cargas distribuídas e seus respectivos pontos

de aplicação. A mecânica clássica demonstra que a resultante de uma carga distribuída é

área da figura geométrica definida pela função da carga, o eixo das abscissas e as retas

verticais que passam pelos pontos de início e fim da distribuição de carga. Já o ponto de

aplicação da resultante é o centroide da referida figura geométrica.

Considere a viga da Figura 3. Nela é apresentada a resultante da carga distribuída, em

linha pontilhada, que foi obtida pelo cálculo da área do retângulo que representa a

distribuição de carga uniforme. A localização da carga resultante no meio do vão se deve

ao centroide do retângulo. Assim,

� = á��� = 2 ��� ∙ 4� = 8��

�̅ = �����ó� � = 4�2 = 2�

Figura 3. Determinação da resultante e de sua posição.

2m

! !"

8��

D C B A

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Agora, pode-se aplicar as condições de equilíbrio da Estática para calcular as reações de

apoio.

→ ∑ % = 0 � &' = (

↑ ∑ ! = 0 � !" + ! = 18

↶ ∑ -" = 0 � ! ∙ 8 − 8 ∙ 2 − 10 ∙ 6 = 0 � /0 = 1, 345 e /' = 6, 345

3. Equações dos esforços internos.

De posse das reações de apoio será possível determinar as equações de esforços internos

pretendidas por meio do método das seções. A definição de cada esforço interno e sua

respectiva convenção de sinais é mostrada na Tabela 1:

Tabela 1. Definição e convenção de sinais dos esforços internos.

ESFORÇO DEFINIÇÃO CONVENÇÃO

DE SINAIS

NORMAL Somatório de todas as forças axiais à esquerda

ou à direita das seção estudada.

CORTANTE Somatório de todas as forças transversais à

esquerda ou à direita das seção estudada.

FLETOR Somatório de todos os momentos à esquerda

ou à direita das seção estudada.

Finalmente, para cada trecho da viga anteriormente definido, serão calculadas as

equações dos esforços internos.

a) Trecho AB, 0 ≤ � ≤ 4.

Faz-se uma seção genérica que dista � da origem, em um ponto qualquer dentro do

domínio do trecho, e olha-se para esquerda (Figura 4). Como o vão de carga distribuída

para a seção é � e a altura do retângulo continua 2, o valor da resultante será 2�, aplicada

no meio do vão.

Figura 4. Seção da esquerda do trecho 1.

+

+

+

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As equações para o trecho 1 são:

�7 = 0

87 = 8,5 − 2�

-7 = 8,5� − 2� ∙ �2 = 8,5� − �:

b) Trecho BC, 4 ≤ � ≤ 6.

Da mesma forma, faz-se uma seção genérica no trecho BC que dista � da origem (Figura

5). Neste caso a resultante da carga distribuída passa a ser 8��, aplicada no meio do vão

da distribuição de carga. Escolhendo-se olhar à esquerda da seção, tem-se:

Figura 5. Seção da esquerda do trecho 2.

Todas as equações de esforços internos são sempre determinadas em relação à seção

escolhida. Desta forma:

�7 = 0

87 = 8,5 − 8 = 0,5 (Função constante)

-7 = 8,5� − 8 ∙ ;� − 2< = 8,5� − 8� + 16 = 0,5� + 16

b) Trecho CD, 6 ≤ � ≤ 8.

Depois de seccionar um ponto qualquer do trecho CD, escolhe-se olhar à esquerda da

seção mais uma vez. Observe que a distância da força resultante e da força concentrada

até a seção é sempre igual à � menos a respectiva posição de cada uma dessas forças.

Figura 6. Seção da esquerda do trecho 3.

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Desta forma, obtém-se:

�7 = 0

87 = 8,5 − 8 − 10 = 9,5 (Função constante)

-7 = 8,5� − 8 ∙ ;� − 2< − 10 ∙ ;� − 6< = 8,5� − 8� + 16 − 10� + 60 = −9,5� + 76

Os mesmos resultados seriam encontrados caso se tivesse escolhido olhar à direita da

seção (faça isso como exercício). Este procedimento, se for seguido cuidadosamente,

acarretará no bom entendimento deste assunto que é de fundamental importância para a

determinação da equação da linha elástica. Faça os exercícios a seguir para melhor

fixação do conteúdo. Bons estudos!

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EXERCÍCIOS PROPOSTOS

Para as vigas a seguir, determine as equações de Esforços Internos:

01)

02)

03)

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04)

!" = 33��

! = 15��

;0 ≤ � ≤ 4<: @ 87 = 33 − 12�-7 = 33� − 6�:

;4 ≤ � ≤ 6<: @8: = 33 − 48 = −15-: = −15� + 96

;6 ≤ � ≤ 8<: @ 8A = −15-A = −15� + 120

05)

!" = 52,3��

! = 57,7��

;0 ≤ � ≤ 2<: @ 87 = 52,3 − 8�-7 = 52,3� − 4�:

;2 ≤ � ≤ 6<: @ 8: = 55,7 − 12�-: = −6�: + 55,7� + 12

;6 ≤ � ≤ 9<: @ 8A = 1,7 − 6�-A = −3�: + 1,7� + 227,7

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06)

!� = 45,5��

!� = 4,5��

;0 ≤ � ≤ 2<: @ 87 = −18-7 = −18B

;2 ≤ � ≤ 6<: @ 8: = 43,5 − 8�-: = −4�: + 43,5� − 107

;6 ≤ � ≤ 8<: @ 8A = 0-A = 10

07)

!" = 2�� ↓

E" = 38��. �

;0 ≤ � ≤ 2<: @ 87 = 2-7 = 38 − 2�

;2 ≤ � ≤ 4<: @ 8: = −2-: = 28 − 2�

;4 ≤ � ≤ 6<: @ 8A = 30 − 8�-A = −4�: + 30� − 36