SEMELHANÇA DE FIGURAS

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Semelhanças de figuras - conceitos

Figuras semelhantes, têm ângulos iguais e lados proporcionais.

Semelhanças de figuras - conceitos

Figuras semelhantes, têm ângulos iguais e lados proporcionais.

Semelhanças de figuras - conceitos

Figuras semelhantes, têm a mesma forma .

Semelhanças de figuras - conceitos

A semelhança de triângulos já era conhecida no tempo do grande matemático Tales de Mileto ( 600 a.C.), ao qual foi pedido que calculasse a altura da pirâmide de Quéope.

Semelhanças de figuras - conceitos

EM POLÍGONOS SEMELHANTES :

Os segmentos de recta são transformados em segmentos de recta de comprimentos proporcionais.

Os ângulos são transformados em ângulos iguais.

Semelhanças de figuras - conceitos

CRITÉRIOS DE SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS

1 – Dois triângulos são semelhantes se de um para o outro, tiverem 2 ângulos iguais. (7ºano)

2 – Dois triângulos são semelhantes se de um para o outro tiverem, 1 ângulo igual e os lados que o formam proporcionais. (8º ano)

3 – Dois triângulos são semelhantes se de um para o outro tiverem, os três lados proporcionais. (8ºano)

Semelhanças de figuras - conceitos

ESTRATÉGIA DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ENVOLVENDO SEMELHANÇAS DE TRIÂNGULOS

1) Descobrir os ângulos iguais entre triângulos, justificando.

2) Aplicando os critérios estabelecer a semelhança de triângulos.

3) Definir qual dos triângulo é original e qual é transformado.

5) Substituir na proporção os dados do problema e resolver.

4) Estabelecer as razões entre os comprimentos dos lados dos dois triângulos, ficando os lados do original nos consequentes.

Semelhanças de figuras - CONCEITOS

C

B

E

D

Considere os triângulos [ABC] e [EBD] AC || DE [ABC] é semelhante a [EBD], visto :

ABC ser comum aos dois triângulos, logo igual;

DEB = ACB, ângulos de lados paralelos e agudos, logo iguais, dizem-se correspondentes num sistema de rectas paralelas intersectadas por uma recta secante.

[ABC] e [EBD] têm de um para o outro dois ângulos iguais, logo são semelhantes.

A

Semelhanças de figuras - CONCEITOS

A

C

B

E

D

Os triângulos [ABC] e [EBD] sendo semelhantes, verificam as seguintes proporções :

Os lados do triângulo [EBD] (transformado), formam os antecedentes.

Os lados do triângulo [ABC] (original), formam os consequentes.

A ângulos iguais opõem-se lados proporcionais.

Ao maior ângulo opõe-se o maior lado e vice-versa.

rBCEB

ABBD

ACED

, razão de semelhança

Semelhanças de figuras - APLICAÇÕES

A

C

B

E

D

Os triângulos [ABC] e [EBD] sendo semelhantes, verificam as seguintes proporções :

rBCEB

ABBD

ACED

, razão de semelhança

Dados: ED= 5m;

AC=12m;

EB= 4m.

a) Calcular BC.

5m 4m

12m = 9,6m

b) Calcular r .

r =5/12 ( redução )

BC. BC

Semelhanças de figuras - APLICAÇÕES

AC

B

E

D

Os triângulos [ABC] e [EDC] são semelhantes, pois de um para o outro têm 2 ângulos iguais.

Dados: BD=28cm;

BC=25cm;

CD= 3cm

EC= 5cm.

a) Calcular AC.

5cm 3cm = 15cm

b) Calcular r .

r =1/5 (redução)

25cm ACAC

112

2

O s ângulos numerados com 1 são verticalmente opostos, logo iguais.

O s ângulos numerados com 2 são ambos rectos.

rABED

ACCD

BCEC

Semelhanças de figuras - APLICAÇÕES

mm

ACm

rBCEB

ABBD

ACED

3,79,25,1

A B

C

D

E

BAC BDE = 90º

ABC é comum, logo igual.

Os triângulos [ABC] e [EBD]

são semelhantes, por terem

2 ângulos iguais.

ED= 1,5m

AB= 7,3m

BD= 2,9m

AC= ?m

mm

ACm

rBCEB

ABBD

ACED

3,79,25,1

AC= 3,78m

Semelhanças de figuras - APLICAÇÕES

B D

E

BAC = CDE = 90º

ABC = DCE, ângulo de inclinação do sol.

Os triângulos [ABC] e [CDE]

são semelhantes, por terem

2 ângulos iguais.

ED= DC

AB= ACA

C

F C

Tales calculou a altura da pirâmide de Quéope, somando AF com FB, quando a sombra DC

tinha a altura da vara ED.

ED DC

AC ABMetade do lado

Comprimento da sombra FB

Semelhanças de figuras - conclusões

1) Todos os polígonos regulares da mesma espécie são semelhantes.

2) Todas as circunferências e círculos são semelhantes, na mesma espécie.

3) Todas as esferas e cubos são semelhantes, dentro da mesma espécie.

6) As razões entre perímetros de polígonos semelhantes é igual à razão de semelhança.

4) As razões entre volumes de cubos é igual ao cubo da razão de semelhança.

5) As razões entre áreas de polígonos semelhantes é igual ao quadrado da razão de semelhança.