ELECTIVO PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

Resumen Global 1er Semestre

Docentes: Montserratt Guerrero

Cursos: Tercero Medio A – B y Cuarto Medio

Temuco, Agosto de 2020

Conceptos Previos

Variable: Característica o atributo varia y toma diferentes valores o categorías.

Variable Estadística: Característica o atributo observable que se mide en una muestra.

Variable Aleatoria: Función que relaciona cada suceso elemental de un experimento aleatorio con un único valor numérico, es decir, a cada posible resultado de un experimento le asigna un valor numérico.

Dato: Valor específico de la variable.

Distribución de datos: Corresponden a los datos o valores de la variable de estudio. Por ejemplo, si la variable de estudio es Notas obtenidas por un estudiante en matemática. La distribución de datos es: 2,0 – 3,4 – 7,0 – 2.7 – 1,0

Valor atípico: Dato numéricamente distante del resto de los valores de la distribución. Puede ser excesivamente más pequeño o excesivamente más grande que los demás datos.Por ejemplo, en la distribución de datos anterior, el valor atípico es 7,0

VER CONCEPTOS PREVIOS PPT N° 1 Y N° 2

PPT N°1 Mayo

Variables Estadísticas

Clasificación de variables según tipo

VARIABLES DEPENDIENTES

VARIABLES INDEPENDIENTES

Prevención del COVID 19

Usar mascarilla

Permanecer en casa

Lavarse las manos

Clasificación de variables según dependencia

VER CLASIFICACIONES, DIAPOSITIVA 4, 5 Y 6

GR

ÁFI

CO

S ES

TAD

ÍSTI

CO

S

Cualitativas y Cuantitativas discretas

De BarrasFrecuencia Absoluta

CircularFrecuencia

Relativa

De Líneas verticales

Todas las frecuencias

Parte EnteraFrecuencias Acumuladas

Cuantitativas Continuas

Histogramas y Lineal

Frecuencia Absoluta

CircularFrecuencia

Relativa

OjivaFrecuencias Acumuladas

His

togr

ama

Lin

eal

De

lín

eas

vert

ical

esO

jiva

VER DIAPOSITIVAS 7, 8, 9 Y 10

PPT N°2 Mayo

Sea el experimento aleatorio: Extraer una bolita de una urna. ¿Cuál es la probabilidad de extraer una bolita cuyo valor sea inferior a 4?

• Espacio muestral: 𝛺 = {(1); (2); (3); (4); (5); (6); (7); (8); (9); (10)}

• Cardinalidad del espacio muestral: #(𝛺) = 10

• Evento A: Extraer una bolita cuyo valor sea menor a 4.

• Casos favorables del evento 𝐴 = {(1); (2); (3)}

• Cardinalidad del evento A: #(𝐴) = 3

Conceptos Previos

Espacio muestral: Todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. (𝛺)Cardinalidad: Cantidad de casos favorables a un evento o a el espacio muestral. (#)

REGLA DE LAPLACE

Una urna contiene tres bolitas enumeradas del 1 al 3. Al escoger al azar dos bolitas con reposición (sacarla bolita e ingresarla). Su espacio muestral y cardinalidad son respectivamente:

Si se define la variable aleatoria X: Suma de números obtenidos, tenemos:

Espacio muestral (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3) (3,1) (3,2) (3,3)

Valores de la variable XSuma de números obtenidos

2 3 4 3 4 5 4 5 6

Ω = (1,1) (1,2)(1,3)(2,1) (2,2)(2,3)(3,1) (3,2)(3,3)

La cantidad de casos favorables de cada valor de la variable (cardinalidad) y la cantidad total de casos delespacio muestral, permiten determinar la probabilidad de ocurrencia de la variable aleatoria

Ejemplo: El evento suma 𝑿 = 𝟑 se repite 2 vez en la variable aleatoria, # 𝑿 = 𝟑 = 𝟐

La probabilidad de ocurrencia del evento 𝑋 = 3 es:

𝑃 𝑋 = 3 =𝐶𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒 𝑋 = 3

𝐶𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠=2

9= 0, 2 ∙ 100% = 22,2%

#(𝛺) = 9

Casos posibles (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3) (3,1) (3,2) (3,3)

Valores de la variable XSuma de puntos obtenidos

2 3 4 3 4 5 4 5 6

Ω = (1,1) (1,2)(1,3)(2,1) (2,2)(2,3)(3,1) (3,2)(3,3) #(𝛺) = 9

La probabilidades de la variable aleatoria 𝑋: 𝑆𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑖𝑑𝑜𝑠 son:

Variable XSuma de puntos

CardinalidadCantidad de veces que ocurre

Probb. de ocurrencia𝑓 𝑥 = 𝑃(𝑋 = 𝑥)

Probb. de ocurrencia acumulada𝐹 𝑥 = 𝑃(𝑋 < 𝑥)

2 1 𝑃 𝑋 = 2 =1

9= 11,1% 𝑃 𝑋 ≤ 2 =

1

9= 11,1%

3 2 𝑃 𝑋 = 3 =2

9= 22,2% 𝑃 𝑋 ≤ 3 =

3

9= 33,3%

4 3 𝑃 𝑋 = 4 =3

9= 33,3% 𝑃 𝑋 ≤ 4 =

6

9= 66,6%

5 2 𝑃 𝑋 = 5 =2

9= 22,2% 𝑃 𝑋 ≤ 5 =

8

9= 88,8%

6 1 𝑃 𝑋 = 6 =1

9= 11,1% 𝑃 𝑋 ≤ 6 =

9

9= 100%

Función de Probabilidad

Relación los valores de la variable aleatoria con suprobabilidad de ocurrencia acumulada.

Función de Probabilidad Acumulada

𝒇 𝒙 = 𝑷 𝑿 = 𝒙 𝑭 𝒙 = 𝑷 𝑿 ≤ 𝒙

Relaciona los valores de la variable aleatoriacon su probabilidad de ocurrencia.

Dominio: 𝑿 = 𝒙

𝐷𝑜𝑚 𝑓 = 2, 3, 4, 5, 6

Recorrido: 𝒇 𝒙 = 𝑷(𝑿 = 𝒙)

𝑅𝑒𝑐 𝑓 =1

9;2

9;3

9

Dominio: 𝑿 = 𝒙

𝐷𝑜𝑚 𝑓 = 2, 3, 4, 5, 6

Recorrido: 𝑭 𝒙 = 𝑷(𝑿 ≤ 𝒙)

𝑅𝑒𝑐 𝑓 =1

9;3

9;6

9;8

9;9

9

VER EJERCICIOS RESUELTOS, DIAPOSITIVA 9 - 14

PPT N°3 Junio

Medidas de Tendencia Central (MTC)

Valor numérico cuyo objetivo es resumir los datos de una distribución

Media Aritmética ( 𝑿)

Promedio

Cociente (División) entre la suma de todos los datos y la

cantidad total de datos

Moda (Mo)

Dato con mayor frecuencia absoluta

dentro de la distribución.

Mediana (Me)

Dato central en una distribución ordenada

creciente o decrecientemente.

VER CARACTERÍSTICAS DE LAS MTC, DIAPOSITIVA 4, 5 Y 6

MTC en tabla de frecuencia para datos no agrupadosLa siguiente tabla presenta el tiempo que tardan 84 estudiantes en llegar a sus casas desde el liceo.

Tiempo

minutos

Frecuencia

Absoluta

Frec. Abs.

Acumulada

Frecuencia

Relativa

Frec. Rel.

Acumulada

14 8 8 9,5% 9,5%

15 45 53 53,6% 63,1%

16 23 76 27,4% 90,5%

17 8 84 9,5% 100%

Media Aritmética

𝑋 =𝑥1 ∙ 𝑓1 + 𝑥2 ∙ 𝑓2 +⋯

𝑛

𝑋 =14 ∙ 8 + 15 ∙ 45 + 16 ∙ 23 + 17 ∙ 8

84= 15,37

Interpretación: Los estudiantes tardar en promedio15,37 minutos en regresar a sus casas desde el liceo

ModaEl dato con mayor frecuencia absoluta es 15 minutos.

Interpretación: La moda es que los estudiantes tarden15 minutos en llegar a sus casas desde el liceo.

MedianaEl porcentaje que sobrepasa primero al 50% de losdatos es 63,1% que corresponde al dato 15 minutos.

Interpretación: El 50% de los estudiantes tardan cómomáximo 15 minutos en llegar a sus casas desde el liceo.

Simbología:𝑥𝑖 = Datos de la variable. 𝑓𝑖 = Frec. Abs. de cada dato.𝑛 = Número total de datos

VER CARACTERÍSTICAS DE TABLA PARA DATOS NO AGRUPADOS, DIAPOSITIVA 8

MTC en Tablas de frecuencias de datos agrupados

Estatura de los

Estudiantes

Marca de

Clase

Frecuencia

Absoluta

Frecuencia

Abs. Acum.

Frecuencia

Relativa

Frecuencia

Rel. Acum.

[1,30 – 1,35) 1,325 12 12 24% 24%

[1,35 – 1,40) 1,375 16 28 32% 56%

[1,40 – 1,45) 1,425 12 40 24% 80%

[1,45 – 1,50) 1,475 10 50 20% 100%

𝐓𝐨𝐭𝐚𝒍 50 100%

𝑋 =𝐶1 ∙ 𝑓1 + 𝐶2 ∙ 𝑓2 +⋯

𝑛

Simbología𝐶𝑖: Marca de Clase𝑓𝑖: Frecuencia Absoluta𝑛: Cantidad total de datos (Tamaño de la muestra)

Media Aritmética

𝑋 =1,325 ∙ 12 + 1,375 ∙ 16 + 1,425 ∙ 12 + 1,475 ∙ 10

50= 1,395

Interpretación: En promedio la estaturade los estudiantes que se midieroncorresponde a 1,395 metros.

Intervalo ModalEn esta tabla de frecuencias, existe solo un intervalo con mayor frecuencia absoluta y es el segundo 𝐼2 .

Interpretación: El Intervalo modal de la estatura de los estudiantes oscila entre los 1,35 m. y 1,40 m.

VER CARACTERÍSTICAS DE TABLA PARA DATOS AGRUPADOS, DIAPOSITIVA 10

Estatura de los

Estudiantes

Marca de

Clase

Frecuencia

Absoluta

Frecuencia

Absoluta

Acumulada

Frecuencia

Relativa

Frecuencia

Relativa

Acumulada

[1,30 – 1,35) 1,325 12 12 24% 24%

[1,35 – 1,40) 1,375 16 28 32% 56%

[1,40 – 1,45) 1,425 12 40 24% 80%

[1,45 – 1,50) 1,475 10 50 20% 100%

𝐓𝐨𝐭𝐚𝒍 50 100%

𝑀𝑒 = 𝐿𝐼𝑖 +

𝑛2 − 𝐹𝑖−1

𝑓𝑖∙ 𝐴

Simbología𝐴: Amplitud de Intervalo𝑛: Cantidad total de datos (Tamaño de la muestra)𝑖: Intervalo donde se encuentra la mediana (Intervalo i-ésimo)𝐿𝐼𝑖: Límite inferior del intervalo i-ésimo.𝑓𝑖: Frecuencia absoluta del intervalo i-ésimo.𝐹𝑖−1: Frecuencia absoluta acumulada del intervalo anterior al i-ésimo

Mediana

𝑀𝑒 = 1,35 +

502 − 12

16∙ 0,05

El Intervalo donde se ubica la mediana esaquel cuya Frec. Rel. Acum. iguala osobrepasa primero el 50%. En este caso,es el segundo 𝐼2: [1,35 – 1,40) ya que sufrecuencia absoluta acumulada es 56%

𝑀𝑒 = 1,35 +13

16∙ 0,05 = 1,39

Interpretación: La estatura del 50% de los estudiantes es menor oigual a 1,39 metros.

PPT N°4 Julio

Medidas de Posición MP

Dividen un conjunto de datos en grupos con igual cantidad de datos, de modo que entre cada grupo hay una medida de posición.

Percentiles 𝑃𝑖

Divide los datos en 100 grupos

Los percentiles son

𝑃1 = 1%

𝑃2 = 2%

𝑃3 = 3%

…

Cuartiles 𝐶𝑖

Divide los datos en 4 grupos

Los cuartiles son:

𝐶1 = 25%,

𝐶2 = 50%

𝐶3 = 75%

Quintiles 𝑄𝑖

Divide los datos en 5 grupos

Los quintiles son:

𝑄1 = 20%,

𝑄2 = 40%

𝑄3 = 60%

…

Deciles 𝐷𝑖

Divide los datos en 10 grupos

Los deciles son

𝐷1 = 10%

𝐷2 = 20%

𝐷3 = 30%

…

VER FRECUENCIA RELATIVA ACUMULADA, DIAPOSITIVA 3 Y 4

Sea la siguiente distribución: 10, 15, 12, 15, 10, 16, 10, 10, 11, 14, 15.

1. Los datos se deben ordenar de forma creciente: 10, 10, 10, 10, 11, 12, 14, 15, 15, 15, 16

2. Indicar la posición que tiene cada dato dentro de la distribución.

10 10 10 10 11 12 14 15 15 15 16

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝒙𝟒 𝒙𝟓 𝒙𝟔 𝒙𝟕 𝒙𝟖 𝒙𝟗 𝒙𝟏𝟎 𝒙𝟏𝟏

Cuartiles en distribuciones sin agrupar (con cantidad impar de datos)

3. Buscar el 𝑄2 (mediana), cuya posición se ubica al centro de la distribución.

Por lo tanto, el segundo cuartil ocupa la sexta posición 𝒙𝟔 y corresponde al dato 𝑄2 = 12.

4. Hallar 𝑄1 y 𝑄3 se ubican los datos centrales a ambos lados de la distribución:

Finalmente, 𝑄1 y 𝑄3 ocupan la tercera y novena posición, 𝒙𝟑 y 𝒙𝟗 respectivamente y son los datos 𝑄1 = 10 y 𝑄3 = 15

10 10 10 10 11 12 14 15 15 15 16

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝒙𝟒 𝒙𝟓 𝒙𝟔 𝒙𝟕 𝒙𝟖 𝒙𝟗 𝒙𝟏𝟎 𝒙𝟏𝟏

10 10 10 10 11 12 14 15 15 15 16

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝒙𝟒 𝒙𝟓 𝒙𝟔 𝒙𝟕 𝒙𝟖 𝒙𝟗 𝒙𝟏𝟎 𝒙𝟏𝟏

VER CUARTILES EN DISTRIBUCIONES CON CANTIDAD PAR DE DATOS, DIAPOSITIVA 7

Sea la siguiente distribución: 16, 10, 11, 10, 15, 16, 12, 17, 15, 10, 16, 12, 10, 11, 14, 15, 16, 18 y 18

1. Los datos se deben ordenar de forma creciente: 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 14, 15, 15, 15, 16, 16, 16,16, 17, 18, 18

2. Indicar la posición que tiene cada dato dentro de la distribución.

3. Dividir la totalidad de los datos en 5 (Quintiles). Al dividir en 5 obtenemos 19 ∶ 5 = 3 con resto 4. Por lotanto cada grupo contiene 3 datos y entre cada grupo hay un quintil.

Quintiles en distribuciones sin agrupar (con cantidad impar de datos)

10 10 10 10 11 11 12 12 14 15 15 15 16 16 16 16 17 18 18

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝒙𝟒 𝒙𝟓 𝒙𝟔 𝒙𝟕 𝒙𝟖 𝒙𝟗 𝒙𝟏𝟎 𝒙𝟏𝟏 𝒙𝟏𝟐 𝒙𝟏𝟑 𝒙𝟏𝟒 𝒙𝟏𝟓 𝒙𝟏𝟔 𝒙𝟏𝟕 𝒙𝟏𝟖 𝒙𝟏𝟗

Los quintiles ocupan las posiciones 𝒙𝟒, 𝒙𝟖, 𝒙𝟏𝟐 y 𝒙𝟏𝟔 y corresponden a 𝑄1 = 10, 𝑄2 = 12, 𝑄3 = 15 y𝑄4 = 16 respectivamente.

10 10 10 10 11 11 12 12 14 15 15 15 16 16 16 16 17 18 18

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝒙𝟒 𝒙𝟓 𝒙𝟔 𝒙𝟕 𝒙𝟖 𝒙𝟗 𝒙𝟏𝟎 𝒙𝟏𝟏 𝒙𝟏𝟐 𝒙𝟏𝟑 𝒙𝟏𝟒 𝒙𝟏𝟓 𝒙𝟏𝟔 𝒙𝟏𝟕 𝒙𝟏𝟖 𝒙𝟏𝟗

VER QUINTILES EN DISTRIBUCIONES CON CANTIDAD PAR DE DATOS, DIAPOSITIVA 8

Interpretación de cuartiles

VER GRAFICO DE CAJA Y BIGOTE, DIAPOSITIVA 9, 10 y 11

En la siguiente distribución se observan los puntajes obtenidos por un grupo de estudiantes en untaller en la asignatura de matemática. Los cuartiles presentes en la distribución son:

Gráfico de caja y bigote

Puntos

Interpretación

• El 25% de los estudiantes que rindieron el taller obtuvieron unpuntaje igual o inferior a 10 puntos.

• El 50% de los estudiantes con mejor puntaje superó o igualólos 12 puntos.

• El 75% de los estudiantes con peor puntaje obtuvo comomáximo 15 puntos.

• La mitad de los estudiantes que rindieron el taller obtuvo 12puntos o menos.