Simulação Bidimensional - Horizontal da Dispersão de um Traçador em Meio Fluvial

Wagner R. Telles, Pedro Paulo G. W. Rodrigues, Antônio José da Silva Neto Depto de Engenharia Mecânica e Energia, Instituto Politécnico, UERJ

28601-970, Nova Friburgo, RJ E-mail: {wtelles, pwatts, ajsneto}@iprj.uerj.br

Resumo: A previsão do comportamento de plumas de contaminantes em rios é essencial no auxílio ao processo de tomadas de decisões, uma vez que através da mesma é possível determinar o melhor local para o lançamento de resíduos domésticos e industriais com intuito de evitar que esses dejetos afetem o meio ambiente, bem como contribui para um monitoramento da qualidade da água de corpos hídricos. Diante disso, modelos matemáticos são frequentemente utilizados na modelagem de plumas de contaminantes. Neste trabalho é empregado o método de Volumes Finitos com formulação totalmente implícita para a determinação dos parâmetros advectivos e dispersivos do transporte de uma pluma de contaminante em trecho retificado do rio Macaé, para o qual, devido à geometria semelhante a de um canal, foi utilizado um modelo matemático 2D horizontal. Os resultados foram comparados com dados obtidos em um trabalho de campo, especialmente realizado para este fim, onde foi verificada uma boa correlação entre os dados experimentais e os simulados. Palavras-chave: Poluentes, Rio Macaé, Método dos Volumes Finitos

1 Introdução

Atualmente, é crescente a busca por medidas preventivas ou remediativas para o problema de contaminação ambiental que vem ocorrendo no Planeta Terra. No que tange à poluição hídrica, os principais corpos receptores são os rios, lagos, mares e oceanos [2].

Dentre os instrumentos preconizados pela Política Nacional de Recursos Hídricos, destaca-se o monitoramento de corpos hídricos que estejam sujeitos à diluição de efluentes. O Conselho Nacional do Meio Ambiente (CONAMA), em sua Resolução 357 de 2005, salienta a necessidade de estudos específicos nas zonas onde ocorra a mistura dos efluentes com as águas dos corpos receptores. Tais estudos necessariamente exigem programas de monitoramento muitas vezes intensivos, cuja aplicação, portanto, tem limitações logísticas, operacionais e financeiras. Nesse aspecto, modelos matemáticos e computacionais podem ser utilizados como ferramentas que venham a agilizar e otimizar tais programas, na medida que possam simular a reação do meio ao aporte de uma dada carga de poluentes [13].

Vários autores vêm desenvolvendo técnicas numéricas para a resolução desses modelos matemáticos constituídos em sua maioria por equações diferenciais ordinárias e parciais cuja solução analítica é de difícil obtenção ou até mesmo inexistente. Como exemplos podemos citar a estimativa do coeficiente de dispersão em cursos d’água em rios na cidade de Outro Preto – MG [3], o uso de técnicas computacionais da Dinâmica dos Fluidos Computacional e suas aplicações em escoamento de fluidos e em transferência de calor [9, 10, 12].

Neste contexto, este trabalho propõe um estudo sobre o comportamento advectivo e dispersivo de poluentes em cursos d’água. Para isso foi realizado um trabalho de campo em um trecho do rio Macaé situado nas proximidades da UTE Mario Lago Ltda (Termomacaé), o qual consistiu no lançamento de uma solução de cloreto de sódio (NaCl) no local de interesse. As amostras coletadas foram comparadas com resultados numéricos obtidos por um modelo matemático bi-dimensional (integrado na vertical) e com velocidade longitudinal constante ao longo da transversal. O modelo aqui proposto foi resolvido utilizando o método de Volumes Finitos com formulação totalmente implícita e para a resolução do sistema de equações foi adotado o Algoritmo de Thomas (TDMA). Foram realizados vários testes para determinar os coeficientes de dispersão longitudinal e transversal visando um melhor ajuste dos resultados

969

ISSN 1984-8218

numéricos frente aos dados experimentais, parâmetros esses que, juntamente com a velocidade, são os mais críticos para a precisão das simulações geradas por esses modelos [8].

2 Estudo de Caso

2.1 Área de Estudos – Rio Macaé O Rio Macaé nasce na Serra de Macaé próximo ao Pico do Tinguá, em Nova Friburgo e

possui 136 km de extensão até sua foz no Oceano Atlântico, junto à cidade de Macaé [13]. A área de estudos na qual se desenvolveu este trabalho é um trecho de seu baixo curso, localizado na costa norte do estado do Rio de Janeiro [3], às margens do qual está situada a Usina Termoelétrica Mário Lago, que faz uso das águas do rio para a diluição de seus efluentes [8].

Segundo [3], nessa região de interesse foi realizada em tempos atrás uma retificação do curso do rio, com uma extensão de cerca de 25 km, trecho que hoje é considerado ambientalmente sensível devido a intenso assoreamento que vem ocorrendo desde então.

2.2 Descrição do Experimento

O experimento descrito neste trabalho foi realizado no mês de maio de 2008, em um dia

claro sem registro de precipitações nos 15 dias antecedentes [13] e consistiu na simulação de uma descarga de poluente no rio Macaé, utilizando para isso uma solução de cloreto de sódio (NaCl) como traçador. Se comparado com outros traçadores, o NaCl apresenta diversas vantagens como, por exemplo, solubilidade em água, presença natural quase nula, não tóxica para homens e animais, facilidade de armazenamento ou de quantificação e custo muito baixo [4].

Para a preparação da solução salina, foram utilizados 2.000 g de NaCl diluídos em um balde contendo 10 l de água, totalizando aproximadamente um volume de 11 l após a mistura. Esse processo foi repetido por 10 vezes de modo a completar dois recipientes contendo 55 l da referida solução em cada um dos mesmos.

Por condutivimetria foi determinada a concentração de sal nos recipientes (172 mg/l) e no rio (37 mg/l). Já a velocidade foi estimada de acordo com [11] sendo / cu Q A= , onde é a vazão dada em m3/s e é a área da seção transversal do rio dada em m2.

Utilizando as informações sobre a profundidade média do rio (1 m) e a largura média (42 m) fornecidas pela UTE Mário Lago no dia do trabalho de campo, foi possível calcular a área da seção transversal do rio (42 m2). Dados da Agência Nacional de Águas (ANA) indicaram uma vazão em torno de 14,7 m3/s na ocasião em que se realizou este ensaio, fornecendo uma velocidade média na seção de 0,35 m/s.

O lançamento do traçador no rio ocorreu através de uma injeção instantânea da solução salina, onde os dois recipientes foram imersos simultaneamente no leito do rio no ponto de lançamento situado a 0,70 m da margem. Já a coleta das amostras ocorreu 50 m a jusante ao ponto de lançamento e a 0,70 m da margem. A Figura 1 mostra onde ocorreram o lançamento e a coleta dos dados no experimento que durou cerca de 360 s.

3 Modelo Matemático

De acordo com [1], na região de interesse, o rio Macaé apresenta homogeneidade ao longo da coluna d’água. Sendo assim, um modelo matemático de simulação bidimensional horizontal pode ser perfeitamente empregado, no qual as propriedades simuladas são assumidas invariantes na direção vertical. Além disso, a ausência de meandros e a uniformidade (sentido longitudinal) da seção transversal no trecho considerado permite considerar a velocidade transversal desprezível e a velocidade longitudinal uniforme [13]. Com isso, o modelo matemático para o problema proposto neste trabalho pode ser expresso da seguinte forma:

Q

cA

970

ISSN 1984-8218

(1)

com as seguintes condições de contorno e inicial:

(2.a)

(2.b)

(2.c)

(2.d) onde C é a concentração (mg/l), t é o tempo (s), x e y são os domínios espaciais (m), u é a velocidade do escoamento na direção x (m/s), El e Et são os coeficientes de dispersão da concentração nas direções , respectivamente (m2/s), Lx e Ly são os comprimentos longitudinal e transversal do trecho do rio em análise (m), respectivamente.

Figura 1: Região do rio Macaé onde ocorreram o lançamento e a coleta das amostras.

Fonte: Google Earth. Como o problema aqui proposto não apresenta solução analítica conhecida, será empregado

o método de Volumes Finitos com formulação totalmente implícita na resolução do modelo matemático descrito pela Equação (1), com condições de contorno e iniciais expressas pelas Equações (2.a) a (2.d).

3.1 Método de Volumes Finitos

O método de Volumes Finitos consiste na integração, no espaço e no tempo, da equação

diferencial na sua forma conservativa em um volume de controle [12]. Neste método, o objetivo é a substituição do domínio infinitesimal pelo discreto, ou seja, deve-se dividir o domínio que está sendo trabalhado em um número finito de volumes, os quais são contínuos [6]. Esta subdivisão do domínio formará os volumes de controle que serão utilizados na integração da equação diferencial.

Aplicando o método na Equação (1), pode-se realizar a integração no tempo e espaço do termo transiente da referida equação da seguinte forma:

(3)

A integração do termo advectivo pode ser feita através do esquema Upwind (UDS), o qual

consiste na substituição do valor da função na interface pelo valor da mesma no ponto a montante, o qual varia de acordo com o sentido da velocidade do escoamento [9], ou seja:

l t

C C C Cu E E

t x x x y y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + = + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

( ) 00, , , 0 , 0yC y t C y L t= ≤ ≤ >

( ), ,0, 0 , 0x

y

C L y ty L t

x

∂= ≤ ≤ >

∂

( ) ( ), ,, 0,0, 0 , 0

y

x

C x L tC x tx L t

y y

∂∂= = ≤ ≤ >

∂ ∂

( ) ( )1, ,0 , , 0 , 0x yC x y C x y x L y L= ≤ ≤ ≤ ≤

, x y

( )t t n e t t tP Pt s w

Cd xd y d t C C x y

t

+ ∆ + ∆∂ = − ∆ ∆∂∫ ∫ ∫

971

ISSN 1984-8218

( ) tyCCudxdydtx

Cu tt

Wtt

P

tt

t

n

s

e

w∆∆−=

∂∂ ∆+∆+∆+

∫ ∫ ∫

(4)

Para a integração dos termos dispersivos na longitudinal e transversal foi adotada uma

aproximação para a derivada segunda em x e y, respectivamente, via diferenças centrais. Logo,

(5)

(6)

Substituindo as Equações (3) a (6) na Equação (1) e dividindo por t∆ , obtem-se a seguinte

formulação para a Equação de Transporte bidimensional discretizada pelo método de Volumes Finitos com formulação totalmente implícita e condições de contorno e iniciais dada pelas Equações (2.a) a (2.d):

(7)

A Equação (7), gera um sistema da forma bAx= , onde A é uma matriz pentadiagonal e é resolvida pelo Algoritmo de Thomas (TDMA) [9].

Para simular o lançamento instantâneo da solução salina, foi selecionada a célula (ou volume de controle) que representasse no modelo computacional o ponto de lançamento adotado no domínio físico, assumindo-se imediata e completa homogeneização da solução salina em seu interior.

4 Resultados e Discussões Os resultados apresentados neste trabalho foram gerados em um computador com processador Intel Core 2 Duo com 2 GB de memória RAM. Em todas as simulações realizadas, o custo de computação foi relativamente baixo, apresentando uma variação do tempo de processamento entre 37 s a 60 s. Para a determinação dos coeficientes de dispersão longitudinal e transversal utilizou-se as equações El = 5,93��∗ [5] e Et = 0,15��∗ [7], respectivamente, onde é � a profundidade média (m) e �∗ é a velocidade de atrito (m/s) do escoamento descrita por [11] como�∗= (gdS0)

0,5, sendo g a aceleração da gravidade (m/s2) e S0 a declividade (m/m) do rio. Tomando a aceleração da gravidade como 9,8 m/s2, a profundidade média como 1 m e a declividade como 0,0005 m/m, obtêm-se a velocidade de atrito como 0,07 m/s e com isso é possível determinar os coeficientes de dispersão longitudinal, 0,42 m2/s, e transversal, 0,01 m2/s, tendo como base para os cálculos as equações descritas no parágrafo anterior. Foram realizados alguns testes com o intuito de se determinar a malha a ser adotada nas simulações. Em um primeiro momento foram analisadas três malhas: = = 2,8 m, =

= 1,4 m e = = 0,7 m. Posteriormente, outras simulações utilizando malhas mais finas

foram realizadas, ou seja, valores dos parâmetros e menores que 0,7 m, porém não houve variação significativa nas concentrações. Em contrapartida, ocorreu um elevado tempo computacional na realização das simulações e em alguns casos, impossibilidade na obtenção dos

2t t t t t tt t n e

W P El lt s w

C C CCE dxdydt E y t

x x x

+∆ +∆ +∆+∆ − +∂ ∂ = ∆ ∆ ∂ ∂ ∆ ∫ ∫ ∫

2t t t t t tt t n e

S P Nt tt s w

C C CCE dxdydt E x t

y y y

+∆ +∆ +∆+∆ − +∂ ∂ = ∆ ∆ ∂ ∂ ∆ ∫ ∫ ∫

2 2t t t t t tt S l W l t P

t t t t tl E t N P

x y x y y xE C u y E C u y E E C

y x t x y

y x x yE C E C C

x y t

+∆ +∆ +∆

+∆ +∆

∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ − + − ∆ − + + ∆ + + + ∆ ∆ ∆ ∆ ∆

∆ ∆ ∆ ∆ − + − = ∆ ∆ ∆

x∆ y∆ x∆ y∆

x∆ y∆x∆ y∆

972

ISSN 1984-8218

dados numéricos. Dessa forma, a malha == 0,7 m foi adotada para as simulações

desenvolvidas neste estudo, bem como os valores de xL = 182 m, yL = 42 m e t∆ = 2 s. Também foi verificado o comportamento dos coeficientes de dispersão longitudinal e transversal frente a variações dos valores encontrados pelas equações descritas por [5] e [7]. Para esse propósito, foi assumida a velocidade nula, evitando assim a influência do termo advectivo. As Figuras 2 e 3 mostram o comportamento da solução salina tomando como ponto de lançamento em x a metade do trecho analisado, ou seja, 91 m e 0,70 m distante da margem. Verifica-se, com base nas Figuras 2 a 3, uma diminuição considerável do pico da pluma de concentração com o decorrer do tempo em resposta ao aumento dos coeficientes de dispersão longitudinal e transversal. Observa-se ainda que quando é adotada uma velocidade nula para o escoamento, a simulação passa a caracterizar um cenário de lago e não mais de um rio e a pluma de concentração vai se tornando cada vez mais dispersa nas direções longitudinal e transversal com o transcorrer do tempo.

Figura 2: Perfil da concentração a 0,7 m da margem, com = 0,01 m2/s e = 2 s. (a) 10 s

após o lançamento; (b) 500 s após o lançamento.

Figura 3: Perfil da concentração a 0,7 m da margem, com lE = 0,42 m2/s e = 2 s. (a) 10 s

após o lançamento; (b) 500 s após o lançamento.

Para efeito de calibração do modelo aqui proposto, foi realizada a comparação entre as amostras coletas no trabalho de campo e os resultados obtidos na simulação numérica. A Figura 4(a) mostra a comparação entre os resultados numéricos e experimentais, com coeficientes de dispersão = 0,42 m2/s, = 0,01 m2/s, = 2 s e = 0,35 m/s.

Como os valores dos coeficientes de dispersão longitudinal e transversal obtidos pelas equações de [5] e [7], respectivivamente, possuem margem de erro de , foram realizados alguns testes com o intuito de determinar os parâmetros que levassem ao melhor ajuste entre a solução numérica e os dados experimentais. Os resultados são apresentados na Figura 4(b), na qual verifica-se um bom ajuste dos valores frente ao pico de concentração do traçador.

x∆ y∆

tE t∆

t∆

lE tE t∆ u

50%±

(a) (b)

(a) (b)

973

ISSN 1984-8218

Figura 4: Perfil da concentração no ponto de coleta considerando a velocidade u = 0,35 m/s. (a) El = 0,42 m2/s e Et = 0,01 m2/s; (b) El = 0,33 m2/s e Et = 0,008 m2/s.

Por fim, foi analisado a comportamento da pluma de traçador quando o mesmo é lançado no centro do rio, ou seja, a 21 m da margem. As Figuras 5(a) e 5(b) apresentam uma visão bidimensional da seção do rio contendo a solução salina decorridos 136 s após sua injeção, tempo no qual foi verificada a passagem do pico de concentração no ponto de coleta, considerando o lançamento na margem e no centro do rio, respectivamente. Constata-se através das referidas Figuras 5(a) e 5(b), que o lançamento do centro apresenta uma maior dispersão quando comparado ao lançamento na margem do rio. Figura 5: Seção do rio contendo o perfil da concentração decorridos 136 s com El = 0,33 m2/s e

Et = 0,008 m2/s, sendo o lançamento na margem (a) e no centro do rio (b). 5 Conclusões e Trabalhos Futuros De posse dos resultados, conclui-se, por meio das Figuras 2 e 3, que quanto maior os coeficientes de dispersão longitudinal e transversal, maior é a atenuação da pluma de traçador. Observa-se também uma considerável sensibilidade na estrutura da mesma com o aumento destes coeficientes, sensibilidade essa que se acentua com o transcorrer do tempo. Ao se analisar as Figuras 4(a) e 4(b), verifica-se que os valores iniciais adotados para os coeficientes de dispersão de acordo com [5] e [7], não modelaram satisfatoriamente a pluma de traçador, porém, após alguns testes foi possível obter valores para esses parâmetros que permitem um bom ajuste entre os dados numéricos e experimentais. Constata-se ainda que os valores observados e calculados numericamente possuem uma discrepância após o pico de concentração. Isso pode ser em decorrência de uma não homogeneização total da concentração na vertical ou de algum fator de decaimento do sal, não contemplado na simulação. Conclui-se também, com base nas Figuras 5(a) e 5(b), que decorrido o mesmo intervalo de tempo (136 s), o lançamento quando realizado no centro do rio apresenta um pico de concentração mais baixo comparado ao lançamento na margem, além de apresentar uma

(a) (b)

(a) (b)

974

ISSN 1984-8218

resposta dispersiva mais acentuada, concluindo dessa forma, que um lançamento nessa posição é menos prejudicial ao ambiente comparado ao mesmo lançamento na margem do rio.

Por fim, os coeficientes de dispersão expressos pelas equações de [5] e [7] apresentam uma margem de erro de , o que dificulta a obtenção de uma boa estimativa para esses parâmetros. Portanto, pretende-se, como perspectivas de trabalhos futuros, utilizar técnicas de problemas inversos para uma determinação mais precisa dos referidos parâmetros.

Agradecimentos Os autores agradecem a CAPES, CNPq, FAPERJ e Termomacaé Ltda.

Referências [1] K. J. Amaral, “Estuário do Rio Macaé: Modelagem Computacional como Ferramenta para o Gerenciamento Integrado de Recursos Hídricos”, Tese de Doutorado, COPPE-UFRJ, 2003. [2] B. Braga, B. Hespanhol, J. G. L. Conejo, M. T. L. Barros, M. Spencer, M. Porto, N. Nucci, N. Juliano, S. Eiger, “Introdução a Engenharia Ambiental”, Pearson, São Paulo, 2005. [3] H. Costa, “Subsídios para Gestão dos Recursos Hídricos das Bacias Hidrográficas dos Rios Macacu, São João, Macaé e Macabu”, Secretaria de Estado de Meio Ambiente e Desenvolvimento Sustentável (SEMADS), Rio de Janeiro, 1999. [4] J. A. Devens, “Quantificação do Coeficiente de Dispersão Longitudinal em Pequenos Cursos D’água Naturais com o Uso de Traçador Ambientalmente Neutro”, Programa de Pós-Graduação em Engenharia Ambiental-UFOP, 2006. [5] J. W. Elder, The dispersion of marked fluid in turbulent shear flow, Journal of Fluid Mechanics, vol. 5, pp. 544-560, (1959). [6] J. H. Ferziger, M. Peric, “Computational Methods for Fluid Dynamics”, Springer, New York, 2002. [7] H. B. Fischer, J. Imberger, E. G. List, R. C. Y. Koh, N. H. Brooks, “Mixing in Inland and Coastal Waters”, Academic Press, New York, 1979. [8] J. Lugon Jr., P. P. G. W. Rodrigues, A. J. Silva Neto, Assessment of dispersion mechanisms in rivers by means of an inverse problem approach. Inverse Problems in Science and Engineering, vol. 16, pp. 967-979, (2008). [9] W. Malalasekera, H. K. Versteeg, “ An Introduction to Computational Fluid Dynamic: the Finite Volume Method”, Longmam Group, London, 1995. [10] C. R. Maliska, “Transferência de Calor e Mecânica dos Fluidos Computacional”, LTC, Rio de Janeiro, 2004. [11] J. L. Martin, S. C. Mccutcheon. “Hydrodinamics and Transport for Watter Quality Modeling”, Lewis, New York, 1998. [12] S. V. Patankar, “Numerical Heat Transfer and Fluid Flow”, Hemisphere Publishing Corporation, New York, 1980. [13] W. R. Telles, “Simulação do Transporte Bidimensional Horizontal de Substância Conservativa”, Dissertação de Mestrado, IPRJ-UERJ, 2009.

50%±

975

ISSN 1984-8218