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SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO
SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO
DIRETORIA DE POLÍTICAS E PROGRAMAS EDUCACIONAIS
PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ
PRODUÇÃO DIDÁTICO-PEDAGÓGICA
MARILENE GIRARDI
UMA PROPOSTA PARA CONSTRUÇÃO DE UM LABORATÓRIO DE
MATEMÁTICA NO ENSINO FUNDAMENTAL II
MARINGÁ – PR – 2012
SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO
SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO
DIRETORIA DE POLÍTICAS E PROGRAMAS EDUCACIONAIS
PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ
UNIDADE DIDÁTICA
MARILENE GIRARDI
Produção Didática Pedagógica, apresentada à Secretaria de Estado da Educação – SEED, na disciplina de Matemática, como subsídio metodológico para o conteúdo específico Laboratório de Ensino de Matemática, parte dos requisitos do Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE, 2012 / 2013, em convênio com a Universidade Estadual de Maringá – UEM. Orientador IES: Professor Dr. Valdeni Soliani Franco.
MARINGÁ – PR 2012
SUMÁRIO
1. FICHA PARA IDENTIFICAÇÃO DA PRODUÇÃO DIDÁTICO-PED AGÓGICA 3
2. APRESENTAÇÃO ............................................................................................. 4
3. MATERIAL DIDÁTICO ....................................................................................... 5
4. ORIENTAÇÕES METODOLÓGICAS ................................................................ 6
5. ATIVIDADES ................................................................................................... 7
5.1. Origami dos poliedros ............................................................................ 7
5.2. Tangram Chinês .................................................................................... 16
5.3. Retângulo de Brügner - 3 Peças .......................................................... 23
5.4. Cardio Tangram ou Coração Partido ................................................... 29
5.5. Trilha Geometrica .................................................................................. 34
5.6. Avançando com as Figuras Geométricas ........................................... 39
5.7. 64=65? .................................................................................................... 45
5.8. Faixa de Möbius .................................................................................... 49
5.9. Torre de Hanói ....................................................................................... 53
5.10. Fractais .............................................................................................. .57
REFERÊNCIAS .................................................................................................... 62
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1. FICHA PARA IDENTIFICAÇÃO DA PRODUÇÃO DIDÁTICO-PEDAGÓGICA
Título: Uma Proposta para Construção de um Laboratório de Matemática no Ensino Fundamental Il
Autor Marilene Girardi
Disciplina/Área (ingresso no PDE)
Matemática
Escola de Implementação do Projeto e sua localização
Colégio Estadual Dr. Felipe Silveira Bittencourt – Ens. Fund. E Médio
Rua Professor Adhemar Bornia, 307-Centro-86990000-Marialva-Pr.
Município da escola Marialva
Núcleo Regional de Educação
Maringá
Professor Orientador Prof. Dr. Valdeni Soliani Franco
Instituição de Ensino Superior
Universidade Estadual de Maringá - UEM
Relação Interdisciplinar
(indicar, caso haja, as diferentes disciplinas compreendidas no trabalho)
História e Arte
Resumo
(descrever a justificativa, objetivos e metodologia utilizada. A informação deverá conter no máximo 1300 caracteres, ou 200 palavras, fonte Arial ou Times New Roman, tamanho 12 e espaçamento simples)
Este projeto aborda à construção de um Laboratório de Ensino de Matemática (LEM) que venha ser um local para a organização de materiais matemáticos tornando-os mais acessíveis aos professores e que também seja um local para estudos, para planejamento de aulas, para se tirar dúvidas dos alunos e onde os professores de matemática poderão se encontrar e trocar experiências. Nesse laboratório os alunos terão oportunidade de criar e desenvolver atividades experimentais que contribuam na produção de materiais que venham facilitar a sua aprendizagem e a dos demais colegas. O laboratório de matemática será um ambiente que visa encaminhamento metodológico das várias tendências matemáticas como: investigação em sala de aula, resolução de problemas, história da matemática, etnomatemática, Jogos e
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brincadeiras, tecnologias da informação e comunicação, modelagem matemática, entre outras, que poderão ser abordadas e despertar maior interesse dos alunos. Eles poderão entrar em contato com os objetos de estudo, analisando, conjecturando, abstraindo na busca da construção de conceitos. Ambientes assim podem contribuir para que o aluno descubra a matemática presente no material que estiver manuseando e explorando em seu dia-a-dia despertando maior interesse e prazer em aprender matemática.
Palavras-chave ( 3 a 5 palavras)
Educação Matemática, Laboratório de Ensino Matemática; Materiais Manipuláveis; Tendências em Educação Matemática.
Formato do Material Didático
Papel sulfite, cartolina, papel dobradura, EVA, MDF.
Público Alvo
(indicar o grupo para o qual o material didático foi desenvolvido: professores, alunos, comunidade...)
Alunos e professores
2. APRESENTAÇÃO
Esta Unidade Didática está sendo desenvolvida para cumprir uma das
exigências do Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE, que busca a
reflexão e estudo dos professores da Rede Estadual de Ensino do Paraná,
Cumprindo assim com as Diretrizes Curriculares da Educação Básica de
Matemática (2008) que propõe, “um professor interessado em desenvolver-se
intelectual e profissionalmente e em refletir sobre sua prática para tornar-se um
educador matemático e um pesquisador em contínua formação”.
A sociedade do conhecimento de hoje, exige mudanças e inovações na
prática pedagógica. A busca por uma organização de materiais didáticos, a
implementação de novos materiais matemáticos na escola e de novas
metodologias que possam despertar a predisposição para o ato de aprender é
que nasce a ideia e a urgência de se idealizar um projeto que atenda essas
necessidades que venha ser principalmente um local para a organização de
5
materiais matemáticos tornando-os mais acessíveis aos professores, segundo
Lorenzato (2009, p. 5) “[...] o bom desempenho de todo profissional depende
também dos ambientes e dos instrumentos disponíveis”. Que este local seja para
estudos, para planejamento de aulas, para se tirar dúvidas dos alunos e onde os
professores de matemática poderão se encontrar e trocar experiências. Nesse
laboratório os alunos terão oportunidade de criar, desenvolver atividades
experimentais que contribuam na produção de materiais que venham facilitar a
sua aprendizagem e a dos demais colegas, oportunizar a utilização do
computador e criar situações para que o aluno desenvolva o espírito de
tolerância, cooperação e raciocínio abstrato.
. Como ponto de partida para a implementação deste projeto é conseguir um
local na escola no qual já foi conversado com a diretora para colocação dos
materiais matemáticos coletados e para que outros que serão conseguidos
através do trabalho conjunto com demais professores de matemática e alunos.
Espera-se que talvez alguns materiais sejam comprados ou doados pela
comunidade escolar.
Para que a concretização do LEM aconteça precisarei da ajuda dos
professores de matemática, alunos, coordenação do colégio e direção para que
realmente o objetivo maior da escola possa ser cumprido com um ensino e a
aprendizagem de qualidade através de aulas diversificadas tornando uma relação
professor/aluno mais agradável.
3. MATERIAL DIDÁTICO
Os materiais básicos que poderão fazer parte do LEM são sugeridos por
vários autores como, o escolhido aqui foram os indicados por Lorenzato na pág.
11:
• livros didáticos; • livros paradidáticos; • livros sobre temas matemáticos; • artigos de jornais e revistas; • problemas interessantes; • questões de vestibulares; • registros de episódios da historia da matemática; • ilusões de ótica, falácias, sofismas e paradoxos; • jogos; • quebra-cabeças; • figuras;
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• sólidos; • modelos estáticos ou dinâmicos; • quadros murais ou pôsteres; • materiais didáticos industrializados; • material didático produzido pelos alunos e professores; • instrumentos de medida; • transparências, fitas, filmes, softwares; • calculadoras; • computadores; • materiais e instrumentos necessários a produção de materiais
didáticos”. (LORENZATO, 2009, p.11)
Nas atividades sugeridas aqui nesta Unidade Didática os materiais
indicados para serem armazenado dentro do Laboratório de Matemática seriam
os confeccionados com MDF por prolongarem a sua vida útil. Nem todas as
atividades poderão ser feitas com MDF, então foi optado em usar o EVA, também
pela durabilidade ser um pouco maior e outras que precisarão usar papel
dobradura como no origami, e cartolina nos casos dos jogos.
Para compor um LEM poderá ser o material que o professor dispor no
momento até sucata, pois o importante é confeccionar os materiais junto com os
alunos. Não se pode dizer que o LEM não poderá ser construído porque os
materiais são caros ou por não possuir os materiais indicados aqui.
Depois de confeccionados, guardá-los em um local que pode ser uma sala,
se caso não possuir essa, pode também ser um armário ou até mesmo uma caixa
com fácil acesso.
4. ORIENTAÇÕES METODOLÓGICAS
Este projeto será implementado no Colégio Estadual Dr. Felipe Silveira
Bittencourt Ensino Fundamental e Médio no município de Marialva no Paraná com
o intuito de construir um laboratório de matemática que venha trazer benefícios
positivos ao colégio, aos professores e aos alunos.
Antes da elaboração do projeto foi feito uma pesquisa com a diretora do
colégio para ver a possibilidade real de se disponibilizar um local para a
construção do Laboratório de Ensino de Matemática. Diante da resposta positiva
e da necessidade nos dois casos deu-se sequência as pesquisas bibliográficas
buscando a importância do LEM no processo de ensino e aprendizagem dos
7
conteúdos matemáticos e a importância deste fato nos estudos da educação
matemática.
Para implementação do projeto será realizada uma apresentação a todos
os professores, coordenadores e diretora do colégio sobre sua importância, local
e como serão implementadas as etapas para a construção do laboratório de
matemática. A primeira etapa será uma reunião com os professores da área de
matemática a fim de mostrar-lhes a importância do LEM no colégio e também
buscar colaboração na construção.
Junto com a coordenação será realizado um levantamento dos materiais a
matemática já existentes no colégio para em seguida ser realizada uma reunião
entre professores de matemática, coordenação e direção para buscar caminhos
para a aquisição de novos materiais se for necessário.
Junto com os alunos do 9o ano será feita uma explanação do projeto e
proposto a realização de atividades em grupo no contra turno que auxiliarão na
confecção dos materiais didáticos que irão compor o LEM.
A aplicação do projeto se dará no primeiro semestre de 2013, por meio da
implementação na escola.
Para finalizar será realizado um artigo científico que constatará os
resultados obtidos na implementação do projeto.
5. ATIVIDADES
5.1. Origami dos poliedros
Apresentação
Origami é de forma simples, a arte de dobradura de papel. É uma arte
milenar japonesa cujo nome de origem orikami, significa dobrar papel: ori –
dobrar, kami - papel. Transmitida de geração em geração entre os japoneses,
desenvolveu-se de forma cativante. Mas, hoje esta muito longe de ser uma arte
exclusiva ou principalmente japonesa. Há adeptos em todo o mundo, e inclusive
dobraduras tradicionais do ocidente.
Descrição
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O Origami tem suas regras: folha de papel quadrada, sem cortes ou
recortes. Mas não são regras absolutas e há inúmeras dobraduras fora deste
esquema, mas trazem simplicidade e desafio à criação de modelos.
Nas dobraduras a seguir empregaremos papel quadrado, tesoura e cola. O
papel a ser utilizado nessas atividades não deve ser nem muito grosso, senão fica
difícil dobra-lo, nem fino demais, para não rasgar com facilidade.
Objetivos
Reconhecer e nomear figuras geométricas planas e espaciais, perceber
suas respectivas propriedades e habilidades espaciais tais como a coordenação
motora-visual, memória visual, discriminação visual, percepção espacial,
composição e decomposição de figuras e constância de forma.
Conteúdo estruturante
Geometria
Conteúdo básico
Geometria plana
Geometria espacial
Expectativa de aprendizagem
A arte de dobrar papel ajuda os alunos a aprender e a comunicar
Matemática. É fácil de aprender e simples de usar. Por exemplo, quando um
aluno tem que descrever a figura que obteve, após concretizar determinadas
dobras, para que o colega a possa construir, também está a fazer uso desta
capacidade. Dobrando e desdobrando podemos observar por meio dos vincos
que se formam retas, ângulos, simetrias e figuras geométricas. Podemos
reconhecer e analisar propriedades de figuras geométricas, utilizar a visualização
e o raciocínio espacial. Explorar os conceitos de tamanho, forma e medida,
incentivar a escrita matemática e motivar os alunos para a disciplina. As
dobragens praticadas em grupo permitem o debate de ideias, o esclarecimento de
conceitos e o desenvolvimento de estratégias individuais e coletivas. São estas
atividades de aprendizagem que desenvolvem a autonomia e a responsabilidade
do aluno. Além disso, permitem o desenvolvimento da criatividade, da
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concentração, persistência, capacidades fundamentais para ser matematicamente
competente. Com a dobragem de papel podem extrair-se raízes quadradas,
resolver equações de segundo grau, desenhar uma cónica.
Como construir
Poliedros são figuras espaciais dotadas de várias faces. É exatamente isso
o que a palavra, de origem grega, significa: poli quer dizer “muito” e edro, “faces”.
As faces de um poliedro são polígonos: triângulos, quadriláteros,
pentágono, hexágono, etc..
Figura 1
<http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/arquivos/Fi le/tvmultimidia/imagens/5matematica/1_poliedros_de_ platao_5.jpg. Acessado no dia 17/09/2012>
Nesta dobradura que será feita é uma face triangular:
Figura 2
Figura 3
Figura 4
Figura 5
Figura 6
Figura 7
Figura 8
Figura 9
10
Figura 10
Figura 11
Construção das peças de conexão
As peças de conexão também serão confeccionadas a partir de um papel
quadrado. Mas preste atenção para um detalhe; a área dos quadrados
corresponde a ¼ da área do papel utilizado para construir as faces. Ou seja,
pegue um papel do mesmo tamanho que o usado para as faces e divida-o em
quatro partes.
Figura 12
Agora siga as seguintes instruções
Figura 13
Figura 14
Figura 15
11
Figura 16
Já sabemos construir as faces triangulares e as peças de conexão. Só falta
montar os poliedros.
Montagem do tetraedro
Um tetraedro tem quatro faces triangulares e seis arestas. Sendo aresta a
linha de encontro entre duas faces, o número de peças de conexão vai
corresponder ao número de arestas do poliedro.
No caso do tetraedro, serão necessárias seis peças de conexão, além das
quatro faces triangulares.
Dica: para facilitar a montagem coloque um pingo de cola em cada peça de
conexão facilitará e dará firmeza ao poliedro.
Figura 17 Assim como no caso do tetraedro regular podemos montar um octaedro com
oito faces triangulares iguais e um icosaedro regular com vinte faces regulares.
Figura 18
12
Figura 19 Para saber quantas faces e quantas peças de conexão (arestas) devemos
fazer, no caso do octógono e do icosaedro que são dois polígonos maiores
devemos fazer o seguinte cálculo:
Figura 20 O mesmo acontece com os demais poliedros.
Podemos montar polígonos não regulares com seis e dez peças. Esses
dois poliedros, apesar de possuírem todas as faces iguais, não são regulares.
Para que um poliedro seja regular é preciso que suas faces sejam polígonos
regulares iguais; além disso, cada um de seus vértices deve partir o mesmo
número de arestas.
13
Figura 21
Construindo um Cubo
Vimos que existem muitos poliedros cujas faces são triângulos equiláteros
iguais. Há um único poliedro cujas faces são quadrados: o cubo.
Figura 22 Para construir um cubo com dobradura, vamos começar pelas faces, que, ao
todo, são seis. Utilizaremos papel quadrado.
Figura 23
Figura 24
Figura 25
3
14
Figura 26
Figura 27
A face está pronta. Neste caso, os encaixes já estão ligados as faces. É só
montá-las.
Figura 28
Para montar o cubo, será necessário prender essas peças umas as outras.
Figura 29 Figura 30 Figura 31
Juntando Quadrados e Triângulos
Para finalizar esta atividade iremos construir poliedros com algumas faces
triangulares e outra quadradas. Uma dica: existe outra forma de construir as faces
quadradas. Veja:
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Figura 32
Figura 33
Esta peça poderá combinar-se com triângulos deste modo:
Esta é a peça para construir os poliedros de faces triangulares Figura 34
Com essas faces poderemos construir estes poliedros, mas na montagem
desses poliedros, existe um ponto para o qual se deve estar atento. Como há
duas maneiras diferentes de se obter a face quadrada devemos descobrir quando
usar um ou outro modelo:
Figura 35 Figura 36
Oito faces triangulares e seis faces quadradas.
16
Figura 37 Figura 38
Oito faces triangulares e dezoito faces quadradas
Figura 39
Figura 40
A atividade completa foram conefccionados oito poliedros
Atividade adaptada do livro Geometria das dobraduras de Luiz Márcio Imenes Figura 41
Construção de vários Tangrans com uso de régua e co mpasso ou utilizando
o Softwer Geogebra
5.2. Tangram Chinês
Apresentação
Tangram é um quebra cabeça com origem chinesa, onde seu primeiro
indício é de um painel de madeira em 1780, porém existe uma lenda na qual este
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material teve origem no século XII com a quebra de um quadrado de porcelana
por um discípulo de um monge chinês taoísta.
O nome Tangram significa “Tábua das Sete Sabedorias” e este material
possui uma grande quantidade de atividades, visto que há 130 anos atrás os
chineses já publicaram em 6 volumes 1700 problemas deste quebra cabeça.
Figura 1
Desde que o ocidente entrou em contato com esse jogo, o tangam vem
demonstrando seu caráter sedutor que tem envolvido várias gerações quer seja
como passa tempo ou como manifestação artística.
Trabalharemos aqui algumas dessas atividades, envolvendo principalmente
conteúdos referentes ao Ensino Fundamental, como por exemplo propriedades de
figuras planas, área e fração, que por sua vez podem ser trabalhadas em sala de
aula, em Laboratório de Ensino de Matemática ou em outras atividades
extracurriculares.
Descrição
O Tangram é composto de 7 peças (1 Quadrado, 1 Paralelogramo, 2
Triângulos Grandes, 1 Triângulo Médio e 2 Triângulos Pequenos), obtidos de um
quadrado de lado 8 cm podendo ser feito de cartolina americana, EVA ou MDF.
Objetivos
a) Reconhecer algumas figuras geométricas planas e identificar suas
propriedades.
b) Calcular áreas de figuras geométricas planas.
c) Reconhecer e interpretar frações em representações concretas.
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Conteúdo estruturante
Geometria
Números e Álgebra
Grandezas e medidas
Conteúdo básico
Geometria Plana
Números fracionários
Área
Expectativa de aprendizagem
Associar a nomenclatura de figuras geométricas às suas respectivas
representações. Calcular a área de figuras planas, usando unidades de medida
padronizadas. Associar números fracionários com uma representação concreta e
compara-los.
Ano e nível sugeridos
A partir do 6º ano do ensino Fundamental.
Mídias Existentes (fotos, filmes, sítios, slides, t extos relacionados,
referências, etc.)
GERÔNIMO, J. R.; FRANCO, V. S Geometria Plana e Espacial – Editora
Massoni. Maringá PR, 2005. Neste livro encontram-se definição e conceito de
trapézios e paralelogramos (losango, retângulo e quadrado) nas páginas 86 e 87.
Além de propriedades e exercícios destas e outras figuras planas.
SOUZA, ELIANE REAME DE; DINIZ, MARIA IGNEZ DE S. VIEIRA;
PAULO, ROSA MONTEIRO; OCHI, FUSAKO HORI. A Matemática das Sete
Peças do Tangram. São Paulo, CAEM-IME-USP, Neste livro encontram-se
atividades do 1º a 8º ano do Ensino Fundamental como formação de polígonos,
relacionando frações e área, construindo o Tangram por dobradura, construindo o
Tangram com régua e compasso, semelhança de triângulos do Tangram e o por
quê não é possível construir um quadrado com 6 peças.
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ROCCO, K. C.; BRIGO J. Problematizando o uso do tangram - Anais XV
Erematsul Criciúma, 2009 Neste slides você encontra atividades desenvolvidas
utilizando o Tangram com conteúdos referentes a áreas e perímetros de figuras
planas e frações e incluí também algumas classificações de tipos de jogos e
curiosidade e reflexões sobre o Tangram.
http://4pilares.zi-yu.com/?page_id=385 (acesso em 19/11/2012) Modelo
de 120 figuras que podem ser trabalhadas com o Tangram.
Material necessário
Para o Laboratório de Ensino e para aplicação em sala de aula, amostra
em cartolina americana, lápis, 2 folha sulfite, tesoura.
Para o Laboratório de Ensino:
Amostra em EVA: folha de EVA, lápis, folha sulfite, tesoura.
Amostra em MDF: Placa de MDF, lápis, 2 Papel Sulfite, pincel nº 10 para
pintar,4 tinta acrílica (Cores distintas). Para a confecção em MDF, indica-se um
marceneiro.
Como construir
Em cartolina americana e EVA
Recorte um quadrado de lado 8 cm. O restante da construção é realizada
durante o desenvolvimento da atividade.
Em MDF
Corte as peças em MDF como mostra o projeto. Pinte, com a tinta acrílica,
cada peça de uma cor diferente, ou seja, triângulos grandes da uma cor,
triângulos pequenos de outra cor etc.
Cuidados necessários
Na aplicação: Observar se os alunos estão dobrando e cortando as peças
corretamente conforme o indicado.
Na construção: Que as peças (em MDF) sejam cotadas com as dimensões
conforme mostra o projeto.
Desenvolvimento da atividade
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Em cartolina americana
1ª Parte - Construção
Entrega-se o pedaço de cartolina americana recortado na forma deu um
quadrado para cada aluno. Pergunta-se, quais são as propriedades de um
quadrado e discuta se este pedaço é realmente um quadrado, ou apenas um
objeto concreto que possuí sua forma.
Peça que eles unam dois “vértices opostos” deste “quadrado” e recortem.
Pergunte qual é o nome e as propriedades das duas figuras obtidas.
Figura 2
Peça, para cada aluno, dobrar um dos “triângulos” ao meio, de forma a unir
os “vértices” de seu lado maior. Discuta com eles qual o nome do ponto
encontrado se considerar a intersecção da marca da dobradura com o lado maior.
Após a discussão, solicite que eles recortem sobre a marca dobrada. Estes serão
os 2 Triângulos Grandes (Tg).
Figura 3
Peça para eles encontrarem o ponto médio (PM) do lado maior de “um
triângulo grande” sem recortado. Peça que unam o “vértice oposto” ao lado maior
do Triângulo Grande com o ponto médio (PM). Após recortar sobre a marca
dobrada, pergunte aos alunos as propriedades das figuras resultantes. O
“triângulo” formado será o Triângulo Médio (Tm).
21
Figura 4
Solicite, a cada aluno, para dobrar o “trapézio” ao meio de forma a unir os
“vértices” do lado maior do “trapézio” e posteriormente recortarem sobre as
marcas da dobradura. Pergunte o nome e as propriedades das figuras obtidas.
Figura 5
Solicite aos alunos que unam os “vértices” do lado maior de um dos
“trapézios” e recorte obtendo as peças que denominaremos por Triângulo
Pequeno (Tp) e Quadrado (Q).
Figura 6
Peça aos alunos para pegar o outro “trapézio”, e solicite que eles unam o
seu “vértice” referente ao ângulo reto ao “vértice” oposto a este ângulo reto.
Obtendo, após o recortarem, as peças que serão denominadas por Paralelogramo
e, também, por Triângulo Pequeno. Discuta o nome e as propriedades da primeira
figura.
22
Figura 7
2ª Parte – Área
Estabelecer com os alunos que a área do Quadrado seja igual 1 u.a.
(unidade de área).
Peça para que eles calculem o valor das áreas das outras 6 peças
utilizando a mesma unidade de área estabelecida.
Pergunte quantas maneiras possíveis existem para obter:
i. Triângulo(s) com área igual a 1 u.a..
ii. Triângulo(s) com área igual a 2 u.a..
iii. Triângulo(s) com área igual a 4,5 u.a..
iv. Paralelogramo(s) com área igual a 1 u.a..
v. Paralelogramo(s) com área igual a 6 u.a..
vi. Retângulo(s) com área igual a 4 u.a..
vii. Retângulo(s) com área igual a 8 u.a..
viii. Quadrado(s) com área igual a 1 u.a..
ix. Quadrado(s) com área igual a 2 u.a..
x. Quadrado(s) com área igual a 4 u.a..
xi. Quadrado(s) com área igual a 8 u.a..
3ª Parte – Fração
Estabeleça com os alunos que o quadrado formado com as 7 peças (com 8
u.a.do item anterior) representará um inteiro.
Peça para eles representarem a fração correspondente as 7 peças do
tangram e as figuras que estas justapostas possam formar.
Potencialidades
23
Pode-se estabelecer que outras peças do tangram representem um inteiro
da fração.
Ao considerar o lado de uma figura como uma unidade de comprimento,
por exemplo o lado do quadrado equivale a 1 u.c., pode-se trabalhar com o
perímetro das 7 peças do tangram e as figuras que estas justapostas possam
formar. Com isso pode-se mostrar o por quê não é possível formar um quadrado
com 6 peças, todavia exige que os alunos conheçam conteúdos referentes ao
Teorema de Pitágoras e propriedades referentes a operação de soma de números
racionais e irracionais. Pode-se formas vários tipos de figuras com as peças do
Tangram.
Limitações
Caso o material seja feito em MDF, não será possível explorar os conceitos
das figuras da 1ª parte.
Há uma grande variedade e formas de quebra-cabeças com característica
semelhantes a do Tangram Chinês; veja alguns deles.
5.3. Retângulo de Brügner - 3 Peças
Figura 1
Apresentação
Em 1984, o matemático alemão Georg Brϋgner criou, a partir de um
triângulo, um interessante Tangram de três peças. Brϋgner buscava a
proporção necessária entre as peças de modo que este quebra-cabeça permitisse
aperfeiçoar o número de figuras convexas que se pudessem ser formadas pela
junção das peças.
24
Ele impôs a condição de , e isto o levou a um
modelo de tangram que permite formar dezesseis figuras
convexas. É interessante notar que no puzzle chinês de sete
peças apenas é possível formar treze figuras convexas.
A partir da demonstração algébrica apresentada por
Brϋgner, pode-se concluir que , onde (phi) é a letra grega que denota o
número áureo: .
Figura 3 Figura 4 Figura 5 Figura 6
Figura 7
Figura 8
Figura 9
Figura 10
Figura 11 Figura 12 Figura 13 Figura 14
Figura 15 Figura 16 Figura 17 Figura 18
Descrição
O Tangram de Brϋgner é composto de 3 peças (3 triângulos retângulos
semelantes e proporcionais), obtidos de um retângulo de lados 11,6 cm por 14,8
cm podendo ser feito de cartolina americana, EVA ou MDF.
Objetivos
Figura 2
25
Desenvolver a capacidade de analisar questões relacionadas com
geometria através de brincadeiras, o pensamento crítico e a capacidade de
aprender sozinho.
Criar figuras com representações planas e de formas geométricas.
Conteúdo estruturante
Geometria
Conteúdo Básico
Geometria Plana
Expectativa de Aprendizagem
Que o aluno adquira conceito de geometria plana e o conhecimento de
triângulos semelhantes e congruentes, ângulo, perímetro, área.
Ano sugerido
É indicado para alunos de todas as séries da educação básica. O que
deverá variar em cada caso, são as exigências formais envolvidas, no que trata
da análise das propriedades das figuras obtidas e na nomenclatura apresentada,
com menos ou mais rigor, dependendo do nível da turma e dos objetivos a serem
alcançados.
Mídias Existentes (fotos, filmes, sítios, slides, t extos relacionados,
referências, etc.)
GERÔNIMO, João Roberto. Carlos, Maciel Araújo. Oficina: Os diversos
Tangrans e suas construções. Departamento de Matemática, UEM, Paraná, 2012.
Neste site há vários Tangrans e jogos com eles. Está em inglês, mas de
fácil compreensão. Também se pode fazer a tradução do texto.
Material necessário e Custo (por Aluno)
Para aplicação em sala de aula, amostra em cartolina americana, lápis,
folha sulfite, tesoura.
Para o Laboratório de Ensino, confeccionar em EVA ou em MDF.
26
Construção
Poderá ser feito através de desenho geométrico com régua e compasso ou
utilizar o Softwaer Geogebra.
1. Trace sobre a reta o segmento AB de comprimento d.
Figura 19 2. Encontre o ponto médio M do segmento AB. Levante uma reta r perpendicular
à c passando por B.
Figura 20 3. Com a ponta seca do compasso no ponto B e com abertura BM, marque sobre
r o ponto O.
Figura 21
4. Trace a reta t que passa pelos pontos A e O.
27
Figura 22
1. Com a ponta seca do compasso sobre o ponto O e com abertura BM, marque
sobre t o ponto N.
Figura 23
6. Centrando a ponta seca do compasso sobre o ponto A e com abertura AN,
marque sobre c o ponto D.
Figura 24 7. Com a ponta seca em D e com abertura AB, marque sobre r o ponto E.
Figura 25
8. Trace os segmentos AE e DE .
28
Figura 26
9. Centrado no ponto A e com abertura AB, trace um semi-arco.
Figura 27
10. Com a ponta seca sobre o ponto D e com abertura AE, marque sobre o semi-
arco o ponto F.
Figura 28 11. Trace os segmentos AF , DF , AD e BE
29
Figura 29 Como construir
Fazer uma amostra do tamanho que comportar o sulfite e transportar para
cartolina, EVA ou MDF.
Cuidados necessários
Na aplicação: Observar se os alunos estão manuseando corretamente a
régua e compasso ou as ferramentas do Geogebra.
Na construção: Que as peças (em MDF) sejam cortadas com as dimensões
conforme mostra o projeto ou proporcionais a elas.
5.4. Cardio Tangram ou Coração Partido
Figura 1 Apresentação
O cardio tangram é mais um dos quebra-cabeças matemáticos junto com
uma sequência de diversos Tangrans com o quadrado que é o mais conhecido
com sete peças, tangram oval, stomachion, e outros como de três, cinco, seis,
sete (diferente das formas do tangram quadrado), oito peças, etc..
30
Através das pesquisas feitas não foi encontrado nenhum documento que
pudesse revelar sua origem ou alguma explicação lógica de quem o descobriu e
como surgiram as figura feitas com as 9 peças dele.
Descrição
Em forma de coração constituído por oito ou nove peças sendo, quatro ou
cinco setores circulares, um quadrado, um trapézio retangular, um
paralelogramo, um triângulo retângulo. A diferença entre o número de peças
está em um dos setores circulares que poderá ser dividido em dois outros
setores de acordo com o mostrado neste projeto.
Pode ser confeccionado em papel sulfite ou em EVA ou MDF com pouca
espessura para ser armazenado no LEM..
Objetivos
Desenvolver a capacidade de analisar questões relacionadas com
geometria através de brincadeiras, o pensamento crítico, criatividade e a
capacidade de aprender sozinho.
Criar ou copiar figuras com representações planas com formas redondas.
Conteúdo estruturante
Geometria
Conteúdo Básico
Geometria Plana
Expectativa de aprendizagem
Que o aluno possa adquirir o conceito de raio, diâmetro, corda, ângulo no
circulo, tangente, secante e segmento de círculos.
31
Ano e nível sugeridos
Os conteúdos citados poderão ser adaptados de acordo com os anos em
for aplicada a atividade. Portanto para os quatro anos do ensino fundamental II.
Mídias existentes (fotos, filmes, sítios, slides, t extos relacionados,
referências etc.)
http://picasaweb.google.com/lh/photo/nyr72nNpNtjI8b ufA_Y3CA
Neste site encontra-se a sobra das figuras que poderão ser confeccionadas com
as peças do tangram do coração.
http://agriamargo.blogspot.com.br/2012/02/cardio-tangram.html Neste blog
encontra-se sugestões de figuras que poderão se confeccionadas com as peças
do tangram do coração Essas imagens estão mostrando o lugar de cada peça.
Material necessário
Em sala de aula
Papel sulfite ou EVA, lápis, compasso, régua, tesoura sem ponta, lápis de
cor.
No LEM
Para fazer parte do LEM poderá ser com EVA ou MDF com pouco
espessura de preferência
Como construir
É interessante reproduzir este Tangram do "Coração Partido" ou “Cardio
Coração” descrevendo todo o processo de construção. Observando todos os
elementos da Geometria que foram usados em sua construção e pensar na
composição de algumas figuras por ele compostas.
1. Trace um quadrado com uma medida qualquer
32
Figura 2 2. Uma os pontos médios dos lados paralelos
Figura 3
3. Com a ponta seca do compasso no ponto F e a outra no ponto B, trace o arco
de circunferência até o ponto A. Em seguida, com a ponta seca do compasso no
ponto G e a outra no ponto B, trace o arco de circunferência até o ponto C.
Figura 4
Figura 5 4. Trace o segmento de reta que une os pontos F e E, o segmento que une os
pontos F e O, o segmento de reta que une os pontos O e G, e por fim, o
segmento que une os pontos O e D.
33
Figura 6
5. Prolongue os segmentos de restas OF e OG até interceptarem os semiarcos
AFB e BGC, respectivamente.
Figura 7
6. Trace o segmento de reta que passa pelos pontos F e G cortando o semiarco ∢
(GCB).
Figura 8
7. Apague os segmentos EO, FG e OH.
Figura 9 Desenvolvimento da Atividade
34
a) Faça um molde seguindo a sequência de construção descrita acima em
um sulfite, EVA ou MDF.
b) Recorte as peças utilizando tesoura para sulfite e EVA. Se for construir
em MDF, é melhor pedir para um marceneiro ou artesão para tangram.
c) Denominar cada peça do tangram de acordo com sua forma
geométrica.
d) Deixar os alunos terem contato com as peças e voltarem confeccionar a
figura do coração, se necessário dar algumas pistas para não haver
desmotivação.
e) Elaborar figuras através do moldes das figuras onde mostram as peças.
f) Montar figuras com a sombra do molde onde exige mais raciocínio do
aluno.
Potencialidades
De acordo com o encaminhamento dado pelo professor, poderão ser
abordados conteúdos de geometria plana como: ponto, reta, ponto médio,
perpendicular, arco de circunferência, diagonal, etc.
Após o desenvolvimento da atividade pode-se fazer uma conexão com arte
mostrando a beleza das figuras confeccionadas e desenvolver a criatividade de
tentar reproduzir outras figuras ou da forma de decoração utilizada.
Limitações
Este material poderá ser utilizado em qualquer ano do ensino fundamental
II de acordo com a abordagem dada pelo professor em relação ao conteúdo.
5.5. Trilha Geometrica
Apresentação
Através desta trilha geométrica você poderá se divertir e testar os seus
conhecimentos de matemática. O professor pode trabalhar a geometria com o
35
estudo de algumas figuras planas, onde os alunos vão desenvolver em grupo os
conceitos desse conteúdo.
Descrição
Atividades com desenhos, recortes e colagem para o estudo de figura planas,
onde pode ser trabalhado em sala de aula ou no laboratório de matemática.
Objetivo
Analisar, explorar os conceitos de figuras geométricas planas (quadrado,
paralelogramo, triângulo escaleno, triângulo equilátero, pentágono e hexágono),
assim como as definições.
Conteúdo estruturante
Geometria
Conteúdo básico
Geometria plana
Expectativa de aprendizagem
Que o aluno adquira conceito de geometria e o conhecimento de algumas
figuras geométricas
Série e nível sugerido
Indicado para alunos de todas as séries da educação básica. O que deverá
variar em cada caso, são as exigências formais envolvidas, no que trata de
analise das propriedades das figuras obtidas e nomenclatura apresentada, com
menos ou mais rigor, dependendo do nível da turma e dos objetivos a serem
alcançados.
Material necessário
1 Cartolina preta
1 Cartolina amarela
Pedaços de cartolina azul escuro, verde, laranja, azul claro, amarelo, etc.
36
Tesoura
Régua
Cola
Compasso
Como construir
a) Fazer um circulo modelo com o raio igual a 3 cm, na cartolina amarela.
Figura 1
b) Com o circulo modelo fazer 50 círculos congruentes ao modelo na cor
amarela
c) Colocar os 50 círculos numa cartolina preta para formar a trilha geométrica
de acordo com o modelo
Figura 2
d) Em seguida, ir enumerando e desenhando os smilinguidos ou qualquer
outra figura, conforme o modelo acima.
e) Confeccionar 18 cartões no formato de um quadrado de 5x5 cm e em
seguida escreve as seguintes perguntas em cada cartão.
• Como se chama um triângulo que tem todos os lados diferentes?
37
• Qual e o nome do polígono de quatro lados?
• Qual e o nome do quadrilátero que tem os lados opostos paralelos?
• Um triângulo de dois ângulos internos de 70º. Cada um. Qual a medida
o outro ângulo interno?
• Um triângulo retângulo é também isóscele. Qual e a medida de cada
um dos ângulos agudos?
• Um quadrilátero tem três ângulos de 90º cada um. Qual a medida do
outro ângulo?
• Um triângulo retângulo e também escaleno. Um dos seus ângulos mede
55º, quanto mede os outros ângulos?
• Um paralelogramo tem um ângulo de 105º. Qual a medida dos outros
três ângulos?
• Um trapézio retângulo tem um ângulo de 78º. Qual a medida dos outros
três ângulos?
• Qual a medida de cada um dos ângulos internos do triângulo
equilátero?
• Num trapézio retângulo o ângulo obtuso mede o dobro do ângulo
agudo. Qual e a medida desses dois ângulos?
• Um triângulo isóscele tem um ângulo de 110º. Qual e a medida dos
outros dois ângulos?
• Como se chama o quadrilátero que tem todos os ângulos retos?
• Explique o que é um losango.
• Define o que é um trapézio.
• Qual e o nome das três principais figuras geométricas que compõem a
bandeira brasileira?
• Qual é a soma das medidas dos ângulos internos de cada um dos dois
principais polígonos que compõem a bandeira brasileira?
• O que é um triângulo obtusângulo?
f) Construir um dado com medida de 5x5 cm conforme o modelo, onde serão
colocadas as figuras geométricas como quadrado, paralelogramo, triângulo
equilátero, triângulo escaleno, hexágono e pentágono. Nas medidas:
38
quadrado, de três cm dê cada lado; paralelogramo, 2x4 cm; pentágono, 2
cm de cada lado; triângulo equilátero, 2 cm de cada lado; triângulo
escaleno, 4,5x2,5x5 cm e hexágono 2 cm de cada lado.
Figura 3
Figura 4
Cuidados necessários
a) Na aplicação o professor deve estar sempre verificando se os alunos estão
desenhando, recortando e colando corretamente. Observar o manuseio da
tesoura.
b) Na construção, verificar se os hexágonos estão bem colocados, e
numerados e desenhados de acordo.
c) Na conservação, depois de confeccionados deve ser guardados em
lugares planos, para que os mesmo não ficam dobrados.
Desenvolvimento
Jogo da trilha geométrica
Número de participantes: dois a quatro participantes
Material necessário: dado especial, fichas com perguntas, tabuleiro do jogo,
tampinhas coloridas para ser usadas como peões.
Regras
1) As fichas devem ser embaralhadas e colocadas sobre a mesa com as
perguntas viradas para baixo.
2) O jogador sorteia o dado e anda tantas casas quantos forem os lados do
polígono sorteado.
39
3) Caso o jogador pare numa das casas marcadas com abelhas, ele deve
sortear um cartão. Se responder corretamente a pergunta avança duas
casas; caso contrário, volta três casas.
4) Depois de responder a pergunta, o jogador mistura a ficha com as outras.
5) Ganha o jogo quem, primeiro, alcançar a chegada.
5.6. Avançando com as Figuras Geométricas
Apresentação
Este é um jogo de tabuleiro que trabalha de maneira lúdica a geometria. Ao
jogar desenvolve conceitos da geometria espacial e ao construir trabalha
conceitos da geometria plana. O jogo é um desafio, usado como metodologia de
ensino nas aulas de Matemática ou em Laboratório de ensino da Matemática.
Ressalta-se que esse, quando preparado adequadamente, pode ser um recurso
pedagógico eficaz na construção do conhecimento matemático.
Descrição
Um tabuleiro retangular de dimensões 22 cm x 30 cm, com registros de
números naturais do 1 ao 50 , dois marcadores, fichas com formas triangulares,
quadradas, pentagonais, hexagonais, heptagonais, decagonais , um dado com
nomes de figuras geométricas nas faces e sólidos geométricos diversificados.
Objetivos
a) Usar os jogos matemáticos como atrativo de ensino/aprendizagem da
matemática.
b) Desenvolver raciocínio geométrico.
c) Amadurecer os conceitos da geometria espacial e preparar o aluno para
aprofundar os itens já trabalhados.
Conteúdo estruturante
Geometria
Conteúdo básico
40
Poliedros, prismas, nomes das figuras geométricas espaciais, faces, vértices,
arestas.
Expectativa de aprendizagem
Que o indivíduo demonstre pré-disposição em aprender. Diferencie a
geometria plana da espacial, construa com régua, compasso e transferidor
algumas figuras geométricas planas, consiga dar nomes às figuras geométricas
planas e espaciais e se aproprie dos conceitos essenciais desta geometria.
Assim, desenvolver a autoconfiança, a organização, concentração, atenção,
raciocínio lógico-dedutivo e o senso cooperativo, estimulando a socialização e
aumentando as interações do indivíduo com outras pessoas.
Série e nível sugeridos
A partir do 6º ano do ensino fundamental.
Material necessário
Papel cart. Americana – 48 x 66 cm ou Placa de MDF – 3mm- 183 x 275
cm para maior durabilidade
Folha de sulfite
Régua
Lápis
Tesoura
Lápis de cor
Canetinha preta
Transferidor
Compasso
Caixa de sólidos geométricos de madeira (opcional)
Como construir
Em cartolina americana:
a) Desenhe e recorte um retângulo de dimensões 22 cm x 30 cm (do tamanho de
uma folha de sulfite).
b) Faça com a canetinha os registros dos numerais conforme a foto abaixo.
41
c) E pinte de cores diferentes as casas com palavras escritas e o ‘FIM’.
Figura 1 d) Construa sólidos geométricos ou use a caixa de sólidos em madeira, colocando
etiquetas de fita crepe em cada um.
A – Cubo
B- Cilindro
C- Prisma de base pentagonal
D- Paralelepípedo
E- Esfera
F- Pirâmide de base quadrada
G- Prisma de base Hexagonal
H- Cone
I- Prisma de base triangular
j- Pirâmide de base retangular
Figura 2 e) Construa um cubo usando a técnica do origami e escreva nas faces: triângulo,
quadrado, pentágono, hexágono, estrela e na última face escreva o nome de três
figuras (quadrado, pentágono e hexágono).
42
Figura 3
Figura 4
f) Desenhe e recorte as fichas com as seguintes figuras geométricas:
g) 10 fichas com o formato de triângulo equilátero de 8 cm de lado, contendo em
cada uma as seguintes perguntas:
• Como é o nome da figura A.
• Como é o nome da figura B.
• Como é o nome da figura C.
• Como é o nome da figura D.
• Como é o nome da figura E.
• Como é o nome da figura F.
• Como é o nome da figura G.
• Como é o nome da figura H.
• Como é o nome da figura I.
• Como é o nome da figura J.
- 10 fichas quadradas de 7 cm de lado , contendo as perguntas:
• Quantos vértices tem a figura A?
• Quantos vértices tem a figura C?
• Quantas arestas tem a figura D?
• Quantas faces tem a figura F?
• Quantos vértices tem a figura G?
• Quantas faces tem a figura I?
• Quantas arestas tem a figura J?
• Quantas faces tem a figura C?
• Quantas arestas tem a figura G?
• Quantas faces tem a figura D?
43
- 10 fichas com formato de pentágono regular, traçado em uma circunferência de
4 cm de raio :
• Explique a diferença entre as figuras geométricas planas e espaciais.
• A figura B é um poliedro? Por quê?
• A figura C é um prisma? Por quê?
• A figura E é um poliedro? Por quê?
• A figura F é um prisma? Por quê?
• A figura H é um poliedro? Por quê?
• O que caracteriza a figura I para ser um prisma?
• Porque a figura J não é um prisma?
• Porque a figura H não é um poliedro?
• Todo poliedro é prisma?
- 10 fichas com formato de hexágono regular, traçado em uma circunferência de 4
cm de raio :
• Quantas faces tem um tetraedro?
• Quantas faces tem um pentaedro?
• Quantas faces têm hexaedro?
• Quantas faces tem um heptaedro?
• Qual é o número de faces de um octaedro?
• Quantas faces tem um eneaedro?
• Qual é o número de faces de um decaedro?
• Quantas faces tem um undecaedro?
• Qual é o número de faces de um dodecaedro?
• Quantas faces tem um icosaedro?
Cuidados necessários
a) Na aplicação:
- O professor deve estar sempre atento às respostas dadas pelos alunos, fazendo
as intervenções necessárias.
b) Na construção:
44
- Observar se os recortes e os vincos estão sendo feitos corretamente;
- Se a canetinha esta sendo usada de maneira correta;
-Os numerais do tabuleiro devem ser registrados na mesma sequência que
mostra a foto.
-As fichas desenhadas corretamente ( uso de compasso e régua) e contendo
todas as perguntas.
-O dado com as marcações corretas nas faces.
- Na conservação, o material deverá ser guardado em local seco e arejado.
Desenvolvimento da Atividade
a) Número de participantes: equipes de 2 a 3 alunos.
b) As equipes jogam alternadamente.
c) Sobre a mesa, deve estar o tabuleiro numerado, os marcadores, as fichas de
formas geométricas, o dado ( SUGESTÃO: CUBO FEITO EM ORIGAMI),
sólidos geométricos previamente construídos ou caixa de sólidos geométricos
marcados com as letras do alfabeto.
d) Cada equipe coloca inicialmente o seu marcador no início.
e) Cada jogador, na sua vez, lança o dado que indicará quantas casas irá andar
no tabuleiro ( triângulo- 3 casas, quadrado- 4 casas, pentágono 5 casas,
hexágono- 6 casas) se responder a pergunta da ficha correspondente,
corretamente .
f) Cada aluno deverá responder as fichas, previamente embaralhadas,
obedecendo à regra que tem que ser a de cima, podendo para responder,
manusear as figuras espaciais que estão na mesa.
g) Após responder, a ficha é colocada novamente no mesmo monte, mas por
baixo.
h) Se não responder corretamente o que está escrito na ficha correspondente ao
que caiu no dado, não avança.
i) Se no dado cair a estrela, deverá passar a vez para o próximo jogador.
j) Se cair a face com as três figuras juntas, o aluno poderá escolher qual irá
responder; lembrando que se escolher por exemplo, o triângulo, responderá a
ficha triangular e acertando, avançará 3 casas.
45
k) Se ao avançar, parar numa casa com alguma pergunta ou ordem, terá que
responder e obedecer.
l) Cada jogador deverá responder o maior número possível de perguntas,
corretamente, e fazer com que seu marcador avance exatamente a
quantidade de casas que possibilite parar na casa “FIM”.
m) Caso não responda corretamente, passa a vez e mantém seu marcador na
casa em que ele estava.
n) Vence o jogador que primeiro alcançar a casa “FIM”.
Potencialidades
O professor pode construir o jogo juntamente com os alunos, trabalhando
alguns conceitos geométricos de figuras planas e espaciais. Pode-se pensar na
construção de tabuleiros com outros números e/ou com outros tipos de dados,
sendo necessário manter o desenvolvimento e a estrutura do jogo, a fim de
trabalhar os conceitos da geometria espacial. Com este recurso didático, é
possível garantir a assimilação dos conceitos e a memorização dos nomes das
figuras. Colabora também para uma aprendizagem concreta destes mesmos
conceitos, pois ao responder o aluno poderá manusear o material e assim,
construir o significado do que está sendo perguntado.
Limitações
É possível trabalhar com alguns conceitos da geometria, pois se os
números fossem de maior quantidade o jogo poderia se tornar cansativo.
5.7. 64=65?
Apresentação
Um sofisma (do grego antigo σόϕισµα -ατος, derivado de σοϕίξεσϕαι que
significa "fazer raciocínios capciosos") é um argumento ou falso raciocínio
formulado com o fim de induzir em erro. Nesta atividade, apresentarei um sofisma
matemático que, por meio de sua construção, pode induzir os alunos a concluírem
que 64 pode ser igual a 65.
46
Descrição
Um quadrado de 8 unidades de lado em papel quadriculado ou um
quadrado de 24cm de lado em EVA, ambos envolvendo recortes para montagem
Este material pode ser apresentado também em madeira (MDF, por exemplo) nas
mesmas medidas do EVA.
Objetivos
• Observar que a intuição pode falhar;
• Perceber a importância da demonstração em matemática.
Conteúdo estruturante
Geometrias
Conteúdo básico
Lógica.
Expectativa de aprendizagem
Desenvolver a capacidade de raciocínio.
Ano e nível sugeridos
Pode ser aplicada a partir da 5ª série do Ensino Fundamental ou para
alunos que possuam o conceito intuitivo de área.
Mídias existentes (fotos, filmes, sítios, slides, t extos relacionados,
referências etc.)
a) IGNÁTIEV, E. I. En el reino del ingenio Moscú: Editorial Mir, 1986. Este
livro escrito originalmente em russo, e traduzido para o espanhol, traz vários
problemas matemáticos escritos em linguagem popular. Esta atividade aparece
como um problema na página 75 e sua explicação se encontra na página 205 do
mesmo livro.
b) GERÔNIMO, J. R.; FRANCO, V. S. Geometria Plana e Espacial.
Maringá/PR: Massoni,2005. Neste livro encontram-se axiomas, proposições e
47
teoremas de Geometria Plana e Espacial, incluindo a demonstração dos axiomas
relacionados à área (Capítulo 6, página 103).
c) http://www.profcardy.com/desafios/aplicativos.php?id=122 (acessado em
08/11/2012).
Apresentação de uma animação.
d) http://wwmat.mat.fc.ul.pt/~jnsilva/hm2008_9/Livro1.pdf (acessado em
08/11/2012). Livro disponível em forma eletrônica que apresenta uma descrição
do problema e solução, além de alguns aspectos curiosos.
Material
Papel quadriculado na aplicação, juntamente com o desenvolvimento da
atividade com alunos e para Laboratório de Ensino, amostra em EVA ou em MDF:
Como construir
Em papel quadriculado:
a) Recorte no papel quadriculado um quadrado formado por 8 x 8 quadradinhos.
b) Considere cada quadradinho uma unidade de área.
c) Qual a área deste quadrado em unidades?
d) Desenhe os segmentos de reta (em vermelho) conforme a figura a seguir.
Figura 1
e) Recorte nos segmentos desenhados.
f) Com as quatro peças que foram recortadas, forme um retângulo.
g) Qual a área deste retângulo?
h) O quadrado e o retângulo possuem a mesma área?
i) Explique o que ocorreu.
48
Em EVA: para o acervo do Laboratório de Ensino
a) Desenhe e recorte no EVA um quadrado de 24 cm de lado.
b) Quadricule o EVA com a caneta em quadrados de 3 cm de lado.
c) Desenhe os segmentos de reta (em pontilhado), conforme a figura a seguir.
Modelo para desenho e recorte
Figura 2
d) Recorte nos segmentos desenhados.
Cuidados necessários
a) Na aplicação, observar o manuseio das tesouras.
b) Na construção, observar se os recortes estão corretos.
c) Na conservação, o material em EVA e MDF deverá ser guardado em local seco
e arejado.
Potencialidades
Através da explicação do, por que isso ocorre, podem ser trabalhados
conteúdos de geometria como: propriedade de figuras geométricas, trigonometria
em um triângulo retângulo e o cálculo e o conceito de área.
Após o desenvolvimento da atividade e a conclusão do erro cometido,
pode-se fazer uma conexão com a filosofia, analisando mais profundamente o
significado de sofisma/falácia e apresentar diversos tipos de falácias que são
usualmente repetidas no cotidiano e aceitas como verdade.
Limitações
Este material pode ser trabalhado em qualquer série ou nível, desde que o
aluno possua a noção intuitiva de área.
49
5.8. Faixa de Möbius
Apresentação
Passado um século e meio de sua criação, a faixa de Möbius ainda causa
admiração nas pessoas. Por ter uma aparência instigante, essa criação chamou a
atenção de vários artistas que a eternizaram em esculturas e em pinturas.
Dentre esses artistas, destacam-se Max Bill (1908 – 1994), com sua
escultura “Endless Ribbon” e M. C. Escher (1898 – 1975), com sua obra “Möbius
Strip II”.
Foto da faixa de Möbius (http://en.wikipedia.org/wiki/File:M%C3%B6bius_strip.jpg)
Figura 1
Há menção da faixa de Möbius até mesmo na ficção científica com o filme
“A Subway Named Möbius” de A. J. Deutch (1950), e o filme argentino “Möbius”
(1996) de Gustavo Mosquera.
Descrição
Faixas recortadas de um papel sulfite formato A4.
Objetivos
a) Construir uma faixa de Möbius com recorte e colagem de papel;
b) Explorar as características de uma faixa de Möbius;
c) Caracterizar superfície não-orientável.
Conteúdo Estruturante
Geometria.
Conteúdos Básicos
50
Topologia.
Expectativa de aprendizagem
Ampliar e aprofundar os conceitos geométricos em um nível abstrato mais
complexo.
Ano e nível sugeridos
A partir da 8ª série.
Mídias Existentes (fotos, filmes, sítios, slides, t extos relacionados,
referências etc.)
a) http://www.midimagem.eesc.usp.br/situs/a_fmobi.htm (acessado em
02/02/2009). Neste site pode-se obter outras informações e fotos poderão ser
obtidas.
b) GERÔNIMO, J. R.; FRANCO, V. S. Geometria Plana e Espacial.
Maringá/PR: Massoni,2005. Neste livro encontra-se uma atividade semelhante.
c) CARMO, Manfredo P. do. Geometria Diferencial de Curvas e
Superfícies. Rio de Janeiro: SBM, 2005. Este livro apresenta um estudo
aprofundado sobre superfícies.
d) SAMPAIO, J. C. V. Uma introdução à topologia geométrica: passeios de
Euler, superfícies, e o teorema das quatro cores. São Carlos: EduFSCar, 2008.
Este livro apresenta uma abordagem intuitiva de topologia.
Como construir
Em EVA para uso no Laboratório de Ensino.
a) Corte um EVA de 2 mm no formato retangular nas dimensões 60 cm x 12 cm;
b) Desenhe em cada ponta da faixa uma seta, como indicado na figura a seguir:
51
Modelo para corte do EVA.
Figura 2
c) Cole as pontas da faixa de forma que as setas fiquem sobrepostas e com a
mesma orientação, fazendo-se, em uma das pontas um giro de 1800.
Modelo para corte do EVA.
Figura 3
Cuidados Necessários
a) Na aplicação:
• Observar o manuseio das tesouras;
• Esperar a cola secar para manusear a faixa para que as pontas não se
soltem.
b) Na construção:
• Observar o manuseio do estilete;
• Esperar a cola secar para manusear a faixa para que as pontas não se
soltem;
• Observar se os recortes estão corretos.
c) Na conservação: O material em EVA deverá ser guardado em local seco e
arejado.
Desenvolvimento da Atividade
a) Recorte três faixas retangulares de papel nas dimensões 30 cm x 6 cm.
b) Com uma das faixas, faça uma faixa cilíndrica, de acordo com a figura,
colando-se as pontas.
52
Faixa cilíndrica
Figura 4
c) Recorte a circunferência central e observe o que se obtém.
d) Com as outras faixas, desenhe em cada ponta da faixa uma seta, como
indicado na figura a seguir:
Modelo para colar as pontas no papel
Figura 5
e) Cole as pontas da faixa de forma que as setas fiquem sobrepostas e com a
mesma orientação, fazendo-se, em uma das pontas um giro de 180º (Figura 2.3)
formando duas faixas de Möbius.
f) Com uma das faixas de Möbius, recorte na circunferência central, como
indicado na figura
Figura 6
g) Observe o que se obtém fazendo medições com régua e anote as
observações.
h) Faça um recorte na circunferência central da faixa resultante e anote as
observações realizadas.
53
i) Com a outra faixa de Möbius, faça um recorte sobre a circunferência que dista,
aproximadamente, 2 centímetros de uma das laterais da faixa (isto é,
aproximadamente 1/3 da largura da faixa).
j) Observe o que resulta desse recorte e faça anotações.
k) As observações e anotações a serem feitas a partir dos recortes devem
considerar alguns aspectos:
- Quantas faixas resultaram do recorte?
- Qual o tamanho da(s) faixa(s) resultante(s) em relação à faixa original?
- Quantas semi-torções têm a(s) faixa(s) obtida(s)?
- Que tipo de superfície obteve-se: orientável ou não-orientável?
Potencialidades
Essa atividade permite a exploração de alguns conceitos topológicos de
forma fácil.
Paralelamente aos conceitos matemáticos envolvidos, pode-se estudar o
contexto histórico de quando foi criada a faixa de Möbius. Pode-se ainda
estabelecer relações com conteúdos da Física Moderna.
Limitações
Uma limitação desta atividade é a não exploração das observações
realizadas, o que torna a atividade pobre.
5.9. Torre de Hanói
Apresentação:
Este é um material didático que proporciona um divertido jogo investigativo,
a fim de estimular o raciocínio lógico e indutivo dos alunos desafiando-os a
calcular e aperfeiçoar o número de movimentos realizados, além de possibilitar
uma contextualização de conteúdos como potenciação, função e progressão
geométrica. Além disso, esse material pode ser trabalhado por meio de uma
interessante lenda hindu, que já era conhecida desde 1883 pelo matemático
Edouard Lucas inventor do brinquedo.
Descrição:
54
Este é um material didático manipulável que pode ser utilizado em
exposição de materiais didático, em Laboratório de Ensino de Matemática ou em
atividades extracurriculares.
Objetivos:
Desenvolver estratégia, aguçar o raciocínio lógico e indutivo dos jogadores.
Conteúdo Estruturante:
Números e álgebra.
Conteúdo Básico:
Potenciação e radiciação.
Expectativa de Aprendizagem:
Reconheça as potências como multiplicação de mesmo fator e a radiciação
sua operação inversa.
Ano e nível sugerido:
A partir da 5ª série do Ensino Fundamental
Mídias Existentes (fotos, filmes, sítios, slides, t extos relacionados,
referências, etc.)
http://www.mat.ibilce.unesp.br/laboratorio/pages/artigos/Torre_de_Hanoi.pd
f Neste artigo, pode-se encontrar a lenda que deu origem ao jogo, um pouco de
sua história, como realizar as atividades com os alunos e a forma de como
deduzir a fórmula para o número mínimo de movimentos com um número
determinado de peças.
http://www.youtube.com/watch?v=egDMknOIK7g&feature= related
Vídeo “Torre de Hanói e função matemática”, um professor junto com aluno que
ensina como jogar usando funções matemáticas.
Como construir:
55
Este material requer grande habilidade para sua confecção, como por
exemplo, sua confecção em madeira mdf de 18 mm de espessura. Devido a isso
sugerimos a compra do material já pronto, ou mesmo a contratação de um
marceneiro para sua confecção.
Cuidados Necessários:
Guardar em local seco e arejado.
Desenvolvimento da Atividade:
a) Primeiramente deixe os alunos em contato com o material para que se
familiarizem com as peças, com o jeito de encaixar os discos, isto é, deixamos os
alunos brincarem livremente com o material.
b) Posteriormente, a fim de motivar os alunos, pode se contar a lenda hindu que
deu origem ao o jogo. (A lenda encontra-se no texto em anexo)
c) Utilizar o vídeo referenciado acima ou outro vídeo que achar melhor onde
ensina como jogar.
d) Em seguida, utilizando apenas duas peças dispostas da seguinte forma: a peça
menor em cima da peça maior sobre apenas uma haste. Peça que o aluno
transfira está pequena torre a qualquer outra haste respeitando as seguintes
regras:
1) Somente uma peça pode ser movimentada por vez
2) Um disco maior não pode ser posto sobre um disco menor
Figura 1
e) Após isso, aumente o número de peças, uma a uma, até ficar igual da torre da
figura acima e desafie o aluno a transferir esta a outra haste respeitando as
regras citadas anteriormente. O nível da atividade é proporcional ao número de
56
peças, por isso seis peças é um número adequado para o Ensino Fundamental,
porém nada impede que o aluno tente com número de peças maiores que seis.
f) Durante a realização da atividade, questione ao aluno se a quantidade de
movimentos no qual ele está realizando é a mínima, caso não seja , peça que ele
investigue e descubra a melhor forma de movimentar as peças e conseguir o
número mínimo de movimentos e anote seus resultados que deve condizer com a
seguinte tabela.
NÚMERO DE DISCOS QUANTIDADE MÍNIMA DE DISCOS
1 1
2 3
3 7
4 15
5 31
6 63
g) Note que a coluna quantidade de movimentos corresponde a quantidade de
mínima de movimentos é igual a 2 elevado ao número de discos menos 1, ou
seja, se T(n), corresponder a quantidade de mínima de movimentos e n o número
de discos temos que:
i) O professor pode aproveitar para relembrar o conteúdo de potenciação, mais
especificamente sobre as potências de 2, e em seguida pode pedir para os alunos
calcularem outros valores de n, como por exemplo 64, que é o número de peça
da lenda hindu citada anteriormente e calcular quanto tempo seria necessário se
cada monge movesse uma peça a cada segundo.
Potencialidades:
Aos alunos de 8º ano pode-se trabalhar o conceito de variáveis, aos alunos
de 9º ano pode-se contextualizar ao conteúdo de função, e aos alunos de Ensino
Médio pode-se trabalhar com o conceito de Progressão Geométrica, deduzir a
expressão que defini o número mínimo de jogadas (essa dedução também se
encontra no artigo indicado) e iniciar o processo de indução finita em Matemática.
Limitações:
57
Não é possível demonstrar a expressão citada no Ensino Fundamental e
Médio, uma vez que ela exige uma demonstração por indução finita.
5.10. Fractais
Apresentação
A Geometria Fractal é um novo ramo dentro da Geometria, e que vem se
desenvolvendo muito nos últimos anos, e não só dentro da matemática, mais em
vários ramos da ciência, pois embora não aparentem, os fractais modelam desde
o aspecto das nuvens e relâmpagos até a distribuição das galáxias e á economia
de mercados, e esta atividade vêm com o intuito de apresentá-los de forma
simples, por meio de uma atividade com recorte e dobradura, onde poderá ser
explorados tanto aspectos da Geometria Fractal, quanto da Geometria Euclidiana.
Descrição
2 folhas de tamanho A4 .
Objetivos
Conhecer os fractais e algumas de suas propriedades e relembrar
conceitos da Geometria Euclidiana.
Conteúdo estruturante
Geometrias.
Conteúdo básico
Geometrias não-Euclidianas.
Expectativa de aprendizagem
Conheça os fractais através da visualização e manipulação de materiais.
Ano e nível sugeridos
A partir do 9º ano do Ensino Fundamental.
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Mídias Existentes (fotos, filmes, sítios, slides, t extos relacionados,
referências, etc.)
a) www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm14/, Neste site, intitulado o mundo dos fractais,
você encontra muitas curiosidades sabre os fractais e varias atividades
interessantes.
b) http://www.fractarte.com.br/galeria2/galeria.php, Neste site você encontra uma
galeria de fractais realmente impressionante, confira.
c) http://www.ceticismoaberto.com/ciencia/kinouchi_fractais.htm,
http://cftc.cii.fc.ul.pt/PRISMA/capitulos/capitulo2/modulo4/topico10.php
Nestes sites você encontra artigos sobre os fractais e a natureza.
d) Barbosa, Ruy Madsom. Descobrindo a Geometria Fractal - para a sala de aula.
BELO HORIZONTE: Autentica, 2002. Neste livro você encontra varias atividades
que podem ser reproduzidas em sala de aula e um software que possibilita a
construção do conhecido fractal denominado Conjunto de Julia.
Material necessário e Custo
Para aplicação em sala de aula, em folha sulfite em cartolina americana.
Como construir em papel sulfite.
a) Dobre a folha ao meio, como indica a figura 1
Figura 1
b) Com a folha dobrada, faça dois cortes verticais simétricos a uma distância x/4
das extremidades e altura a/2, como mostra a figura 2.
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Figura 2
c) Dobre o retângulo formado para cima, fazendo um vinco na dobra.
Figura 3
d) Volte o cartão dobrado à posição inicial e puxe o centro da figura, esta é a
primeira etapa do cartão fractal.
Figura 4
e) Dobre a folha novamente como na figura 3, pois as próximas etapas do cartão
são feitas a partir dos itens b, c e d como mostram as figuras 5 e 6..
60
Figura 5
Figura 6
f) Volte o retângulo formado à posição inicial e puxe a figura em relevo.
Figura 7
g) Para obter as próximas etapas do cartão, repita os mesmos passos feitos até
aqui, enquanto for possível dobrar e recortar o papel.
Figura 8
h) Para dar acabamento, feche e cole a outra folha, de modo a ficar como um
cartão.
Em papel cartolina americana
a) Repita os mesmos passos descritos nos itens da construção em papel sulfite.
Cuidados necessários
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a) Na aplicação:
• Observar o manuseio das tesouras;
b) Na construção:
• Observar se as medidas estão corretas;
• Observar se os recortes estão corretos.
c) Na conservação, o material deverá ser guardado em local seco e arejado.
Desenvolvimento da atividade
a) A atividade é desenvolvida individualmente.
b) As observações que seguem devem ser feitas à medida que transcorre a
construção do cartão fractal.
c) A cada etapa construída, que tipo de figura obtém-se em alto relevo?
d) Quantos paralelepípedos novos surgem a cada nova etapa?
e) Se fosse possível continuarmos o processo infinitamente, qual seria a lei de
construção dos paralelepípedos em cada nova etapa? (fica mais fácil à
visualização da lei de construção com uma tabela, onde será relacionado o
número de etapa com o número de paralelepípedos que surge em cada etapa).
f) Quando o cartão estiver pronto mostrar aos alunos porque ele é um fractal, falar
sobre à auto similaridade ou auto semelhança, ou seja, ele mantém a mesma
forma e estrutura sobre uma transformação que amplia ou reduz o objeto ou parte
dele, e também sobre a complexidade infinita: se fosse possível continuar
infinitamente o processo de corte e dobradura, nunca se obteria a figura final.
Potencialidades
Pode-se trabalhar também com o cálculo do volume dos paralelepípedos obtidos
a cada nova etapa, assim como a soma de todos os paralelepípedos, chegando
ao final em uma fórmula geral que informa o volume total do sólido em uma etapa
qualquer, onde poderão ser explorados conceitos de progressões geométricas, e
limites.
Limitações
Se não forem feitas as observações citadas no item desenvolvimento (nas
letras c a f) a atividade perde o objetivo, ficando sem sentido.
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REFERÊNCIAS
LORENZATO, Sérgio. Laboratório de Ensino de Matemática na Formação de Professores. 2ª ed.rev.. Campinas, SP: Autores Associados, 2009. (Coleção Formação de Professores)
FIORENTINI, Dario; MIORIM, Maria Ângela; Docentes da Faculdade de Educação da UNICAMP. Uma reflexão sobre o uso de materiais concretos e j ogos no ensino da matemática . Boletim SBEM. São Paulo-S/P, ano 4, v. 7, p.1- 40. 1990.
IMENES, Luís Márcio. A geometria no primeiro grau: experimental ou dedutiva? Revista de ensino de ciências: FUNBEC. São Paulo, nº. 19, out. 1987.
IMENES, Luís Márcio. Geometria das dobraduras. São Paulo, S/p: Scipione, 1999. (Vivendo a matemática). Pág. 45 a 61.
IGRASSESCHI, Maria Cecília Castro; ANDRETTA, Maria Capucho; SILVA, Aparecida Borges Dos Santos. Promat: Projeto Oficina de Matemática . São Paulo, S/P: Ftd, 1999.
ATIVIDADES, 63 Professores Que Selecionaram As. et al. Atividades de laboratório de ensino de matemática. Maringá, 2009. Disponível em: <http://www.dma.uem.br/matemativa/texto2.pdf>. Acesso em: 16 nov. 2012.
