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RESOLUO DA PROVA DE MATEMTICA DO VESTIBULAR 2013 DA

UNICAMP-FASE 2.

RESOLUO: PROFA. MARIA ANTNIA C. GOUVEIA

13. Em 14 de outubro de 2012, Felix Baumgartner quebrou o recorde de velocidade em queda livre. O salto foi monitorado oficialmente e os valores obtidos esto expressos de modo aproximado na tabela e no grfico abaixo. a) Supondo que a velocidade continuasse variando de acordo com os dados da tabela, encontre o valor da velocidade, em km/h, no 30o segundo.

Tempo (segundos) 0 1 2 3 4 Velocidade (km/h) 0 35 70 105 140

b) Com base no grfico, determine o valor aproximado da velocidade mxima atingida e o tempo, em segundos, em que Felix superou a velocidade do som. Considere a velocidade do som igual a 1.100 km/h.

RESOLUO:

a) Ao analisar a variao da velocidade na linha 2 da tabela em relao a t {1s, 2s, 3s, 4s, ...} verifica-se que seus valores formam uma P.A. com primeiro termo igual a 35 e razo 35, logo para t = 30s tem-se: V = 35 + (30 1) 35 = 35 + 1015 = 1050.

RESPOSTA: 1050 km/h.

b) Analisando o grfico v-se que 1300km/h < Vmx < 1400km/h e ainda que

1300km/h < Vmx < 22700

km/h, ento pode-se

dizer aproximadamente 1325 km/h. V-se tambm que o primeiro instante t em que Vmx > 1100km/h um valor em que 30 < t < 45, pode-se tomar 37s, por exemplo,

RESPOSTA: 1325 km/h e 37s.

2

14. Os lados do tringulo ABC da figura abaixo tm as seguintes medidas 20 AB = , 15 BC = e 10 AC = .

a) Sobre o lado BC marca-se um ponto D tal que BD = 3 e traa-se o segmento DE paralelo a AC. Ache a razo entre a altura H do tringulo ABC relativa ao lado AC e a altura h do tringulo EBD relativa ao lado ED, sem explicitar os valores h e H. b) Calcule o valor explcito da altura tringulo ABC em relao ao lado AC.

RESOLUO:

a) Como 3hH3

315

BDBC

=== .

RESPOSTA: 3.

b) Do tringulo BCF: H2 = 225 x2 e do tringulo BAF: H2 = 400 (10 + x)2. Logo: 225 x2 = 400 (10 + x)2. 225 x2 = 400 (10 + x)2 175 + x2 100 20x x2 = 0 20x = 75 x =

41515

H 16

3375 H

16225225H

415 22

===

RESPOSTA: 41515

.

15. A superfcie de um reservatrio de gua para abastecimento pblico tem 320. 000m2 de rea, formato retangular e um dos seus lados mede o dobro do outro. Essa superfcie representada pela regio hachurada na ilustrao abaixo. De acordo com o Cdigo Florestal, necessrio manter ao redor do reservatrio uma faixa de terra livre. Denominada rea de Proteo Permanente (APP), como ilustra a figura abaixo. Essa faixa deve ter largura constante e igual a 100m, medidos a partir da borda do reservatrio.

a) Calcule a rea da faixa de terra denominada APP nesse caso. b) Suponha que a gua do reservatrio diminui de acordo com a expresso V(t) = V0.2 t, em que V0 o volume inicial e t o tempo decorrido em meses. Qual o tempo necessrio para que o volume se reduza a 10% do volume inicial? Utilize, se necessrio, log102 0,30.

3

RESOLUO:

a) A faixa de terra denominada APP formada por dois retngulos de dimenses (2x)m 100m, dois retngulos xm 100m e 4 semicrculos de 100m de raio. Como a superfcie do reservatrio de gua tem 320. 000m2 de rea, 2x.x = 320.000 x2 = 160.000 x = 400 m. A rea da faixa de terra denominada APP ento:

).24(1000024000010000S10040021008002100S

APP

2APP

+=+=

++=

pipi

pi

RESPOSTA: 24)24)24)

24)10000(

10000(10000(

10000(

+ m2.

b) Como o questionamento Qual o tempo necessrio para que o volume se reduza a 10% do volume inicial?, tem-se:

====

===

313

310

0,31

t1(2)tlog101log)(2log

1012

10V

.2V 1010t

10t0t

0

Aproximadamente t = 3me10d

RESPOSTA: t = 3me10d.

16. A numerao dos calados obedece a padres distintos, conforme o pas. No Brasil, essa numerao varia de um em um, e vai de 33 a 45, para adultos. Nos Estados Unidos a numerao varia de meio em meio, e vai de 3,5 a 14 para homens e de 5 a 15,5 para mulheres. a) Considere a tabela abaixo.

Numerao brasileira ( t ) Comprimento do calado ( x ) 35 23,8 cm 42 27,3 cm

Suponha que as grandezas esto relacionadas por funes afins t(x) = ax + b para a numerao brasileira e x(t) = ct + d para o comprimento do calado. Encontre os valores dos parmetros a e b da expresso que permite obter a numerao dos calados brasileiros em termos do comprimento, ou os valores dos parmetros c e d da expresso que fornece o comprimento em termos da numerao. b) A numerao dos calados femininos nos Estados Unidos pode ser estabelecida de maneira aproximada pela funo real f definida por f (x) = 5(x 20) / 3 , em que x o comprimento do calado em cm.

Sabendo que a numerao dos calados nk forma uma progresso aritmtica de razo 0,5 e primeiro termo n1= 5 , em que nk = f(ck) , com k natural, calcule o comprimento c5 .

RESOLUO:

a)

=

=

=

=

=+

=

=+

=+

=

=

12,6b2a

2a73,5a

42b27,3a35b23,8a

42b27,3a35b23,8a

42t(27,3)35t(23,8)

=

=

=

=

=+

=

=+

=+

=

=

6,3d5,0c

21

c

3,57c

27,3d42c23,8d35c

27,3d42c23,8d35c

27,3x(42)23,8x(35)

RESPOSTA: 6,36,36,3

6,3d

dd

d

e

ee

e

0,5

0,50,5

0,5c

cc

c

12,6;

12,6;12,6;

12,6;b

bb

b

2;

2;2;

2;a

aa

a ====

b) Sendo nk = f(ck) e f (x) = 5(x 20) / 3 320)5(c

n kk

= .

Como a numerao dos calados nk forma uma progresso aritmtica de razo 0,5 e n1= 5

n5 = 5 + (5 1).0,5 = 5 + 2 = 7 2,2451211215100521

320)5(c7 5555 ====

= ccc .

RESPOSTA: c5 = 24,2.

4

17. Na formulao de fertilizantes, os teores percentuais dos macronutrientes N, P e K, associados respectivamente a nitrognio, fsforo e potssio, so representados por x , y e z .

a) Os teores de certo fertilizante satisfazem o seguinte sistema de equaes lineares:

=

=+

=+

0,25z0,55z2y

0,20zy3x

Calcule x e y nesse caso. b) Suponha que para outro fertilizante valem as relaes 24% x + y + z 54%, x 10%, y 20% e z = 10%. Indique no plano cartesiano abaixo a regio de teores (x, y) admissveis para tal fertilizante.

RESOLUO:

a)

=

=

=

=+

=+

=+

=

=+

=+

10,015,0

30,0245,03

55,025,0220,025,03

0,25z0,55z2y

0,20zy3x

x

yy

yxy

yx

RESPOSTA: x= 0,10 e y = 0,15.

b) Se 24% x + y + z 54%, x 10%, y 20% e z = 10% 14% x + y 44% e x + y 30%

30% x + y 44% x + y 30% e y x + 44%

Para y = 20% x = 24% ou x = 10% e para x = 10% y = 34% ou x = 10%

RESPOSTA: A regio de teores (x, y) admissveis para tal fertilizante a regio determinada pelo tringulo de vrtices B = (10%, 20%); C = (24%,

20%) e A= (10%, 34%).

5

18. O diagrama abaixo indica a distribuio dos alunos matriculados em trs cursos de um a escola. O valor da mensalidade de cada de R$ 600,00, mas a escola oferece descontos aos alunos que fazem mais de um curso. Os descontos, aplicados sobre o valor total da mensalidade, so de 20% para quem faz dois cursos e de 30% para os matriculados em trs cursos.

a) Por estratgia de marketing, suponha que a escola decida divulgar os percentuais de desconto, calculados sobre a mensalidade dos cursos adicionais e no sobre o total de mensalidade. Calcule o percentual de desconto que incide sobre a mensalidade do segundo curso para aqueles que fazem dois cursos e o percentual de desconto sobre o terceiro curso para aqueles que fazem trs cursos.

b) Com base nas informaes do diagrama, encontre o nmero de alunos matriculados em pelo menos dois cursos. Qual a probabilidade de um aluno, escolhido ao acaso, estar matriculado em apenas um curso?

RESOLUO:

a) Projeto original de desconto para os alunos que fazem dois cursos: 24020,06002 = reais. Projeto original de desconto para os alunos que fazem trs cursos: 54030,06003 = reais. Por estratgia de marketing, para os alunos que fazem dois cursos, o desconto de %4040,0

600240

==

sobre o segundo curso. Para os alunos que fazem trs cursos, o desconto de %9090,0600540

== sobre

o terceiro curso.

RESPOSTA: 40% e 90%. b) De acordo com o diagrama, o nmero total de alunos matriculados na escola (espao amostral) 9 + 7 + 3 + 4 + 8 + 2 + 6 = 39, e o total de alunos matriculados em apenas um dos trs cursos 9 + 6 + 8 = 23.

Ento a probabilidade de um aluno, escolhido ao acaso, estar matriculado em apenas um curso: 3923

RESPOSTA: 39

3939

39

23

2323

23

.

19. Considere a famlia de retas no plano cartesiano descrita pela equao (2 p)x + (2 p +1) y + 8 p + 4 = 0 , nas variveis x e y , em que p um parmetro real. a) Determine o valor do parmetro p para que a reta correspondente intercepte perpendicularmente o eixo y . Encontre o ponto de interseo neste caso. b) Considere a reta x + 3y + 12 = 0 dessa famlia para p = 1. Denote por A o seu ponto de interseo com o eixo x e por O a origem do plano cartesiano. Exiba a equao da circunferncia em que o segmento OA um dimetro.

RESOLUO: a) A equao (2 p)x + (2 p +1) y + 8 p + 4 = 0 pode ser representada na forma reduzida por

12p48p

x12p

p2y+

+

+

= onde 12p

p2+

o valor que da tangente do ngulo que a reta forma com o

semieixo positivo Ox. Sendo a perpendicular ao eixo y, ela paralela ao eixo x e portanto

2p0p2012p

p2===

+

.

6

Poder-se-ia tambm desenvolver o raciocnio do seguinte modo: Sendo a reta (2 p)x + (2 p +1) y + 8 p + 4 = 0 perpendicular ao eixo y, ela paralela ao eixo x e portanto na sua forma geral o coeficiente de x nulo, portanto 2 p = 0 p = 2.

RESPOSTA: 2

b) A interseo da reta x + 3y + 12 = 0 com o eixo dos x o ponto A(x, 0), logo x = 12 e A(12, 0). Sendo O a origem do plano cartesiano, a medida do segmento OA 12. Sendo o segmento AO um dimetro da circunferncia em questo, o centro dessa circunferncia o ponto (0, 6) e seu raio mede 6. A equao da circunferncia 012yyx3636y1236)6(x 222222 =++=+++=++ yxy

RESPOSTA: 000

012y

12y12y

12yy

yy

yx

xx

x

2

22

22

22

2

=++

20. Numa piscina em formato de paraleleppedo, as medidas das arestas esto em progresso geomtrica de razo q >1. a) Determine o quociente entre o permetro da face de maior rea e o permetro da face de menor rea. b) Calcule o volume dessa piscina, considerando q = 2 e a rea total do paraleleppedo igual a 252 m2 .

RESOLUO: a) Considerando as arestas da piscina como

qx e x ,qx

.

Permetro da face de maior rea: 2x(1 + q).

Permetro da face de menor rea:

+

q112x .

Quociente pedido: qq1

q q)(1

qq1

: q)(1q112x : q)2x(1 =

++=

++=

++ .

RESPOSTA: q.

b) A rea total do paraleleppedo dada pela expresso:

++=++ 1

q1q2x2x

q2x2qx 22

22

.

Fazendo 2521q1q2x2 =

++ e substituindo q por 2:

( ) 6x36x7

252x252214x2521

2122x 2222 ====++=

++ .

Logo as arestas do paraleleppedo medem 62 e 6 ,26

, ou seja, 3, 6 e 12. O volume da piscina 3 6 12 m3 = 216 m3.

RESPOSTA: 216 m3.

7

21. Considere o polinmio p(x) = x2 11x + k + 2, em que x varivel real e k um parmetro fixo, tambm real. a) Para qual valor do parmetro k o resto do quociente de p(x) por x 1 igual a 3? b) Supondo, agora, k = 4 , e sabendo que a e b so razes de p(x) , calcule o valor de

+

bpi

a

pisen .

RESOLUO:

Para que o resto do quociente de p(x) por x 1 seja igual a 3, tem-se p(1) = 3. Logo: 1 11 + k + 2 = 3 k =11.

RESPOSTA: 11

b) Em p(x) = x2 11x + k + 2, substituindo k por 4, p(x) = x2 11x + 6. Se as razes deste polinmio so os valores a e b, tem-se a + b = 11 e a.b = 6.

21

65pi

65pi

sen6

11pisen

abb)pi(a

senbpi

a

pisen =

=

+=

=

+=

+ senpi .

RESPOSTA: 2

22

2

1

11

1

.

22. Considere a matriz

= 1

11

A que depende do parmetro real > 0.

a) Calcule a matriz (A +A2)2. b) Um ponto no plano cartesiano com as coordenadas

yx

transformado pela matriz A

em um novo ponto da seguinte forma:

+=

=

yx

1yx

yx

Ay'x'

.

Calcule o valor de , sabendo que o sistema

=

26

yx

A admite soluo.

RESOLUO:

a) a matriz

= 1

11

A que depende do parmetro real > 0,

( )

=

=+

=

+

=+

210

021

223

322

23

32A

223

321

21

211

11

A

22

2

A

A

RESPOSTA:

2

22

2

1

11

1

0

00

0

0

00

0

2

22

2

1

11

1

b)

=

26

yx

A

1

11

=

=+

=

=+

=

2yx6yx

2y

x

6yx

26

yx

=

=

=

=+

3062

equaes) duas as (somando2yx6yx

RESPOSTA: = 3.

8

23. Um recipiente cbico de aresta a e sem tampa, apoiado em um plano horizontal, contm gua at a altura

43

. Inclina-se lentamente o cubo, girando-o em um ngulo em torno de uma das arestas da

base, como est representado na figura abaixo.

a) Supondo que o giro interrompido exatamente antes de a gua comear a derramar, determine a tangente do ngulo . b) Considerando, agora, a inclinao tal que tg() = 1/4, com 0 < < pi/2 , calcule o valor numrico da expresso cos(2) sen(2).

RESOLUO:

a) Se o recipiente cbico de aresta a contm gua at a altura

43

, o volume da gua 4

34

3V

3== .

Se o giro interrompido exatamente antes de a gua comear a

derramar, o volume da parte do recipiente vazio de gua 4

3.

A parte do recipiente vazio de gua um prisma de base ABC e

altura , 2

2

24

3=== xx

x

.

21

:2

== tg

RESPOSTA: 2

22

2

1

11

1

b) Considerando, agora, a inclinao tal que 41

=tg , com 0 < < pi/2 e o

tringulo retngulo ABC de catetos 1(oposto a ) e 4, 17161BC =+= .

Logo ==17

174cos e

1717

sen

( ) ( )1715

171

1716

sencos2cos e 178

17174

171722sensen2sen 22 ======

Logo cos(2) sen(2) = 177

178

1715

= .

RESPOSTA: 17

1717

17

7

77

7

.

9

24. Um satlite orbita a 6.400 km da superfcie da Terra. A figura abaixo representa uma seo plana que inclui o satlite, o centro da Terra e o arco de circunferncia AB . Nos pontos desse arco o sinal do satlite pode ser captado. Responda s questes abaixo, considerando que o raio da Terra tambm mede 6.400 km.

a) Qual o comprimento do arco AB indicado na figura?

b) Suponha que o ponto C da figura seja tal que cos() = 3/4. Determine a distncia d entre o ponto C e o satlite.

RESOLUO:

a) Analisando a figura conclui-se que ===21

128006400

OSOB

cos

= 60 que o arco AB mede 120

312800

31

12800360120

64002pi

pipi==

=

lll

RESPOSTA: 3

33

3

12800

1280012800

12800

.

b) Aplicando a Lei dos Cossenos ao tringulo COS:

===

+=

2rx2rx434r5rx

cos2rr24rrx22222

222

26400x = .

RESPOSTA: 26400 km