Material RESMAT

ECV 0094 Resistncia dos Materiais Departamento de Engenharia Civil da FURB 26 Prof. Rafael F. Jansen (ECV/CCT/FURB)

Departamento de Engenharia Civil DEC/ECV/FURB Prof. Rafael Jansen

4. ESTUDO DAS TENSES 4.1. Definio

Determinar as tenses nas vrias sees com o objetivo de estabelecer as dimenses das barras,

para que estas no rompam. Estudaremos as tenses decorrentes da trao e da compresso, do

cisalhamento, dos momentos e de suas combinaes.

Tenso a intensidade da fora interna sobre um plano especfico (rea) que passo por um

ponto.

4.2. Tenso normal - A intensidade de fora, ou fora por unidade de rea, que age perpendicularmente a um plano,

definida com tenso normal, (sigma).

=

onde,

tenso normal mdia em qualquer ponto na rea da seo transversal;

P fora normal interna resultante, que aplicada no centroide da rea da seo transversal. P

determinada pelo mtodo das sees e pelas equaes de equilbrio;

A rea da seo transversal da barra.

4.3. Tenso de cisalhamento - A intensidade de fora, ou fora por unidade de rea, que age tangente a um plano, definida

com tenso de cisalhamento, (tau).

= VA

onde,

tenso de cisalhamento mdia na seo, que consideramos ser a mesma em cada ponto

localizado na seo transversal;

V fora de cisalhamento interna resultante na seo determinada pelas equaes de

equilbrio;

A rea da seo transversal da barra.



4.4. Tenso admissvel Um engenheiro responsvel pelo projeto de um elemento estrutural deve restringir a tenso

atuante no material a um nvel seguro. Alm disso, uma estrutura em uso contnuo deve ser analisada

periodicamente para que se verifique quais cargas adicionais seus elementos ou partes podem suportar.

Portanto, necessrio fazer os clculos usando-se uma tenso segura ou admissvel.

Para se garantir a segurana, preciso escolher uma tenso admissvel que restrinja a carga

aplicada a um valor menor do que a carga que o elemento pode suportar totalmente. H varias razes

para isso. Por exemplo, a carga para a qual o elemento projetado pode ser diferente das cargas

realmente aplicadas. As dimenses estipuladas no projeto de uma estrutura podem no ser exatas, na

realidade, por causa de erros de fabricao ou cometidos na montagem de seus componentes.

possvel ocorrer problemas com vibraes, impactos ou cargas acidentais desconhecidas, que no

tenham sido comtemplados no projeto. Corroso atmosfrica, deteriorao ou desgaste provocado por

exposio a intempries tendem a deteriorar os materiais em servio. Por fim, as propriedades

mecnicas de alguns materiais como: madeira, ao, concreto ou compsitos reforados com fibras pode

apresentar alta variabilidade.

Um mtodo para especificao da carga admissvel para o projeto ou anlise de um elemento

o uso de um nmero denominado de fator de segurana. O fator de segurana (FS) a razo entre a

carga de ruptura, Frup, e a carga admissvel, Fadm. Neste contexto, Frup determinada por ensaios

experimentais do material, e o fator de segurana selecionado com base na experincia. Assim,

podemos confiar que as incertezas mencionadas foram consideradas e que o fator de segurana ser

valido para a utilizao do elemento em condies semelhantes de carga e geometria. Em linguagem

matemtica,

=

Se a carga aplicada ao elemento estiver linearmente relacionada com a tenso desenvolvida no

interior do elemento, como no caso da utilizao de = , e = , ento podemos expressar o fator de segurana com a razo entre a tenso de ruptura rup (ou rup) e a tenso admissvel

adm (ou adm); isto ,

=

Ou

=



Em qualquer dessas equaes o fator de segurana escolhido maior que 1, para evitar o

potencial de falha.

4.5. Projeto de acoplamento simples Adotando-se premissas simplificadoras em relao ao comportamento do material, as equaes

= , e = , geralmente podem ser usadas para projetar um acoplamento simples ou um elemento mecnico. Em particular, se um elemento estiver submetido a uma fora normal em uma

seo, a rea de seo exigida determinada por:

=

Por outro lado, se a seo estiver sujeita a uma fora de cisalhamento, ento a rea de seo

exigida :

=

A tenso admissvel usada em cada uma dessas equaes determinada pela aplicao de um

fator de segurana a uma tenso normal ou de cisalhamento especificada ou pela obteno dessas

tenses diretamente de uma norma de projeto adequada.

rea de seo transversal de um elemento de trao. A rea da seo transversal de um elemento prismtico submetido a uma fora de trao pode ser determinada desde que a fora tenha

uma linha de ao que passe pelo centroide da seo transversal. Por exemplo, considere a barra com

olhal mostrada na figura. Na seo intermediria a-a, a distribuio de tenso uniforme na seo

transversal e a rea sombreada A determinada, como mostra a figura.

4.6. rea da seo transversal de um acoplamento submetido a cisalhamento

Muitas vezes, parafusos ou pinos so usados para interligar chapas, pranchas ou vrios

elementos. Como exemplo, considere a junta sobreposta mostrada na figura. Se o parafuso estiver solto



ou se a fora de aperto do parafuso for desconhecida, seguro supor que qualquer fora de atrito entre

as chapas desprezvel. O resultado o diagrama de corpo livre para uma seo que passa entre as

chapas e pelo parafuso mostrado na figura. O parafuso esta sujeito a uma fora de cisalhamento interna

resultante V = P em sua seo transversal. Considerando-se que a tenso de cisalhamento que provoca

essa fora est uniformemente distribuda na seo transversal, a rea da seo transversal do parafuso,

A, determinada como mostra a figura.

4.7. rea exigida para resistir ao apoio A tenso normal produzida pela compresso de uma superfcie contra outra denominada

tenso de apoio. Se essa tenso se tornar suficientemente grande, poder esmagar ou deformar

localmente uma ou ambas as superfcies. Por consequncia, para evitar falha, necessrio determinar a

rea de apoio adequada para o material usando uma tenso de apoio admissvel. Por exemplo, a rea A

da chapa da base da coluna B mostrada na figura determinada pela tenso de apoio admissvel do

concreto obtida por A = P/(a)adm.



claro que, por essa frmula, consideramos que a tenso de apoio admissvel para o concreto

menor do que a tenso admissvel para o material da chapa de base da coluna e, alm disso, que a

tenso de apoio uniformemente distribuda entre a chapa e o concreto, como mostra a figura.

rea exigida para resistir a cisalhamento provocado por carga axial. Em alguns casos, hastes ou elementos sero apoiados de tal modo que pode ser desenvolvida uma tenso de

cisalhamento no elemento, ainda que ele esteja submetido a uma carga axial. Um exemplo dessa

situao seria uma haste de ao cuja extremidade esteja engastada em concreto e carregada como

mostra a figura. O diagrama de corpo livre da haste mostra que uma tenso de cisalhamento age na rea

de contato da haste com o concreto. Essa rea (2rl ou dl), onde d o dimetro da haste e l o

comprimento do engaste. Seria difcil determinar a distribuio real da tenso de cisalhamento ao longo

da haste, mas, se considerarmos que ela uniforme, poderemos usar A = V/adm para calcular l, desde

que d e adm sejam conhecidos.

Dada uma barra de rea A, submetida a uma fora P de trao, chama-se tenso de trao

relao:



importante observar que, para permanecer em equilbrio, a barra se submete a esforos de

soma nula, na sua parte inferior (desprezamos o peso prprio da barra, face grandeza da trao P).

Exemplo 1: Seja um tirante existente em uma construo, com 200 KN ou 20 tf de trao. Sendo

de ao, quais as dimenses que deve ter esse tirante, sabendo-se que o ao resiste a 150 MPa, ou seja, a

1500 Kgf/cm2?

P = 20 tf = 20.000 Kgf

= 1500

= ! "$%&'%($(*+,

Como:

= =

. = =



5. PROPRIEDADES MECNICAS DOS MATERIAIS

5.1. Deformao Sempre que uma fora aplicada a um corpo, esta tende a mudar a forma e o tamanho dele.

Essas mudanas so denominadas deformaes e podem ser altamente visveis ou praticamente

imperceptveis se no forem utilizados equipamentos que faam medies precisas. Por exemplo, uma

tira de borracha sofrer uma grande deformao quando esticada. Por outro lado, os elementos

estruturais de um edifcio sofrem apenas leves deformaes quando h muitas pessoas andando dentro

dele. Tambm pode ocorrer deformao de um corpo quando h mudana de temperatura. Um

exemplo tpico a expanso ou contrao trmica de um telhado causada pelas condies atmosfricas.

5.2. O ensaio de trao e compresso A resistncia de um material depende de sua capacidade de suportar uma carga sem

deformao excessiva ou ruptura. Essa propriedade inerente ao prprio material e deve ser

determinada por mtodos experimentais. Um dos testes mais importantes nesses casos o ensaio de

trao ou compresso. Embora seja possvel determinar muitas propriedades mecnicas importantes de

um material por esse teste, ele usado primariamente para determinar a relao entre a tenso normal

mdia e a deformao normal mdia em muitos materiais usados na engenharia, como mateias,

cermicas, polmeros e compsitos.

5.3. O diagrama tenso-deformao Pelos dados obtidos em um ensaio de trao ou compresso, possvel calcular vrios valores

da tenso e da deformao correspondentes no corpo de prova e, ento, construir um grfico com esses

resultados. A curva resultante denominada diagrama tenso-deformao e, normalmente, ela pode

ser descrita de duas maneiras.

Diagrama tenso-deformao convencional. Utilizando os dados registrados, podemos determinar a tenso normal, dividindo a carga

aplicada P pela rea original da seo transversal do corpo de prova, A0, esse clculo considera que a

tenso constante na seo transversal e em toda a regio entre os pontos de calibragem. Temos:

= / Dessa mesma maneira, a deformao nominal, determinada diretamente pela leitura da

deformao no extensmetro, ou dividindo a variao , no comprimento de referncia do corpo de



prova pelo comprimento de referncia original do corpo de prova, L0. Aqui consideramos que a

deformao constante em toda a regio entre os pontos de calibragem. Assim,

0 = 1/

Se os valores correspondentes de e forem marcados em um grfico no qual a ordenada ;e a

tenso e a abscissa a deformao, a curva resultante denominada diagrama tenso-deformao

convencional. Esse diagrama muito importante na engenharia porque proporciona os meios para se

obterem dados sobre a resistncia trao (ou compresso) de um material, isto , sua geometria.

Entretanto, tenha sempre em mente que dois diagramas tenso-deformao pra um determinado

material nunca sero exatamente iguais, j que os resultados dependem de variveis como a

composio e as imperfeies microscpicas do material, seu modo de fabricao e a taxa de carga e

temperatura utilizadas durante o teste.

Diagrama tenso-deformao real. Em vez de sempre usar a rea da seo transversal e o comprimento originais do corpo de prova

para calcular a tenso e a deformao, poderamos utilizar a rea da seo transversal e comprimento,

reais do corpo de prova no instante em que a carga medida. Os valores da tenso e da deformao

calculados por essas medies so denominados tenso real e deformao real, e a representao

grfica de seus valores denominada diagrama tenso-deformao real. Os diagramas de -

convencional e real so praticamente coincidentes quando a deformao pequena. As diferenas

entre os diagramas comeam a aparecer na faixa do endurecimento por deformaes quando a

amplitude da deformao se torna mais significativa.

Embora os diagramas tenso-deformao convencional e real sejam diferentes, a maioria dos

projetos de engenharia fica dentro da faixa elstica, pois, em geral, a distoro do material no severa

dentro dessa faixa. Contando que o material seja rgido, como a maioria dos metias, a deformao at

o limite de elasticidade permanecer pequena, e o erro associado utilizao de valores de engenharia

de e muito pequeno (aproximadamente 0,1%), em comparao com seu valores reais. Essa uma

das principais razes para a utilizao dos diagramas tenso-deformao convencionais.

5.4. Lei de Hooke O diagrama tenso-deformao para a maioria dos materiais de engenharia exibe uma relao

linear entre tenso e deformao dentro da regio elstica. Por consequncia, um aumento na tenso

provoca um aumento proporcional na deformao. Esse fato foi descoberto por Robert Hooke e pode

ser expresso matematicamente como:

= 3. 0 Nesta expresso, E representa a constante de proporcionalidade, denominada mdulo de

elasticidade ou mdulo de Young, nome que se deve a Thomas Young, que publicou uma explicao

sobre o mdulo em 1807.



Todo material, quando solicitado por uma fora, sofre uma deformao; a relao entre a

tenso e a deformao dada pela lei de Hooke.

Consideramos uma barra, de comprimento l e de seo transversal A, submetida a uma fora de

trao P que vai crescendo de zero at a ruptura do material. Vejamos como o deslocamento em

funo d carga aplicada.

Chamamos de ao deslocamento da barra pela ao de P.

Para cada P h um correspondente .

1 P1

2 P2

3 P3

Colocando em um grfico o deslocamento em relao a P at a barra romper-se, chegaramos

ao seguinte diagrama, no caso de uma barra de ao comum:

Vemos no grfico, trs trechos significativos. O primeiro, que vai de 0 a E1 trecho chamado

elstico o de maior interesse. Nesse trecho, caso tivssemos atingido a carga P2 com o deslocamento

2 e retirssemos a carga (P), verificaramos que, medida que fossemos retirando P, os valores de



iriam diminuindo at o valor zero, quando P tambm seria nulo. Por isso, esse trecho denominado

elstico.

O trecho E1E2 chamado de plstico, no caso do ao; nele, ocorrero deformaes permanentes

quando a carga N for retirada. A reta descendente paralela reta ascendente OE1.

O trecho E2R pequeno e quando atingirmos R a barra se romper. Mais interessante do que

fazer o diagrama P e fazer um diagrama tenso-deformao ( x )

= %0 =1

Pois, assim, o diagrama sempre o mesmo para um determinado material, independente da

rea A e do comprimento l da barra.

relao 5chamamos de : a deformao; essa grandeza no tem unidade (valor

adimensional).



O segmento OE uma reta trecho elstico que forma com o eixo das abscissas (deformao)

um ngulo , cuja tangente 67 = 8

9. Essa tangente define o mdulo de elasticidade, que designado

por E:

3 = 0

A expresso anterior traduz a lei de Hooke.

O mdulo de elasticidade um valor constante para cada material.

Assim, por exemplo:

Material Mdulo de elasticidade (E) Mdulo de elasticidade (E)

Ao 2.100.000 Kgf/cm2 210.000 MPa Madeira 100.000 Kgf/cm2 10.000 MPa Alumnio 700.000 Kgf/cm2 70.000 MPa Concreto 210.000 Kgf/cm2 21.000 MPa

Para que serve a lei de Hooke? Para determinar, para um dado material, o deslocamento de

uma barra de comprimento l quando submetida a uma tenso . Ou, determinar a tenso, sabendo-se a

deformao do corpo .

Exemplo 1: Calcular o deslocamento () de um tirante de 20 metros de comprimento e 10 cm2

de rea quando submetido a uma fora de 15.000 Kgf. O material ao.

1. Clculo da tenso:

P = 15.000 Kgf = 150.000 N

= 0,001

; ='

4 = >1,25

4 = 1,23

1 = 3

=



Exemplo 4: Uma barra de ao com mdulo de elasticidade igual a 205.000 MPa de seo circular

com dimetro igual a 25,4 mm (1) est sujeita a uma trao axial de 35 KN. Calcular o

alongamento da barra supondo um comprimento inicial de 3,50 m.

P = 35KN

= >'

4 = >2,54

4 = 5,07

Eao = 205.000 MPa

1. Tenso na barra:

; =



5.5. Coeficiente de Poisson Quando submetido a uma fora de trao axial, um corpo deformvel no apenas se alonga,

mas tambm se contrai lateralmente. Por exemplo, se esticarmos uma tira de borracha, podemos notar

que a espessura, assim como a largura da tira diminuem. Da mesma forma, uma fora de compresso

que age sobre um corpo provoca contrao na direo da fora e, no entanto, seus lados se expandem

lateralmente.

O coeficiente de Poisson () adimensional e, pra a maioria dos slidos no-porosos, seu valor

encontra-se, em geral, entre 1/4 e 1/3.

F = G CHIJKLMNILJOCOPKQRHSTRKJO

Essa expresso tem sinal negativo porque o alongamento longitudinal (deformao positiva)

provoca contrao lateral (deformao negativa) e vice-versa. Observe que a deformao lateral a

mesma em todas as direes laterais (ou radiais). Alm do mais, ela causada somente pela fora axial

ou longitudinal; isto , nenhuma fora ou tenso age em uma direo lateral de modo a deformar o

material nessa direo.

Exemplo 5: Uma barra de ao A-36 tem as dimenses mostradas na figura abaixo. Se uma fora

axial P = 80 kN for aplicada barra, determine a mudana em seu comprimento e a mudana nas

dimenses da rea de sua seo transversal a aplicao da carga. O material comporta-se elasticamente.



1. A tenso na barra :

;U =



Z = 0[\]0^_[` Z =0a = 0b

0Y 0a = 0b = c_0Y

Ce = Cf = c_0Y =

Assim, as mudanas nas dimenses da seo transversal so:

V = C WX

Para direo x: Ve = Ce WXe = Para direo y: Vf = Cf WXf =



6. CARGA AXIAL 6.1. Princpio de Saint-Venant

Anteriormente, desenvolvemos o conceito de tenso como um meio para medir a distribuio

de fora no interior de um corpo e o conceito de deformao como um meio para medir a deformao

geomtrica de um corpo. Tambm foi mostrado que a relao matemtica entre tenso e deformao

depende do tipo de material do qual o corpo feito. Em particular, se o material se comportar de

maneira linear elstica, a lei de Hooke ser aplicvel e haver uma relao proporcional entre tenso e

deformao.

Com essa ideia em mente, considere o modo como uma barra retangular se deforma

elasticamente quando submetida a uma fora P aplicada ao longo do eixo de seu centroide.

Nesta figura, a barra est presa a um apoio em uma de suas extremidades, e a fora aplicada

em um furo na outra extremidade. Devido ao carregamento, a barra deforma-se como indicam as

distores das linhas de grade desenhada sobre a barra, que antes eram horizontais e verticais. Observe

a deformao localizada que ocorre em cada extremidade. Esse efeito tende a diminuir conforme as

medies so feitas cada vez mais distante das extremidades. Alm disso, as deformaes vo se

nivelando e tornam-se uniformes em toda a seo mdia da barra.

Visto que a deformao est relacionada com a tenso no interior da barra, podemos afirmar

que a tenso ser distribuda mais uniformemente por toda a rea da seo transversal se um corte for

feito em uma seo distante do ponto onde a carga externa aplicada. Por exemplo, considere um perfil

da variao da distribuio de tenso que age nas sees a-a, b-b e c-c, cada uma mostrada na figura.

Comparando as curvas, a tenso quase alcana um valor uniforme na seo c-c, que esta

suficientemente afastada da extremidade. Em outras palavras, a seo c-c est longe o suficiente do

ponto de aplicao de P, de tal modo que a deformao localizada por P seja desprezvel. A distancia

mnima em relao extremidade da barra onde isso ocorre pode ser determinada por meio de uma

anlise matemtica baseada na teoria da elasticidade.



Todavia, como regra geral, que tambm se aplica a muitos outros casos de carregamento e

geometria de elementos, podemos considerar que essa distancia , no mnimo, igual maior dimenso

da seo transversal carregada. Em consequncia, no caso da barra na figura b), a seo c-c deve estar

localizada a uma distancia no mnimo igual a largura (e no espessura) da barra *. Essa regra se baseia

na observao experimental do comportamento do material, e somente em casos especiais, como o que

acabamos de discutir, ela foi validada matematicamente. Entretanto, devemos observar que essa regra

no se aplica a todos os tipos de elementos e casos de carregamento. Por exemplo, elementos

estruturais de paredes finas submetidos a carregamentos que provocam grandes deflexes podem criar

tenses e deformaes localizadas que tem influencia a uma distancia considervel do ponto de

aplicao da carga.

Observe, na figura a), como o apoio impede a reduo da largura da barra, o que deveria ocorrer

devido ao alongamento lateral da barra uma consequncia do efeito de Poisson, discutido

anteriormente. Contudo, por esse mesmo argumento, poderamos demonstrar que a distribuio de

tenso no apoio tambm se nivelar e se tornar uniforme em toda a seo transversal a uma curta

distncia do apoio; e mais a amplitude da fora resultante criada por essa distribuio de tenso deve

ser tambm igual a P.

O fato de a tenso e a deformao comportarem-se dessa maneira denominado princpio de

Saint-Venant, visto que foi observado pela primeira vez pelo cientista francs Barr de Saint-Venant, em

1855. Em essncia, esse princpio afirma que a tenso e a deformao produzidas em pontos de um

corpo suficientemente distantes da regio de aplicao da carga sero iguais tenso e deformao

produzidas por quaisquer carregamentos aplicados que tenham a mesma resultante estaticamente

equivalente e sejam aplicados ao corpo dentro da mesma regio. Por exemplo, se duas foras P/2

aplicadas simetricamente agirem sobre a barra figura c), a distncia de tenso na seo c-c, que

suficientemente afastada dos efeitos localizados dessas cargas, ser uniforme e, portanto, equivalente a

md = P/A como antes.

Ento, resumindo, no temos mais de considerar as distribuies de tenso um tanto complexas

que podem realmente se desenvolver nos pontos de aplicao de carga. O princpio de Saint-Venant

afirma que os efeitos localizados causados por qualquer carga que age sobre um corpo sero dissipados

ou atenuados em regies suficientemente afastadas do ponto de aplicao da carga. Alm do mais, a

distribuio de tenso resultante nessas regies ser a mesma que a causada por qualquer outra carga

estaticamente equivalente aplicada ao corpo dentro da mesma rea localizada.

6.2. Deformao elstica de um elemento submetido carga axial Usando a lei de Hooke e as definies de tenso e deformao, desenvolveremos, agora, uma

equao que pode ser usada para determinar a deformao elstica de um elemento submetido a

cargas axiais. Para generalizar o desenvolvimento, considere a barra mostrada na figura a), cuja rea de

seo transversal varia gradativamente ao longo de seu comprimento l. A barra est sujeita a cargas

concentradas em sua extremidades e a uma carga externa varivel distribuda ao longo de seu

comprimento. Essa carga distribuda poderia, por exemplo, representar o peso de uma barra vertical ou



foras de atrito que agem sobre a superfcie da barra. Aqui, queremos determinar o deslocamento

relativo (delta) de uma das extremidades da barra em relao outra extremidade, causada por esse

carregamento. Na anlise a seguir, desprezaremos as deformaes localizadas que ocorrem em pontos

de carregamento concentrado e nos locais em que a seo transversal muda repentinamente. Esses

efeitos ocorrem no interior de pequenas regies do comprimento da barra e, portanto, tero somente

um leve efeito sobre o resultado final. Na maioria dos casos, a barra se deformar uniformemente, de

modo que a tenso normal ser uniformemente distribuda na seo transversal.

Usando o mtodo das sees, isolamos um elemento diferencial da barra de comprimento dx e

rea de seo transversal A(x) em uma posio arbitrria x. o diagrama de corpo livre desse elemento

mostrado na figura abaixo. A fora axial interna resultante representada por P(x), j que o

carregamento externo far com que ele varie ao longo do comprimento da barra. Essa carga, P(x),

deformar o elemento at a forma indicada pela linha tracejada e, portanto, o deslocamento de uma

das extremidades do elemento em relao outra extremidade ser d. a tenso e a deformao no

elemento so:

= "g,"g, %0 = '1'g

Contando que essas quantidades no ultrapassem o limite de proporcionalidade, podemos

relacion-las usando a lei de Hooke, isto :

= 30 "g,"g, = 3 h

'1'gi

'1 = "g,'g"g,3 Para o comprimento total da barra, l, devemos integrar essa expresso para determinar o

deslocamento da extremidade exigido. Isto nos d:

1 = j "g,'g"g,3

_

onde:

= deslocamento de um ponto na barra relativo a outro ponto;

l = distncia original entre os pontos;



P(x) = fora axial interna na seo, localizada a distncia x de uma extremidade;

A(x) = rea da seo transversal da barra, expressa em funo de x;

E = mdulo de elasticidade para o material.

Carga constante e rea de seo transversal. Em muitos casos, a barra ter uma rea de seo transversal constante, A; e o material ser

homogneo, de modo que E constante. Alm do mais, se uma fora externa constante for aplicada a

cada extremidade (figura abaixo), ento a fora interna P tambm ser constante em todo o

comprimento da barra. O resultado que a Equao acima pode ser integrada e nos dar:

1 = k3

Se a barra for submetida a vrias foras axiais diferentes, ou se a rea da seo transversal ou o

mdulo de elasticidade mudar repentinamente de uma regio da barra para outra, a equao acima

poder ser aplicada a cada segmento da barra onde todas essas quantidades so constantes. Ento, o

deslocamento de uma extremidade da barra em relao outra determinado pela adio algbrica

dos deslocamentos das extremidades de cada segmento. Para esse caso geral:

1 = k3



Conveno de sinais. Para aplicar a equao acima, temos de desenvolver uma conveno de sinal para a fora axial interna e o deslocamento de uma extremidade da barra em relao outra

extremidade. Para tanto, consideremos que ambos, fora e deslocamento, so positivos se provocarem

trao e alongamento, respectivamente (figura abaixo); ao contrrio, fora e deslocamento negativos

causaro compresso e contrao, respectivamente.

Exemplo 1: Considere a barra mostrada na figura abaixo. As foras axiais internas, P, so

determinadas pelo mtodo das sees para cada segmento (figura b). Elas so PAB = + 5 KN, PBC = - 3 KN,

PCD = - 7 KN. Essa variao na carga axial mostrada no diagrama de fora normal para a barra (figura c).

Aplicando a Equao para obter o deslocamento da extremidade A em relao extremidade D, temos:



Se substituirmos os outros dados e a resposta calculada for positiva, significar que a

extremidade A se afasta da extremidade D (a barra alonga-se), ao passo que um resultado negativo

indicaria que a extremidade A se aproxima da extremidade D (a barra fica mais curta). A notao de

ndice duplo usada para indicar esse deslocamento relativo (A/D); entretanto, se o deslocamento tiver

de ser determinado em relao a um ponto fixo, ento ser usado um nico ndice. Por exemplo, se D

estiver localizado em um apoio fixo, o deslocamento calculado ser denotado simplesmente com A.

PONTOS IMPORTANTES

O princpio de Saint-Venant afirma que ambas, deformao e tenso localizadas que ocorrem no interior das regies de aplicao de carga ou nos apoios, tendem a nivelar-se a uma distncia suficientemente afastada dessas regies. O deslocamento de um elemento carregado axialmente determinado pela relao entre a carga aplicada e a tenso por meio da frmula = P/A e pela relao entre o deslocamento e a deformao por meio da expresso = d/dx. Por fim, essas duas equaes s combinadas, usando-se a lei de

Hooke, = E., dando como resultado = n o"p,qpr"p,st .

Uma vez que a lei de Hooke usada no desenvolvimento da equao do deslocamento, importante que as cargas no provoquem escoamento do material e que o material seja homogneo e se comporte de maneira linear elstica.

PROCEDIMENTO DE ANLISE

O deslocamento relativo entre dois pontos A e B em um elemento carregado axialmente pode ser

determinado aplicando-se a equao 1 = n u"a,av"a,w_ (ou 1 = uxvw ). A aplicao exige as etapas descritas a

seguir. Fora interna Use o mtodo das sees para determinar a fora axial interna P no elemento. Se essa fora variar ao longo do comprimento do elemento, deve-se fazer um corte em um local arbitrrio a distancia x de uma extremidade do elemento e a fora deve ser representada em funo de x, isto , P(x). Se vrias foras externas constantes agirem sobre o elemento, ento, em cada segmento do elemento se deve determinar a fora interna entre quaisquer duas foras externas. Para qualquer segmento, uma fora de trao interna positiva e uma fora de compresso interna negativa. Por convenincia, os resultados do carregamento interno podem ser mostrados graficamente em um diagrama de fora normal. Deslocamento Quando a rea da seo transversal do elemento varia ao longo de seu eixo, essa rea deve ser expressa em funo de sua posio, x, isto , A(x). Se a rea da seo transversal, o mdulo de elasticidade ou o carregamento interno mudar

repentinamente, a Equao 1 = uxvw dever ser aplicada a cada segmento para o qual essas quantidades sejam constantes.

Quando se substituem dados nas equaes 1 = n u"a,av"a,w_ e 1 = uxvw, no se deve esquecer de

atribuir o sinal adequado a P. carregamentos de trao so positivos, e carregamentos de compresso



so negativos. Alm disso, usa-se um conjunto de unidades constantes. Para qualquer segmento, se o resultado calculado for uma quantidade numrica positiva, indica alongamento; se for negativa, indica uma contrao.

6.3. Tenso trmica Uma mudana na temperatura pode provocar alteraes nas dimenses de um material. Se a

temperatura aumenta, o material, em geral, expande-se; se a temperatura diminui, o material contrai. A

relao entre a expanso ou contrao do material e o aumento ou reduo da temperatura

normalmente linear. Se for esse o caso e se o material for homogneo e isotrpico, estudos

experimentais demonstram que a deformao de um elemento de comprimento l pode ser calculada

pela frmula:

1y = 7{k

onde:

= uma propriedade do material denominada coeficiente linear de expanso trmica. As unidades

medem deformao por grau de temperatura [1/C [Celsius] ou 1/K [Kelvin] no SI];

T = variao na temperatura do elemento;

l = comprimento inicial do elemento;

T = variao no comprimento do elemento.

Se a mudana na temperatura ocorrer em todo o comprimento do elemento, isto , T = T(x),

ou se mudar ao longo do comprimento, a equao aplica-se para cada segmento que tenha

comprimento dx. Neste caso, a mudana no comprimento do elemento :

1y = j 7{'g

_

A mudana no comprimento de um elemento estaticamente determinado pode ser calculada

diretamente pela equao, visto que o elemento est livre para se expandir ou contrair quando sofrer

mudana na temperatura. Contudo, quando o elemento estaticamente indeterminado, esses

deslocamentos trmicos podem ser restringidos pelos apoios, o que produz tenses trmicas que

devem ser consideradas no projeto.

O clculo dessas tenses trmicas pode ser feito pelos mtodos descritos anteriormente.

Exemplo de aplicao:



A barra de ao A-36 est restringida para caber exatamente entre dois suportes fixos quando T1 = 30C.

Se a temperatura aumentar at T2 = 60C, determine a tenso trmica normal mdia desenvolvida na

barra.

SOLUO

Equilbrio. O diagrama de corpo livre da barra mostrado na figura b). Visto que no h nenhuma carga

externa, a fora em A igual, mas oposta, fora que age em B, isto :

+ b = 0 v +~ =

O problema estaticamente indeterminado, uma vez que a fora no pode ser determinada por

equilbrio.

Compatibilidade. Visto que A/B = 0, o deslocamento trmico T que ocorre em A (figura)

contrabalanado pela fora F que seria exigida para levar a barra , de volta sua posio original. A

condio de compatibilidade em A torna-se:

(+ ) 1v/~ = 0 = 1y 1

A aplicao das relaes trmicas e de carga-deslocamento resulta:

0 = 7{k k

k

Assim, pelos dados apresentados.

= 7{3

= [12"10,/]"60 30,"0,010,[200"10,&]

= 7,2

O valor de F indica claramente que mudanas na temperatura podem provocar grandes foras

de reao em elementos estaticamente indeterminados.

Visto que F tambm representa a fora axial interna no interior da barra, a tenso de

compresso normal mdia , portanto:

= =7,2g10

"0,01,= 72&



7. TORO 7.1. Deformao por toro de um eixo circular

Torque um momento que tende a torcer um elemento em torno de seu eixo longitudinal. O

efeito do torque a preocupao primria em projetos de eixos ou eixos de acionamento utilizados em

veculos e estruturas diversas. Podemos ilustrar fisicamente o que acontece quando um torque

aplicado a um eixo circular considerando que este seja feito a um eixo circular considerando que este

seja feito de um material com alto grau de deformao, como borracha. Quando o torque aplicado, os

crculos e as retas longitudinais da grade, marcados originalmente no eixo, tendem a se distorcer

segundo o padro mostrado na figura. Examinando a figura, vemos que a toro faz com que os crculos

continuem como crculos e cada linha longitudinal da grade se deforme na forma de uma hlice que

intercepta os crculos em ngulos iguais. Alm disso, as sees transversais na extremidade do eixo

continuam planas, e as linhas radiais nessas extremidades continuam retas durante a deformao. Por

essas informaes, podemos considerar que, se o ngulo de rotao for pequeno, o comprimento e o

raio do eixo permanecero inalterados.

Se o eixo estiver preso em uma de suas extremidades e for aplicado um torque sua outra

extremidade, o plano engastado ser distorcido at uma forma oblqua. Aqui uma linha radial localizada

na seo transversal a uma distncia x da extremidade fixa do eixo girar de um ngulo (x). O ngulo

(x), definido dessa maneira, denominado ngulo de toro, depende da posio x e variar ao longo

do eixo conforme mostra a figura.

Para entender como essa distoro deforma o material, isolaremos agora um pequeno elemento

localizado distancia radial (r) da linha central do eixo (figura). Devido deformao observada na

figura, as faces anterior e posterior do elemento sofrero uma rotao a face posterior, de (x) + .

O resultado que, em razo da diferena entre essas rotaes, , o elemento submetido a uma

deformao por cisalhamento. Para calcular essa deformao, observe que, antes da deformao, o



ngulo entre as bordas AB e AC 90; todavia, aps a deformao, as bordas do elemento se tornam AD

e AC e o ngulo entre elas `. Pela definio de deformao por cisalhamento, temos:

Esse ngulo, , indicado no elemento e pode ser relacionado com o comprimento x do elemento e

com a diferena no ngulo de rotao, , entre as faces sombreadas. Se x dx e d, temos:

BD = d = dx



Portanto,

= ''g Visto que dx e d so os mesmo para todos os elementos localizados em pontos da seo transversal

em x, ento d/dx constante nesta seo, e a equao indica que o valor da deformao por

cisalhamento para qualquer um desses elementos varia somente cm sua distancia radial em relao

linha central do eixo. Em outras palavras, a deformao por cisalhamento no interior do eixo varia

linearmente ao longo de qualquer linha radial, de zero na linha central do eixo at um valor mximo mx

em seu contorno externo (figura). Visto que d/dx = / = mx/c, ento,

= a 7.2. A frmula da toro

Quando um torque externo aplicado a um eixo, ele cria um torque interno correspondente no

interior do eixo. Nessa seo, desenvolveremos uma equao que relaciona esse torque interno com a

distribuio da tenso de cisalhamento na seo transversal de um eixo ou tubo circular.

Se o material for linear elstico, ento a lei de Hooke se aplica, = G, e, por consequncia, uma

variao linear na tenso por cisalhamento, como observado na seo anterior, resulta em uma

variao linear na tenso de cisalhamento correspondente ao longo de qualquer linha radial na seo

transversal. Consequentemente, assim como ocorre com a deformao por cisalhamento para um eixo

macio, variar de zero na linha central do eixo longitudinal a um valor mximo mx na superfcie

externa. Essa variao mostrada na figura, nas faces anteriores de vrios elementos selecionados

localizados em uma posio radial intermediria e no raio externo c. pela proporcionalidade de

tringulos, ou pela lei de Hooke ( = G) e pela equao [ = (/c)mx], podemos escrever:

= a Essa equao expressa a distribuio da tenso de cisalhamento em funo da posio radial

do elemento; em outras palavras, define a distribuio da tenso na seo transversal em termos da

geometria do eixo. Usando essa equao, aplicaremos agora a condio que exige que o torque

produzido pela distribuio de tenso por toda a seo transversal seja equivalente ao torque interno

resultante Mt na seo, o que mantm o eixo em equilbrio. Especificamente cada elemento de rea dA,

localizado em , est sujeito a uma fora dF = dA. O torque produzido por essa fora dT = ( dA).

Portanto, para toda a seo transversal, temos:



= j "', = j a'vv

Visto que mx/c constante:

= a j v '

A integral nessa equao depende somente da geometria do eixo. Ela representa o momento polar de

inrcia da rea da seo transversal do eixo calculada em torno da linha central longitudinal do eixo.

Esse valor ser representado pelo smbolo J e, portanto, a equao pode ser escrita de uma forma mais

compacta, a saber:

a = onde

mx = a tenso de cisalhamento

Mt = Torque (momento torsor) interno resultante que age na seo transversal. Seu valor ...

J = momento polar de inrcia da seo transversal;

c = raio externo do eixo.

Pelas equaes, a tenso de cisalhamento na distancia intermediria pode ser determinada

por uma equao semelhante:



= Qualquer uma das duas equaes citadas frequentemente denominada frmula da toro.

Lembre-se de que ela s usada se o eixo for circular e o material for homogneo e comporta-se de

uma maneira linear elstica, visto que a deduo da frmula se baseia no fato de a tenso de

cisalhamento ser proporcional deformao por cisalhamento.

Eixo macio. Se o eixo tiver uma seo transversal circular macia, o momento polar de inrcia Jp pode ser determinado por meio de um elemento de rea na forma de um anel diferencial, de espessura

d e circunferncia 2 (figura). Para esse anel, dA = 2 d, portanto:

= >2 ! Observe que J uma propriedade geomtrica da rea circular e sempre positivo. As unidades

de medida comuns para J so mm4, cm4 ou pol4.

J demostramos que a tenso de cisalhamento varia linearmente ao longo de cada linha radial

da seo transversal do eixo. Toda via se isolarmos um elemento de volume do material na seo

transversal, ento, devido propriedade complementar do cisalhamento, tenses de cisalhamento

iguais tambm devem agir sobre quatro de suas faces adjacentes, como mostra a figura. Por

consequncia, o torque interno Mt no somente desenvolve uma distribuio linear da tenso de

cisalhamento ao longo de cada linha radial no plano da rea de seo transversal, como tambm uma

distribuio de tenso de cisalhamento associada desenvolvida ao longo de um plano axial.



interessante observar que, em razo dessa distribuio axial da tenso de cisalhamento, eixos feitos

de madeira tendem a rachar ao longo do plano axial quando sujeitos a um torque excessivo (figura). Isso

acontece porque a madeira um material anisotrpico. A resistncia ao cisalhamento desse material,

paralela s fibras, direcionada ao longo da linha central do eixo, muito menor do que a resistncia

perpendicular s fibras, direcionada no plano da seo transversal.

Eixo tubular. Se um eixo tiver uma seo transversal tubular, com raio interno ci e raio externo c0, ento, pela equao, podemos determinar seu momento polar de inrcia subtraindo Jp para um eixo de raio ci daquele determinado para um eixo de raio c0. O resultado :

= >2 "/! G !,

Como ocorre no eixo macio, a tenso de cisalhamento distribuda pela rea da seo

transversal do tubo varia linearmente ao longo de qualquer linha radial (figura a). Alm do mais, a

tenso de cisalhamento varia ao longo de um plano axial dessa mesma maneira (figura b). a figura a,

mostra exemplos da tenso de cisalhamento agindo sobre elementos de volume tpicos.



Exemplo 1: A distribuio de tenso em um eixo macio foi representada em grfico ao longo de trs

linhas radiais arbitrrias, como mostra a figura. Determine o torque (momento de toro) interno

resultante na seo.

SOLUO

1. O momento polar de inrcia para a rea da seo transversal :

= >2 = 2. Aplicando a frmula da toro com mx = 56 MPa = 56 N/mm

2, temos:

a =

H



7.3. ngulo de toro () s vezes o projeto de um eixo depende de restrio quantidade de rotao ou toro que

pode ocorrer quando o eixo submetido a um torque. Alm do mais, saber calcular o ngulo de toro

para um eixo importante quando analisamos as reaes em eixos estaticamente indeterminados.

Nesta seo, desenvolveremos uma frmula para determinar o ngulo de toro (fi) de uma

extremidade de um eixo em relao sua outra extremidade. Consideremos que o eixo tem seo

transversal circular que pode variar gradativamente ao longo de seu comprimento (figura) e que o

material homogneo e se comporta de maneira linear elstica quando o torque aplicado. Como

ocorreu no caso de uma barra carregada axialmente, desprezamos as deformaes dos torques e em

locais onde a seo transversal muda abruptamente. Pelo princpio de Saint-Venant, esses efeitos

ocorrem no interior de pequenas regies do comprimento do eixo e, em geral, provocam apenas um

leve efeitos no resultado final.

Usando o mtodo das sees, isolamos do eixo um disco diferencial de espessura dx localizado

na posio x (figura).

O torque interno resultante representado por Mt(x), visto que o carregamento externo pode acarretar

variao no torque interno ao longo da linha central do eixo. A ao de Mt(x) provocar uma toro no

disco, de tal modo que a rotao relativa de uma de suas faces em relao outra ser d (figura). O

resultado que um elemento de material localizado em um raio arbitrrio no interior do disco sofrer

uma deformao por cisalhamento . Os valores de e d so relacionados pela equao:

' 'g Visto que pela lei de Hooke ( = G) se aplica e que a tenso de cisalhamento pode ser expressa

em termos do torque aplicado pela frmula da toro =Mt(x)/Jp(x), ento = Mt(x)/Jp(x)G. substituindo essa expresso na Equao, o ngulo de toro para o disco :



' "g,"a, 'g

Integrando em todo o comprimento L do eixo, obtemos o ngulo de toro para o eixo inteiro, a

saber:

j 6"g,"g, 'gx

/

Nessa expresso,

= ngulo de rotao de uma extremidade do eixo em relao outra extremidade, medida em

radianos;

Mt(x) = torque interno na posio arbitrria x, determinado pelo mtodo das sees e pela equao de

equilbrio de momento aplicada em torno da linha central do eixo;

J(x) = momento polar de inrcia do eixo expresso em funo da posio x;

G = mdulo de elasticidade ao cisalhamento do material.

Torque e rea de seo transversal constantes. Na pratica da engenharia, normalmente, o material homogneo, de modo que G constante. Alm disso, a rea da seo transversal do eixo e o

torque aplicado so constantes ao longo do comprimento do eixo (figura).

Se for esse o caso, o torque interno Mt(x) = Mt, o momento polar de inrcia J(x) = J e a Equao podem ser integrados, o que resulta:

k As semelhanas entre estas duas equaes e as equaes para uma barra carregada axialmente

( = P(x) dx/A(x)E e = PL/AE) devem ser notadas.



Podemos usar a equao para determinar o mdulo de elasticidade ao cisalhamento G do

material. Para tal, colocamos um corpo de prova de comprimento e dimetro conhecidos em uma

mquina de ensaio de toro como mostrada na figura. Ento o torque aplicado Mt e o ngulo de toro

so medidos entre um comprimento de referncia L. Pela equao G = MtL/J. Em geral, para se

obter um valor mais confivel de G, realizam-se diversos desses ensaios e utiliza-se o valor mdio.

Se o eixo for submetido a vrios torques diferentes ou se a rea da seo transversal ou mdulo

de cisalhamento mudar abruptamente de uma regio do eixo para a seguinte, a equao poder ser

aplicada a cada segmento do eixo onde essas quantidades so todas constantes. Ento, o ngulo de

toro de uma extremidade em relao outra determinado pela soma vetorial dos ngulos de toro

de cada segmento. Para esse caso:

k

Conveno de sinais. Para aplicar a equao, temos de desenvolver uma conveno de sinal para o torque interno e para o ngulo de toro de uma extremidade do eixo em relao outra extremidade.

Para tal, usaremos a regra da mo direita, pela qual o torque e o ngulo sero positivos desde que o

polegar esteja direcionado para fora do eixo quando os dedos o envolverem para dar a tendncia da

rotao.



Exemplo 2: Considere o eixo mostrado na figura, que est submetido a quatro torques. O ngulo de

toro da extremidade A em relao extremidade D deve ser determinado.

1. Torques internos:

Pela regra da mo direita, com torques positivos

direcionados para longe da extremidade secionada do eixo,

temos:

MtAB =



2. ngulo de toro:

k

v/

Se substituirmos os outros dados e encontrar uma resposta positiva, significa que a extremidade

A girar na direo indicada pelos dedos da mo direita quando o polegar estiver direcionado para fora

do eixo. A notao de ndice duplo usada para indicar esse ngulo de toro relativo (A/D); entretanto,

se o ngulo de toro tiver de ser determinado em relao a um ponto fixo, ser usado apenas um

ndice. Por exemplo, se D estiver localizado em um apoio fixo, ento o ngulo de toro calculado ser

representado por A.

Pela regra da mo direita, com torques positivos

direcionados para longe da extremidade

secionada do eixo, temos:

MtBC =

Pela regra da mo direita, com torques positivos direcionados

para longe da extremidade secionada do eixo, temos:

MtCD =

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