Seminário TAEM
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Seminrio do Curso TAEM I
Julho de 2015
Iara S. Ribeiro
Prof. Dr. Ricardo Silveira Azoubel
Universidade Federal de Ouro Preto
Escola de Minas Departamento de Engenharia Civil
Programa de Ps Graduao em Engenharia Civil
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1 Artigo:
Um eficiente mtodo numrico para
a anlise inelstica de segunda ordem de trelias espaciais
Publicado em: Journal of Computing in Civil Engineering, Maro/Abril 2013
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1 Artigo
Newton-Raphson
Resduos mnimos generalizados
(GMR)
Mnimos Quadrados
(LSQR)
Gradiente
Biconjugado
(BCG)
Introduo e Objetivos
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1 Artigo
Newton-Raphson
Resduos mnimos generalizados
(GMR)
Mnimos Quadrados
(LSQR)
Gradiente
Biconjugado
(BCG)
Introduo e Objetivos
-
1 Artigo
Anlise no linear de trelias espaciais
( )f = P
Equao de equilbrio:
Deslocamentos
Resultante das foras internas Foras nodais externas
= P
Forma diferencial da equao de equilbrio :
Incremento de carga
Incremento de deslocamentos
Matriz de rigidez tangente
do sistema
(1)
(2)
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1 Artigo
Anlise no linear de trelias espaciais
Matriz de Rigidez do elemento:
TAEQL
T = g BB (3)
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1 Artigo
Anlise no linear de trelias espaciais
Matriz de Rigidez do elemento:
TAEQL
T = g BB
No linearidade
Geomtrica
(3)
-
1 Artigo
Anlise no linear de trelias espaciais
Matriz de Rigidez do elemento :
TAEQL
T = g BB
No linearidade
Geomtrica No linearidade
Fsica
( )T
(3)
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1 Artigo
Anlise no linear de trelias espaciais
Matriz de Rigidez do elemento :
TAEQL
T = g BB
No linearidade
Geomtrica No linearidade
Fsica
g
( )T
Onde:
: matriz de rigidez geomtrica
A : rea da seo transversal
Q : fora axial no elemento de trelia (referencial local)
L : comprimento do elemento
B : vetor de rotao
E : mdulo de elasticidade
(3)
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1 Artigo
Anlise no linear de trelias espaciais
Matriz de Rigidez do elemento :
TAEQL
T = g BB
No linearidade
Geomtrica No linearidade
Fsica
g
( )T
Onde:
: matriz de rigidez geomtrica
A : rea da seo transversal
Q : fora axial no elemento de trelia (referencial local)
L : comprimento do elemento
B : vetor de rotao
E : mdulo tangente
(3)
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1 Artigo
Anlise no linear de trelias espaciais
1 2[-( '/ ) '/ ]
1 2
1 3- ( - ) '/
2
X X u L u L
cr lE Q Q e X X u LA
' cru u u
1, 2X X : so constantes que dependem da esbeltez do elemento comprimido
Onde:
(4)
Para o caso inelstico:
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1 Artigo
Anlise no linear de trelias espaciais
Relao carga-deformao proposta por Hill et. al. (1989):
Figura 1. Curva carga-deformao (Carregamento). Figura 2. Curva carga-deformao (descarregamento).
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1 Artigo
Soluo do sistema de equaes no lineares
Mtodo de
Newton- Raphson
Gradiente
Biconjugado
(BCG)
Fluxo Normal
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1 Artigo
Soluo do sistema de equaes no lineares
Gradiente Biconjugado (BGC):
Resolve sistemas de equaes.
No necessita que a matriz dos coeficientes seja positiva-definida e auto-adjunta
(Saad, 2000).
O algoritmo BCG resolve um sistema dual
No qual so encontrados duas sequncia de vetores.
Os resduos so gerados de modo a serem mutuamente ortogonais (van der Vorst
2003).
Ax b * * *A x b (8)
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Soluo do sistema de equaes no lineares
Gradiente Biconjugado Modificado (BGC):
1 Artigo
Figura 3. BCG e BCG modificado.
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Soluo do sistema de equaes no lineares
1 Artigo
Figura 5. Tcnica do fluxo normal
FONTE: Maximiano, 2012
Tcnica do Fluxo Normal:
Figura 5. Vetores U e U da iterao k na tcnica do fluxo normal.
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1 Artigo
Gradiente Bi-Conjugado (BGC)
Pro
cesso I
tera
tivo
Pro
cesso incre
menta
l
-
1 Artigo
Gradiente Bi-Conjugado (BGC)
Pro
cesso I
tera
tivo N
R
Processo Incremental :
Alternativa utilizada para evitar
o clculo da inversa da matriz de rigidez
na resoluo do sistema.
Pro
cesso incre
menta
l N
R
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1 Artigo
Exemplo : Cpula Treliada de Schewdeler (Greco et al. 2006)
97 ns e 264 elementos
Propriedades:
3640 10 kN, EA325kN/cm ,yF
430.04 cm .I
Figura 6. Exemplo de estrutura de maior complexidade.
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1 Artigo
Exemplo 1 : Cpula Treliada de Schewdeler
Figura 7. Trajetria de equilbrio para o n central
-
1 Artigo
Exemplo 1 : Cpula Treliada de Schewdeler
Figura 7. Trajetria de equilbrio para o n central
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1 Artigo
Exemplo 1 : Cpula Treliada de Schewdeler
-
1 Artigo
Exemplos prticos
Figura 8. Exemplo de estrutura treliada de maior complexidade.
FONTE: L.R., 2014
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1 Artigo
Exemplos prticos
Figura 9. Cpula - Shopping - Flamboyant.
FONTE: L.R., 2014
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1 Artigo
Concluso
A formulao utilizada foi capaz de realizar com xito os clculos para
determinao da trajetria de equilbrio.
Atravs das Tabelas 1 e 2, pode-se perceber que o mtodo BCG modificado
acoplado ao mtodo de Newton-Raphson reduz consideravelmente o tempo de
processamento e o nmero de iteraes, quando comparado aos outros
mtodos indicados. Desta forma, conclui-se que este mtodo o mais eficiente.
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Greco, M., Gesualdo, F. A. R., Venturini, W. S., and Coda, H. B. (2006). Nonlinear positional
formulation for space truss analysis. Finite Elem. Anal. Des., 42(12), 10791086.
Hill, C. D., Blandford, G. E., andWang, S. T. (1989). Post-buckling analysisof steel space
trusses. J. Struct. Eng., 115(4), 900919.
Kassimali, A., and Bidhendi, E. (1988). Stability of trusses under dynamic loads. Comput.
Struct., 29(3), 381392.
Maximiniano D. (2012). Uma Tcnica Eficiente para Estabilizar a Estratgia do Resduo
Ortogonal na Anlise No Linear de Estruturas. Dissertao de Mestrado, Escola de Minas,
Programa de Ps-graduao em Engenharia Civil, Universidade Federal de Ouro Preto, Ouro
Preto/MG.
Fischborn M. (2006) Computao de alto desempenho aplicado a anlise de dispositivos
eletromagnticos. Tese de Doutorado, Programa de Ps-graduao em Engenharia Eltrica,
Universidade Federal de Santa Catarina, Florianpolis/SC.
Saad, Y. (2000). Iterative methods for sparse linear systems, SIAM, Philadelphia.
Apostila do Professor Paulo Batista
Referncias
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2 Artigo
Anlise inelstica de segunda ordem de prticos espaciais
com elementos de seo transversal do tipo H
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2 Artigo
Superfcie de Resistncia
Critrio que define o limite de resistncia plstica dos elementos estruturais.
No artigo em questo, foi desenvolvida uma formulao baseada em resultados
obtidos da anlise de vrias sees transversais utilizando-se o modelo de fibras.
Figura 1. Discretizao da seo
no modelo das fibras
1
n
i i
i
P a f
1
n
y i i i
i
M a f z
1
n
z i i i
i
M a f y
(1.a)
(1.b)
(1.c)
-
2 Artigo
Superfcie de Resistncia
Figura 2. Representao da superfcie de
resistncia proposta
1
_*1 /
R
ryrz rzLrz y rzL ryL
rz rzL ryL
mm mM m m
m m m
2
_*1 /
R
ry ryL rzrz y rzL ryL
ry ryL rzL
m m mM m m
m m m
(2.a)
(2.b)
-
2 Artigo
Superfcie de Resistncia
Figura 3. Superfcie de plasticidade para um
perfil de ao de seo do tipo UC
Figura 4. Superfcie de plasticidade para um
perfil de ao de seo do tipo HD 400x1086
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2 Artigo
Mdulo tangente
O efeito das tenses residuais so considerados de acordo com a recomendao
do European Convention for Costruction Steelwork (ECCS)
A magnitude da tenso residual considerada dependente da razo altura/largura
da seo.
Figura 5. Tenso residual (ECCS)
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2 Artigo
Mdulo tangente
Figura 6. Mdulo inelstico
/ /(3.a) (3.b)
y y z ztry trz
y z
dM d dM dE E
EI EI
-
2 Artigo
Mdulo tangente
Figura 6. Mdulo inelstico
/ /(3.a) (3.b)
y y z ztry trz
y z
dM d dM dE E
EI EI
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2 Artigo
Mdulo tangente
Figura 6. Mdulo inelstico
/ /(3.a) (3.b)
y y z ztry trz
y z
dM d dM dE E
EI EI
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2 Artigo
Mdulo tangente
Figura 6. Mdulo inelstico
/ /(3.a) (3.b)
y y z ztry trz
y z
dM d dM dE E
EI EI
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2 Artigo
Mdulo tangente
Figura 6. Mdulo inelstico
/ /(3.a) (3.b)
y y z ztry trz
y z
dM d dM dE E
EI EI
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2 Artigo
Mdulo tangente
Figura 7. Razes de mdulo de flexo inelsticos para sees transversais em torno do eixo principal
-
2 Artigo
Mdulo tangente
Figura 8. Razes de mdulo de flexo inelsticos para sees transversais em torno do eixo principal
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2 Artigo
Mdulo secante
A utilizao da rigidez tangente para clculo
das foras internas pode superestimar a
resistncia da estrutura.
Soluo proposta: utiliza-se a rigidez
secante incremental.
Para tanto, baseado nos clculos do mdulo
tangente, o mdulo secante
1
1
1(4)
j j
sr
j j
M ME
EI
Figura 9. Grfico momento curvatura
-
2 Artigo
Mdulo secante
-
2 Artigo
Exemplo 1 : Prtico de dois andares
Figura 9. Prtico de dois andares (Kim e Lee , 2003)
H150160106,5 mm
Propriedades fsicas:
=320, =221 e =85 .
O prtico possui as imperfeies
especificadas na Tabela 1.
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2 Artigo
Exemplo 1 : Prtico de dois andares
Tabela 1. Imperfeies decorrentes da montagem nos elementos do prtico
Imperfeies (mm)
Andar Coluna 1 Coluna 2 Coluna 3 Coluna 4
X Y x Y X Y X Y
Roof level 4,15 11,08 5,49 11,41 -9,17 6,58 -4,31 12,04
2 floor 1,39 6,88 -0,68 6,77 -5,11 2,11 -3,96 6,19
Base 0 0 0 0 0 0 0 0
-
2 Artigo
Figura 9. Relao carga-deslocamento (r=0) Figura 10. Relao carga-deslocamento
Exemplo 1 : Prtico de dois andares
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1 Artigo
Exemplo prtico
Figura 11. Edifcio de Mltiplos Andares.
FONTE: Manual de estruturas Metlicas - Transporte e Montagem
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1 Artigo
Concluso
Foi desenvolvida uma nova e simplificada formulao para determinao da superfcie de resistncia de perfis do tipo H. Observando-se os resultados do
artigo, pode-se concluir que a nova formulao correlacionou-se bem com o
mtodo da zona plstica e com o mtodo desenvolvido por Batista (2012).
O ponto de extrema relevncia desse artigo foi a proposta de clculo do mdulo secante de forma incremental. O uso da rigidez tangente para calcular
as foras internas pode ligeiramente superestimar essa fora, deste modo o
autor optou pelo uso da rigidez secante incremental, a fim de avaliar os valores
das foras internas de forma mais precisa.
Deve-se ressaltar que toda a formulao vlida para sistemas estruturais espaciais, no entanto ela foi desenvolvida apenas para perfis do tipo H, os quais
no apresenta o problema de toro, que caracterstico de sistemas
tridimensionais.
-
Baptista AM. Resistance of steel I-sections under axial force and biaxial bending moment. J Constr
Steel Res 2012;72:111.
ECCS, Essentials of Eurocode 3 design manual for steel structures in building. ECCS-advisory
committee, vol. 5(65). 1991. p. 60.
Gonalves, G. A. Modelagem do Comportamento Inelstico de Estruturas de Ao: Membros sob
Flexo em Torno do Eixo de Menor Inrcia. Dissertao de Mestrado, Escola de Minas, Programa de
Ps-graduao em Engenharia Civil, Universidade Federal de Ouro Preto, Ouro Preto/MG, 2013.
Orbison JG, McGuire W, Abel JF. Yield surface applications in nonlinear steel frame analysis. Comput
Methods Appl Mech Eng 1982;33(1):55773.
Zubydan AH. A simplified model for inelastic second order analysis of planar frames. Eng Struct
2010;32:325868.
Notas de aula da disciplina Tpicos Avanados em Estruturas Metlicas
Manual de estruturas Metlicas - Transporte e Montagem. Disponvel
em:. Acessado em
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Obrigada!