SIMULADO DE MATEMÁTICA

TURMA AFA-EEAR

ESTILO AFA

20 QUESTÕES OBJETIVAS

DATA 20 DE MARÇO DE 2010

QUESTÃO 1 Considere as retas r e s (r//s) e os ângulos ê, î e â da figura abaixo

Pode-se afirmar que

a) ê + î + â = 270°

b) ê + î + â = 180°

c) ê + î = â

d) ê + î = â + 90°

RESPOSTA: a

RESOLUÇÃO:

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ180 e 90 i a e i a 270

REFERÊNCIA: EPCAR 2004

QUESTÃO 2

No triângulo ABC, AD é bissetriz interna do ângulo A. Sendo aBC 2 assinale o ponto P sobre AD tal

que aAP . Se o60ABC e o80BAC , determine o ângulo PBD.

a) 5

b) 10

c) 15

d) 20

e) 30

RESPOSTA: b

RESOLUÇÃO:

Seja M o ponto médio de BC. Seja E o ponto onde a reta BP encontra AC. Como MCAPAC e

MCPA então ACMP é um trapézio e, portanto, MP é paralelo a AC. Como M é médio de BC então P é

médio de BE. No triângulo ABE, AP é bissetriz e PEPB . Logo, AEAB e a mediana AP é também

altura. Como o ângulo APB é reto e o80ADB então o10PBD .

REFERÊNCIA: Prof. Eduardo Wagner

QUESTÃO 3

As medidas dos ângulos do triângulo ABC são tais que C90BA . As bissetrizes externas dos ângulos A e

C cortam os prolongamentos dos lados opostos BC e AB nos pontos P e Q, respectivamente. Sabendo que

ACCQAP , determine o ângulo de B .

a) 12º b) 24º c) 30º d) 36º e) 60º

RESPOSTA: d

RESOLUÇÃO:

x

2y 1802 x 24 y 84

4x y 180

x 32x x 36

2 2

QUESTÃO 4

O comprimento da mediana relativa ao lado BC do triângulo ABC, sendo A(1, 2), B(2, 3) e C(4,7), é:

a) 5

b) 4

c) 3

d) 2

e) 1

RESPOSTA: a

RESOLUÇÃO:

O ponto médio de BC é 2 4 3 7

M , 3,52 2

.

O comprimento da mediana é 2 2AM 1 3 2 5 5 .

QUESTÃO 5

Os vetores a e b são perpendiculares e c forma com a e b ângulos iguais a rd3

. Se a e c são unitários,

b 2 e p 3a b c , então p é igual a:

a) 5

b) 2

c) 15

d) 2

e) 2 3

RESPOSTA: c

RESOLUÇÃO:

2

22 2

2 2

p p p 3a b c 3a b c 9a a 3a b 3a c 3b a b b b c 3c a c b c c

9 a 3 a b cos 3 a c cos 3 b a cos b b c cos 3 c a cos c b cos c2 3 2 3 3 3

19 1 3 1 2 0 3 1 1 3 2 1 0 2

2

21 1 12 1 3 1 1 1 2 1 15

2 2 2

p 15

QUESTÃO 6

Sejam A e C os vetores a partir da origem O até os pontos A e C, respectivamente, e X o módulo do

vetor X . Se 2 2

A C A C A C A C , então o valor do ângulo ˆAOC é:

a) 150

b) 135

c) 120

d) 90

e) 60

RESPOSTA: c

RESOLUÇÃO:

Lei dos cossenos no AOC :

2 22 2 2 ˆ ˆAC OA OC 2 OA OC cosAOC A C 2 A C cosAOC

Do enunciado:

2 2 22AC A C A C A C A C A C

2 2 2 2 1ˆ ˆ ˆA C 2 A C cos AOC A C A C cos AOC AOC 1202

REFERÊNCIA: Rusczyk, R. e Lehoczky, S. The Art of Problem Solving – pg. 183.

QUESTÃO 7

Um arco de medida igual a x é tal que 1530 1620o ox e 225 144tg x . O valor de

12 5cotgx senx cosx é igual a:

a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

e) 5

RESPOSTA: a

RESOLUÇÃO:

1530 1620 4 360 90 4 360 180 tg 0 o ox x x

2 12 525 144 tg cotg

5 12 tg x x x

2 2 144 169 13 5sec x 1 tg x 1 sec x cos x

25 25 5 13

2 2 25 144 12sen x 1 cos x 1 sen x

169 169 13

5 12 512 5 12 5 0

12 13 13

cotg x senx cosx

QUESTÃO 8

Seja a um número real tal que a k2

, onde k . Se 0 0x , y é solução do sistema

2seca x 3tg a y 2cosa

2 tg a x 3seca y 0

então podemos afirmar que:

a) 0 0x y 3 2sen a

b)

22 2

0 02 4

x y cos a 23 9

c) 0 0x y 0

d) 0 0x y 0

e)

22 2

0 02 4

x y cos a3 9

RESPOSTA: e

RESOLUÇÃO:

2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

22 2 2 2 2

1 tg a sec a sec a tg a 1

4sec a x 9 tg a y 12seca tg a xy 4cos a

4 tg a x 9sec a y 12seca tg a xy 0

4 sec a tg a x 9 tg a sec a y 4cos a

2 44x 9y 4cos a x y cos a

3 9

REFERÊNCIA: ITA 1983

QUESTÃO 9

Sejam a e b constantes reais positivas. Se a equação 3 2cos x a 1 cos x a b cos x b 0 possui

duas raízes reais distintas no intervalo [0 , /2], devemos ter

a) 0 < b a – 1

b) 0 < b < a + 1

c) a < b < a + 2

d) a + 1 < b a + 2

e) nda

RESPOSTA: b

RESOLUÇÃO:

3 2

2

cos x a 1 cos x a b cos x b 0

cos x 1 cos x a cos x b 0

2a a 4bcos x 1ou cos x

2

(pois x 0 )

Para que a equação possua duas raízes reais distintas em [0 , /2], devemos ter

22a a 4b

0 cos x 1 0 1 0 a a 4b 22

22 2 2a a 4b a 2 a a 4b a 2 0 b a 1

Como b > 0, então 0 < b < a + 1.

REFERÊNCIA: ITA 1991

QUESTÃO 10

Quantos pares de números (x, y) satisfazem as duas condições a seguir: 2tg y sen x 0 e 2 2x y 2 ?

a) 4

b) 5

c) 8

d) 9

e) 10

RESPOSTA: d

RESOLUÇÃO:

Como tg y 0 e 2sen x 0 , para que 2tg y sen x 0 deve-se ter 2tg y sen x 0 .

tg y 0 tg y 0 y

2sen x 0 sen x 0 x

Como 2 2x y 2 e x,y , então x,y 1,0,1 . Logo, há 3 3 9 pontos x,y que satisfazem à condição do

enunciado.

REFERÊNCIA: Chinese Mathematics Competitions and Olympiads 1993-2001 - A. Liu – Pg. 3.

QUESTÃO 11

Considere as proposições abaixo.

I) A soma dos infinitos termos da sequência cujo termo geral é n

n

3, *n , converge para

3

4.

II) Se k2k

a cos3

, *k , o valor de 1 2 3 97a a a a é zero.

III) Se 3,a,b formam uma progressão geométrica de razão q e a,b,45 , uma progressão aritmética de

razão r, com a,b , então r

6q .

Pode-se afirmar que, entre as proposições,

a) apenas uma é falsa.

b) apenas duas são falsas.

c) todas são falsas.

d) todas são verdadeiras.

RESPOSTA: a

RESOLUÇÃO:

REFERÊNCIA: AFA 2009

QUESTÃO 12

João Victor e Samuel são dois atletas que competem numa mesma maratona. Num determinado

momento, João Victor encontra-se no ponto M, enquanto Samuel encontra-se no ponto N, 5 m à sua

frente. A partir desse momento, um observador passa a acompanhá-los registrando as distâncias

percorridas em cada intervalo de tempo de 1 segundo, conforme tabelas abaixo.

Sabe-se que os números da tabela acima que representam as distâncias percorridas por João Victor

formam uma progressão geométrica, enquanto os números da tabela acima que representam as distâncias

percorridas por Samuel formam uma progressão aritmética. Com base nessas informações, é

INCORRETO afirmar que ao final do

a) 5º segundo, João Victor já terá atingido o ponto N

b) 5º segundo, Samuel percorreu uma distância igual à que os separava nos pontos M e N

c) 6º segundo, João Victor terá alcançado Samuel.

d) 8º segundo, João Victor estará mais de 8 metros à frente de Samuel.

RESPOSTA: c

RESOLUÇÃO:

REFERÊNCIA: AFA 2008-2009

QUESTÃO 13

Sejam 1a , 2a , ... , na números reais positivos e n 1 2 np a a a . Se p 0 é uma constante real tal que

2n n

n n

pp

2

, então podemos afirmar que os números 1a , 2a , ... , na , nesta ordem:

a) formam uma progressão geométrica de razão q p e 2n

np

a2

.

b) formam uma progressão geométrica de razão q p e n

np

a2

.

c) formam uma progressão geométrica de razão 2q p e n

np

a2

.

d) formam uma progressão geométrica de razão 2q p e 2n

np

a2

.

e) não formam uma progressão geométrica.

RESPOSTA: d

RESOLUÇÃO: 2n n

n 1 2 n n

pp a a a

2

2 2n 1 n 1 n n

n 1 1 2 n 1 n 1n 1

p pp a a a

22

2

2

n n n 1 2nn

n n n nn 1

p p 2 pa

p 22 p

2n2n

2 n 1n 1

a p 2. p

a 2 p

Logo, 1 2 na ,a , ,a é uma progressão geométrica de razão 2q p e 2n

np

a2

.

REFERÊNCIA: ITA 1985

QUESTÃO 14

Considere a função real f x 100 x e analise as proposições abaixo:

I) O maior valor de f x é 10.

II) Se f p existe, então o maior valor de p é 100.

III) Se f x é igual a 10 , então x é igual a 90.

IV) O gráfico de f x intercepta o eixo das ordenadas no ponto 0,10 .

O número de proposições VERDADEIRAS é:

a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

e) 4

RESPOSTA: d (FVVV)

RESOLUÇÃO:

I) Falsa: um contra-exemplo é f 44 12

II) Verdadeira: fD ,100

III) Verdadeira: f x 100 x 10 100 x 10 x 90

IV) Verdadeira: f 0 10

QUESTÃO 15

Seja f uma função definida para todo real, satisfazendo as seguintes condições: f (3) 2

f (x 3) f (x) f (3)

.

Então f 3 f 0 vale

a) –6

b) 1

c) 2

1

d) 2

3

RESPOSTA: d

RESOLUÇÃO:

x 0 f 0 3 f 0 f 3 2 f 0 2 f 0 1

1

x 3 f 3 3 f 3 f 3 1 f 3 2 f 32

1 3

f 3 f 0 12 2

REFERÊNCIA: AFA 2002

QUESTÃO 16

Seja f uma função real que satisfaz as seguintes propriedades:

I) f(0) = 1;

II) 0 < f(1) < 1; e

III) f(x + y) = f(x)f(y), x, y

Então, a expressão f(0) +f(1) +f(2) +f(3) +...+ f(9) é equivalente a

a) 1)1(f

1)]1(f[ 9

b) 1)1(f

1)]1(f[ 10

c) 1)1(f

)1(f)]1(f[ 9

d) 1)1(f

)1(f)]1(f[ 10

RESPOSTA: d

RESOLUÇÃO:

2

2 3

8 9

102 9

f 1 1 f 1 f 1 f 2 f 1

f 2 1 f 2 f 1 f 3 f 1 f 1 f 1

f 8 1 f 8 f 1 f 9 f 1 f 1 f 1

f 1 1f 0 f 1 f 2 f 9 1 f 1 f 1 f 1

f 1 1

REFERÊNCIA: AFA 1997

QUESTÃO 17

Com relação à função real f definida por

x

5

1x

9x1x

125x

)x(f

é correto afirmar que

a) o domínio de f é – {–5, –1, 0}

b) f(x) = 0 x = –1 ou x = 7

c) f(x) > 0 –7 < x < –5 ou x > 0

d) f(x) < 0 x < –7 ou –5 < x < 0 e x 1

RESPOSTA: d

RESOLUÇÃO:

2

2

12 x 6x 5 12x 5

x 1 x 1f (x)x 9 5 x 9x 5x 5x 1 x x x 1

x 7 x 1

x 1

x x 1

x 5 x 1

x x 7

x 5

x 0

x 1 0 x 1

x 9 5 x 5 x 10 0

x 1 x x x 1

x 5 ou x 1

a) F: fD 5, 1,0,1

b) F: f x 0 x 7

c) F: f x 0 7 x 5 x 0 x 1

d) V: f x 0 x 7 5 x 0 x 1

REFERÊNCIA: AFA 2003

QUESTÃO 18

Considere os conjuntos A, B e C, representados ao lado, e sabendo que n(AB) = 24, n(AB) = 4,

n(BC) = 16, n(A C) = 11 e n(B C) = 10, assinale a alternativa FALSA:

a) n(A B) = 8

b) n(ABC) = 1

c) n(B (CA)) = 7

d) n((AB) C) = 3

e) n(B (AB)) = 13

RESPOSTA: e

RESOLUÇÃO:

n(BC) = 16 n(B) = 16

n A B n A n B n A B n A 24 16 4 12

a) V n A B n A n A B 12 4 8

b) V: n(A) = 12 e n(A C) = 11 n A C 1 n A B C 1

c) V: n B C A n B C n A B C 10 3 7

d) V: n(A C) = 11 e n(A B) = 8 n A B C 3

e) F: n(AB) = 4 n B A B 16 4 12

QUESTÃO 19

Sejam A, B e C conjuntos finitos. O número de elementos de A B é x, o número de elementos de A C

é y e o número de elementos de A B C é z. Então, o número de elementos de A B C é:

a) x+y+z

b) x+yz

c) xy+z

d) xyz

e) x+y2z

RESPOSTA: b

RESOLUÇÃO:

A B C A B A C

n A B C n A B A C n A B n A C n A B C x y z

QUESTÃO 20

Se , então x + y é igual a:

a) 2

b) 1

c) 0

d) 1

e) 2

RESPOSTA: c

RESOLUÇÃO:

2

2 2 xx x 1 y y 1 1

21 x 2

2

y

x 1 x

21 y

2 2

2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

22 2 2 2 2 2 2 2

1 x 1 x y 1 y 1

y 1 y

xy x y 1 y x 1 x 1 y 1 1

xy x y 1 y x 1 x 1 y 1 1

2xy 2 x 1 y 1 2 x 1 y 1 1 xy

x y x y 1 1 2xy x y x 2xy y 0 x y 0 x y 0