Mecânica 1

Guia de Estudos P2

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Conceitos 1. Cinemática do Ponto Material 2. Cinemática dos Sólidos

1. Cinemática do Ponto Material

a. Curvas

• Definição algébrica:

A curva parametriza uma função de duas ou mais variáveis em uma região com menos variáveis.

𝛾 = 𝑥 𝑡 , 𝑦 𝑡

Onde 𝑥 = 𝑥 𝑡 e 𝑦 = 𝑦(𝑡)

Respeitando: 𝑦 = 𝑓(𝑥)

• Parametrização:

Trocar variáveis por um parâmetro comum, mantendo a relação entre elas. Exemplo comum:

𝑦 = 𝑥 Parametrizando, temos:

𝑥 = 𝑡 ⇒ 𝑦 = 𝑡

𝛾 = 𝑡, 𝑡

𝑡 ∈ ℝ

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• Parametrização por Coordenadas Polares:

Provocar o aparecimento de sin 𝑡 e cos 𝑡, quando variáveis tiverem grau 2. Exemplo comum:

𝑥2 + 𝑦2 = 1

Parametrizando: 𝑥 = cos 𝑡

𝑦 = sin 𝑡

𝛾 = cos 𝑡 , sin 𝑡

0 ≤ 𝑡 < 2𝜋 • Curva por Interseção de Superfícies:

Isolar uma variável e substituir na outra equação, parametrizando com duas variáveis em vez de três. Exemplo:

𝑆; → 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1

𝑆2 → 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0

𝑧 = 𝑥 + 𝑦

Em 𝑆;: 2𝑥 + 2𝑦 = 1

Parametrizando:

𝑥 = 𝑡 → 𝑦 =1 − 2𝑡2

𝑧 =12

𝛾 = 𝑡,1 − 2𝑡2

,12

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b. Abscissa Curvilínea • Escalar • Comprimento sobre a curva

𝑑𝑆2 = 𝑑𝑥2 + 𝑑𝑦2 + 𝑑𝑧2

𝑑𝑆𝑑𝑡

=𝑑𝑥𝑑𝑡

2

+𝑑𝑦𝑑𝑡

2

+𝑑𝑧𝑑𝑡

2

c. Versor Tangente

• 𝑡 = ∆B∆C

= DBDC= E

E,sendoΔ𝑃omódulodovetorposição

• Direção da tangente • Unitário

d. Curvatura

𝜅 =𝑑𝜃𝑑𝑆

e. Raio de Curvatura

𝜌 =1𝜅

f. Vetor de Versor Normal • Vetor Normal

𝑁 =𝑑 𝑡𝑑𝑆

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• Versor Normal

𝑛 =𝑁𝑁

g. Versor Binormal

𝑏 = 𝑡×𝑛 h. Triedro de Frenet

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i. Fórmulas de Frenet 𝑑𝑡𝑑𝑆

= 𝑁 = 𝜅 ∗ 𝑛 =𝑛𝜌

D ]DC

= −𝛾 ∗ 𝑛 (torção da curva)

𝑑𝑛𝑑𝑆

= 𝛾𝑏 − 𝜅𝑡

j. Velocidade

𝑣 =𝑑𝑆𝑑𝑡

𝑣 =𝑑𝑟𝑑𝑡

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k. Aceleração

𝑎 =𝑑𝑣𝑑𝑡

=𝑑𝑑𝑡

𝑑𝑆𝑑𝑡

=𝑑2𝑆𝑑𝑡2

𝑎 =𝑑𝑣𝑑𝑡

∗ 𝑡 + 𝑣2 ∗𝑛𝜌

2. Cinética dos Sólidos

a. Teorema do Corpo Rígido • Não se deformam • Dimensões não desprezíveis

• 𝐴 − 𝐵 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 • 𝑉h ∗ 𝐴 − 𝐵 = 𝑉i ∗ (𝐴 − 𝐵)

i. Condição necessária, porém, não suficiente

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b. Tipos de Movimentos Translação Rotação

-Reta que liga A e B deve manter a mesma direção -Velocidade e aceleração iguais para todos os pontos -Não precisa ser uma trajetória retilínea

-Todos os pontos do corpo formam uma trajetória circular -Os pontos sobre o eixo de rotação tem velocidade e aceleração zero

Roto Translação Movimento Plano -Direção do eixo de rotação é mantida

-Condição particular do Roto Translatório -Eixo de rotação é perpendicular ao plano do papel

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c. Vetor Rotação

𝜔 =𝑑𝜃 𝑑𝑡

𝜔 = 𝜔𝑘

d. Fórmulas de Poisson

𝑉B = 𝑉l + 𝜔×(𝑃 − 0)

𝑎B = 𝑎l + 𝜔× 𝑃 − 0 + 𝜔× 𝜔×(𝑃 − 0)

i. Não pode sempre derivar a velocidade para achar a aceleração. Isso só

vale se 𝑉B não muda de direção.

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e. Bases Girantes • No caso dos vetores da base se moverem:

𝚤 = 𝜔×𝚤

𝚥 = 𝜔×𝚥

𝑘 = 𝜔×𝑘

Onde 𝜔 é o vetor rotação do corpo ao qual o eixo é solidário.

f. Eixo Helicoidal Instantâneo

𝑉h ∗ 𝜔 = 𝑉i ∗ 𝜔 • A velocidade será mínima se for paralela a 𝜔:

𝑉o = 𝑚𝑖𝑛í𝑚𝑎 = 𝛽 ∗ 𝜔

𝐸 − 𝐴 =𝜔× 𝑉h𝜔 2 + 𝛼 ∗ 𝜔

𝑉o = 𝛽 ∗ 𝜔 =𝑉h ∗ 𝜔𝜔 2 ∗ 𝜔

g. Centro Instantâneo de Rotação (CIR) • Movimento plano

• 𝑉ovwx = 0

• 𝐶𝐼𝑅 − 𝑂 ×𝜔𝑘 = 𝑉} • 𝐶𝐼𝑅 − 𝑂 é perpendicular a 𝑉}, para todo ponto O do corpo

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• Método para encontrar o CIR de um corpo: i. Determinar a direção da velocidade de dois pontos do corpo

ii. Traçar as perpendiculares iii. Achar o ponto de encontro. Ele será o CIR

h. Composição de Movimentos • Movimento Relativo: Paramos o referencial móvel, subimos nele e medimos o

movimento relativo, a partir do referencial móvel • Movimento de Arrastamento: Paramos o movimento relativo (“prendemos” os

corpos) e deixamos o corpo do referencial móvel mover-se. Medimos em relação ao referencial fixo.

• Para resolver, o ideal é colocar o sistema de coordenadas no referencial móvel.

𝑉B,~]� = 𝑉B,��� + 𝑉B,~��

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𝑎B,~]� = 𝑎B,��� + 𝑎B,~�� + 2 ∗ 𝜔×𝑉B,��� i. No qual o último termo é a Aceleração de Coriolis, sendo 𝜔 a

velocidade angular do referencial móvel

• Composição do vetor rotação:

𝛺~]� = 𝛺��� + 𝜔

𝛺~]� = 𝛺��� + 𝜔 + 𝜔×𝛺���

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Exercícios 1. (Exercício 2, Prova 2, 2014 – Poli) No sistema mostrado na figura, a haste AB e o

garfo CD constituem um corpo rígido único ACD. A distância entre os pontos D e C é L, o ângulo entre os segmentos de reta DC e AB é 𝜃 (fixo) e o disco com

centro em D tem raio r. O vetor rotação do eixo AB é Ω = Ω𝑘 (constante),

enquanto o disco gira com vetor rotação ω = ω𝑘 (ω constante), relativamente

ao corpo ACD. Usando como base do referencial móvel os versores 𝚤, 𝚥, 𝑘 solidários ao eixo AB, e sabendo que no instante considerado a posição do P é

dada por 𝑃 − 𝐷 = 𝑟𝑘 , determinar:

a. As velocidades relativa, de arrastamento e absoluta do ponto P; b. As acelerações relativa, de arrastamento, de Coriolis e absoluta do ponto P; c. O vetor rotação absoluto do disco; d. A aceleração rotacional absoluta do disco.

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2. (Exercício 2, Prova 2, 2009 – Poli) A placa RSTW gira em torno do eixo RW com

vetor de rotação 𝜔2 de módulo constante. Sustentado por mancais solidários à placa em C e D, o eixo CED possui vetor de rotação 𝜔; de módulo constante em relação a placa. A barra EH é soldada ao eixo CED e sustenta, em H, um tubo paralelo ao eixo CED. No interior do tubo o êmbolo F de um cilindro hidráulico desloca-se com velocidade de módulo 𝑉, constante em relação ao tubo. Determinar, para o instante mostrado na figura e representando os vetores na base vetorial solidária a placa RSTW:

a) O vetor rotação absoluta Ω da peça CDEH;

b) O vetor aceleração rotacional absoluta Ω da peça CDEH; c) O vetor velocidade absoluta do ponto F do êmbolo; d) O vetor aceleração absoluta do ponto F do êmbolo;

Dado: 𝑀𝐸 = 5𝑎;𝐸𝐻 = 3𝑎; 𝐹 − 𝐻 = 𝑎𝚤

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3. (Exercício 1, Prova 2, 2016 – Poli) Conforme ilustrado na figura, um pequeno anel

move-se vinculado a um arame curvo descrito pela equação:

𝑃 − 𝑂 = 𝑟 𝑢 = cos 𝑢 + cos 2𝑢 𝚤 + sin 𝑢 − sin 2𝑢 𝚥 + 3 sin 𝑢 𝑘 em que 𝑢 é um parâmetro variável no tempo. O movimento do anel obedece à

lei horária 𝑢 𝑡 = �;l.

Para o instante 𝑡 = 10𝜋, pede-se: a. O versor tangente ao arame no ponto coincidente com o anel, descrito em

coordenadas cartesianas (utilize a base 𝚤, 𝚥, 𝑘). b. A velocidade do anel descrita em coordenadas intrínsecas; c. A aceleração do anel descrita em coordenadas intrínsecas.

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4. (Exercício 1, Prova 2, 2008 – Poli) Os discos de raio 𝑅; e 𝑅2 rolam sem escorregar e estão sempre em contato com a superfície mostrada na figura. A barra CD está articulada ao centro da barra AB, de forma que permanece sempre paralela ao versor𝚥. Sabendo que o vetor de rotação do disco com centro em

A (de raio 𝑅;) vale 𝜔;𝑘, constante, determine: a. A velocidade 𝑣h do ponto A; b. O centro instantâneo de rotação da barra AB; c. O vetor de rotação 𝜔hi da barra AB e o vetor de rotação 𝜔2 do disco com centro em B; d. A velocidade 𝑣� do ponto D;

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5. (Exercício 3, Prova 2, 2008 – Poli) A barra CP está articulada em C ao disco com

centro em O, como indicado na figura. No instante considerado, a barra gira com vetor de rotação constante 𝜔 = 𝜃𝚤 e o disco gira com vetor de rotação

constante Ω. A distância entre os pontos O e C vale R. Usando a base 𝚤𝚥𝑘, solidária ao disco, e considerando o disco como referencial móvel, determinar:

a. O vetor de rotação absoluto e a aceleração angular da barra CP; b. As velocidades relativa, de arrastamento e absoluta do ponto P; c. As acelerações relativa, de arrastamento e absoluta do ponto P.

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Gabarito:

1. a. 𝑉B��� = −𝜔𝑟𝚥; 𝑉B~�� = −Ω𝐿 sin 𝜃 𝚤; 𝑉B~]� = −Ω𝐿 sin 𝜃 𝚤 − 𝜔𝑟𝚥. b. 𝑎B��� = −𝜔2𝑟𝑘; 𝑎B~�� = −Ω2𝐿 sin 𝜃 𝚥; 𝑎B��� = 2Ω𝜔𝑟𝚤. 𝑎B~]� = 2Ω𝜔𝑟𝚤 − Ω2𝐿 sin 𝜃 𝚥 − 𝜔2𝑟𝑘.

c. 𝜔~]� = 𝜔𝚤 + Ω𝚥. d. 𝜔~]� = Ωω𝚥.

2. a. Ω = 𝜔2𝑘 + 𝜔;𝚤.

b. Ω = 𝜔2𝜔;𝚥. c. 𝑉� = 𝑣 − 3𝑎𝜔2 𝚤 + 6𝑎𝜔2 𝚥 + 3𝑎𝜔; 𝑘. d. 𝑎� = 6𝑎𝜔22𝚤 + 2𝜔2𝑣 − 3𝑎𝜔;2 − 3𝑎𝜔22 𝚥.

3.

a. τ = − 22𝚥 − 2

2𝑘.

b. v(𝑡 = 10𝜋) = � 2;l𝜏.

c. a(𝑡 = 10𝜋) = �;ll

𝑛.

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4. a. 𝑣~ = −𝜔;𝑅;𝚤. b.

c. 𝜔hi =������ ��  ¡

𝑘.

d. 𝑣� = −����2(𝚤 + cot 𝜃 𝚥).

5.

a. 𝜔~]� = 𝜃𝚤 + Ω𝑘.

b. 𝜔~]� = Ω𝜃𝚥 c. 𝑉B��� = 𝜃𝐿 − sin 𝜃 𝚥 + cos 𝜃 𝑘 ; 𝑉B~�� = −Ω(𝑅 + 𝐿 cos 𝜃) 𝚤; 𝑉B~]� = −Ω(𝑅 + 𝐿 cos 𝜃) 𝚤 + 𝜃𝐿 − sin 𝜃 𝚥 + cos 𝜃 𝑘 .

d. 𝑎B��� = −𝜃2𝐿 cos 𝜃 𝚥 + sin 𝜃 𝑘 ; 𝑎B~�� = −Ω2(𝑅 + 𝐿 cos 𝜃) 𝚥; 𝑎B��� = 2Ω𝜃𝐿 sin 𝜃 𝚤; 𝑎B~]� = 2Ω𝜃𝐿 sin 𝜃 𝚤 − (Ω2 𝑅 + 𝐿 cos 𝜃) + 𝜃2𝐿 cos 𝜃 𝚥 −𝜃2𝐿 sin 𝜃 𝑘.