Simulado · Gabarito: Habilidade ENEM:Alternativa C Comentários: Para descobrir a altura máxima...

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Matemáticae suas

Tecnologias

1a. série

Volume 2

2016Simuladoenem

G a b a r i t o

Simulado ENEM – 2016

1a. série – Volume 22

Questão 1 Matemática e suas Tecnologias

Disciplina << Matemática

Gabarito: Alternativa C

Comentários: Para descobrir a altura máxima do jato de água, precisa- -se calcular a coordenada x do vértice, ou seja,

xb

av =− = −

−=

2

11 7

0 619 5

,

,, .

Substituindo-se xv na função para descobrir o valor da

coordenada yv , temos:

h t

h t

h t

( ) , ( , ) , ,

( ) , ,

( ) ,

= − ⋅ + ⋅= − +=

0 3 19 5 11 7 19 5

114 075 228 15

114 07

2

55 114≅ metros

Errando a potência no cálculo do yv , obtém-se a alter-nativa (A). Calculando o valor da coordenada x

v ao invés

da yv e errando a casa decimal, obtém-se a alternativa

(B). Calculando o valor da coordenada xv ao invés da y

v ,

obtém-se a alternativa (D). Errando a casa decimal da coordenada y

v , obtém-se a alternativa (E).

Competência ENEM: 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico--científicas, usando representações algébricas.

Habilidade ENEM: 21 – Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.



Gabarito: Alternativa D

Comentários: Para descobrir o maior alcance horizontal desse jato, precisa-se encontrar o valor da coordenada x do vértice e multiplicar por 2, pois essa coordenada é exatamente o meio da distância, ou seja,

2 22

11 7

0 339⋅ = ⋅ − = −

−=x

b

av

,

, metros

Dividindo por 2, ao invés de multiplicar, obtém-se a al-ternativa (A). Calculando o y

v ao invés do x

v e errando a

casa decimal, obtém-se a alternativa (B). Esquecendo-se de multiplicar por 2, obtém-se a alternativa (C). Calculan-do o y

v ao invés do x






Gabarito: Alternativa B

Comentários: O custo será mínimo exatamente no vértice da parábola que representa essa função, sendo a produção o valor da coordenada x do vértice, ou seja,

xb

av =− = =2

200

405 kL.

Para calcular o custo, basta substituir o valor encontrado na função, assim temos:

y C

y

y

v

v

v

= = ⋅ − ⋅ += − +=

( )

,

5 20 5 200 5 1 300

500 1 000 1 300

800 00

2

Trocando a ordem das informações, obtém-se a alterna-tiva (A). Errando a potência e colocando as informações em ordem inversa, obtém-se a alternativa (C). Errando a potência do x

v , obtém-se a alternativa (D). Esquecendo-

-se de elevar o xv ao quadrado, obtém-se a alternativa (E).





Gabarito: Alternativa A

Comentários: Para descobrir o custo de produção de 2 quilolitros de sa-bonete, basta substituir a incógnita x por 2 na função dada,

ou seja,

C

C

C

( )

( )

( ) ,

2 20 2 200 2 1 300

2 80 400 1 300

2 980

2= ⋅ − ⋅ += − += que se refere à aalternativa A).(


3Matemática e suas Tecnologias

Esquecendo-se de elevar ao quadrado o valor 2, obtém- -se a alternativa (B). Esquecendo-se de somar o valor 80 referente ao primeiro termo da função, obtém-se a alter-nativa (C). Errando a regra de sinais na adição algébrica, obtém-se a alternativa (D). Dividindo-se o resultado por dois para saber o custo de 1 kL, obtém-se a alternativa (E).





Gabarito: Alternativa E

Comentários: A área y do quadrado menor é expressa por:

yx x

y x x

y x x

= − ⋅ − ⋅

= − ⋅ −= − +

81 49

2

81 2 9

81 18 2

2

2

( )

( )

Para calcular a área mínima, precisa-se calcular o valor do x

v , ou seja,

xb

av =− = − −

⋅= =

2

18

2 2

18

44 5

( ),

Assim, temos:

y

y

y

v

v

v

= − ⋅ + ⋅= − +

=

81 18 4 5 2 4 5

81 81 40 5

40 5

2

2

, ( , )

,

, m

O conjunto imagem da função é o conjunto dos valores que y pode assumir. Nesse caso, o conjunto procurado

é: Im / ,= ∈ ≥ ={ }y y yv 40 5 , que se refere à alternati-va (E).

Invertendo o sinal da desigualdade, obtém-se a alternati-va (A). Considerando o valor de xv ao invés do y

v , obtém-

-se a alternativa (B). Errando a potência do xv na hora de

substituir, obtém-se a alternativa (C). Errando a potência do x

v na hora de substituir e invertendo o sinal da desi-

gualdade, obtém-se a alternativa (D).


Habilidade ENEM: 22 – Utilizar conhecimentos algébri-cos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.




Comentários: A área y do quadrado menor é expressa por:

yx x

y x x

y x x

= − ⋅ − ⋅

= − ⋅ −= − +

81 49

2

81 2 9

81 18 2

2

2

( )

( )

Para calcular a área mínima, precisa-se calcular o valor do xv , ou seja,

xb

av =− = − −

⋅= =

2

18

2 2

18

44 5

( ),

Assim, temos:

y

y

y

v

v

v

= − ⋅ + ⋅= − +

=

81 18 4 5 2 4 5

81 81 40 5

40 5

2

2

, ( , )

,

, , m que se refere aà llternativa (B).

Errando a fórmula do xv , multiplicando o coeficiente a

por 4 ao invés de 2, obtém-se a alternativa (A). Errando a fórmula do x

v , multiplicando o coeficiente a por 4 ao

invés de 2 e esquecendo-se de dividir a área do triângulo por 2, obtém-se a alternativa (C). Considerando a área do quadrado maior, obtém-se a alternativa (D). Consideran-do o valor do x

v ao invés do y









Comentários: As raízes de p(t) são t = 1 e t = 5. Esses valores podem ser obtidos pela fórmula de Bhaskara ou por fatoração da seguinte forma:

− + − =t t2

8

3

4

5

80

Calculando o mmc para arrumar a equação, temos que:

− + − =− + − =t t

t t

2 6 5 0

1 5 0( )( ) Esse produto é igual a zero quando –t + 1 = 0 ou quando t – 5 = 0, daí obtêm-se as raízes. O coeficiente do termo de maior grau é negativo, ou seja, a parábola é decrescente e a pressão p é maior que a pressão atmosférica local ape-nas quando p > 0. Isso ocorre para t maior que 1 e menor que 5, ou seja t ]1, 5[, que se refere à alternativa (A).

Considerando o valor 1 válido ao invés de valores maiores que 1, obtém-se a alternativa (B). Considerando como interva- -lo valores iguais ou superiores a 0 e menores que 5, obtém- -se a alternativa (C). Considerando como intervalo valores maiores que 0 e menores que 5, obtém-se a alternativa (D). Considerando o intervalo aberto, obtém-se a alternativa (E).






Comentários: A receita R(x) será positiva para – 0,2x² + 100x > 0. Calcu-lando as raízes de R(x) temos que:

x x

x x

⋅ − + =

= = =

( , )

,

0 2 100 0

0100

0 2500

Como a parábola é decrescente, tem-se que a receita R(x) sempre será positiva para x ]0, 500[, que se refere à alternativa (D).

Esquecendo-se de dividir pelo coeficiente a, obtém-se a alternativa (A). Esquecendo-se de dividir pelo coeficiente a e trocando o sinal do intervalo, obtém-se a alternati-va (B). Considerando o valor zero como sendo parte da receita positiva, obtém-se a alternativa (C). Trocando o sinal do intervalo, obtém-se a alternativa (E).






Comentários: A equação que representa N em função de x contém os seguintes pontos (124, 68) e (172, 80). As constantes a e b são obtidas por meio da resolução do seguinte siste-

ma de equações 124 68

172 80

= += +

a b

a b a = 4 e b = –148.

Logo, N x x( ) .= −4 148

Obter a temperatura para a qual o número de sons é maior ou igual a 100 sons por minuto consiste em resol-ver a seguinte inequação do 1º. grau,

4 148 100

4 248

62

x

x

x F

− ≥≥

≥ ° , que se refere alternativa (B).à

Errando na montagem do sistema de equações e no sinal do coeficiente b, obtém-se a alternativa (A). Consi-derando que a inequação tem que ser maior que zero, obtém-se a alternativa (C). Errando na montagem do sis-tema de equações, obtém-se a alternativa (D). Errando o sinal do coeficiente b, obtém-se a alternativa (E).








Comentários: A equação que relaciona M e d é da forma M(d) = ad + b, em que a e b são números reais e são solução do siste-

ma 20

22 2

= += +

a b

a b→ a = 2 e b = 18.

Assim, M(d) = 2d + 18.

Determinar quantos dias após o início do treinamento essa pessoa caminhará mais do que 36 minutos por dia consiste em resolver a seguinte inequação do 1º. grau

2 18 36

2 18

9

d

d

d

+ >>

>

Como o número de dias deve ser maior que 9, então essa pessoa deve caminhar pelo menos 10 dias, que se refere à alternativa (C).

Trocando o sinal do coeficiente b, obtém-se a alternativa (A). Esquecendo-se de dividir por 2, obtém-se a alterna-tiva (B). Esquecendo-se que o número de dias deve ser superior ao encontrado, obtém-se a alternativa (D). Es-quecendo-se que o número de dias deve ser inferior ao encontrado, obtém-se a alternativa (E).






Comentários: A expressão para Q é da seguinte forma Q = a · p + b. Esta equação deve conter os pontos (25, 500) e (20, 600) e as constantes a e b são as soluções do sistema

500 25

600 20

= ⋅ += ⋅ +

a b

a b, onde a = – 20 e b = 1 000.

Assim, Q = – 20p + 1 000. Para que Q ≥ 640 deve-se ter:

− + ≥− ≥ −≤

20 1 000 640

20 360

18

p

p

p

Para que a situação descrita faça sentido, p deve estar entre 1 e 18, ou seja,

1 18≤ ≤p , que se refere à alternativa (E).

Esquecendo-se de considerar o intervalo maior e igual que 1, obtém-se a alternativa (A). Esquecendo-se de con-siderar o intervalo maior que 1, obtém-se a alternativa (B). Esquecendo-se de considerar o valor 1, obtém-se a alternativa (C). Considerando o intervalo com os sinais trocados, obtém-se a alternativa (D).






Comentários: O enunciado menciona que os coeficientes b e c são nulos, ou seja, y = ax².

Assim, tem-se que:

4 4

4

160 25

2= ⋅

= =

a

a , , que se refere à alternativa (D).

Multiplicando 4 por 8, obtém-se a alternativa (A). Sub-traindo 4 de 8, obtém-se a alternativa (B). Dividindo 8 por 4, obtém-se a alternativa (C). Dividindo-se 4 por 64, ob-tém-se a alternativa (E).








Comentários: O enunciado menciona que os coeficientes b e c são nulos, ou seja, y = ax².

Assim, tem-se que:

4 4

4

160 25

2= ⋅

= =

a

a ,

Logo, a equação que expressa y em função de x é y = 0,25x². Para x = 3, tem-se que y = 0,25 · 3² = 2,25 metros, que se refere à alternativa (A).

Dividindo-se 8 por 4, obtém-se a alternativa (B). Errando a potência do 3, obtém-se a alternativa (C). Dividindo-se 4 por 64 na hora de descobrir o valor do coeficiente a, obtém-se a alternativa (D). Esquecendo-se de elevar o 3 ao quadrado, obtém-se a alternativa (E).






Comentários: Como a parábola é da forma y = ax² + bx, tem-se que os coeficientes a e b satisfazem o sistema

0 200 200

60 100 100

0 40 000 200

60 10 000

2

2

= ⋅ += ⋅ +

→= +=

a b

a b

a b( )

( )

aa b+ 100

ou seja, a = – 0,006 e b = 1,2.

Logo, a equação que define o formato da ponte equivale

a y x x= − +0 006 1 22, , , que se refere à alternativa (E).

Invertendo-se os valores dos coeficientes a e b, obtém- -se a alternativa (A). Não resolvendo o sistema e utili-zando os valores informados no comando da questão, interpretando que a = 60 e b = 200, obtém-se a alterna-tiva (B). Não resolvendo o sistema e utilizando os valores informados no comando da questão, interpretando que a = 200 e b = 60, obtém-se a alternativa (C). Trocando os sinais dos coeficientes, obtém-se a alternativa (D).


Habilidade ENEM: 19 – Identificar representações algé-bricas que expressem a relação entre grandezas.




Comentários: Como no nível do mar a pressão é de 1 atm e como a cada 10 metros a pressão varia 1 atm, tem-se a seguinte

equação, com y em função de x, yx= +10

1, conforme exposto na alternativa (C).

Equivocando-se na proporção descrita no texto de que a cada 10 metros a pressão varia 1 atm, obtém-se a alterna-tiva (A). Interpretando que a cada metro a pressão varia 10 atm, obtém-se a alternativa (B). Equivocando-se na proporção descrita no texto e invertendo o coeficiente angular com o coeficiente linear, obtém-se a alternativa (C). Não levando em conta o fato de que no nível do mar a pressão é de 1 atm, obtém-se a alternativa (E).








Comentários: Como no nível do mar a pressão é de 1 atm e como a cada 10 metros a pressão varia 1 atm, tem-se a seguin-

te equação, com y em função de x, yx= +10

1. Para

x = 26,3 metros, tem-se que y = + = + =26 3

101 2 63 1 3 63

,, ,

atmosfera, que se refere à alternativa (E).

Interpretando que a função equivale a y x= +10 1, ob-tém-se a alternativa (A). Interpretando que a função equi-vale a y x= 10 , obtém-se a alternativa (B). Concluindo-se

que a função equivale a yx= +10

10, obtém-se a alterna-

tiva (C). Fazendo a função equivalente a yx=10

, obtém- -se a alternativa (D).






Comentários: O preço do quilômetro rodado na bandeira 1 é R$ 2,45. A bandeirada corresponde a R$ 4,90. Logo, a equação que permite calcular o preço P por um corrida realizada de acordo com a bandeira 1 é P = 4,90 + 2,45x, que se refere à alternativa (A). Não considerando a bandeirada (preço fixo), que corresponde ao coeficiente linear, obtém-se a alterna-tiva (B). Invertendo o coeficiente angular com o coeficiente linear, obtém-se a alternativa (C). Utilizando o valor do quilô-metro rodado equivalente a bandeira 2, obtém-se a alterna-tiva (D). Não considerando o preço do quilômetro rodado na bandeirada 1, obtém-se a alternativa (E).






Comentários: O preço do quilômetro rodado na bandeira 2 é igual a R$ 3,00. A bandeirada corresponde a R$ 4,90. Logo, a equação que permite calcular o preço P por um corrida realizada de acordo com a bandeira 2 é P = 4,90 + 3,00x. Como o trajeto realizado foi de 13 km, tem-se que o pre-ço pago é P = 4,90 + 3,00 13 = 4,90 + 39 = 43,90, que se refere à alternativa (B). Interpretando que a função é P = 4,90x + 3, obtendo para um trajeto de 13 km uma ta-rifa igual a R$ 66,70, obtém-se a alternativa (A). Não con-siderando a bandeirada correspondente a R$ 4,90, ob-tém-se a alternativa (C). Fazendo a função equivalente a P = 4,90 + 2,45x, obtém-se a alternativa (D). Concluindo que a equação que fornece P em função de x é P = 2,45x, obtém-se a alternativa (E).






Comentários: Uma pessoa que observa o topo da Torre Eiffel sob um ângulo de 30° forma um triângulo retângulo com a altura da torre. Assim, para calcular a distân-cia dessa pessoa até a torre, utilizam-se as razões tri-gonométricas, no caso a tangente de 30°, ou seja,

tgCO

CA dd 30

1 73

3

324 972

1 73561 85° = → = → = ≅,

,,

que pode ser arredondado para 562 metros, conforme alternativa (B).

Utilizando a razão seno, obtém-se a alternativa (A). Utili-zando a razão cosseno, obtém-se a alternativa (C). Fazen-

do tg 30º = 3 , obtém-se a alternativa (D). Fazendo a proporção de forma incorreta, obtém-se a alternativa (E).








Comentários: O pH registrado na amostra de Guaraná Kuat é igual a 1,82. De acordo com a fórmula pH = –log [H+], tem-se que:

1 82 1 82 10 1 82, log , log .,= − + → − = + → = +−H H H

Como log , , , 0 015 1 82= − tem-se que

10 0 0151 82− = + → = +, , ,H H que se refere à alternativa (A).

Dividindo o valor do pH da amostra de Guaraná Kuat pela base do logaritmo que é 10, obtém-se a alternati-va (B). Multiplicando 1,82 por 0,015, obtém-se a alterna-tiva (C). Dividindo 0,015 por 1,82, obtém-se a alternativa (D). Analisando o pH do Guaraná Kuat Light, fazendo 1,87 – 1,82 = 0,05, obtém-se a alternativa (E).






Comentários:

De acordo com a expressão h t t( ) log( )= ⋅1074

e com as informações fornecidas, tem-se que

75 10 10 10 10 10074 75 74= ⋅ → = ⋅ → = → =log( ) ,t t t t

75 10 10 10 10 10074 75 74= ⋅ → = ⋅ → = → =log( ) ,t t t t que se refere à alternativa (D).

Interpretando que para extrair a raiz basta dividir por 2 ao invés de elevar ao quadrado, obtém-se a alternativa (A). Esquecendo-se do radical, obtém-se a alternativa (B).

Interpretando que para extrair a raiz basta multiplicar por 2 ao invés de elevar ao quadrado, obtém-se a alter-nativa (C). Trocando t por 75, obtém-se a alternativa (E).






Comentários: Para descobrir a função exponencial que representa t em função da altura h, fazemos:

h t t

t

t

t

t

h t

h t

h t

h

( ) log( )( )

( )

( )

(

= ⋅

= ⋅

=

==

−

10

10 10

10

10

10

10

74

74

74

74

(( ) ) ( ) ,t h tt− −→ =74 2 2 14810 que se refere

alternativa (C).

à

Elevando apenas o numerador ao quadrado, obtém-se a alternativa (A). Aplicando a propriedade dos logaritmos incorretamente, multiplicando a base 10 por h(t) ao invés de elevar, obtém-se a alternativa (B). Dividindo por 2 ao invés de elevar ao quadrado para extrair a raiz quadrada, obtém-se a alternativa (D). Multiplicando por 2 apenas o 74 na hora de extrair a raiz quadrada, obtém-se a alter-nativa (E).








Comentários: A área da figura 1 é A1, a área da figura 2 é constituída de

3 triângulos escuros e 1 branco, ou seja, A A23

41= . Já a

área da figura 3 é constituída por 9 triângulos escuros de

um total de 16 triângulos, ou seja, A A A39

161

3

41

2

= =

. .

E a área da figura 4 é constituída por 27 triângulos escu-

ros de um total de 64, ou seja, A A A427

641

3

41

3

= =

e

assim por diante. Logo, a razão dessa progressão geo-

métrica é 34

, que se refere à alternativa (C).

Interpretando que ficou um triângulo branco e três es-curos, obtém-se a alternativa (A). Colocando a razão na ordem inversa, obtém-se a alternativa (B). Obtendo a fração correspondente ao triângulo branco, tem-se a al-

ternativa (D). Concluindo que A A39

161= e que a razão

equivale a 916

, obtém-se a alternativa (E).

Competência ENEM: 4 – Construir noções de variação de grandezas para a compreensão da realidade e a solu-ção de problemas do cotidiano.

Habilidade ENEM: 15 – Identificar a relação de depen-dência entre grandezas.




Comentários: Como o tempo de meia-vida do Iodo-131 é de 8 dias, bas-ta substituir esse valor na equação, ou seja,

Q t

Racionalizand

( ) . .=

=

= ⋅1 0001

21 000

1

21 000

1

2

8

16

1

2

oo

Q t

a raiz quadrada de 2,

( ),= ⋅ = = ⋅ =1 000

2

2

2

1 000 2

2

1 000 1 41

27055 ,

que se refere à alternativa (E).

Errando a divisão de 8 por 16, considerando 16 por 8 e ainda errando a casa decimal, obtém-se a alternativa (A). Errando a casa decimal, obtém-se a alternativa (B). Erran-do a divisão de 8 por 16, considerando 16 por 8, obtém- -se a alternativa (C). Considerando que em meia-vida a substância fique com a metade da quantidade, obtém- -se a alternativa (D).






Comentários: Chamando a quantidade inicial da substância (N

0) de x,

temos que a quantidade depois de algum tempo (Nt) é

igual a 0,2x. O texto menciona que o tempo de meia-vida do Rádio (Ra) é 1 620 anos. Substituindo os valores na fórmula dada, temos que:

t tN

N

tx

xt

1

2 0

2 0 693

0 2

= ⋅

→ = ⋅

=

ln

ln

,

ln,

1 620

1 620 tt t

t

⋅ → = ⋅

= → ≅

0 693

5

0 693

1 609

1 620 0 430

,

ln

,

,

,

1 620

t 3 7677 anos, que se refere

alternativa (D).à

Realizando uma regra de três, considerando que no tem-po de meia-vida a substância se desintegra 50%, obtém- -se a alternativa (A). Colocando a razão da quantidade de substância inicial e final em ordem inversa, obtém- -se a alternativa (B). Considerando o tempo de meia-vida, obtém-se a alternativa (C). Usando ln 10 ao invés do ln 5, pois na hora de relacionar a quantidade das substâncias obteve o valor 10 para a razão, obtém-se a alternativa (E).








Comentários: A fórmula do professor é uma função exponencial. Quanto mais tempo de estudo, mais exercícios serão re-solvidos e, consequentemente, maior o nível de aprendi-zagem. Se um aluno não estudar, ou seja, t = 0, somente com as explicações do professor, ele consegue resolver 700 exercícios como podemos verificar:

E e

E e

E

E

= − ⋅= − ⋅= −=

− ⋅1 000 300

1 000 300

1 000 300

700

0 5 0

0

,

Já se o aluno estudar duas horas (t = 2), temos:

E e

E e

E

E

= − ⋅= − ⋅

= − ⋅

= −

− ⋅

−

1 000 300

1 000 300

1 000 3001

2 7183

1 000 1

0 5 2

1

,

,

110 36 890, ≅

E assim por diante, ou seja, o mínimo é 700 e o máximo tende a 1 000, que está melhor representado no gráfico da alternativa (C).

Não percebendo que o valor inicial é inferior a 700, ob-tém-se a alternativa (A). Pensando que a função é qua-drática, obtém-se a alternativa (B). Invertendo o sentido gráfico da função exponencial, obtém-se a alternativa (D). Esquecendo-se que função exponencial tende a um valor, no caso 1 000, obtém-se a alternativa (E).


Habilidade ENEM: 20 – Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas.




Comentários: Analisando a situação e cada uma das afirmações da-das, temos que:

I. Falsa, pois o ângulo oposto ao lado a é alfa e não beta.

II. Verdadeira, pois c seria a hipotenusa, a e b, os cate-tos, portanto teríamos o teorema de Pitágoras.

III. Verdadeira, pois aplicando a lei dos cossenos, temos:

c a b ab

c a b ab

c a b ab

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 120

2 0 5

= + − ⋅= + − ⋅ −= + +

cos

( , )

IV. Falsa, pois aplicando a lei dos cossenos, temos:

c a b ab

c a b ab

c a b ab

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 60

2 0 5

= + − ⋅= + − ⋅= + −

cos

( , )

V. Falsa, pois os dois ângulos não podem ser juntos maiores que 90°.

Assim é correta a alternativa (B).

Esquecendo-se de observar o ângulo que está oposto ao lado para obter o cosseno, obtém-se a alternativa (A). Esquecendo-se de observar o ângulo que está oposto ao lado para obter o cosseno e considerando que não se pode aplicar Pitágoras na afirmativa II, obtém-se a al-ternativa (C). Considerando a alternativa IV verdadeira ao invés da afirmativa II, obtém-se a alternativa (D). Con-siderando as afirmativa IV e V verdadeiras ao invés da afirmativa III, obtém-se a alternativa (E).








Comentários: Com os 18 alunos colocados sob a circunferência e ligan-do-os, é possível formar um octadecágono (polígono de 18 lados) e assim 18 triângulos isósceles, com lados con-gruentes medindo 23 dm e ângulo entres esses lados de 20º, conforme a figura:

Aplicando a lei dos cossenos, temos que:

x

x

x

2 2 2

2

2

23 23 2 23 23 20

529 529 1 058 0 94

1 058 994 5

= + − ⋅ ⋅ ⋅ °= + − ⋅= −

cos

,

, 22

63 48

8

2x

x

=≅

,

dm, que se refere alternativa (B).àErrando a potência do expoente 2 e esquecendo de ex-trair a raiz quadrada, obtém-se a alternativa (A). Usando o valor do diâmetro ao invés do valor do raio, obtém-se a alternativa (C). Usando o valor do seno ao invés do valor do cosseno, obtém-se a alternativa (D). Somando o resul-tado da multiplicação pelo cosseno ao invés de subtrair, obtém-se a alternativa (E).

Competência ENEM: 2 – Utilizar o conhecimento geo-métrico para realizar a leitura e a representação da reali-dade e agir sobre ela.

Habilidade ENEM: 8 – Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.




Comentários: Analisando a situação, podemos escrever a sequência (8, ..., 92), com n = 15. Como o crescimento é constante, podemos identificar uma progressão aritmética. Assim temos:

a n

a a n r

r

r

r

n

1 15

1

8 92 15

1

92 8 14

84 14

6

= = == + − ⋅= + ⋅=

=

; ;

( )

a

Logo, a planta cresce 6 mm diariamente, conforme al-ternativa (D).

Considerando crescimento de 15 mm ao invés de 15 dias, obtém-se a alternativa (A). Considerando o valor inicial, obtém-se a alternativa (B). Somando o valor inicial ao in-vés de subtrair, obtém-se a alternativa (C). Dividindo por 15 ao invés de 14, obtém-se a alternativa (E).






Comentários: Analisando as informações do texto, temos que:

a n1 10387 4 108 103= = =, ; ; a e a razão é 200 khz, mas como as frequências estão em MHz, r = 0,2. Aplicando o termo geral de uma P.A.,

a a n r

n

n

n

n

n = + − ⋅= + − ⋅

= −=

=

1 1

96 4 87 4 1 0 2

9 0 2 0 2

9 2 0 2

46

( )

, , ( ) ,

, ,

, ,

Assim, o número do canal é 46, que se refere à alterna-tiva (D).

Subtraindo a frequência máxima do número de canais, obtém-se a alternativa (A). Subtraindo o decimal ao invés de dividir, obtém-se a alternativa (B). Multiplicando por 0,2 ao invés de dividir e arredondando o valor, obtém-se a alternativa (C). Considerando o valor médio dos canais, obtém-se a alternativa (E).








Comentários: Ao final do décimo nono mês foram plantadas 27 000 – 19 210 = 7 790 rosas . Isso quer dizer que a soma de PA S

19 = 7 790. Como em cada mês são planta-

das r rosas a mais, tem-se que S19

= x + 18r e assim:

Sa a n

x x r

x r

x r a

191 19

2

7 79018 19

22 18 820

9 410 1

=+ ⋅

=+ + ⋅

+ =

+ = →

( )

( )

e qqua o.çã

Mas o total de rosas plantadas em 36 meses,

Sa a n

x x r

x r a

361 36

2

27 035 36

2

2 35 1 0 2

=+ ⋅

=+ + ⋅

+ = →

( )

( ) 00

50 equa çãoo.

Formamos um sistema:

x r

x r

+ =+ =

9 410

2 35 1 0 50

Multiplicando a 1ª. equação por (–2) e adicionando com a 2ª., temos:

− − = −+ =

==

2 18 820

2 35 1 0

17 680

40

x r

x r

r

r

50

e x = 50, que se refere alternativa (C).à

Subtraindo o valor do 1º. termo com a razão, obtém-se a alternativa (A). Considerando o valor da razão ao invés do 1º. termo, obtém-se a alternativa (B). Somando o va-

lor do 1º. termo com a razão, obtém-se a alternativa (D). Dividindo-se a quantidade de rosas plantadas por quan-tidade de meses já passados, obtém-se a alternativa (E).






Comentários: Por meio dos dados do enunciado, é possível formar um triângulo:

Nele, é possível usar a lei dos cossenos:

a b c bc2 2 2

22

2

2

2 21 6 2 3 2 6 2 3

84 36 12 24 3

= + − ⋅

( ) = + ( ) − ⋅ ⋅ ⋅

= + − ⋅

cos

cos

c

α

α

oos

cos

cos

cos

cos

α

α

α

α

α

α

36 24 3

36

24 3

3

3

36 3

72

3

2150

= − ⋅

= − ⋅

= −

= −

= °

Esquecendo-se do sinal negativo para o valor do cosseno, obtém-se a alternativa (A). Confundindo o valor do cosseno com o seno e esquecendo-se do sinal negativo, obtém-se a alternativa (B). Pensando num triângulo retângulo, obtém- -se a alternativa (C). Confundindo com o valor do seno no 2º. quadrante, obtém-se a alternativa (D).








Comentários: Para descobrir o perímetro, é necessário identificar os dois lados que estão faltando. Para isso, usamos a lei dos senos e percebemos que o 3º. ângulo do triângulo é 50°, assim:

a

sen

c

senc

c

c

30 =

°

=

==

10010

0 5 0 984

0 5 9 84

19 68

, ,

, ,

,

e

a

sen

b

senb

b

b

30 5=

°

=

==

010

0 5 0 766

0 5 7 66

15 32

, ,

, ,

,

Logo, o perímetro é P = 10 + 19,68 + 15,32 = 45 dm. Como são 5 voltas de arame, temos um total de 225 dm de ara-me, que se refere à alternativa (A). Esquecendo de consi-derar o lado com 10 dm, obtém-se a alternativa (B). Sub-traindo por 0,5 ao invés de dividir em ambos os cálculos dos lados, obtém-se a alternativa (C). Calculando apenas o perímetro, obtém-se a alternativa (D). Subtraindo por 0,5 ao invés de dividir em ambos os cálculos dos lados e calculando apenas o perímetro, obtém-se a alternativa (E).






Comentários: Os ponteiros do relógio formam um triângulo, conforme a figura a seguir:

Aplicando a lei dos cossenos, temos que:

a b c bc

x

x

x

x

2 2 2

2 2 2

2

2

2 60

10 8 2 10 81

2

100 64 80

84

84

= + − ⋅

= + − ⋅ ⋅ ⋅

= + −=

=

cos

=== ⋅ =

2 21

2 4 58 9 16x , , cm, que se refere alternativa (C).àErrando a lei dos cossenos e deixando isolado o lado de 10 cm, obtém-se a alternativa (A). Considerando o valor do cos 30° ao invés de cos 60°, obtém-se a alternativa (B). Errando a lei dos cossenos e deixando isolado o lado de 8 cm, ob-tém-se a alternativa (D). Pensando na redução ao triângulo retângulo 3, 4, 5, obtém-se a alternativa (E).






Comentários: Colocando na figura os valores citados no enunciado, temos:



Assim, ficamos com um triângulo retângulo e podemos usar a razão seno, ou seja,

sen

sen

=

=

=

α

αα

27

1200 225

13

,

°, que se refere à alternativa (E).

Considerando o cosseno ao invés do seno, obtém-se a alternativa (A). Considerando o cosseno ao invés do seno e esquecendo-se de subtrair 2 m do cateto, obtém- -se a alternativa (B). Somando 2 ao invés de subtrair, ob-tém-se a alternativa (C). Esquecendo-se de subtrair 2 m do cateto oposto, obtém-se a alternativa (D).






Comentários: Substituindo os valores dados na tabela na fórmula, te-mos:

1 804 464 21 1 751 907 1 03

1 031 804 464 21

1 751 907

1 0

, ( , )

( , ),

( ,

= ⋅

=

t

t

33 1 03

1

) ,t

t

, que se refere alternativa (A).

== à

Errando em uma casa decimal a divisão, obtém-se a al-ternativa (B). Errando em duas casas decimais, obtém-se a alternativa (C). Errando em uma casa decimal a divisão e a unidade de tempo, obtém-se a alternativa (D). Con-siderando a falta de expoente como zero, ao invés de 1, obtém-se a alternativa (E).






Comentários: Observando o gráfico, percebemos que AO é o período da função, obtido da seguinte forma:

2

5

2 5 10ππ

= ⋅ = , que corresponde à medida da base do

triângulo e à maior medida da altura. É a distância de B ao eixo horizontal, quando a função seno é máxima, ou seja,

quando senxπ

51= . Como na função seno é multiplicado

por 4, temos que a altura é 4. Assim, a área do triângulo é

A = ⋅ =10 4

220, que se refere à alternativa (B).

Esquecendo-se de dividir por 3 a área, obtém-se a alter-nativa (A). Considerando que o período é 2 e esquecen-do-se de dividir por 2, obtém-se a alternativa (C). Esque-cendo-se de multiplicar por 4 o valor do seno, obtém-se a alternativa (D). Considerando que o período é 2, ob-tém-se a alternativa (E).






Comentários: Para descobrirmos a distância entre o barco e a cabana, usamos a lei dos cossenos:

x2 2 250 80 2 50 80 105= + − ⋅ ⋅ ⋅ °cos

Descobrimos o valor de cos 105° por meio do cosseno de dois arcos, ou seja,



cos cos ( )

cos cos cos

105 60 45

105 60 45

° = ° + °° = °⋅ ° − ⋅

sen 60 sen 455

cos

cos, ,

,

1051

2

2

2

3

2

2

2

2 6

4

1051 4 2 4

4

1

40 25

° = ⋅ − ⋅ = −

° = − = − = −

Substituindo o valor encontrado na expressão da lei dos cossenos:

x

x

x

2 2 2

2

2

50 80 2 50 80 105

2 500 6 400 8 000 0 25

8 900

= + − ⋅ ⋅ ⋅ °= + − ⋅ −=

cos

( , )

++

=

== ⋅=

2 000

10 900

10 109

10 10 44

104 4

x

x

x

x

,

, m, que se refere alà tternativa (C).

Errando a casa decimal, obtém-se a alternativa (A). Tro-cando a fórmula do cosseno da soma de ângulos pelo seno da soma de dois ângulos, obtém-se a alternativa (B). Fazendo a divisão do cosseno da soma de dois ân-gulos por 2 ao invés de ser por 4, obtém-se a alternativa (D). Trocando a fórmula do cosseno da soma de ângulos pelo seno da soma de dois ângulos e errando a casa decimal, obtém-se a alternativa (E).






Comentários: Os custos mínimos e máximos podem ser obtidos quan-

do cosπ⋅ t4

atinge o valor mínimo e máximo, ou seja,

– 1 e 1, respectivamente. Dessa forma:

C t

C t

( ) ( ) ,

( )

= + ⋅ − = − == + ⋅ =

125 80 1 125 80 45 00

125 80 1

(custo m nimo)í1125 80 205 00+ = , (custo m ximo),á

que se refere à alternativa (D).

Considerando t = 1 e t = – 1 e calculando o custo com

cos ,π4

mas colocando na ordem inversa e esquecen-

do-se de dividir por 2, obtém-se a alternativa (A). Consi-

derando t = 1 e t = – 1 e calculando o custo com cos ,π4

mas esquecendo-se de dividir por 2, obtém-se a alterna-tiva (B). Colocando os valores na ordem inversa, obtém- -se a alternativa (C). Considerando t = 1 e t = – 1 e calculan-

do o custo com cos ,π4

obtém-se a alternativa (E).






Comentários: De acordo com a função dada, temos que:

t v

km h

t

= → = + ⋅

= + =

= + =

= →

0 0 5 210

0 5 2 0

5 2 7

5

( ) cos cos

/

π

v

km h

t v

( ) cos cos

/

(

5 5 210

5 5 22

5 0 5

10 10

= + ⋅

= + =

= + =

= →

π π

)) cos cos

/

( )

= + ⋅

= + =

= − =

= → = +

5 210

10 5 2

5 2 3

15 15 5

π π

km h

t v 2210

15 5 23

2

5 0 5

20 20 5 2

cos cos

/

( ) c

π π⋅

= + =

= + =

= → = +

km h

t v oos cos

/

( ) cos

π π

π

1020 5 2 2

5 2 7

25 25 5 2

⋅

= + =

= + =

= → = +

km h

t v 110

25 5 25

2

5 0 5

30 30 5 210

⋅

= + =

= + =

= → = +

cos

/

( ) cos

π

πkm h

t v ⋅⋅

= + =

= − =

30 5 2 3

5 2 3

cos

/

π

km h



t v

km h

t

= → = + ⋅

= + =

= + =

= →

0 0 5 210

0 5 2 0

5 2 7

5

( ) cos cos

/

π

v

km h

t v

( ) cos cos

/

(

5 5 210

5 5 22

5 0 5

10 10

= + ⋅

= + =

= + =

= →

π π

)) cos cos

/

( )

= + ⋅

= + =

= − =

= → = +

5 210

10 5 2

5 2 3

15 15 5

π π

km h

t v 2210

15 5 23

2

5 0 5

20 20 5 2

cos cos

/

( ) c

π π⋅

= + =

= + =

= → = +

km h

t v oos cos

/

( ) cos

π π

π

1020 5 2 2

5 2 7

25 25 5 2

⋅

= + =

= + =

= → = +

km h

t v 110

25 5 25

2

5 0 5

30 30 5 210

⋅

= + =

= + =

= → = +

cos

/

( ) cos

π

πkm h

t v ⋅⋅

= + =

= − =

30 5 2 3

5 2 3

cos

/

π

km h

E assim por diante. Percebemos que a velocidade máxi-ma é 7 km/h, sendo atingida no início e com 20 minu-tos de treinamento. Já a velocidade mínima é 3 km/h e foi atingida com 10 e 30 minutos. Vemos também que, aos 5 minutos de treinamento, o atleta atinge 5 km/h, o que ocorre também aos 15 e 25 minutos. Assim, as três afirmativas são verdadeiras, o que torna correta a alter-nativa (E).






Comentários: Como a função seno varia de 1 a menos 1, temos que:

se ( ) ( )n x T x T xπ8

1 38 38⋅

= → = − ⋅ → = − 1 e

se ( ) ( ) ( )n x T x T x

π8

1 38 1 38⋅

= − → = − ⋅ − → =

Sendo a temperatura máxima e mínima igual a 38º C e – 38º C, respectivamente.

Colocando os valores na ordem inversa, obtém-se a alternativa (A). Somando 1 ao invés de multiplicar e co-locando os valores na ordem inversa, obtém-se a alter-nativa (B). Somando 1 ao invés de multiplicar, obtém-se

a alternativa (C). Somando 1 ao invés de multiplicar e co-locando os valores com os sinais trocados, obtém-se a alternativa (D).






Comentários: O nível mais baixo da maré ocorre quando

sen t π6

1⋅

= − , ou seja, quando o ângulo

π6⋅ t é

3

2

πrad

e 7

2

πrad. Assim, temos que se:

π π6

3

22 18 9⋅ = → = → =t t t horas e

π π6

7

22 42 21⋅ = → = → =t t t horas

Com sen t π6

1⋅

= − , ocorre o nível mais baixo da

maré, ou seja,

h t h t( ) , , ( ) ( ) ,= + ⋅ − → =1 5 1 2 1 0 3 metros.

Com sen t π6

1⋅

= , ocorre o nível mais alto da maré,

ou seja,

h t h t( ) , , ( ) ,= + ⋅ → =1 5 1 2 1 2 7 metros. O nível máximo da maré será com t = 15 horas, pois é o valor médio entre 9 e 21 horas, que se refere à alternativa (A).

Errando na subtração, obtém-se a alternativa (B). Erran-do na adição, obtém-se a alternativa (C). Esquecendo-se de dividir por dois e confundindo máximo e mínimo, obtém-se a alternativa (D). Confundindo as unidades de medida e tempo, obtém-se a alternativa (E).








Comentários: Analisando o diagrama, percebemos que ele representa uma progressão aritmética (1, 3, 5, 7,..., n) de razão 2 e an = 2n – 1. Calculando então a soma dos termos de uma P.A., temos que:

Sa a n n n n

nnn=

+ ⋅= + − ⋅ = =

( ) ( ),1

22

2

1 2 1

2

2

2 que se refere

à alternativa (A).

Trocando ímpares por par, obtém-se a alternativa (B). Considerando dobro igual a quadrado, obtém-se a al-ternativa (C). Trocando ímpares por par e considerando dobro igual a quadrado, obtém-se a alternativa (D). Con-siderando o último termo como n – 1, obtém-se a alter-nativa (E).






Comentários: Analisando a situação proposta pelo professor, percebe-mos que se trata de uma progressão aritmética, ou seja, (132, 138,..., 486).

a n1 132 486= = a r = 6 n = ?

Usando o termo geral, calculamos a quantidade de ter-mos dessa P.A.:

an a n r

n

n

n

n

= + − ⋅= + − ⋅− = −+ =

= =

1 1

486 132 1 6

486 132 6 6

354 6 6

360

660

( )

( )

Calculando a soma dos termos dessa P.A., tem-se:

S nna a n

=+ ⋅

= + ⋅ = ⋅ =( ) ( )1

2

132 486 60

2

618 60

218 540

Esquecendo-se de somar 6 antes da divisão na hora de achar a quantidade de termos, obtém-se a alternativa (A). Confundindo o primeiro termo com o valor citado no enunciado, obtém-se a alternativa (B). Confundindo o último termo com o valor citado no enunciado, obtém- -se a alternativa (C). Confundindo múltiplo de 6 com a sexta parte, obtém-se a alternativa (E).






Comentários:

Uma volta do disco menor ( )2π rad equivale a 2

9

πrad

do maior, ou seja, a nona parte do menor disco. Assim 117°/ 9 = 13°, que se refere à alternativa (B).

Considerando o próprio divisor como sendo o ângulo, obtém-se a alternativa (A). Multiplicando o resultado da divisão por 2, obtém-se a alternativa (C). Dividindo 117° por 2 ao invés de 9, obtém-se a alternativa (D). Conside-rando o próprio valor, obtém-se a alternativa (E).





Anotações

CARTÃO-RESPOSTA

SIMULADO ENEM 2016 – 1.a SÉRIE – VOLUME 2

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

GABARITO

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A

B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B

C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C

D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D

E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E

24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A

B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B

C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C

D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D

E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E

Nome da Escola:

Aluno(a):

Série:

Turma:

Data:

Assinatura:

Simulado · Gabarito: Habilidade ENEM:Alternativa C Comentários: Para descobrir a altura máxima...

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