RESOLUCAO_PROVAVESTIBULARFUVEST_2011_FASE2

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PROVA DE MATEMÁTICA DA UFBAVESTIBULAR– 2011 – 2a Fase

RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia Gouveia.

QUESTÃO 01

Considere o conjunto de todos os números de cinco algarismos distintos, formadoscom os algarismos 1, 3, 5, 8 e 9.Escolhendo, aleatoriamente, um elemento desse conjunto, calcule a probabilidade de onúmero escolhido ser menor que o número 58931.

RESOLUÇÃO:

Seja E o conjunto cujos elementos são todos os números de cinco algarismos distintos formados com osalgarismos 1, 3, 5, 8 e 9. Então n(E) =5! = 120.

Seja A o subconjunto de E, cujos elementos são menores que 58931.

DETERMINAÇÃO DE n(A):

• Números que começam por 58.Total de possibilidades: 3! – 1 = 3 × 2 × 1 – 1 = 5.

• Números que começam por 53.Total de possibilidades: 3! = 3 × 2 × 1 = 6.

• Números que começam por 3.

Total de possibilidades: 4! = 4×

3×

2×

1 = 24. • Números que começam por 1.

Total de possibilidades: 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24. Então n(A) = (24 + 24 + 12 + 5) = 65.

Concluindo: escolhendo, aleatoriamente, um elemento do conjunto E, a probabilidade de o número

escolhido ser menor que o número 58931 é de24

13

120

65

)E(n

)A(np === .

RESPOSTA: A probabilidade é então24

13.

QUESTÃO 02

Considerem-se em um sistema de coordenadas cartesianas — tendo o metro comounidade de medida para os eixos Ox e Oy — duas partículas P1 e P2 .Sabendo que, no instante t = 0, a partícula P1 parte da origem, na direção positiva do eixo Oy, comvelocidade constante de 2m/s, e a partícula P2 parte do ponto (10, 0) em direção à origem dos eixos comvelocidade constante de 1m/s, escreva uma equação da reta que passa pelos pontos que determinam aposição das duas partículas no instante em que o quadrado da distância entre elas é mínimo.



RESOLUÇÃO:

Como a partícula P1 percorre, com velocidade constante, 2m/s, em t segundos percorrerá (2t)m.Como a partícula P2 percorre, com velocidade constante, 1m/s, em t segundos percorrerá (t)m.No instante t = 0, a partícula P1 ocupa a posição (0, 0) e no instante t ocupará a posição (0, 2t).No instante t = 0, a partícula P2 ocupa a posição (10, 0) e no instante t ocupará a posição (10 − t, 0).

No instante t ≠ 0, a distância ( ) ( ) ( ) ⇒++−=⇒−+−−=

222

21

22

21 t4tt20100PPt200t10PP( ) 100t20t5PP 22

21 +−= .

O quadrado ( )221PP assume valor mínimo para

( )2

10

20t =

−−= .

No instante t = 2, a partícula P1 ocupa a posição A = (0, 4) e a partícula P2 ocupa a posição B = (8, 0).Determinação da equação da reta que passa pelos pontos A = (0, 4) e B = (8, 0):

Usando a relação: ( ) ( ) ⇒−=−⇒−=−

−

−⇒−=−

−

−4y

2

x4y)0x(

80

04yyxx

xx

yyAA

BA

BA

RESPOSTA: A equação procurada tem a forma 08x2y ou 8x2y ou 42

xy =−+=++−=

QUESTÃO 03

Considere o polinômio com coeficientes reais P(x) = 3x5 − 7x4 + mx3 + nx2 + tx + 6.Sabendo que P(x) é divisível por x2 + 2 e possui três raízes reais que formam uma progressão geométrica,determine o resto da divisão de P(x) por x + 2.

RESOLUÇÃO:

Se P(x) é divisível por x2 + 2 e sendo )i2x)(i2x(2x2+−=+ , então P(x) também é divisível por

)i2x( − e por )i2x( + ⇒ i2− e i2 são raízes de P(x).

As outras três raízes são reais e formam uma progressão geométrica, pode-se então representá-las comoqyy ,

q

y e .

Pelas relações de Girard:

( )⇒

=++

−=⇒

=−−−

−=⇒

−=

=

++

⇒

−=−

=++

03q10q3

1y

q7q3q33

1y

2y2

3

7q1

q

1y

2i2.i2.qy.y.q

y

3

7qyy

q

y

223

3

1 qou3q

6

810q

6

3610010q −=−=⇒

±−=⇒

−±−= ⇒

3qye 1y,31qy=−== .



Logo as raízes de P(x) são i2 e i2 ,3 ,1 ,3

1−− .

Pode-se escrever:

⇒−+−+

−=++++−= )i2x)(i2 x)(3x)(1(x

3

1x36txnxmxx7x3)x(P 2345

Que o resto da divisão de p(x) por x + 2 é igual a210)24)(5)(1(7)x(P)i22)(i22)(32)(12(

3

123)2(P −=+−−−=⇒−−+−−−+−

−−=−

RESPOSTA: O resto procurado é 210− .

QUESTÃO 04

Sendo x a medida de um arco, em radianos, determine as soluções da equação

( ) 02

11

sen7xcosx2sen.xcos4cos42

=

++−

−

π π

π π

que pertencem ao intervalo [−

6, 8].RESPOSTA:

Sendo2

2

4cos =

π , xcosx

2sen =

−

π , ( ) xcos)xcos(7xcos −=+=+ π π e

12

3sen

2

34sen

2

11sen −=

=

+=

π π π

π

Tem-se: ( ) 02

11sen7xcosx

2sen.xcos

4cos4 2

=

++−

−

π π

π π ⇒

( ) .Zkcom 3

2kou x12kx2

1 cosxou1xcos

4

31xcos

4

811xcos01xcosxcos201xcosxcos.

2

24 22

2

∈±=+=⇒=−=

⇒±−

=⇒+±−

=⇒=−+⇒=−+

π π π

Os valores de x que pertencem ao intervalo [−6, 8], são:

( )

≈=⇒=

−≈−=⇒−=⇒+=

14,3x0k

14,3x1k 12kx

π

π

π

≈=⇒=

≈=⇒=

≈=⇒=

−≈−=⇒=

−≈−=⇒−=

⇒±=

23,53

5x1k

33,73

7x1k

05,13

x0k

05,13

x0k

23,53

5x1k

3

2kx

π

π

π

π

π

π π

RESPOSTA: Os valores de x ∈∈∈∈ [−−−−6, 8] que satisfazem à equação

( ) 02

11πsen7πxcosx

2

π

cosx.sen4

π

4cos2=

++−

−

são os elementos do conjunto

−−−=3

7π,

3

5ππ,,

3

π

,3

π

π,,3

5πS



QUESTÃO 05

Considere um trapézio T, de altura h = 2u.c., base menor b = 4 u.c. e ângulos da basea = arctg2 e c = 45º.

Determine a área do trapézio T’, obtido de T por uma homotetia de razão2

3centro em

um ponto qualquer.

RESOLUÇÃO:

No triângulo retângulo AEB, 716AC1xx

22

AE

BEtgÂ =+=⇒=⇒=⇒= .

A área do trapézio T é igual a

( ) ( )

112

2.74

2

DFBDAC

S=

+=

+=

.

Sendo T’ o trapézio homotético de T por uma homotetia de razão2

3, então são figuras semelhantes e vale

a relação:4

99S

4

9

11

S

2

3

S

S'T

'T2

T

'T=⇒=⇒

= .

RESPOSTA: A área de T” é4

99u.a.

Questão 06Considere uma pirâmide triangular regular de altura h, contida no interior de umaesfera de raio r.

Sabendo que um dos vértices da pirâmide coincide com o centro da esfera, e os outrosvértices são pontos da superfície esférica, determine, em função de h e r, a expressãodo volume da pirâmide.

Sendo regular a pirâmide VABC, então sua base ABC é um triângulo equilátero.

No triângulo equilátero ABC, AH = a (medida do raio desse triângulo) e AB = l.

Logo, 3a3

3a

2

3

3

2a =⇒=⇒

= l

ll.

Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo VHA:

( )222222222 hr33hrhrahra −=⇒×−=⇒−=⇒−= ll .

Então a área do triângulo ABC é ( ) ( )4

3hr34

3hr34

3 22

222

2 −=

−

=l



Finalmente, o volume da pirâmide è:( ) ( )

4

3hrhh

4

3hr3

3

1)Bh(

3

1V

2222−

=

−== .

RESPOSTA: O volume da pirâmide é( )

4

3hrh 22−

u.v.

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