SIMULAÇÃO NUMÉRICA DE ESCOAMENTO SOBRE …phoenics/EM974/PROJETOS/Temas Projetos... · Dinâmica...
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i Tese apresentada à Pró-Reitoria de Pós-Graduação e Pesquisa do Instituto Tecnológico de Aeronáutica, como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Ciências do Programa de Estudos de Mestrado no Curso de Engenharia Aeronáutica e Mecânica – Área de Aerodinâmica, Propulsão e Energia. Marco Antonio Sampaio Ferraz de Souza SIMULAÇÃO NUMÉRICA DE ESCOAMENTO SOBRE AEROFÓLIO UTILIZANDO MODELO DE TURBULÊNCIA DE UMA EQUAÇÃO Tese aprovada em sua versão final pelos abaixo assinados Prof. Dr. Nide Geraldo do Couto Ramos Fico Jr. Orientador Prof. Dr. Celso Massaki Hirata Pró-Reitor de Pós-Graduação e Pesquisa Campo Montenegro São José dos Campos, SP – Brasil. 2009
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Tese apresentada à Pró-Reitoria de Pós-Graduação e Pesquisa do Instituto
Tecnológico de Aeronáutica, como parte dos requisitos para obtenção do título de
Mestre em Ciências do Programa de Estudos de Mestrado no Curso de Engenharia
Aeronáutica e Mecânica – Área de Aerodinâmica, Propulsão e Energia.
Marco Antonio Sampaio Ferraz de Souza
SIMULAÇÃO NUMÉRICA DE ESCOAMENTO SOBRE
AEROFÓLIO UTILIZANDO MODELO DE TURBULÊNCIA DE
UMA EQUAÇÃO
Tese aprovada em sua versão final pelos abaixo assinados
Prof. Dr. Nide Geraldo do Couto Ramos Fico Jr.
Orientador
Prof. Dr. Celso Massaki Hirata Pró-Reitor de Pós-Graduação e Pesquisa
Campo Montenegro São José dos Campos, SP – Brasil.
2009
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Dados Internacionais de Catalogação-na-Publicação (CIP)
Divisão Biblioteca Central do ITA/CTA Souza, Marco Antonio Sampaio Ferraz de Simulação numérica de escoamento sobre aerofólio utilizando modelo de turbulência de uma equação / Marco Antonio Sampaio Ferraz de Souza. São José dos Campos, 2009. 125f. Tese de mestrado – Curso de Engenharia Aeronáutica e Mecânica, Área de Aerodinâmica, Propulsão e Energia--Instituto Tecnológico de Aeronáutica, 2009. Orientador: Dr. Nide Geraldo do Couto Ramos Fico Júnior. 1. Dinâmica dos Fluidos Computacional. 2. Método de Volumes Finitos. 3. Modelo de Turbulência. I. Comando-Geral de Tecnologia Aeroespacial. Instituto Tecnológico de Aeronáutica. Divisão de Engenharia Aeronáutica. II. Simulação numérica de escoamento sobre aerofólio utilizando modelo de turbulência de uma equação.
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA SOUZA, Marco Antonio Sampaio Ferraz de. Simulação numérica de escoamento sobre aerofólio utilizando modelo de turbulência de uma equação. 2009. 125 f. Tese de mestrado, Área de Aerodinâmica, Propulsão e Energia – Instituto Tecnológico de Aeronáutica, São José dos Campos.
CESSÃO DE DIREITOS NOME DO AUTOR: Marco Antonio Sampaio Ferraz de Souza TÍTULO DO TRABALHO: Simulação numérica de escoamento sobre aerofólio utilizando modelo de turbulência de uma equação TIPO DO TRABALHO/ANO: Tese de Mestrado / 2009
_________________________________ Marco Antonio Sampaio Ferraz de Souza Rua Jaime Ribeiro, 84 apto. 01 – Aparecida – SP. [email protected]
É concedida ao Instituto Tecnológico de Aeronáutica permissão para reproduzir cópias desta tese e para emprestar ou vender cópias somente para propósitos acadêmicos e científicos. O autor reserva outros direitos de publicação e nenhuma parte desta tese pode ser reproduzida sem a sua autorização (do autor).
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SIMULAÇÃO NUMÉRICA DE ESCOAMENTO SOBRE
AEROFÓLIO UTILIZANDO MODELO DE TURBULÊNCIA DE
UMA EQUAÇÃO
Marco Antonio Sampaio Ferraz de Souza
Composição da Banca Examinadora:
Prof. Amilcar Porto Pimenta Presidente - ITA Prof. Nide G. C. R. Fico Jr. Orientador - ITA Prof. Ézio Castejon Garcia Membro Interno - ITA Prof. Breno Moura Castro Membro Externo - IAE
ITA
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AGRADECIMENTOS
Em primeiro lugar a Deus. Aos meus pais Sonia e José Antonio, minha irmã Soninha, meus
sobrinhos Lívia Maria, João Vitor e Luis Otávio e um agradecimento especial a minha tia Wanda
que no alto de sua experiência me ajudou a chegar aqui.
A meu professor e orientador Nide, pelos detalhes precisos em suas orientações. Aos amigos do
ITA em especial a José Cáceres e Oscar Arias que tantas horas se dedicaram ao desenvolvimento
do programa. Ao João Falcão do IAE que contribuiu de forma decisiva para a implementação do
modelo de turbulência a partir da versão do Breno Castro. Aos Mestres e Doutores do Grupo de
Simulação e Transferência de Calor – GSET, Flávia, Rosiane, Valdirene, Jéferson, Capitão Porto.
A todos do Laboratório de Computação em Fenômenos de Transporte - LCFT e ao Professor
Marcelo Lemos sempre com contribuições de alto nível. Um agradecimento final a todos os
funcionários do ITA, dos Professores aos bibliotecários muito obrigado pela fineza no
tratamento.
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Eu sou um homem velho atualmente, e quando eu morrer e for para o céu há duas
coisas em que eu espero por esclarecimentos. Uma é eletrodinâmica quântica e a outra
é o movimento turbulento dos fluidos. E sobre a anterior eu sou mais
otimista.
SIR HORACE LAMB
vi
RESUMO
Simulações numéricas foram realizadas utilizando-se um código computacional
desenvolvido para resolver o sistema de equações de Navier-Stokes com média de Reynolds que
modela o escoamento compressível turbulento em torno de um aerofólio NACA 0012. Foram
utilizadas malhas estruturadas tipo O geradas algebricamente e diversos refinamentos puderam
ser feitos. O método de volumes finitos foi empregado para a discretização do sistema de
equações diferenciais parciais e os esquemas explícitos de MacCormack e Jameson foram
implementados. Termos de viscosidade artificial foram adicionados explicitamente através de um
modelo não-linear. O modelo de turbulência de uma equação de Spalart e Allmaras foi
implementado para resolver o problema de fechamento da turbulência. Inicialmente, a
formulação de Euler foi usada e resultados para a distribuição de pressão e coeficientes
aerodinâmicos foram obtidos para quatro casos de escoamentos transônicos não-viscosos sobre o
aerofólio. As soluções foram comparadas com os resultados de outros métodos numéricos
disponíveis na literatura. Em seguida, um dos casos foi utilizado para avaliar a influência dos
parâmetros numéricos como a viscosidade artificial e o refinamento da malha. Outro caso foi
utilizado para comparar os esquemas explícitos de MacCormack e Jameson. Por último, o modelo
de turbulência de uma equação de Spalart e Allmaras foi utilizado para a formulação de Navier-
Stokes e as soluções foram comparadas com os dados experimentais de Harris e outros resultados
numéricos obtidos com o modelo de turbulência algébrico de Baldwin e Lomax.
vii
ABSTRACT
Numerical simulations were performed using a computer code developed to solve the Reynolds
averaged Navier-Stokes equations system that models the compressible turbulent flow over a
NACA 0012 airfoil. An “O” type, algebraic, structured mesh was used and various refinements
were made. The finite volume method was used for discretization of the system of partial
differential equations and the explicit schemes of MacCormack and Jameson were implemented.
Artificial viscosity terms were added explicitly using a non-linear model. The one equation
turbulence model of Spalart and Allmaras was implemented to resolve the turbulence closing
problem. Initially, the formulation of Euler was used to obtain the distribution of pressure and
aerodynamic coefficients for four cases of transonic inviscid flow over the NACA 0012 airfoil.
The solutions were compared with results of other numerical methods available in the literature.
Then, one of the cases was used to assess the influence of numerical parameters such as artificial
viscosity and the mesh refinement. Another case was used to compare the explicit schemes of
MacCormack and Jameson. Finally, the one equation turbulence model of Spalart and Allmaras
was used for the Reynolds-averaged Navier-Stokes equations and the solutions were compared
with experimental data of Harris and other numerical results obtained with the algebraic
turbulence model of Baldwin and Lomax.
viii
SUMÁRIO Lista de figuras xi Lista de tabelas xiv Lista de abreviaturas e siglas xv Lista de símbolos xvi 1. Introdução 1.1 Objetivo 1.2 Motivação 1.3 Posicionamento do Trabalho 1.4 Organização do Trabalho 2. Formulação Teórica
2.1 Equações fundamentais 2.1.1 Equação da continuidade
2.1.2 Equação de quantidade de movimento
2.1.3 Equação da energia 2.1.4 Equação de estado
2.2 Equações de Navier-Stokes
2.3 Equações de Navier-Stokes na forma conservativa
2.4 Equações de Reynolds para escoamentos turbulentos
2.5 Forma vetorial das equações
2.6 Adimensionalização das equações de Navier-Stokes
3. Implementação Numérica 3.1 Introdução 3.1.1 Formulação do volume de controle
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ix
3.1.2 O método de volumes finitos 3.2 Equações de Navier-Stokes na forma integral 3.3 Cálculo dos volumes e áreas das células 3.4 O esquema de MacCormack 3.5 O esquema de Jameson 3.6 Condições iniciais 3.7 Condições de contorno 3.7.1 Parede 3.7.2 Fronteira remota 3.7.3 Fronteira simétrica
3.8 Termos de viscosidade artificial
3.9 Cálculo das derivadas
3.10 Modelagem da turbulência
3.10.1 Introdução
3.10.2 Modelo de Spalart-Allmaras
3.11 Verificação do código computacional
3.11.1 Escoamentos transônicos sobre o aerofólio NACA 0012
3.11.1.1 Caso 1, Mach=0.63 e α=2.0°
3.11.1.2 Caso 2, Mach=0.8 e α=0°
3.11.1.3 Caso 3, Mach=0.8 e α=1.25°
3.11.1.4 Caso 4, Mach=0.85 e α=1.0°
3.11.2 Influência dos parâmetros numéricos 3.11.2.1 Coeficientes de dissipação artificial
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x
3.11.2.2 Influência do refinamento da malha 3.11.3 Comparação entre os esquemas de Jameson e MacCormack 4. Resultados
4.1 Reynolds 63 10× , Mach=0.3 e α=1.86°
4.2 Reynolds 63 10× , Mach=0.5 e α=5.86° 4.3 Reynolds 6
9 10× , Mach=0.5 e α=3.86° 4.4 Reynolds 6
9 10× , Mach=0.74 e α=−0.14° 5. Conclusão 100 Referências bibliográficas 102 Apêndice A 106 Apêndice B 113 Apêndice C 116 Apêndice D 121
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xi
Lista de figuras Figura 1: Vetores de áreas apontando nas direções i e j positivas.
Figura 2: As componentes do vetor de área .S
Figura 3: Passo Predictor.
Figura 4: Passo Corrector.
Figura 5: Update.
Figura 6: Vetores de velocidade próximos à parede.
Figura 7: Tipos de fronteiras usadas nas condições de contorno.
Figura 8: Célula auxiliar usada para cálculo das derivadas.
Figura 9: Malha estruturada tipo O em torno do aerofólio NACA 0012.
Figura 10: Comparação do Cp ao longo da corda do aerofólio para 0.63M∞ = e α =2.0°. 70
Figura 11: Contornos de pressão para 0.63M∞ = e α=2.0°.
Figura 12: Contornos do número de Mach para 0.63M∞ = e α=2.0°.
Figura 13: Curva de convergência numérica para 0.63M∞ = e α=2.0°.
Figura 14: Comparação do Cp ao longo da corda do aerofólio para 0.8M ∞ = e α =0°.
Figura 15: Contornos de pressão para 0.8M∞ = e α=0°.
Figura 16: Contornos do número de Mach para 0.8M∞ = e α=0°.
Figura 17: Curva de convergência numérica para 0.8M∞ = e α=0°.
Figura 18: Comparação do Cp ao longo da corda do aerofólio para 0.8M ∞ = e α=1.25°. 76
Figura 19: Contornos de pressão para 0.8M∞ = e α=1.25°.
Figura 20: Contornos de pressão para 0.8M∞ = e α=1.25°. (a) Kudinov
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xii
e (b) Arias Garcia.
Figura 21: Contornos do número de Mach para 0.8M∞ = e α=1.25°.
Figura 22: Contornos do número de Mach para 0.8M∞ = e α=1.25°. (a) Kudinov
e (b) Arias Garcia.
Figura 23: Curva de convergência numérica para 0.8M∞ = e α=1.25°.
Figura 24: Comparação do Cp ao longo da corda do aerofólio para 0.85M∞ = e α=1.0°.
Figura 25: Contornos de pressão para 0.85M∞ = e α=1.0°.
Figura 26: Contornos do número de Mach para 0.85M∞ = e α=1.0°.
Figura 27: Curva de convergência numérica para 0.85M∞ = e α=1.0°.
Figura 28: Influência de 2K e 4K sobre a distribuição de pressão para o caso 4.
(a) 2 0.25K = e 4 0.0117K = . (b) 2 2.0K = e 4 0.035K = .
Figura 29: Influência de 2K e 4K sobre a convergencia numérica para o caso 4.
(a) 2 0.25K = e 4 0.0117K = . (b) 2 2.0K = e 4 0.035K = .
Figura 30: Influência do refinamento da malha sobre a distribuição de pressão
para o caso 3.
Figura 31: Influência do refinamento da malha sobre a convergência numérica
para o caso 3.
Figura 32: Distribuição de pressão sobre o aerofólio para o caso 3. (a) Jameson
(b) MacCormack.
Figura 33: Curva de convergência numérica para o caso 3. (a) Jameson
(b) MacCormack.
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xiii
Figura 34: Refinamento da malha próximo ao bordo de ataque do aerofólio
NACA 0012.
Figura 35: Refinamento da malha próximo ao bordo de fuga do aerofólio
NACA 0012.
Figura 36: Distribuição do coeficiente de pressão para M ∞ =0.3 e α =1.86.
Figura 37: Contornos de pressão para M ∞ =0.3 e α =1.86.
Figura 38: Contornos do número de Mach para M ∞ =0.3 e α =1.86.
Figura 39: Curva de convergência numérica para M ∞ =0.3 e α =1.86.
Figura 40: Distribuição do coeficiente de pressão M ∞ =0.5 e α =5.86.
Figura 41: Contornos de pressão para M ∞ =0.5 e α =5.86.
Figura 42: Contornos do número de Mach para M ∞ =0.5 e α =5.86.
Figura 43: Curva de convergência numérica para M ∞ =0.5 e α =5.86.
Figura 44: Distribuição do coeficiente de pressão para M ∞ =0.5 e α =3.86.
Figura 45: Contornos de pressão para M ∞ =0.5 e α =3.86.
Figura 46: Contornos do número de Mach para M ∞ =0.5 e α =3.86.
Figura 47: Curva de convergência numérica para M ∞ =0.5 e α =3.86.
Figura 48: Distribuição do coeficiente de pressão para M ∞ =0.74 e α = -0.14.
Figura 49: Contornos de pressão para M ∞ =0.74 e α = -0.14.
Figura 50: Contornos do número de Mach para M ∞ =0.74 e α = -0.14.
Figura 51: Curva de convergência numérica para M ∞ =0.74 e α =-0.14.
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xiv
Lista de tabelas
Tabela 1: Coeficientes aerodinâmicos para o aerofólio NACA 0012 – CASO 1
Tabela 2: Coeficientes aerodinâmicos para o aerofólio NACA 0012 – CASO 2
Tabela 3: Coeficientes aerodinâmicos para o aerofólio NACA 0012 – CASO 3
Tabela 4: Coeficientes aerodinâmicos para o aerofólio NACA 0012 – CASO 4
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xv
Lista de abreviaturas e siglas
NACA National Advisory Committee for Aeronautics
MDF Método de Diferenças Finitas
MEF Método de Elementos Finitos
MVF Método de Volumes Finitos
CFD Computational Fluid Dynamics
CFL Courant Friedrichs Lewy
RANS Reynolds-averaged Navier Stokes
xvi
Lista de símbolos
a Velocidade do som
c Corda do aerofólio
1bc , etc. Constantes empíricas no modelo de turbulência
DC Coeficiente de arrasto
LC Coeficiente de sustentação
NC Coeficiente de força normal
PC Coeficiente de pressão
pc Calor específico a pressão constante
vc Calor específico a volume constante
d Distância para a parede
d Magnitute do vetor de área
Da Termo de viscosidade artificial
ie Energia interna por unidade de massa
tE Energia total por unidade de volume
E, F Vetores de fluxo nas direções x e y
,e eE F Vetores de fluxo não-viscosos nas direções x e y
,v v
E F Vetores de fluxo viscosos nas direções x e y
2vf , etc. Funções empíricas no modelo de turbulência
f
Força de campo por unidade de volume
xvii
g, r, S Variáveis intermediárias no modelo de turbulência
h Entalpia específica
H Entalpia total
k Condutividade térmica
tk Condutividade térmica turbulenta
L Comprimento característico
M ∞ Número de Mach na corrente livre
p∞ Pressão estática
,i jP Super vetor contendo os fluxos viscosos e não-viscosos
Pr Número de Prandtl
Prt Número de Prandtl turbulento
q
Vetor de fluxo de calor por condução
xq , yq Componentes do vetor de fluxo de calor
Q Vetor das variáveis conservadas, coordenadas cartesianas
Re Número de Reynolds
S Magnitude da vorticidade
,i jS Superfície do volume elementar
t Tempo
,i jT Fluxo total através dos volumes de volume
T Temperatura absoluta
U
Vetor de velocidade
u Componente de velocidade na direção x
xviii
v Componente de velocidade na direção y
,i jV Volume da célula
ix Coordenadas cartesianas
y+ Medida da resolução na sub-camada viscosa
α Ângulo de ataque
ijδ Função de Kronecker
t∆ Intervalo de tempo
γ Razão de calores específicos
µ Coeficiente de viscosidade dinâmica laminar
tµ Viscosidade turbulenta
ν Viscosidade cinemática
tν Viscosidade cinemática turbulenta
ν Variável de trabalho do modelo de Spalart e Allmaras
,i jΩ Tensor de rotação
ρ Densidade
τ
Tensor de tensões viscosas
xxτ ,
xyτ ,
yyτ Componentes do tensor de tensões viscosas
η , ξ Direções coordenadas curvilíneas generalizadas
χ Variável intermediária do modelo de Spalart e Allmaras
ω Vorticidade
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1 Introdução
Cada vez mais, o uso de simulações e ferramentas computacionais em aerodinâmica vem
reduzindo a quantidade de projetos que utilizam protótipos em situações físicas reais que tendem
a ter seus custos elevados como os testes em túnel de vento. O crescente aumento da capacidade
de processamento e armazenamento dos computadores nos últimos anos vem possibilitando uma
modelagem mais detalhada dos problemas e a utilização de malhas mais refinadas.
A solução numérica, em processos que envolvem escoamentos aerodinâmicos, começa
quando as leis que governam tais processos são expressas na forma matemática, em termos de
equações diferenciais.
As equações diferenciais expressam princípios de conservação. Cada equação emprega
uma quantidade física como sua variável dependente e significa que deve haver um balanço entre
os vários fatores que influenciam a variável. As variáveis dependentes destas equações
representam normalmente propriedades específicas e os termos em uma equação diferencial deste
tipo denotam influência em uma base volumétrica[1].
Uma equação diferencial é uma compilação de tais termos, cada qual representando uma
influência em uma base volumétrica e todos os termos juntos significando um balanço ou
conservação.
A previsão teórica dos fenômenos físicos de interesse é governada por equações
diferenciais sendo representada por uma equação geral. Portanto, é necessário desenvolver
maneiras de resolver esta equação.
20
A solução numérica de uma equação diferencial consiste de um conjunto de números a
partir dos quais a distribuição da variável dependente pode ser construída. A análise numérica
deve conter somente um número finito de valores numéricos como resultado, embora esse
número possa ser grande o suficiente para os propósitos práticos.
Representando o comportamento da variável dependente por um polinômio, pode-se
empregar um método numérico para encontrar o número finito de coeficientes. Isto permitirá
avaliar a variável dependente em qualquer posição.
Dessa forma, um método numérico trata, como sua incógnita básica, os valores da
variável dependente em um número finito de posições, chamados de pontos da malha. O método
inclui as tarefas de fornecer um conjunto de equações algébricas para estas incógnitas e de
prescrever um algoritmo para resolver as equações[1].
As equações numéricas denominadas equações de discretização envolvem os valores
desconhecidos da variável dependente nos pontos da malha e são obtidas a partir da equação
diferencial relativa a cada variável dependente.
Uma equação de discretização é uma relação algébrica associando os valores da variável
dependente para um grupo de pontos da malha. Tal equação é obtida da equação diferencial e,
deste modo, expressa a mesma informação física que a equação diferencial original. O valor da
variável dependente em um ponto da malha influência a distribuição da variável dependente
somente em sua vizinhança. Como o número de pontos da malha torna-se muito grande, espera-
se que a solução das equações de discretização se aproxime da solução exata da correspondente
equação diferencial.
Para uma dada equação diferencial, as possíveis equações de discretização não são únicas,
embora todos os tipos de equações de discretização devam, no limite de um número muito grande
de pontos da malha, levar à mesma solução.
21
Os diferentes tipos surgem das diferenças nos perfis de interpolação utilizados e nos
métodos de obtenção das mesmas. Existem então diferentes métodos de discretização, sendo os
mais conhecidos os Método de Diferenças Finitas (MDF), o Método de Elementos Finitos (MEF)
e o Método de Volumes Finitos (MVF).
Historicamente, o MDF foi sempre empregado na área de mecânica dos fluidos, enquanto
o MEF o foi para a área estrutural, na solução de problemas de elasticidade. A possibilidade de se
associar a interpretação física à matemática influi de modo considerável para que parte dos
analistas envolvidos com o MDF passassem a usar o MVF. Esses dois métodos, por serem
semelhantes para algumas situações, são muitas vezes confundidos. Deve ficar claro que o MDF
é simplesmente a substituição do operador diferencial pelo seu correspondente numérico,
enquanto que o MVF, para obter a correspondente equação de discretização, realiza um balanço
de conservação da propriedade para cada volume elementar[2].
Portanto, tanto o MDF como o MEF não trabalham com volumes de controle e sim apenas
com pontos da malha, e, como conseqüência, não são conservativos em nível discreto.
A distinção entre os métodos resulta dos modos de escolher os perfis e as formas de
obtenção das equações de discretização.
Para uma dada equação diferencial, as equações de discretização podem ser obtidas de
várias maneiras como a Formulação da Série de Taylor (MDF), a Formulação Variacional
(MEF), o Método dos Resíduos Ponderados (MEF) e a Formulação do Volume de Controle
(MVF), que será a utilizada neste trabalho.
22
1.1 Objetivo
O objetivo principal deste trabalho é a simulação numérica do escoamento compressível
turbulento em torno de um aerofólio NACA 0012 utilizando-se o modelo de turbulência de uma
equação de Spalart e Allmaras.
1.2 Motivação
A previsão de resultados de processos que envolvem escoamentos aerodinâmicos pode ser
obtida por dois métodos principais: investigação experimental e cálculo teórico que, por sua vez,
é formado pelos métodos analíticos e os métodos numéricos.
A informação mais confiável sobre um escoamento aerodinâmico é frequentemente dada
por uma medida real obtida em testes em túnel de vento. Uma investigação experimental
envolvendo um aerofólio de escala completa pode ser usada para prever como cópias idênticas do
aerofólio se comportariam sob as mesmas condições. Na maioria dos casos, testes com aerofólios
de escala completa são de alto custo e, frequentemente, impossíveis de se realizar. A alternativa
então é realizar experimentos com modelos em escala reduzida. A informação resultante deve ser
extrapolada para uma escala completa e a regra geral para se fazer isso, normalmente, não está
disponível. Os modelos em escala reduzida nem sempre simulam todas as características do
aerofólio de escala completa e características importantes são omitidas. Existem também sérias
dificuldades de medidas em muitas situações e os instrumentos de medidas não estão livres de
erros.
Para os processos físicos em questão, o modelo matemático consiste de um conjunto de
equações diferenciais. Infelizmente, os métodos da matemática clássica disponíveis só
conseguem resolver equações simplificadas, o que não permite estudar muitos dos fenômenos de
23
interesse prático. Essas soluções, via de regra, contêm séries infinitas, funções especiais,
equações transcendentais e suas avaliações numéricas demandam grande esforço. Entretanto,
algumas características dos métodos numéricos são construídas pelo uso de soluções analíticas
simples. Além disso, não há melhor maneira para se verificar a precisão de um método numérico
que a comparação com uma solução analítica exata[1].
A principal vantagem de uma previsão computacional é seu baixo custo. Na maioria das
aplicações em aerodinâmica, o custo de uma simulação computacional é muitas vezes menor do
que o custo de um teste em túnel de vento. Esse fator assume crescente importância em situações
físicas mais complexas.
Uma investigação computacional pode dar aos projetistas centenas de diferentes
configurações em poucas horas e então pode-se escolher o projeto mais próximo do ótimo.
Comparativamente, a correspondente investigação experimental levaria muito mais tempo.
Uma solução computacional pode fornecer informações completas e detalhadas. Ela pode
fornecer os valores de todas as variáveis relevantes tais como temperatura e velocidade em todo o
domínio de interesse. Diferentemente da situação experimental, há poucos locais inacessíveis em
uma análise computacional. Obviamente, em nenhum estudo experimental espera-se medir as
distribuições de todas as variáveis de interesse. Por essa razão, mesmo quando um experimento é
realizado, há grande valor em obter uma solução computacional para complementar a informação
experimental.
Esta breve discussão sobre o mérito relativo da análise computacional em relação à
investigação experimental não significa excluir a experimentação.
O método experimental é o único método capaz de investigar um novo fenômeno básico.
Além disso, a validação dos resultados computacionais pela comparação com dados
experimentais é sempre necessária. Por outro lado, para o projeto dos aparatos experimentais,
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análises computacionais são frequentemente úteis e a quantidade de experimentos pode ser
significativamente reduzida se a investigação for complementada por computação[1].
1.3 Posicionamento do trabalho
A simulação numérica em mecânica dos fluidos e transferência de calor, conhecida como
CFD (Computational Fluid Dynamics), teve um desenvolvimento impressionante nos últimos
anos. Inicialmente, como uma ferramenta para análise de problemas físicos em nível de
investigação científica e, atualmente, como uma ferramenta poderosa para a solução de
importantes problemas aplicados à engenharia[2]. CFD complementa tanto a teoria pura quanto a
experimentação pura fornecendo uma alternativa para simular escoamentos complexos. É
frequentemente usada antes de testes em túnel de vento. Este procedimento faz o ciclo de projeto
mais curto e muito mais eficiente[3]. Um dos maiores interesses por CFD em aeronáutica é a
necessidade de se obter soluções confiáveis e práticas de modelos aerodinâmicos. Grandes
avanços estão sendo alcançados e aplicações de CFD na indústria aeronáutica tornaram-se
fundamentais.
O desenvolvimento de métodos de modelagem de escoamentos aerodinâmicos em regime
transônico é de suma importância para a engenharia aeronáutica. A maior dificuldade no
tratamento desses escoamentos está na sua característica não-linear devido aos efeitos de
compressibilidade e formação de ondas de choque. Os projetos aeronáuticos de aeronaves
enfrentam grandes dificuldades devido aos efeitos de compressibilidade e o regime transônico é o
maior desafio.
A maioria dos autores atribui o primeiro trabalho definitivo de importância em CFD a
Richardson (1910) que introduziu esquemas de ponto iterativo para resolver numericamente a
25
equação de Laplace e a equação bi-harmônica. Richardson também desenvolveu a técnica de
relaxação para resolver a equação de Laplace.
Algumas vezes o início da análise numérica moderna é atribuído ao famoso paper de
Courant, Friedrichs, and Lewy (1928). Prova da importância deste paper é a sua republicação em
1967 no Jornal de Pesquisa e Desenvolvimento da IBM[4].
Desde a invenção do computador digital os métodos numéricos foram usados para
resolver problemas em dinâmica dos fluidos. Entretanto, estes eventos sozinhos não
revolucionaram a prática de engenharia. A explosão na atividade computacional não começou
antes de um terceiro ingrediente, a disponibilidade de computadores de alta velocidade, ocorrido
nos anos sessenta.
Os primeiros métodos computacionais começaram a ter impacto significante na análise
aerodinâmica, no período de 1965-75, no qual foi introduzido o método dos painéis que permitiu
resolver modelos de escoamento linear para geometrias complexas arbitrárias, tanto em
escoamentos subsônicos quanto supersônico. Também, apareceu o primeiro método satisfatório
para tratamento de equações não lineares para escoamento transônico[5].
A maioria dos trabalhos apresentados para solução de escoamentos em regime transônico
durante as décadas de setenta e oitenta utilizou as formulações aerodinâmicas baseadas nas
equações de pequenas perturbações ou do potencial completo. No início da década de setenta,
Murman e Cole[6] desenvolveram um algoritmo numérico consistente para resolver escoamentos
transônicos usando aproximação de pequenas perturbações.
Pouco tempo depois, Jameson[7] estendeu a formulação de Murman e Cole através de um
esquema “rodado” possibilitando a solução da equação do potencial completo para problemas
tridimensionais. Os trabalhos de Boppe[8] e MacCroskey[9] também utilizaram a formulação de
pequenas perturbações e desenvolveram o método para três dimensões. No mesmo período,
26
surgiram os primeiros trabalhos para solução das equações de Euler como Kutler e Lomax[10],
Beam e Warming[11], Steger e Warming[12]. Nestes trabalhos foram desenvolvidos métodos com
abordagens implícitas e explícitas.
Entretanto, soluções invíscidas são aceitáveis enquanto os efeitos viscosos são
relativamente pequenos. Quando tais efeitos crescem em importância, como em regiões com
escoamento separado, resultados obtidos com semelhante formulação já não apresentam a
acurácia desejada[13].
Em 1978, Ballhaus, Jameson e Albert[14] apresentaram resultados de escoamento sobre
aerofólios usando um algoritmo de fatorização aproximada implícita com um tempo de
processamento otimizado.
Na década de oitenta, novos métodos viscosos foram desenvolvidos, acoplando-se um
esquema para a solução de camada limite com um esquema invíscido para a solução do potencial
completo, gerando códigos como o GRUMFOIL [15].
A partir do final dos anos oitenta, com o aparecimento dos supercomputadores e o
constante aumento da capacidade de armazenamento e velocidade computacional, foi possível o
desenvolvimento de códigos capazes de resolver as equações de Navier-Stokes com média de
Reynolds.
O processo de média das variáveis dependentes consiste em dividi-las em duas parcelas,
uma sendo a média no tempo e outra a flutuação sobre a média, gerando novos termos
conhecidos como tensões de Reynolds. Para fechar o problema, é necessário desenvolver
maneiras de avaliar essas novas quantidades. Dessa forma, foram criados os modelos de
turbulência.
27
A maioria dos modelos de turbulência é baseada na hipótese de Boussinesq (1877) na qual
o autor sugeriu que as tensões cisalhantes turbulentas podem ser relacionadas à taxa de
cisalhamento média por intermédio de uma viscosidade turbulenta aparente.
Os modelos de turbulência podem ser divididos em duas categorias de acordo com o uso
ou não da hipótese de Boussinesq. Outra classificação comum dos modelos é de acordo com o
número de equações diferenciais suplementares que devem ser resolvidas.
Os modelos algébricos mais simples são considerados modelos de zero equação. A
simplicidade e o baixo custo computacional levou a popularização dos modelos algébricos como
o de Cebeci e Smith[16] onde a viscosidade turbulenta é obtida a partir de uma escala de
velocidade determinada pelo perfil de velocidade média e de uma escala de comprimento gerada
algebricamente. A grande dificuldade desse modelo é a obtenção dessa escala de comprimento
em escoamentos mais complexos onde ocorre separação.
Para resolver esse problema foi desenvolvido o modelo de Baldwin e Lomax[17] derivado
do modelo de Cebeci e Smith porém exibindo uma grande vantagem do ponto de vista
computacional já que ele não exige o cálculo da espessura da camada limite em cada estação.
O modelo de Johnson e King[18] propõe a utilização em escoamentos com camada limite
turbulenta com pressão adversa e conseqüente separação. Os efeitos do transporte turbulento são
computados através de uma equação diferencial ordinária para a máxima tensão aparente de
Reynolds no campo de escoamento. Dessa forma, a tensão máxima é utilizada como escala para a
viscosidade turbulenta determinada previamente com um modelo algébrico.
Para alcançar uma aplicação mais geral foram desenvolvidos os modelos de turbulência
de uma equação que acrescentam uma equação de transporte turbulento às equações de Navier-
Stokes com média de Reynolds como os modelos de Bradshaw, Ferris e Atwell[19], Nee e
Kovasznay[20], Secundov, Smirnova, Kozlov e Gulyaev[21], Mitcheltree, Salas e Hassan[22],
28
Johnston[23], Baldwin e Barth[24] e Spalart e Allamaras[25], e os modelos de duas equações que
acrescentam mais duas equações de transporte, uma para a escala de velocidade e outra para a
escala de comprimento, como o q-ω de Coakley[26], e os k-ε de Jones e Launder[27] e Launder e
Spalding[28].
Todos os modelos de turbulência conhecidos têm limitações, sendo essa área um grande
desafio dentro da Dinâmica dos Fluidos Computacional. Dessa forma, as expectativas de chegar a
um modelo de turbulência universal devem ser substituídas pela realidade de que será possível
somente criar-se modelos adequados a determinadas condições de escoamento[29].
Os últimos trabalhos desenvolvidos no Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA) para
simular numericamente escoamentos compressíveis turbulentos sobre aerofólios utilizaram
modelos de turbulência algébricos. Menezes[30], em 1994, aplicando um método de diferenças
finitas utilizou dois modelos de turbulência algébricos e Arias Garcia[31], em 2006, que
desenvolveu um código de CFD baseado no método de volumes finitos, aplicou um modelo de
turbulência algébrico. Isto motivou o autor a seguir com o código baseado no método de volumes
finitos utilizando os esquemas explícitos de MacCormack[32] e Jameson[33], e implementar o
modelo de turbulência de uma equação de Spalart-Allmaras[25],[34] para resolver o sistema de
equações de Navier-Stokes com média de Reynolds.
O método de volumes finitos tem a aparência de um método de diferenças finitas, mas
emprega muitas idéias que são típicas da metodologia de elementos finitos [1]. O esquema de
MacCormack utiliza os passos predictor e corrector para avançar no tempo enquanto o método
de Jameson utiliza um esquema de cinco passos de Runge-Kutta. Em ambos os esquemas foram
acrescentados termos de viscosidade artificial através de um modelo não-linear. Um passo no
29
tempo variável no espaço foi utilizado para acelerar a convergência mantendo-se o número de
CFL constante em todo o domínio de cálculo.
Um estudo utilizando CFD consiste basicamente de três etapas: geração da malha,
desenvolvimento de algoritmo e modelo de turbulência. O autor pretende neste trabalho cumprir
todas essas etapas.
1.4 Organização do trabalho
O trabalho foi dividido em cinco capítulos. Neste capítulo encontram-se a introdução,
com o objetivo principal, a motivação e a revisão da literatura no estudo de técnicas de CFD para
a análise de escoamentos aerodinâmicos. O capítulo 2 apresenta a formulação teórica do
escoamento modelado pelas equações de Navier-Stokes com média de Reynolds. O capítulo 3
apresenta a implementação numérica, discutindo o Método de Volumes Finitos, descrevendo os
esquemas de MacCormack e Jameson, as formas de implementação das condições de contorno,
dos termos de viscosidade artificial, do modelo de turbulência e incluindo também, a verificação
do código computacional desenvolvido. No capítulo 4, apresentam-se os resultados obtidos sendo
analisados e comparados com outros resultados numéricos e experimentais. No capítulo 5 são
apresentadas as conclusões finais e sugestões para trabalhos futuros. Para facilitar a leitura, os
desenvolvimentos mais prolongados encontram-se nos apêndices.
30
2 Formulação Teórica
2.1 Equações Fundamentais
As equações fundamentais da dinâmica dos fluidos são baseadas nas leis universais de
conservação[3]:
1. Conservação de massa,
2. Conservação de quantidade de movimento,
3. Conservação de energia.
A equação resultante da aplicação da lei de conservação de massa a um escoamento de
fluido é chamada equação da continuidade. A lei de conservação de quantidade de movimento é
nada mais que a segunda lei de Newton. A lei de conservação de energia é idêntica à primeira lei
da termodinâmica e a equação da dinâmica dos fluidos resultante é chamada equação da energia.
Em adição às equações desenvolvidas para estas leis universais, é necessário estabelecer relações
entre as propriedades do fluido de maneira a fechar o sistema de equações.
2.1.1 Equação da continuidade
A lei de conservação de massa aplicada a um fluido passando através de um volume de
controle fixo infinitesimal produz a seguinte equação da continuidade:
( ). 0,Ut
ρρ
∂+ ∇ =
∂
(1)
31
onde ρ é a densidade do fluido e U
é a velocidade do fluido. A equação (1) foi derivada usando
a aproximação Euleriana em que um volume de controle fixo é utilizado e as variações no fluido
são registradas quando o fluido passa através do volume de controle. A aproximação Euleriana é
a escolha mais apropriada para Mecânica dos Fluidos[3]. O primeiro termo nesta equação
representa a taxa de aumento da densidade no volume de controle e o segundo termo representa a
taxa de fluxo de massa atravessando a superfície de controle por unidade de volume. É
conveniente usar a derivada substancial:
( ) ( )
( ) ,D
UDt t
∂= + ⋅∇
∂
e mudar a equação (1) para a forma:
( ) 0.D
UDt
ρρ+ ∇ ⋅ =
Para um sistema de coordenadas cartesianas bidimensional, onde u e v representam as
componentes x e y do vetor velocidade, a equação (1) na forma conservativa torna-se:
( ) ( ) 0.u vt x y
ρρ ρ+
∂ ∂ ∂+ =
∂ ∂ ∂
2.1.2 Equação de quantidade de movimento
A segunda lei de Newton aplicada a um fluido passando através de um volume de
controle fixo infinitesimal produz a seguinte equação de quantidade de movimento:
( ) . ,U UU f pt
ρ ρ ρ τ∂
+ ∇ = − ∇ + ∇ ⋅∂
onde f
representa as forças de campo por unidade de volume, p é a pressão termodinâmica eτ
representa o tensor das tensões viscosas dado por:
(2)
(3)
(4)
(5)
32
2,
3ji k
ij ij
j i k
uu u
x x xτ µ µ δ
∂∂ ∂= + − ∂ ∂ ∂
onde µ é o coeficiente de viscosidade dinâmica , ijδ é função de Kronecker e foi considerada a
hipótese de Stokes na qual o segundo coeficiente de viscosidade µ′ é igual a -(2/3) µ .
O primeiro termo da equação (5) representa a taxa de aumento de quantidade de
movimento por unidade de volume. O segundo termo representa a taxa de quantidade de
movimento perdida por convecção por unidade de volume através da superfície de controle.
Substituindo a equação (6) na equação (5) e utilizando a derivada substancial, a equação
de Navier-Stokes é obtida:
2.
3ji k
ij
j j i k
uu uDUf p
Dt x x x xρ ρ µ µ δ
∂∂ ∂∂= − ∇ + + − ∂ ∂ ∂ ∂
Para um sistema de coordenadas cartesianas bidimensional, a equação (7) pode ser
separada nas seguintes equações de Navier-Stokes escalares:
22 ,
3x
Du p u v u vf
Dt x x x y y y xρ ρ µ µ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= − + − + +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
22 .
3y
Dv p v u v uf
Dt y x x y y y xρ ρ µ µ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= − + + + −
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
Utilizando a equação (5), estas equações podem ser reescritas na forma conservativa como:
( ) ( )2 ,x xx xy
uf u p uv
t x y
ρρ ρ τ ρ τ
∂ ∂ ∂= − + − − −
∂ ∂ ∂
( ) ( )2 ,y xy yy
vf uv v p
t x y
ρρ ρ τ ρ τ
∂ ∂ ∂= − − − + −
∂ ∂ ∂
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
33
onde os componentes do tensor de tensões viscosas são dados por:
22 ,
3xx
u v
x yτ µ
∂ ∂= −
∂ ∂
22 ,
3yy
v u
y xτ µ
∂ ∂= −
∂ ∂
.xy yx
u v
y xτ µ τ
∂ ∂= + =
∂ ∂
2.1.3 Equação da energia
A primeira lei da termodinâmica aplicada a um fluido passando através de um volume de
controle fixo infinitesimal produz a seguinte equação da energia:
( ). . . ,tt
E QE U q f U U q
t tρ τ
∂ ∂ + ∇ = − ∇ + + ∇ ⋅ ⋅ − ∂ ∂
onde Et é a energia total por unidade de volume dada por:
21,
2t iE e Uρ
= +
e ie é a energia interna por unidade de massa. O primeiro termo do lado esquerdo da equação (15)
representa a taxa de aumento da energia total (por unidade de volume) no volume de controle
enquanto o segundo termo representa a taxa de energia total perdida por convecção (por unidade
de volume) através da superfície de controle. O primeiro termo no lado direito da equação é a
taxa de calor produzido (por unidade de volume) por agentes externos enquanto o segundo termo
( .q∇
) é a taxa de calor perdida por condução (por unidade de volume) através da superfície de
(12)
(14)
(13)
(15)
(16)
34
controle. A lei de Fourier para transferência de calor por condução será assumida de forma que a
transferência de calor q
possa ser representada por:
( ) ,q k T= − ∇
onde k é o coeficiente de condutividade térmica e T é a temperatura. O terceiro termo no lado
direito da equação (15) representa o trabalho realizado no volume de controle (por unidade de
volume) pelas forças de campo enquanto o quarto termo representa o trabalho realizado no
volume de controle (por unidade de volume) pelas forças de superfície. Deve ficar claro que a
equação (15) é simplesmente a primeira lei da termodinâmica aplicada a um volume de controle.
Para um sistema de coordenadas cartesianas bidimensional, a equação (15) torna-se:
( ) ( ) ( ).tt t x y xx xy x xy yy y
E QE u E v f u f v pu u v q pv u v q
t x y t x yρ τ τ τ τ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + = + + − − − + − − − +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
Usando a definição de entalpia:
,i
ph e
ρ= +
e a equação da continuidade (1), a equação (15) pode ser reescrita como:
.Dh Dp Q
U qDt Dt t
ρ τ∂ = + + ∇ ⋅ ⋅ − ∂
2.1.4 Equação de estado
Para fechar o sistema de equações da dinâmica dos fluidos é necessário estabelecer
relações entre as variáveis termodinâmicas (p, ρ, T, e, h) assim como relacionar as propriedades
de transporte (µ, k) às variáveis termodinâmicas. A equação de estado para um gás perfeito é:
,p RTρ=
(17)
(18)
(19)
(20)
(21)
35
onde R é a constante do gás. Também para um gás caloricamente perfeito, existem as seguintes
relações:
,i ve c T= ,ph c T= ,p
v
c
cγ = ,
1v
Rc
γ=
− ,
1p
Rc
γ
γ=
−
onde vc é o calor específico a volume constante, pc é o calor específico a pressão constante e γ é
a razão dos calores específicos. Como foi considerado um gás térmico e caloricamente perfeito, é
possível obter as seguintes relações:
( )1 ,ip RT eρ γ ρ= = − ( )1
.ieT
R
γ −=
Os coeficientes de viscosidade e condutividade térmica podem ser relacionados às
variáveis usando a teoria cinética. A fórmula de Sutherland para viscosidade é dada por[3]:
3
2
12
,T
CT C
µ =+
onde 1C e 2C são constantes para um dado gás. Para ar em temperaturas moderadas,
( )6 1/21 1,458 10 /C kg msK−= × e 2 110, 4C K= . O número de Prandtl:
Pr ,pc
k
µ=
é frequentemente usado para determinar o coeficiente de condutividade térmica k uma vez que
µ é conhecido. Para ar em condições padrões Pr = 0.72.
A nomenclatura da Mecânica dos Fluidos clássica refere-se às equações de Navier-Stokes
como as equações de quantidade de movimento para um fluido Newtoniano. Entretanto em CFD
a terminologia Navier-Stokes inclui todo o sistema de equações diferenciais parciais que
modelam o campo de escoamento mais as relações constitutivas necessárias.
(22)
(23)
(24)
(25)
36
2.2 Equações de Navier-Stokes
Para modelar o escoamento compressível turbulento a ser estudado neste trabalho é
necessário fazer algumas simplificações nas equações fundamentais. Para um gás perfeito, sem
geração de calor e desconsiderando forças de campo, o sistema de equações de Navier-Stokes
pode ser escrito como:
equação da continuidade
0,D
UDt
ρρ+ ∇ ⋅ =
equações de quantidade de movimento
,DU
pDt
ρ τ= −∇ + ∇ ⋅
equação da energia
,Dh p
U qDt t
ρ τ∂ = + ∇ ⋅ ⋅ − ∂
e as relações constitutivas
equação de estado
( )1 ,ip RT eρ γ ρ= = −
lei de Fourier
( ) ,q k T= − ∇
relação tensão-deformação
2.
3ji k
ij ij
j i k
uu u
x x xτ µ µ δ
∂∂ ∂= + − ∂ ∂ ∂
(26)
(27)
(28)
(29)
(30)
(31)
37
2.3 Equações de Navier-Stokes na forma conservativa
Formulações baseadas nas equações diferenciais parciais na forma não-conservativa
podem levar a dificuldades numéricas em situações onde os coeficientes podem ser descontínuos
como ocorre em escoamentos contendo ondas de choque. Portanto, deve-se desenvolver as
equações diferenciais parciais na forma conservativa - ou divergente - que tem a propriedade que
os coeficientes são todos constantes ou, se variável, suas derivadas não aparecem na equação[4].
A forma conservativa das equações de Navier-Stokes usando a notação indicial de
Einstein pode ser escrita como:
( ) 0,uit x
i
ρρ
∂ ∂+ =
∂ ∂
( ) ( )j i j
pu u ui i j ij
t x x xρ ρ τ
∂ ∂ ∂ ∂+ = − +
∂ ∂ ∂ ∂,
( ) ( )eeu pu u qj j ij i j
t x xj j
τ∂ ∂ ∂
+ = − + −∂ ∂ ∂ .
2.4 Equações de Reynolds para escoamentos turbulentos
Apesar das equações de Navier-Stokes modelarem toda a física do problema a ser
estudado, capturar todas as escalas de turbulência que ocorrem no escoamento necessitaria de
malhas computacionais tão finas que tornaria a solução numérica proibitiva. O que normalmente
se faz é abandonar os detalhes e concentrar nos valores médios das propriedades. O resultado
desse processo é um sistema de equações conhecidas como equações de Navier-Stokes com
(32)
(33)
(34)
38
média de Reynolds - RANS. Dada uma variável genérica φ , a definição de um valor médio
φ sobre o período de integração T∆ é:
1.
t T
tT
dtφ φ+∆
=∆ ∫
É necessário que T∆ seja pequeno com respeito à escala de tempo das variações das
quantidades médias, mas grande comparado ao período das flutuações associadas com a
turbulência.
Portanto, pode-se escrever que o valor instantâneo de φ é dado por:
'.φ φ φ= +
Deve-se observar que φ ′ é o valor da flutuação turbulenta cujo valor médio φ ′ é igual a
zero e a restrição que:
0.t
φ∂=
∂
Na decomposição convencional de Reynolds as variáveis do escoamento são escritas da
seguinte forma:
',i i iu u u= +
',ρ ρ ρ= +
( ) ',i i iu u uρ ρ ρ= +
',p p p= +
( ) ',ij ij ijτ τ τ= +
( ) ',e e e= +
(35)
(36)
(37)
(38)
39
',i i iq q q= +
',h h h= +
( ) ',h h hρ ρ ρ= +
'.T T T= +
Os termos de flutuações em outras propriedades do fluido tais como viscosidade,
condutividade térmica e calor específico são normalmente pequenos e serão desconsiderados.
Aplicando a técnica de Reynolds à forma compressível das equações de Navier-Stokes,
aparecem novos termos envolvendo produtos de flutuações chamados momentos turbulentos[35].
Para evitar isto, e simplificar a forma final das equações, utiliza-se o conceito de média
ponderada pela massa introduzido por Favre[36] onde,
,ρφ
φρ
=
de forma que as variáveis do escoamento passam a ser escritas como:
,ii
uu
ρ
ρ= ,
hh
ρ
ρ= .
TT
ρ
ρ=
Somente as componentes de velocidade e variáveis térmicas são médias ponderadas pela
massa. Propriedades do fluido tais como densidade e pressão são tratadas como antes.
Para substituir nas equações de conservação, é necessário separar as variáveis dependentes
outra vez em partes média e flutuação,
,i i i
u u u ′′= + ,h h h′′= + .T T T ′′= +
É importante notar que as médias das flutuações i
u ′′ e h′′ não são iguais a zero.
(39)
(40)
(41)
40
Finalmente, pode-se substituir cada variável dependente pelas suas duas parcelas nas
equações de Navier-Stokes e tirando-se a média de cada equação, resulta o sistema de equações
de Navier-Stokes com média de Reynolds:
equação da continuidade
( ) 0,uj
jt x
ρρ∂ ∂
+ =∂ ∂
equações de quantidade de movimento
( ) ( ) '' '' ,u uij i jp
u u ui i jt xj xi xj
τ ρρ ρ −
∂ ∂ ∂ ∂+ = − +
∂ ∂ ∂ ∂
equação da energia
( )'' ''
'' '' '' '' .2
u u ji je p u u u u u u hj i ij i j i ij j
j j
qe
t x x x xj j
ρτ ρ τ ρ
+ − + − − −
∂∂ ∂ ∂ ∂+ =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
O procedimento de média de Reynolds é tratado de maneira mais detalhada no apêndice A.
Comparando com as equações de Navier-Stokes na forma original, os novos termos que
aparecem, correspondem à influencia das flutuações turbulentas sobre o escoamento médio. Eles
são conhecidos como:
'' '' ,u ui jρ− termos de tensões de Reynolds;
'' '''' ,
2
u ui jui ij
ρτ −
termos de dissipação de Reynolds;
,u hjρ ′′ termos de fluxo de calor de Reynolds.
Portanto, é necessário modelar os novos termos para fechar o sistema de equações. A
maioria dos modelos de turbulência baseia-se no conceito de viscosidade efetiva de Boussinesq.
(42)
(43)
(44)
41
A idéia fundamental é acrescentar à viscosidade molecular um coeficiente de viscosidade
turbulenta da seguinte forma:
.l tµ µ µ= +
Admite-se que os termos de tensões de Reynolds podem ser relacionados com o
escoamento médio da mesma forma que o tensor das tensões viscosas é relacionado com as taxas
de deformação de um fluido Newtoniano. Pode-se então, escrever a seguinte relação:
2.
3ji k
i j t t ij
j i k
uu uu u
x x xρ µ µ δ
∂∂ ∂′′ ′′ = + − ∂ ∂ ∂
Da mesma maneira, acrescenta-se à condutividade térmica molecular um coeficiente de
condutividade térmica turbulenta,
.l tk k k= +
A condutividade térmica turbulenta, tk , é relacionada com a viscosidade turbulenta, tµ , pela
relação:
Pr ,p t
t
t
c
k
µ=
onde Prt é o número de Prandtl turbulento, que, para ar , tem um valor Pr 0,9t
≅ [37].
Normalmente escreve-se,
t
tplp
tl
cckkk
PrPr
µµ+=+= .
A viscosidade turbulenta, tµ , e a condutividade térmica turbulenta, tk , não são
propriedades do fluido, ao contrário da viscosidade e condutividade térmica molecular. A
dependência de tµ e tk sobre o escoamento é a grande dificuldade de modelar a turbulência. Os
modelos de turbulência serão discutidos no próximo capítulo.
(46)
(47)
(48)
(49)
42
Introduzindo-se a hipótese de Boussinesq, as equações (42), (43) e (44) podem ser escritas
em termos das quantidades médias.
( ) 0,uj
jt x
ρρ∂ ∂
+ =∂ ∂
( ) ( ) 0,ij
pij
j
u u ui i jt x
δρ ρ τ+ −∂ ∂
+ =∂ ∂
( ) 0,e p u u qj ij i je
t x j
τ + − +
∂ ∂+ =
∂ ∂
e o tensor das tensões viscosas e o vetor de fluxo de calor são agora dados por:
( ) ( )2
,3
ji kij l t l t ij
j i k
uu u
x x xτ µ µ µ µ δ
∂∂ ∂= + + − + ∂ ∂ ∂
.Pr Prp l p t
j
t i
c c Tq
x
µ µ ∂= − +
∂
2.5 Forma vetorial das equações
Antes de aplicar um algoritmo de volumes finitos às equações da dinâmica dos fluidos é
conveniente escrever as equações em uma forma vetorial compacta. Portanto, as equações de
Navier-Stokes com média de Reynolds, na forma conservativa, bidimensional em coordenadas
cartesianas, podem ser escritas na seguinte forma:
0,Q E F
t x y
∂ ∂ ∂+ + =
∂ ∂ ∂
onde Q é o vetor das variáveis conservadas e E e F são os vetores de fluxo nas direções x e y,
respectivamente, dados por:
(54)
(53)
(51)
(52)
(50)
(55)
43
,u
Qv
e
ρ
ρ
ρ=
( )
2
,
u
u pxx
Eu v
xy
e p u u v qxx xy x
ρ
ρ τ
ρ τ
τ τ
+ −
=−
+ − − +
( )
.2
v
u vxy
Fv p
yy
e p v v u qyy xy y
ρ
ρ τ
ρ τ
τ τ
−
=+ −
+ − − +
Costuma-se separar os vetores de fluxo E e F nas partes invíscida e viscosa da seguinte
forma:
,e vE E E= − .e vF F F= −
Sendo que o subscrito e representa os componentes invíscidos referentes às equações de Euler e o
subscrito v representa os componentes viscosos para serem usados nas equações de Navier-
Stokes.
(56)
(57)
(58)
(59)
44
2.6 Adimensionalização das equações de Navier-Stokes
As equações da dinâmica dos fluidos são frequentemente colocadas na forma
adimensional. A vantagem é que as variáveis do escoamento são normalizadas de forma que seus
valores se encontram entre certos limites prescritos tais como zero e um. Do ponto de vista
numérico, isso tende a reduzir a propagação de erros, uma vez que todas as variáveis passam a ser
da mesma ordem de grandeza. Além disso, os parâmetros característicos tais como número de
Mach, número de Reynolds, número de Prandtl, podem ser variados independentemente. Muitos
diferentes procedimentos de adimensionalização são possíveis. Neste trabalho as variáveis
adimensionais serão definidas como:
* ,a
t tL
∞=
* ,x
xL
= * ,y
yL
=
* uu
a∞
= , * ,v
va∞
=
* ρρ
ρ∞
= ,
*2
pp
aρ∞ ∞
= ,
* µµ
µ∞
= ,
onde a∞ é a velocidade do som na região de corrente livre, L é o comprimento característico, ∞ρ
e µ∞ é a densidade e viscosidade dinâmica do fluido na região de corrente livre, respectivamente.
(60)
(65)
(64)
(63)
(61)
(62)
45
Finalmente, pode-se escrever o sistema de equações de Navier-Stokes com média de
Reynolds na forma conservativa, adimensional, em duas dimensões e em coordenadas cartesianas
para um escoamento turbulento, compressível na seguinte forma vetorial compacta:
( ) ( )0e v e v
E E F FQ
t x y
∂ − ∂ −∂+ + =
∂ ∂ ∂,
onde os vetores de fluxo E e F foram separados nas suas componentes invíscida e viscosa.
,u
Q
v
e
ρ
ρ
ρ
∗
∗ ∗∗
=∗ ∗
∗
( )
2
,
u
u pE
eu v
e p u
ρ
ρ
ρ
∗ ∗
∗ ∗ ∗+∗
= ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗+
0
,Re
xxME
vxy
u v qxx xy x
τ
τ
τ τ
∗
∗ ∞= ∗ ∞
∗ ∗ ∗ ∗ ∗+ −
( )
v,2
v
uFe
v p
e p v
ρ
ρ
ρ
∗ ∗
∗ ∗ ∗∗
= ∗ ∗ ∗+
∗ ∗ ∗+
0
.Re
xyM
Fv
yy
u v qxy yy y
τ
τ
τ τ
∗
∗ ∞= ∗ ∞
∗ ∗ ∗ ∗ ∗+ −
(66)
(67)
(68)
(69)
46
3 Implementação Numérica
3.1 Introdução
Para obter as equações de discretização a partir do sistema de equações diferenciais
parciais o método de volumes finitos utiliza a formulação do volume de controle.
3.1.1 Formulação do volume de controle
A idéia básica da formulação de volumes de controle é se utilizar de uma interpretação
física direta do fenômeno estudado. O domínio de cálculo é dividido em um número de volumes
de controle, não sobrepostos, tal que haja um volume de controle ao redor de cada ponto da
malha. A equação diferencial é integrada sobre cada volume de controle. Perfis expressando a
variação da variável dependente entre os pontos da malha são usados para avaliar as integrais. O
resultado é o conjunto de equações de discretização contendo os valores da variável dependente
para os pontos da malha.
A característica mais importante da formulação do volume de controle é que a solução
resultante deve implicar que a conservação integral das quantidades tais como massa e energia
seja exatamente satisfeita sobre qualquer grupo de volumes de controle e, é claro, em todo o
domínio de cálculo. Esta característica independe do número de pontos da malha. Dessa maneira,
mesmo a solução em malhas grosseiras preserva o balanço integral[1].
47
A tarefa do método numérico é resolver o sistema de equações diferenciais, substituindo
as derivadas existentes por expressões algébricas que envolvem as variáveis dependentes.
3.1.2 O Método de volumes finitos
A equação de discretização obtida pelo método de volumes finitos expressa o princípio de
conservação da variável dependente para o volume de controle finito, exatamente como a
equação diferencial expressa para um volume de controle infinitesimal.
3.2 Equações de Navier-Stokes na forma integral
Define-se um vetor, P
, como:
,x yP Ei Fi= +
onde E e F são os vetores de fluxo definidos pelas equações (68) e (69) respectivamente, e xi
e yi
são os vetores unitários cartesianos. A equação (66) pode, então, ser escrita como:
. 0,Q
Pt
∂+ ∇ =
∂
onde
.x yi ix y
∂ ∂∇ ≡ +
∂ ∂
Integrando-se a equação (71) para cada face de um volume de controle V (ver figura 1)
obtém-se:
( )1.
S
QP n dS
t V
∂= − ⋅
∂ ∫
(70)
(71)
(72)
(73)
48
O desenvolvimento detalhado para a obtenção da equação (73) a partir da equação (71)
pode ser encontrado no apêndice B.
Em geral, há duas maneiras de conectar os valores das propriedades e a posição
geométrica na malha para o caso de esquemas de volumes finitos. Os valores das propriedades
podem ser armazenados nos vértices ou nos centros dos volumes de controle elementares[38].
Neste trabalho será considerado o conceito de célula centrada, isto é, os valores das propriedades
serão armazenados no centro de massa de cada célula da malha. Cada célula e seu volume de
controle elementar correspondente serão reconhecidos por índices (i, j), como mostrados na
figura 1. A equação (73) escrita para todos os volumes de controle elementares é:
( ),
,
,
1,
i j
i j
Si j
QP n dS
t V
∂= − ⋅
∂ ∫
onde ,i jV é volume de uma célula e ,i jS é a superfície do volume de controle correspondente.
3.3 Cálculo dos volumes e áreas das células
O volume de cada célula é calculado usando a seguinte expressão[38]:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
, 1, 1 1, , , 1, 1 1, 1, , 1, 1
, 1 1, 1 , 1, 1 , , 1 , , 1 1, 1
1
21
.2
i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j
i j i j i j i j i j i j i j i j i j
V x x y x x y x x y
x x y x x y x x y
+ + + + + + + + +
+ + + + + + + + +
= − + − + −
+ − + − + −
(75)
(74)
49
No caso da malha estruturada bidimensional utilizada neste trabalho, as superfícies de controle
consistem de quatro segmentos de linha, sendo que cada segmento representando a superfície da
célula, tem um vetor de área associado a ela. Conforme a figura 1, os vetores estão apontando nas
direções i e j positivas. A vantagem de se fazer isso é que para cada face do volume de controle
elementar há somente um vetor de área para armazenar.
Figura 1: Vetores de áreas apontando nas direções i e j positivas.
Conforme mostra a figura 2, o vetor de área S
é dado por:
.x x y y
S S i S i= +
(76)
50
Figura 2: As componentes do vetor de área .S
As componentes dos vetores de área para as quatro faces da célula são:
( ) ( )1, 1 1,1/2,,x i j i ji j
S y y+ + ++= − ( ) ( )1, 1 1,1/2,
,y i j i ji j
S x x+ + ++= − −
( ) ( ), 1 ,1/2,,x i j i ji j
S y y+−= − ( ) ( ), 1 ,1/2,
,y i j i ji j
S x x+−= − −
( ) ( )1, 1 , 1, 1/2,x i j i ji j
S y y+ + ++= − − ( ) ( )1, 1 , 1, 1/2
,y i j i j
i jS x x+ + ++
= −
( ) ( )1, ,, 1/2,x i j i ji j
S y y+−= − − ( ) ( )1, ,, 1/2
.y i j i ji j
S x x+−= −
Dessa forma, a equação (74) que representa todos os fluxos nos volumes ,i jV é escrita
como:
( ) ( ) ( ) ( ),1 1 1 1
, , , ,, 2 2 2 2
1i j
i j i j i j i ji j
dQP S P S P S P S
dt V + + − −
= − ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅
.
É conveniente escrever a equação (81) na seguinte forma:
(81)
(77)
(78)
(79)
(80)
51
( ),, , ,i j
i j i j
dQV T Q
dt= −
onde ( ),i jT Q representa todos os fluxos atravessando as superfícies dos volumes de controle
elementares ,i jV . Substitui-se a equação (82) na equação (81) e obtém-se:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1,, , , ,
2 2 2 2
.i ji j i j i j i j
T Q P S P S P S P S+ + − −
= ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅
3.4 O esquema de MacCormack
Neste trabalho foi utilizado a versão explícita do esquema de MacCormack[32] que
emprega o método de Euler explícito para avançar no tempo. Este esquema é de segunda ordem
de precisão tanto no tempo quanto no espaço. O algoritmo explícito de MacCormack usa dois
passos para passar do nível de tempo n para o nível (n+1): os passos predictor e corrector.
Conforme as figuras 3 e 4, no passo predictor o vetor de fluxo em uma face é calculado usando
os valores das propriedades em uma célula à frente relativa à face, enquanto que no passo
corrector os valores das propriedades são relativas a uma célula atrás à face.
As equações de discretização de todos os fluxos atravessando as superfícies dos volumes
de controle são dadas por:
passo predictor:
1, 1 , 1 , 1 1, , ,
2 2 2
1, , , 1
,, 2
,i j i j i j
i j i j i j
n n n n n n
i j i j i ji j
i j
tQ Q P S P S P S P S
V + ++ − +
+
−
∆= − ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅
passo corrector:
1 1 1, , ,
2 2 2
1 1 1 1 1, , , 1, , , 1 1
,, 2
,i j i j i j
n n n n n n
i j i j i j i j i j i ji j
i j
tQ Q P S P S P S P S
V + − +
+ + + + +− −
−
∆= − ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅
(82)
(83)
(84)
(85)
52
e update:
1 1 1, , ,
1.
2n n n
i j i j i jQ Q Q+ + + = +
Figura 3: Passo Predictor.
Figura 4: Passo Corrector.
(86)
53
Figura 5: Update.
A figura 5 mostra a atualização dos passos predictor e corrector.
Para controlar as instabilidades numéricas do esquema de MacCormack é necessário
adicionar explicitamente termos de viscosidade artificial para garantir a convergência. Assim,
obtém-se:
Predictor:
( ) ( )1
,
,n n n n
p
i j
tQ Q T Q Da Q
V
+ ∆ = − −
Corrector:
( ) ( )1 1 1
,
,n n n n
c
i j
tQ Q T Q Da Q
V
+ + +∆ = − −
Update:
1 1 11,
2n n n
Q Q Q+ + + = +
(88)
(87)
(89)
54
onde ( )Da Q representa o termo de viscosidade artificial que será analisada no item 3.8.
3.5 O esquema de Jameson
A formulação de volumes finitos de Jameson[33] utilizada neste trabalho usa um esquema de
integração de Runge-Kutta de cinco estágios para avançar no tempo. O método é de quarta ordem de
precisão no tempo e de segunda ordem no espaço. As propriedades são avaliadas como a média dos
valores nas células nos dois lados da face. Dessa forma, o esquema reduz-se a uma aproximação de
diferença centrada no espaço em uma malha cartesiana. Como consequência, ele necessita do uso de
termos de dissipação numérica para garantir estabilidade[39]. Os termos de viscosidade artificial são
avaliados em todos os estágios do esquema de Runge-Kutta para aumentar a estabilidade[31]. Assim,
adicionando os termos de viscosidade artificial à equação (74), obtém-se:
( ) ( ),, ,
,
10i j
e i j i j
i j
dQT Q Da Q
dt V + − = ,
onde ( ),i jDa Q representa o termo de viscosidade artificial. Então, para passar do nível de tempo
n para o nível (n+1), escreve-se:
( )0, ,
n
i j i jQ Q= ,
( ) ( ) ( )( ) ( )( )1 0 0 0, , 1 , ,
,
,i j i j e i j i j
i j
tQ Q T Q Da Q
Vα
∆ = − −
( ) ( ) ( )( ) ( )( )2 0 1 1, , 2 , ,
,
,i j i j e i j i j
i j
tQ Q T Q Da Q
Vα
∆ = − −
( ) ( ) ( )( ) ( )( )3 0 2 2, , 3 , ,
,
,i j i j e i j i j
i j
tQ Q T Q Da Q
Vα
∆ = − −
( ) ( ) ( )( ) ( )( )4 0 3 3, , 4 , ,
,
,i j i j e i j i j
i j
tQ Q T Q Da Q
Vα
∆ = − −
(90)
(91)
55
( ) ( ) ( )( ) ( )( )5 0 4 4, , 5 , ,
,
,i j i j e i j i j
i j
tQ Q T Q Da Q
Vα
∆ = − −
( )51, ,n
i j i jQ Q+ = .
Os valores padrões para os coeficientes são 1
1
4α = , 2
1
6α = , 3
3
8α = , 4
1
2α = e 5 1α = .[11]
3.6 Condições Iniciais
As condições iniciais precisam ser definidas para começar o processo iterativo. Nesse
caso, utilizam-se os valores das propriedades do escoamento não-perturbado em toda a malha
computacional.
3.7 Condições de Contorno
Uma das tarefas mais importantes de uma simulação numérica é a implementação correta
das condições de contorno. Basicamente, podem ser definidos três tipos de fronteiras para os
escoamentos em torno do aerofólio NACA 0012 que serão resolvidos neste trabalho: parede
sólida, fronteiras remota e simétrica. Como se trata de casos bidimensionais, quatro condições de
contorno em cada fronteira são necessárias para equacionar o problema.
3.7.1 Parede
Na parede, há dois tipos de condições de contorno para as componentes de velocidade,
uma para escoamentos não-viscosos e outro para escoamentos viscosos. A condição de contorno
56
para a formulação de Euler é a condição de escorregamento, isto é, o escoamento é tangente à
parede.
Na figura 6 o vetor de velocidade 1V
na célula (i, 1) próximo à parede é formado pelas
componentes 1tV
e 1nV
tangente e normal à parede, respectivamente. O vetor de velocidade 0V
da
célula fantasma (i, 0) correspondente à célula (i, 1) é formado pelas componentes 0tV
e 0nV
tangente e normal à parede, respectivamente.
Figura 6: Vetores de velocidade próximo à parede.
Um desenvolvimento detalhado para as componentes 0u e
0v do vetor de velocidade 0V
encontra-se no apêndice C. Assim:
( ) ,2 2
0 1 y x 1 x yu u n n 2 v n n= − − (92)
57
( ) ,2 2
0 1 x y 1 x yv v n n 2 u n n= − −
onde os componentes do vetor unitário normal à superfície n
são dados por:
( ), / ,i 1 1 2x
x
sn
d
−
=
( ), / ,i 1 1 2y
y
sn
d
−
=
e a magnitude d do vetor de área é dada por:
( ) ( )/
, / , /.
1 222
x yi j 1 2 i j 1 2d s s
− −
= +
Para a formulação de Navier-Stokes a condição de não-escorregamento é necessária, isto
é, a velocidade deve ser zero na superfície sólida. Portanto, p pu v 0= = . Esta condição é obtida
fazendo o vetor de velocidade 0V
na célula fantasma (i, 0) igual ao vetor de velocidade 1V
da
célula (i, 1), mas em direções contrárias, assim:
.0 1V V= −
Escrevendo 0 0 0V u i v j= +
, tem-se:
, , ,i 0 i 1u u= − , , .i 0 i 1v v= −
Para a condição da pressão na parede pode-se admitir que a derivada da pressão na direção
normal à parede é nula. Dessa forma,
.p
p0
n
∂ =
∂
Portanto,
, .p i 1p p=
(93)
(94)
(95)
(96)
(99)
(100)
(97)
(98)
58
Admite-se que a pressão na parede é a média aritmética entre ,i 1p e ,i 0p , então:
, , ,i 1 i 0
p
p pp
2
+=
e o resultado para ,i 0p é:
, , .i 0 p i 1p 2 p p= −
Como ,p i 1p p= , então:
, , .i 0 i 1p p=
A última condição é de parede adiabática, isto é,
.p
T0
n
∂ =
∂
Portanto,
, , .i 0 i 1T T=
3.7.2 Fronteira remota
Uma fronteira remota deve estar localizada a uma distância que as perturbações no
escoamento causadas pela presença do corpo não sejam ali percebidas. Vários testes foram feitos
e nos casos estudados foi estabelecido jmax=20 cordas do aerofólio. Uma forma de diminuir o
domínio de cálculo é a utilização de uma condição não-reflexiva na fronteira remota, que não
será tratada neste trabalho. Utilizam-se as condições de escoamento não-perturbado em todas as
propriedades do escoamento na fronteira remota. Assim,
max
max
max
max
,
,
,
.
j
j
j
j
V V
p p
T T
ρ ρ
∞
∞
∞
∞
=
=
=
=
(101)
(102)
(103)
(104)
(105)
(106)
59
3.7.3 Fronteira simétrica
Nas malhas tipo O utilizadas neste trabalho há uma condição de simetria a partir do bordo
de fuga do aerofólio até a fronteira remota onde o fluxo de todas as variáveis deixando a fronteira
de saída é igualado ao fluxo entrando na fronteira de entrada. Portanto, para qualquer propriedade
φ do escoamento, tem-se:
max
max
max
max
,
,
,
.
i 0 i 1
i 1 i 2
i i 1
i 1 i 2
φ φ
φ φ
φ φ
φ φ
= −
=− −
=
+ =
=
=
=
=
Na figura 7 são apresentados os três tipos de fronteiras para os escoamentos em torno do
aerofólio NACA 0012 que serão resolvidos.
Figura 7: Tipos de fronteiras usadas nas condições de contorno.
(107)
60
3.8 Termos de Viscosidade Artificial
Os esquemas de MacCormack e Jameson utilizam uma aproximação de diferença centrada no
espaço. Como consequência, eles necessitam do uso de termos de dissipação numérica para garantir
estabilidade[39]. Para controlar as instabilidades numéricas dos esquemas é necessário adicionar
explicitamente termos de viscosidade artificial para garantir a convergência. Foi implementado
então, o esquema de viscosidade artificial não-linear.
Para construir os termos de viscosidade artificial não-linear para uma variável genérica φ ,
define-se a seguinte expressão:
x yD D Dφ φ φ= + .
onde xD φ e yD φ são contribuições correspondentes às duas direções coordenadas. Escrita na
forma conservativa:
/ , / ,x i 1 2 j i 1 2 jD d dφ + −= − e , 1/2 , 1/2y i j i jD d dφ + −= − .
Os termos do lado direito destas equações podem ser escritos da seguinte forma:
( ) ( )1 1
, ,2 2
1/2, (2) (4)1/2, 1, , 2, 1, , 1,3 3
i j i j
i j
i j i j i j i j i j i j i j
Vd
tε φ φ ε φ φ φ φ
+ +
+
+ + + + −
= − − − + −
∆ .
onde ,i jV é o volume da célula, e os coeficientes ( )2ε e ( )4ε são dependentes das constantes ( )2k e
( )4k definidas pelo usuário, e em um sensor de pressão definido como:
1, , 1,
,
1, , 1,
2.
2
i j i j i j
i j
i j i j i j
p p pp
p p pδ
+ −
+ −
− +=
+ +
Então
( ) ( ) ( )2 21 1, ,
,2
max , ,i j i ji j
k p pε δ δ++
=
e
(110)
(111)
(112)
(113)
(114)
61
( ) ( ) ( )4 4 21 1
, ,2 2
max 0,i j i j
kε ε+ +
= −
.
Os valores padrões das constantes ( )2k e ( )4
k são[33]:
( )2 1
4k = e ( )4 1
256k = .
3.9 Cálculo das derivadas
Muitos termos das equações de Navier-Stokes contêm derivadas. Além disso, a rotina do
modelo de Spalart e Allmaras necessita dos valores das derivadas para o cálculo da vorticidade.
No método de volumes finitos as derivadas são calculadas usando o teorema da divergência[38].
Para calcular as derivadas nos vértices da célula de uma variável genérica φ em relação às
variáveis independentes x e y é necessário utilizar uma célula auxiliar, como mostra a figura 8.
Figura 8: Célula auxiliar usada para cálculo das derivadas.
(115)
62
Os vértices adjacentes a ( ),i j são os vértices da célula auxiliar. Os valores das
propriedades nas faces da célula auxiliar serão exatamente os mesmos do volume correspondente,
isto é:
1 , 1i jφ φ −= , 2 1,i jφ φ −= , 3 ,i jφ φ= , 4 1, 1i jφ φ − −= .
Os novos valores para x∆ e y∆ são dados por:
1 1, , 1i j i jx x x+ −∆ = − , 2 1, , 1i j i jx x x− +∆ = − , 3 , 1 1,i j i jx x x+ +∆ = − , 4 , 1 1,i j i jx x x− −∆ = − .
1 1, , 1i j i jy y y+ −∆ = − , 2 1, , 1i j i jy y y− +∆ = − , 3 , 1 1,i j i jy y y+ +∆ = − , 4 , 1 1,i j i jy y y− −∆ = − .
Aplicando o teorema da divergência para o vértice (i, j) obtém-se:
4
1
1k k
ka c
yx V
φφ
=
∂ = ∆ ∂
∑ ,
4
1
1k k
ka c
xy V
φφ
=
∂= − ∆ ∂
∑ ,
onde a cV é o volume da célula auxiliar, dado por:
( ), 1 1, , 1, 1
1
2ac i j i j i j i jV V V V V− − − −= + + + .
3.10 Modelagem da turbulência
3.10.1 Introdução
A comunidade aerodinâmica está pronta para investir em uma nova geração de modelos
de turbulência, mais onerosos do que os modelos algébricos, mas com um conjunto mais amplo
em termos de complexidade do escoamento e da malha[34].
(116)
(117)
(118)
(119)
63
O modelo de Baldwin-Lomax torna possíveis os cálculos das equações de Navier-Stokes
que são difíceis para os modelos de Cebeci-Smith, porque a espessura da camada limite não é
bem definida.
O modelo de Johnson-King tem dado conta da demanda para mais precisão prevendo
interações de choque e camada limite, comparada com os modelos puramente algébricos.
Entretanto estes modelos, mesmo quando usados em códigos de Navier-Stokes, são modelos de
camada limite. Fisicamente, eles tratam toda a camada limite como um único módulo firmemente
acoplado, que tornam-se incorretos quando muitas camadas cisalhantes estão presentes. Eles
contam com o levantamento do perfil de velocidades ou vorticidades em uma linha da malha,
aproximadamente ortogonal à superfície, assim sendo não local.
Modelos de equação de transporte tais como K-ε e modelos de ordem mais alta são
normalmente locais, embora alguns tenham termos não locais próximo à parede. Entretanto, eles
estão longe de ter mostrado uma vantagem decisiva para a previsão de interações de choque e
camada limite ou separação suave da superfície.
Eles também são mais difíceis para usar. Isto não é tanto por memória extra, mas porque
eles necessitam de malhas mais finas próximas à parede, envolvendo grandes termos fontes que
frequentemente degradam a convergência, e condições de escoamento não-perturbado para as
variáveis turbulentas. Os problemas próximos à parede frequentemente levam ao uso de funções
de parede, que são impraticáveis e perdem qualquer justificativa em situações que mais importa,
como em região com separação.
O modelo de Baldwin-Barth é um atrativo intermediário. Ele tem somente uma equação e
é local, exceto para a dependêcia de y+ que ele dispõe de um grande termo. Ele é derivado do
modelo K-ε, através de algumas considerações adicionais. Próximo à parede ele não necessita de
64
resoluções mais finas que o próprio campo de velocidades. Dependendo da versão, ele prevê
casos de gradiente de pressão adverso e interações de choque melhor do que Baldwin-Lomax,
mas não consistentemente como Johnson-King. Sua precisão aumenta no tempo, e ele é mais
prático que modelos de duas equações.
O modelo de Spalart-Allmaras foi orientado pelo trabalho de Baldwin-Barth, e acredita
que gerar um modelo de uma equação a partir de uma versão simplificada do modelo K-ε não
seja o ideal. Um modelo de uma equação é simples o suficiente que ele pode ser gerado “de
improviso”, que deve levar a um desempenho melhor e certamente dar controle mais completo
sobre seus mecanismos[25], [34]. Um caso neste ponto é o termo de difusão de Baldwin-Barth, que é
forçado pelo modelo K-ε e considerações adicionais devem ser feitas. O modelo de Spalart-
Allmaras também permite um termo próximo à parede semi-local. A estratégia de calibração que
é diferente. Exceto os modelos de Secundov, Baldwin-Barth e Spalart-Allmaras, os modelos de
uma equação são todos não locais, já que eles usam modelos de comprimento de escala em
relação a espessura da camada limite.
3.10.2 Modelo de Spalart-Allmaras
O modelo de turbulência de Spalart-Allmaras surgiu no início da década de 90 a partir de
um arrazoado empírico sobre um modelo de turbulência que, com uma única equação, fosse
capaz de resolver, diretamente, a questão do principal parâmetro representativo do
comportamento turbulento: a viscosidade turbulenta, sem passar pelos cálculos da energia
turbulenta nem da dissipação ou vorticidade, em modelos em que são necessários dois parâmetros
característicos para definir o comportamento turbulento. Assim, o modelo de Spalart-Allmaras,
65
embora sendo um modelo de uma equação, consegue refletir com um único parâmetro o
comportamento turbulento, sendo classificado como um modelo fechado [46].
No modelo de uma equação de Spalart-Allmaras, uma equação de transporte para
viscosidade turbulenta é montada, usando empirismo e argumentos de análise dimensional,
invariância de Galilean, e uma seletiva dependência na viscosidade molecular[25], [34]. A equação
inclui um termo de destruição não viscosa que depende da distância para a parede. A
recomendação para o uso da rotina de Spalart e Allmaras é que o ponto mais próximo da parede
seja tal que se tenha y+ = 1. Diferentemente de modelos algébricos e os primeiros modelos de
uma equação o modelo é local, no sentido que a equação em um ponto não depende na solução
em outros pontos. Ela é, portanto, compatível com malhas de qualquer estrutura. A solução
próxima à parede é menos difícil. As condições de parede e escoamento não-perturbado são
triviais. O modelo produz transição laminar-turbulenta relativamente suave, em pontos
especificados pelo usuário. Um simples índice de turbulência é fornecido para determinar as
regiões da camada limite em que o modelo é ativado. O modelo foi calibrado em camadas limites
com gradientes de pressão.
A viscosidade turbulenta é dada por:
1,t vfν ρν=
onde
3
1 3 31
,v
v
fc
χ
χ=
+ ,
νχ
ν≡
ν é a viscosidade molecular e ρ é a densidade local. A variável de Spalart-Allmaras,ν , obedece
a seguinte equação de transporte:
( )[ ] ( )( ) ( )
2 211 2 2 1 2 12
11 . .
j bb t b w w t t
j
u cc f S c c f f f U
t x k d
νν νν ν ν ν ν
σ
∂∂ + = − + ∇ + ∇ + ∇ − − + ∆ ∂ ∂
(120)
(122)
(121)
66
Onde
11 22
bw w t
cc f f
k d
ν −
,
é o termo de destruição que depende da distância para a parede,
[ ]1 21b tc f Sν− ,
é o termo de produção viscosa e
( )j
j
u
x
ν∂
∂
e ( )( ) ( )2
2
1. bcν ν ν ν
σ ∇ + ∇ + ∇
,
são os termos convectivos e difusivos, respectivamente.
Sendo que
22 2,vS S f
k d
ν≡ +
2
1
1 ,1v
v
ff
χ
χ= −
+
d é a distancia para a parede mais próxima e S é a magnitude da vorticidade dada por:
( )1
2, ,2 ,i j i jS ≡ Ω Ω
onde
,
1.
2ji
i j
j i
uu
x x
∂∂Ω = − ∂ ∂
A função wf é dada por:
16 6
36 6
3
1,w
w
w
cf g
g c
+=
+
onde
( )62wg r c r r= + − e
2 2.r
Sk d
ν≡
E os termos de transição são:
(126)
(127)
(128)
(129)
(130)
(125)
(124)
(123)
67
22 2 2
1 1 2 2exp t
t t t t t
wf c g c d g dt
U
= − + ∆
e ( )22 3 4exp .t t tf c c χ= −
As constantes usadas no modelo são:
1
2
2,
30.1355,
0.622,
0.41,
b
b
c
c
k
σ =
=
=
=
( )211 2
2
3
1
1,
0.3,
2,
7.1,
bbw
w
w
v
ccc
k
c
c
c
σ
+= +
=
=
=
1
2
3
4
1,
2,
1.1,
2.
t
t
t
t
c
c
c
c
=
=
=
=
As condições de contorno são estabelecidas definindo valores de ν . A condição de parede é
0ν = . O modelo de turbulência de Spalart e Allmaras empregado foi desenvolvido a partir da
versão do modelo empregada no trabalho de Castro[47]. A versão utilizada aqui não contempla os
termos de transição, pois o problema a ser estudado é considerado plenamente turbulento. No
apêndice D, a implementação numérica da rotina de Spalart e Allmaras usada neste trabalho é
tratada de maneira mais detalhada.
3.11 Verificação do código computacional
Foi desenvolvido um código computacional baseado no método de volumes finitos
utilizando-se os esquemas explícitos de MacCormak e Jameson e o modelo de turbulência de
uma equação de Spalart e Allmaras para resolver o escoamento compressível turbulento sobre o
aerofólio NACA 0012. Antes de aplicar o programa desenvolvido ao caso a ser estudado, é
necessário proceder a sua verificação. Inicialmente, a formulação de Euler foi usada e resultados
foram obtidos para quatro casos de escoamentos transônicos não-viscosos sobre o aerofólio. As
soluções foram comparadas com resultados de outros métodos numéricos disponíveis na
literatura. Em seguida, um dos casos foi utilizado para avaliar a influência dos parâmetros
(131)
(132)
68
numéricos como a viscosidade artificial e o refinamento da malha. Por último, outro caso foi
empregado para comparar os esquemas explícitos de MacCormack e Jameson.
3.11.1 Escoamentos transônicos sobre o perfil do aerofólio
NACA 0012
O problema foi resolvido utilizando-se uma malha estruturada tipo O em torno do
aerofólio, conforme mostra a figura 9. A malha contém 189x43 pontos. A fronteira externa está
localizada a uma distância de 20 cordas do perfil e todos os comprimentos foram
adimensionalizados pela corda do aerofólio.
Figura 9: Malha estruturada tipo O em torno do aerofólio NACA 0012.
Em todos os casos estudados, as condições iniciais foram consideradas os valores das
propriedades do escoamento não-perturbado, definidas como:
69
2
3
101325 N/m ,
= 1.223 kg/m ,
= 340.2 m/s,
= 1.4.
p
a
ρ
γ
∞
∞
∞
=
A condição de contorno na parede do aerofólio é a condição de escorregamento para o
caso da formulação de Euler como descrito na seção 3.7.1 do capítulo 3 e de forma mais
detalhada no apêndice C. O modelo de viscosidade artificial não-linear foi usado para todos os
casos. Os valores dos coeficientes 2K e 4K foram definidos como 0.25 e 0.0117, respectivamente.
O critério de convergência numérica foi estabelecido para uma variação máxima da densidade
igual a 91 10−× .
Os resultados obtidos para os valores dos coeficientes de pressão pC , coeficientes de
arrasto DC e sustentação
LC são comparados com outros resultados numéricos disponíveis na
literatura. São apresentados os contornos de pressão e do número de Mach em torno do aerofólio
para cada caso. Nesta etapa, o ângulo de ataque, α , foi variado até o máximo de dois graus para
garantir que o escoamento seja sempre colado à superfície do aerofólio e não ocorram regiões de
separação.
3.11.1.1 Caso 1, M 0.63∞∞∞∞
==== e α = 2.0α = 2.0α = 2.0α = 2.0°°°°
A primeira simulação foi realizada para um escoamento com número de Mach
relativamente baixo, 0.63M∞ = , mas com um alto ângulo de ataque, onde uma fraca onda de
choque, próxima ao bordo de ataque, aparece no extradorso do aerofólio. A distribuição de
pressão, mostrada na figura 10 é comparada com os trabalhos de Oliveira[40], e Kroll e Jain[41]
apud Oliveira e apresenta boa concordância entre os resultados. Em relação aos coeficientes de
sustentação e arrasto, há também uma boa concordância entre os resultados como mostra a tabela 1.
70
Figura 10: Comparação do Cp ao longo da corda do aerofólio para 0.63M∞ = e α =2.0°.
Tabela 1: Coeficientes aerodinâmicos para o aerofólio NACA 0012.
Presente trabalho
Oliveira[40]
Kroll e Jain[41]
LC
0.3382
0.3275
0.3339
DC
0.0012
0.0033
0.00001
71
Figura 11: Contornos de pressão para 0.63M∞ = e α=2.0°.
Uma maneira de se complementar os resultados obtidos é a apresentação dos contornos de
pressão e número de Mach para uma região próxima ao aerofólio conforme mostra as figuras 11 e
12, respectivamente. Embora estas figuras tenham um valor meramente qualitativo, elas são uma
forma útil de se observar as características da solução numérica próximo ao aerofólio. Na figura
13 é apresentada a curva de convergência numérica onde se atingiu o critério de parada do
programa em 35749 iterações.
72
Figura 12: Contornos do número de Mach para 0.63M∞ = e α=2.0°.
Figura 13: Curva de convergência numérica para 0.63M∞ = e α=2.0°.
73
3.11.1.2 Caso 2, M 0.8∞∞∞∞
==== e α = 0α = 0α = 0α = 0°°°°
Em seguida, foi realizada a simulação para um escoamento transônico com número de
Mach, 0.8M∞ = , e ângulo de ataque nulo. A distribuição de pressão mostrada na figura 14 é
comparada com os trabalhos de Oliveira, e Kroll e Jain apud Oliveira. Os coeficientes
aerodinâmicos são apresentados na tabela 2. Nas figuras 15 e 16 estão apresentados os contornos
de pressão e número de Mach, respectivamente. Novamente, há uma boa concordância entre os
resultados apresentados no presente trabalho e aqueles obtidos por Oliveira, e Kroll e Jain. Na
figura 17 é apresentada a curva de convergência numérica onde se atingiu o critério de parada do
programa em 22715 iterações.
Figura 14: Comparação do Cp ao longo da corda do aerofólio para 0.8M ∞ = e α =0°.
74
Tabela 2: Coeficientes aerodinâmicos para o aerofólio NACA 0012.
Presente trabalho
Oliveira
Kroll e Jain
LC
0.0058
0.0020
0.00003
DC
0.0163
0.0103
0.00848
Figura 15: Contornos de pressão para 0.8M ∞ = e α=0°.
75
Figura 16: Contornos do número de Mach para 0.8M∞ = e α=0°.
Figura 17: Curva de convergência numérica para 0.8M∞ = e α=0°.
76
3.11.1.3 Caso 3, M 0.8∞∞∞∞
==== e α = α = α = α = 1.251.251.251.25°°°°
No terceiro caso foi realizada uma simulação para um escoamento transônico com o
mesmo número de Mach do caso 2, 0.8M∞ = , mas agora com um ângulo de ataque 1.25α = ° .
Uma forte onda de choque aparece no extradorso do aerofólio e outra mais fraca aparece no
intradorso. A distribuição de pressão mostrada na figura 18 é comparada com os trabalhos de
Oliveira, Kroll e Jain apud Oliveira. Os coeficientes aerodinâmicos são apresentados na tabela 3.
Mais uma vez, os resultados apresentados neste trabalho estão em boa concordância com aqueles
apresentados por Oliveira, e Kroll e Jain. Os contornos de pressão e número de Mach para uma
região próxima ao aerofólio foram comparados com as soluções obtidas por Arias Garcia[31] e
Kudinov[42] apud Arias Garcia. Conforme mostra as figuras 19, 20, 21 e 22 os resultados
qualitativos obtidos no presente trabalho também estão em boa concordância com aqueles
apresentados por Arias Garcia e Kudinov.
Figura 18: Comparação do Cp ao longo da corda do aerofólio para 0.8M ∞ = e α=1.25°.
77
Figura 19: Contornos de pressão para 0.8M∞ = e α=1.25°.
Figura 20: Contornos de pressão para 0.8M ∞ = e α=1.25°. (a) Kudinov[42] e (b) Arias Garcia[31]
78
Figura 21: Contornos do número de Mach para 0.8M ∞ = e α=1.25°.
Figura 22: Contornos de Mach para 0.8M∞ = e α=1.25°. (a) Kudinov[42] e (b) Arias Garcia[31]
79
Tabela 3: Coeficientes aerodinâmicos para o aerofólio NACA 0012
Presente trabalho
Oliveira
Kroll e Jain
LC
0.3627
0.3509
0.3573
DC
0.0244
0.0243
0.0229
A figura 23 apresenta a curva de convergência numérica onde se atingiu o critério de
parada do programa em 35424 iterações.
Figura 23: Curva de convergência numérica para 0.8M ∞ = e α=1.25°.
80
3.11.1.4 Caso 4, M 0.85∞∞∞∞
==== e α = α = α = α = 1111.0.0.0.0°°°°
A última simulação foi realizada para um escoamento transônico com número de Mach,
0.85M∞ = , e com um ângulo de ataque 1.0α = ° . Uma forte onda de choque aparece no
extradorso do aerofólio e outra mais fraca aparece no intradorso. A distribuição da pressão sobre
o aerofólio mostrada na figura 24, é comparada com os trabalhos de Oliveira, e Kroll e Jain. Os
coeficientes aerodinâmicos são apresentados na tabela 4. Os contornos de pressão e número de
Mach são mostrados nas figuras 25 e 26, respectivamente. Mais uma vez, os resultados
apresentados neste trabalho estão em boa concordância com aqueles apresentados por Oliveira, e
Kroll e Jain. A figura 27 apresenta a curva de convergência numérica onde o critério de parada do
programa foi alcançado em 40660 iterações.
Figura 24: Comparação do Cp ao longo da corda do aerofólio para 0.85M∞ = e α=1.0°.
81
Tabela 4: Coeficientes aerodinâmicos para o aerofólio NACA 0012.
Presente trabalho
Oliveira
Kroll e Jain
LC
0.3585
0.3567
0.3521
DC
0.0591
0.0585
0.0554
Figura 25: Contornos de pressão para 0.85M∞ = e α=1.0°.
82
Figura 26: Contornos do número de Mach para 0.85M∞ = e α=1.0°.
Figura 27: Curva de convergência numérica para 0.85M∞ = e α=1.0°.
83
3.11.2 Influência dos parâmetros numéricos
3.11.2.1 Coeficientes de dissipação artificial não-linear
Foram feitas modificações nos valores dos coeficientes de viscosidade artificial não-linear
do caso 4. A influência sobre a solução foi analisada em termos da distribuição de pressão sobre
o aerofólio e da convergência numérica. Como sugerido por Arias Garcia[31] para escoamentos
transônicos, aumentar 2K para 2.0 e 4K para 0.035 aumenta a taxa de convergência numérica em
relação aos valores padrões[43],[44]. De forma geral, observa-se que embora os coeficientes
influenciem levemente a distribuição de pressão como mostra a figura 28, a convergência
numérica foi alcançada em um número significativamente menor de iterações, de 40660 para
28057 como mostra a figura 29. Isto levou a uma redução do tempo de processamento
computacional sem degradar a qualidade da solução.
Figura 28: Influência de 2K e 4K sobre a distribuição de pressão para o caso 4. (a) 2 0.25K = e
4 0.0117K = . (b) 2 2.0K = e 4 0.035K = .
84
Figura 29: Influência de 2K e 4K sobre a convergencia numérica para o caso 4. (a) 2 0.25K = e
4 0.0117K = . (b) 2 2.0K = e 4 0.035K = .
3.11.2.2 Influência do refinamento da malha
Foi avaliada a sensibilidade dos resultados à variação do número de volumes da malha. O
caso 3 foi simulado utilizando-se uma malha mais refinada com 189x83 volumes ao invés dos
189x43 do caso original. A influência sobre a solução foi analisada em termos da distribuição de
pressão sobre o aerofólio e da convergência numérica. Como mostra a figura 30, com a utilização
de uma malha mais refinada foi possível capturar com mais precisão tanto a formação da onda de
choque mais fraca no intradorso do aerofólio quanto a forte onda de choque do extradorso. A
utilização de malhas mais grosseiras é um bom ponto de partida para sentir as características do
escoamento e a quantidade de pontos na malha não deve influênciar a qualidade da solução.
Pode-se observar na figura 31, que a curva de convergência numérica mostra um comportamento
semelhante entre as duas malhas utilizadas, onde a malha mais refinada atingiu o critério de
parada do programa em 36121 iterações enquanto a malha mais grosseira atingiu em 35424
85
iterações. Entretanto, o tempo de processamento computacional foi 45% maior no caso da malha
com maior número de pontos.
Figura 30: Influência do refinamento da malha sobre a distribuição de pressão para o caso 3.
(a) Malha com 189x43 volumes. (b) Malha com 189x83 volumes.
Figura 31: Influência do refinamento da malha sobre a convergência numérica para o caso 3.
(a) Malha com 189x43 volumes. (b) Malha com 189x83 volumes.
86
3.11.3 Comparação entre os esquemas de Jameson e
MacCormack
O esquema explícito de MacCormack foi utilizado para simular o caso 3, e os resultados
obtidos para a distribuição de pressão sobre o aerofólio e a curva de convergência numérica
foram comparados com a solução obtida pelo esquema explícito de Jameson. Foi analisado
inicialmente o máximo valor do número de CFL para cada esquema. Enquanto o esquema de
Jameson pôde rodar com CFL igual a 0.2, o esquema de MacCormack só foi estabilizado com
CFL igual a 0.06. Isto influenciou diretamente a convergência numérica, como pode ser
observado na figura 33. Enquanto o esquema de Jameson atingiu o critério de convergência em
35424 iterações, o esquema de MacCormack precisou rodar 71870. Quanto à distribuição de
pressão sobre o aerofólio, observa-se na figura 32 que o esquema de Jameson capturou com mais
precisão as ondas de choque formadas no extradorso e intradorso do aerofólio. Esta comparação
foi decisiva para escolher o esquema de Jameson para rodar os casos viscosos turbulentos.
Figura 32: Distribuição de pressão sobre o aerofólio para o caso 3. (a) Jameson. (b) MacCormack.
87
Figura 33: Curva de convergência numérica para o caso 3. (a) Jameson. (b) MacCormack.
88
4 Resultados
Para simular os escoamentos viscosos turbulentos sobre o aerofólio NACA 0012 foi
adicionado o modelo de turbulência de uma equação de Spalart e Allmaras ao código
desenvolvido. O programa foi escrito em linguagem FORTRAN e sua compilação foi feita no
Microsoft Developer Studio. As simulações foram realizadas em um computador HP com
processador Intel Core 2 Duo de 2000 MHz e 2 GB de RAM. Os gráficos, contornos de pressão e
número de Mach foram visualizados no software Tecplot 10.0. As malhas foram refinadas
próximas à parede do aerofólio como mostra as figuras 34 e 35 para capturar os efeitos viscosos
na região de camada limite. A malha utilizada contém 189x43 pontos. 189 pontos distribuídos na
superfície do aerofólio em ( j=1) numerados no sentido horário com os pontos (1, 1) e (imax, 1)
localizados no bordo de fuga do aerofólio e 43 pontos na direção radial da malha. A fronteira
externa está localizada a 20 cordas do aerofólio nos pontos (i, jmax). O código do modelo de
Spalart e Allmaras requer que o ponto mais próximo a parede seja y+ ≈ 1 em j = 2. O esquema
explícito de Jameson foi utilizado para todos os casos com um número de CFL igual a 0.2. Os
valores para os coeficientes de viscosidade artificial foram 2 1.0K = e 4 0.05K = . O critério de
convergência numérica foi estabelecido para uma variação máxima da densidade igual a 91 10−× .
Escoamentos sobre o aerofólio NACA 0012 são bastante utilizados como referência em
CFD, devido ao grande número de dados experimentais existentes. Quatro casos foram simulados
para diferentes números de Reynolds, números de Mach e ângulos de ataque. As soluções foram
89
comparadas com os dados experimentais de Harris[45] e os resultados numéricos obtidos por Arias
Garcia[31] que utilizou o modelo algébrico de Baldwin e Lomax.
Figura 34: Refinamento da malha próximo ao bordo de ataque do aerofólio NACA 0012.
Figura 35: Refinamento da malha próximo ao bordo de fuga do aerofólio NACA 0012.
4.1 Número de Reynolds 63 10×××× , M 0.3
∞∞∞∞==== e α = 1.86°α = 1.86°α = 1.86°α = 1.86°
A primeira simulação para o caso viscoso foi realizada para um escoamento incompressível com
número de Mach 0.3M∞ = , ângulo de ataque α =1.86° e número de Reynolds igual a 63 10× . A
corda para estes números de Reynolds e de Mach é 0.4612 m. A distribuição de pressão,
mostrada na figura 36 é comparada com os resultados experimentais de Harris[45] e as soluções
90
numéricas obtidas por Arias Garcia que utilizou o modelo algébrico de Baldwin e Lomax. Como
mostra a figura 36, a distribuição do coeficiente de pressão ao longo do aerofólio usando o
modelo de turbulência de Spalart e Allmaras esta um pouco mais próximo dos dados
experimentais de Harris do que o modelo algébrico de Baldwin e Lomax. Comparando com os
dados experimentais, Cn =0.182, o coeficiente de força normal obtido com o modelo de Spalart e
Allmaras foi Cn =0.179. Isso é próximo a 1% de erro, mesma precisão obtida com o modelo de
Baldwin e Lomax, Cn =0.1869. As curvas de pressão e número de Mach para uma região próxima
ao aerofólio são comparadas com o trabalho de Arias Garcia nas figuras 37 e 38 e apresentam boa
concordância entre os resultados. A figura 39 mostra a curva de convergência numérica onde o
critério de parada do programa foi alcançado em 41342 iterações.
Figura 36: Distribuição do coeficiente de pressão para M ∞ =0.3 e α =1.86.
91
Figura 37: Contornos de pressão para M ∞ =0.3 e α =1.86. (a) Presente trabalho e (b) Arias
Garcia[31].
Figura 38: Contornos do número de Mach para M ∞ =0.3 e α =1.86. (a) Presente trabalho e (b)
Arias Garcia[31].
Figura 39: Curva de convergência numérica para M ∞ =0.3 e α =1.86.
92
4.2 Número de Reynolds 63 10×××× , M 0.5
∞∞∞∞==== e α = 5.86°α = 5.86°α = 5.86°α = 5.86°
A segunda simulação para o caso viscoso foi realizada para um escoamento com número de
Mach 0.5M∞ = , ângulo de ataque α =5.86° e número de Reynolds igual a 63 10× . A corda para
estes números de Reynolds e de Mach é 0.2767 m. A distribuição de pressão, mostrada na figura
40 é comparada com os resultados experimentais de Harris[45] e as soluções numéricas obtidas
por Arias Garcia utilizando o modelo algébrico de Baldwin e Lomax. Como mostra a figura 40, a
distribuição do coeficiente de pressão ao longo do aerofólio usando o modelo de turbulência de
Spalart e Allmaras está mais próxima dos dados experimentais de Harris do que o modelo
algébrico de Baldwin e Lomax. Comparando com os dados experimentais, Cn =0.626, o
coeficiente de força normal obtido com o modelo de Spalart e Allmaras foi Cn =0.629. Isso é
menor que 0.5% de erro, enquanto que o erro obtido com o modelo de Baldwin e Lomax ficou
próximo a 1%. As curvas de pressão e número de Mach para uma região próxima ao aerofólio
são comparadas com o trabalho de Arias Garcia nas figuras 41 e 42 e apresentam boa
concordância entre os resultados. A figura 43 mostra a curva de convergência numérica em que o
critério de parada do programa foi alcançado em 24951 iterações.
93
Figura 40: Distribuição do coeficiente de pressão M ∞ =0.5 e α =5.86.
Figura 41: Contornos de pressão para M ∞ =0.5 e α =5.86. (a) Presente trabalho e (b) Arias
Garcia[31].
94
Figura 42: Contornos do número de Mach para M ∞ =0.5 e α =5.86. (a) Presente trabalho e (b)
Arias Garcia[31].
Figura 43: Curva de convergência numérica para M ∞ =0.5 e α =5.86.
95
4.3 Número de Reynolds 69 10×××× , M 0.5
∞∞∞∞==== e α = 3.86°α = 3.86°α = 3.86°α = 3.86°
O terceiro caso viscoso foi realizado para um escoamento com número de Mach 0.5M∞ = ,
ângulo de ataque α =3.86° e agora com um número de Reynolds igual a 69 10× . O comprimento
característico para estes números de Reynolds e de Mach é 0.83 m. A distribuição de pressão,
mostrada na figura 44, é comparada com os resultados experimentais de Harris[45] e as soluções
numéricas obtidas por Arias Garcia utilizando o modelo algébrico de Baldwin e Lomax. Como
mostra a figura 44, novamente, a distribuição do coeficiente de pressão ao longo do aerofólio
usando o modelo de turbulência de Spalart e Allmaras está mais próximo dos dados
experimentais de Harris do que o modelo algébrico de Baldwin e Lomax. Comparando com os
dados experimentais, Cn =0.422, o coeficiente de força normal obtido com o modelo de Spalart e
Allmaras foi exatamente o mesmo. As curvas de pressão e número de Mach para uma região
próxima ao aerofólio são comparadas com o trabalho de Arias Garcia nas figuras 45 e 46 e mais
uma vez apresentam boa concordância entre os resultados. A figura 47 mostra a curva de
convergência numérica onde o critério de convergência numérica foi alcançado em 35941
iterações.
96
Figura 44: Distribuição do coeficiente de pressão para M ∞ =0.5 e α =3.86.
Figura 45: Contornos de pressão para M ∞ =0.5 e α =3.86. (a) Presente trabalho e (b) Arias
Garcia[31].
97
Figura 46: Contornos do número de Mach para M ∞ =0.5 e α =3.86. (a) Presente trabalho e (b)
Arias Garcia[31].
Figura 47: Curva de convergência numérica para M ∞ =0.5 e α =3.86.
4.4 Número de Reynolds 69 10×××× , M 0.74
∞∞∞∞==== e α = α = α = α = −−−−0000.14°.14°.14°.14°
A última simulação foi realizada para um escoamento próximo ao regime transônico com número
de Mach 0.74M∞ = , ângulo de ataque α =-0.14° e com um número de Reynolds igual a 69 10× .
A corda para estes números de Reynolds e de Mach é 0.56 m. A distribuição de pressão,
mostrada na figura 48, é comparada com os resultados experimentais de Harris[45] e as soluções
98
numéricas obtidas por Arias Garcia utilizando o modelo algébrico de Baldwin e Lomax. Como
mostra a figura 48, a distribuição do coeficiente de pressão ao longo do aerofólio usando o
modelo de turbulência de Spalart e Allmaras está em boa concordância com os dados
experimentais de Harris e do modelo algébrico de Baldwin e Lomax. Comparando com os dados
experimentais, Cn =-0.020, mais uma vez o modelo de Spalart e Allmaras obteve o mesmo valor
para o coeficiente de força normal. As curvas de pressão e número de Mach para uma região
próxima ao aerofólio são comparadas com o trabalho de Arias Garcia nas figuras 49 e 50 e
novamente apresentaram boa concordância entre os resultados. A figura 51 mostra a curva de
convergência numérica onde o critério de parada do programa foi alcançado em 38332 iterações.
Figura 48: Distribuição do coeficiente de pressão para M ∞ =0.74 e α = -0.14.
99
Figura 49: Contornos de pressão para M ∞ =0.74 e α =-0.14. (a) Presente trabalho e (b) Arias
Garcia[31].
Figura 50: Contornos do número de Mach para M ∞ =0.74 e α = -0.14. (a) Presente trabalho e (b)
Arias Garcia[31].
Figura 51: Curva de convergência numérica para M ∞ =0.74 e α =-0.14.
100
5 Conclusão
O modelo de turbulência de uma equação de Spalart e Allmaras foi implementado
numericamente para fechar o sistema de equações de Navier-Stokes com média de Reynolds que
modela o escoamento compressível turbulento em torno de um perfil de aerofólio NACA 0012.
Apesar de ser mais oneroso que os modelos algébricos, o modelo de uma equação de Spalart e
Allmaras possui um conjunto mais amplo em termos de complexidade do escoamento e da malha.
Os resultados para a distribuição do coeficiente de pressão ao longo do aerofólio usando o
modelo de turbulência de Spalart e Allmaras mostraram estar mais próximos dos dados
experimentais de Harris do que os do modelo algébrico de Baldwin e Lomax. O coeficiente de
força normal obtido com o modelo de Spalart e Allmaras ficou muito próximo dos resultados
experimentais, chegando a ter os mesmos valores em alguns casos. O método de volumes finitos
foi empregado para discretizar o sistema de equações diferenciais parcias e os esquemas
explícitos de MacCormack e Jameson foram implementados. Nas comparações feitas entre os
dois esquemas, o método de Jameson apresentou melhores resultados tanto para a qualidade da
solução quanto para a convergência numérica. O autor tentou utilizar os esquemas explícitos de
MacCormack e Jameson desenvolvidos para resolver a equação de transporte turbulento do
modelo de Spalart e Allmaras, mas devido às características não-conservativas da equação, só foi
possível obter sucesso implementando um esquema implícito na rotina do modelo de turbulência.
Inicialmente, a formulação de Euler foi usada e resultados para a distribuição de pressão e
coeficientes aerodinâmicos foram obtidos para diversos casos de escoamentos transônicos não
viscosos sobre o aerofólio. As soluções foram comparadas com outros métodos numéricos
101
disponíveis na literatura e apresentaram boa concordância entre os resultados. Em seguida, um
dos casos foi utilizado para avaliar a influência dos parâmetros numéricos. Foram feitas
modificações nos valores dos coeficientes de viscosidade artificial não-linear e observou-se que
para escoamentos transônicos, o aumento dos valores dos coeficientes aumenta a taxa de
convergência numérica. Outro caso foi utilizado para analisar a sensibilidade dos resultados
quanto ao refinamento da malha. Como era de se esperar, o uso de malhas mais refinadas
contribue diretamente na convergência numérica. Por último, o modelo de turbulência de uma
equação de Spalart e Allmaras foi utilizado para a formulação de Navier-Stokes e as soluções
foram comparadas com os dados experimentais de Harris e outras soluções numéricas obtidas
com o modelo de turbulência algébrico de Baldwin e Lomax. Devido a um conjunto mais amplo
em termos de complexidade do escoamento, os resultados obtidos usando o modelo de
turbulência de uma equação de Spalart e Allmaras mostraram estar mais próximos dos dados
experimentais de Harris do que o modelo algébrico de Baldwin e Lomax.
Este trabalho foi um segundo passo na busca por um código de volumes finitos capaz de
resolver processos aerodinâmicos de forma robusta e confiável. Um dos próximos passos nesta
área seria trabalhar com um segundo elemento no aerofólio, os casos tridimensionais e a condição
não-reflexiva na fronteira remota.
Os pacotes comerciais disponíveis atualmente têm uma ampla faixa de aplicação e o
analista numérico pode resolver problemas complexos com o auxílio destas ferramentas. Porém,
para dominar realmente as técnicas numéricas é fundamental que o analista desenvolva seus
próprios programas computacionais, entenda o que esta por traz destes pacotes, saiba escolher
entre os métodos e esquemas disponíveis para poder usar estas poderosas ferramentas de forma
correta e segura.
102
REFERÊNCIA BIBLIOGRAFICA
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106
APÊNDICE A
Equações de Navier-Stokes com média de Reynolds
Neste apêndice, o procedimento de média de Reynolds é tratado de maneira mais
detalhada do que no capítulo 2.
A.1 Equações de Reynolds para escoamentos turbulentos
Dada uma variável genérica φ , a definição de um valor médio φ sobre o período de
integração T∆ é:
1.
t T
tT
dtφ φ+∆
≡∆
∫
É necessário que T∆ seja pequeno com respeito à escala de tempo das variações das
quantidades médias, mas grande comparado ao período das flutuações associadas com a
turbulência.
Portanto, pode-se escrever que o valor instantâneo de φ é dado por:
'.φ φ φ= +
Deve-se observar que φ ′ é o valor da flutuação turbulenta cujo valor médio φ ′ é igual a
zero:
10,
t T
tT
dtφ φ+∆
′ =∆
′ ≡∫
e a restrição que:
(A.1)
(A.2)
(A.3)
107
0.t
φ∂=
∂
Na decomposição convencional de Reynolds as variáveis do escoamento são escritas da
seguinte forma:
',i i iu u u= +
',ρ ρ ρ= +
( ) ',i i iu u uρ ρ ρ= +
',p p p= +
( ) 'ij ij ijτ τ τ= +
( ) 'e e e= +
'i i iq q q= +
',h h h= +
( ) ',h h hρ ρ ρ= +
'.T T T= +
Os termos de flutuações em outras propriedades do fluido tais como viscosidade,
condutividade térmica e calor específico são normalmente pequenos e serão desconsiderados.
Aplicando a técnica de Reynolds à forma compressível das equações de Navier-Stokes,
aparecem novos termos envolvendo produtos de flutuações chamados momentos turbulentos.
Para evitar isto, e simplificar a forma final das equações, utiliza-se o conceito de média
ponderada pela massa introduzido por Favre onde,
(A.4)
(A.5)
108
,ρφ
φρ
=
de forma que as variáveis do escoamento passam a ser escritas como:
,ii
uu
ρ
ρ= ,
hh
ρ
ρ= .
TT
ρ
ρ=
Somente as componentes de velocidade e variáveis térmicas são médias ponderadas pela
massa. Propriedades do fluido tais como densidade e pressão são tratadas como antes.
Para substituir nas equações de conservação, é necessário separar as variáveis dependentes
outra vez em partes média e flutuação,
,i i i
u u u ′′= + ,h h h′′= + .T T T ′′= +
É importante notar que as médias das flutuações i
u ′′ e ih′′ não são iguais a zero. Em vez disso, a
média no tempo das flutuações multiplicada pela densidade é igual a zero:
0 .ρ φ ′′ ≡
Finalmente, pode-se substituir cada variável dependente pelas suas duas parcelas nas
equações de Navier-Stokes e tirando-se a média de cada equação, resulta o sistema de equações
de Navier-Stokes com média de Reynolds:
Equação da continuidade:
A equação da continuidade em um sistema de coordenadas cartesianas na forma
conservativa é:
( ) ( ) ( ) 0.u v wt x y z
ρρ ρ ρ+ +
∂ ∂ ∂ ∂+ =
∂ ∂ ∂ ∂
Pode-se decompor as variáveis dependentes nas componentes média no tempo mais flutuação
como dadas pelas equações (A.5) e substituindo-se na equação (A.1) obtém-se a equação:
(A.10)
(A.6)
(A.7)
(A.8)
(A.9)
109
( ) ( ) ( ) ( ) 0.u u u uj j j j
j j j jt t x x x x
ρ ρ ρ ρρ ρ
′ ′ ′ ′+ + + +′∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
Como a média de uma flutuação é zero a equação (A.11) torna-se:
( ) 0,u u jjj
t xρ ρ
ρ′ ′+
∂ ∂+ =
∂ ∂
que é a forma da equação da continuidade na decomposição convencional de Reynolds.
Substituindo-se as variáveis médias ponderadas pela massa mais as flutuações dadas pelas
equações (A.8) na equação (A.1) e tirando-se a média da equação inteira, obtém-se:
( ) ( ) ( ) ( ) 0.u u u uj j j j
j j j jt t x x x x
ρ ρ ρ ρρ ρ
′ ′′ ′ ′′+ + + +′∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
Os termos com média de uma flutuação tornam-se zero. Além disso, os dois últimos termos
podem ser combinados da seguinte forma:
( ) ( ) ,u u uj j j
j j jx x x
ρ ρ ρ′′ ′ ′′ ′′+ =∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
que é igual a zero pela equação (A.9). Dessa forma, a equação da continuidade em variáveis
ponderadas pela massa pode ser escrita como:
( ) 0.u j
jt x
ρρ
+∂ ∂
=∂ ∂
(A.11)
(A.12)
(A.13)
(A.14)
(A.15)
110
Equação de quantidade de movimento:
O desenvolvimento da forma de Reynolds das equações de quantidade de movimento começa
com as equações na forma conservativa. No sistema de coordenadas cartesianas bidimensional as
equações são escritas da seguinte forma:
( ) ( )2 ,x xx xy
uf u p uv
t x y
ρρ ρ τ ρ τ
∂ ∂ ∂= − + − − −
∂ ∂ ∂
( ) ( )2 .y xy yy
vf uv v p
t x y
ρρ ρ τ ρ τ
∂ ∂ ∂= − − − + −
∂ ∂ ∂
Pode-se decompor as variáveis dependentes nas componentes média no tempo mais flutuação
como dadas pelas equações (A.5). Substituindo-se na equação (A.16) e desconsiderando forças de
campo, obtêm-se a componente x da equação de quantidade de movimento:
( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) 0.u u u u u u p p u u v vxx yxt x y
ρ ρ ρ ρ τ ρ ρ τ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′+ + + + + + + − + + + + − =
∂ ∂ ∂+
∂ ∂ ∂
A seguir, tira-se a média da equação inteira. Vários termos com média de flutuação desaparecem
enquanto outros podem ser agrupados e igualados a zero através do uso da equação da
continuidade. A componente x da equação de quantidade de movimento de Reynolds pode ser
escrita como:
( ) ( ) ( )t x y
u u uu u u uv u vρ ρ ρ ρ ρ ρ∂ ∂ ∂
+∂ ∂ ∂
′ ′ ′ ′ ′ ′+ + + +
22
3
.
u uk u u u u u ux xk
u vv u u v u v
y x
p
x x
y
µ ρ ρ ρ
µ ρ ρ ρ
∂ ∂′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ + − − − −
∂ ∂
∂ ∂′ ′ ′ ′ ′ ′ ′+ + − − −
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂
∂
= −
(A.16)
(A.17)
(A.18)
(A.19)
111
A equação de quantidade de movimento de Reynolds completa pode ser escrita da seguinte
forma:
( ) ( ) ( )i i i j i j u u u u u uij j i i j i j
j i j
p
t x x xu u u u u u τ ρ ρ ρρ ρ ρ ρ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′+ − − −
∂ ∂ ∂ ∂+
∂ ∂ ∂ ∂′ ′ ′ ′+ + = −
onde
2.
3
uu uji kijij xj x xi k
τ µ δ ∂ ∂ ∂ = + − ∂ ∂ ∂
Para desenvolver a equação de quantidade de movimento de Reynolds em variáveis
ponderadas pela massa, utiliza-se novamente a equação (A.16), mas usando a decomposição
indicada pelas equações (A.8) para representar as variáveis instantâneas. A componente x da
equação de quantidade de movimento depois de desconsiderar forças de campo torna-se:
( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) 0u u u u u u u u v vxx yxt x y
ρ ρ ρ ρ ρ ρ τ ρ ρ τ ′ ′′ ′ ′′ ′′ ′ ′ ′′ ′′+ + + + + + + − + + + + − =
∂ ∂ ∂+
∂ ∂ ∂
A seguir, tira-se a média da equação inteira e a identidade dada pela equação (A.9) é usada para
eliminar termos. A equação de quantidade de movimento de Reynolds completa em variáveis
ponderadas pela massa torna-se:
( ) ( ) ( )i i ju uij i j
j i j
p
t x x xu u u τ ρρ ρ ′′ ′′+ −
∂ ∂ ∂ ∂+
∂ ∂ ∂ ∂= −
onde, desconsiderando as flutuações da viscosidade, ijτ torna-se:
2 2.
3 3
u uu u u uj ji k i kij ijij xj x x xj x xi k i k
τ µ δ µ δ ′′∂ ∂ ′′ ′′∂ ∂ ∂ ∂ = + − + + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
Equação da energia:
(A.20)
(A.21)
(A.22)
(A.23)
(A.24)
112
O desenvolvimento da forma de Reynolds da equação da energia começa com a equação na
seguinte forma:
. . . .tt
E QE U q f U U q
t tρ τ
∂ ∂ + ∇ = − ∇ + + ∇ ⋅ ⋅ − ∂ ∂
O termo de geração de calor, /Q t∂ ∂ , será desconsiderado. Assumindo que a energia total é
compreendida somente de energia interna e energia cinética, e substituindo t
E por H pρ − ,
pode-se escrever a equação (A.25) em notação indicial de Einstein como:
( ) .j j i ij
j
pH u H q u
t x tρ ρ τ
∂ ∂ ∂+ + − =
∂ ∂ ∂
Para obter a equação da energia de Reynolds em variáveis médias convencionalmente,
substituem-se as variáveis dependentes na equação (A.26) com a decomposição indicada pelas
equações (A.5). Tira-se a média no tempo e a equação torna-se:
( ) j j j j j
j j
T
t x xH H u H u H u H u H u H kρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ
∂ ∂ ∂+
∂ ∂ ∂
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′+ + + + + −
2 2.
3 3
u uu u uj jk i iuku u u ui ij i i iijuix x x x xk i j i jxkj
p
t xµδ µ µδ µ
′∂ ∂ ′∂ ∂ ∂′∂ ′ ′ + − + + − + + ′ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂=
Para desenvolver a forma de Reynolds da equação da energia em variáveis ponderadas pela
massa, substituem-se as variáveis dependentes na equação (A.26) com a decomposição indicada
pelas equações (A.8) e tira-se a média da equação inteira. O resultado pode ser escrito:
( ) ( ) ,j j u ui ij i ij
j j j
T p
t x x t xH u H u H k τ τρ ρ ρ ′′+ +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂+
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
′′ ′′+ − =
onde
ijτ pode ser avaliado pela equação (A.24) em termos de variáveis ponderadas pela massa.
(A.25)
(A.26)
(A.27)
(A.28)
113
APÊNDICE B
O Método de Volumes Finitos
Neste apêndice, a obtenção das equações de discretização pelo método de volumes finitos
é tratada de maneira mais detalhada do que no capítulo 3.
B.1 Equações de Navier-Stokes na forma integral
A partir das equações de Navier-Stokes com média de Reynolds, na forma conservativa,
bidimensional em coordenadas cartesianas escritas da seguinte forma:
0,Q E F
t x y
∂ ∂ ∂+ + =
∂ ∂ ∂
onde Q é o vetor das variáveis conservadas e E e F são os vetores de fluxo nas direções x e y,
respectivamente, dados por:
,v
uQ
e
ρ
ρ
ρ=
( )
2
,
u
u pxx
Eu v
xy
e p u u v qxx xy x
ρ
ρ τ
ρ τ
τ τ
+ −
=−
+ − − +
(B.1)
(B.2)
(B.3)
114
( )
,2
v
u vxy
Fv p
yy
e p v v u qyy xy y
ρ
ρ τ
ρ τ
τ τ
−
=+ −
+ − − +
define-se um vetor, P
, como:
,x yP Ei Fi= +
onde xi
e yi
são os vetores unitários cartesianos. A equação (B.1) pode então ser escrita como:
. 0Q
Pt
∂+ ∇ =
∂
onde
.x yi ix y
∂ ∂∇ ≡ +
∂ ∂
Integrando a equação (B.6) sobre um volume de controle V, obtém-se:
( ). ,V V
QdV P dV
t
∂= − ∇
∂∫ ∫
e usando o teorema da divergência, tem-se a igualdade:
( ) ( ). ,V S
P dV P n dS∇ =∫ ∫ i
onde S é a superfície de controle e n
é o vetor normal à S. Substituindo a equação (B.9) na
equação (B.8), obtém-se:
( ) .V S
QdV P n dS
t
∂= −
∂∫ ∫
i
Analisando o termo da esquerda da equação (B.10) e considerando volumes de controle
estacionários, pode-se trocar os sinais de diferenciação e integração e escrever:
(B.6)
(B.7)
(B.8)
(B.9)
(B.10)
(B.5)
(B.4)
115
.V V
QdV Q dV
t t
∂ ∂=
∂ ∂∫ ∫
Um valor médio de Q pode ser definido como:
1,
VQ Q dV
V= ∫
assim,
,V
Q dV QV=∫
e então, tem-se:
.V
QdV QV
t t
∂ ∂ = ∂ ∂∫
Como foram considerados volumes estacionários,
,Q
QV Vt t
∂ ∂ = ∂ ∂
e,
.V
Q QdV V
t t
∂ ∂=
∂ ∂∫
Substituindo a equação (B.13) na equação (B.10), obtém-se:
( )1.
S
QP n dS
t V
∂= −
∂ ∫
i
A equação (B.14) escrita para todos os volumes de controle elementares é:
( ),
,
,
1,
i j
i j
Si j
QP n dS
t V
∂= −
∂ ∫ i
onde ,i jV é volume de uma célula e ,i jS é a superfície do volume de controle correspondente.
(B.11)
(B.12)
(B.13)
(B.14)
(B.15)
(B.16)
(B.17)
(B.18)
116
APÊNDICE C
Implementação das condições de contorno
A seguir, o desenvolvimento das condições de contorno na parede sólida é tratado de
forma mais detalhada do que no capítulo 3.
Na parede, há dois tipos de condições de contorno para os componentes de velocidade,
uma para escoamentos não-viscosos e outro para escoamentos viscosos. A condição de contorno
para a formulação de Euler é a condição de escorregamento, isto é, o escoamento é tangente à
parede.
Na figura C.1 o vetor de velocidade 1V
na célula (i, 1) próximo à parede é formado pelas
componentes 1tV
e 1nV
tangente e normal à parede, respectivamente. O vetor de velocidade 0V
da
célula fantasma (i, 0) correspondente à célula (i, 1) é formado pelas componentes 0tV
e 0nV
tangente e normal à parede, respectivamente.
Admite-se que o vetor de velocidade na parede, pV
, é a média aritmética da soma
(1V
+0V
),
.1 0 1t 0t 1n 0np
V V V V V VV
2 2 2
+ + += = +
Como a parede é impermeável, a componente de pV
normal à parede tem que ser zero, isto
é:
1n 0nV V 0+ =
,
(C.1)
(C.2)
117
Figura C.1: Vetores de velocidade próximos à parede.
e
.0n 1nV V= −
Faz-se então
,0t 1tV V=
e obtém-se
.p 1tV V=
Dessa forma, a condição de escorregamento é satisfeita.
Para obter o vetor de velocidade 0V
para a célula fantasma (i, 0) é necessário implementar
as condições (C.3) e (C.4).
(C.3)
(C.4)
(C.5)
118
Na figura C.1, n
é o vetor unitário normal à superfície (i, 1-1/2) contida entre os vértices
(i, 1) e (i+1, 1). O vetor de área , /i 1 1 2s −
é dado pela equação:
( ) ( ), / , / , /,i 1 1 2 x yi 1 1 2 i 1 1 2
s s i s j− − −= +
onde
( ) ( ), ,, /,x i 1 1 i 1i 1 1 2
s y y+−= − −
( ) ( ), ,, /.
y i 1 1 i 1i 1 1 2s x x+−
= −
A magnitude d do vetor de área é dada por:
( ) ( )/
, / , /,
1 222
x yi j 1 2 i j 1 2d s s
− −
= +
as componentes do vetor unitário normal à superfície n
são dadas por:
( ), / ,i 1 1 2x
x
sn
d
−
=
( ), / .i 1 1 2y
y
sn
d
−
=
e as componentes do vetor unitário tangente à superfície t
são dadas por:
,x yt n= .
y xt n= −
Pode-se então, calcular 1nV
e 1tV
. O comprimento de 1nV
é dado por:
( ) ( ) ,. .1n 1 1 1 x y 1 x 1 y
V V n u i v j n i n j u n v n= = + + = +
e 1nV
é
(C.6)
(C.7)
(C.8)
(C.9)
(C.10)
(C.11)
(C.12)
119
( ) ( ) ( ) ( ). . .1n 1n 1 x 1 y x y 1 x 1 y x 1 x 1 y yV V n u n v n n i n j u n v n n i u n v n n j= = + + = + + +
O comprimento de 1tV
é dado por:
( ) ( ) ,. .1t 1 1 1 x y 1 x 1 y
V V t u i v j t i t j u t v t= = + + = +
e 1tV
é
( ) ( ) ( ) ( ). . .1t 1t 1 x 1 y x y 1 x 1 y x 1 x 1 y y
V V t u t v t t i t j u t v t t i u t v t t j= = + + = + + +
Das equações (C.3) e (C.13) obtém-se:
( ) ( ) ,0n 1 x 1 y x 1 x 1 y y
V u n v n n i u n v n n j= − + − +
e das equações (C.4) e (C.15),
( ) ( ) .0t 1 x 1 y x 1 x 1 y y
V u t v t t i u t v t t j= + + +
Somam-se as equações (C.16) e (C.17) e obtém-se:
( ) ( ) ( ) ( ) .0 1 x 1 y x 1 x 1 y x 1 x 1 y y 1 x 1 y yV u t v t t u n v n n i u t v t t u n v n n j = + − + + + − +
Substitui a (C.11) e produz:
( ) ( ) .2 2 2 2
0 1 y x 1 x y 1 x y 1 x yV u n n 2v n n i v n n 2u n n j = − − + − −
Escreve-se 0 0 0V u i v j= +
, e o resultado final é:
( ) ,2 2
0 1 y x 1 x yu u n n 2 v n n= − −
( ) .2 2
0 1 x y 1 x yv v n n 2u n n= − −
Para a formulação de Navier-Stokes a condição de não-escorregamento é necessária, isto
é, a velocidade deve ser zero na superfície sólida. Portanto, p pu v 0= = . Esta condição é obtida
(C.13)
(C.14)
(C.15)
(C.16)
(C.17)
(C.18)
(C.19)
(C.20)
(C.21)
120
fazendo o vetor de velocidade 0V
na célula fantasma (i, 0) igual ao vetor de velocidade 1V
da
célula (i, 1), mas em direções contrárias, assim:
.0 1V V= −
Escrevendo 0 0 0V u i v j= +
, tem-se:
, , ,i 0 i 1u u= − , , .i 0 i 1v v= −
Para a condição da pressão na parede pode-se admitir que a derivada da pressão na direção
normal à parede é nula. Dessa forma,
.p
p0
n
∂ =
∂
Portanto,
, .p i 1p p=
Admite-se que a pressão na parede é a média aritmética entre ,i 1p e ,i 0p , então:
, , ,i 1 i 0
p
p pp
2
+=
E o resultado para ,i 0p é:
, , .i 0 p i 1p 2 p p= −
Como ,p i 1p p= , então:
, , .i 0 i 1p p=
A última condição é de parede adiabática, isto é,
.p
T0
n
∂ =
∂
Portanto, , , .i 0 i 1T T=
(C.22)
(C.23)
(C.24)
(C.25)
(C.26)
(C.27)
(C.28)
(C.29)
(C.30)
121
APÊNDICE D
Implementação da rotina de Spalart e Allmaras
Neste apêndice, a implementação numérica da rotina do modelo de turbulência de uma
equação de Spalart e Allmaras é descrita com mais detalhes do que no capítulo 3. Esse apêndice
tem a colaboração do especialista João Falcão do túnel de vento transônico do IAE.
O modelo de turbulência de Spalart-Allmaras surgiu no início da década de 90 a partir de
um arrazoado empírico sobre um modelo de turbulência que, com uma única equação, fosse
capaz de resolver, diretamente, a questão do principal parâmetro representativo do
comportamento turbulento: a viscosidade turbulenta, sem passar pelos cálculos da energia
turbulenta nem da dissipação ou vorticidade, em modelos em que são necessários dois parâmetros
característicos para definir o comportamento turbulento. Assim, o modelo de Spalart e Allmaras,
embora sendo um modelo de uma equação, consegue refletir com um único parâmetro o
comportamento turbulento, sendo classificado como um modelo fechado.
No modelo de Spalart e Allmaras, uma equação de transporte para viscosidade turbulenta é
montada, usando empirismo e argumentos de análise dimensional, invariância de Galilean, e uma
seletiva dependência na viscosidade molecular. A equação inclui um termo de destruição não
viscosa que depende da distância para a parede. Diferentemente de modelos algébricos e os
primeiros modelos de uma equação o modelo é local, no sentido que a equação em um ponto não
depende na solução em outros pontos. Ela é, portanto, compatível com malhas de qualquer
estrutura. A solução próxima à parede é menos difícil. As condições de parede e escoamento não-
perturbado são triviais. O modelo produz transição laminar-turbulenta relativamente suave, em
pontos especificados pelo usuário. Um simples índice de turbulência é fornecido para determinar
as regiões da camada limite em que o modelo é ativado. O modelo, vai sendo montado a partir de
122
uma série de fenômenos físicos presentes no processo turbulento, a partir de uma equação,
chamada de básica, para um escoamento homogêneo, consistindo do Lagrangiano da viscosidade
turbulenta, de um termo de produção de turbulência e de um termo difusivo, idealizados para
ajustes em seus parâmetros (o "b" subscrito destaca as constantes da equação básica):
A partir da equação básica, são introduzidas novas parcelas e funções como termos fontes
para o modelo, para melhor descrever a presença da parede - função de destruição de atividade
(denotadas com o subscrito "w" de wall), os fenômenos viscosos próximos à parede - a lei
logarítmica (denotadas com o subscrito "v") e a definição da região de transição (denotadas com
o subscrito "t").
O modelo de turbulência de Spalart-Allmaras empregado foi desenvolvido a partir da
versão do modelo empregada no trabalho de Castro.
A versão utilizada aqui não contempla os termos de transição, pois o problema a ser
estudado é considerado plenamente turbulento. Na versão original de Spalart e Allmaras, tem-se
que:
A viscosidade turbulenta é dada por:
1,t vfν ρν=
onde
3
1 3 31
,v
v
fc
χ
χ=
+ ,
νχ
ν≡
ν é a viscosidade molecular e ρ é a densidade local. A variável de Spalart e Allmaras,ν ,
obedece a seguinte equação de transporte:
( )[ ] ( )( ) ( )
2 211 2 2 1 2 12
11 . .
j bb t b w w t t
j
u cc f S c c f f f U
t x k d
νν νν ν ν ν ν
σ
∂∂ + = − + ∇ + ∇ + ∇ − − + ∆ ∂ ∂
(D.1)
(D.3)
(D.2)
123
Sendo que:
11 22
bw w t
cc f f
k d
ν −
,
é o termo de destruição que depende da distância para a parede,
[ ]1 21b tc f Sν− ,
é o termo de produção viscosa e
( )j
j
u
x
ν∂
∂
e ( )( ) ( )2
2
1. bcν ν ν ν
σ ∇ + ∇ + ∇
,
são os termos convectivos e difusivos.
Os termos de transição dados por:
22 2 2
1 1 2 2exp t
t t t t t
wf c g c d g dt
U
= − + ∆
e ( )22 3 4exp ,t t tf c c χ= −
são desativados nesta versão, pois o problema a ser estudado é considerado plenamente
turbulento. O termo de produção na versão original trata S~
, enquanto que a versão de Castro trata
S, assim também como na definição da função r. Assim, o modelo empregado, com suas funções
e constantes, é o seguinte:
( )( ) ( )2
2
1 2 1 3
1b b w w v
Dc S c c f f
Dt d
ν νν ν ν ν ν
σ
= + ∇ + ∇ + ∇ −
.
Sendo que d é a distancia para a parede mais próxima e S é a magnitude da vorticidade dada por:
( )1
2, ,2 ,i j i jS ≡ Ω Ω
onde
,
1.
2ji
i j
j i
uu
x x
∂∂Ω = − ∂ ∂
(D.9)
(D.10)
(D.7)
(D.8)
(D.4)
(D.5)
(D.6)
124
A função wf é dada por:
16 6
36 6
3
1,w
w
w
cf g
g c
+=
+
onde
( )62wg r c r r= + − e
2 2.r
Sk d
ν≡
A função 3vf é dada por:
4 43
41v w
v
w
f cf
c
+=
+
onde
41
,1v
v
ff
χ
χ=
+
As constantes usadas no modelo são:
1
2
1
2,
30.1355,
0.622,
0.41,
7.1,
b
b
v
c
c
k
c
σ =
=
=
=
=
( )
( )
211 2
2
3
22
41
12.763,
0.3,
2,
13,018
bbw
w
w
b
w
b
ccc
k
c
c
cc
c
σ
κ
σ
+= + =
=
=
+= =
1
2
3
4
1,
2,
1.1,
2.
t
t
t
t
c
c
c
c
=
=
=
=
As condições de contorno são estabelecidas definindo valores de ν . A condição de parede
é 0ν = . A distância à parede mais próxima na rotina atual é calculada uma só vez no programa
principal e guardada em uma posição. Na versão de Castro, é recalculada a cada nova chamada
da subrotina de Spalart e Allmaras porque a malha lá é móvel.
A recomendação para o uso da rotina de Spalart e Allmaras é que o ponto mais próximo da
parede seja tal que se tenha y+ = 1 em j = 2. O intervalo de tempo pode ser variado para cada tipo
de problema e, em geral, a rotina é bastante robusta.
(D.11)
(D.12)
(D.15)
(D.13)
(D.14)
125
Como o código do modelo de Spalart e Allmaras está bastante otimizado, com "Vector
Splitting Method", podendo alcançar passos temporais bastante altos, não é necessário usar a
rotina a cada passo do programa principal. Assim, após uma investigação, foi constatada uma boa
razão de convergência chamando o modelo de turbulência 1 vez a cada 10 passos do programa
principal. Para a rotina do modelo de turbulência, o passo no tempo adimensional foi de 10. O
tempo gasto para a rotina de Spalart e Allmaras é 20% do tempo gasto no programa principal,
não sendo necessária uma economia maior em termos de chamadas da rotina.
A rotina está em coordenadas curvilíneas generalizadas. Depois da atribuição das
constantes do modelo adotado, do número de passos e intervalo de tempo é calculado os termos
difusivos e convectivos nas direções η e ξ e os termos de produção e destruição do modelo
como descrito anteriormente. A seguir é apresentada a estrutura da subrotina que resolve a
equação de transporte da viscosidade turbulenta para ser usada na solução do sistema de equações
de Navier-Stokes com média de Reynolds.
ESTRUTURA DA SUBROTINA
1. Atribuição das constantes do modelo de Spalart e Allmaras adotado,
2. Atribuição do número de passos e intervalo temporal,
3. Cálculo dos coeficientes para a matriz de inversão e termos explícitos para
os termos difusivos e convectivos,
4. Cálculo dos termos fonte do modelo de Spalart e Allmaras adotado,
5. Preparação e chamada das inversões das matrizes nas direções η e ξ ,
6. Cálculo da viscosidade turbulenta a partir da viscosidade turbulenta de trabalho.
FOLHA DE REGISTRO DO DOCUMENTO
1. CLASSIFICAÇÃO/TIPO
DM
2. DATA
13 de julho de 2009
3. DOCUMENTO N°
CTA/ITA/DM-036/2009
4. N° DE PÁGINAS
125 5. TÍTULO E SUBTÍTULO:
Simulação numérica de escoamento sobre aerofólio usando modelo de turbulência de uma equação.
6. AUTOR:
Marco Antonio Sampaio Ferraz de Souza 7. INSTITUIÇÃO/ÓRGÃO(S) INTERNO(S)/DIVISÃO(ÕES): Instituto Tecnológico de Aeronáutica – ITA 8. PALAVRAS-CHAVE SUGERIDAS PELO AUTOR:
1. Dinâmica dos fluidos computacional; 2. Método de volumes finitos; 3. Modelo de turbulência; 4. Escoamento compressível 5. Escoamento transônico. 9.PALAVRAS-CHAVE RESULTANTES DE INDEXAÇÃO:
Dinâmica dos fluidos computacional; Método de volumes finitos; Modelos de turbulência; Escoamento compressível; Escoamento transônico; Equações de camada limite; Aerofólios; Mecânica dos fluidos; Física 10. APRESENTAÇÃO: X Nacional Internacional
ITA, São José dos Campos. Curso de Mestrado. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Aeronáutica e Mecânica. Área de Aerodinâmica, Propulsão e Energia. Orientador: Nide Geraldo do Couto Ramos Fico Júnior. Defesa em 08/07/2009. Publicada em 2009. 11. RESUMO:
Simulações numéricas foram realizadas utilizando-se um código computacional desenvolvido para resolver o sistema de equações de Navier-Stokes com média de Reynolds que modela o escoamento compressível turbulento em torno de um aerofólio NACA 0012. Foram utilizadas malhas estruturadas tipo O geradas algebricamente e diversos refinamentos puderam ser feitos. O método de volumes finitos foi empregado para discretizar o sistema de equações diferenciais parciais e os esquemas explícitos de MacCormack e Jameson foram implementados. Termos de viscosidade artificial foram adicionados explicitamente através de um modelo não-linear. O modelo de turbulência de uma equação de Spalart e Allmaras foi implementado para resolver o problema de fechamento da turbulência. Inicialmente, a formulação de Euler foi usada e resultados para a distribuição de pressão e coeficientes aerodinâmicos foram obtidos para quatro casos de escoamentos transônicos não-viscosos sobre o aerofólio. As soluções foram comparadas com os resultados de outros métodos numéricos disponíveis na literatura. Em seguida, um dos casos foi utilizado para avaliar a influência dos parâmetros numéricos como a viscosidade artificial e o refinamento da malha. Outro caso foi utilizado para comparar os esquemas explícitos de MacCormack e Jameson. Por último, o modelo de turbulência de uma equação de Spalart e Allmaras foi utilizado para a formulação de Navier-Stokes e as soluções foram comparadas com os dados experimentais de Harris e outros resultados numéricos obtidos com o modelo de turbulência algébrico de Baldwin e Lomax. 12. GRAU DE SIGILO:
(X ) OSTENSIVO ( ) RESERVADO ( ) CONFIDENCIAL ( ) SECRETO
