7/23/2019 Resumo Classificao de isometrias

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Classificacao de isometrias em R,R2 e R3

A finalidade deste texto e abordar, de maneira geral, a classificacao de isometrias no R,R2 eR3, ultilizando alguns conhecimentos previamente adquiridos sobre isometrias que independem

da dimensao do espaco base. Essas isometrias em espacos como oR

n

, sao a base para o estudode estruturas algebricas importantes, tais como grupos de simetrias de figuras geometricas ougrupos discretos de isometrias nesses espacos. Desse modo, este tema se faz importante emestudos e pesquisas envolvendo tais estruturas algebricas.

Considere o espaco euclidiano En de dimensao n munido de um sistema de coordenadascartesianas ortogonais. Tomando a bijecao natural : En Rn que associa a cada pontox En a suan-upla (x1, , xn) de coordenadas em R

n e, aproveitando a estrutura do Rn como produto interno usual, define-se uma metrica entre os pontos de En, dada pord(x, y) =||xy||sendox, y En e ||.|| a norma proveniente do produto interno usual do espaco vetorial Rn.

A partir de agora, a distancia entre x e y sera considerada por d(X, Y) com X, Y En,sendox X e y Y pela bijecao citada anteriormente.

Define-se por isometria uma aplicacao f : E

n

E

n

que preserva distancias, ou seja,d(X, Y) = d(f(X), f(Y)) para quaisquer X, Y En. E, a partir disso, pode-se demonstrar asafirmacoes abaixo:i) Toda isometria transforma hiperespacos em hiperespacos.ii) Toda isometria preserva medida de angulos.iii) Toda isometria e bijetora e sua inversa tambem e uma isometria.iv) A composicao de isometrias tambem e uma isometria.

Os resultados citados anteriormente, sao resultados classicos da isometria; e, o teorema aseguir, e um dos que mais diz respeito as isometrias.Teorema: Se A1, , An+1 E

n e f, g : En En sao isometrias tais quef(A1) =g(A1), , f(An+1) =g(An+1), entao f=g.

O proximo teorema e uma caracterizacao das isometrias emE

n

.Teorema: A aplicacao f : En En e uma isometria se, e somente se, f = h Tu sendoh: En En e um operador linear ortogonal e Tu : E

n En e uma translacao pelo vetor u .Um movimento em En e uma famlia de isometrias Ht : E

n En, t [0, 1] tal que, paracada P En, Ht(P) e contnua para 0 t 1.

Uma isometriaf : En En e ditapropria(preserva orientacao) quando existe um movimentoHt tal que H0 = id e H1 = f. Caso contrario, dizemos que f e impropria (nao preservaorientacao). Desse modo, a identidade id : En En e propria.

Considere agora E1 = R.A reflexao em torno de um ponto A R e a aplicacao RA : R R que associa cada ponto

X R com o seu simetrico X em relacao aA em R, isto e:

i) Se X=A, entao A e um ponto medio do segmentoX X

;ii) Se X=A, entao X =X.Logo, d(X, A) =d(A, X).A partir desta definicao, pode-se verificar os seguintes resultados:

1)Toda reflexao na reta e uma isometria em R.2)Se a isometria f : R Rpossui um ponto fixo A, entao f e uma funcao identidade ou f e areflexao em torno de A.3)Sejamf , g: R R isometrias. Se existir um ponto A Rtal que f(A) =g(A), entaof=gou f=g RA sendo RA: R R a reflexao em torno do ponto A.

Dados dois pontos distintos A, B R, define-se translacao pelo vetor u =AB, e denota-se

por Tu, a funcao que associa a cada ponto X, o ponto X, ou seja, o ponto medio do segmento

BX coincide com o ponto medio do segmento AX

. Desse modo, pode-se afirmar que todatranslacao na reta e uma isometria.Teorema: (Classificacao de isometrias na reta) Seja f : R R uma isometria na reta. Entao,f e a identidade ou f e a reflexao em torno de um ponto de Rou f e uma translacao.

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As isometrias na reta podem ser escritas sob forma analtica com o auxlio do sistema decoordenadas cartesiano ortogonal. As proposicoes abaixo fornecem tais formas.Proposicao: Se a e coordenada do ponto A R, entao a reflexao RA : R R corresponde afuncao a: R R, sendo a(x) = 2a x.

Proposicao: Se a e b sao respectivamente as coordenadas dos pontos A, B R com b = a + d,entao a translacao Tu : R R,

u =AB, corresponde a ab: R R, sendo ab(x) =x + d.

O proximo teorema fornece a classificacao das isometrias da reta quanto a preservacao deorientacao.Teorema: A identidade e as translacoes sao isometrias propriase as reflexoes sao improprias.

As proximas definicoes e afirmacoes serao a respeito de isometrias no plano.

Sejam A, B E2 pontos distintos. A translacao por u =AB, Tu : E

2 E2, e a aplicacao

que faz corresponder a cada ponto X E2 o ponto X E2 em queXX =

AB, ou seja,

d(X, X) = d(A, B), o segmento XX e paralelo ao segmento AB e o sentido de percursoXX coincide com o sentido A B (isto e, o ponto medio de X X e AB coincide).

Agora, seja r E2 uma reta. A reflexao em torno de r e a aplicacao Rr : E2 E2 que

associa a cada ponto X E2 o seu simetrico X em relacao a r em E2, isto e:i) Se Xr entao X =X;ii) Se X /r entao r e a mediatriz do segmento X X.

Logo, X X e perpendicular a r se, e sendo {A}= X X r, temos d(X, A) =d(A, X).A partir destas definicoes, proposicoes e teoremas, pode-se concluir que:

1)Toda translacao e uma isometria.2)Toda reflexao e uma isometria.

Sejam O E2 e a medida de um angulo AOB (AOB e orientado, isto e, o lado OA vemprimeiro que o lado OB). Arotacaode um angulo em torno de O e a aplicacaoO, : E

2 E2

que associa a cada pontoX E2, X=O, ao pontoX E2 satisfazendo as seguintes condicoes:i)d(O, X) =d(O, X);

ii) O angulo orientado XOX mede .Se X=O, O,(O) =O.

Da, prova-se que toda rotacao e uma isometria.A aplicacao GRr,u : E

2 E2 tal que GRr,u(X) =Tu Rr(X), X E2 e u //r, denomi-

namos reflexao com deslizamento (ou glissoreflexao) pela reta r E2 e o vetor u em E2.Teorema: (Classificacao de isometrias no plano) Existem somente quatro tipos de isometriasdiferentes da identidade no plano: translacoes, rotacoes, reflexoes e reflexoes com deslizamento.

Ultilizando as definicoes, teoremas e proposicoes pode-se verificar que:i) Reflexoes com deslizamento no plano sao isometrias.ii) Translacoes preservam orientacao.iii) Rotacoes preservam orientacao.

iv) As reflexoes nao preservam orientacao.v) Composta de isometrias que preservam orientacao tambem preserva a orientacao.vi) Composta de isometria que nao preserva orientacao com isometria que preserva orientacao,nao preserva orientacao.vii) Reflexoes com deslizamento nao preservam orientacao.

A partir de agora, todas as consideracoes serao feitas a respeito das isometrias no espaco.Dado um ponto A E3, a simetria em torno de A e a aplicacao SA : E

3 E3 que associaa cada ponto X E3, X= A, ao ponto X tal que A e o ponto medio do segmento XX. SeX=A, SA(X) =A.Toda simetria em torno de um ponto e uma isometria.

Seja E3 um plano. A reflexao em torno do plano e a aplicacao R : E3 E3 que

associa a cada ponto X E3 ao pontoX em que e o plano mediador do segmento X X, istoe:i) Se X, entao X =X;

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ii) Se X /, entao e plano mediador do segmento X X.Logo, X X e perpendicular a e, sendo {A}= X X

, temos d(X, A) =d(A, X).

Toda reflexao em torno de um plano e uma isometria.Toda reflexao em torno de um plano e uma isometria.

Sejam r uma reta e a medida do angulo AOB cujo vertice O pertence a r e cujos ladosestao sobre um plano perpendicular a r (AOB e orientado , isto e, o lado OA vem primeiro queo lado OB). A rotacao de um angulo em torno der e a aplicacaor,: E

3 E3 que associa oponto X E3 ao ponto X E3 satisfazendo as seguintes condicoes:i) X, plano que passa por Xe e perpendicular a r ;ii) Se O = r, tem-se d(O, X) =d(O, X);iii) Se X=O, O,(X) =O;

iv) Se X=O, o angulo orientado XOX mede .Toda rotacao em torno de uma reta e uma isometria.

Sejam A, B E3 pontos distintos. A translacao por u =AB, Tu : E

3 E3, e a aplicacao

que faz corresponder a cada ponto X E3 o ponto X E3 em queXX =

AB, ou seja,

d(X, X) =d(A, B), o segmento XX e paralelo ao segmento AB e o sentido de percurso XX

coincide com o sentido A B (isto e, o ponto medio deAX e BX e mesmo).Toda translacao e uma isometria.

Chama-se Isometria helicoidala aplicacaoHr,: E3 E3 em que H=Tu r,= r, Tu

com u //r, ou seja, Hr,,u e a composicao de uma rotacao de um angulo em torno de umareta r e uma translacao por u paralelo a r.

Por ser uma composicao de isometrias, a isometria helicoidal e, de fato, uma isometria.A reflexao com deslizamento ou glissoreflexao e a composta GT,u =R Tu =Tu R :

E3 E3 em que R e a reflexao em torno do plano E

3 e Tu e a translacao poru paralelo

a .A rotacao refletidar,, : E

3 E3 e a composta r,, = R r, = r, R em que R

e a reflexao em torno de um plano E3 e r, e a rotacao de um angulo em torno de umareta r perpendicular a .

Quando = radianos, a rotacao refletida coincide com a simetria em torno de O, sendoO= r.

O proximo teorema classifica as isometrias quando a preservacao de orientaco e sua demon-stracao se processa nos moldes do caso uni e bidimensional.TeoremaA identidade, translacoes, rotacoes em torno de uma reta e isometrias helicoidais saoproprias. Reflexoes, reflexoes com deslizamento e rotacoes refletidas sao improprias.

Duas isometrias proprias que coincidem em tres pontos nao colineares do espaco sao iguais.O proximo teorema e a classificaco de isometrias no espaco.

Teorema(Classificacao de isometrias no espaco)Existem seis isometrias distintas da identidade

no espaco: (i) translacao por vetor, (ii) rotacao em torno de uma reta, (iii) reflexao em tornode um plano, (iv) isometria helicoidal, (v) rotacao refletida e (vi) reflexao com deslizamento.

Souza, Jairo M.; Goncalves, Maria Luiza V.; Agustini, Edson. Classificacao de isometrias emRn, n= 1, 2, 3. FAMAT em Revista, Uberlandia, MG, n. 1, dez. 2003.

Larissa Sampaio Tito, academica do curso de Matematica pela Universidade Es-tadual de Santa Cruz.

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