Series Potências

Garciga Otero, R. 1

1 Series de Potencias.

Bibliografia basica: [1, 14.7-14.10].

A serie

n=0

cn(x a)n = c0 + c1(x a) + c2(x a)2 + + cn(x a)n +

cujo termo geral e an = cn(x a)n, onde {cn} e uma sequencia fixada de numeros e a e umnumero real e chamada serie de potencia em (x a) ou em torno de a.Observacao 1. Note que o termo geral da serie an varia com a escolha de x: an(x) =cn(x a)n.Observacao 2. Quando a = 0 a serie transforma-se numa serie de potencias em x (ou emtorno de zero):

n=0

cn(x)n = c0 + c1x+ c2x

2 + + cnxn +

Surge entao uma questao natural: quando a serie de potencias define uma funcao, ouqual o domnio de f(x) =

n=0 cn(x a)n? Ou seja, para quais valores de x R dita serie

soma finito (converge)? Obviamente, se x = a a serie converge e soma c0. Vejamos a seguiralguns exemplos.

Exerccio. Considere a serie de potencias

n=1

(1)n+12nxn

n3n

Fixado x podemos aplicar um teste de convergencia absoluta. No caso, o mais apropriadoseria o teste da raiz:

n|an| = n

(1)n+12nxnn3n = 23 |x| 1nn.

Logo,

limn

n|an| = 2

3|x| < 1 |x| < 3

2.

Assim, podemos concluir que a serie converge absolutamente para todo x (32, 32) e diverge

quando |x| > 32. Como o teste e inconclusivo quando |x| = 3

2, precisamos estudar os casos

x = 32separadamente:

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1. Caso x = 32

n=1

(1)n+12n(3

2

)nn3n

=n=1

(1)n+1 2n

n3n(1)n3

n

2n=

n=1

1

n,

que e divergente.

2. Caso x = 32

n=1

(1)n+12n(32

)nn3n

=n=1

(1)n+1 2n

n3n3n

2n=

n=1

(1)n+1n

,

que e convergente pelo Teste de Leibniz para series alternadas.

Exerccio. Dada a serie de potencias

n=1

n! xn

e fixado x, podemos aplicar o teste da razao:an+1an = (n+ 1)! xn+1n! xn

= (n+ 1)|x|.Logo,

limn

an+1an = limn(n+ 1)|x| =

{0, se x = 0

+, se x 6= 0 < 1 x = 0.

Concluindo que a serie converge apenas quando x = 0.

2 Raio e intervalo de convergencia

Proposicao 1. Sen=0

cnxn e convergente quando x = x1 entao e absolutamente convergente

para todo x tal que |x| < |x1|.

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Proof. Teste de comparacao:

|cnxn| = |cnxn1 ||x||x1| 1

|x||x1| , n > N.

Note que |cnxn1 | converge a zero. Observe agora que a progressao geometrica de razao q =|x||x1| < 1 e convergergente.

Proposicao 2. Sen=0

cnxn diverge quando x = x2 entao e divergente para todo x tal que

|x| > |x2|.Proof. Soponha, por reducao ao absurdo, que exista x1, |x1| > |x2|, em que a serie sejaconvergente e aplique a Proposicao 1 para concluir que a serie converge absolutamente quando|x| < |x1|, em particular quando x = x2: a contradicao.Proposicao 3. Dada a serie

n=1

n! xn

extamente uma das seguintes afirmacoes e verdadeira:

1. converge apenas quando x = 0;

2. converge absolutamente para todos os valores de x R;3. existe um numero R R+ tal que a serie converge absolutamente quando |x| < R e

diverge quando |x| < R.Proof. Caso nao se verifiquem nenhum dois dois primeiros itens temos que existem x1, x2 R, tais que 0 < |x1| < |x2| e a serie converge em x1 e diverge em x2. Applique entaoas Proposicoes 1 e 2 para conluir que R e o supremo dos |x1| com a tal propriedade deconvergencia e tambem o nfimo dos |x2| com a correspondente propriedade de divergencia.Observacao 3. O numero R definido na Proposicao 3 e chamado raio de convergencia daserie. Quando a serie de centro a = 0 converge absolutamente para todos os valores dex R, diz-se que R = +; e se converge apenas quando x = 0, diz-se que R = 0.Observacao 4. Valem o resultados analogos das proposicoes 1-3 quando o centro da serie eum numero a qualquer. Neste caso o intervalo de convergencia centra-se em a.

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Exerccio. Determine o raio e o intervalo de convergencia sa serien=1

n (x 2)n.

Solucao. Defina an = n(x 2)n e aplique o teste da raiz:n|an| = n

n|x 2| n |x 2| = L(x).

Assim, a serie converge absolutamente quando L(x) < 1, i.e., |x 2| < 1 e diverge quandoL(x) > 1; ou seja, diverge quando |x 2| > 1. Consequentemente, o raio de convergencia eR = 1. Denotando por I o intervalo de convergencia temos

(1, 3) = {x R; |x 2| < 1} I [1, 3] = {x R; |x 2| 1}.Basta entao checar os extremos x = 1 e x = 3, ou seja, os pontos em que |x 2| = 1

1. Caso x = 1 n=1

n (x 2)n =n=1

n (1 2)n =n=1

(1)nn.

Diverge pois (1)nn nao converge a zero..2. Caso x = 3

n=1

n (x 2)n =n=1

n (3 2)n =n=1

n.

Diverge.

Logo, I = (1, 3).

3 Derivacao e integracao de series de potencias

Teorema 1. As series

n=0 cn(x a)n e

n=1 n cn(x a)n1 tem os mesmo raio deconvergencia.

Teorema 2. Suponha que a serie

n=0 cn(x a)n possui raio de convergencia R > 0 e quef e a funcao definida pela soma da serie, i.e., para cada x no intervalo de convergencia,

f(x) =n=0

cn(x a)n.

Entao, f e derivavel em (aR, a+R) e para cada x (aR, a+R)

f (x) =n=1

n cn(x a)n1.

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Corolario 1. Suponha que a serie

n=0 cn(x a)n possui raio de convergencia R > 0 e quef e a funcao definida pela soma da serie, i.e., para cada x no intervalo de convergencia,

f(x) =n=0

cn(x a)n.

Entao

1. A serie

n=0 cn(xa)n+1

n+1possui o mesmo raio de convergencia R.

2. f e integravel em qualquer intervalo [, ] (aR, a+R).

3.

xa

f(t)dt =n=0

cn(x a)n+1n+ 1

.

4 Serie de Taylor

Seja f uma funcao definida pela serie de potencias f(x) =

n=0 cn(x a)n com raio deconvergencia R > 0. Aplicando sucessivamente o teorema de derivacao termo a termoobtemos que f e de classe C(a R, a + R) (i.e., infinitamente diferenciavel no interior dointervalo de convergencia) e

f(x) = c0 + c1(x a) + c2(x a)2 + c3(x a)3 + f (x) = c1 + 2c2(x a) + 3c3(x a)2 + 4c4(x a)3 + f (x) = 2c2 + 6c3(x a) + 12c4(x a)2 + f (x) = 6c3 + 24c4(x a) +

Em particular,

f(a) = c0, f(a) = c1, f (a) = 2c2, f (a) = 6c3, f iv(a) = 24c4, . . .

Ou seja,

f (n)(a) = n! cn cn = f(n)(a)

n!.

Logo,

f(x) =n=0

cn(x a)n =n=0

f (n)(a)

n!(x a)n

e a serie em questao e chamada Serie de Taylor de f em torno de a. Quando a = 0 a serie edita de Maclaurin.

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Exemplo 1. Serie de Maclaurin de ex:

1 + x+x2

2+x3

3+ + x

n

n!+

Exemplo 2. Serie de Taylor de sen(x) em torno de a:

sen(a) + cos(a)(x a) sen(a)2!

(x a)2 cos(a)3!

(x a)3 + sen(a)4!

(x a)4 +

Exemplo 3. A serie de Maclaurin de

f(x) =

{e1x2 , se x 6= 0

0, se x = 0.

Note, com o auxlio da regra de LHopital, que f (n)(0) = 0 para todo n. Entao

n=0

f (n)(0)

n!(x a)n = 0, x R.

Observe que a serie descrita no Exemplo 1 possui soma, para cada x R, igual a ex.Dizemos entao que a serie representa a funcao. Note ainda que isto nem sempre e verdade,basta considerar o Exemplo 3 em que a serie associada coincide com o valor da funcao apenasem x = 0.

Teorema 3. Seja f uma funcao C(a r, a + r), a R, r > 0. Entao, a funcao erepresentada por sua serie de Taylor em torno de a, i.e.,

f(x) =n=0

f (n)(a)

n!(x a)n, x (a r, a+ r),

se e somente se

limn

f (n+1)(y)

(n+ 1)!(x a)n+1 = 0

em que y pertence ao intervalo de extremos a e x.

Voltando ao Exemplo 2, note que se f(x) = sen(x) entao |f (n)(a)| 1, n N. Entao

0 limn

f (n+1)(y)(n+ 1)! (x a)n+1 limn |x a|n+1(n+ 1)! = 0.

Logo, a serie de Taylor de sen(x) representa a funcao.

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5 Exerccios

QUESTAO 1. ANPEC 1999-Q11.






QUESTAO 7. ANPEC 2010-Q14-(4).

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Referencias

[1] Leithold, L. O Calculo com Geometria Analtica. V2, segunda ed. Harbra, 1982.

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