SMA 5878 Análise Funcional II - icmc.usp.br fileSMA 5878 An alise Funcional II ... (1) vale....

Teoremas de aproximacao de TrotterTeoremas Espectrais e Dicotomias

SMA 5878 Analise Funcional II

Alexandre Nolasco de Carvalho

Departamento de MatematicaInstituto de Ciencias Matematicas e de Computacao

Universidade de Sao Paulo

29 de Junho de 2017

Alexandre Nolasco de Carvalho ICMC - USP SMA 5878 Analise Funcional II


O teorema de Trotter-Kato

Teoremas de Aproximacao de Trotter

Nesta secao estudamos a dependencia contınua do semigruporelativamente ao seu gerador infinitesimal e a dependenciacontınua do gerador relativamente ao semigrupo.

Mostraremos que a convergencia (em sentido apropriado) de umasequencia de geradores infinitesimais e equivalente a convergenciados semigrupos correspondentes.

Comecamos com o seguinte lema




LemaSejam {eAt ; t ≥ 0} e {eBt ; t ≥ 0} semigrupos fortementecontınuos. Para todo x ∈ X e λ ∈ ρ(A) ∩ ρ(B) temos

(λ− B)−1[eAt − eBt ](λ− A)−1x

=

∫ t

0eB(t−s)[(λ− A)−1 − (λ− B)−1]eAsx ds

(1)




Prova: Para todo x ∈ X e λ ∈ ρ(A) ∩ ρ(B) a funcaos 7→ eB(t−s)(λ− B)−1eAs(λ− A)−1x e diferenciavel. Um calculosimples resulta

d

ds[eB(t−s)(λ− B)−1eAs(λ− A)−1]x

= eB(t−s)[(λ− B)−1A(λ− A)−1− B(λ− B)−1(λ− A)−1]eAsx

= eB(t−s)[(λ− A)−1 − (λ− B)−1]eAsx

onde usamos o fato que (λ− A)−1eAsx = eAs(λ− A)−1x .Integrando a ultima equacao de 0 a t segue que (1) vale.




No que se segue, denotaremos por G (M, ω) o conjunto dosoperadores lineares A : D(A) ⊂ X → X que sao geradoresinfinitesimais de semigrupos fortemente contınuos {eAt : t ≥ 0}tais que ‖eAt‖L(X )≤ Meωt para todo t ≥ 0.




TeoremaSe A,An ∈ G (M, ω), n ∈ N, entao as afirmativas a seguir saoequivalentes

(a) Para todo x ∈ X e λ com Reλ > ω,(λ− An)−1x

n→∞−→ (λ− A)−1x .

(b) Para todo x ∈ X e t ≥ 0, eAntxn→∞−→ eAtx .

Alem disso, a convergencia em (b) e uniforme para t em limitadosde R+.




Prova: Mostremos que (a)⇒ (b). Fixe T > 0, x ∈ X , t ∈ [0,T ]e considere

‖(eAnt − eAt)(λ− A)−1x‖ ≤ ‖eAnt((λ− A)−1 − (λ− An)−1)x‖+ ‖(λ− An)−1(eAnt − eAt)x‖+ ‖((λ− An)−1 − (λ− A)−1)eAtx‖= D1 + D2 + D3.

(2)

Como ‖eAt‖L(X ) ≤ MeωT para 0 ≤ t ≤ T segue de (a) queD1 → 0 quando n→∞ uniformemente em [0,T ].




Tambem, como t 7→ eAtx e contınua o conjunto{eAtx : 0 ≤ t ≤ T} e compacto em X e portanto D3 → 0 quandon→∞ uniformemente em [0,T ].

Finalmente, usando o Lema 1 com B = An, temos

‖(λ− An)−1[eAt − eAnt ](λ− A)−1x‖X

≤∫ t

0‖eAn(t−s)‖L(X )‖[(λ− A)−1 − (λ− An)−1]eAsx‖X ds

≤ MeωT∫ T

0‖[(λ− A)−1 − (λ− An)−1]eAsx‖X ds

(3)




O integrando no ultimo termo da expressao acima e limitado por2M2(Reλ− ω)−1‖x‖X e tende para zero quando n→∞. Logo

limn→∞

‖(λ− An)−1(eAnt − eAt)(λ− A)−1x‖X = 0,

com o limite sendo uniforme para t ∈ [0,T ]. Como para todox ∈ D(A) pode ser escrito como x = (λ− A)−1f para algumf ∈ X segue que para x ∈ D(A), D2 → 0 quando n→∞uniformemente em [0,T ].




De (2) segue que para x ∈ D(A2)

limn→∞

‖(eAnt − eAt)x‖X = 0 (4)

e o limite acima e uniforme em [0,T ]. Como ‖eAnt − eAt‖L(X ) euniformemente limitado em [0,T ] e como D(A2) e denso em Xsegue que (4) vale para todo x ∈ X uniformemente em [0,T ] e(a)⇒ (b).




Suponha agora que (b) vale. Entao, para Reλ > ω,

‖(λ−An)−1x− (λ−A)−1x‖X ≤∫ ∞

0e−Reλt‖(eAnt−eAt)x‖Xdt. (5)

O lado direito de (5) tende para zero quando n→∞ pelo Teoremada Convergencia Dominada de Lebesgue e portanto (b)⇒ (a).




Note que, se todos os operadores estao em G (M, ω), entao aconvergencia forte dos operadores resolvente para um valor de λ(Reλ > ω) implica a convergencia do resolvente para todos osvalores de λ (Reλ > ω).

Isto e evidente da prova de (b) onde somente a convergencia doresolvente para um valor de λ e usada.





Teorema (Trotter-Kato)

Se An ∈ G (M, ω) e existe um λ0 com Reλ0 > ω tal que

(a) para todo x ∈ X , (λ0 − An)−1x → R(λ0)x quando n→∞ e

(b) a imagem de R(λ0) e densa em X ,

entao existe um unico operador A ∈ G (M, ω) tal queR(λ0) = (λ0 − A)−1.




Prova: Assumiremos sem perda de generalidade que ω = 0 ecomecamos provando que (λ− An)−1x converge quando n→∞para todo λ com Reλ > 0 e x ∈ X . De fato, fixado um vetorarbitario x ∈ X , seja

S = {λ ∈ C : Reλ > 0, (λ− An)−1x converge quando n→∞}.




Mostremos que S e aberto. Para ver isto expandimos (λ− An)−1

em serie de Taylor em torno de um ponto µ de S . Entao

(λ− An)−1 =∞∑k=0

(µ− λ)k(µ− An)−k−1.

Como ‖(µ− An)−k‖L(X ) ≤ M(Reµ)−k a serie acima converge natopologia uniforme de operadores para todos os λ satisfazendo|µ− λ|(Reµ)−1 < 1.




A convergencia e uniforme em λ para |µ− λ|(Reµ)−1 ≤ ν < 1.Isto implica a convergencia de (λ− An)−1x quando n→∞ paratodo λ satisfazendo |µ− λ|(Reµ)−1 ≤ ν < 1, e o conjunto S eaberto. Seja λ um ponto de acumulacao de S tal que Reλ > 0.Dado ν ∈ (0, 1) existe um ponto µ ∈ S tal que|µ− λ|(Reµ)−1 ≤ ν < 1 e portanto, pela primeira parte λ ∈ S .Portanto S e relativamente fechado em Reλ > 0. Como porhipotese λ0 ∈ S concluımos que S = {λ : Reλ > 0}.




Para todo λ ∈ C com Reλ > 0 definimos R(λ) ∈ L(X ) por

R(λ)x = limn→∞

(λ− An)−1x .

Claramente,

R(λ)− R(µ) = (µ− λ)R(λ)R(µ), Reλ > 0 e Reµ > 0 (6)

e portanto R(λ) e um pseudo-resolvente sobre Reλ > 0. Comopara um pseudo resolvente a imagem de R(λ) e independente de λtemos por (b) que a imagem de R(λ) e densa em X . Tambem dadefinicao de R(λ) e claro que

‖R(λ)k‖L(X ) ≤ M(Reλ)−k , Reλ > 0, k = 0, 1, 2, · · · . (7)




Em particular para λ real, λ > 0

‖λR(λ)‖L(X ) ≤ M, λ > 0.

Segue de um teorema anterior que existe um unico operador linearfechado e densamente definido A para o qual R(λ) = (λ− A)−1.Finalmente, de (7) temos que A ∈ G (M, 0) e a prova estacompleta.




Uma consequencia direta dos Teoremas 1 e 2 e o seguinte teorema

TeoremaSeja An ∈ G (M,w), para todo n ∈ N. Se para algum λ0 ∈ C comReλ0 > w

(a) limn→∞(λ0 − An)−1x =: R(λ0)x para todo x ∈ X e

(b) a imagem de R(λ0) e densa em X ,

entao existe um unico operador A ∈ G (M, ω) tal queR(λ0) = (λ0 − A)−1. Alem disso, eAntx → eAtx para todo x ∈ X ,uniformemente para t em subconjuntos limitados de R+.




Uma consequencia um pouco diferente dos resultados anteriores eo seguinte teorema.

Teorema (Trotter)

Seja An ∈ G (M, ω) e suponha que

(a) exista um subconjunto denso D de X tal que {Anx}n∈N sejaconvergente para todo x ∈ D. Defina A : D ⊂ X → X por,Ax = limn→∞ Anx para todo x ∈ D,

(b) exista um λ0 com Reλ0 > ω para o qual (λ0 − A)D sejadensa em X .

Entao A e fechavel e o fecho A de A esta em G (M, ω). Alem disso

eAntx → eAtx para todo x ∈ X , uniformemente para t emlimitados de R+.




Prova: Se f ∈ D, x = (λ0 − A)f e xn = (λ0 − An)f , entaoAnf

n→∞−→ Af e xnn→∞−→ x . Ainda, como

‖(λ0 − An)−1‖L(X ) ≤ M(Reλ0 − ω)−1, segue que

limn→∞

(λ0 − An)−1x = limn→∞

((λ0 − An)−1(x − xn) + f ) = f ; (8)

isto e, (λ0 − An)−1 converge na imagem de λ0 − A. De (b) aimagem de λ0 − A e densa em X e, por hipotese,‖(λ0 − An)−1‖L(X ) e limitada, uniformemente para n ∈ N. Segueque (λ0 − An)−1x converge para todo x ∈ X .




Sejalimn→∞

(λ0 − An)−1x = R(λ0)x . (9)

De (8) segue que a imagem de R(λ0) contem D e portanto edensa em X . O Teorema 2 implica a existencia de um operadorA′ ∈ G (M, ω) satisfazendo R(λ0) = (λ0 − A′)−1. Para concluir aprova mostraremos que A = A′. Se x ∈ D, entao

limn→∞

(λ0 − An)−1(λ0 − A)x = (λ0 − A′)−1(λ0 − A)x . (10)




Por outro lado, como ‖(λ0−An)−1‖L(X ) e uniformemente limitada,

(λ0 − An)−1(λ0 − A)x = (λ0 − An)−1(λ0 − An)x

+ (λ0 − An)−1(An − A)x

= x + (λ0 − An)−1(An − A)xn→∞−→ x ,

ja que Anxn→∞−→ Ax para x ∈ D. Logo,

(λ0 − A′)−1(λ0 − A)x = x , x ∈ D. (11)




Mas (11) implica que A′x = Ax para x ∈ D e portanto A′ ⊃ A,Como A′ e fechado, A e fechavel. A seguir mostramos que A ⊃ A′.Seja f ′ = A′x ′. Como (λ0 − A)D e denso em X existe umasequencia xn ∈ D tal que

fn = (λ0 − A′)xn = (λ0 − A)xnn→∞−→ λ0x

′ − f ′ = (λ0 − A′)x ′.




Portanto,

xn = (λ0 − A′)−1fnn→∞−→ (λ0 − A′)−1(λ0 − A′)x ′ = x ′ e (12)

Axn = λ0xn − fnn→∞−→ f ′. (13)

De (12) e (13) segue que f ′ = Ax ′ e A ⊃ A′. Portanto A = A′. Orestante das afirmativas do teorema seguem diretamente doTeorema 3.



Decomposicao espectral de semigrupos


Quando estudamos a estabilidade de problemas onde semigruposestao envolvidos uma das questes fundamentais e determinar oespectro do semigrupo de operadores.

Em geral o semigrupo e desconhecido e somente o seu gerador econhecido.

Assim, se podemos calcular algumas das propriedades espectrais dogerador de um semigrupo gostarıamos de utilizar estaspropriedades para entender o espectro do semigrupo.




TeoremaSuponha que {T (t) : t ≥ 0} seja semigrupo fortemente contınuo eque para, algum t0 > 0, σ(T (t0)) ∩ {λ ∈ C : |λ| = eαt0} = ∅ paraalgum α ∈ R. Entao existe P ∈ L(X ), P2 = P, PT (t) = T (t)P∀t ≥ 0 tal que com X− = R(P) e X+ = N(P), as restricoesT (t)

∣∣X±

estao em L(X±),

σ(T (t)∣∣X−

) = σ(T (t)) ∩ {λ ∈ C : |λ| < eαt} e

σ(T (t)∣∣X+

) = σ(T (t)) ∩ {λ ∈ C : |λ| > eαt}.Existem constantes M ≥ 1, δ > 0 tais que

‖T (t)∣∣X−‖L(X−) ≤ Me(α−δ)t , ∀t ≥ 0;

{T (t)∣∣X+

; t ≥ 0} se estende a um grupo em L(X+) com

T (t)∣∣X+

= (T (−t)∣∣X+

)−1 para t < 0, e

‖T (t)∣∣X+‖L(X+) ≤ Me(α+δ)t , ∀t ≤ 0.




Observacao

A separacao acima do espaco X e um caso particular de dicotomiaexponencial. Um caso ainda mais especial, mas claramente util, e ocaso em que σ(T (t0)) ⊂ {λ ∈ C : |λ| < eαt0}; isto e, P = I eX+ = {0}; entao

‖T (t)‖L(X ) ≤ Me(α−δ)t , t ≥ 0.




Prova: Defina

P =1

2πi

∫C

(λ− T (t0))−1dλ ∈ L(X ).

Entao, do que vimos anteriormente, P2 = P e P e uma projecaocontınua.

E facil ver que T (t)P = PT (t) para todo t ≥ 0. Logo, seX− = R(P) e X+ = N(P) temos que T (t) leva X+ em X+ e X−em X−.




Note ainda, que σ(T (t0)∣∣X−

) e a parte de σ(T (t0)) dentro de C e

σ(T (t0)∣∣X+

) e a parte de σ(T (t0)) fora de C e que as partes de

(λ− T (t0))−1 em X+ e X− coincidem com ((λ− T (t0))∣∣X+

)−1 e

((λ− T (t0))∣∣X−

)−1 respectivamente.

Agora o raio espectral de T (t0)∣∣X−

e estritamente menor que eαt0 ,

digamosr(T (t0)

∣∣X−

) < e(α−δ)t0 ,

para algum δ > 0.




Se t > 0, para cada m ∈ N existem n = n(m) ∈ N e τ ∈ [0, t0) taisque mt = nt0 + τ . E claro que n(m)

m→∞−→ ∞ e

r(T (t)∣∣X−

) = limm→∞

‖T (mt)∣∣X−‖

1m

L(X−)

= limn→∞

‖T (nt0 + τ)∣∣X−‖

tnt0+τ

L(X−)

≤ limn→∞

‖T (nt0)∣∣X−‖

tnt0+τ

L(X−)‖T (τ)∣∣X−‖

tnt0+τ

L(X−)

= r(T (t0)∣∣X−

)t/t0 < e(α−δ)t




Tambem existe inteiro N ≥ 1 tal que Nt0 ≥ t, consequentemente

T (Nt0 − t)(T (t0)

∣∣X+

)−Ne a inversa de T (t)

∣∣X+

isto e, T (−t)∣∣X+

e um argumento comoaquele acima mostra que

r(T (t)∣∣X+

) < e(α+δ)t , t < 0.

E facil ver que (considerando as componentes nos dois espacos)

σ(T (t)) = σ(T (t)∣∣X+

) ∪ σ(T (t)∣∣X−

), t > 0,

e as estimativas acima sobre os raios espectrais provam asafirmativas sobre o espectro.




As estimativas das normas sao simples. Por exemplo, comor(T (t0)

∣∣X−

) < e(α−δ)t0 ,

‖T (nt0)∣∣X−‖1/nL(X−) < e(α−δ)t0

quando n e grande, logo

‖T (nt0)∣∣X−‖L(X−) ≤ M0e

n(α−δ)t0

para todo n ≥ 0 e algum M0 ≥ 1.




Logo, para n = 0, 1, 2, · · · e 0 ≤ τ < t0,

‖T (nt0 + τ)∣∣X−‖L(X−) ≤ M0e

n(α−δ)t0‖T (τ)∣∣X−‖L(X−)

≤ Me(α−δ)(nt0+τ)

onde M = M0 sup0≤τ≤t0

e−(α−δ)τ‖T (τ)∣∣X−‖L(X−).


SMA 5878 Análise Funcional II - icmc.usp.br fileSMA 5878 An alise Funcional II ... (1) vale....

Documents

Transcript of SMA 5878 Análise Funcional II - icmc.usp.br fileSMA 5878 An alise Funcional II ... (1) vale....