RESOLUÃ_ÃƒO_DOS_EXERCÃ_CIOS_DO_LIVRO_MTR.pdf

MECNICA TCNICA E RESISTNCIA DOS MATERIAIS

Resoluo dos Exerccios Professora Daniele da Silva Ramos

RESOLUO DOS EXERCCIOS DO LIVRO Observao: resoluo e respostas em vermelho

AULA 1

1) A mecnica se divide em trs grandes reas, correlacione a primeira coluna com a segunda coluna: (1) Mecnica dos Corpos Rgidos (2) Mecnica dos Corpos Deformveis (3) Mecnica dos Fludos

Respostas: (2) Resistncia dos Materiais (1) Dinmica (3) Fludos Compressveis (1) Esttica (3) Fludos Incompressveis (1) Cinemtica

2) Complete a afirmao abaixo: A mecnica a cincia que descreve e antecipa as condies de repouso e movimento dos objetos sob ao de foras.

3) Relacione a primeira coluna com a segunda coluna: (1) Primeira Lei de Newton (2) Segunda Lei de Newton (3) Terceira Lei de Newton

Respostas: (1) Uma partcula permanece em repouso ou continua a se mexer com velocidade uniforme se no existir qualquer fora em desequilbrio atuando nela. (3) As foras de ao e reao entre corpos interagindo so iguais em valor, opostos em direo e colineares. (2) A acelerao de uma partcula proporcional soma vetorial das foras dessa soma vetorial.



4) Se uma pessoa tem uma massa de 60 kg e a acelerao da gravidade for 9,81 m/s2, qual ser o peso dessa pessoa? a) 598,6N b) 58,86N c) 588,6N d) 59,86N

Resoluo:

Utilizar regra de trs simples para resolver esta questo:

Massa (kg) Peso (N) 01 9,81 60 x

Na regra de trs simples, criamos duas colunas e dividimos os dados de acordo com as unidades de medida. Sendo assim, depois de separar os dados faz-se a multiplicao cruzada:

1.x = 60.9,81 x = 588,6 N

Resposta: letra c.

5) Converta os resultados abaixo, utilizando a tabela de prefixos do Sistema Internaciona: a) mm m 584 mm = 0,584 m 50 mm = 0,050 m 125 mm = 0,125 m

Resoluo:




Comprimento (mm) Comprimento (m) 01 0,001 584 x


1.x = 584.0,001 x = 0,584 m


1.x = 50.0,001 x = 0,050 m


1.x = 125.0,001 x = 0,125 m



b) m mm 0,030 m = 30 mm 0,325 m = 325 mm 0,001 m = 1 mm

Resoluo:


Comprimento (m) Comprimento (mm) 01 1000 0,030 x


1.x = 0,030.1000 x = 30 mm


1.x = 0,325.1000 x = 325 mm




1.x = 0,001.1000 x = 1 mm

c) km m 5,1 km = 5100 m 0,985 km = 985 m 0,005 km = 5 m

Resoluo:


Comprimento (km) Comprimento (m) 01 1000 5,1 x


1.x = 5,1.1000 x = 5100 m




1.x = 0,985.1000 x = 985 m


1.x = 0,005.1000 x = 5 m

d) m km 10590 m = 10,59 km 5000 m = 5 km 800,5 m = 0,8005 km

Resoluo:


Comprimento (m) Comprimento (km) 01 0,001 10590 x


1.x = 10590.0,001 x = 10,59 km



Comprimento (m) Comprimento (km) 01 0,001 5000 x

1.x = 5000.0,001 x = 5 km

Comprimento (m) Comprimento (km) 01 0,001 800,5 x

1.x = 800,5.0,001 x = 0,8005 km



AULA 2

1) Determine o valor da resultante das foras e sua direo e sentido (utilize as leis de seno e cosseno ou decomposio cartesiana):

Resoluo:

Resolvendo pelas leis de seno e cosseno:

Primeiro passo: traar as foras uma no final da outra, para encontrar a resultante, conforme regra do paralelograma. A fora resultante traada na diagonal, sendo que esta inicia do ponto de origem das foras e termina no ponto de encontro das mesmas. Desenhamos o plano cartesiano (XY), e mostramos os ngulos envolvidos no sistema, conforme demonstrado abaixo.

R

y

x30

55



Aps traar as foras, e encontrarmos a resultante, verificamos que os dois tringulos formados so semelhantes e que podemos escolher apenas um para trabalhar.

Escolhendo um tringulo, desenhamos o mesmo novamente, e verificamos os dados conhecidos. O ngulo oposto a fora resultante, equivale a 180 menos o valor de , sendo que o ngulo , o ngulo de ligao entre a duas foras. Logo o valor do ngulo que liga a fora de 3,5 KN a fora de 5 KN de 95. Portanto, o valor do ngulo 95.

Sendo o ngulo = 95, temos o ngulo oposto a fora resultante com o valor de 85. Sendo assim, podemos agora aplicar a lei dos cossenos para calcularmos o valor da Fora Resultante:

R2 = P2 + Q2 2.P.Q.cos (180- )

3,5 KN

R

5 KN

180 -

3,5 KN

R

5 KN

(180 -)=

85



Vamos adotar a fora P= 3,5 kN e a fora Q= 5 kN, logo:

R2 = (3,5)2 + (5)2 2.(3,5).(5).cos (180-95) R2 = 12,25 + 25 35.cos (85)

R2 = 37,25 35.0,0871 R2 = 37,25 3,0504

R2 = 34,1996 R = 34,1996 R = 5,85 kN

O valor acima se refere intensidade da Fora Resultante, precisamos encontrar a direo e o sentido da mesma. Verificando o tringulo escolhido acima, percebe-se que se escolhermos o ngulo chamado neste exerccio de , estaremos relacionando a fora resultante com o eixo x, pois com o valor de + 30 estamos no eixo x. Caso escolhermos o ngulo , verificando no nosso primeiro desenho, percebemos que o mesmo relaciona a fora resultante com a fora de 3,5 kN, e assim para relacionarmos esse ngulo com o eixo x, teremos que somar ao seu valor mais 55. Por isso, podemos escolher um dos dois n gulos para calcular e dar a resposta. Abaixo vamos calcular das duas formas possveis, utilizando a lei dos senos.

R = P = Q sen(180 - ) sen sen

Como a frmula acima, relaciona duas igualdades comeamos com uma de cada vez.

5,85 = 3,5 sen(180-95) sen

5,85 = 3,5 sen 85 sen

Efetuamos a multiplicao cruzada:

5,85. sen = 3,5. sen 85 5,85. sen = 3,5. 0,9962



5,85. sen = 3,48668 sen = 3,48668

5,85 sen = 0,596 = sen-1 0,596 = 36,58

+30 36,58+30 = 66,58

Dando a resposta da direo com o angulo : A fora resultante est inclinada a 66,58 do eixo x.

Vamos calcular o ngulo :

5,85 = 5 sen(180-95) sen

5,85 = 5 sen 85 sen


5,85. sen = 5. sen 85 5,85. sen = 5. 0,9962 5,85. sen = 4,98097

sen = 4,98097 5,85 sen = 0,85 = sen-1 0,85 = 58,36

+55 58,36 +55 = 113,36



Dando a resposta da direo com o ngulo : A fora resultante est inclinada a 113,36 do eixo x.

Com relao ao sentido da Fora resultante, o mesmo dado atravs da fora traada com a regra do paralelograma, ou seja, verifica-se para onde a seta da fora resultante est apontando, vamos verificar:

Como podemos perceber, a fora resultante est apontando para cima, com relao ao eixo y, e para esquerda com relao ao eixo x. Logo o sentido da fora resultante para cima e para esquerda.

Resposta Final: Intensidade = 5,85 kN Direo: inclinada a 66,58 do eixo x. / inclinada a 113,36 do eixo x. Sentido: para cima e para esquerda.

Resolvendo pelo mtodo da decomposio cartesiana:

Primeiro passo traar as foras nos eixos x e y, de acordo com os sentidos das mesmas. Para isso vamos denominar a fora 3,5 kN de F1 e a fora de 5 kN de F2.

R

x30

y



Aps o traado das foras, desenhamos o plano cartesiano (XY), e traamos as foras nos mesmos.

Agora, determinam-se as componentes da resultante.

Antes de comearmos a calcular precisamos verificar os ngulos que ligam as foras com o eixo x e y, pois so estes que interferem na decomposio das foras. Sendo assim, vamos tentar entender da seguinte forma: Quando estamos decompondo uma fora F qualquer e esta, tem um ngulo de ligao com o eixo x, quando estivermos decompondo essa fora no eixo x, multiplicamos o valor da fora pelo cosseno do ngulo. Quando estivermos decompondo a mesma fora no eixo y, multiplicamos pelo seno deste ngulo. Porque quando estamos fazendo a decomposio das foras no eixo que a mesmas possuem o ngulo cosseno e no eixo contrrio do ngulo seno.

x

y

F1 F2

F1x

F1y

F2y

F2x

x

y

F1x

F1y

F2y

F2x



Vamos comear calculando a resultante no eixo x: Considerando que as foras que tem sentido para direita so positivas e as foras com sentido para esquerda so negativas.

Fx = Rx Rx = F1x F2x

Rx = 3,5.sen35 - 5.sen60 Rx = 3,5. 0,5736 5. 0,8660

Rx = 2,01 4,33 Rx = - 2,32 kN

Agora vamos calcular a resultante no eixo y: Considerando que as foras que tem sentido para cima so positivas e as foras com sentido para baixo so negativas.

Fy = Ry Ry = F1y + F2y

Ry = 3,5.cos35 + 5.cos60 Ry = 3,5. 0,8191 + 5. 0,5

Ry = 2,87 +2,5 Ry = 5,37 kN

Aps encontrarmos os valores das componentes da fora resultante em x e y, traamos as foras encontradas no plano cartesiano. Em seguida utilizamos a regra do paralelograma para encontrar a fora resultante.

Logo temos dois tringulos semelhantes e assim vamos escolher um para trabalhar.

x

y

Ry

Rx

R



O ngulo formado entre a fora Rx e Ry ser sempre de 90, pois estamos com uma fora em cada eixo. Portanto no tringulo abaixo, j inserimos este ngulo e denominamos os outros dois ngulos de e .

Obtemos um tringulo retngulo, sendo assim para calcularmos a resultante (R), utilizamos o Teorema de Pitgoras.

R2 = CO2 + CO2

Sendo que os catetos so as resultantes em x e y, ou seja, Rx e Ry, logo: R2 = Rx2 + Ry2

R2 = (-2,32)2 + (5,37)2 R2 = 5,38 + 28,84

R2 = 34,22 R = 34,22 R = 5,85 kN

Encontramos o valor da intensidade da Fora Resultante, precisamos calcular a inclinao da mesma. Podemos relacionar a direo da fora resultante tanto com o exix, como com o eixo y, neste caso se verificarmos acima, denominou-se o ngulo , o ngulo que d a inclinao da resultante com o eixo y e o ngulo , o qual relaciona com o eixo x. Escolhemos um ngulo para dar a direo da resultante. Neste exerccio, ser mostrado como se calcula os dois ngulos:

Para calcular o ngulo, podemos utilizar a frmula da tangente, a qual relaciona o cateto oposto e o adjacente ao ngulo. Sempre devemos verificar qual o cateto oposto e o adjacente para o ngulo no qual estamos calculando. O cateto oposto aquele que fica oposto ao ngulo e o cateto adjacente aquele que acompanha o ngulo, ou seja, que fica junto ao ngulo.

Ry

Rx

R

.



Vamos calcular primeiramente o ngulo :

Tg = CO CA

Substituindo os valores: Tg = Rx Ry

Tg = 2,32 5,37

Tg = 0,4303 = tg-1 0,4303 = 23,36

Direo com relao ao ngulo calculado: a fora resultante est inclinada 23,36 do eixo y.


Tg = CO CA

Substituindo os valores: Tg = Ry Rx

Tg = 5,37 2,32 Tg = 2,31 = tg-1 2,31 = 66,59

Direo com relao ao ngulo calculado: a fora resultante est inclinada 66,59 do eixo x.



Como podemos perceber, no tringulo acima, a fora resultante est apontando para cima, com relao ao eixo y, e para esquerda com relao ao eixo x. Logo o sentido da fora resultante para cima e para esquerda.

Resposta Final: Intensidade = 5,85 kN Direo: inclinada a 66,59 do eixo x. / inclinada a 23,36 do eixo y. Sentido: para cima e para esquerda.

Resoluo: Resolvendo pelas leis de seno e cosseno:


y

x

15

R




Escolhendo um tringulo, desenhamos o mesmo novamente, e verificamos os dados conhecidos. O ngulo oposto a fora resultante, equivale a 180 menos o valor de , sendo que o ngulo , o ngulo de ligao entre a duas foras. Logo o valor do ngulo que liga a fora de 1500 N a fora de 2000 N de 45. Portanto, o valor do ngulo 45.

Sendo o ngulo = 45, temos o ngulo oposto a fora resultante com o valor de 135. Sendo assim, podemos agora aplicar a lei dos cossenos para calcularmos o valor da Fora Resultante:

R2 = P2 + Q2 2.P.Q.cos (180- )

Vamos adotar a fora P= 1500 N e a fora Q= 2000 N, logo:

R2 = (1500)2 + (2000)2 2.(1500).(2000).cos (180-45) R2 = 2250000 + 4000000 6000000.cos (135)

R2 = 6250000 6000000.(-0,7071)

R

180 - 1500N

2000N

R

(180 - )= 1500N

2000N

135



R2 = 6250000 + 4242640,687 R2 = 10492640,69 R = 10492640,69 R = 3239,23 N

O valor acima se refere intensidade da Fora Resultante, precisamos encontrar a direo e o sentido da mesma. Verificando o tringulo escolhido acima, percebe-se que se escolhermos o ngulo chamado neste exerccio de , estaremos relacionando a fora resultante com o eixo x, pois com o valor de + 30 estamos no eixo x. Caso escolhermos o ngulo , verificando no nosso primeiro desenho, percebemos que o mesmo relaciona a fora resultante com o eixo y, somando a este ngulo a 15. Por isso, podemos esco lher um dos dois ngulos para calcular e dar a resposta. Abaixo vamos calcular das duas formas possveis, utilizando a lei dos senos.



3239,23 = 1500 sen(180-45) sen

3239,23 = 1500 sen 135 sen


3239,23. sen = 1500. sen 135 3239,23. sen = 1500. 0,7071

3239,23. sen = 1060,66 sen = 1060,66 3239,23 sen = 0,3274 = sen-1 0,3274



= 19,11 +30

19,11+30 = 49,11



3239,23 = 2000 sen(180-45) sen

3239,23 = 2000 sen 135 sen


3239,23. sen = 2000. sen 45 3239,23. sen = 2000. 0,7071

3239,23. sen = 1414,213 sen = 1414,213 3239,23 sen = 0,4366 = sen-1 0,4366

= 25,89

+15 25,89 +15 = 40,89

Dando a resposta da direo com o ngulo : A fora resultante est inclinada a 40,89 do eixo y.




Como podemos perceber, a fora resultante est apontando para cima, com relao ao eixo y, e para esquerda com relao ao eixo x. Logo o sentido da fora resultante para cima e para esquerda.

Resposta Final: Intensidade = 3239,23 N Direo: inclinada a 49,11 do eixo x. / inclinada a 40,89 do eixo y. Sentido: para cima e para esquerda


Primeiro passo traar as foras nos eixos x e y, de acordo com os sentidos das mesmas. Para isso vamos denominar a fora 1500 N de F1 e a fora de 2000 N de F2.

x

15

R

y

x

y

F1

F2

F1x

F1y F2y

F2x







Fx = Rx Rx = F1x F2x

Rx = - 1500.cos75 - 2000.cos30 Rx = - 1500. 0,2588 2000. 0,8660

Rx = - 388,23 1732,05 Rx = - 2120,28 N

x

y

F1x

F1y

F2y

F2x




Fy = Ry Ry = F1y + F2y

Ry = 1500.sen75 + 2000.sen30 Ry = 1500. 0,9659 + 2000. 0,5

Ry = 1448,89 + 1000 Ry = 2448,89 N


Logo temos dois tringulos semelhantes e assim vamos escolher um para trabalhar. O ngulo formado entre a fora Rx e Ry ser sempre de 90, pois estamos com uma fora em cada eixo. Portanto no tringulo abaixo, j inserimos este ngulo e denominamos os outros dois ngulos de e .

x

y

Ry

Rx

R

Ry

Rx

R

.




R2 = CO2 + CO2

Sendo que os catetos so as resultantes em x e y, ou seja, Rx e Ry, logo:

R2 = Rx2 + Ry2 R2 = (-2120,28)2 + (2448,89)2

R2 = 4495587,278 + 5997062,232 R2 = 10492649,51 R = 10492649,51

R = 3239,23 N

Encontramos o valor da intensidade da Fora Resultante, precisamos calcular a inclinao da mesma. Podemos relacionar a direo da fora resultante tanto com o eixo, como com o eixo y, neste caso se verificarmos acima, denominou-se o ngulo , o ngulo que d a inclinao da resultante com o eixo y e o ngulo , o qual relaciona com o eixo x. Escolhemos um ngulo para dar a direo da resultante. Neste exerccio, ser mostrado como se calcula os dois ngulos:



Tg = CO CA

Substituindo os valores:

Tg = Rx Ry



Tg = 2120,28 2448,89 Tg = 0,8658 = tg-1 0,8658 = 40,89



Tg = CO CA


Tg = 2448,89 2120,28 Tg = 1,155 = tg-1 1,155 = 49,11

Direo com relao ao ngulo calculado: a fora resultante est inclinada a 49,11 do eixo x.

Como podemos perceber, no tringulo acima, a fora resultante est apontando para cima, com relao ao eixo y, e para esquerda com relao ao eixo x. Logo o sentido da fora resultante para cima e para esquerda.

Resposta Final: Intensidade = 3239,23 N Direo: inclinada a 49,11 do eixo x. / inclinada a 40,89 do eixo y. Sentido: para cima e para esquerda.



Resoluo:



R

y

x

60 lb

80 lb




Escolhendo um tringulo, desenhamos o mesmo novamente, e verificamos os dados conhecidos. O ngulo oposto a fora resultante, equivale a 180 menos o valor de , sendo que o ngulo , o ngulo de ligao entre a duas foras. Logo o valor do ngulo que liga a fora de 60 lb a fora de 80 lb de 120. Portanto, o valor do n gulo 120.

Sendo o ngulo = 120, temos o ngulo oposto a fora resultante co m o valor de 60. Sendo assim, podemos agora aplicar a lei dos cossenos para calcularmos o valor da Fora Resultante:

R2 = P2 + Q2 2.P.Q.cos (180- )

Vamos adotar a fora P= 60 lb e a fora Q= 80 lb, logo:

R2 = (60)2 + (80)2 2.(60).(80).cos (180-120) R2 = 3600 + 6400 9600.cos (60)

R2 = 10000 9600.0,5

60 lb

80 lb

(180 -)

60

60 lb

80 lb

(180 -) =



R2 = 10000 4800 R2 = 5200 R = 5200

R = 72,11 lb O valor acima se refere intensidade da Fora Resultante, precisamos encontrar a direo e o sentido da mesma. Verificando o tringulo escolhido acima, percebe-se que se escolhermos o ngulo chamado neste exerccio de , estaremos relacionando a fora resultante com a fora de 80 lb, sendo assim para relacionarmos a mesma com o eixo y, vamos precisar diminuir de 30, ngulo que liga a fora de 80 lb ao eixo y, restando ento o valor do ngulo que liga a fora resultante ao eixo y. Caso escolhermos o ngulo , verificando no tringulo acima, percebemos que o mesmo relaciona a fora resultante com o eixo x, assim se calcularmos esse ngulo podemos relacionar diretamente a inclinao da resultante com o eixo x. Por isso, podemos escolher um dos dois ngulos para calcular e dar a resposta. Abaixo vamos calcular das duas formas possveis, utilizando a lei dos senos.



72,11 = 60 sen(180-120) sen

72,11 = 60 sen 60 sen


72,11. sen = 60. sen 60 72,11. sen = 60.0,866

72,11. sen = 51,96 sen = 51,96 72,11 sen = 0,7206



= sen-1 0,7206 = 46,10

- 30 46,10- 30 = 16,10

Dando a resposta da direo com o angulo : A fora resultante est inclinada a 16,10 do eixo y.


72,11 = 80 sen(180-120) sen

72,11 = 80 sen 60 sen


72,11. sen = 80. sen60 72,11. sen = 80. 0,866 72,11. sen = 69,282

sen = 69,282 72,11 sen = 0,9608 = sen-1 0,9608

= 73,90





Como podemos perceber, a fora resultante est apontando para cima, com relao ao eixo y, e para direita com relao ao eixo x. Logo o sentido da fora resultante para cima e para direita.

Resposta Final: Intensidade = 72,11 lb Direo: inclinada a 73,90 do eixo x. / inclinada a 16,10 do eixo y. Sentido: para cima e para direita.


Primeiro passo traar as foras nos eixos x e y, de acordo com os sentidos das mesmas. Para isso vamos denominar a fora 60 lb de F1 e a fora de 80 lb de F2.

x

y

F2

F1

F2y

R

x

60 lb

80 lb

80 lb

60




Neste caso, a fora F1 j est sobre o eixo x, sendo assim, a mesma no sofre decomposio.




Fx = Rx Rx = F1 F2x

F2x

x

y

F1

F2y

F2x

60 lb



Rx = 60 - 80.cos60 Rx = 60 80. 0,5

Rx = 60 40 Rx = 20 lb


Fy = Ry Ry = F2y

Ry = 80.sen60 Ry = 80. 0,866 Ry = 69,28 lb



x

y

Ry

Rx

R

Ry

Rx

R

.




R2 = CO2 + CO2

Sendo que os catetos so as resultantes em x e y, ou seja, Rx e Ry, logo:

R2 = Rx2 + Ry2 R2 = (20)2 + (69,28)2 R2 = 400 + 4799,72

R2 = 5199,72 R = 5199,72 R = 72,11 lb

Encontramos o valor da intensidade da Fora Resultante, precisamos calcular a inclinao da mesma. Podemos relacionar a direo da fora resultante tanto com o eixo x como com o eixo y, neste caso se verificarmos acima, denominou-se o ngulo , o ngulo que d a inclinao da resultante com o eixo y e o ngulo , o qual relaciona com o eixo x. Escolhemos um ngulo para dar a direo da resultante. Neste exerccio, ser mostrado como se calcula os dois ngulos:



Tg = CO CA

Substituindo os valores: Tg = Rx



Ry Tg = 20

69,28 Tg = 0,28868 = tg-1 0,28868 = 16,10



Tg = CO CA


Tg = 69,28 20

Tg = 3,464 = tg-1 3,464 = 73,90

Direo com relao ao ngulo calculado: a fora resultante est inclinada 73,90 do eixo x.

Como podemos perceber, no tringulo acima, a fora resultante est apontando para cima, com relao ao eixo y, e para direita com relao ao eixo x. Logo o sentido da fora resultante para cima e para direita.

Resposta Final: Intensidade = 72,11 lb Direo: inclinada a 73,90 do eixo x. / inclinada a 16,10 do eixo y.



Sentido: para cima e para direita.

Resoluo:



R

y

x




Escolhendo um tringulo, desenhamos o mesmo novamente, e verificamos os dados conhecidos. O ngulo oposto a fora resultante, equivale a 180 menos o valor de , sendo que o ngulo , o ngulo de ligao entre a duas foras. Logo o valor do ngulo que liga a fora de 4 kN a fora de 10 kN de 60. Portanto, o valor do ng ulo 60.

Sendo o ngulo = 60, temos o ngulo oposto fora resultante com o valor de 120. Sendo assim, podemos agora aplicar a lei dos cossenos para calcularmos o valor da Fora Resultante:

R2 = P2 + Q2 2.P.Q.cos (180- )

Vamos adotar a fora P= 4 kN e a fora Q= 10 kN, logo:

R2 = (4)2 + (10)2 2.(4).(10).cos (180-60) R2 = 16 + 100 80.cos (120)

R2 = 116 80.(- 0,5) R2 = 116 + 40

R2 = 156 R = 156

R = 12,49 kN

120

4 kN

10 kN

(180 - )

R

4 kN

10 kN

(180 - )=

R



O valor acima se refere intensidade da Fora Resultante, precisamos encontrar a direo e o sentido da mesma. Verificando o tringulo escolhido acima, percebe-se que se escolhermos o ngulo chamado neste exerccio de , estamos relacionando diretamente a fora resultante com o eixo x. Caso escolhermos o ngulo , verificando no primeiro desenho, percebemos que o mesmo relaciona a fora resultante com a fora de 10 kN, assim se calcularmos esse ngulo podemos somar a esse o ngulo de 30 e relacionarmo s a fora resultante ao eixo y. Por isso, podemos escolher um dos dois ngulos para calcular e dar a resposta. Abaixo vamos calcular das duas formas possveis, utilizando a lei dos senos.



12,49 = 4 sen(180-60) sen

12,49 = 4 sen 120 sen


12,49. sen = 4. sen 120 12,49. sen = 4.0,866 12,49. sen = 3,464

sen = 3,464 12,49 sen = 0,2773 = sen-1 0,2773

= 16,10

+ 30 16,10+ 30 = 46,10



Dando a resposta da direo com o angulo : A fora resultante est inclinada a 46,10 do eixo y. Vamos calcular o ngulo :

12,49 = 10 sen(180-60) sen

12,49 = 10 sen 120 sen


12,49. sen = 10. sen120 12,49. sen = 10. 0,866

12,49. sen = 8,66 sen = 8,66

12,49 sen = 0,6934 = sen-1 0,6934

= 43,90



R

x

y



Como podemos perceber, a fora resultante est apontando para baixo, com relao ao eixo y, e para direita com relao ao eixo x. Logo o sentido da fora resultante para baixo e para direita.

Resposta Final: Intensidade = 12,49 kN Direo: inclinada a 43,90 do eixo x. / inclinada a 46,10 do eixo y. Sentido: para baixo e para direita.


Primeiro passo traar as foras nos eixos x e y, de acordo com os sentidos das mesmas. Para isso vamos denominar a fora 4 kN de F1 e a fora de 10 kN de F2.



x

y

F2

F1

F2y

F2x

x

y

F1

F2y

F2x

60

30






Fx = Rx Rx = F1 + F2x

Rx = 4 + 10.cos60 Rx = 4 + 10. 0,5

Rx = 4 + 5 Rx = 9 kN


Fy = Ry Ry = - F2y

Ry = - 10.sen60 Ry = - 10. 0,866 Ry = - 8,66 kN






R2 = CO2 + CO2


R2 = (9)2 + (- 8,66)2 R2 = 81 + 74,9956

R2 = 155,9956 R = 155,9956 R = 12,49 kN

Encontramos o valor da intensidade da Fora Resultante, precisamos calcular a inclinao da mesma.

x

y

Ry

Rx

R

Ry

Rx

R

.



Podemos relacionar a direo da fora resultante tanto com o eixo x como com o eixo y, neste caso se verificarmos acima, denominou-se o ngulo , o ngulo que d a inclinao da resultante com o eixo y e o ngulo , o qual relaciona com o eixo x. Escolhemos um ngulo para dar a direo da resultante. Neste exerccio, ser mostrado como se calcula os dois ngulos:



Tg = CO CA

Substituindo os valores: Tg = Rx Ry Tg = 9

8,66 Tg = 1,0393 = tg-1 1,0393 = 46,10



Tg = CO CA




Tg = Ry Rx

Tg = 8,66 9

Tg = 0,9622 = tg-1 0,9622 = 43,90


Como podemos perceber, no tringulo acima, a fora resultante est apontando para baixo, com relao ao eixo y, e para direita com relao ao eixo x. Logo o sentido da fora resultante para baixo e para direita.

Resposta Final: Intensidade = 12,49 kN Direo: inclinada a 43,90 do eixo x. / inclinada a 46,10 do eixo y. Sentido: para baixo e para direita.

Resoluo:




Primeiro passo: traar as foras uma no final da outra, para encontrar a resultante, conforme regra do paralelograma. A fora resultante traada na diagonal, sendo que esta inicia do ponto de origem das foras e termina no ponto de encontro das mesmas. Desenhamos o plano cartesiano (XY), conforme demonstrado abaixo.


Escolhendo um tringulo, desenhamos o mesmo novamente, e verificamos os dados conhecidos. O ngulo oposto a fora resultante, equivale a 180 menos o valor de , sendo que o ngulo , o ngulo de ligao entre a duas foras. Logo o valor do ngulo que liga a fora de F1 a fora F2 de 145. Portanto, o valor do ngulo 145.

R x

180-

y

R

F1

F2

(180- )=

R

F1

F2

35



Sendo o ngulo = 145, temos o ngulo oposto fora resultante co m o valor de 35. Sendo assim, podemos agora aplicar a lei dos cossenos para calcularmos o valor da Fora Resultante:

R2 = P2 + Q2 2.P.Q.cos (180- )

Vamos adotar a fora P= 50 lb e a fora Q= 35 lb, logo:

R2 = (50)2 + (35)2 2.(50).(35).cos (180-145) R2 = 2500 + 1225 3500.cos (35)

R2 = 3725 3500.0,8191 R2 = 3725 2867,03

R2 = 857,97 R = 857,97 R = 29,29 lb

O valor acima se refere intensidade da Fora Resultante, precisamos encontrar a direo e o sentido da mesma. Verificando o tringulo escolhido acima, percebe-se que se escolhermos o ngulo chamado neste exerccio de , estamos relacionando a fora resultante com a fora F1, sendo assim se encontrarmos este ngulo e diminuirmos deste o ngulo de 30, estamos relacionando a fora resultante com o eixo x. Por isso, podemos escolher este ngulo para calcular e dar a resposta.

R = Q sen(180 - ) sen


29,29 = 35 sen(180-145) sen

29,29 = 35



sen 35 sen


29,29. sen = 35. sen 35 29,29. sen = 35.0,5736

29,29. sen = 20,07 sen = 20,07 29,29 sen = 0,6854 = sen-1 0,6854

= 43,27

43,27 - 30 43,27- 30 = 13,27



Como podemos perceber, a fora resultante est apontando para baixo, com relao ao eixo y, e para direita com relao ao eixo x.

R x

y



Logo o sentido da fora resultante para baixo e para direita.

Resposta Final: Intensidade = 29,29 lb Direo: inclinada a 13,27 do eixo x. Sentido: para baixo e para direita.


Primeiro passo traar as foras nos eixos x e y, de acordo com os sentidos das mesmas. Para isso vamos denominar a fora 4 kN de F1 e a fora de 10 kN de F2.



Antes de comearmos a calcular precisamos verificar os ngulos que ligam as foras com o eixo x e y, pois so estes que interferem na decomposio das foras. Sendo assim, vamos tentar entender da seguinte forma:

x

y

F1y

F1x

F2y

F2x

x

y

F1x

F2y

F2x

30

F1y



Quando estamos decompondo uma fora F qualquer e esta, tem um ngulo de ligao com o eixo x, quando estivermos decompondo essa fora no eixo x, multiplicamos o valor da fora pelo cosseno do ngulo. Quando estivermos decompondo a mesma fora no eixo y, multiplicamos pelo seno deste ngulo. Porque quando estamos fazendo a decomposio das foras no eixo que a mesmas possuem o ngulo cosseno e no eixo contrrio do ngulo seno.


Fx = Rx Rx = F1x - F2x

Rx = 50.cos30 - 35.sen25 Rx = 50.0,866 - 35. 0,4226

Rx = 43,30 14,79 Rx = 28,51 lb


Fy = Ry Ry = F1y - F2y

Ry = 50.sen30- 35.cos25 Ry = 50.0,5 -35.0,9063

Ry = 25 - 31,72 Ry = - 6,72 lb


y

Rx





R2 = CO2 + CO2


R2 = (28,51)2 + (- 6,72)2 R2 = 812,82 + 45,16

R2 = 857,98 R = 857,98 R = 29,29 lb

Encontramos o valor da intensidade da Fora Resultante, precisamos calcular a inclinao da mesma. Podemos relacionar a direo da fora resultante tanto com o eixo x como com o eixo y, neste caso se verificarmos acima, denominou-se o ngulo , o ngulo que d a inclinao da resultante com o eixo y e o ngulo , o qual relaciona com o eixo x. Escolhemos um ngulo para dar a direo da resultante.

Neste exerccio, ser mostrado como se calcula os dois ngulos:

x

Ry R

Ry

Rx

R

.



Para calcular o ngulo, podemos utilizar a frmula da tangente, a qual relaciona o cateto oposto e o adjacente ao ngulo. Sempre devemos verificar qual o cateto oposto e o adjacente para o ngulo no qual estamos calculando. O cateto oposto aquele que fica oposto ao ngulo e o cateto adjacente aquele que acompanha o ngulo, ou seja, que fica junto ao ngulo. Vamos calcular primeiramente o ngulo :

Tg = CO CA


Tg = 28,51 6,72 Tg = 4,24 = tg-1 4,24 = 76,37



Tg = CO CA


Tg = 6,72 28,51

Tg = 0,2357 = tg-1 0,2357



= 13,27



Resposta Final: Intensidade = 29,29 lb Direo: inclinada a 13,27 do eixo x. / inclinada a 76,37 do eixo y. Sentido: para baixo e para direita.


Por se tratar de um sistema de 3 foras teremos que resolver pelo mtodo da decomposio cartesiana. Primeiro passo traar as foras nos eixos x e y, de acordo com os sentidos das mesmas. Para isso vamos denominar a fora 300 kgf de F1, a fora de 250 kgf de F2 e a de 200 kgf de F3.

x

y

F1 F1y








Fx = Rx Rx = F1x + F2x

Rx = 300.cos30 + 250.cos25

F2x

F3

F2

x

y

F1x

F2y

F2x

F2y

F1x

F3

F1y



Rx = 300.0,866 + 250. 0,9063 Rx = 259,81 + 226,58

Rx = 486,39 kgf


Fy = Ry Ry = F1y F2y F3

Ry = 300.sen30 - 250.sen25 - 200 Ry = 300.0,5 250.0,4226 200

Ry = 150 105,65 200 Ry = -155,65 kgf



x

y

Ry

Rx

R

Ry

Rx

R

.




R2 = CO2 + CO2


R2 = (486,39)2 + (- 155,65)2 R2 = 236575,2321 + 24226,9225

R2 = 260802,1546 R = 260802,1546

R = 510,69 kgf

Encontramos o valor da intensidade da Fora Resultante, precisamos calcular a inclinao da mesma. Podemos relacionar a direo da fora resultante tanto com o eixo x como com o eixo y, neste caso se verificarmos acima, denominou-se o ngulo , o ngulo que d a inclinao da resultante com o eixo y e o ngulo , o qual relaciona com o eixo x. Escolhemos um ngulo para dar a direo da resultante. Neste exerccio, ser mostrado como se calcula os dois ngulos:



Tg = CO CA




Tg = 486,49 155,65

Tg = 3,12 = tg-1 3,12 = 72,25



Tg = CO CA


Tg = 155,65 486,39 Tg = 0,32 = tg-1 0,32 = 17,74



Resposta Final: Intensidade = 510,69 kgf Direo: inclinada a 17,74 do eixo x. / inclinada a 72,25 do eixo y. Sentido: para baixo e para direita.



2) Uma fora resultante de 350 lb necessria para manter o balo na posio mostrada. Decomponha esta fora em componentes atuantes ao longo das linhas de apoio AB e AC, e calcule o mdulo de cada uma das componentes.

Resoluo:

Analisando o problema acima, podemos perceber que no mesmo nos fornecido todos os ngulos e uma fora, sendo essa a resultante. Desta forma traamos as foras atravs da regra do paralelograma, e como podemos perceber no desenho abaixo, obtemos dois tringulos semelhantes. Quanto aos ngulos, como foram dados dois ngulos, sabe-se que a soma dos trs ngulos internos equivalem a 180, por isso fica fcil desc obrirmos o valor do terceiro ngulo, ou seja, somamos os dois que nos foram fornecidos e diminumos de 180. Vejam: (30 + 40) = 70, logo menos 180 = 110.

350 lb

AB AC

40 30

30 40



Escolhemos um tringulo e redesenhamos o mesmo.

O problema nos solicita o clculo dos mdulos das foras AB e AC, sendo assim, podemos aplicar a Lei do Senos. O valor da fora resultante nos foi fornecido 350 lb, o ngulo , o ngulo de ligao entre as foras AB e AC, ou seja, 70, observando acima, podemos verificar essas informaes. Resolvemos uma igualdade de cada vez.


Substituindo os dados:

R = AB = AC sen(180 -70) sen 30 sen 40

Primeiramente vamos calcular a fora AB:

R = AB sen(180 -70) sen 30

350 = AB sen110 sen 30

350 lb

AB

AC

40

30

110




AB.sen110 = 350. sen30 AB.0,9397 = 350. 0,5

AB = 175 0,9397

AB = 186,23 lb

Agora vamos calcular a fora AC:

R = AC sen(180 -70) sen 40

350 = AB sen110 sen 40


AC.sen110 = 350. sen40 AC.0,9397 = 350. 0,6428

AB = 224,97 0,9397

AB = 239,41 lb

Respostas: AB = 186,23 lb AC = 239,41 lb

3) O bote da figura deve ser puxado para a praia por meio de duas cordas. Determine o mdulo das foras T e P atuantes em cada corda de modo a desenvolverem uma fora resultante de 80 kgf, direcionada ao longo da quilha AA, Faa = 40.



Resoluo:

Analisando o problema acima, podemos perceber que no mesmo nos fornecido todos os ngulos e uma fora, sendo essa a resultante. Desta forma traamos as foras atravs da regra do paralelograma, e como podemos perceber no desenho abaixo, obtemos dois tringulos semelhantes. Quanto aos ngulos, como foram dados dois ngulos, sabe-se que a soma dos trs ngulos internos equivalem a 180, por isso fica fcil desc obrirmos o valor do terceiro ngulo, ou seja, somamos os dois que nos foram fornecidos e diminumos de 180. Vejam: (30 + 40) = 70, logo menos 180 = 110.

Escolhemos um tringulo e redesenhamos o mesmo.

T

P

30 40

80 kgf

P

40 30 110

40

T



O problema nos solicita o clculo dos mdulos das foras P e T, sendo assim, podemos aplicar a Lei do Senos. O valor da fora resultante nos foi fornecido 80 kgf, o ngulo , o ngulo de ligao entre as foras P e T, ou seja, 70, observando acima, po demos verificar essas informaes. Resolvemos uma igualdade de cada vez.

R = P = Q sen(180 - ) sen sen Substituindo os dados: R = P = T sen(180 -70) sen 30 sen 40

Primeiramente vamos calcular a fora P:

R = P sen(180 -70) sen 30

80 = P sen110 sen 30


P.sen110 = 80. sen30 P.0,9397 = 80. 0,5

P = 40 0,9397 P = 42,57 kgf

Agora vamos calcular a fora T:

R = T sen(180 -70) sen 40

80 = T sen110 sen 40




T.sen110 = 80. sen40 T.0,9397 = 80. 0,6428

T = 51,42 0,9397

AB = 54,72 kgf

Respostas: P = 42,57 kgf T = 54,72 kgf

4) Determinar o momento ou torque no parafuso:

Resoluo:

Para determinar o momento no parafuso, vamos aplicar a frmula diretamente.

Mo = F.d

Substituindo os valores, sendo que a fora equivale a 60 kgf e a distncia que esta fora se encontra do parafuso de 30 cm.

Mo = F.d Mo = 60.30 Mo = 1800 kgf.cm

O valor acima, calculado a intensidade ou mdulo do momento, porm para darmos a resposta completa precisamos completar a resposta com a direo e sentido do mesmo.



Com relao ao sentido podemos observar abaixo, fixamos a mo direita sobre o parafuso e verificamos que a fora de 60 kfg, tendo a girar a chave no sentido anti-horrio, vejam.

Logo o sentido do momento Anti-horrio. Sendo este o sentido, podemos dar a direo do mesmo, que perpendicular ao plano apontando para fora.

Resposta:

Intensidade: 1800 kfg.cm.

Direo: Perpendicular ao plano, apontando para fora. Sentido: Anti-horrio.

5) Determinar o momento no ponto A (Ma) devido as foras atuantes na barra:

Resoluo:

Para determinar o momento no ponto A, teremos que fazer a somatria dos momentos neste ponto, utilizando a frmula abaixo para cada fora.

Mo = F.d



Substituindo os valores: Vamos pegar primeiramente as foras que se encontram na vertical e em seguida as foras que esto na horizontal. Lembrando que quando a fora est na vertical, multiplicamos esta pela distncia da fora at o ponto indicado para o clculo, na horizontal. Ou seja, fora na vertical, distncia na horizontal e vice-versa, fora na horizontal, distncia na vertical. Quando as foras esto sobre os pontos ou eixos, temos que considerar a distncia zero, pois no existe momento naquela situao. A fora de 80N (horizontal) est sobre o eixo x, ou seja, teramos que multiplicar esta pela distncia na vertical, que neste caso zero. Quando estamos inserindo as foras na frmula, precisamos verificar seu sentido, pois adotamos sentido horrio como negativo e sentido anti-horrio positivo. Vamos calcular:

Ma = F.d Mo = (- 50.0,8) + (- 30.1,8) + (100.0,8) + (80. 0)

Mo = - 40 - 54 + 80 + 0 Mo = - 14 N.m


Com relao ao sentido podemos observar abaixo, que o sinal predominante no clculo o negativo, logo o sentido do momento horrio e assim conseguimos dar a sua direo como perpendicular ao plano, apontando para dentro, isso de acordo com a regra da mo direita.

Resposta: Intensidade: - 14 N.m

Direo: Perpendicular ao plano, apontando para dentro. Sentido: Horrio.

6) Determinar o momento produzido pela chave de roda sobre o parafuso, sabendo que a distncia a= 200 mm e a fora aplicada f=120N.



Resoluo: Para determinar o momento produzido pela chave de roda sobre o parafuso, vamos aplicar a frmula diretamente. Lembrando que estamos neste caso, lidando com um Momento Binrio, sendo assim, a distncia no dada da fora at o parafuso, mas sim de uma fora at a outra, ou seja o dimetro. Como nos foi fornecida o valor da distncia a, temos que multiplicar essa por 2. Como a distncia foi fornecida em mm, podemos transformar para metros. Aplicando a regra de trs:


1.x = 200.0,001 x = 0,2 m

Vamos calcular:

Mo = F.d Mo = 120.(2.0,2)

Mo = 120. 0,4 Mo = 48 N.m




Com relao ao sentido podemos observar que as foras tendem a girar a chave no sentindo anti-horrio. Logo o sentido do momento Anti-horrio. Sendo este o sentido, podemos dar a direo do mesmo, que perpendicular ao plano apontando para fora.

Resposta:

Intensidade: 48 N.m.

Direo: Perpendicular ao plano, apontando para fora. Sentido: Anti-horrio. AULA 3

1) Determine as reaes em B e C para a viga e carregamento mostrado:

Resoluo:

Primeiro passo: verificar junto tabela de apoios, quais os tipos de apoio B e C do exerccio.



Verificando o apoio B, percebe-se que o mesmo, impede foras na vertical e horizontal, por se tratar de um apoio de superfcie rugosa. J o apoio C, possui roletes, logo no impede as foras em x, apenas em y, portanto se trata de um apoio que impede apenas um tipo de reao. Aps esta verificao podemos montar o Diagrama do Corpo Livre, deste sistema de foras, para que ento possamos calcular as reaes nos apoios B e C.

Representao do D.C.L.

Como se pode observar se faz necessrio, decompor a fora F, devido a mesma estar inclinada a 60 do eixo x.

Vamos decompor a fora F:

RBy RCy

RBx

Fy

Fx

F



Fx = F.cos 60 Fx = 500.0,5 Fx = 250 kgf

Fy = F.sen 60 Fy = 500.0,866 Fy = 433,01 kgf

Agora estamos com todas as foras nos eixos x e y, podemos comear os clculos para encontrar as reaes. Podemos comear com o somatrio das foras em y, vamos l!

Fy = 0

As expresses sempre so sempre igualadas zero, pois estamos calculando foras em equilbrio. Podemos comear sempre com as foras mais prximas ao ponto, seguindo da esquerda para direita. Lembrando que as foras que esto com sentido para cima, so consideradas positivas e as para baixo, negativas.

Fy = 0 -300-250+Rby-150-150-Fy+RCy = 0

-300-250+Rby-150-150-433,01+RCy = 0 Rby + RCy 1283,01 = 0

Rby + RCy 1283,01 = 0 RBy = 1283,01 Rcy

Neste momento teremos que parar aqui, pois estamos com duas varives (RBy e RCy), logo teremos que encontrar uma delas primeiro para voltar a essa equao e substituir o seu valor. Vamos calcular a somatria dos momentos em um dos apoios, podemos escolher qualquer um deles que o valor ser o mesmo, ser calculado das duas formas para mostrar que ambas so possveis: Novamente lembrando, que no momento consideramos positivo aqueles que estiverem no sentido Anti-horrio e negativo os que estiverem no sentido Horrio. Iniciaremos o calculo do momento no apoio B, logo nele que vamos fixar a nossa mo direita.



MB = 0 (300.1,5) + (250.0) + (RBy.0) + (-150.4) + (-150.5) + (-Fy.6) + (Fx.0) + (RCy.9) = 0

450 + 0 + 0 600 750 +(-433,01.6) + 0 + 9.RCy = 0 450 600 750 -2598,06 + 0 + 9.RCy = 0 450 600 750 -2598,06 + 0 + 9.RCy = 0

-3498,06 + 9.RCy = 0 9.RCy = 3498,06 RCy = 3498,06

9 RCy = 388,67 kgf

Encontrando o valor deste apoio, voltamos equao anterior que ficou incompleta e substitumos o valor encontrado para obtermos o valor da reao do apoio B em y, vejam:

RBy = 1283,01 Rcy Logo:

RBy = 1283,01 388,67 RBy = 894,34 kgf

Vamos calcular agora com o Momento fixo no Ponto C, s para verificarmos que possvel resolver e que os valores tero que ser os mesmos.

Mc = 0 (300.10,5) + (250.9) + (-RBy.9) + (150.5) + (150.4) + (Fy.3) + (Fx.0) + (RCy.0) = 0

3150 + 2250 9.RBy + 750 + 600 +(433,01.3) + 0 + 0 = 0 3150 + 2250 9.RBy + 750 +600 +1299,03 = 0

-9.RBy + 8049,03= 0 8049,08 = 9.RBy 9.RBy = 8049,08 RBy = 8049,08

9 RBy = 894,34 kgf



Encontramos o RBy, voltamos equao anterior que ficou incompleta e substitumos o valor encontrado para obtermos o valor da reao do apoio C em y, vejam:

RBy = 1283,01 Rcy ou

RCy = 1283,01 - RBy Logo:

RCy = 1283,01 894,34 RCy = 388,67 kgf

Podemos verificar nos clculos acima, que possvel encontrar os valores de reao dos apoios fixando o Momento em qualquer um dos apoios do sistema.

Agora precisamos calcular o valor da reao RBx, logo vamos fazer o somatrio das foras em X.

Fx = 0

As expresses sempre so sempre igualadas zero, pois estamos calculando foras em equilbrio. Podemos comear sempre com as foras mais prximas ao ponto, seguindo da esquerda para direita. Lembrando que as foras que esto com sentido para direita, so consideradas positivas e as para esquerda, negativas.

Fx = 0 RBx Fx = 0

RBx 250 = 0 RBx = 250 kgf

Respostas:

RBy = 894,34 kgf RBx = 250 kgf RCy = 388,67 kgf



2) Uma barra AB, articulada no embasamento, em A, e suportada por uma escora CD, est sujeita a uma carga horizontal de 5 ton, em B, (figura A). Determinar: (a) a trao F na escora e a reao Ra em A; (b) as reaes em A e B da figura B.

Resoluo: Questo (a) Primeiramente vamos calcular o ngulo , para que possamos representar as foras no Diagrama do Corpo Livre. Para calcular o ngulo , podemos montar um tringulo com as dimenses fornecidas, vejam:

Como podemos perceber o tringulo formado acima, um tringulo retngulo, pois apresenta um ngulo de 90, logo podemos utilizar a s frmulas de seno, cosseno ou tangente para descobrir o valor do ngulo . Redesenhamos o tringulo, com as dimenses:



Sendo, assim alm do ngulo , podemos aproveitar e calcular o ngulo tambm. Temos conhecimento dos valores dos catetos, porm no temos o valor da hipotenusa, sendo essa, o lado maior do tringulo, ou seja, o lado oposto do ngulo de 90. Para calcularmos os ngulos e , sem encontrar a hipotenusa, podemos aplicar a frmula da tangente, pois esta relaciona apenas os catetos. Os catetos como j vimos anteriormente, so definidos de acordo com os ngulos, se estamos tratando de , o cateto oposto a esse ngulo o lado de 8 m e o cateto adjacente o de 12 m, j para o ngulo , o cateto oposto passa ser o de 12 m e o adjacente o de 8 m. Vamos calcular primeiramente o ngulo :

Tg = CO CA


Tg = 8 12

Tg = 0,67 Tg = 33,7

Calculando o ngulo :

Tg = CO CA


.

12 m

8 m



Tg = 12 8

Tg = 1,5 Tg = 56,3

Para desenharmos o diagrama do Corpo Livre, precisamos consultar a tabela dos tipos de apoios para verificar quais as reaes que os mesmos apresentam.

Percebe-se que o apoio A do tipo superfcie rugosa, sendo assim possuem duas fora de reao. Agora, vamos representar os dados no Diagrama do Corpo Livre:

O problema nos solicita a Trao da escora, representada acima pela Fora T e as reaes no apoio A. Para que possamos calcular essas foras, primeiramente precisamos decompor a fora T, devido mesma estar inclinada. Sendo assim, antes de montarmos nossas

33,7

Tx

Ty

Ray

Rax

T



operaes de clculo de equilbrio das foras, teremos que decompor a fora T nos eixos X e Y. De incio, vamos trazer os ngulos junto as nossas Foras Tx e Ty. O ngulo de 33,7 que liga a barra com a horizontal o mesmo ngulo que liga Tx a barra, logo podemos transcrever esse ngulo junto a Tx. No desenho fornecido pelo problema, o mesmo citava que que existe um ngulo de 90 entre a barra com a escora, chamada de T, logo se o ngulo que liga Tx a barra de 33,7, po demos diminuir esse valor de 90 e encontramos o ngulo que liga Tx a fora T, sendo este o ngulo utilizado no problema para decomposio de foras.

Logo: 90 33,7 = 56,3

Logo:

Tx = T.cos 56,3 Tx = 0,555.T

Ty = T.sen 56,3 Ty = 0,832.T

Agora estamos com todas as foras nos eixos x e y, podemos comear os clculos para encontrar as reaes. Vamos calcular a somatria dos momentos no apoio A. Novamente lembrando, que no momento consideramos positivos aqueles que estiverem no sentido Anti-horrio e negativos os que estiverem no sentido Horrio. Fixamos a nossa mo direita sobre o ponto A, e verificamos o sentido e as distncias de cada fora em relao a este.

33,7

Tx

Ty

Ray

Rax

T

33,7

56,3



As foras que estiverem sobre o ponto A, ou sobre o mesmo eixo tem distncia igual a zero.

MA = 0 (Ray.0) + (Rax.0) + (Tx.4) + (Ty.6) + (-5.8) = 0

0 + 0 + 0,555.T.4 + 0,832.T.6 40 = 0 2,2.T + 4,99.T = 40

7,19.T = 40 T = 40

7,19 T = 5,55 t

J encontramos o valor da fora de trao T. Precisamos ainda calcular as foras de reaes em A. Podemos calcular a somatria das foras em y, vamos l!

Fy = 0

Lembrando que as foras que esto com sentido para cima, so consideradas positivas e as para baixo, negativas.

Fy = 0 Ray Ty = 0

Ray 0,832.5,55 = 0 Ray 4,62 = 0 Ray = 4,62 t

Precisamos ainda encontrar a reao em x do ponto A. Lembrando que as foras que esto com sentido para direita, so consideradas positivas e as para esquerda, negativas.

Fx = 0 - Rax Tx + 5 = 0

- Rax 0,555.5,55 + 5 = 0 - Rax - 3,08 + 5 = 0

- Rax + 1,92 = 0 1,92 = Rax



Rax = 1,92 t

Respostas:

Ray = 4,62 t Rax = 1,92 t T = 5,55 t

Questo (b)

O primeiro passo verificar os tipos de reaes nos apoios A e B, de acordo com a tabela.

O apoio A do tipo pino articulado logo existe duas reaes neste ponto, uma em x e outra em y. O apoio A do tipo roletes, ou seja, impede neste caso as foras em x, mas permite as foras em y. Podemos representar os dados no D.C.L. (Diagrama do Corpo Livre).



Estamos com todas as foras nos eixos x e y, podemos comear os clculos para encontrar as reaes em A e B, conforme solicita a questo. Podemos comear com o somatrio das foras em y:

Fy = 0

As expresses sempre so sempre igualadas zero, pois estamos calculando foras em equilbrio. Lembrando que as foras que esto com sentido para cima, so consideradas positivas e as para baixo, negativas.

Fy = 0 Ray P = 0

Ray = P

J calculamos a reao em y no ponto A, esta fica em funo da Fora P, quanto maior esta, maior ser a fora de reao.

Vamos calcular a somatria dos momentos em um dos apoios, podemos escolher qualquer um deles que o valor ser o mesmo, ser calculado das duas formas para mostrar que ambas so possveis: Novamente lembrando, que no momento consideramos positivos aqueles que estiverem no sentido Anti-horrio e negativos os que estiverem no sentido Horrio. Iniciaremos o calculo do momento no apoio A, logo nele que vamos fixar a nossa mo direita.

MA = 0

Rbx

Rax

Ray



(Ray.0) + (Rax.0) + (P.2) + (- Rbx.3) = 0 0 + 0 + 2.P 3. Rbx = 0

2.P = 3.Rbx 3Rbx = 2.P Rbx = 2.P

3 Podemos tambm calcular o momento no apoio B, neste caso calculando neste apoio, vamos encontrar o Rax, o qual tambm pode ser calculado pelo somatrio das foras em x. Mas vamos calcular das duas foras para verificarmos como possvel.

MB = 0 (Ray.4) + (- Rax.3) + (- P.2) + (- Rbx.0) = 0

4.P 3.Rax 2.P + 0 = 0 2.P = 3.Rax 3Rax = 2.P Rax = 2.P

3

Calculamos o momento nos dois apoios, lembrando que s precisaria calcular em um apoio, pois fizemos nos dois para verificarmos a possibilidade de clculo. Como foi calculado o momento em dois apoios j encontramos todas as foras solicitadas na questo, porm vamos fazer o clculo da Fx, para comprovar que poderamos fazer os caulos sem calcular os dois momentos.

Fx = 0 Lembrando que as foras que esto com sentido para direita, so consideradas positivas e as para esquerda, negativas.

Fx = 0 -Rax + Rbx = 0

Rbx = Rax Rax = Rbx Rax = 2.P

3 Respostas:



Rax = Rbx ou Rax = 2.P 3 Rbx = Rax ou Rbx = 2.P 3 Ray = P

3) A utilizao de uma srie de alavancas mais eficiente do que o uso de apenas uma nica alavanca. Por exemplo, o caminho de 800 lb pesado utilizando (a) trs alavancas ou (b) uma alavanca, conforme mostra a figura. No caso (a) determine a fora P necessria para equilibrar o caminho, e no caso (b), utilizando a mesma fora P (encontrada em (a)), determine o comprimento l necessrio para uma nica alavanca para pesar o caminho.

Resoluo: Questo (a) Para calcularmos a fora necessria utilizando 3 alavancas, vamos representar primeiramente os dados no Diagrama do Corpo Livre.

Para calcularmos vamos dividir esse sistema em trs partes, primeiro do ponto A ao C, seguindo ponto C ao E, e para finalizar do ponto E ao G.

800 lb

Rby Rdy Rfy

Fc Fe



Redesenhando o sistema:

Neste momento teremos que calcular a fora Fc, pois esta estar representando toda essa estrutura no prximo trecho de clculo. Para calcular o Fc, vamos utilizar o clculo de momento no ponto B. Pois fixando o momento neste ponto, estamos anulando neste instante o Rby, devido estar sobre o ponto e assim s teremos uma varivel o Fc. No momento consideramos positivos aqueles que estiverem no sentido Anti-horrio e negativos os que estiverem no sentido Horrio.

MB = 0 (800.3) + (Rby.0) + (-Fc.10) = 0

2400 + 0 10.Fc = 0 2400 = 10.Fc 10.Fc = 2400

Fc = 2400 10

Fc = 240 lb

Calculando o Segundo trecho: J podemos substituir o valor calculado do Fc no sistema abaixo.

Rby

800 lb

Fc

240 lb Fe



Vamos calcular a fora Fe, pois esta estar representando toda essa estrutura no prximo trecho de clculo. Para calcular o Fe, vamos utilizar o clculo de momento no ponto D. Pois fixando o momento neste ponto, estamos anulando neste instante o Rdy, devido estar sobre o ponto e assim s teremos uma varivel o Fe.

MD = 0 (240.3) + (Rdy.0) + (-Fe.10) = 0

720 + 0 10.Fe = 0 720 = 10.Fe 10.Fe = 7

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