Juros e Taxas de Juros

Juros

As operações financeiras são estabelecidas mediante a remuneração do capital inicial utilizado durante certo período de tempo. Esta remuneração do capital é chamada de Juros. Podemos definir juros como a quantia cobrada pelo credor ao tomador de recursos pela utilização de seu capital.

Ao fim do período de aplicação, os juros são incorporados ao capital inicial formando o montante.

M = C + J

M - montante ; C - capital inicial ; J – juros

O processo de formação e incorporação de juros ao capital inicial pode ser feito pelo regime de capitalização contínua ou pelo regime de capitalização descontínua. Na capitalização descontínua temos os regimes de juros simples e juros compostos.

No regime de capitalização a juros simples, o calculo dos juros em cada período é realizado multiplicando-se a taxa de juros sempre pelo capital inicial da operação. Os juros pagos não são reaplicados na operação financeira.

J = C.i.n

J – juros ; C – capital inicial ; i – taxa de juros ; n – tempo de aplicação.

Taxa de Juros

A taxa de juros i caracteriza o valor do aluguel do dinheiro por um certo período. A taxa de juros é um coeficiente que sempre se refere a uma unidade de tempo qualquer. Pode ser expressa na forma percentual ( 30% ; 0,5%) ou na forma unitária que é a forma percentual divida por 100 ( 0,30 ; 0,05).

Taxas de juros nominal, efetiva e real.

Taxa nominal é a taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. A taxa nominal é sempre fornecida em termos anuais, e os períodos de capitalização podem ser semestrais, trimestrais, mensais ou diários.

Taxa efetiva é a taxa de juros em que a unidade referencial de tempo coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. São exemplos de taxas efetivas 2% ao mês, capitalizados mensalmente; 15 % ao ano, capitalizados anualmente. Neste caso, como existe a coincidência nas unidades de medida dos tempos, costuma-se apenas dizer 2% ao mês, 15% ao ano, etc.

Taxa real é aquela que expurga o efeito da inflação no período. A taxa real corresponde à taxa efetiva corrigida pelo índice inflacionário do período.

A fórmula de Fischer relacionada a taxa efetiva, a real e de inflação.

Fórmula de Fischer ireal=1+iefetiva

1+iinflação

−1

Exemplo: Num dado período, seu salário de R$ 1.000,00 foi reajustado em 50%. Sabendo que a inflação no período foi de 40%, em quanto aumentou ou diminuiu o poder de compra do salário?

ireal=1+0,51+0,4

−1=0,07142 ou 7,14 %

Aumentou 7,14%.

Exemplo: Um banco, ao realizar um empréstimo, oferece taxas pré-estabelecidas, emprestando R$ 10 000,00 receberá, no prazo máximo de um ano, o valor de R$ 13 000,00. Se a inflação do período foi de 3%. Determine a taxa real de juros do empréstimo?

iefet = 30% e iinf = 3%.

ireal=1+0,3

1+0,03−1=0,262135 ou 26,21 %

Juros Exatos e Juros Comerciais:

As operações em juros simples são mais utilizadas em períodos curtos, ocorrendo na maioria das vezes em dias. Caso as taxas sejam expressas em período anual, é necessário fazer o ajuste. Devemos considerar duas possibilidades: juros exatos (ano civil) e juros comerciais ou ordinários (ano comercial).

1º - Ano civil de 365 dias: J=Cit365

2º - Ano comercial de 360 dias: J=Cit360

Taxas proporcionais no sistema de capitalização simples:

Duas taxas de juros simples (efetivas) são ditas proporcionais quando seus valores e seus respectivos períodos de tempo, reduzidos a uma mesma unidade, forem proporcionais.

Exemplos:

Taxa de 24% ao ano é proporcional a 2% ao mês.

Taxa de 16% ao ano é proporcional a 4% ao trimestre.

Taxa de 1,5% ao mês é proporcional a 18% ao ano.

Taxa de 2% ao dia é proporcional a 60% ao mês.

Obs.: ao dia – a.d. ; ao mês – a.m. ; ao trimestre – a.t. ; ao ano – a.a ; etc.

Em algumas situações, o período de investimento pode ser uma fração do período expresso pela taxa de juros, sendo necessário ajustá-los.

Exemplos:

Taxa anual → diária : dividir por 360

Taxa anual → mensal : dividir por 12

Taxa diária → anual : multiplicar por 360

Exemplo: R$ 2.000,00 foram aplicados por sete meses a juros simples de taxa anual de 24%. Qual o juros desta aplicação.

Note que o prazo de aplicação esta em meses e a taxa de juros ao ano. Devemos transformar um deles em função do outro.

24%a.a/12 meses = 2% a.m. , então :

Ou, 7 meses equivalem 0,583333333 anos. Para evitar trabalhar desta forma,

Exemplo: Qual o montante gerado numa aplicação no regime de capitalização simples realizada com capital inicial de R$ 10.000,00 no prazo de 15 dias e uma taxa de juros de 42% a.a?

Note que o prazo da aplicação está em dias e a taxa em anos. Passando a taxa de anual para diária:

J=C .i . n

J=10000.0,42360

.15=175

M = C + J = 10.000,00 + 175,00 = 10.175,00

Trabalhando com Coeficientes ( 1 + i ):

Capitalização : ( 1 + i ) Descapitalização : 1 / ( 1 + i )

Nas relações percentuais, podemos expressar o coeficiente como um número.

Exemplo:

Se o aumento for de 15% → 115 % → ( 1 + 0,15 ) → 1,15

Se a redução for de 20% → ( 1 – 0,20 ) → 0,8

Acumulação de percentagens = multiplicação de fatores

1 + i acum = ( 1 + i1 ).(1 + i2)...( 1 + in )

Exemplo: Supondo que num certo trimestre a inflação foi de 6%, 8% e 10%, respectivamente, qual a inflação acumulado no trimestre?

1 + i acum = ( 1 + 0,06 ).(1 + 0,08).( 1 + 0,1 )

1 + iacum = 1,25928

iacum = 1,25928 – 1 = 0,25928 ou 25,928%

Obs.: Perceba que as percentagens não são somadas.

Taxa média (im), tempo médio (nm) e capital médio (Cm)

Chamamos de taxa média a taxa que substitui as taxas i1, i2, ..., in.

De forma semelhante, calculamos o capital médio e o tempo médio.

Obs. Quando vários capitais forem aplicados a juros simples em diferentes prazos, mas todos com a mesma taxa de juros, a fórmula para obter o tempo médio pode ser simplificada.

De forma semelhante, quando vários capitais forem aplicados a juros simples com taxas diferentes, mas todos com um mesmo período, a fórmula para obter a taxa média pode ser simplificada.

Exemplo: Uma empresa apresenta um conjunto de duplicatas a pagar. Os títulos são R$ 5000,00 para 15 dias, R$ 9.000,00 para 20 dias e R$ 15.000,00 para 25 dias. Determine a taxa média desta operação, considerando juros simples, ano comercial, de 25% a.m. para primeira duplicata, 15% a.m. para segunda duplicata e 10% a.m. para última duplicata.

Exemplo: Os capitais de R$ 2.500,00, R$ 3.500,00, R$ 4.000,00 e R$ 3.000,00 são aplicados a juros simples durante o mesmo prazo às taxas mensais de 6%, 4%, 3% e 1,5%, respectivamente. Obtenha a taxa média mensal de aplicação destes capitais.

Fluxo de Caixa

O fluxo de caixa pode ser representado por um diagrama. As unidades de tempo e as datas de ocorrências de entradas e de saídas de caixa são marcadas no eixo horizontal orientado para direita. No eixo vertical estão marcadas as entradas liquidas (para cima) e saídas líquidas (para baixo) de caixa.

Obs.: O zero marca a data atual e n = 4 é a data futura.

Montante ou valor futuro = FV ( future value ) ; Capital ou valor atual = PV ( presente value )

Juros = J ( interest) ; PMT = Valor de pagamento periódico (prestação) ; FV = PV + J