INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA SUL-RIO-GRANDENSE

CAMPUS PELOTASCURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA

Max de Lima Jahnke

Relatório de análise analógica de um circuito RLC

Pelotas

2013

Max de Lima Jahnke

Relatório de análise analógica de um circuito RLC

Trabalho apresentado para a disciplina de Sinais e Sistemas Lineares do curso de Engenharia Elétrica do IFSul, como requisito parcial para a composição da nota do semestre.

Professor da Disciplina:

Prof. Dr. Carlos Mendes Richter

Pelotas

2013

1.Apresentação

Este trabalho tem como objetivo analisar o comportamento de um circuito RLC

quando submetido a uma variedade de excitações e condições iniciais distintas. O

circuito será modelado nas formas de equação diferencial, função de transferência e

espaço de estado. As respostas do circuito serão estudadas em um primeiro momento de

maneira algébrica, com o intuito de determinar modelos inicias e poder confrontar as

soluções algébricas com aquelas obtidas posteriormente com o auxílio dos softwares

Pspice®, MATLAB® e Mathematica®.

2. Modelagem e Simulação

As etapas deste tópico obedecerão ao enunciado do trabalho que está contido no

Anexo I. Por conta da similaridade de solução de algumas equações, passos

intermediários poderão ser omitidos afim de eliminar o excesso de formalismo

matemático. Estaremos prezando, portanto, pelo entendimento do comportamento do

circuito quando da aplicação de diferentes excitações.

1) Determinação de um circuito RLC, de preferência, com disposições e/ou valores

diferentes.

O circuito RLC abaixo foi o circuito escolhido como objeto de estudo.

Figura 1: Representação esquemática do circuito RLC

2) Determinação da variável de excitação e da variável de observação (variável de

saída) e então do modelo em forma de equação diferencial:

Começaremos deduzindo a equação diferencial que descreve o circuito elétrico

representado na Figura (1) . Para tal utilizaremos a lei de Kirchhoff das tensões.

Aplicando a lei de Kirchhoff das tensões na malha da esquerda temos:

(1)

Aplicando a lei de Kirchhoff das tensões na malha da direita temos:

Derivando esta equação com relação ao tempo, ficamos com:

(2)

Observando a Figura (1) podemos concluir que:

(3)

Substituindo (3) em (2):

(4)

Substituindo (3) em (1):

(5)

Igualando (4) e (5):

Substituindo os valores de R1, R2, L1 e C1, ficamos com:

Esta é a equação diferencial que descreve o comportamento do circuito da Figura (1)

para uma excitação Vi(t) qualquer.

3) Determinação da solução matemática da equação para:

a) Um degrau na entrada, com condições iniciais nulas

Consideraremos agora o primeiro caso, onde Vi(t) é um degrau unitário e o

circuito possui condições iniciais nulas. A solução geral será a soma da solução

homogênea e da solução particular.

Assumindo que a solução será proporcional a uma função , substituiremos Vo(t) por este

valor e aplicaremos as derivadas:

e

Ficaremos com uma equação no seguinte formato:

Colocando em evidência, temos:

Resolvendo a equação polinomial encontraremos as seguintes raízes:

e

As soluções para as raízes são:

Somando as soluções teremos a solução homogênea:

Para a solução particular utilizaremos a equação abaixo utilizando o método dos

coeficientes a determinar:

A solução particular terá a forma , que tem derivadas de primeira e segunda ordem

iguais a zero. Se substituirmos estes valores na equação anterior, ficamos com:

A solução geral será o somatório da solução homogênea e da solução particular.

Se derivarmos a equação acima, teremos:

Resolvendo as equações acima utilizando as condições iniciais nulas, descobriremos os

coeficientes e a partir das equações abaixo.

e

Por fim, nossa solução geral tornar-se-á:

Para as excitações dos casos b,c,d e e, utilizaremos um método de solução de equação

diferencial similar que poderá ter passos omitidos.

b) Um degrau na entrada, com condições iniciais não-nulas

O segundo caso tem solução similar à do caso a, mas teremos como condições iniciais

y(0)=-1 e y’(0)=0.

Solução homogênea:

,

e

Solução particular:

Derivando a equação acima, ficamos com:

e

Solução geral:

c) Excitação zero com condições iniciais não-nulas:

O modo de resolução da equação para esta excitação é a mesma dos passos anteriores.

Partiremos, portanto, da equação resultado da soma das soluções homogênea e

particular para que possamos aplicar as condições iniciais.

e

A resposta completa será:

d) Excitação senoidal com condições iniciais nulas:

Equação inicial:

Solução Homogênea:

,

e

Solução particular:

A solução particular será da forma

Calcularemos as derivadas dee substituiremos na equação original.

Simplificando:

Igualando os termos com cossenos e os termos com senos ficamos com:

e

e

Substituindo os valores encontrados em teremos a resposta da solução particular.

Somando as respostas homogênea e particular teremos:

Substituindo as condições iniciais nas duas equações nos dá:

e

A resposta completa será como segue:

e) Excitação de ordem quadrada com condições iniciais nulas:

Com relação à onda quadrada, se analisarmos a Figura 6 contida no item 4, podemos

considerar que a resposta será composta pelos comportamentos dos subitens a e c do

corrente item. Se primeiramente limitarmos nossa análise ao primeiro ciclo da onda,

podemos aproximar o primeiro semiciclo da mesma por um degrau unitário de duração

10ms. Já o segundo semiciclo da onda pode ser aproximado por uma excitação nula

durante 10ms com condições iniciais y(0)=1 e y’(0)=0.Se partirmos da mesma equação

do item c temos:

Teremos como resposta completa a equação:

Ao considerarmos a periodicidade desta onda, chegaremos a uma solução definida por

duas sentenças, com n partindo de 0 e assumindo valores ímpares/pares de acordo com a

aproximação da excitação inicial:

, se 10n < t < 10+10n, com n=par

, se 10n < t < 10+10n, com n=ímpar

4) Refaça todas as simulações de 3 que conseguir usando um simulador do circuito:

Figura 2: Resposta a um degrau com condições iniciais nulas simulada no Pspice

Figura 3: Resposta a um degrau com condições iniciais não-nulas simulada no Pspice

Figura 4: Exitação zero com condições iniciais não-nulas simulada no Pspice

Figura 5: Resposta a uma senoide com condições iniciais nulas simulada no Pspice

Figura 6: Resposta a uma onda quadrada com condições iniciais nulas simulada no Pspice

6) Para os itens de 3, faça a transformada de Laplace, determine a função de

transferência e determine algebricamente a saída na frequência e depois no tempo.

Fazendo a transformada de Laplace da equação abaixo, teremos:

Se considerarmos as equações iniciais como nulas e colocarmos na forma abaixo, temos

a função de transferência do sistema.

Uma das representações possíveis deste mesmo sistema em modelo de espaço de estado

é a forma abaixo:

Agora resolveremos os subitens de 3 utilizando a transformada de Laplace.

a) Um degrau na entrada com condições iniciais nulas:

b) Um degrau na entrada com condições iniciais não-nulas:

Utilizando y(0)=1 e y’(0)=0

c) Excitação zero com condições iniciais não-nulas:

Utilizando y(0)=1 e y’(0)=0

d) Uma senoide na entrada com condições iniciais nulas:

Utilizando y(0)=1 e y’(0)=0

6) Refaça 5 usando a simulação no Matlab/Mathematica

Figura 7: Resposta ao degrau unitário com condições iniciais nulas simulado no Matlab

Figura 8: Resposta ao degrau unitário com condições iniciais não-nulas simulado no Mathematica

Figura 9: Resposta a uma excitação nula com condições iniciais não-nulas simulado no Mathematica

Figura 10: Resposta a uma senoide com condições iniciais nulas simulado no Matlab

Figura 11: Resposta a uma onda quadrada com condições iniciais nulas simulado no Matlab

6) Faça uma ampla discussão de todos os dados

Analisando a saída do circuito para o caso a, notamos que a resposta (gráfico azul) não

ultrapassa o valor de 1V da entrada do degrau unitário. Isto se dá pelo fato das raízes da

equação característica do sistema serem ambas reais e negativas, o que permite a

classificação do circuito como amortecido supercrítico. Um circuito com esta

característica de amortecimento necessita de um tempo maior para estabilizar quando

comparado a um circuito com amortecimento crítico. No entanto, se comparado a um

circuito subamortecido, o tempo de estabilização da resposta pode vir a ser muitas

vezes menor.

O caso b nos mostra apenas que para uma condição inicial de carga no capacitor o

circuito sairá de um valor de tensão Vo=-1V mas, de maneira análoga à situação a,

sofrerá um amortecimento supercrítico e tenderá a estabilizar com relação ao degrau

rapidamente.

O caso c nos mostra o mesmo circuito sem excitação alguma, apenas com um valor de

carga no capacitor que faz com que a tensão inicial da saída seja igual ao mesmo valor

de Vo=-1V. O circuito naturalmente amortecerá esta tensão fornecida pelo capacitor de

maneira supercrítica, uma vez que a característica de amortecimento é inerente ao

circuito e não depende da natureza e/ou existência de excitação externa ou interna.

O caso d nos mostra um fenômeno interessante. Cabe lembrar que estamos medindo um

valor de Vo em cima de um capacitor e estamos alimentando o circuito com uma fonte

de tensão variável. Uma vez que um capacitor não permite uma variação instantânea de

tensão sobre ele, para toda a tentativa da fonte de imprimir um novo valor de tensão Vi

o capacitor responderá com um valor prévio de Vo em um momento t(Vo)<t(Vi). Com

essa tentativa de manter o valor de tensão Vo em função do tempo, ocorre o fenômeno

de defasagem da tensão de saída com relação à tensão de entrada.

Por fim, no caso d temos uma excitação de onda quadrada cuja resposta na saída pode

ser comparada a duas respostas distintas. No primeiro semiciclo da onda temos a

resposta do circuito a um degrau unitário (mas com condições de existência diferente da

função de Heaviside, ou seja, ele não assume valor 1 para qualquer t>0). Após o fim

deste semiciclo, podemos comparar o comportamento do circuito àquele obtido de uma

excitação nula com condição inicial de uma tensão no capacitor V(0)=1V. Se este

comportamento de ambos os semiciclos for periódico, podemos entender o

comportamento conforme resposta geral obtida no item 3-e.

3. Conclusões

Com este estudo nos foi possível comprovar que existem diversos métodos possíveis

para se analisar um circuito RLC. Naturalmente alguns métodos podem vir a ser mais

laboriosos que outros, mas o domínio de uma gama de técnicas mostrou-se de

fundamental importantância para que fosse possível analisar o circuito em sua

completude, independente de configuração, excitação ou condições iniciais. Podemos

exemplificar esta importância por meio da impossibilidade de descobrirmos o

comportamento do circuito utilizando sua função de transferência se o mesmo possuir

condições iniciais não-nulas. Neste caso se faz necessário o conhecimento de solução do

circuito no formato de equação diferencial, que permite condições iniciais quaisquer.

Podemos citar também a importância do domínio de ferramentas de modelagem e

simulação como as aqui utilizadas, Pspice®, MATLAB® e Mathematica®, que ajudam

muito a visualizar o comportamento do circuito. Esta ferramentas também permitem que

o usuário experimente e modifique o circuito com poucos comandos, enriquecendo a

análise e fixando melhor o entendimento dos fenômenos para casos distintos.

Referências Bibliográficas

LATHI, B. P. Sinais e Sistemas Lineares. 2. ed. Bookman, 2007.

OGATA, Katsuhiko. Engenharia de Controle Moderno. São Paulo: Prentice Hall, 2010

OPPENHEIM, A. V.; WILLSKY, A. S. Sinais e Sistemas. 2. ed. Pearson, 2010

SADIKU, M. N. O.; ALEXANDER, C. Fundamentos de Circuitos Elétricos, McGraw-

Hill Interamericana.

Anexo I

Enunciado do trabalho:

Modelar um circuito RLC, transformar este modelo em diversas formas (equação

diferencial, transformada de Laplace, função de transformada, modelo em espaço de

estado). Simular o funcionamento do RLC para diversas excitações e condições de

operação.

1) Determinação de um circuito RLC, de preferência, com disposições e/ou valores

diferentes.

2) Determinação da variável de excitação e da variável de observação (variável de

saída) e então do modelo em forma de equação diferencial

3) Determinação da solução matemática da equação para

a) Um degrau na entrada com condições iniciais nulas

b) Um degrau na entrada com condições iniciais não-nulas

c) Excitação zero com condições iniciais não-nulas

d) Uma senoide na entrada com condições iniciais nulas

e) Uma onda quadrada na entrada com condições iniciais nulas

4) Refaça todas as simulações de 3 que conseguir usando um simulador de circuito

5) Para os itens de 3, faça a transformada de Laplace, determine a função de

transferência e determine algebricamente a saída na frequência e depois no

tempo.

6) Refaça 5 usando a simulação no Matlab/Mathematica

7) Faça uma ampla dicussão de todos os dados

Anexo II

Códigos do Matlab e Mathematica

%Código do Matlab para gerar os gráficos com condições iniciais nulas utilizando a

função de transferência

clear

clc

%Resposta ao degrau%

num = [0 20*10^-3 1000];

den = [3/100000 1.52 1010];

step(num,den)

%Resposta à senoide%

[u, t] = gensig( 'sin', 2*pi/60 , 0.20, 0.001 );

lsim(num,den,u,t)

%Resposta à onda quadrada%

[u, t] = gensig( 'square', 0.02 , 0.1, 0.00001 );

lsim(num,den,u,t)

%#####################################################################

%Código do Mathematica para gerar os gráficos com condições iniciais não nulas

utilizando as equações diferenciais

"Caso b: Resposta a um degrau com condições iniciais"

linearequation = 3*10^-5 y''[t] + 1.52 y'[t] + 1.01*10^3 y[t] == 1*10^3*UnitStep[t];

DSolve[{linearequation, y[0] == -1, y'[0] == 0 }, y[t], t]

Plot[0.0136542 E^(-49993.2 t) - 1.01365 E^(-673.424 t) + (0.990099 + 0.013519 E^(-

49993.2 t) - 1.00362 E^(-673.424 t)) UnitStep[t], {t, 0, 0.01}]

"Caso c: Excitação zero com condições iniciais"

linearequation = 3*10^-5 y''[t] + 1.52 y'[t] + 1.01*10^3 y[t] == 0;

DSolve[{linearequation, y[0] == -1, y'[0] == 0 }, y[t], t]

Simplify[-1.01365 E^(-50666.7 t) (-0.0134703 E^(673.424 t) + 1. E^(49993.2 t))]

Plot[0.0136542 E^(-49993.2 t) - 1.01365 E^(-673.424 t), {t, 0, 0.01}]

%#####################################################################