Taxas de Juros Nominal, Efetiva, Equivalentes,

8/17/2019 Taxas de Juros Nominal, Efetiva, Equivalentes,

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AULA 03: Taxas de juros: nominal, efetiva, equivalentes,

proporcionais, real e aparente. Descontos.

SUMÁRIO PÁGINA1. Taxas de juros nominal, efetiva, equivalentes, proporcionais, reale aparente

01

2. Descontos 123. Exercícios comentados nesta aula 404. Gabarito 46

1 – Taxas de juros nominal, efetiva, equivalentes, proporcionais, real eaparente

Taxas de Juros Proporcionais

Vamos começar falando em taxas proporcionais:

Dizemos que duas taxas são proporcionais quando seus valores são diretamenteproporcionais aos respectivos tempos, considerados numa mesma unidade.

Exemplo:

As taxas de juros 5% ao mês e 30% ao semestre são diretamente proporcionais,pois:

mês1%5

=meses6

%30

Taxas de Juros Equivalentes

Agora, vejamos o conceito de taxas de juros equivalentes:

Dizemos que duas taxas são equivalentes quando produzem o mesmo valor de juros ao serem aplicadas a capitais iguais e por um mesmo período. No regime decapitalização simples as taxas de juros equivalentes são também proporcionais.

Exemplo:

Ao aplicar uma R$ 1.000,00, durante seis meses, à taxa de juros simples de 5%ao mês nos daria juros iguais àqueles que obteríamos se aplicássemos os

mesmos R$ 1.000,00, durante os mesmos seis meses, mas à taxa de juros


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simples de 60% ao ano. Então dizemos que 5% ao mês é uma taxa de jurosequivalente a 60% ao ano.

J = C.i.n

J1 = 1000 x 5% x 6

J1 = 1000 x 0,05 x 6

J1 = R$ 300,00

J2 = 1000 x 60% x 0,5 (o período é igual a meio ano)

J2 = 1000 x 0,6 x 0,5

J2 = R$ 300,00

Taxas de Juros Nominais e Efetivas

Quando a unidade de tempo indicada pela taxa de juros coincide com a unidadede tempo do período de capitalização dizemos que a taxa é efetiva.

Exemplos:

- Uma taxa de juros de 3% ao mês com capitalização mensal.

- Uma taxa de juros de 10% ao ano capitalizada anualmente.

Nas questões envolvendo juros compostos onde se dá a taxa efetiva,frequentemente se omite o período de capitalização, ficando subentendido que é omesmo indicado pela taxa.

Exemplos:

- Taxa de juros de 3% ao mês – Subentende-se que são 3% ao mêscapitalizado mensalmente.

- Taxa de juros de 10% ao semestre – Subentende-se que são 10% aosemestre capitalizado semestralmente.

Entretanto, é comum encontrarmos também em problemas de juros compostosexpressões como “juros de 15% ao ano, capitalizados mensalmente " ou "taxa de12% ao ano com capitalização bimestral".

Em tais situações encontramos o que se convencionou chamar de taxa nominal,que é aquela cuja unidade de tempo não coincide com a unidade de tempo doperíodo de capitalização.


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A taxa nominal da forma como ela é apresentada pode ser entendida com umataxa “enganosa”, geralmente dada com período em anos, que não devemosutilizar diretamente nos cálculos de juros compostos, pois não produzemresultados corretos. Em seu lugar devemos usar uma taxa efetiva.

Mas como descobrir qual a taxa efetiva que representa a taxa nominal informadanuma questão?

A conversão da taxa nominal em taxa efetiva é feita ajustando-se o valor da taxanominal proporcionalmente ao período de capitalização.

Exemplo:

Uma aplicação de R$ 10.000,00 a uma taxa nominal de juros compostos de 12%ao ano capitalizada mensalmente. Qual o valor do montante ao final de 1 ano de

aplicação?M = C.(1 + i)n

M = 10000.(1 +meses12

%12)12

M = 10000.(1 + 0,01)12

M = 10000.(1,01)12

M = 10000.(1,126825)

M = 11.268,25

Agora, qual seria o valor do montante se a capitalização fosse semestral?

M = C.(1 + i)n

M = 10000.(1 +

semestres2

%12)2

M = 10000.(1 + 0,06)2

M = 10000.(1,06)2

M = 10000.(1,1236)

M = 11.236,00

E qual seria o valor do montante se a capitalização fosse anual?


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M = C.(1 + i)n

M = 10000.(1 +ano1

%12)1

M = 10000.(1 + 0,12)

M = 10000.(1,12)

M = 11.200,00

Perceba que os três resultados foram diferentes.

O conceito de taxas de juros efetiva e nominal só faz sentido para regimes decapitalização composto, pois quando falamos de juros simples, as taxas efetiva e

nominal são sempre equivalentes.

Vamos às questões do Cespe:

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01 - (ANTAQ – 2009 / CESPE) Considere que um investidor dispõe deR$ 1.000,00 para aplicar no mercado financeiro e está diante de duas opções:a primeira, um investimento de dois anos, com taxa de juros de 10,5% aoano, não capitalizados, e a segunda, um investimento de um ano, com taxade juros de 10% ao ano. Nessa situação hipotética, se o investidor optar pelo

primeiro investimento ou aplicar no segundo, reinvestindo o total recebidopor mais um ano, o resultado será o mesmo.

Solução:

O que a questão está nos dizendo é que o montante gerado numa aplicação a juros simples com taxa de 10,5% ao ano num período de dois anos é igual aomontante gerado numa aplicação a juros compostos com taxa de 10% ao ano pordois anos. Vejamos:

M1 = C.(1 + 10,5%.2)M2 = C.(1 + 10%)2

Igualando M1 e M2, temos:

C.(1 + 10,5%.2) = C.(1 + 10%)2

(1 + 0,105.2) = (1 + 0,1)2

1 + 0,21 = (1,1)2

1,21 = 1,21


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Portanto, podemos concluir que o item está correto.

02 - (ANTAQ – 2009 / CESPE) Duas taxas de juros são efetivas se,considerados o mesmo prazo de aplicação e o mesmo capital, for indiferentefazer a aplicação com uma ou com outra taxa.

Solução:

A questão traz o conceito de taxas de juros equivalentes no lugar de taxas de juros efetivas. Item errado.

03 - (ANTAQ – 2009 / CESPE) Diferentemente do regime de juros simples, noregime de juros compostos, os juros são capitalizados.

Solução:

A questão está correta, pois é justamente essa a diferença entre os dois regimes.No regime de juros simples a taxa de juros incide sempre sobre o capital investidoe não contabiliza os juros do período anterior para seu cálculo, enquanto que noregime de juros compostos a taxa de juros incide sobre o capital acrescido dos juros que já incidiram no período anterior. Item correto.

04 - (Banco da Amazônia – 2009 / CESPE) Considerando 1,1 e 1,0489 como

valores aproximados de 1,0128

e 1,0124

, respectivamente, é correto afirmarque a taxa anual de juros equivalente à taxa de juros compostos de 1,2% aomês é inferior a 15%.

Solução:

Nessa questão, vamos chamar de i1 a taxa de juros anual e de i2 a taxa de jurosmensal. Assim, temos:

C.(1 + i1)1 = C.(1 + i2)

12

(1 + i1) = (1 + 1,2%)12

1 + i1 = (1 + 0,012)12

1 + i1 = (1,012)12

A questão não nos deu o valor de 1,01212, mas nos deu o valor de 1,0128 e 1,0124.Assim, temos:

1 + i1 = (1,012)12

1 + i1 = (1,012)8.(1,012)4


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1 + i1 = (1,1).(1,0489)

1 + i1 = 1,15379

i1 = 1,15379 – 1

i1 = 0,15379 = 15,379%

Portanto, o item está errado.

05 - (TRE/BA – 2009 / CESPE) Considere que um investidor tenha aplicado R$120.000,00 no prazo de seis meses e tenha recebido R$ 6.100,00 de jurospelo investimento. Supondo que a financeira remunere as aplicações a juros

compostos capitalizados mensalmente a 8% e tomando 1,008 como valoraproximado de 6 05,1 é correto afirmar que a taxa de juros anual equivalentedo investimento foi de 9,6%.

Solução:

Sabendo que M = C + J e que M = C.(1 + i)n, temos:

C + J = C.(1 + i)n

120000 + 6100 = 120000.(1 + i)6

126100 = 120000.(1 + i)6

(1 + i)6 =120000126100

(1 + i)6 = 1,05

1 + i = 6 05,1

1 + i = 1,008

i = 1,008 – 1

i = 0,008 = 0,8%

Bom, agora devemos encontrar a taxa de juros anual equivalente a taxa de jurosmensal de 0,8% ao mês:

C.(1 + 0,8%)12 = C.(1 + i)1

(1 + 0,008)12 = (1 + i)


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(1,008)12 = (1 + i)

Como a questão não nos informou o valor de 1,00812, podemos, sem precisarfazer esta conta, concluir que a questão está errada pois para a taxa de jurosanual ser 9,6% deveríamos simplesmente multiplicar 0,8% por 12, mas não é issoque se deve fazer para encontrar a taxa equivalente, já que estamos no regime decapitalização composta. Portanto, o item está errado.

(Texto para as questões 06 e 07) Um capital de R$ 8.000,00, aplicado por 12meses em uma instituição financeira que paga juros compostos mensais,rende, ao final desse período, R$ 400,00. Considerando essa situação e 1,004como valor aproximado de 1,051/12, julgue os itens a seguir.

06 - (PC/ES – 2010 / CESPE) A taxa nominal anual paga pela instituição nessaaplicação é superior a 5%.

Solução:

Sabemos que o capital foi de R$ 8.000,00, o prazo foi de 12 meses e o juros foi deR$ 400,00. Assim, sabendo que M = C.(1 + i)n e que M = C + J, temos:

C.(1 + i)n = C + J

8000.(1 + i)12 = 8000 + 400

8000.(1 + i)12 = 8400

(1 + i)12 =80008400

(1 + i)12 = 1,05

1 + i = 12 05,1

1 + i = (1,05)

1/12

1 + i = 1,004

i = 1,004 – 1

i = 0,004 = 0,4%

Bom, essa foi a taxa mensal efetiva. Assim, a taxa de juros nominal anual foi de:

0,4% x 12 = 4,8%



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07 - (PC/ES – 2010 / CESPE) A taxa efetiva anual nessa aplicação é inferior a5,2%.

Solução:

Bom sabendo que o juros foi de R$ 400,00, temos:

C.(1 + i)n = C + J

8000.(1 + i)1 = 8000 + 400

8000.(1 + i) = 8400

1 + i = 80008400

1 + i = 1,05

i = 1,05 – 1

I = 0,05 = 5% ao ano.

Portanto, o item está correto.

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Taxa de Juros Real e Aparente

Consideremos que um banco tenha oferecido uma determinada aplicaçãopagando uma taxa efetiva de 10% ao ano. Se no mesmo período for registradauma inflação da ordem de 6% ao ano, então diremos que a taxa de 10% ao anooferecida pelo banco não foi a taxa real de remuneração do investimento, masuma taxa aparente, pois os preços, no mesmo período, tiveram um aumento de6%.

Vamos imaginar o seguinte, João possui R$ 1.000,00 aplicado num banco quepromete pagar 10% de juros efetivos num período de um ano. No momento daaplicação a mensalidade da academia de João custava R$ 100,00, o que dariapara João pagar 10 mensalidades com o dinheiro que foi investido. Ao final de umano João poderá resgatar seu investimento acrescido dos juros pago pelo banco:

M = C.(1 + i)

M = 1000.(1 + 0,1)

M = 1000.(1,1)


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M = R$ 1.100,00

Caso não houvesse inflação, João poderia pagar 11 mensalidades de suaacademia com o valor resgatado de seu investimento (capital + juros). Aconteceque nesse período a inflação registrada foi de 6%, o que fez com que o valor damensalidade da academia de João subisse para R$ 106,00. Assim, no momentodo resgate João só poderá pagar:

1061100

= 10,377 mensalidades.

Assim, o ganho real da aplicação de João foi de apenas 0,377 mensalidade.

Podemos então batizar essas taxas da seguinte forma:

ii = taxa de inflaçãoiap = taxa de juros aparente

ir = taxa de juros real

A relação entre essas três taxas de juros é dada pela seguinte expressão:

(1 + iap) = (1 + ii) x (1 + ir)

Vamos calcular a taxa de juros real do nosso exemplo?

(1 + iap) = (1 + ii) x (1 + ir)

(1 + 10%) = (1 + 6%) x (1 + ir)

(1 + 0,1) = (1 + 0,06) x (1 + ir)

(1,1) = (1,06) x (1 + ir)

(1 + ir) =06,11,1

1 + ir = 1,0377

ir = 1,0377 – 1

ir = 0,0377

ir = 3,77 %

Bom, vamos ver umas questões para praticar:


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08 - (TRE/BA – 2009 / CESPE) Em um ano em que a taxa de inflação foi de6,2% ao ano, para ganhar 11% de juros reais, uma financeira deve cobrar ataxa nominal anual de 17,2% ao ano.

Solução:

Nessa questão, vamos aplicar diretamente a equação do juros real:

(1 + iap) = (1 + ii) x (1 + ir)

1 + iap = (1 + 6,2%) x (1 + 11%)

1 + iap = (1 + 0,062) x (1 + 0,11)1 + iap = (1,062) x (1,11)

1 + iap = (1,062) x (1,11)

1 + iap = 1,17882

iap = 1,17882 – 1

iap = 0,17882 = 17,882%


(Texto para a questão 09) Uma dívida de R$ 5.000,00 é paga, com juros reaisacrescidos da taxa de inflação do período, por R$ 5.670,00. Nessa situação,sabendo que o produto das taxas de juros reais e de inflação é 0,004, julgueo item que se segue.

09 - (PC/ES – 2010 / CESPE) A soma da taxa de juros reais com a taxa deinflação é inferior a 13,1%.

Solução:

Sabemos que:

(1 + iap) = (1 + ii) x (1 + ir)

Além disso, foi dito que:

Uma dívida de R$ 5.000,00 é paga, com juros reais acrescidos da taxa deinflação do período, por R$ 5.670,00


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M = C.(1 + iap)n

5670 = 5000.(1 + iap)1

(1 + iap) = 50005670

1 + iap = 1,134

iap = 1,134 – 1 = 0,134 = 13,4%

Assim, temos:

(1 + iap) = (1 + ii) x (1 + ir)

1 + 0,134 = 1 + ir + ii + ii.ir 1,134 = 1 + ii + ir + 0,004

1,134 = 1,004 + ii + ir

ii + ir = 1,134 – 1,004

ii + ir = 0,13 = 13%


(Texto para a questão 10) Considerando que determinado agente financeiroofereça empréstimos à taxa de juros compostos de 4% ao mês e que 1,17seja valor aproximado para 1,044, julgue o item a seguir.

10 - (TCE/ES – 2012 / CESPE) Se a taxa de inflação acumulada de janeiro aabril de determinado ano for de 3%, um empréstimo tomado no início dejaneiro para ser liquidado no final de abril desse ano estará sujeito a umataxa de juros real superior a 14%.

Solução:

Bom, sabendo que a taxa de juros compostos foi de 4% ao mês, podemosencontrar a taxa de juros aparente no período de 4 meses:

C.(1 + iap)1 = C.(1 + 4%)4

1 + iap = (1,04)4

1 + iap

= 1,17


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iap = 1,17 – 1

iap = 0,17

Com isso, temos:

(1 + iap) = (1 + ii) x (1 + ir)

(1 + 0,17) = (1 + 0,03) x (1 + ir)

1,17 = (1,03) x (1 + ir)

1,17 = 1,03 + 1,03.ir

1,17 – 1,03 = 1,03.ir

1,03.ir = 0,14

ir =03,114,0

ir = 0,1359 = 13,59%


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2 – Descontos

Desconto é o abatimento que se obtém no valor de uma dívida quando ela é pagaantes da data do seu vencimento. Vamos começar estudando o desconto simples.

Desconto simples

O desconto simples se refere ao desconto calculado com base no regime decapitalização simples, ou seja, utilizando juros simples. Basicamente existem doistipos de desconto simples, o desconto comercial simples e o desconto racionalsimples. Antes de estudarmos esses dois tipos de desconto, vejamos algunsconceitos fundamentais para o entendimento deste assunto.

O documento que atesta a dívida é denominado genericamente por título decrédito. São exemplos de títulos de crédito as notas promissórias, as duplicatas eas letras de câmbio.

Valor nominal, ou valor de face é o valor do título de crédito, ou seja, aquele que

está escrito no título e que seria pago na data de vencimento do título.


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Valor líquido é o valor pelo qual o título acabou sendo negociado antes da data deseu vencimento. Esse valor líquido é sempre inferior ao valor nominal, pois o títulosofreu um desconto.

O valor líquido também é chamado de valor atual, valor descontado ou valor pago.

O prazo de antecipação é o intervalo de tempo entre a data em que o título énegociado e a data de vencimento do mesmo.

O desconto sempre é a diferença entre o valor nominal e o valor líquido.

Vejamos agora os dois tipos de desconto simples:

• Desconto comercial simples (ou desconto por fora) – É o descontocalculado com base no valor nominal do título de crédito

• Desconto racional simples (ou desconto por dentro) – É o descontocalculado com base no valor líquido do título de crédito

Vamos ver um exemplo para entendermos melhor a diferença entre os dois tiposde desconto:

Exemplo1: Marcos tomou uma quantia emprestada no banco para ser paga daquia três meses. O valor a ser pago era de R$ 1.000,00. Acontece que Marcosconseguiu um trabalho extra e um mês após contrair a dívida ele já dispunha dosR$ 1.000,00 que devia ao banco. Assim, Marcos se dirigiu ao banco e propôs

saldar sua dívida com desconto. O banco aceitou e ainda deu a Marcos a opçãode escolher entre o desconto racional simples e o desconto comercial simples.Qual desconto Marcos deve optar sabendo que a taxa de juros fixada noempréstimo era de 2% ao mês?

Bom, inicialmente vamos calcular os dois descontos e verificar qual o maior deles.Comecemos com o desconto comercial simples. Vimos que este desconto écalculado com base no valor nominal do título. Assim, temos:

D = Vn.i.n, onde Vn é o valor nominal do título

D = 1000.2%.2

D = 1000.0,02.2

D = 1000.0,04

D = R$ 40,00

Agora, o vamos calcular o desconto racional simples:

D = Vl.i.n, onde Vl é o valor líquido do título


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O problema aqui é que temos que calcular primeiro o valor líquido do título. Estevalor equivale ao capital que aplicado a taxa de juros do empréstimo resulta nomontante equivalente ao valor nominal do título:

Vn = Vl.(1 + i.n)

Vl =)n.i1(

Vn+

Assim, podemos calcular o desconto racional simples:

D = Vl.i.n

D =)n.i1(

Vn+

.i.n

D =)2%.21(

1000+

.2%.2

D =)2.02,01(

1000+

.0,02.2

D =)04,01(

1000+

.0,04

D =)04,1(

1000.0,04

D = R$ 38,46

Por tanto, o desconto comercial simples produz um valor maior do que o descontoracional simples.

Assim, podemos resumir esses dois tipos de desconto simples:

Dracional simples = Vl.i.n, onde Vl é o valor líquido do título

Dcomercial simples = Vn.i.n, onde Vn é o valor nominal do título

D = Vn – Vl (aqui vale para os dois tipos de desconto)

Vn = Vl.(1 + i.n)


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Desconto composto

O desconto composto se refere ao desconto calculado com base no regime decapitalização composta, ou seja, utilizando juros compostos. Basicamente existemdois tipos de desconto composto, o desconto comercial composto e o descontoracional composto. Aqui os conceitos são bastante semelhantes aos conceitosvistos no regime de capitalização simples. A diferença básica é o próprio regimede capitalização.

• Desconto comercial composto – É o desconto calculado com base no valornominal do título de crédito no regime de juros compostos

• Desconto racional composto – É o desconto calculado com base no valorlíquido do título de crédito no regime de juros compostos

Vamos ver um exemplo para entendermos melhor a diferença entre os dois tiposde desconto:

Exemplo2: Marcos tomou uma quantia emprestada no banco para ser paga daquia três meses. O valor a ser pago era de R$ 1.000,00. Acontece que Marcosconseguiu um trabalho extra e um mês após contrair a dívida ele já dispunha dosR$ 1.000,00 que devia ao banco. Assim, Marcos se dirigiu ao banco e propôssaldar sua dívida com desconto. O banco aceitou e ainda deu a Marcos a opçãode escolher entre o desconto racional composto e o desconto comercial composto.Qual desconto Marcos deve optar sabendo que a taxa de juros fixada noempréstimo era de 2% ao mês?

Vamos começar calculando o desconto comercial composto

D = Vn – Vl (esta equação vale para qualquer tipo de desconto)

Como o regime é de juros compostos, o valor de Vl é dado pelo valor de Vnreduzido da taxa de juros nesse período:

Vl = Vn.(1 – i)n

Assim, podemos calcular o desconto comercial composto:

D = Vn – Vl

D = Vn – Vn.(1 – i)n

D = 1000 – 1000.(1 – 2%)2

D = 1000 – 1000.(1 – 0,02)2

D = 1000 – 1000.(0,98)2

D = 1000 – 1000.(0,9604)


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D = 1000 – 960,4

D = R$ 39,60

Agora, vamos calcular o desconto racional composto:

D = Vn – Vl (esta equação vale para qualquer tipo de desconto)

Agora, como o desconto é racional, podemos entender que o valor atual éequivalente ao capital aplicado a juros compostos que resultaria no montanteequivalente ao valor nominal:

Vn = Vl.(1 + i)n

Vl = n)i1( Vn+

Assim, podemos calcular o desconto racional composto:

D = Vn – Vl

D = Vn –n)i1(

Vn+

D = 1000 – 2%)21( 1000+

D = 1000 –2)02,01(

1000+

D = 1000 –2)02,1(

1000

D = 1000 – )0404,1(1000

D = 1000 – 961,17

D = R$ 38,83

Portanto, o desconto comercial composto foi maior que o desconto racionalcomposto.

Vamos resumir o que vimos para desconto composto:


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D = Vn – Vl (vale para todos os tipos de desconto)

Vl =n

)i1(

Vn++++

(vale apenas para desconto racional composto)

Vl = Vn.(1 – i)n (vale apenas para desconto comercial composto)

Bom, de teoria por hoje já está bom. Vamos ver mais umas questões do Cespe:

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(Texto para as questões 11 a 15) Um título de valor nominal igual aR$ 24.000 foi descontado 4 meses antes do vencimento, à taxa de desconto

de 5% ao mês.

Admitindo-se que (1 – 0,05)4 = 0,81 e que 405,1000.24

= 19.744,86, é correto

afirmar que, se for usado o desconto

11 - (CGE-PB – 2008 / CESPE) racional simples (por dentro), então o valor dodesconto será superior a R$ 4.200.

Solução:

Para calcular o desconto racional simples, vamos primeiro encontrar o valor líquidodo título:

Vn = Vl.(1 + i.n)

24000 = Vl.(1 + 0,05.4)

24000 = Vl.(1 + 0,2)

24000 = Vl.(1,2)

Vl =2,1

24000

Vl = 20000

Assim, o desconto racional simples fica:

D = Vl.i.n

D = 20000.0,05.4


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D = R$ 4.000,00


12 - (CGE-PB – 2008 / CESPE) comercial simples (por fora), então o valor dodesconto será inferior a R$ 4.700.

Solução:

Bom, o desconto comercial simples incide diretamente sobre o valor nominal dotítulo. Assim:

D = Vn.i.n

D = 24000.0,05.4D = R$ 4.800,00


13 - (CGE-PB – 2008 / CESPE) comercial simples, então a taxa efetiva daoperação será superior a 6%.

Solução:

Vimos que o desconto comercial simples foi de R$ 4.800,00. Assim, podemosencontrar o valor líquido do título:

D = Vn – Vl

Vl = Vn – D

Vl = 24000 – 4800

Vl = R$ 19.200,00

Assim, a taxa efetiva foi:

24000 = 19200.(1 + i.4)

(1 + i.4) =1920024000

1 + 4.i = 1,25

4.i = 1,25 – 1


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4.i = 0,25

i =425,0

i = 0,0625 = 6,25%


14 - (CGE-PB – 2008 / CESPE) racional composto, então o valor do descontoserá superior a R$ 4.300.

Solução:

Agora, vamos calcular o desconto racional composto:D = Vn – Vl

D = Vn –n)i1(

Vn+

D = 24000 –4)05,01(

24000+

D = 24000 – 4)05,1(24000

D = 24000 – 19744,86

D = R$ 4.255,14


15 - (CGE-PB – 2008 / CESPE) comercial composto, então o valor dodesconto será superior a R$ 4.500.

Solução:

Agora, calculamos o desconto comercial composto:

D = Vn – Vl

D = Vn – Vn.(1 – i)n

D = 24000 – 24000.(1 – 0,05)4


20/46

D = 24000 – 24000.(0,81)

D = 24000 – 19440

D = R$ 4.560,00


__________________________________________________________________

Mais uma bateria de questões envolvendo todo o assunto da aula de hoje:

(Texto para a questão 16) Considerando 1,60 e 1,265, respectivamente, comovalores aproximados para 1,0412 e 1,601/2, julgue o item abaixo, a respeito deequivalência de taxas de juros.

16 - (STF – 2008 / CESPE) A taxa de juros compostos, nominal, anual, comcapitalização semestral que é equivalente à taxa de juros compostos,nominal, anual, de 48% com capitalização mensal é inferior a 50%.

Solução:

Nessa questão, temos uma taxa de juros com capitalização semestral e outra comcapitalização mensal que são equivalentes. Assim, temos:

M1 = C.(1 + i1)n1

M2 = C.(1 + i2)n2

Sabendo que M1 = M2, temos:

C.(1 + i1)n1 = C.(1 + i2)

n2

(1 + i1)2 = (1 +

12%48

)12

(1 + i1)2 = (1 + 4%)12

(1 + i1)2 = (1 + 0,04)12

(1 + i1)2 = (1,04)12

(1 + i1)2 = 1,6

1 + i1 = 6,1

1 + i1 = 1,61/2

1 + i1 = 1,265


21/46

i1 = 1,265 – 1

i1 = 0,265 = 26,5% ao semestre de taxa efetiva, ou 2 x 26,5% = 53% ao ano detaxa nominal capitalizada semestralmente. Portanto, item errado.

(Texto para a questão 17) Um investidor aplicou R$ 20.000,00, por dozemeses, em uma instituição financeira que pratica a taxa nominal anual dejuros de 24%. Nessa situação, sabendo que a capitalização foi mensal e nosistema de juros compostos, e considerando 1,2682 como valor aproximadopara 1,0212, julgue o item subsequente.

17 - (STM – 2010 / CESPE) O capital renderia o mesmo montante, no mesmoperíodo, se fosse aplicado a uma taxa de juros simples mensais inferior a2,2%.

Solução:

Primeiramente, vamos calcular o montante resultante da aplicação a juroscompostos. Sabendo que a taxa nominal anual foi de 24% e que a capitalizaçãofoi mensal, podemos chegar a conclusão que sua taxa de juros efetiva mensal foi

de12

%24 = 2% ao mês.

M = C.(1 + i)n

M = C.(1 + 0,02)12

M = C.(1,02)12

M = C.(1,2682)

M = 1,2682.C

Bom, agora resta calcular qual a taxa de juros simples mensal que resulta nessemontante:

M = C.(1 + i.n)

1,2682.C = C.(1 + i.12)

1,2682 = 1 + 12.i

12.i = 1,2682 – 1

12.i = 0,2682

i = 122682,0


22/46

i = 0,02235 = 2,235 %


18 - (SERPRO – 2008 / CESPE) Tomando 1,05 como valor aproximado de

12

1

8,1 , então a taxa efetiva de 80% ao ano corresponde a uma taxa nominalanual de 64% com capitalização mensal.

Solução:

Nessa questão devemos verificar se uma taxa de juros efetiva de 80% ao anocorresponde a uma taxa nominal de 64% ao ano com capitalização mensal. Assim,podemos encontrar a taxa mensal que corresponde aos 64% ao ano de taxanominal e em seguida verificar se essa taxa corresponde a 80% de taxa anualefetiva.

Taxa mensal =12

%64 =

316

%

M1 = C.(1 +3

16%)12

M2 = C.(1 + 80%)1

Fazendo M1 = M2, temos:

C.(1 +3

16%)12 = C.(1 + 80%)1

(1 +3

16%)12 = (1,8)

1 +3

16% = 12 8,1

1 +3

16% = 12

1

8,1

1 +3

16% = 1,05

316

% = 1,05 – 1


23/46

316

% = 0,05

16% = 0,15

16% = 15%


(Texto para as questões 19 e 20) Considerando que um empréstimo deR$ 3.000,00 tenha sido contratado junto a uma financeira, para ser quitadoem um ano, e que 1,51 e 1,04 sejam os valores aproximados de 1,03512 e1,601/12, respectivamente, julgue os itens que se seguem.

19 - (STF – 2008 / CESPE) Se a taxa de juros nominal anual desse contratofor de 42% e se a capitalização for mensal, a juros compostos, a dívida aofinal do período será superior a R$ 4.000,00.

Solução:

Se a taxa de juros nominal anual é de 42% com capitalização mensal, então ataxa efetiva mensal é de:

12%42

= 3,5% ao mês

Assim, podemos calcular o montante ao final do período:

M = C.(1 + i)n

M = 3000.(1 + 3,5%)12

M = 3000.(1 + 0,035)12

M = 3000.(1,035)12

M = 3000.(1,51)

M = R$ 4.530,00


20 - (STF – 2008 / CESPE) Se o montante da dívida ao final do período for deR$ 4.800,00, então a taxa de juros compostos nominal anual, com

capitalização mensal, será inferior a 50%.


24/46

Solução:

Nessa questão, vamos encontrar primeiramente a taxa efetiva mensal:

M = C.(1 + i)n

4800 = 3000.(1 + i)12

(1 + i)12 =30004800

(1 + i)12 = 1,6

1 + i = 12 6,1

1 + i = 1,61/12

1 + i = 1,04

i = 1,04 – 1

i = 0,04 = 4%

Portanto, a taxa anual nominal é igual a 4% x 12 = 48% ao ano. Item correto.

(Texto para as questões 21 e 22) Um capital de R$ 8.000,00 foi aplicado emuma instituição financeira que paga além dos juros reais, a taxa de inflaçãodo período, as quais somaram 45%, sendo que a taxa de juros reais foisuperior à taxa de inflação. Sabendo que o montante ao final do período deaplicação foi de R$ 12.000,00, julgue os itens subsequentes.

21 - (PC/ES – 2010 / CESPE) A taxa de juros reais paga no período daaplicação foi superior a 24%.

Solução:

Bom, podemos inicialmente encontrar a taxa de juros aparente:

M = C.(1 + iap)n

12000 = 8000.(1 + iap)1

(1 + iap) =8000

12000

1 + iap = 1,5

iap = 1,5 – 1


25/46

iap = 0,5 = 50%

Também foi dito na questão que a taxa de juros real e a taxa de inflação somaram45%:

ir + ii = 45%

ii = 0,45 – ir

Por fim, sabemos que:

(1 + iap) = (1 + ii) x (1 + ir)

(1 + 0,5) = (1 + 0,45 – ir) x (1 + ir)

1,5 = (1,45 – ir) x (1 + ir)

1,5 = 1,45 + 1,45.ir – ir – ir2

1,5 – 1,45 = 0,45.ir – ir2

ir2 – 0,45.ir +0,05 = 0

Resolvendo a equação dos segundo grau, temos:

ir =)1.(2

)05,0).(1.(4)45,0()45,0( 2 −−±−−

ir =2

)2,02025,0(45,0 −±

ir =2

)0025,0(45,0 ±

ir =2

05,045,0 ±

ir =2

05,045,0 + =

25,0

= 0,25 = 25%

ou

ir =2

05,045,0 − =

24,0

= 0,2 = 20%

Para ir = 0,25, temos:

ii = 0,45 – ir


26/46

ii = 0,45 – 0,25

ii = 0,2


ii = 0,45 – ir

ii = 0,45 – 0,2

ii = 0,25

Como foi dito que a taxa real de juros pagos pela instituição foi superior a taxa deinflação, concluímos que a taxa de juros real foi de 0,25 ou 25% e a taxa de

inflação foi de 0,2 ou 20%. Item correto.

22 - (PC/ES – 2010 / CESPE) A taxa de inflação no período foi inferior a 18%.

Solução:

Vimos na questão anterior que a taxa de inflação foi de 20%. Portanto, o item estáerrado.

23 - (SERPRO – 2008 / CESPE) Considerando que, em certo período, umainstituição financeira pagou taxas de juros reais que, somados à taxa deinflação do período, deram um total de 50%, se um capital de R$ 1.000,00aplicado nessa instituição, nesse período, resultou em um montante deR$ 1.560,00 e se, nesse período, a taxa de inflação foi inferior à taxa real dejuros pagos pela instituição, então a taxa de inflação do período foi superiora 18%.

Solução:

Foi dito na questão que:

taxas de juros reais que, somados à taxa de inflação do período, deram umtotal de 50%

ir + ii = 50%

ii = 0,5 – ir

Além disso, foi dito que:

um capital de R$ 1.000,00 aplicado nessa instituição, nesse período, resultou

em um montante de R$ 1.560,00


27/46

M = C.(1 + iap)n

1560 = 1000.(1 + iap)1

10001560 = (1 + iap)

1 + iap = 1,56

iap = 0,56

Assim, sabendo que (1 + iap) = (1 + ii) x (1 + ir), temos:

(1 + iap) = (1 + ii) x (1 + ir)

(1 + 0,56) = (1 + 0,5 – ir) x (1 + ir)

(1,56) = (1,5 – ir) x (1 + ir)

(1,56) = 1,5 + 1,5.ir – ir – ir2

1,56 – 1,5 = 0,5.ir – ir2

ir2 – 0,5.ir + 0,06 = 0

Resolvendo a equação dos segundo grau, temos:

ir =)1.(2

)06,0).(1.(4)5,0()5,0( 2 −−±−−

ir =2

24,025,05,0 −±

ir =

2

01,05,0 ±

ir =2

1,05,0 ±

ir =2

1,05,0 + =

26,0

= 0,3

ou

ir =2

1,05,0 − =

24,0

= 0,2



28/46

ii = 0,5 – ir

ii = 0,5 – 0,3

ii = 0,2


ii = 0,5 – ir

ii = 0,5 – 0,2

ii = 0,3

Como foi dito que a taxa de inflação foi inferior à taxa real de juros pagos pelainstituição, concluímos que a taxa de juros real foi de 0,3 ou 30% e a taxa deinflação foi de 0,2 ou 20%. Item correto.

(Texto para as questões 24 e 25) Considere que R$ 4.000,00 sejam investidosem uma instituição financeira, por determinado período, no qual a taxa deinflação seja de 25%. Em face dessas considerações, julgue os itens aseguir.

24 - (STF – 2008 / CESPE) Se o montante obtido com esse investimento, ao

final do período, for de R$ 6.000,00, então a instituição financeira pagará,nesse período, juros reais superiores a 24%.

Solução:

Vamos primeiramente calcular a taxa de juros aparente:

M = C.(1 + iap)n

6000 = 4000.(1 + iap)1

(1 + iap) =40006000

1 + iap = 1,5

iap = 1,5 – 1

iap = 0,5 = 50%

Assim, resta calcular a taxa de juros real:

(1 + iap) = (1 + ii) x (1 + ir)


29/46

(1 + 0,5) = (1 + 0,25) x (1 + ir)

(1,5) = (1,25) x (1 + ir)

(1 + ir) =25,15,1

1 + ir = 1,2

ir = 1,2 – 1

ir = 0,2 = 20%


25 - (STF – 2008 / CESPE) Se a instituição financeira pagar juros reais de 30%no período considerado, então o montante, ao final desse período, seráinferior a R$ 6.400,00.

Solução:

Agora nós temos a taxa de inflação e a taxa de juros real. Vamos primeiramentecalcular a taxa de juros aparente:

(1 + iap) = (1 + 0,25) x (1 + 0,3)

(1 + iap) = (1,25) x (1,3)

1 + iap = 1,625

iap = 1,625 – 1

iap = 0,625

Bom, agora podemos calcular o montante:

M = C.(1 + iap)n

M = 4000.(1 + 0,625)1

M = 4000.(1,625)

M = R$ 6.500,00



30/46

26 - (ANTAQ – 2009 / CESPE) De acordo com o Instituto Brasileiro deGeografia e Estatística, a inflação medida pelo índice de preços aoconsumidor amplo fechou 2008 com alta de 5,9%. Se, ao final desse ano, asempresas de transporte hidroviário tivessem reajustado seus preços em10%, na média, poder-se-ia dizer que o setor obteve, no período, um ganhoreal inferior a 4%.

Solução:

Nessa questão nós temos a taxa de inflação de 5,9%, a taxa aparente de 10% equeremos saber a taxa real:

(1 + iap) = (1 + ii) x (1 + ir)

(1 + 10%) = (1 + 5,9%) x (1 + ir)

1 + 0,1 = (1 + 0,059) x (1 + ir)

1,1 = (1,059) x (1 + ir)

1 + ir =059,1

1,1

1 + ir = 1,0387

ir = 1,0387 – 1

ir = 0,0387

ir = 3,87%


27 - (MPU – 2010 / CESPE) Se a expectativa de inflação for de 4,5% ao ano ese os agentes do mercado exigem uma taxa de juros reais de 4% ao ano,então, a taxa aparente de juros deverá ser de 8,68% ao ano.

Solução:

Nessa questão, temos:

(1 + iap) = (1 + ii) x (1 + ir)

(1 + iap) = (1 + 4,5%) x (1 + 4%)

(1 + iap) = (1 + 0,045) x (1 + 0,04)

1 + iap = (1,045) x (1,04)


31/46

1 + iap = 1,0868

iap = 1,0868 – 1

iap = 0,0868

iap = 8,68%


28 - (MPU – 2010 / CESPE) Considere que uma aplicação financeira deR$ 70.000,00 tenha sido resgatada no montante de R$ 77.000,00 após 30 dias.Supondo-se que a inflação tenha atingido a taxa de 2% nesse período,

conclui-se, então, que a taxa de juros reais foi superior a 8% no referidoperíodo.

Solução:

Primeiramente, vamos calcular a taxa de juros aparente:

M = C.(1 + iap)n

77000 = 70000.(1 + iap)

1 + iap = 7000077000

1 + iap = 1,1

iap = 1,1 – 1

iap = 0,1 = 10%

Assim, podemos calcular a taxa de juros real sabendo que a inflação foi de 2%:

(1 + iap) = (1 + ii) x (1 + ir)

(1 + 0,1) = (1 + 0,02) x (1 + ir)

(1,1) = (1,02) x (1 + ir)

(1 + ir) =02,11,1

1 + ir = 1,0784

ir = 1,0784 – 1


32/46

ir = 0,0784 = 7,84%


29 - (MPU – 2010 / CESPE) Considere que em uma operação contratada por30 dias, a taxa aparente de juros foi de 3% no período, e a inflação atingiu, nomesmo período, 0,6%. Nessa situação, para se calcular a taxa de juros reaisdessa operação, subtrai-se a taxa de inflação da taxa aparente de juros, oque resulta em exatos 2,4% de juros reais no referido período.

Solução:

Nessa questão nós não precisamos fazer conta alguma, pois sabemos que a

relação entre estas taxas de juros não é tão simples assim. De qualquer forma,vamos calcular a taxa real de juros:

(1 + iap) = (1 + ii) x (1 + ir)

(1 + 0,03) = (1 + 0,006) x (1 + ir)

(1,03) = (1,006) x (1 + ir)

(1 + ir) =006,103,1

1 + ir = 1,0238

ir = 1,0238 – 1

ir = 0,0238 = 2,38%


30 - (ANTAQ – 2009 / CESPE) Desconto racional é aquele valor que se obtémpelo cálculo do juro simples sobre o valor nominal do compromisso que sejasaldado n períodos antes de seu vencimento.

Solução:

Vimos que o desconto racional é baseado no valor líquido (ou valor atual) do título,e não no valor nominal do título. Item errado.

(Texto para as questões 31 e 32) Um comerciante dispõe, hoje, de

R$ 10.000,00 para pagamento de um título em um banco que usa taxa dejuros nominal de 60% ao ano, para desconto racional composto, e taxa de


33/46

juros compostos igual a 5% ao mês, para remuneração de um fundo deinvestimentos próprio. O valor nominal do referido título é de R$ 11.025,00,com vencimento daqui a 4 meses.

Com relação à situação apresentada, julgue os itens a seguir, tomando1,2155 como valor aproximado para 1,054.

31 - (ANTAQ – 2009 / CESPE) Os R$ 10.000,00 em posse do comerciante nãosão suficientes para o pagamento do título hoje.

Solução:

Aplicando o desconto racional composto, devemos calcular o valor líquido do títulohoje. Para isso, apesar de a questão não informar, deveríamos supor que a

capitalização é mensal, o que nos dá uma taxa efetiva de 12%60 = 5% ao mês:

Vn = Vl.(1 + i)4

11025 = Vl.(1 + 5%)4

Vl =4)05,01(

11025+

Vl = 4)05,1(11025

Vl =2155,1

11025

Vl = 9070,34

Portanto, como o valor líquido é inferior aos R$ 10.000,00 que o comerciantepossui hoje, concluímos que o item está errado.

32 - (ANTAQ – 2009 / CESPE) Se fosse adotado pelo banco o descontocomercial simples, então o título poderia ser pago hoje com desconto maiorque R$ 2.000,00.

Solução:

Para um desconto comercial simples, temos:

D = Vn.i.n


34/46

D = 11025.60%.124

D = 11025.0,6.

3

1

D = 11025.0,2

D = R$ 2.205,00


(Texto para as questões 33 a 38) A respeito de descontos, julgue os itensque se seguem.

33 - (MPU – 2009 / CESPE) Considere que um título no valor deR$ 1.157.625,00 será descontado (desconto racional composto) três mesesantes do seu vencimento à taxa de 5% ao mês. Nessa situação, essedesconto será superior a R$ 180.000,00.

Solução:

Temos um desconto racional composto. Assim:

D = Vn – Vl

D = Vn –n)i1(

Vn+

D = 1157625 –3%)51(

1157625+

D = 1157625 –3)05,01(

1157625+

D = 1157625 –3)05,1(

1157625

D = 1157625 –157625,1

1157625

D = 1157625 – 1000000

D = 157625



35/46

34 - (MPU – 2009 / CESPE) O desconto racional composto de um título comum mês para o vencimento, obtido com a utilização da taxa de 5% ao mês, émetade do valor daquele que se obtém ao se aplicar, para o mesmo título, ataxa de 10% ao mês.

Solução:

Bom, agora devemos comparar o desconto racional composto a uma taxa de 5%ao mês e outro a taxa de 10 % ao mês. Vejamos:

D1 = Vn – Vl1 = Vn – n1)i1(

Vn+

D2 = Vn – Vl2 = Vn – n2 )i1(

Vn+

Queremos saber se para i1 = 5% e i2 = 10%, D2 = 2.D1.

2.[Vn –n

1)i1(Vn+

] = Vn –n

2 )i1(Vn+

2.Vn – 2.1)05,01(

Vn+

= Vn –1)1,01(

Vn+

2.Vn – 2.)05,1(

Vn = Vn –

)1,1(Vn

2.Vn – Vn = 2.)05,1(

Vn –

)1,1(Vn

Vn = Vn.()05,1(

2 –

)1,1(1

)

1 =)05,1(

2 –

)1,1(1

1 =155,1

05,12,2 −

1 =155,115,1

1 = 0,99567


36/46


35 - (MPU – 2009 / CESPE) Suponha que sobre o preço de catálogo de umproduto tenha sido oferecido desconto de 15% e, sobre o valor resultante,mais um desconto de 10%. Nessa situação, com relação ao preço decatálogo do produto, o comprador pagou um preço 25% menor.

Solução:

Aqui temos inicialmente um desconto comercial simples sobre o preço (P) docatálogo:

D = Vn.i.n

D = P.0,15.1

D = 0,15.P

Como D = Vn – Vl, temos

0,15.P = P – Vl

Vl = P – 0,15.P

Vl = 0,85.PAgora, teremos mais um desconto comercial simples em relação ao valor obtidoapós o primeiro desconto:

D = Vn.i.n

D = 0,85.P.0,1.1

D = 0,085.P

Assim,

D = Vn – Vl

Vl = Vn – D

Vl = 0,85.P – 0,085.P

Vl = 0,765.P

Portanto, comparando com o preço do catálogo o comprador pagou um preço

1 – 0,765 = 0,235 = 23,5% menor. Item errado.


37/46

36 - (MPU – 2009 / CESPE) Considere que um desconto simples de 25% tenhasido aplicado sobre o valor de uma duplicata com prazo de um ano para ovencimento. Nessa situação, a taxa de juros efetiva dessa operação foisuperior a 30% ao ano.

Solução:

Nessa questão, devemos calcular o valor do desconto comercial simples de 25%aplicado sobre o valor nominal do título e em seguida calcular qual a taxa de jurosque aplicada ao valor presente resulta no valor nominal do título:

D = Vn.i.n

D = Vn.0,25.1D = 0,25.Vn

Agora, calculamos o valor líquido do título:

D = Vn – Vl

0,25.Vn = Vn – Vl

Vl = Vn – 0,25.Vn

Vl = 0,75.Vn

Por fim, devemos calcular qual a taxa de juros que aplicada ao capital 0,75.Vnresulta em Vn:

Vn = 0,75.Vn.(1 + i.n)

1 + i =Vn.75,0

Vn

1 + i = 1,333

i = 1,333 – 1

i = 0,333 = 33,3%


37 - (MPU – 2009 / CESPE) Para cobrar juros de 100% efetivos no período,

basta aplicar um desconto simples de 50% sobre o valor do título.


38/46

Solução:

Essa questão é semelhante à anterior. Vamos checar:

D = Vn.i.n

D = Vn.0,5.1

D = 0,5.Vn

Agora, calculamos o valor líquido do título:

D = Vn – Vl

0,5.Vn = Vn – Vl

Vl = Vn – 0,5.Vn

Vl = 0,5.Vn

Por fim, devemos calcular qual a taxa de juros que aplicada ao capital 0,5.Vnresulta em Vn:

Vn = 0,5.Vn.(1 + i.n)

1 + i =Vn.5,0

Vn

1 + i = 2

i = 2 – 1

i = 1 = 100,0%


38 - (MPU – 2009 / CESPE) Para um tomador de crédito que possui um títulocom um ano para o vencimento, um desconto simples à taxa de 20% ao anoé mais oneroso que um desconto racional à taxa de 20% ao ano.

Solução:

Aqui devemos comparar o desconto comercial simples (que o Cespe chamousimplesmente de desconto simples) e o desconto racional simples (que o Cespechamou simplesmente de desconto racional). Vejamos:

Dracional simples = )n.i1( Vn+ .i.n = )1.2,01( Vn+ .0,2.1 = 0,2. )2,1(Vn = 0,1667.Vn


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Dcomercial simples = Vn.i.n = Vn.0,2.1 = 0,2.Vn

Assim, o maior desconto é o desconto comercial simples (já tínhamos visto issoem nosso exemplo na parte teórica). Porém, na questão a pessoa possui um títulocom vencimento em um ano, mas deseja receber o valor antecipadamente comdesconto. Nesse caso, o desconto mais oneroso é o maior desconto, que é odesconto comercial simples. Item correto.


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3 - Exercícios comentados nesta aula

01 - (ANTAQ – 2009 / CESPE) Considere que um investidor dispõe deR$ 1.000,00 para aplicar no mercado financeiro e está diante de duas opções: aprimeira, um investimento de dois anos, com taxa de juros de 10,5% ao ano, nãocapitalizados, e a segunda, um investimento de um ano, com taxa de juros de 10%ao ano. Nessa situação hipotética, se o investidor optar pelo primeiro investimentoou aplicar no segundo, reinvestindo o total recebido por mais um ano, o resultadoserá o mesmo.

02 - (ANTAQ – 2009 / CESPE) Duas taxas de juros são efetivas se, consideradoso mesmo prazo de aplicação e o mesmo capital, for indiferente fazer a aplicaçãocom uma ou com outra taxa.

03 - (ANTAQ – 2009 / CESPE) Diferentemente do regime de juros simples, noregime de juros compostos, os juros são capitalizados.

04 - (Banco da Amazônia – 2009 / CESPE) Considerando 1,1 e 1,0489 comovalores aproximados de 1,0128 e 1,0124, respectivamente, é correto afirmar que ataxa anual de juros equivalente à taxa de juros compostos de 1,2% ao mês éinferior a 15%.

05 - (TRE/BA – 2009 / CESPE) Considere que um investidor tenha aplicadoR$ 120.000,00 no prazo de seis meses e tenha recebido R$ 6.100,00 de jurospelo investimento. Supondo que a financeira remunere as aplicações a juroscompostos capitalizados mensalmente a 8% e tomando 1,008 como valoraproximado de 6 05,1 é correto afirmar que a taxa de juros anual equivalente doinvestimento foi de 9,6%.

(Texto para as questões 06 e 07) Um capital de R$ 8.000,00, aplicado por 12meses em uma instituição financeira que paga juros compostos mensais, rende,ao final desse período, R$ 400,00. Considerando essa situação e 1,004 comovalor aproximado de 1,051/12, julgue os itens a seguir.

06 - (PC/ES – 2010 / CESPE) A taxa nominal anual paga pela instituição nessaaplicação é superior a 5%.

07 - (PC/ES – 2010 / CESPE) A taxa efetiva anual nessa aplicação é inferior a5,2%.


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08 - (TRE/BA – 2009 / CESPE) Em um ano em que a taxa de inflação foi de 6,2%ao ano, para ganhar 11% de juros reais, uma financeira deve cobrar a taxanominal anual de 17,2% ao ano.

(Texto para a questão 09) Uma dívida de R$ 5.000,00 é paga, com juros reaisacrescidos da taxa de inflação do período, por R$ 5.670,00. Nessa situação,sabendo que o produto das taxas de juros reais e de inflação é 0,004, julgue oitem que se segue.

09 - (PC/ES – 2010 / CESPE) A soma da taxa de juros reais com a taxa deinflação é inferior a 13,1%.

(Texto para a questão 10) Considerando que determinado agente financeiro

ofereça empréstimos à taxa de juros compostos de 4% ao mês e que 1,17 sejavalor aproximado para 1,044, julgue o item a seguir.

10 - (TCE/ES – 2012 / CESPE) Se a taxa de inflação acumulada de janeiro a abrilde determinado ano for de 3%, um empréstimo tomado no início de janeiro paraser liquidado no final de abril desse ano estará sujeito a uma taxa de juros realsuperior a 14%.

(Texto para as questões 11 a 15) Um título de valor nominal igual aR$ 24.000 foi descontado 4 meses antes do vencimento, à taxa de desconto de

5% ao mês.

Admitindo-se que (1 – 0,05)4 = 0,81 e que405,1

000.24 = 19.744,86, é correto afirmar

que, se for usado o desconto

11 - (CGE-PB – 2008 / CESPE) racional simples (por dentro), então o valor dodesconto será superior a R$ 4.200.

12 - (CGE-PB – 2008 / CESPE) comercial simples (por fora), então o valor dodesconto será inferior a R$ 4.700.

13 - (CGE-PB – 2008 / CESPE) comercial simples, então a taxa efetiva daoperação será superior a 6%.

14 - (CGE-PB – 2008 / CESPE) racional composto, então o valor do desconto serásuperior a R$ 4.300.


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15 - (CGE-PB – 2008 / CESPE) comercial composto, então o valor do descontoserá superior a R$ 4.500.

(Texto para a questão 16) Considerando 1,60 e 1,265, respectivamente, comovalores aproximados para 1,0412 e 1,601/2, julgue o item abaixo, a respeito deequivalência de taxas de juros.

16 - (STF – 2008 / CESPE) A taxa de juros compostos, nominal, anual, comcapitalização semestral que é equivalente à taxa de juros compostos, nominal,anual, de 48% com capitalização mensal é inferior a 50%.

(Texto para a questão 17) Um investidor aplicou R$ 20.000,00, por doze meses,em uma instituição financeira que pratica a taxa nominal anual de juros de 24%.

Nessa situação, sabendo que a capitalização foi mensal e no sistema de juroscompostos, e considerando 1,2682 como valor aproximado para 1,0212, julgue oitem subsequente.

17 - (STM – 2010 / CESPE) O capital renderia o mesmo montante, no mesmoperíodo, se fosse aplicado a uma taxa de juros simples mensais inferior a 2,2%.

18 - (SERPRO – 2008 / CESPE) Tomando 1,05 como valor aproximado de 121

8,1 ,então a taxa efetiva de 80% ao ano corresponde a uma taxa nominal anual de

64% com capitalização mensal.

(Texto para as questões 19 e 20) Considerando que um empréstimo deR$ 3.000,00 tenha sido contratado junto a uma financeira, para ser quitado em umano, e que 1,51 e 1,04 sejam os valores aproximados de 1,03512 e 1,601/12,respectivamente, julgue os itens que se seguem.

19 - (STF – 2008 / CESPE) Se a taxa de juros nominal anual desse contrato for de42% e se a capitalização for mensal, a juros compostos, a dívida ao final doperíodo será superior a R$ 4.000,00.

20 - (STF – 2008 / CESPE) Se o montante da dívida ao final do período for de R$4.800,00, então a taxa de juros compostos nominal anual, com capitalizaçãomensal, será inferior a 50%.

(Texto para as questões 21 e 22) Um capital de R$ 8.000,00 foi aplicado em umainstituição financeira que paga além dos juros reais, a taxa de inflação do período,as quais somaram 45%, sendo que a taxa de juros reais foi superior à taxa deinflação. Sabendo que o montante ao final do período de aplicação foi de

R$ 12.000,00, julgue os itens subsequentes.


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21 - (PC/ES – 2010 / CESPE) A taxa de juros reais paga no período da aplicaçãofoi superior a 24%.

22 - (PC/ES – 2010 / CESPE) A taxa de inflação no período foi inferior a 18%.

23 - (SERPRO – 2008 / CESPE) Considerando que, em certo período, umainstituição financeira pagou taxas de juros reais que, somados à taxa de inflaçãodo período, deram um total de 50%, se um capital de R$ 1.000,00 aplicado nessainstituição, nesse período, resultou em um montante de R$ 1.560,00 e se, nesseperíodo, a taxa de inflação foi inferior à taxa real de juros pagos pela instituição,então a taxa de inflação do período foi superior a 18%.

(Texto para as questões 24 e 25) Considere que R$ 4.000,00 sejam investidos emuma instituição financeira, por determinado período, no qual a taxa de inflaçãoseja de 25%. Em face dessas considerações, julgue os itens a seguir.

24 - (STF – 2008 / CESPE) Se o montante obtido com esse investimento, ao finaldo período, for de R$ 6.000,00, então a instituição financeira pagará, nesseperíodo, juros reais superiores a 24%.

25 - (STF – 2008 / CESPE) Se a instituição financeira pagar juros reais de 30% noperíodo considerado, então o montante, ao final desse período, será inferior a

R$ 6.400,00.

26 - (ANTAQ – 2009 / CESPE) De acordo com o Instituto Brasileiro de Geografia eEstatística, a inflação medida pelo índice de preços ao consumidor amplo fechou2008 com alta de 5,9%. Se, ao final desse ano, as empresas de transportehidroviário tivessem reajustado seus preços em 10%, na média, poder-se-ia dizerque o setor obteve, no período, um ganho real inferior a 4%.

27 - (MPU – 2010 / CESPE) Se a expectativa de inflação for de 4,5% ao ano e se

os agentes do mercado exigem uma taxa de juros reais de 4% ao ano, então, ataxa aparente de juros deverá ser de 8,68% ao ano.

28 - (MPU – 2010 / CESPE) Considere que uma aplicação financeira deR$ 70.000,00 tenha sido resgatada no montante de R$ 77.000,00 após 30 dias.Supondo-se que a inflação tenha atingido a taxa de 2% nesse período, conclui-se,então, que a taxa de juros reais foi superior a 8% no referido período.

29 - (MPU – 2010 / CESPE) Considere que em uma operação contratada por 30

dias, a taxa aparente de juros foi de 3% no período, e a inflação atingiu, no mesmo


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período, 0,6%. Nessa situação, para se calcular a taxa de juros reais dessaoperação, subtrai-se a taxa de inflação da taxa aparente de juros, o que resultaem exatos 2,4% de juros reais no referido período.

30 - (ANTAQ – 2009 / CESPE) Desconto racional é aquele valor que se obtémpelo cálculo do juro simples sobre o valor nominal do compromisso que sejasaldado n períodos antes de seu vencimento.

(Texto para as questões 31 e 32) Um comerciante dispõe, hoje, deR$ 10.000,00 para pagamento de um título em um banco que usa taxa de jurosnominal de 60% ao ano, para desconto racional composto, e taxa de juroscompostos igual a 5% ao mês, para remuneração de um fundo de investimentospróprio. O valor nominal do referido título é de R$ 11.025,00, com vencimento

daqui a 4 meses.Com relação à situação apresentada, julgue os itens a seguir, tomando 1,2155como valor aproximado para 1,054.

31 - (ANTAQ – 2009 / CESPE) Os R$ 10.000,00 em posse do comerciante nãosão suficientes para o pagamento do título hoje.

32 - (ANTAQ – 2009 / CESPE) Se fosse adotado pelo banco o desconto comercial

simples, então o título poderia ser pago hoje com desconto maior queR$ 2.000,00.

(Texto para as questões 33 a 38) A respeito de descontos, julgue os itens que seseguem.

33 - (MPU – 2009 / CESPE) Considere que um título no valor deR$ 1.157.625,00 será descontado (desconto racional composto) três meses antesdo seu vencimento à taxa de 5% ao mês. Nessa situação, esse desconto serásuperior a R$ 180.000,00.

34 - (MPU – 2009 / CESPE) O desconto racional composto de um título com ummês para o vencimento, obtido com a utilização da taxa de 5% ao mês, é metadedo valor daquele que se obtém ao se aplicar, para o mesmo título, a taxa de 10%ao mês.

35 - (MPU – 2009 / CESPE) Suponha que sobre o preço de catálogo de umproduto tenha sido oferecido desconto de 15% e, sobre o valor resultante, maisum desconto de 10%. Nessa situação, com relação ao preço de catálogo do

produto, o comprador pagou um preço 25% menor.


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36 - (MPU – 2009 / CESPE) Considere que um desconto simples de 25% tenhasido aplicado sobre o valor de uma duplicata com prazo de um ano para ovencimento. Nessa situação, a taxa de juros efetiva dessa operação foi superior a30% ao ano.

37 - (MPU – 2009 / CESPE) Para cobrar juros de 100% efetivos no período, bastaaplicar um desconto simples de 50% sobre o valor do título.

38 - (MPU – 2009 / CESPE) Para um tomador de crédito que possui um título comum ano para o vencimento, um desconto simples à taxa de 20% ao ano é maisoneroso que um desconto racional à taxa de 20% ao ano.


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4 - Gabaritos

01 - C02 - E03 - C04 - E05 - E06 - E07 - C08 - E09 - C10 - E11 - E12 - E

13 - C14 - E15 - C16 - E17 - E18 - E19 - C20 - C21 - C22 - E23 - C

24 - E25 - E26 - C27 - C28 - E29 - E30 - E31 - E32 - C33 - E34 - E

35 - E36 - C37 - C38 - C

Taxas de Juros Nominal, Efetiva, Equivalentes,

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