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UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA - UDESC

CENTRO DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS – CCT

JOINVILLE

Roteiro da Experiência 8

Movimento de rolamento e momento de inércia

FÍSICA EXPERIMENTAL I – FEX1001

Joinville, maio de 2021

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1. Objetivo

Determinar experimentalmente o parâmetro adimensional 𝛽 do momento de inércia de um objeto em rolamento suave

em um plano inclinado e a razão da resistência da força do ar pela massa do objeto 𝑓𝑎𝑟/𝑚.

Figura 1:Rolamento suave de um objeto circular em um plano inclinado.

2. Teoria

A dinâmica do movimento de um objeto é descrita pela 2ª lei de Newton [1, 2], ∑ �⃗� = 𝑚�⃗� onde 𝑚 é a massa e �⃗� a

aceleração para translação, e ∑𝜏 = 𝐼𝛼 onde 𝐼 é o momento de inércia e 𝛼 a aceleração angular para rotação.

Para a Figura 1, onde um objeto circular de massa 𝑚 e raio 𝑅 rola suavemente, sujeito a resistência da força do ar 𝑓𝑎𝑟,

em um plano inclinado com ângulo 𝜃 em relação a horizontal, a aceleração do centro de massa é (seção 7.

Demonstração)

𝑎𝐶𝑀 = 𝑓𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 [𝑔

𝐷𝑌 −

𝑓𝑎𝑟

𝑚], (1)

onde e 𝑓𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 é a fração para movimento de translação [3], 𝑔 é a aceleração da gravidade local, 𝐷 e 𝑌 são

respectivamente o comprimento e a elevação lateral do plano inclinado.

3. Descrição do Experimento

Uma esfera sólida é solta a partir do repouso em um plano inclinado para que ela role sem deslizar. Para cada elevação

lateral 𝑌 escolhida arbitrariamente, a aceleração 𝑎𝐶𝑀 do centro de massa da esfera é determinada pelo software Tracker

[4].

4. Equipamento/Material/Software

⎯ Apoio para trilho, trilho e esfera sólida.

⎯ Trena, filmadora e software Tracker.

5. Procedimento Experimental

a) Meça com a trena o comprimento 𝐷 do trilho, anote na Tabela 2.

b) Apoie uma das extremidades do trilho na superfície da bancada e eleve lateralmente a outra extremidade com apoio

para trilho.

c) Coloque um objeto de tamanho conhecido ao lado do trilho para ser uma referência de comprimento.

d) Para cada elevação lateral 𝑌 de referência na Tabela 2 ajuste a inclinação meça com trena e anote. Solte a esfera do

ponto mais alto e registre o movimento com filmadora.

e) Analise o vídeo com o software Tracker, determine a aceleração 𝑎𝐶𝑀 para respectiva elevação lateral 𝑌 e preencha

a Tabela 3.

f) Os procedimentos a) até d) foram registrados em fotos e vídeos, o procedimento e) parcialmente realizados pelo

professor e todo material em anexo para serem analisados.

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6. Resultados

I. Identificação das variáveis físicas e os instrumentos/software utilizados para medida.

Identifique as variáveis das quantidades físicas (veja a 3. Descrição do Experimento) e o erro de escala dos

instrumentos/Software de medida (veja o 4. Equipamento/Material/Software) utilizados.

Quantidade Física Variável Instrumento/Software Erro de escala

Elevação lateral 𝑌 Trena ∆𝑌 =

Aceleração 𝑎𝐶𝑀 Software Tracker Não se aplica

II. Tabelas.

A partir dos materiais em anexo, complete as tabelas 2 e 3.

Tabela 2 Tabela 3

Referência Medido (𝑚)

𝐷 = 100 𝑐𝑚 𝑌(𝑚) 𝑎𝐶𝑀(𝑚/𝑠2)

𝑌1 = 8 𝑐𝑚

𝑌2 = 18 𝑐𝑚

𝑌3 = 26 𝑐𝑚

𝑌4 = 34 𝑐𝑚

𝑌5 = 43 𝑐𝑚

III. Construção de gráfico linear e determinação dos coeficientes 𝒂′ e 𝒃′ da equação da reta 𝒚′(𝒙′) = 𝒂′𝒙′ + 𝒃′. (a) A partir da Tabela 3, faça um gráfico linear.

(b) Indique na linha reta obtida no gráfico, os pontos 𝑃1, 𝑃2 e 𝑃3. Apresente os valores lidos com suas respectivas

unidades.

(c) A partir dos valores dos pontos 𝑃1, 𝑃2 e 𝑃3, calcule os coeficientes o valor de a' e b' com suas respectivas unidades.

(d) Determine o valor experimental de (𝑓𝑎𝑟/𝑚) a partir dos valores de 𝑎′ e 𝑏′ obtidos e da equação (13) da seção 7.

Considere 𝐷 o valor anotado na Tabela 2 e valor da gravidade local como 𝑔 = 9,79061 𝑚/𝑠2[5].

(e) Determine o valor experimental de 𝑓𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 a partir da equação (14). A partir do resultado obtido e da equação

(12) determine o valor experimental de 𝛽.

7. Demonstração

A aceleração do centro de massa (CM) 𝑎𝐶𝑀 de um objeto circular em rolamento suave deve ser proporcional ao raio 𝑅

da circunferência do objeto e da aceleração angular 𝛼 do eixo que passa pelo CM do objeto [1]

𝑎𝐶𝑀 = 𝑅𝛼. (2)

Em um rolamento para baixo em um plano inclinado (Figura 1), é necessária uma força de atrito estático 𝑓𝑒 para que o

objeto não deslize e realize rolamento suave, sujeito a resistência do ar 𝑓𝑎𝑟⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ . Podemos escrever a segunda Lei de Newton

para translação ao longo do movimento (eixo x) como: ∑ 𝐹𝑥 = 𝑚𝑎𝐶𝑀 → 𝑚𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝑓𝑒 − 𝑓𝑎𝑟 = 𝑚𝑎𝐶𝑀. (3)

A segunda Lei de newton para rotação em torno do eixo que passa pelo CM pode ser escrito como: ∑ 𝜏 = 𝐼𝐶𝑀𝛼 → 𝑅𝑓𝑒 = 𝐼𝐶𝑀𝛼, (4)

onde 𝐼𝐶𝑀 é o momento de inércia do objeto em relação a eixo que passa pelo CM. Considerando a equação (2) na equação

(4), podemos escrever:

𝑓𝑒 =𝐼𝐶𝑀

𝑅2 𝑎𝐶𝑀 . (5)

Substituindo a equação (5) na equação (3), a equação aceleração do CM do movimento pode ser escrito como:

𝑎𝐶𝑀 =1

1+𝐼𝐶𝑀𝑚𝑅2

(𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 −𝑓𝑎𝑟

𝑚). (6)

O momento de inércia de um objeto tem como definição

𝐼 = ∑ 𝑚𝑖𝑟𝑖2𝑁

𝑖=1 , (7)

que em termos de unidade é [𝑘𝑔. 𝑚2] e dessa forma a razão 𝐼𝐶𝑀/𝑚𝑅2 da equação (6) é um parâmetro adimensional do

momento de inércia 𝛽 que depende apenas de como é distribuído a massa do objeto em relação ao eixo que passa pelo

CM. Dessa forma para objetos cuja geometria é simples e conhecida, podemos escrever a equação (6) como

𝑎𝐶𝑀 = (1

1+𝛽) (𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 −

𝑓𝑎𝑟

𝑚) , (8)

onde

𝛽 = 𝐼𝐶𝑀

𝑚𝑅2 . (9)

A Tabela 1 apresenta alguns valores do parâmetro adimensional do momento de inércia 𝛽 para alguns objetos circulares

simples.

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Tabela 1: Momento de inércia e parâmetro adimensional do momento de inércia de alguns objetos circulares.

Objeto 𝐼𝐶𝑀 𝛽 =

𝐼𝐶𝑀

𝑚𝑅2

Aro (1)𝑚𝑅2 1

Disco ou Cilindro (1/2)𝑚𝑅2 1/2

Esfera sólida (2/5)𝑚𝑅2 2/5

Esfera oca (2/3)𝑚𝑅2 2/3

Caso geral (𝛽)𝑚𝑅2 𝛽

O ângulo do plano inclinado pode ser obtido mediante a geometria do problema (Figura 1) e pelas definições de funções

trigonométricas. Considerando o plano inclinado como um triângulo retângulo, temos:

𝑠𝑒𝑛𝜃 =𝑌

𝐷 , (10)

onde 𝑌 e 𝐷 correspondem as dimensões apresentadas na Figura 1.

Dessa forma a equação (8) é reescrita como

𝑎𝐶𝑀 = (1

1+𝛽) (

𝑔

𝐷𝑌 −

𝑓𝑎𝑟

𝑚) , (11)

onde 𝑔 é a aceleração da gravidade local.

Definindo o primeiro termo entre parênteses da equação (11) como fração para movimento de translação

𝑓𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 = (1

1+𝛽) , (12)

Demonstramos a equação (1)

𝑎𝐶𝑀 = 𝑓𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 [𝑔

𝐷𝑌 −

𝑓𝑎𝑟

𝑚].

Ao alterar a elevação lateral 𝑌, a equação (1) é uma equação linear em função de 𝑌

𝑦′(𝑥′) = 𝑎′𝑥′ + 𝑏′, onde 𝑦′ = 𝑎𝐶𝑀 , 𝑥′ = 𝑌,

𝑎′ = 𝑓𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 (𝑔

𝐷),

e

𝑏′ = −𝑓𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜𝑓𝑎𝑟

𝑚.

Os valores de 𝑓𝑎𝑟 e 𝑓𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 são obtidos pelos valores dos coeficientes 𝑎′ e 𝑏′, do valor medido da massa total 𝑀𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

e do valor da gravidade local |𝑏′|

𝑎′=

𝑓𝑎𝑟

𝑚

𝐷

𝑔

o desenvolvimento leva a equação 𝑓𝑎𝑟

𝑚=

|𝑏′|

𝑎′

𝑔

𝐷 (13)

A fração 𝑓𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 são obtidas pelas relações dos coeficientes 𝑎′ e 𝑏′,

𝑓𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 =𝐷

𝑔𝑎′ (14)

ou

𝑓𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 =|𝑏′|

(𝑓𝑎𝑟

𝑚). (15)

Referências

[1] HALLIDAY, D., RENSICK, R. e WALKER, J. – Fundamentos de Física – Volume 1 – Mecânica – Livros

Técnicos e Científicos Editora – 8a Edição.

[2] Experiência 5 – Leis de Newton, FEX1001, UDESC/CCT, Joinville, 2021.

[3] Experiência 6 – Teorema do Trabalho e Energia Cinética, FEX1001, UDESC/CCT, Joinville, 2021.

[4] https://physlets.org/tracker/

[5] https://www.wolframalpha.com/widgets/view.jsp?id=e856809e0d522d3153e2e7e8ec263bf2

Para localidade Joinville/SC, Brasil

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Anexo

Medida de D

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Elevação Y1

Aceleração a1

7

Elevação Y2

Aceleração a2

8

Elevação Y3

Aceleração a3

9

Elevação Y4

Aceleração a4

10

Elevação Y5

Aceleração a5