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ESTUDO DA RETA
“A projeção de uma reta sobre um plano é o lugar das projeções de
todos os seus pontos sobre este plano”.
(p)
(C) (D)
(B)
(A)
A
B
D
C
(a)
Baixando de todos os pontos da reta perpendiculares ao plano, os pés das perpendiculares dão lugar à projeção ortogonal da reta. Estas perpendiculares
formam um plano perpendicular ao plano p que é o plano projetante da reta. Os pés das perpendiculares estão na interseção dos dois planos e a projeção da reta (AB) é portanto esta interseção.
ESTUDO DA RETA
A=B
(B)
(A)
(p)
A projeção de uma reta sobre um plano só deixa de ser uma reta quando esta lhe for perpendicular. Neste caso a projeção da reta se reduz a um ponto porque as projetantes de todos os seus pontos se confundem com a própria reta
ESTUDO DA RETA
A
(B) (A)
(p) B
Quando uma reta for paralela ao plano, a sua projeção sobre este plano é igual e paralela à própria reta. No exemplo dado,
seja a reta (A)(B) paralela ao plano p cuja projeção neste plano é a reta AB. As duas retas (A)(B) e AB formam com as projetantes (A)A e (B)B um paralelograma no qual (A)(B) = AB. Diz-se então que a reta se projeta em VERDADEIRA GRANDEZA (V.G.).
ESTUDO DA RETA
(p) A
(B)
(A)
B
Quando uma reta for oblíqua a um plano, a sua projeção é menor que a reta do espaço. Isto pois a reta forma, com a sua projeção e as projetantes, um trapézio retângulo cuja base é menor que a reta do espaço.
ESTUDO DA RETA
(p)
(A)
(B)
(B4)
(B3)
(B2)
(B1)
A=B B1 B2 B3 B4
• O comprimento da projeção de uma reta sobre um plano varia com a inclinação desta em relação ao plano. • Uma reta pode passar por todos os valores, de zero (reta ortogonal ao plano) até o limite máximo igual ao comprimento verdadeiro da reta (reta paralela ao plano).
ESTUDO DA RETA
(p)
(A)
(B)
(B4)
(B3)
(B2)
(B1)
A=B B1 B2 B3 B4
• Seja a reta (A)(B) perpendicular
ao plano p. Suponha que a reta girando em torno de (A) ocupe as posições (A)(B1), ...(A)(B3), etc, cujas projeções no plano (p) são respectivamente AB, AB1, AB2, etc. e assim por diante.
• Verifica-se que a projeção inicial é o ponto A=B e que esta projeção torna-se AB1 quando o ponto B atinge a posição (B1) e vai crescendo gradativamente.
• Conclui-se que a projeção de uma reta sobre um plano é tanto maior quanto menor for sua inclinação sobre ele.
POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS
(M)
(s)
(r) (a)
Sejam as retas (r) e (s), o plano (a) e o ponto (M), comum à reta (s) e ao plano (a). Enquanto a reta (r) está situada no plano (a), a reta (s) tem neste plano apenas um ponto (M). Conclui-se que o ponto (M) e a reta (r) definem o plano (a) e a reta (s) a ele não pertence.
RETAS REVERSAS OU NÃO COPLANARES
(r) e (s) são retas reversas ou não coplanares, o que significa que não pertencem ou não estão posicionadas no mesmo plano.
POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS
RETAS COPLANARES
Sejam as retas (r) e (s), o plano (a) e o ponto (M), comum às retas (r) e (s) e ao plano (a). As retas (r) e (s) pertencem ao mesmo plano.
(r) e (s) são ditas “coplanares”, “pois definem um plano.
(a)
(M) (s)
(r)
(a)
(M) (s)
(r)
(r1)
(s1)
• Concorrentes: as retas (r) e (s) apresentam um ponto em comum (M). • Paralelas: as retas (r1) e (s1) são paralelas, não admitindo ponto comum.
POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS
RETAS COPLANARES
Duas retas são concorrentes quando o ponto de interseção das projeções verticais e o das projeções horizontais (M) estiver numa mesma linha de chamada
(a)
• RETAS COPLANARES CONCORRENTES
POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS
(M)
(r) (s)
r s M
M’
s’
s
M
r
r’
Duas retas são concorrentes quando duas projeções de mesmo nome se confundem e as outras duas se cortam.
• RETAS COPLANARES CONCORRENTES
POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS
(a)
(O)
(r) (s)
O
S’ O’
r’
O
r=s
Neste caso as 2 retas concorrentes admitem um mesmo plano de projetante e por isso suas 2 projeções de mesmo nome coincidem.
Duas retas são concorrentes quando uma das projeções de uma reta se reduz a um ponto sobre a projeção de mesmo nome da outra reta.
• RETAS COPLANARES CONCORRENTES
POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS
(a)
(r)
(u)
(M)
M=u r
u’
r’ M’
r
M=u
Duas retas são paralelas quando >> (I) as suas projeções de mesmo nome são paralelas.
• RETAS COPLANARES PARALELAS
POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS
r
r’
s
s’ (r)
r
(s)
s (a)
Duas retas são paralelas quando >> (II) duas projeções de mesmo nome se confundem e as outras duas são paralelas (é o caso de duas retas //s admitirem um mesmo plano projetante).
• RETAS COPLANARES PARALELAS
POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS
(r)
(a)
(s)
r=s
r’
s’
r=s
Duas retas são paralelas quando >> (III) as suas projeções sobre um mesmo plano se reduzem, cada uma, a um ponto.
• RETAS COPLANARES PARALELAS
POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS
(r)
(a)
(s) r’ s’
s r
É o caso de duas retas verticais ou de topo que obrigatoriamente são paralelas entre si.
ALGUMAS POSIÇÕES DA RETA
• RETA HORIZONTAL: reta paralela ao plano horizontal.
• RETA FRONTAL: reta paralela ao plano vertical.
• RETA FRONTO-HORIZONTAL: reta paralela aos dois planos.
• RETA VERTICAL: reta perpendicular ao plano horizontal.
• RETA DE TOPO: reta perpendicular ao plano vertical
Não mencionamos retas perpendiculares aos dois planos?
Por que?
POSIÇÕES DA RETA
Pois não há retas nesta posição!!! Toda a reta
perpendicular a um plano será
obrigatoriamente paralela ao outro, JÁ QUE
OS PLANOS DE PROJEÇÃO SÃO
PERPENDICULARES ENTRE SI.
DETERMINAÇÃO DE UMA RETA
A
B
A’
B’
De modo geral, a posição de uma reta no espaço fica bem determinada quando são conhecidas as projeções desta reta sobre os dois planos ortogonais de Monge.
Sejam os planos (p) e (p’) perpendiculares e AB e A’B’ respectivamente as projeções da reta (A)(B), cuja posição queremos determinar. Por AB faz-se passar um plano perpencicular ao
plano (p); o mesmo se aplica com A’B’ em relação a (p’). Cada um dos planos, que são os planos projetantes da reta nos respectivos planos de projeção, deve conter a reta do espaço, que será então a interseção destes 2 planos projetantes.
(A)
A
A’
B’ (p’)
(B)
B (p)
PERTINÊNCIA DE PONTO E RETA
(a) A
C
(A)
(C)
(B)
B
Sabe-se que três pontos em linha reta projetam-se segundo três pontos também em linha, EXCETO quando os pontos estão na mesma reta perpendicular ao plano.
Verifica-se então que se o o ponto (C) da figura ao lado pertence à reta (A)(B), a projeção C pertence à projeção AB.
REGRA GERAL...
r’
A’
A r
B’
B
t’
t
E
E’ F’ C’
C F
PERTINÊNCIA DE PONTO E RETA
REGRA GERAL: um ponto pertence a uma reta quando as projeções deste ponto estão sobre as projeções de mesmo nome da reta, ou seja, a projeção horizontal do ponto sobre a projeção horizontal da reta e a projeção vertical do ponto também sobre a projeção vertical da reta.
EXEMPLOS
POSIÇÕES DA RETA
Em relação aos planos de projeção, a reta pode ocupar várias posições, posições estas que determinam nomes e propriedades particulares.
Veremos aqui a maior parte delas....
No espaço Na épura
Características da reta Qualquer:
• O segmento AG é oblíquo em relação ao PV e ao PH. • Tanto as cotas como os afastamentos são diferentes ao longo do segmento. • Nenhuma de suas projeções está em V.G. • As projecções horizontais e as verticais são oblíquas em relação à LT.
RETA QUALQUER (AG)
PV
A2
C
B
F
G D
H A
E G1
G2
A1 PH
A2
G2
G1
A1
L T
No espaço Na épura
RETA FRONTO-HORIZONTAL (AB)
Características da reta Fronto-horizontal: • O segmento AB tem a mesma cota – distância do ponto ao PH - em todos os seus pontos, portanto é paralela ao PH. • Tem também, o mesmo afastamento – distância do ponto ao PV - em todos os seus pontos e portanto é paralela ao PV. • Sendo paralela ao PV e ao PH também o será à LT. • Por ser paralela ao PH, a sua projeção horizontal está em V.G. – Verdadeira Grandeza • Por ser paralela ao PV, a sua projeção vertical também estará em V.G.
PV
A2
C
B
F
G D
H A
E
B1
B2
A1 PH
A2 B2
B1 A1
L T
RETA HORIZONTAL (AC) No espaço Na épura
Características da reta Horizontal:
• O segmento AC tem mesma cota em todos os seus pontos, portanto é paralela ao P H. • Porém tem afastamentos diferentes nos pontos, é oblíquo ao PV. • Por ser paralela ao PH porém oblíquo ao PV, a sua projeção horizontal está em V.G. e é oblíqua à LT. • Sendo oblíquo ao PV e paralelo ao PH, a sua projeção vertical é paralela à LT.
PV
A2
C
B
F
G D
H A
E C1
C2
A1 PH
A2 C2
C1
A1
L T
RETA DE TOPO (AD) No espaço Na épura
Características da reta de Topo: • O segmento AD tem mesma cota em todos os seus pontos, portanto é paralela ao PH. • Porém tem afastamentos diferentes nos seus pontos e, é perpendicular ao PV. • Por ser paralela ao PH, a sua projeção horizontal está em V.G. e é perpendicular à LT. • Sendo perpendicular ao PV, a sua projeção vertical transforma-se num ponto.
PV
A2=D2 C
B
F
G D
H A
E
D1 A1
PH
A2=D2
D1
A1
L T
RETA DE VERTICAL (AE) No espaço Na épura
Características da reta Vertical: • O segmento AE tem o mesmo afastamento em todos os seus pontos, portanto é paralelo ao PV. • Porém tem cotas diferentes nos seus pontos e, é perpendicular ao PH. • Sendo paralelo ao PV, a sua projeção vertical estará em V.G. e é perpendicular à LT. • Por ser perpendicular ao PH, a sua projeção horizontal estará reduzida a um ponto.
PV
A2 C
B
F
G D
H A
E
A1=E1 PH
A2
A1=E1
L T
E2
E2
RETA FRONTAL (AF) No espaço Na épura
Características da reta Frontal:
• O segmento AF tem o mesmo afastamento em todos os seus pontos, portanto é paralelo ao PV. • Porém tem cotas diferentes nos seus pontos e, é oblíquo ao PH. • Sendo paralelo ao PV, a sua projeção vertical estará em V.G. e é oblíqua à LT. •Por ser oblíqua ao PH mas paralela ao PV, a sua projeção horizontal será paralela à LT.
PV
A2 C
B
F
G D
H A
E
A1 PH
A2
A1
L T
F2
F2
F1 F1
RETA DE PERFIL (AH) No espaço Na épura
Características da reta de Perfil • O segmento AH é oblíquo tanto ao PV, quanto ao PH; • As cota e os afastamentos são diferentes ao longo do segmento • As suas projeções horizontal e vertical não estão em V.G • As projeções horizontal e vertical são perpendiculares à LT. • No espaço, ela pode ser concorrente à LT.
PV
A2 C
B
F
G D
H A
E
H1 A1
PH
A2
H1
A1
L T
H2
H2
POSIÇÕES DA RETA
Uma reta de perfil só
pode ocupar 2 posições
em relação aos planos de
projeção:
(i) ou possui os 2 traços
distintos (H) e (V) e neste
caso passa por 3 diedros
ou,
(ii) possui os seus traços
coincidentes sobre a LT
e só atravessará os 2
diedros opostos.
(p’S)
(pA)
(s)
(pP)
(p’I)
(H)=(V) (H)
(r)
(V)
RETA DE PERFIL
TRAÇOS DE RETA DE PERFIL
POSIÇÕES DA RETA
A2
B2
H’=V
A1
B1
EM ÉPURA: - seja (A) (B) dada por suas projeções A2 e B2 e A1 e B1. V’ (=(V)) é o traço da reta sobre o plano vertical (p’). Suponha que o traço “H” da reta sobre o plano horizontal (p) e o traço “V” da reta sobre o plano vertical (p’) sejam desconhecidos. VAMOS DETERMINÁ-LOS!!. - Opera-se fazendo-se centro em H’=V e descrevendo os raios de círculo até situar estes pontos em A3 e B3 na linha de terra. OBS: na realidade não é necessário obrigatoriamente traçar os arcos de círculo. O transporte dos afastamentos dos pontos (A) e (B) para H’A3 e H’B3 levam ao mesmo resultado.
TRAÇOS DE RETA DE PERFIL
POSIÇÕES DA RETA
PASSO 1
A2
B2
H’=V
A3 B3
A1
B1
TRAÇOS DE RETA DE PERFIL
POSIÇÕES DA RETA
PASSO 2
EM ÉPURA: - teremos em (A1)(B1) a verdadeira grandeza da reta (A)(B) - através do prolongamento superior da reta (A1)(B1) podemos derivar o traço vertical (V)=V’ da reta (A)(B)
(A1)
(B1)
A2
B2
H’=V
A1 B1
A1
V’=(V)
B1
TRAÇOS DE RETA DE PERFIL
POSIÇÕES DA RETA
(A1)
(B1)
A’
B’
H’=V
A1 B1
A
V’=(V)
B
TRAÇOS DE RETA DE PERFIL
POSIÇÕES DA RETA
(A1)
(B1)
A2
B2
H’=V
A1 B1 H1
A1
(H)
V’=(V)
B1
PASSO 4
Pronto!
H e V’ estão determinados.
EM ÉPURA: - com o mesmo centro em H’=V e raio H’H1, descreve-se, em sentido contrário ao efetuado para o rebatimento (sentido dos ponteiros), o arco H1H, sendo (H) o traço horizontal.
POSIÇÕES DA RETA
Assim como analisado para o ponto, esta reta pode estar contida toda dentro de qualquer dos semiplanos ou em coincidência com a LT. No primeiro caso, a reta possuirá sempre uma das projeções sobre a LT. No segundo caso, ambas as projeções coincidem com aquela com a LT.
A B
(A)=A’
(B)=B’
Reta situada no (p’S)
A reta coincide com a sua própria projeção vertical. Na épura, a projeção vertical aparece acima da LT e a projeção horizontal sobre a LT.
(A)=A’
(p’S)
(B)=B’
A
B
(p’I)
(pA)
(pP)
POSIÇÕES DA RETA
Reta situada no (p’I)
(p’S)
(p’I)
(pA)
(pP)
(A) = A’
(B) = B’
A
B
A B
(A) = A’
(B) = B’
A reta coincide com a sua própria projeção vertical. Na épura, a projeção vertical aparece abaixo da LT e a projeção horizontal sobre a LT.
POSIÇÕES DA RETA
Reta situada no (pA )
(pP)
(p’S)
(pA)
(A) = A
(B) = B B’
A’
(p’I) A reta coincide com a sua própria projeção horizontal. Na épura, a projeção vertical da reta aparece sobre a LT, enquanto a sua a projeção horizontal posiciona-se abaixo da LT.
A’ B’
(A) = A
(B) = B
POSIÇÕES DA RETA
Reta situada no (pP )
A reta coincide com a sua própria
projeção horizontal. Na épura, a
projeção vertical da reta aparece sobre
a LT, enquanto a sua a projeção
horizontal posiciona-se acima da LT.
(pP)
(p’S)
(p’I)
B’
(A) = A
(B) = B (pA)
A’
B’ A’
(B) = B
(A) = A
POSIÇÕES DA RETA
Reta situada sobre a LINHA DE TERRA pp’
(B)=B=B’ (A)=A=A’
(p’I)
(pA) (A)=A=A’
(B)=B=B’
(pP)
(p’S)
POSIÇÕES DA RETA
Outros exemplos:
(pP)
(p’S)
(pA)
r’
(p’I)
(r)
Reta (r) de topo no (pA)
(p’S)
(u)
(p’I)
(pA) (pP)
u
POSIÇÕES DA RETA
Outros exemplos:
Reta (u) vertical no (p’S)
POSIÇÕES DA RETA
Outros exemplos:
Reta (m) frontohorizontal no (pP)
(pP)
(p’S)
(p’I)
B’ (pA)
A’
Exercícios
Exercícios
4. Dada a reta AB, onde (A) [0; -2; -1] e (B) [4; 2; 2,5],
determine: a) sua épura;
b) seus traços;
c) os diedros que ela atravessa;
d) a sua posição no espaço;
5. Um ponto (A) está situado no 1o bP , trace uma reta
BC, que contenha o ponto (A), sendo (A) [3; 1,5; ?],
(B) [-0,5; 3; 2] e (C) [5; ?; ?].
6. Traçar a épura de uma reta qualquer AB, com o ponto (A) em pA e (B) em p’s , passando por um
ponto (C) [2; 1; 1].
Exercícios
7. Traçar as épuras das seguintes retas:
a) de uma vertical distante 2 cm do plano p’ e com
um ponto em pA;
b) de uma fronto - horizontal, mais próxima do plano p’ do que do plano p.
8. Utilizando a mesma linha de terra, represente em
épura as seguintes retas no primeiro diedro:
a) de perfil, toda no bI e possuindo um ponto na
linha de terra; b) de topo, com ponto no p’s e outro no bI ;
Exercícios
c) qualquer, com um ponto no p’s, distante 1,5 cm
de p e outro no pA, distante 2 cm de p’s;
d) de uma horizontal de cota nula.
9. Traçar a épura de uma reta situada no primeiro
diedro, que atravesse os segundo e quarto diedros.
10. Por um ponto (A) [2; 2; 2], traçar uma reta AB,
paralela a uma reta dada CD, sendo (B) [0; ?; ?],
(C) [-1; -1; 3] e (D) [3; 0; -1].
