Sandramuller-capitulo4 Sinais e Sistemas

Aula 23

Sinais e Sistemas –Aplicações das

Representações de Fourier

Profª Sandra Mara Torres Müller

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Resposta em Frequência de Sistemas LTI

A resposta em frequência constitui uma caracterização do comportamento entrada-saída do sistema.

Existem algumas relações das descrições de sistema em domínio do tempo com a resposta em frequência do sistema: Resposta em frequência e a resposta ao impulso;

Resposta em frequência e a equação diferencial e a diferenças (não);

Resposta em frequência e a descrição por variáveis de estado (não).

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Resposta ao Impulso

A resposta ao impulso no tempo e na frequência constituem uma par de FT ou DTFT.

Um sistema é dito estável se a sua resposta ao impulso for absolutamente integrável ou somável:

Assim, a resposta em frequência existe para sistema estáveis. Sabe-se também que:

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Resposta ao Impulso

É importante lembrar que a multiplicação no domínio da frequência origina a noção de filtragem.

PB

PA

PF

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Resposta ao Impulso

A caracterização do filtro de tempo discreto baseia-se em seu comportamento na faixa de frequência -π < Ω < π porque sua resposta em frequência tem período 2π.

Curva de filtro real vs. Curva de filtro ideal.

A resposta em amplitude é descrita em decibéis (dB).

Note que o ganho unitário corresponde a 0dB e a frequência de corte do filtro é dado por 1/√2 do ganho máximo, ou seja, -3dB, pois nesse ponto o filtro deixa passar somente 50% da potência de entrada.

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Resposta ao Impulso

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Resposta ao Impulso

Pode-se definir também pela propriedade da convolução que:

E pode-se recuperar a entrada como:

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Resposta ao Impulso

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Resposta ao Impulso

Descrição por equação diferencial e a diferenças e descrição por variáveis de estado (pag. 264 a 268) fica como leitura para casa.

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Representações com Transformada de Fourier para Sinais Periódicos

Apesar que a FT e a DTFT não converge para sinais periódicos, é possível usá-la para representar sinais periódicos se for incorporado impulsos nas transformadas de maneira apropriada.

Isso serve para análise de problemas com combinações de sinais periódicos e não-periódicos.

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Relacionando a FT com a FS (caso contínuo)

FS para x(t) periódico:

Sabe-se que:

Então:

Ou seja, a FT de um sinal periódico é uma série de impulsos espaçados pela frequência fundamental ω0. O k-ésimo impulso tem força 2πX[k].

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Relacionando a DTFT com a DTFS (caso discreto)

A expressão da DTFS para x[n] com período N:

Um impulso deslocado na frequência, expresso para um período, édado por:

Para vários períodos, temos:

A observação é que a DTFT inversa de um impulso deslocado na frequência é uma senóide complexa de tempo discreto:

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Assim, temos:

Como X[k] tem período N e NΩ0 = 2π, então:

Ou seja, a representação por DTFT de um sinal periódico é uma série de impulsos espaçados pela frequência fundamental Ω0. O k-ésimoimpulso tem força 2πX[k] (figura no próximo slide).

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Convolução e Modulação com Classes Combinadas de Sinais

Convolução de sinais periódico e não-periódico

Quando x(t) é periódico, temos:

O que leva a:

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Periódico

Não-periódico

Periódico

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Para o caso discreto temos:

Quando x[n] é periódico:

E então:

Ou seja, a forma de Y(ejΩ) indica que y[n] também seráperiódico, com mesmo período de x[n].

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Modulação de sinais periódicos e não-periódicos

Quando x(t) é periódico, temos:

Então

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Para o caso discreto temos:

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Representação por Transformada de Fourier para Sinais de Tempo Discreto

Aqui será derivada a representação por FT para sinais de tempo discreto, incorporando impulsos de maneira apropriada.

Pode-se fazer a correspondência entre a frequência de tempo contínuo ω e a frequência de tempo discreto Ω.

Definindo x(t) = ejωt e g[n] = ejΩn, força-se que g[n] seja igual às amostras de x(t) tomadas em intervalos de amostragem τ, ou seja, g[n] = x(nτ), o que implica em:

Ou seja, a frequência de tempo discreto Ω corresponde àfrequência de tempo contínuo ω multiplicada pelo intervalo de amostragem τ.

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Relacionando a FT com a DTFT

A DTFT de um sinal discreto x[n] é:

Procura-se um par FT que corresponda ao parDTFT . Substituindo Ω = ωτ na equação acima temos:

Sabe-se que:

Então

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Ou seja, xδ(t) é um sinal de tempo contínuo que corresponde a x[n], e a FT, Xδ(jω), corresponde à DTFT X(ejΩ) com Ω = ωτ.

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Relacionando a FT com a DTFS

Aqui será mostrado como usar a FT para representar um sinal discreto e periódico.

A representação por DTFT de um sinal x[n] periódico com período N édada por:

Para obter a representação por FT basta substituir Ω = ωτ.

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Como X[k] tem período N, então Xδ(jω) é periódico com período NΩ0/τ=2π/τ.

xδ(t) corresponde à FT e é obtido por

xδ(t) também é periódico em Nτ.

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Amostragem – Sinais de Tempo Contínuo

Seja x(t) um sinal de temo contínuo e x[n] um sinal igual às amostras de x(t) em múltiplos inteiros de um intervalo de amostragem τ, ou seja,

A representação em tempo contínuo do sinal de tempo discreto x[n] se dá por

Como

Então

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Ou seja, pode-se representar o sinal amostrado como o produto do sinal por um trem de impulsos.

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O efeito da amostragem é determinado relacionando-se a FT de xδ(t) com a FT de x(t). No domínio da frequência temos:

P(jω) foi determinado no exemplo 4.7 e ω0 corresponde a ωs.

A convolução resulta em:

Ou seja, a FT do sinal amostrado é uma soma infinita de versões deslocadas da FT original.

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Essas versões podem se sobrepor se ωs for pequeno.

Para que não haja sobreposição é necessário que ωs > 2W, onde W é a componente de frequência mais elevada do sinal.

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A superposição nas réplicas é denominada aliasing, que é o fenômeno de uma componente de alta frequência assumir a identidade de uma de baixa frequência.

A distorção do espectro vai desde porções de um triângulo até uma constante, o que impede a reconstrução do sinal.

Para a condição ωs > 2W temos que τ < π/ω.

A DTFT do sinal amostrado é obtida de Xδ(jω) usando-se a relação Ω= ωτ, ou seja,

Isso implica que

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Subamostragem, pág. 288: leitura para casa.

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Reconstrução de Sinais de Tempo Contínuo a Partir de Amostras

O problema de se reconstruir um sinal de tempo contínuo a partir de amostras envolve uma combinação de sinais de tempo contínuo e discreto.

Aqui serão consideradas as condições que devem ser satisfeitas a fim de reconstruir de maneira única um sinal de tempo contínuo a partir de suas amostras.

Supondo que estas condições são satisfeitas, é estabelecido um método para a reconstrução do sinal.

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Teorema da Amostragem

Dois sinais de tempo contínuo podem ter o mesmo sinal amostrado

Para determinar como o sinal se comporta entre as amostras, deve-se especificar restrições adicionais para o sistema de tempo contínuo. Por exemplo, exigir que o sinal faça transições suaves de uma amostra para outra.

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Para reconstruir o sinal, deve haver uma correspondência única entre as FTs do sinal de tempo contínuo e o do sinal amostrado.

Isso acontece se o processo de amostragem não introduzir aliasing.

O aliasing distorce o espectro do sinal original e destrói a relação biunívoca entre as FTs do sinal de tempo contínuo e amostrado.

Assim, tem-se o teorema da amostragem:

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A frequência mínima, 2ωm, é denominada frequência de Nyquist

Usando a notação de frequência temos que

Então

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Reconstrução Ideal

Considere o problema de reconstruir o sinal de tempo contínuo a partir de amostras do sinal.

Como

Então para o sinal amostrado temos

Supondo que as condições de amostragem sejam satisfeitas temos

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O objetivo da reconstrução é aplicar uma certa operação a Xδ(jω) que a converta de volta em X(jω), ou seja, janelando (não pode haver aliasing).

No domínio do tempo temos:

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Como

Temos

Assim x(t) será uma soma ponderada de funções sinc deslocadas pelo intervalo de amostragem. Os pesos correspondem aos valores da sequência de tempo discreto.

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Na prática isso é um sistema não-causal pois a saída x(t) depende dos valores passados e futuros da entrada x[n] e também a influência de cada amostra se estende ao longo de um intervalo infinito de tempo, o que impede a implementação da reconstrução ideal.

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Reconstrução Prática – O Retentor de Ordem Zero

O retentor ou interpolador de ordem zero retém o valor x[n] durante τsegundos.

Sua função:

Sua saída:

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Comparando X0(jω) com X(jω), vemos que o retentor de ordem zero leva a 3 formas de modificação:

1. Defasamento linear de um retardo de τ/2 segundos

2. A parte de Xδ(jω) entre -ωm e ωm é distorcida pela curvatura do lóbulo principal de H0(jω)

3. Versões distorcidas e atenuadas de X(jω) permanecem centralizadas em múltiplos de ωs

As modificações 1 e 2 podem ser reduzidas aumentando ωs ou diminuindo τ

As modificações 2 e 3 são eliminadas passando x0(t) por um filtro de compensação de tempo contínuo com resposta em frequência

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Isto inverte a distorção introduzida pela curvatura do lóbulo principal de H0(jω).

Hc(jω) também é chamado de filtro anti-imagem porque elimina as imagens distorcidas de X(jω).

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Não será contemplado o conteúdo a partir do tópico 4.8 (pág301).

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