solucoeselon2

7/21/2019 solucoeselon2

http://slidepdf.com/reader/full/solucoeselon2 1/120

Soluc ˜ oes dos exerc´ ıcios de An ´ alise do livro de

Elon Lages Lima:Curso de an ´ alise vol.1.

Rodrigo Carlos Silva de Lima ‡

Universidade Federal Fluminense - UFF-RJ

[email protected]

‡

27 de agosto de 2015



1



Sum ´ ario

1 Solucoes-Curso de an ´ alise vol.1 6

1.1 Notac˜ oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Cap´ ıtulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Cap´ ıtulo 2-Conjuntos finitos, Enumer´ aveis e n ˜ ao-enumer´ aveis . . . . . 14

1.4 Cap´ ıtulo 3 -N ´ umeros reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.4.1 Quest˜ ao 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.4.2 Quest˜ ao 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.4.3 Quest˜ ao 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.4.4 Quest˜ ao 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.4.5 Quest˜ ao 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.4.6 Quest˜ ao 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.4.7 Quest˜ ao 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.4.8 Quest˜ ao 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.4.9 Quest˜ ao 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.4.10 Quest˜ ao 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.4.11 Quest˜ ao 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1.4.12 Quest˜ ao 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1.4.13 Quest˜ ao 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411.4.14 Quest˜ ao 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.4.15 Quest˜ ao 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.4.16 Quest˜ ao 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.4.17 Quest˜ ao 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.4.18 Quest˜ ao 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

1.4.19 Quest˜ ao 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2



SUM ´ ARIO 3

1.4.20 Quest˜ ao 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

1.4.21 Quest˜ ao 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

1.4.22 Quest˜ ao 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

1.4.23 Quest˜ ao 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

1.4.24 Quest˜ ao 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

1.4.25 Quest˜ ao 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

1.4.26 Quest˜ ao 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

1.4.27 Quest˜ ao 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

1.4.28 Quest˜ ao 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

1.4.29 Quest˜ ao 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

1.4.30 Quest˜ ao 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531.4.31 Quest˜ ao 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

1.4.32 Quest˜ ao 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

1.4.33 Quest˜ ao 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

1.4.34 Quest˜ ao 35 e 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

1.4.35 Quest˜ ao 37 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

1.4.36 Quest˜ ao 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

1.4.37 Quest˜ ao 39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

1.4.38 Quest˜ ao 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601.4.39 Quest˜ ao 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

1.4.40 Quest˜ ao 43 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

1.4.41 Quest˜ ao 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

1.4.42 Quest˜ ao 45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

1.4.43 Quest˜ ao 46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

1.4.44 Quest˜ ao 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

1.4.45 Quest˜ ao 48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

1.4.46 Quest˜ ao 49 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671.4.47 Quest˜ ao 50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

1.4.48 Quest˜ ao 53 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

1.5 Cap´ ıtulo 4-Sequencias e s´ eries de n ´ umeros reais . . . . . . . . . . . . . . 71

1.5.1 Quest˜ ao 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

1.5.2 Quest˜ ao 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

1.5.3 Quest˜ ao 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72



SUM ´ ARIO 4

1.5.4 Quest˜ ao 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

1.5.5 Quest˜ ao 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

1.5.6 Quest˜ ao 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

1.5.7 Quest˜ ao 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

1.5.8 Quest˜ ao 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

1.5.9 Quest˜ ao 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

1.5.10 Quest˜ ao 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

1.5.11 Quest˜ ao 11a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

1.5.12 Quest˜ ao 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

1.5.13 Quest˜ ao 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

1.5.14 Quest˜ ao 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 771.5.15 Quest˜ ao 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

1.5.16 Quest˜ ao 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

1.5.17 Quest˜ ao 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

1.5.18 Quest˜ ao 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

1.5.19 Quest˜ ao 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

1.5.20 Quest˜ ao 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

1.5.21 Quest˜ ao 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

1.5.22 Quest˜ ao 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 871.5.23 Quest˜ ao 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

1.5.24 Quest˜ ao 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

1.5.25 Quest˜ ao 43 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

1.5.26 Quest˜ ao 46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

1.5.27 Quest˜ ao 48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

1.6 Cap´ ıtulo 5-Topologia da reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

1.6.1 Quest˜ ao 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

1.6.2 Quest˜ ao 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 941.6.3 quest ˜ ao 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

1.6.4 Quest˜ ao 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

1.6.5 intA ∪ intB ⊂ int(A ∪ B). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

1.6.6 int(A ∩ B) = int(A) ∩ int(B). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

1.6.7 Quest˜ ao 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

1.6.8 Quest ˜ oes 7 e 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98



SUM ´ ARIO 5

1.6.9 Quest˜ ao 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

1.6.10 Quest˜ ao 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

1.6.11 Quest˜ ao 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

1.6.12 Quest˜ ao 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

1.6.13 Quest˜ ao 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

1.6.14 Quest˜ ao 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

1.6.15 Quest˜ ao 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

1.6.16 Quest˜ ao 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

1.6.17 Quest˜ ao 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

1.7 Cap´ ıtulo 8-Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

1.7.1 Quest˜ ao 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1041.7.2 Quest˜ ao 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

1.7.3 Quest˜ ao 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

1.7.4 Quest˜ ao 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

1.7.5 Quest˜ ao 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

1.8 Cap´ ıtulo 8-Sequencias e s´ eries de func ˜ oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111



Cap´ ıtulo 1

Solucoes-Curso de an ´ alise vol.1

Esse texto ainda n ˜ ao se encontra na sua vers ˜ ao final, sendo, por enquanto, cons-

titu´ ıdo apenas de anotac ˜ oes informais. Sugest˜ oes para melhoria do texto, correc ˜ oes

da parte matem´ atica ou gramatical eu agradeceria que fossem enviadas para meu

Email [email protected].

Se houver alguma soluc ˜ ao errada, se quiser contribuir com uma soluc ˜ ao diferente

ou ajudar com uma soluc ˜ ao que n˜ ao consta no texto, tamb´ em peco que ajude enviando

a soluc ˜ ao ou sugest ˜ ao para o email acima, colocarei no texto o nome da pessoa que

tenha ajudado com alguma soluc ˜ ao. Espero que esse texto possa ajudar alguns alunos

que estudam an´ alise pelo livro do Elon.

1.1 Notacoes

Denotamos (xn) uma sequencia (x1, x2, · · · ). Uma n upla (x1, x2, · · · , xn) podemos

denotar como (xk )n1 .

O conjunto de valores de aderencia de uma sequencia (xn) iremos denotar comoA[xn ].

Usaremos a abreviac ˜ ao PBO para princ´ ıpio da boa ordenac ˜ ao.

Denotamos f(x + 1) − f(x) = ∆f(x).

Usando a notac ˜ ao Qxn = xn+1

xn

.

Ac para o complementar do conjunto A.

6



CAP´ ITULO 1. SOLUC ˜ OES-CURSO DE AN ´ ALISE VOL.1 7

1.2 Cap´ ıtulo 1

Questao 1

Propriedade 1. Dados A e B, seja X com as propriedades

• A ⊂ X, B ⊂ X.

• Se A ⊂ Y e B ⊂ Y ent ˜ ao X ⊂ Y .

Nessas condic ˜ oes X = A ∪ B, a uni ˜ ao A ∪ B ´ e o menor conjunto com subcon-

juntos A e B.

Demonstracao.

A primeira condic ˜ ao implica que A ∪ B ⊂ X. A segunda condic ˜ ao com Y = A ∪ B

implica X ⊂ A ∪ B. Das duas segue que A ∪ B = X.

Questoes 2,3 e 4

Propriedade 2. A

∩B ´ e o menor subconjunto de A e B.

Seja X com

• X ⊂ A e X ⊂ B

• Se Y ⊂ A e Y ⊂ B ent ˜ ao Y ⊂ X.

Nessas condic ˜ oes X = A ∩ B.

Demonstracao. Da primeira condic ˜ ao temos que X ⊂ A ∩ B. Da segundatomando Y = A ∩ B, que satisfaz Y ⊂ A e Y ⊂ B, ent ˜ ao

A ∩ B ⊂ X

logo pelas duas inclus˜ oes A ∩ B = X.




Propriedade 3. Sejam A, B ⊂ E. ent˜ ao

A ∩ B = ∅ ⇔ A ⊂ Bc

.

Demonstracao. Temos que E = B ∪ Bc onde B ∩ Bc = ∅.⇒).

Suponha por absurdo que A ∩ B = ∅ e n ˜ ao vale A ⊂ Bc, ent ˜ ao existe a ∈ A tal que

a /∈ Bc e por isso a ∈ B, mas da´ ı A ∩ B = ∅ absurdo.⇐).

Suponha a ∈ A ∩ B ent˜ ao a ∈ A ⊂ Bc e a ∈ B o que ´ e absurdo pois B e Bc s ˜ ao

disjuntos.

Corol ´ ario 1. Vale que A ∪ B = E ⇔ Ac ⊂ B.

Pois

A ∪ B = E ⇔ Ac ∩ Bc = ∅ ⇔pelo resultado anterior

Bc ⊂ (Ac)c

A ⇔Ac ⊂ B.

Corol ´ ario 2. Sejam A, B ⊂ E. A ⊂ B ⇔ A ∩ Bc = ∅.

Sabemos que A ∩ W = ∅ ⇔ A ⊂ W c por resultado que j ´ a mostramos, tomando

W = Bc temos o resultado que desejamos.

Questao 5

Exemplo 1. De exemplo de conjuntos A, B, C tais que

(A ∪ B) ∩ C = A ∪ (B ∩ C).

Sejam A = B = ∅ e C tal que C ∩ A = ∅. Ent ˜ ao

(A ∪ B) ∩ C = A ∩ C = ∅ = A ∪ (B ∩ C) = A ∪ ∅ = A.




Questao 6

Propriedade 4. Se A, X ⊂ E tais que A ∩ X = ∅ e A ∪ X = E ent˜ ao X = Ac.

Demonstracao. Pelo que j ´ a mostramos A ∩X = ∅ ent ˜ ao X ⊂ Ac. De A ∪X = E

temos Ac ⊂ X, como temos Ac ⊂ X e X ⊂ Ac ent ˜ ao tem-se a igualdade X = Ac.

Questao 7

Propriedade 5. Se A ⊂ B ent ˜ ao B ∩ (A ∪ C) = (B ∩ C) ∪ A ∀ C.

Se existe C tal que B ∩ (A ∪ C) = (B ∩ C) ∪ A ent˜ ao A ⊂ B.

Demonstracao. Vamos mostrar a primeira afirmac ˜ ao. Seja x ∈ B ∩ (A ∪ C),

ent˜ ao x ∈ B e x ∈ A ∪ C. Se x ∈ A ent˜ ao x ∈ (B ∩ C) ∪ A e terminamos, se x /∈ A

ent˜ ao x ∈ B e x ∈ C e terminamos novamente pois ´ e elemento de B ∩ C.

Agora a outra inclus ˜ ao. Se x ∈ (B ∩ C) ∪ A ent˜ ao x ∈ A ou x ∈ B ∩ C. Se x ∈ A

terminamos. Se x /∈ A ent ˜ ao x ∈ B ∩ C e da´ ı pertence a B ∩ (A ∪ C) como quer´ ıamos

demonstrar.

Agora a segunda propriedade. Suponha por absurdo que A ⊂ B ent ˜ ao existe x ∈ A

tal que x /∈ B, tal x pertence a (

B ∩ C)∪ A por´ em n˜ ao pertence a B ∩

(A ∪ C

) portanton˜ ao temos a igualdade, absurdo!.

Questao 8

Propriedade 6. Vale que A = B ⇔ (A ∩ Bc) ∪ (Ac ∩ B) = ∅.

Demonstracao.

⇐). Se (A

∩Bc)

∪(Ac

∩B) =

∅ ent˜ ao A

∩Bc =

∅ e Ac

∩B =

∅, logo por resultados

que j ´ a provamos A ⊂ B da primeira relac ˜ ao e B ⊂ A da segunda, portanto A = B.⇒). Se A = B ent ˜ ao A ∩ Bc = Ac ∩ B = ∅.

Questao 9

Propriedade 7. Vale que (A \ B) ∪ (B \ A) = (A ∪ B) \ (A ∩ B).

Demonstracao. Vamos provar as duas inclus ˜ oes.




Seja x ∈ (A \ B) ∪ (B \ A). Tal uni ˜ ao ´ e disjunta, pois se houvesse um em ambos

conjuntos, ent ˜ ao pelo primeiro x ∈ A, x /∈ B pelo segundo x ∈ B, x /∈ A absurdo.

Se x ∈

A\B logo x ∈

A, x /∈

B portanto x ∈

A∪

B e x /∈

A∩

B logo x ∈

(A∪

B)\(A∩

B),

o caso de x ∈ (B\A) tamb´ em implica inclus˜ ao por simetria (trocar A por B n ˜ ao altera).

Se x ∈ A ∪ B \ A ∩ B ent˜ ao x ∈ A ou x ∈ B e x /∈ A ∩ B logo x /∈ A e B

simultaneamente, isso significa que x ∈ A ou x ∈ B exclusivamente logo x ∈ (A \ B) ∪(B \ A).

Questao 10

Propriedade 8. Se

(A ∪ B) \ (A ∩ B) = (A ∪ C) \ (A ∩ C)

ent˜ ao B = C, isto ´ e, vale a lei do corte para A∆B = A∆C.

Demonstracao. Suponha que B = C, suponha sem perda de generalidade que

x ∈ B, x /∈ C. Vamos analisar casos.

Se x /∈ A ent˜ ao x /∈ (A ∪ C) \ (A ∩ C) por´ em x ∈ (A ∪ B) \ (A ∩ B).

Se x ∈ A ent˜ ao x /∈ A ∪ B \ (A ∩ B) e x ∈ (A ∪ C) \ (A ∩ C), portanto n ˜ ao vale aigualdade dos conjuntos.

Logo devemos ter B = C.

Questao 11

Propriedade 9. Valem as seguintes propriedades do produto cartesiano .

1. (A∪

B)×

C = (A×

C)∪

(B×

C).

2. (A ∩ B) × C = (A × C) ∩ (B × C).

3. (A \ B) × C = (A × C) \ (B × C).

4. Se A ⊂ A e B ⊂ B ent ˜ ao A × B ⊂ A × B .

Demonstracao.




1. Seja (x, y) ∈ (A ∪ B) × C, temos que y ∈ C se x ∈ A ent˜ ao (x, y) ∈ (A × C), se

x ∈ B ent˜ ao (x, y) ∈ (B × C) ent ˜ ao vale (A ∪ B) × C ⊂ (A × C) ∪ (B × C). Agora

a outra inclus˜ ao.

Temos que (A × C) ⊂ (A ∪ B) × C pois um elemento do primeiro ´ e da forma

(x, y) com x ∈ A e y ∈ C que pertence ao segundo conjunto, o mesmo para

(B × C).

2. Tomamos (x, y) ∈ (A ∩ B) × C, ent ˜ ao x ∈ A e x ∈ B, y ∈ C, logo (x, y) ∈ A × C

e (B × C) provando a primeira inclus ˜ ao, agora a segunda.

(x, y) ∈ (A × C) ∩ (B × C) ent˜ ao x ∈ A e B, y ∈ C logo (x, y) ∈ (A ∩ B) × C.

3. Sendo (x, y) ∈ (A \ B) × C ent ˜ ao x ∈ A, x /∈ B e y ∈ C logo (x, y) ∈ (A × C) en˜ ao pertence a B × C pois para isso seria necess ´ ario x ∈ B o que n ˜ ao acontece.

Agora a outra inclus˜ ao, se (x, y) ∈ (A × C) \ (B × C) ent˜ ao x ∈ A e y /∈ C por ´ em

x n˜ ao pode pertencer a B pois est ˜ ao sendo retirados elementos de B × C ent ˜ ao

vale a outra inclus˜ ao.

4. Seja (x, y) ∈ A ×B ent ˜ ao pelas inclus˜ oes A ⊂ A e B ⊂ B temos x ∈ A e y ∈ B

portanto (x, y) ∈ A × B .

Questao 12

Propriedade 10. Seja f : A → B , ent ˜ ao valem

1.

f(X) \ f(Y ) ⊂ f(X \ Y )

X, Y subconjuntos de A.

2. Se f for injetiva ent ˜ ao f(X \ Y ) = f(X) \ f(Y ).

Demonstracao.

1. Seja z ∈ f(X) \ f(Y ) ent˜ ao z = f(x) e n ˜ ao existe y ∈ Y tal que z = f( y) ent ˜ ao

z ∈ f(X \ Y ) pois ´ e imagem de um elemento x ∈ X \ Y .




2. J ´ a sabemos que vale a inclus˜ ao f(X) \ f(Y ) ⊂ f(X \ Y ). Vamos provar agora a

outra inclus˜ ao f(X \ Y ) ⊂ f(X) \ f(Y ). Seja z ∈ f(X \ Y ) ent ˜ ao existe x ∈ X \ Y

portanto x ∈

X e x /∈

Y tal que f(x) = z . Se z ∈

f(Y ) ent˜ ao existiria y

∈ Y tal

que f( y) = z mas como f ´ e injetora x = y o que contraria x ∈ X \ Y , logo vale a

outra inclus˜ ao e o resultado fica provado .

Questao 13

Propriedade 11. f : A → B ´ e injetora ⇔ f(A \ X) = f(A) \ f(X) ∀ X ⊂ A.

Demonstracao.⇒). J ´ a fizemos na propriedade anterior.⇐). Suponha por absurdo que f n˜ ao ´ e injetiva ent˜ ao existem a = x tais que

f(x) = f(a), seja X = {x}, vale que f(a) ∈ f(A \ X) pois a ∈ A, a /∈ X = {x} por´ em

f(a) /∈ f(A) \ f(X) ent˜ ao n˜ ao vale a igualdade, o que ´ e absurdo.

Questao 14

Propriedade 12. Dada f : A

→B ent˜ ao

1. ∀ X ⊂ A temos X ⊂ f−1(f(X)).

2. f ´ e injetora ⇔ f−1(f(X)) = X ∀ X ⊂ A.

Demonstracao.

1. f−1(f(X)) ´ e o conjunto dos elementos x ∈ A tal que f(x) ∈ f(X) ent ˜ ao vale

claramente que X ⊂ f−1(f(X)), pois dado a ∈ X tem-se que f(a) ∈ f(X).

2. ⇒). Suponha f injetora, j ´ a sabemos que X ⊂ f−1(f(X)) pelo item anterior, vamos

provar agora que f−1(f(X)) ⊂ X suponha por absurdo que exista y /∈ X tal

que f( y) ∈ f(X), f( y) = f(x) para y /∈ X e x ∈ X, ent˜ ao f n˜ ao ´ e injetora o

que contraria a hip ´ otese ent˜ ao deve valer a inclus ˜ ao que quer´ ıamos mostrar e

portanto a igualdade dos conjuntos.




⇐). Suponha que f−1f(X) = X, ∀ X ⊂ A, vamos mostrar que f ´ e injetora.

Suponha que f n˜ ao ´ e injetora ent ˜ ao existem x = y tais que f(x) = f( y), sendo

X = {x}, Y = { y} da´ ı f−1f(X) ⊂

X pois Y ⊂

f−1f(X), Y ⊂

X. O que ´ e absurdo ent

˜ ao

f ´ e injetora.

Questao 15

Propriedade 13. Seja f : A → B, ent˜ ao vale que

1. Para todo Z ⊂ B, tem-se f(f−1(Z)) ⊂ Z.

2. f ´ e sobrejetiva ⇔, f(f−1

(Z)) = Z ∀ Z, Z ⊂ B.

Demonstracao.

1. f−1(Z) ´ e subconjunto de A que leva elemento em Z por f, ent˜ ao ´ e claro que a

imagem de tal conjunto por f est ´ a contida em Z.

2. ⇒ ) Suponha que f seja sobrejetiva. J ´ a sabemos que para qualquer func ˜ ao f

vale que f(f−1(Z)) ⊂ Z, em especial vale para f sobrejetiva, temos que provar

que se f ´ e sobrejetiva, vale a outra inclus ˜ ao Z ⊂ f(f−1

(Z)).

Seja z ∈ Z arbitr ´ ario ent˜ ao, existe x ∈ A tal que f(x) = z , pois f ´ e sobrejetora

, da´ ı x ∈ f−1(Z), pois tal ´ e o conjunto de A que leva elementos em Z, mas isso

significa tamb´ em que Z ⊂ f(f−1(Z)), pois um z ∈ Z arbitr ´ ario ´ e imagem de

elemento de f−1(Z), como quer´ ıamos demonstrar.

⇐). Suponha que vale f(f−1(Z)) = Z, ∀ Z ⊂ B, vamos mostrar que f : A → B

´ e sobrejetiva . Seja y ∈ B qualquer, tomamos Z = { y}, temos que f(f−1(Z)) =

Z , em especial Z

⊂ f(f−1(Z)), portanto f(f−1(Z)) n ˜ ao ´ e vazio e da´ ı f−1(Z)

tamb´ em n˜ ao ´ e vazio, sendo esse ´ ultimo o conjunto dos elementos x ∈ A tais

que f(x) = z , logo f ´ e sobrejetiva, pois z ∈ Z foi um elemento arbitr ´ ario tomado

no contradom´ ınio ´ e imagem de pelo menos um elemento de A.




1.3 Cap´ ıtulo 2-Conjuntos finitos, Enumer ´ aveis e nao-

enumer ´ aveis

Questao 1

Axioma 1. Existe uma func˜ ao s : N → N injetiva, chamada de func˜ ao sucessor, o

n ´ umero natural s(n) ´ e chamado sucessor de n.

Corol ´ ario 3. Como s ´ e uma func ˜ ao, ent ˜ ao o sucessor de um n ´ umero natural

´ e ´ unico, isto ´ e, um n ´ umero natural possui apenas um sucessor.

Axioma 2. Existe um ´ unico n ´ umero natural que n˜ ao ´ e sucessor de nenhum outro

natural, esse n ´ umero simbolizamos por 1.

Axioma 3 (Axioma da induc˜ ao). Dado um conjunto A ⊂ N, se 1 ∈ A e ∀ n ∈ A

tem-se s(n) ∈ A ent˜ ao A = N.

Propriedade 14. Supondo os axiomas 1 e 2 ent ˜ ao o axioma 3 ´ e equivalente

a proposic ˜ ao: Para todo subconjunto n ˜ ao vazio A ⊂ N tem-se A \ S(A) = ∅.

Demonstracao.⇒). Supondo o axioma (3) v ´ alido. Suponha por absurdo que exista A = ∅, A ⊂ N

tal que A \ S(A) = ∅ ent˜ ao A ⊂ S(A), isto ´ e, ∀ x ∈ A existe y ∈ A tal que x = s( y).

Sabemos que 1 /∈ A, pois se n˜ ao 1 ∈ A \ S(A). Se n /∈ A, vamos mostrar que s(n) /∈ A.

Se fosse s(n) ∈ A, chegar´ ıamos em uma contradic ˜ ao com A ⊂ S(A), pois deveriahaver y ∈ A tal que s( y) = s(n) e por injetividade seguiria y = n ∈ A, o que contraria

a hip ´ otese, logo S(n) /∈ A, A ´ e vazio pois n ˜ ao cont´ em nenhum n ´ umero natural, mas

consideramos que A n ˜ ao ´ e vazio como hip´ otese, absurdo!.⇐).

Pelo axioma 2 temos que 1 ´ e o ´ unico elemento de N\S(N), pelo axioma 1 temos que

S(N) ⊂ N da´ ı temos N = {1} ∪ S(N) o que implica 1 ∈ A, ∀ n ∈ N s(n) ∈ A

⇔A = N.




Questao 2

Propriedade 15. Dados m e n naturais ent ˜ ao existe x natural tal que

x.n > m.

Demonstracao. Vale n ≥ 1 da´ ı multiplicando por m + 1 segue (m + 1)n ≥m + 1 > m logo (m + 1)n > n.

Questao 3

Propriedade 16. Seja n0

∈ N. Se A

⊂ N tal que n0

∈ A e n

∈ A ⇒ n + 1

∈ A

ent˜ ao todo x ∈ N com x ≥ a pertence a A.

Demonstracao. Se a = 1 nada temos a fazer pois A = N. Se a > 1 ent ˜ ao

a = b + 1 ´ e sucessor de b. Vamos mostrar que b + n ∈ A ∀ n ∈ N. Sabemos que

b + 1 ∈ A. Supondo que b + n ∈ A ent˜ ao b + (n + 1) ∈ A da´ ı por induc ˜ ao segue que

b + n ∈ A ∀ n ∈ N. Lembrando que x > b significa que existe p natural tal que

b + p = x, como b + p ∈ A ∀ p ∈ N ent ˜ ao x ∈ A. Outro fato que usamos ´ e que se

x > b ent˜ ao x ≥ b + 1 = a pois n˜ ao existe natural entre b e b + 1, b ∈ N.

Questao 5

Definicao 1 (Antecessor). m ∈ N ´ e antecessor de n ∈ N quando m < n mas

n˜ ao existe c ∈ N tal que m < c < n.

Propriedade 17. 1 n ˜ ao possui antecessor e qualquer outro n ´ umero natural

possui antecessor.

Demonstracao. N˜ ao vale m < 1 para algum natural m , logo 1 n ˜ ao possui

antecessor. Agora para todo outro n ∈ N vale n > 1 logo existe p ∈ N tal que

p + 1 = n, vamos mostrar que p = m ´ e o antecessor de n. Vale p < p + 1, logo

a primeira condic ˜ ao ´ e satisfeita, a segunda condic ˜ ao tamb´ em ´ e satisfeita pois n ˜ ao

existe c ∈ N tal que p < c < p + 1. Vamos mostrar agora que existe um ´ unico

antecessor. Suponha existencia de dois antecessores m e m distintos ent˜ ao existe




um deles que ´ e o maior, digamos m , da´ ı m < m e m < n por transitividade segue

m < m < n o que contraria a definic ˜ ao de antecessor, ent ˜ ao existe um ´ unico.

Questao 6

Questao 6 a)

Propriedade 18. Mostrar que

nk =1

k = n(n + 1)

2 .

Demonstracao. Por induc˜ ao sobre n. Para n = 1 a igualdade vale pois1

k =1

k = 1 = 1(2)

2 .

Supondo a validade para nn

k =1

k = n(n + 1)

2

vamos provar para n + 1n+1

k =1

k = (n + 1)(n + 2)

2 .

Por definic ˜ ao de somat ´ orio temos

n+1k =1

k = (n + 1) +

nk =1

k = (n + 1) + n(n + 1)

2 = (n + 1)(1 +

n

2) =

(n + 1)(n + 2)

2

onde usamos a hip ´ otese da induc˜ ao .

Questao 6 b)

Propriedade 19. Mostrar que

nk =1

(2k − 1) = n2.

Demonstracao. Por induc˜ ao sobre n. Para n = 1 temos

1k =1

(2k − 1) = 2.1 − 1 = 1 = 12.




supondo a validade para n,n

k =1

(2k − 1) = n2

vamos provar para n + 1n+1k =1

(2k − 1) = (n + 1)2.

Usando a definic ˜ ao de somat ´ orio e hip ´ otese da induc ˜ ao tem-se

n+1k =1

(2k − 1) =

nk =1

(2k − 1) + 2n + 1 = n2 + 2n + 1 = (n + 1)2 .

Questao 6 c)

Exemplo 2. Mostrar por induc ˜ ao que

(a − 1)

nk =0

ak = an+1 − 1.

Para n = 1 temos

(a − 1)

1

k =0

ak = (a − 1)(a + 1) = a2 − 1.

Supondo que (a − 1)

nk =0

ak = an+1 − 1 vamos provar que (a − 1)

n+1k =0

ak = an+2 − 1.

Por definic ˜ ao de somat ´ orio e pela hip ´ otese da induc ˜ ao temos

(a − 1)

n+1k =0

ak = (a − 1)an+1 + (a − 1)

nk =0

ak = an+2 − an+1 + an+1 − 1 = an+2 − 1 .

Questao 6 d)

Exemplo 3. Mostre que se n ≥ 4 ent˜ ao n! > 2n.

Para n = 4 vale 4! = 24 > 24 = 16. Suponha validade para n , n! > 2n, vamos

provar para n + 1, (n + 1)! > 2n+1. Multiplicando n! > 2n por n + 1 de ambos lados




segue que

(n + 1)! > (n + 1)

>2

2n > 2.2n = 2n+1 .

Questao 7

Propriedade 20 (Unicidade da fatorac ˜ ao em primos). Seja n ∈ N, n > 1. Se

n =

m k =1

pk =

sk =1

qk onde cada pk e qk s ˜ ao primos, n ˜ ao necessariamente distintos

ent˜ ao m = s e pk = qk ∀ k , ap´ os, se necess´ ario, uma renomeac ˜ ao dos termos.

Demonstracao. Vamos provar usando o segundo princ´ ıpio da induc ˜ ao, para

n = 2 a propriedade vale. Suponha a validade para todo t < n vamos provar que

nessas condic ˜ oes vale para n.

n = pm

m −1k =1

pk = qs

s−1k =1

qk

pm divide o produtos

k =1

qk ent˜ ao deve dividir um dos fatores, por exemplo qs (se

n˜ ao, renomeamos os termos), como pm |qs ent˜ ao pm = qs

pm

m −1

k =1

pk = pm

s−1

k =1

qk ⇒m −1

k =1

pk =

s−1

k =1

qk = n0 < n

como n0 ´ e menor que n, usamos a hip ´ otese da induc ˜ ao, que implica m − 1 = s − 1,

qk = pk de k = 1 at´ e m − 1, da´ ı segue que m = n e qk = pk de k = 1 at´ e m.

questao 8

Propriedade 21. Sejam A e B conjuntos com n elementos, ent ˜ ao o n ´ umero

de bĳec ˜ oes de f : A → B ´ e n!

Demonstracao.

Por induc ˜ ao sobre n, para n = 1, tem-se uma func ˜ ao A = {a1} e B = {b1}, f : A → B

tal que f(a1) = b1. Supondo a validade para conjuntos com n elementos, vamos

provar que vale para conjuntos com n + 1 elementos. Tomando A = {ak , k ∈ In+1}

e B = {bk , ∈ In + 1}, dado s ∈ In+1, fixamos as bĳec ˜ oes f com f(a1) = bs da´ ı a

quantidade dessas func ˜ oes ´ e dada pela quantidade de bĳec ˜ oes de A \ {a1} em B \ {bs},

que ´ e n! para cada s variando de 1 at ´ e n + 1, o total ent ˜ ao ´ e (n + 1)n! = (n + 1)!.




Corol´ ario 4. O mesmo vale se A = B.

Questao 9

Questao a)

Propriedade 22. Se A e B s ˜ ao finitos e disjuntos com |A| = n e |B| = m

ent˜ ao A ∪ B ´ e finito com |A ∪ B| = m + n.

Demonstracao. Existem bĳec ˜ oes f : In

→ A, g : Im

→ B. Definimos h :

Im +n → A ∪ B como h (x) = f(x) se 1 ≤ x ≤ n e h (x) = g(x − n) se 1 + n ≤ x ≤ m + n

(1 ≤ x − n ≤ m ), como h ´ e bĳec ˜ ao segue o resultado.

Propriedade 23. Se A e B s ˜ ao conjuntos finitos n˜ ao necessariamente dis-

juntos vale a relac ˜ ao

|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.

Demonstracao. Escrevemos A como a uni ˜ ao disjunta A = (A \ B) ∪ (A ∩ B),

da´ ı |A| − |A

∩B| = |A \ B| agora escrevemos A

∪B = (A \ B)

∪B, uni ˜ ao disjunta logo

|A ∪ B| = |A \ B| + |B|

usando a primeira express ˜ ao segue que

|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.

Propriedade 24. Se A e B s ˜ ao conjuntos finitos n˜ ao necessariamente dis-

juntos vale a relac ˜ ao

|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.

Demonstracao. Escrevemos A como a uni ˜ ao disjunta A = (A \ B) ∪ (A ∩ B),

da´ ı |A| − |A ∩ B| = |A \ B| agora escrevemos A ∪ B = (A \ B) ∪ B, uni ˜ ao disjunta logo

|A ∪ B| = |A \ B| + |B|

usando a primeira express ˜ ao segue que

|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.




Questao b)

Corol´ ario 5. Podemos deduzir a identidade para tres conjuntos

|A ∪ B ∪ C|,

tomamos B = B ∪ C e aplicamos o resultado para dois conjuntos

|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B ∪ C| − |A ∩ [B ∪ C ]| =

= |A|+|B|+|C|−|B∩C|−|[A∩B ]∪[A∩C ]| = |A|+|B|+|C|−|B∩C|−|A∩B|−|A∩C|+|A∩B∩C|

logo

|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |B ∩ C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|

Questao c)

Propriedade 25 (Princ´ ıpio da inclus ˜ ao- exclus˜ ao). Sejam n conjuntos finitos

(Ak )n1 , seja I o multiconjunto das combinac ˜ oes das intersec ˜ oes desses n conjuntos,

ent˜ ao

|

nk =1

Ak | =K∈I

|K|(−1)nk

onde onde nk ´ e o n ´ umero de intersec ˜ oes em K.

Questao 10

Propriedade 26. Seja A finito. Existe uma bĳec ˜ ao g : In

→A para algum n,

pois A ´ e finito, a func ˜ ao f : A → A ´ e injetiva ou sobrejetiva ⇔ g−1 ◦ f ◦ g : In → In

´ e injetiva ou sobrejetiva, respectivamente.

Demonstracao.⇒). Se f ´ e injetiva ou sobrejetiva ent ˜ ao g−1◦f◦g : In → In ´ e injetiva ou sobrejetiva,

por ser composic ˜ ao de func ˜ oes com essas propriedades.

⇐). Seja g−1 ◦f◦g : In

→In sobrejetiva vamos mostrar que f tamb´ em ´ e sobrejetiva.

Dado y ∈ A vamos mostrar que existe x ∈ A tal que f(x) = y. Como g : In → A ´ e




sobrejetiva ent˜ ao existe x1 ∈ In tal que g(x1) = y e pelo fato de g−1◦f◦g ser sobrejetiva

ent˜ ao existe x2 ∈ In tal que g−1(f(g(x2))) = x1 = g−1( y) como g−1´ e injetiva segue que

f(g(x2)) = y logo f

´ e sobrejetiva.

Se g−1 ◦ f ◦ g ´ e injetiva ent ˜ ao f ´ e injetiva. Sejam x, y quaisquer em A, existem

x1, x2 ∈ In tais que g(x1) = x, g(x2) = y. Vamos mostrar que se f(x) = f( y) ent ˜ ao

x = y.

Se f(x) = f( y) ent ˜ ao f(g(x1)) = f(g(x2)) e g−1(f(g(x1))) = g−1(f(g(x2))) com g−1◦f◦g

segue que x1 = x2 que implica g(x1) = g(x2), isto ´ e, x = y.

Propriedade 27. Seja A um conjunto finito. f : A

→ A ´ e injetiva

⇔ ´ e

sobrejetiva.

Demonstracao.⇒).

Consideramos o caso f : In → In, se f for injetiva ent˜ ao f : In → f(In) ´ e uma

bĳec ˜ ao com f(In) ⊂ In. fn n ˜ ao pode ser parte pr ´ opria de In pois se n ˜ ao f−1(In) → In

seria bĳec ˜ ao de um conjunto com sua parte pr ´ opria, logo f(In) = In e f : In → In ´ e

bĳec ˜ ao.

⇐). Se f for sobrejetiva ent ˜ ao para cada y ∈ In (imagem) podemos escolher x ∈ In

(dom´ ınio) tal que f(x) = y e da´ ı definir g : In → In tal que g( y) = x, g ´ e injetiva, pois

f ´ e func ˜ ao, logo pelo resultado j ´ a mostrado g ´ e bĳetora, implicando que f tamb´ em ´ e.

Questao 11

Propriedade 28 (Princ´ ıpio das gavetas de Dirichlet- Ou princ´ ıpio da casas

dos pombos.). Se temos m conjuntos (Ak )m 1 e n elementos n > m , com

n

k =1

|Ak | = n

ent˜ ao existe At em (Ak )m 1 tal que |At| > 1.

Esse resultado diz que se temos n elementos e m conjuntos tais que n > m

ent˜ ao deve haver um conjunto com pelo menos 2 elementos.

Demonstracao. Supondo que |Ak | ≤ 1 ∀ k ent ˜ ao aplicando a soman

k =1

em




ambos lados dessa desigualdade temos

n =

n

k =1

|Ak |

≤ m ⇒ n

≤ m

o que contraria a hip ´ otese de n > m ,portanto deve valer |At| > 1 para algum t ∈ In.

Questao 12

Propriedade 29. Seja A um conjunto com n elementos, ent ˜ ao o n ´ umero de

func ˜ oes injetivas f : I p

→A ´ e

p−1k =0

(n − k ).

Demonstracao. Se p > n o resultado vale pois n ˜ ao existe func ˜ ao injetiva de

f : I p → A, pois se n ˜ ao f : I p → f(A) seria bĳec ˜ ao e f(A) ⊂ A da´ ı A iria possuir um

subconjunto com p elementos que ´ e maior que o n ´ umero de elementos de A, o que ´ e

absurdo. Iremos provar o resultado para outros valores de p ≤ n. Para p = 1 temos

n func ˜ oes, que s ˜ ao

f1(1) = a1, f2(1) = a2, · · · , fn(1) = an.

Suponha que para I p

temos p−1

k =0

(n − k ) func˜ oes que s

˜ ao injetivas, vamos mostrar

que para I p+1 temos p

k =0

(n − k ) func ˜ oes. Seja o conjunto das func ˜ oes f : I p+1 → A

injetivas, podemos pensar o conjunto das f restritas a I p tendo p−1k =0

(n−k ) func ˜ oes, por

hip´ otese da induc ˜ ao , agora podemos definir essas func ˜ oes no ponto p +1, onde temos

n − p escolhas, para cada uma dessas escolhas temos p−1k =0

(n − k ) func ˜ oes, portanto

temos um total de (n − p)

p−1k =0

(n − k ) =

pk =0

(n − k ) func ˜ oes.

Questao 13

Propriedade 30. Se X possui n elementos ent ˜ ao tal conjunto possui

n

p

subconjuntos com p elementos.




Demonstracao. Vamos provar por induc˜ ao sobre n e p livre. Para n = 0

ele s ´ o possui um subconjunto com 0 elementos

00

= 1 e para outros valores de

p > 0 ∈ N vale 0 p = 0.

Suponha que para um conjunto qualquer A com n elementos, temos

n

p

sub-

conjuntos, agora podemos obter um conjunto com n + 1 elementos, adicionando um

novo elemento {an+1}, continuamos a contar os

n

p

subconjuntos que contamos com

elementos de A e podemos formar mais subconjuntos com p elementos adicionando

o ponto {an+1} aos conjuntos com p − 1 elementos, que por hip ´ otese da induc ˜ ao temos

n

p − 1, ent ˜ ao temos no total n

p − 1 + n

p = n + 1

p pela identidade de Stifel,

como quer´ ıamos demonstrar.

Questao 14

Propriedade 31. Seja |A| = n ent˜ ao |P(A)| = 2n.

Demonstracao. Por induc ˜ ao sobre n, se n = 1, ent ˜ ao A = {a1} possui dois

subconjuntos que s˜ ao ∅ e {α 1}. Suponha que qualquer conjunto qualquer B com n

elementos tenha |P(B)| = 2n

, vamos provar que um conjunto C com n + 1 elementosimplica |P(C)| = 2n+1. Tomamos um elemento a ∈ C, C \ {a} possui 2n subconjuntos

(por hip ´ otese da induc ˜ ao), sk de k = 1 at´ e k = 2n, que tamb´ em s ˜ ao subconjuntos de

C, por´ em podemos formar mais 2n subconjuntos de C com a uni ˜ ao do elemento {a},

logo no total temos 2n + 2n = 2n+1 subconjuntos de C e mais nenhum subconjunto,

pois n˜ ao temos nenhum outro elemento para unir aos subconjuntos dados.

Questao 15

Exemplo 4. Existe g : N → N sobrejetiva tal que g−1(n) ´ e infinito para cada

n ∈ N.

Seja f : N → N definida como f(n) = k se n ´ e da forma n = pα kk onde pk

´ e o k -´ esimo n ´ umero primo e f(n) = n caso contr ´ ario, f ´ e sobrejetiva e existem

infinitos n ∈ N tais que f(n) = k para cada k natural.




Questao 16

Propriedade 32. Pn = {A ⊂ N | |A| = n} ´ e enumer´ avel.

Demonstracao. Definimos a func ˜ ao f : Pn → Nn da seguinte maneira: Dado

A = {x1 < x2 < · · · < xn}, f(A) = (x1, · · · , xn). Tal func ˜ ao ´ e injetiva pois dados

A = {xk , k ∈ In} e B = { yk , k ∈ In} n˜ ao pode valer xk = yk para todo k , pois se n ˜ ao

os conjuntos seriam iguais.

Se trocamos N por outro conjunto X enumer´ avel o resultado tamb´ em vale, basta

definir uma func˜ ao f : Pn → Xn e g : X → N injetiva, enumeramos um subconjunto

finito qualquer com n elementos A ⊂ X como A = {x1, · · · , xn} onde g(x1) < g(x2) <

· · · < g(xn) e definimos f(A) = (x1, · · · , xn).

Corol´ ario 6. o conjunto Pf dos subconjuntos finitos de N ´ e enumer´ avel pois

Pf =

∞k =1

Pk

´ e uni ˜ ao enumer´ avel de conjuntos enumer ´ aveis. O mesmo vale trocando N por um

conjunto enumer´ avel qualquer A.

Questao 17

Propriedade 33. X ´ e finito ⇔ existe f : X → X que s ´ o admite subconjuntos

est´ aveis ∅ e X.

Demonstracao. Iremos considerar sempre conjuntos n˜ ao vazios.

⇒). Suponha X finito, ent ˜ ao X = {a1, · · · , an}, definimos f : X

→X como f(a1) = a2,

f(a2) = a3, em geral f(ak ) = ak +1 se k < n e f(an) = a1. f n ˜ ao possui subconjuntoest ´ avel diferente de X, pois, suponha um conjunto Y = X est ´ avel, a1 n ˜ ao pode perten-

cer ao conjunto, pois se n˜ ao f(a1) = a2 ∈ Y , f(a2) = a3 ∈ Y at´ e f(an−1) = an ∈ Y ent ˜ ao

ter´ ıamos Y = X o que ´ e absurdo, da mesma maneira se at ∈ Y ent˜ ao f(at) = at+1 ∈ Y ,

f(at+1) = at+2 ∈ Y , em menos de n aplicac ˜ oes da func˜ ao teremos f(an−1) = an ∈ Y

e da´ ı f(an) = a1 ∈ Y o que implica Y = X, logo n ˜ ao podemos ter outro subconjunto

est ´ avel al´ em de X com a func˜ ao f definida acima.

⇐).




Suponha X infinito, vamos mostrar que qualquer func ˜ ao f : X → X possui subcon-

junto est ´ avel Y = X.

Tomamos a1

∈ X, consideramos f(a1) := a2 se a1 = a2 paramos e temos o conjunto

Y = {a1} = X pois X ´ e infinito, se n˜ ao continuamos a aplica a func ˜ ao f(a2) := a3, se

a3 = a2 ou a1 ent ˜ ao paramos e tomamos Y = {a1, a2}, continuamos o processo recur-

sivamente f(ak ) : ak +1 se ak +1 ´ e igual a algum dos elementos de {a1, · · · , ak }, ent ˜ ao

paramos o processo e tomamos Y = {a1, · · · , ak }, se para todo k ∈ N os elementos

ak +1 = f(ak ) n ˜ ao pertencem ao conjunto {a1, · · · , ak }, ent ˜ ao temos um conjunto

= {a2 = f(a1), f(a2) = a3, f(a3) = a4, · · · , f(an) = an+1, · · · }

tomamos tal conjunto como Y e temos

f(Y ) = {f(a2) = a3, f(a3) = a4, · · · , } ⊂ Y

podemos observar que Y = X pois a1 /∈ Y. Assim conclu´ ımos nossa demonstrac ˜ ao.

Questao 18

Propriedade 34. Seja f : A

→ A injetiva, tal que f(A) = A, tomando

x ∈ A \ f(A) ent ˜ ao os elementos fk (x) de O(x) = {fk (x), k ∈ N} s ˜ ao todos distintos.

Estamos denotando fk (x) pela k -´ esima composic ˜ ao de f com ela mesma.

Demonstracao. Para todo t vale que ft´ e injetiva, pois a composic ˜ ao de

func ˜ oes injetivas ´ e injetiva.

Se existisse k = t tal que fk (x) = ft(x), t > k , ent˜ ao existe p > 0 ∈ N tal que

t = k + p

fk + p(x) = fk (f p(x)) = fk (x)

por injetividade de fk segue que f p(x) = x, logo x ∈ f(A) o que contraria a hip ´ otese

de x ∈ A \ f(A). Portanto os elementos s ˜ ao distintos.

Questao 19

Propriedade 35. Se A ´ e infinito ent ˜ ao existe func ˜ ao injetiva f : N → A.




Demonstracao. Podemos definir f indutivamente. Tomamos inicialmente

x1 ∈ A e definimos f(1) = x1 e para n ∈ N escolhemos xn+1 ∈ A \

n

k =1

{xk } definido

f(n + 1) = xn+1. A \n

k =1

{xk } nunca ´ e vazio pois A ´ e infinito. f ´ e injetora pois tomando

m > n tem-se f(n) ∈m −1k =1

{xk } e f(m ) ∈ A \

m −1k =1

{xk }.

Corol´ ario 7. Existe func ˜ ao injetiva de um conjunto finito B num conjunto

infinito A, usamos o mesmo processo do exemplo anterior, mas o processo para

depois de definir a func˜ ao |B| pontos.

Propriedade 36. Sendo A infinito e B finito existe func ˜ ao sobrejetiva g :

A → B.

Demonstracao. Existe func ˜ ao injetiva f : B → A, logo f : B → f(B) ⊂ A ´ e

bĳec ˜ ao, possuindo inversa g−1 : f(B)

→ B. Considere a func ˜ ao f : A

→ B definida

como f(x) = g−1(x) se x

∈ f(B) e f(x) = x1

∈ B se x /

∈ f(B), f ´ e func ˜ ao sobrejetiva.

Questao 20

Questao 20-a)

Propriedade 37. O produto cartesiano finito de conjuntos enumer ´ aveis ´ e

enumer´ avel.

Demonstracao. Seja

sk =1

Ak o produto cartesiano dos conjuntos Ak enu-mer´ aveis, ent ˜ ao para cada k existe uma func˜ ao fk : N → Ak que ´ e sobrejetiva, ent ˜ ao

definimos a func ˜ ao f : Ns → sk =1

Ak dada por

f(xk )s1 = (fk (xk ))s

1

,isto ´ e,

f(x1, · · · , xs) = (f1(x1), · · · , fs(xs))




como tal func˜ ao ´ e sobrejetiva e Ns´ e enumer´ avel segue que

sk =1

Ak ´ e enumer´ avel.

Corol ´ ario 8. Se X ´ e finito e Y ´ e enumer´ avel, ent ˜ ao F(X, Y ) ´ e enumer´ avel. Basta

considerar o caso de X = In, ent ˜ ao F(X, Y ) =

nk =1

Y = Y n, que ´ e enumer´ avel.

Questao 20-b)

Propriedade 38. Para cada f : N

→ N seja Af = {n ∈ N | f(n) = 1}. O

conjunto M das func ˜ oes, f : N → N tais que Af ´ e finito ´ e um conjunto enumer´ avel.

Demonstracao. Seja Bn o conjunto das f : N → N, tais que |Af| = n,

vamos mostrar inicialmente que Bn ´ e enumer´ avel. Cada f : N → N ´ e uma sequencia

(f(1), f(2), f(3), · · · , f(n), · · · ), os elementos de Bn s ˜ ao as sequencias que diferem da

unidade em exatamente n valores. Para cada elemento f de Bn temos n termos

diferentes de 1, que ser ˜ ao simbolizados por

f(k 1), f(k 2), · · · , f(k n) onde k 1 < k 2 < · · · < k n

definimos g : Bn → Nn como

g(f) = ( pf(k 1)

k 1 , p

f(k 2)

k 2 , · · · , p

f(k n)

k n)

onde cada pt ´ e o t-´ esimo primo. A func˜ ao definida dessa forma ´ e injetora, pois se

vale g(f) = g(h ) ent˜ ao

( pf(k 1)k 1

, pf(k 2)k 2

, · · · , pf(k n)k n

) = (qf(k 1 )

k 1, q

f(k 2)

k 2, · · · , q

f(k n)

k n)

por unicidade de fatorac ˜ ao em primos segue que qt = pt e k t = k t ∀ t.

Agora escrevemos M =

∞k =1

Bk ´ e uma uni ˜ ao enumer´ avel de conjuntos enumer´ aveis,

portanto o conjunto das func ˜ oes f : N → N tais que Af ´ e finito ´ e enumer´ avel.

Questao 21




Exemplo 5. Exprimir N =

∞k =1

Nk onde os conjuntos s˜ ao infinitos e dois a

dois disjuntos.Tome Nk +1 = { pα k

k , α k ∈ N onde pk o k-´ esimo primo} e N1 = N \

∞k =2

Nk , cada

um deles ´ e infinito, s ˜ ao disjuntos e sua uni ˜ ao d´ a N.

Questao 22

Exemplo 6. f : N × N

→ N definida como f(m, n) = 2m −1(2n − 1) ´ e uma

bĳec ˜ ao. Dado um n ´ umero natural n qualquer, podemos escrever esse n ´ umero

como produto dos seus fatores primos

n =

nk =1

pα kk = 2α 1 .

nk =2

pα kk

como os primos maiores que 2 s˜ ao ´ ımpares e o produto de ´ ımpares ´ e um n ´ umero

´ ımpar ent ˜ ao n = 2m (2n − 1). Agora vamos mostrar que a func ˜ ao ´ e injetora seja

f(m, n) = f( p, q)

2m (2n − 1) = 2 p(2q − 1)

se m = p os n ´ umeros ser ˜ ao diferentes pela unicidade de fatorac ˜ ao (2s − 1 n ˜ ao

possui fatores 2 pois sempre ´ e ´ ımpar), ent˜ ao devemos ter m = p, da´ ı segue que

n = q e termina a demonstrac ˜ ao.

Questao 23

Propriedade 39. Todo conjunto A ⊂ N ´ e enumer´ avel.

Demonstracao. Se A ´ e finito ent ˜ ao A ´ e enumer´ avel. Se A ´ e infinito podemos

enumerar seus elementos da seguinte maneira x1 = min A, xn+1 = min A \

nk =1

{xk }, da´ ı

A =

∞k =1

{xk }




pois se existisse x ∈ A tal que x = xk da´ ı ter´ ıamos x > xk para todo k que ´ e absurdo,

pois nenhum conjunto infinito de n ´ umeros naturais ´ e limitado superiormente. A

func˜ ao x definida

´ e injetora e sobrejetora. Vamos mostrar agora que ela

´ e a

´ unica

bĳec ˜ ao crescente entre A e N. Suponha outra bĳec ˜ ao crescente f : N → A. Deve

valer f(1) = x1, pois se fosse f(1) > x1 ent ˜ ao f n ˜ ao seria crescente. Supondo que

vale f(k ) = xk ∀ k ≤ n ∈ N vamos mostrar que f(n + 1) = xn+1, n˜ ao pode valer

f(n + 1) < xn+1 com f(n + 1) ∈ A pois a func ˜ ao ´ e injetora e os poss´ ıveis termos j ´ a

foram usados em f(k ) com k < n + 1, n˜ ao pode valer f(n + 1) > xn+1 pois se n ˜ ao a

func ˜ ao n˜ ao seria crescente, ela teria que assumir para algum valor x > n + 1 o valor

de xn+1, a ´ unica possibilidade restante ´ e f(n + 1) = xn+1 o que implica por induc ˜ ao

que xn = f(n) ∀ n ∈ N.

Questao 24

Propriedade 40. Todo conjunto infinito se decomp ˜ oe como uni ˜ ao de uma

infinidade enumer´ avel de conjuntos infinitos, dois a dois disjuntos.

Demonstracao. Todo conjunto X infinito possui um subconjunto infinito

enumer´ avel E = {b1, b2,

· · · , bn,

· · ·}, tomamos b2k = xk e formamos o conjunto A =

{x1, x2, · · · , xn, · · · }. Definimos Bk = {xα k pk

, α k ∈ N}, onde pk ´ e o k -´ esimo primo e

B0 = A \

∞k =1

Bk , cada um desses conjuntos B0, B1, · · · ´ e infinito e todos s ˜ ao disjuntos,

vale A =

∞k =0

Bk , definimos B−1 = (E ∪ X) \ A que ´ e infinito e n ˜ ao possui elemento e

disjunto com todo outro Bk , com isso temos

X =

∞

k =−1

Bk

que ´ e uma uni ˜ ao enumer´ avel de conjuntos infinitos disjuntos.

Questao 25

Definicao 2 (Func˜ ao caracter´ ıstica). Sejam um conjunto A e V um subcon-




junto qualquer de A, definimos

C v(t) = 0 se x /

∈ V

C v(t) = 1 se x ∈ V

Propriedade 41. Sejam X, Y ⊂ A. Valem as propriedades.

• Cx∩ y = CxC y

• Cx∪ y = Cx + C y − Cx∩ y e Cx∩ y = 0 ⇔ X∩

Y = ∅

.

• Se X ⊂ Y ⇔ Cx ≤ C y.

• CA\X = 1 − Cx.

Demonstracao.

• Cx∩ y = CxC y. Temos dois casos a analisar, se t ∈ X ∩ Y ent˜ ao

Cx∩ y(t) = 1 = Cx(t) 1

C y(t) 1

,

se t /∈ X ∩ Y podemos supor t /∈ Y ent˜ ao

Cx∩ y(t) = 0 = Cx(t) C y(t) 0

.

• Cx∪ y = Cx + C y − Cx∩ y e Cx∩ y = 0

⇔X ∩ Y = ∅.

Analisamos tres casos.

1. Se t ∈ X ∩ Y ent ˜ ao Cx∪ y(t) = 1, Cx(t) + C y(t) − Cx∩ y(t) = 1 + 1 − 1 = 1, logo

vale a igualdade.

2. Se t /∈ X ∩ Y e t ∈ X ( sem perda de generalidade), ent ˜ ao Cx∪ y(t) = 1,

Cx(t) + C y(t) − Cx∩ y(t) = 1 + 0 − 0 = 1, logo vale a igualdade.

3. Agora o ´ ultimo caso, se t /∈ X, Y , Cx∪ y(t) = 0 e Cx(t) + C y(t) − Cx∩ y(t) =

0 + 0 − 0 = 0, valendo novamente a igualdade.




Cx∪ y = Cx + C y ⇔ Cx∩ y = 0 ⇔ Cx∩ y(t) = 0 ∀ t ∈ A, isso significa que X e Y s ˜ ao

disjuntos.

• Se X ⊂ Y ⇔ Cx ≤ C y. ⇒). Analisamos tres casos

1. t /∈ Y e t /∈ Y da´ ı t /∈ x e vale Cx(t) = 0C y(t).

2. Se t ∈ Y e t /∈ x ent˜ ao Cx(t) = 0 ≤ C y(t) = 1.

3. Se t ∈ Y tem-se t ∈ Y da´ ı Cx(t) = 1 ≤ 1 = C y(t).

Em qualquer caso vale a desigualdade.

⇐). Suponha que X n ˜ ao esteja contido em Y , ent ˜ ao existe t tal que t ∈ X, t /∈ Y

portanto vale cx(t) = 1 e c y(t) = 0 e n ˜ ao se verifica a desigualdade.

• CA\X = 1 − Cx.

Analisamos dois casos

1. Se t /∈ X ent˜ ao CA\X(t) = 1 = 1 − Cx(t) 0

.

2. Se t ∈ X CA\X(t) = 0 = 1 − Cx(t)

1

.

Questao 26

Propriedade 42. O conjunto das sequencias crescentes de n ´ umeros naturais

n˜ ao ´ e enumer´ avel.

Demonstracao. Seja A o conjunto das sequencias crescentes de n ´ umeros

naturais. Suponha que seja enumer ´ avel, ent ˜ ao existe uma bĳec ˜ ao x : N → A

x1 = ( y(1,1), y(2,1), y(3,1), y(4,1),

· · ·)

x2 = ( y(1,2), y(2,2), y(3,2), y(4,2), · · · )

...

xn = ( y(1,n), y(2,n), y(3,n), y(4,n), · · · )

vamos mostrar que existe uma sequencia crescente que sempre escapa a essa

enumerac ˜ ao, tomamos a sequencia s como

s = ( y(1,1) +1 , y(2,2) + y(1,1) +1 , y(3,3) + y(2,2) + y(1,1) +1, y(4,4) + y(3,3) + y(2,2) + y(1,1) +1 , · · · )




denotando y(0,0) = 1 o t-´ esimo termo da sequencia acima ´ e st =

tk =0

y(k,k ), tal

sequencia ´ e crescente e ela difere de cada xt na t-´ esima coordenada, portanto ela

n˜ ao pertence a enumerac˜ ao, o que ´ e absurdo, portanto o conjunto das sequencias

crescentes ´ e n ˜ ao enumer´ avel.

Questao 27

Propriedade 43. Sejam (N, s) e (N , s ) dois pares formados por um conjunto

e uma func ˜ ao em que ambos cumprem os axiomas de Peano. Ent˜ ao existe uma

´ unica bĳec

˜ ao f : N → N tal que f(1) = 1 , f(n + 1) = f(n) + 1 e vale ainda que

• f(m ) + f(n) = f(m + n)

• f(m.n) = f(m )f(n)

• m < n ⇔ f(m ) < f(n).

Demonstracao. Primeiro vamos provar que f deve ser obrigatoriamente da

forma f(n) = n

∀ n

∈ N, por induc

˜ ao sobre n, a propriedade vale para n = 1,

suponha a validade para n, vamos provar para n + 1

f(n + 1) = f(n) + 1 = n + 1 = s (n) = (n + 1) .

Ent˜ ao para todo n ∈ N fica provado que f(n) = n , f ´ e ´ unica por construc ˜ ao, sendo

tamb´ em sobrejetora.

• Vale que f(m ) + f(n) = f(m + n), vamos provar por induc ˜ ao sobre n. Para n = 1

ela vale por definic˜ ao da func

˜ ao, supondo a validade para n, vamos provar para

n + 1

f((m + n) + 1) = f(m + n) + f(1) = f(m ) + (f(n) + f(1)) = f(m ) + f(n + 1)

logo fica provada a propriedade. f ´ e injetiva, pois se houvessem dois valores

distintos m > n tais que f(m ) = f(n) ent ˜ ao existe p ∈ N tal que n + p = m ,

aplicando a func ˜ ao temos f(n) + f( p) = f(m ) = f(n), isto ´ e n + p = n ent ˜ ao

n > n o que ´ e absurdo, portanto a func ˜ ao ´ e injetiva.




• f(m.n) = f(m )f(n). Por induc ˜ ao sobre n, para n = 1 ela vale. Suponha validade

para n, vamos provar para n + 1

f(m.(n + 1)) = f(mn + m ) = f(m )f(n) + f(m ) = f(m )[f(n) + 1 ] = f(m )f(n + 1)

como quer´ ıamos provar.

• m < n ⇔ f(m ) < f(n). ⇒). Se vale m < n ent ˜ ao existe p ∈ N tal que m + p = n

e da´ ı aplicando f tem-se m + p = n o que implica n > m , isto ´ e, f(n) > f(m ).

⇐) Da mesma forma se f(m ) < f(n) ent ˜ ao m < n e da´ ı existe p tal que

m + p = n

⇒f(m + p) = f(n) que por injetividade segue m + p = n, portanto

n > m.

1.4 Cap´ ıtulo 3 -N ´ umeros reais

1.4.1 Questao 1

Questao 1-1◦

Primeiro provamos um lema, depois a quest ˜ ao pedida.

Propriedade 44.

a

d +

c

d =

a + c

d .

Demonstracao.

a

d +

c

d = d−1a + d−1c = d−1(a + c) =

a + c

d

por distributividade do produto em relac ˜ ao a soma.

Propriedade 45.

a

b +

c

d =

ad + bc

bd .

Demonstracao.

a

b +

c

d =

a

b

d

d +

c

d

b

b =

ad

bd +

cb

db =

ad + bc

bd .




Questao 1-2◦

Propriedade 46.

ab

. cd

= acbd

.

Demonstracao.

a

b.

c

d = a.b−1.c.d−1 = ac.b−1.d−1 = ac.(bd)−1 =

ac

bd.

1.4.2 Questao 2

Questao 2-1◦

Propriedade 47. Para todo m inteiro vale

am .a = am +1.

Demonstracao. Para m natural vale pela definic ˜ ao de potencia, agora para

m = −n, n > 0 ∈ N um inteiro vamos provar a−n.a = a−n+1. Para n = 1 temos

a

−1

a = a

−1+1

= a

0

= 1.

Vamos provar agora para n > 1, n − 1 > 0

a−n = (an)−1 = (an−1a)−1 = a−n+1a−1

multiplicando por a de ambos lados a−n.a = a−n+1 como quer´ ıamos demonstrar.

Propriedade 48.

am .an = am +n.

Demonstracao. Primeiro seja m um inteiro qualquer e n natural, vamos provar

a identidade por induc ˜ ao sobre n, para n = 0 vale

am .a0 = am = am +0

para n = 1 vale

am a1 = am a = am +1.




Supondo v´ alido para n

am .an = am +n

vamos provar para n + 1am .an+1 = am +n+1

temos

am .an+1 = am ana = am +n.a = am +n+1 .

Agora para −n com n natural , se m ´ e natural temos que a propriedade j ´ a foi

demonstrada

am a−n = am −n

se m ´ e inteiro negativo temosam a−n = am −n

pois o inverso de am a−n´ e a−m an = a−m +n propriedade que j ´ a est ´ a provada por −m

e n serem naturais e am −nan−m = 1 por unicidade do inverso de = a−m an = a−m +n

´ e am a−n logo fica provado para n e m inteiros. Para potencia negativa −n podemos

fazer como se segue

am a−n = (a−m )−1(an)−1 = (a−m an)−1 = (a−m +n)−1 = am −n.

Questao 2-2◦

Propriedade 49.

(am )n = amn

para m e n inteiros.

Demonstracao. Primeiro por induc˜ ao para m inteiro e n natural

(am )0 = 1 = am.0

(am )1 = am = am.1.

Supondo v´ alido para n

(am )n = amn

vamos provar para n + 1

(am )n+1 = am (n+1)




temos pela definic ˜ ao de potencia e pela hip ´ otese da induc ˜ ao que

(am )n+1 = (am )nam = amnam = amn+m = am (n+1)

onde usamos a propriedade do produto de potencia de mesma base. Para n inteiro

negativo

(am )−n = ((am )n)−1 = (amn)(−1) = a−mn.

1.4.3 Questao 3

Exemplo 7. Se xk

yk

= xs

ys

para todos k, s ∈ In, num corpo K, prove que dados,

ak ∈ K, k ∈ In tais quen

k =1

ak yk = 0 tem-se

nk =1

ak xk

nk =1

ak yk

= x1

y1.

Chamando x1

y1= p temos

xk

yk

= p logo xk = pyk e a soma

nk =1

ak xk = p

nk =1

ak yk

logon

k =1ak xk

nk =1

ak yk

= p = x1

y1.

1.4.4 Questao 4

Definicao 3 (Homomorfismo de corpos). Sejam A, B corpos. Uma func ˜ ao

f : A → B chama-se um homomorfismo quando se tem

f(x + y) = f(x) + f( y)




f(x.y) = f(x).f( y)

f(1A) = 1B

para quaisquer x, y ∈ A. Denotaremos nesse caso as unidades 1A e 1B pelos mesmos

s´ ımbolos e escrevemos f(1) = 1.

Propriedade 50. Se f ´ e homomorfismo ent ˜ ao f(0) = 0.

Demonstracao. Temos

f(0 + 0) = f(0) + f(0) = f(0)

somando −f(0) a ambos lados segue

f(0) = 0.

Propriedade 51. Vale f(−a) = −f(a).

Demonstracao. Pois

f(a − a) = f(0) = 0 = f(a) + f(−a)

da´ ı f(−a) = −f(a).

Corol ´ ario 9.

f(a − b) = f(a) + f(−b) = f(a) − f(b).

Propriedade 52. Se a ´ e invert´ ıvel ent ˜ ao f(a) ´ e invert´ ıvel e vale f(a−1) =

f(a)−1.

Demonstracao.

f(a.a−1) = f(1) = 1 = f(a).f(a−1)

ent˜ ao pela unicidade de inverso em corpos segue que f(a)−1 = f(a−1).




Propriedade 53. f ´ e injetora.

Demonstracao. Sejam x, y tais que f(x) = f( y), logo f(x)−f( y) = 0, f(x− y) =

0, se x = y ent˜ ao x − y seria invert´ ıvel logo f(x − y) n ˜ ao seria nulo, ent ˜ ao segue que

x = y.

Propriedade 54. Se f : A → B com f(x + y) = f(x) + f( y) e f(x.y) = f(x)f( y)

para x, y arbitr ´ arios, ent˜ ao f(x) = 0 ∀ x ou f(1) = 1.

Demonstracao. f(1) = f(1.1) = f(1)f(1), logo f(1) = f(1)2 por isso f(1) = 1 ou

f(1) = 0. Se f(1) = 0 ent ˜ ao f(x.1) = f(x)f(1) = 0, f(x) = 0 ∀ x.

1.4.5 Questao 5

Propriedade 55. Se f : Q → Q ´ e um homomorfismo ent ˜ ao f(x) = x ∀ x ∈ Q.

Demonstracao. Vale que f(x + y) = f(x) + f( y), tomando x = kh e y = h

fixo, tem-se

f((

k + 1)

h ) −

f(kh

) = f

(h

)

aplicamos a soman−1k =0

de ambos lados, a soma ´ e telesc ´ opica e resulta em

f(nh ) = nf(h )

tomando h = 1 segue que f(n) = n, tomando h = p

n segue

f(n p

n) = f( p) = p = nf(

p

n)

⇒f(

p

n) =

p

n.

1.4.6 Questao 6

1.4.7 Questao 7

1.4.8 Questao 8




Propriedade 56. Seja K um conjunto onde valem todos os axiomas de corpo,

exceto a existencia de inverso multiplicativo. Seja a = 0. f : K → K com f(x) = ax

´ e bĳec ˜ ao ⇔ ∃ a−1 ∈ K.

Demonstracao. ⇒). A func˜ ao ´ e sobrejetora logo existe x tal que f(x) = 1 = ax

portanto a ´ e invert´ ıvel com a−1 = x ∈ K.⇐). Dado qualquer y ∈ K tomamos x = ya−1 da´ ı f(x) = aa−1 y = y e a func ˜ ao ´ e

sobrejetiva. f tamb´ em ´ e injetiva, pois se f(x1) = f(x2), ax1 = ax2 implica por lei do

corte que x1 = x2.. Em geral f ´ e injetiva

⇔ vale a lei do corte por essa observac ˜ ao.

Propriedade 57. Seja K finito. Vale a lei do corte em A ⇔ existe inverso

para cada elemento n˜ ao nulo de K,

Demonstracao. ⇒). Se vale a lei do corte, pela propriedade anterior tem-se

que para qualquer a = 0 em K, f : K → K com f(x) = ax ´ e injetiva, como f ´ e injetiva

de K em K que ´ e um conjunto finito, ent ˜ ao f ´ e bĳetiva, o que implica a ser invert´ ıvel.

⇐). A volta ´ e trivial pois existencia de inverso implica lei do corte.

1.4.9 Questao 9

Exemplo 8. O conjunto dos polinomios de coeficiente racionais Q[t ] n ˜ ao

´ e um corpo, pois por exemplo o elemento x n ˜ ao possui inverso multiplicativo, se

houvesse haverian

k =0

ak xk tal que x

nk =0

ak xk = 1 =

nk =0

ak xk +1 o que n ˜ ao ´ e poss´ ıvel

pois o coeficiente do termo independente x0´ e zero em

n

k =0

ak xk +1 e deveria ser 1.

O conjunto dos inteiros Z n˜ ao ´ e um corpo, pois n˜ ao possui inverso multipli-cativo para todo elementos, por exemplo n ˜ ao temos o inverso de 2.

1.4.10 Questao 10

Propriedade 58. Dados x, y ∈ R, x2 + y2 = 0 ⇔ x = y = 0.




Demonstracao. ⇒).Suponha que x = 0, ent ˜ ao x2 > 0 e y2 ≥ 0 de onde segue

que x2 + y2 > 0 , absurdo ent ˜ ao deve valer x2 = 0

⇒ x = 0 logo temos tamb´ em

y2 = 0 ⇒ y = 0, portanto x = y = 0.⇐). Basta substituir x = y = 0 resultando em 0.

1.4.11 Questao 11

Exemplo 9. A func ˜ ao f : K+ → K+ com f(x) = xn, n ∈ N ´ e crescente.

Sejam x > y > 0 ent˜ ao xn > yn pois xn =

nk =1

x >

nk =1

y = yn, por propriedade de

multiplicac ˜ ao de positivos. Se f : Q+

→ Q+, Q+ o conjunto dos racionais positivos,

ent˜ ao f n ˜ ao ´ e sobrejetiva para n = 2, pois n ˜ ao existe x ∈ Q tal que x2 = 2 ∈ Q+.

f(K+) n ˜ ao ´ e um conjunto limitado superiormente de K, isto ´ e, dado qualquer

x ∈ K existe y ∈ K+ tal que yn > x. O limitante superior do conjunto, se existisse,

n˜ ao poderia ser um n ´ umero negativou ou zero, pois para todo y positivo tem-se

yn positivo, que ´ e maior que 0 ou qualquer n ´ umero negativo. Suponha que x

positivo seja, tomando y = x + 1 temos yn = (x + 1)n ≥ 1 + nx > x, logo f(K+) n ˜ ao

´ e limitado superiormente.

1.4.12 Questao 12

Propriedade 59. Sejam X um conjunto qualquer e K um corpo, ent ˜ ao o

conjunto F(X, K) munido de adic ˜ ao e multiplicac ˜ ao de func ˜ oes ´ e um anel comuta-

tivo com unidade, n ˜ ao existindo inverso para todo elemento. Lembrando que em

um anel comutativo com unidade temos as propriedades, associativa, comutativa,

elemento neutro e existencia de inverso aditivo, para adic ˜ ao. valendo tamb´ em a

comutatividade, associatividade, existencia de unidade 1 para o produto e distri-

butividade que relaciona as duas operac ˜ oes.

Demonstracao.

• Vale a associatividade da adic ˜ ao

((f + g) + h )(x) = (f(x) + g(x)) + h (x) = f(x) + (g(x) + h (x)) = (f + (g + h ))(x)




• Existe elemento neutro da adic ˜ ao 0 ∈ K e a func ˜ ao constante 0(x) = 0 ∀ x ∈ K,

da´ ı

(g + 0)(x) = g(x) + 0(x) = g(x).

• Comutatividade da adic ˜ ao

(f + g)(x) = f(x) + g(x) = g(x) + f(x) = (g + f)(x)

• Existe a func˜ ao sim´ etrica, dado g(x), temos f com f(x) = −g(x) e da´ ı

(g + f)(x) = g(x) − g(x) = 0.

• Vale a associatividade da multiplicac ˜ ao

(f(x).g(x)).h (x) = f(x).(g(x).h (x))

• Existe elemento neutro da multiplicac ˜ ao 1 ∈ K e a func ˜ ao constante I(x) =

1 ∀ x ∈ K, da´ ı

(g.I)(x) = g(x).1 = g(x).

• Comutatividade da multiplicac ˜ ao

(f.g)(x) = f(x)g(x) = g(x)f(x) = (g.f)(x)

Por ´ ultimo vale a distributividade (f(g + h ))(x) = f(x)(g(x) + h (x)) = f(x)g(x) +

f(x)h (x) = (f.g + f.h )(x).

N˜ ao temos inverso multiplicativo para toda func ˜ ao, pois dada uma func ˜ ao, tal

que f(1) = 0 e f(x) = 1 para todo x = 1 em K, n ˜ ao existe func ˜ ao g tal que g(1)f(1) = 1,

pois f(1) = 0, assim o produto de f por nenhuma outra func˜ ao gera a identidade.

1.4.13 Questao 13

Propriedade 60. Sejam x,y > 0 . x < y ⇔ x−1 > y−1.

Demonstracao. ⇒). Como y > x e x−1 e y−1 s ˜ ao positivos, multiplicamos

a desigualdade por x−1 y−1 em ambos lados x−1 y−1 y > x−1 y−1x implicando x−1 > y−1,

ent˜ ao se y > x temos 1x

> 1 y

.

⇐). Se x−1 > y−1 . x, y s ˜ ao positivos, multiplicamos a desigualdade por xy em

ambos lados, de onde segue que y > x.




1.4.14 Questao 14

Propriedade 61. Sejam a > 0 em K e f : Z → K com f(n) = an. Nessas

condic ˜ oes f ´ e crescente se a > 1, decrescente se a < 1 e constante se a = 1.

Demonstracao. Para qualquer n ∈ Z vale f(n+1)−f(n) = an+1−an = an(a−1),

an´ e sempre positivo, ent ˜ ao o sinal da diferenca depende do sinal de a − 1. Se a = 1

vale f(n + 1) = f(n) ∀ n ∈ Z logo f ´ e constante, se a − 1 < 0, a < 1 ent ˜ ao

f(n + 1) − f(n) < 0, f(n + 1) < f(n), f ´ e decrescente e finalmente se a − 1 > 0, a > 1

ent˜ ao f(n + 1) > f(n) e a func˜ ao ´ e crescente.

Perceba que as propriedades citadas valem para todo n ∈ Z, por exemplo no caso

de a > 1 temos

· · · < f(−4) < f(−3) < f(−2) < f(−1) < f(0) < f(1) < f(2) < f(3) < · · · < f(n) < f(n+1) < · · ·

analogamente para os outros casos.

1.4.15 Questao 15

Exemplo 10. Para todo x = 0 real, prove que (1 + x)2n > 1 + 2nx.

Se x > −1 tomamos a desigualdade de bernoulli com 2n no expoente. Se

x < −1 vale 1 + x < 0 por´ em elevando a uma potencia par resulta num n ´ umero

positivo, por outro lado 2nx < −2n logo 1 + 2nx < 1 − 2n < 0 ent ˜ ao (1 + x)2n´ e

positivo e 1 + 2nx ´ e negativo, logo nesse caso vale (1 + x)2n > 1 + 2nx .

1.4.16 Questao 16

Exemplo 11. Se n ∈ N e x < 1 ent ˜ ao (1 − x)n ≥ 1 − nx, pois de x < 1 segue

que −x > −1 e da´ ı aplicamos a desigualdade de Bernoulli (1 + y)n ≥ 1 + ny com

y = −x.

1.4.17 Questao 17




Corol´ ario 10. Se a e a + x s ˜ ao positivos, ent ˜ ao vale

(a + x)

n

≥ a

n

+ na

n−1

x.

Pois a + x

a = (1 +

x

a) > 0 ent ˜ ao podemos aplicar a desigualdade de Bernoulli

(1 + y)n ≥ 1 + ny com y = x

a, resultando em

(a + x)n ≥ an + nan−1x.

Se a = 0, arbitr ´ ario em R, podendo agora ser negativo, substitu´ ımos y = x

a em

(1 + x)2

n > 1 + 2nx. chegando na desigualdade

(a + x)2n > a2n + a2n−12nx.

Se vale x

a < 1 ent˜ ao da desigualdade (1 − y)n ≥ 1 − ny, novamente tomamos

y = x

a de onde segue

(a − x)n ≥ an − an−1nx.

1.4.18 Questao 18

Propriedade 62. Sejam sequencias (ak ) , (bk ) em um corpo ordenado K onde

cada bk ´ e positivo, sendo a1

b1o m´ ınimo e

an

bn

o m´ aximo dos termos da sequencia

de termo ak

bk

ent˜ ao vale

a1

b1≤

nk =1

ak

nk =1 bk

≤ an

bn

.

Demonstracao. Para todo k vale a1

b1≤ ak

bk

≤ an

bn

⇒ bk

a1

b1≤ ak ≤ bk

an

bn

pois

bk > 0, aplicamos a soman

k =1

em ambos lados, de onde segue

nk =1

bk

a1

b1≤

nk =1

ak ≤n

k =1

bk

an

bn




dividindo porn

k =1

bk que ´ e positivo, temos finalmente

a1

b1≤

nk =1

ak

nk =1

bk

≤ an

bn

.

1.4.19 Questao 19

Propriedade 63 (Multiplicatividade).

|a||b| = |a.b|

para a e b reais quaisquer.

Demonstracao. Vale que |x.y|2 = (x.y)2 = x2 y2 e (|x|| y|)2 = |x|2| y|2 = x2.y2

os quadrados desses n ´ umeros s ˜ ao iguais e eles s ˜ ao n˜ ao negativos, ent ˜ ao segue que

|x.y| = |x|| y|.

Demonstracao.[2] |a.b| =

(a.b)2 =√

a2.b2 =√

a2.√

b2 = |a||b|.

Propriedade 64. Se x = 0 ent ˜ ao | 1x

| = 1|x|

.

Demonstracao. Vale |x||1x

| = |x

x| = 1 da´ ı |

1x

| ´ e inverso de |x|, sendo 1|x|

.

Corol´ ario 11 (Preserva divis ˜ ao).

|x

y

| = |x|

| y|

.

1.4.20 Questao 20

Propriedade 65.n

k =1

|ak | = |

nk =1

ak |




Demonstracao. Por induc˜ ao, para n = 1 vale, supondo para n n ´ umerosn

k =1

|ak | = |

n

k =1

ak |

vamos provar para n + 1n+1k =1

|ak | = |

n+1k =1

ak |

temosn+1k =1

|ak | =

nk =1

|ak |.|an+1| = |

nk =1

ak ||an+1| = |

nk =1

ak an+1| = |

n+1k =1

ak | .

Propriedade 66 (Desigualdade triangular generalizada). Sejam g(k ) definida

para k inteiro ,a, b ∈ Z, ent ˜ ao vale

|

bk =a

g(k )| ≤b

k =a

|g(k )|.

Demonstracao. Para cada k vale

−|g(k )| ≤ g(k ) ≤ |g(k )|

aplicando o somat ´ orio em ambos lados segue

−

bk =a

|g(k )| ≤b

k =a

g(k ) ≤b

k =a

|g(k )|

que implica

|

bk =a

g(k )| ≤ |

bk =a

|g(k )|| =

bk =a

|g(k )|

pois os termos |g(k )| somados s ˜ ao n˜ ao negativos ,logo a soma desses termos ´ e n ˜ ao-

negativa e o m´ odulo da soma ´ e igual a soma.

Propriedade 67. A identidade que provamos acima vale para n ´ umeros reais,

vamos provar agora por induc ˜ ao que se vale |z + w| ≤ |z | + | w| para quaisquer z, w

ent˜ ao vale

|

nk =1

z k | ≤n

k =1

|z k |




de maneira que possa ser usada para n ´ umeros complexos , normas e outras estru-

turas que satisfazem a desigualdade triangular.

Demonstracao.[2] Por induc ˜ ao sobre n, para n = 1 tem-se

|

1k =1

z k | = |z 1| ≤1

k =1

|z k | = |z 1|

logo vale. Supondo a validade para n

|

nk =1

z k | ≤n

k =1

|z k |

vamos provar para n + 1

|n+1k =1

z k | ≤n+1k =1

|z k |.

Da hip´ otese da induc ˜ ao somamos |z n+1| em ambos lados, logo

|

n+1k =1

z k | = |z n+1 +

nk =1

z k | ≤ |z n+1| + |

nk =1

z k | ≤n+1k =1

|z k |

Vejamos outras1 demonstrac ˜ oes da desigualdade triangular

1.4.21 Questao 22

Vamos resolver um caso mais geral do problema.

Definicao 4 (Mediana). Dada uma sequencia finita ( yk )n1 seus termos podem

ser rearranjados para forma uma sequencia n˜ ao-decrescente (xk )n1 . A mediana X

´ e definida da seguinte maneira

• Se n ´ e ´ ımpar X = x n+12

.

• Se n ´ e par X =xn

2 +1 + xn2

2 .

1Essas demonstrac ˜ oes aprendi com Pedro Kenzo, obrigado por compartilhar as soluc ˜ oes.




Exemplo 12. Seja (xk )n1 uma sequencia crescente f : R → R com f(x) =

n

k =1

|x − xk |. Se x < x1 ent˜ ao

f(x) = −nx +

nk =1

xk

logo f ´ e decrescente para x < x1. Tomando x > xn

f(x) = nx −

nk =1

xk

logo f ´ e crescente para x > xn.

Seja agora x ∈ [xt, xt+1), t variando de 1 at´ e n − 1

f(x) =

tk =1

(x − xk ) −

nk =t+1

(x − xk ) = (2t − n)x +

tk =1

xk −

nk =t+1

xk

portanto a func ˜ ao ´ e decrescente se t < n

2 e crescente se t >

n

2, de t = 1 at´ e

t = n

2 em cada intervalo [xt, xt+1) a func˜ ao ´ e decrescente, sendo n

2 segmentos

decrescentes, de t =

n

2 + 1 at´ e n − 1, temos n − 1 −

n

2 segmentos crescentes.

• Se n ´ e ´ ımpar f ´ e decrescente em [xn2 , xn2 +1) e crescente em [xn2 +1, xn2 +2)

logo o ponto xn2 +1 = x n+12

´ e o ´ unico ponto de m´ ınimo.

• Se n ´ e par a func ˜ ao ´ e constante em [xn2

, xn2 +1), todos os pontos desse intervalo

s˜ ao pontos de m´ ınimo. Em especial o ponto xn

2 + xn

2 +1

2 ´ e ponto de m´ ınimo.

Conclu´ ımos que um ponto de m´ ınimo acontece sempre na mediana da sequencia.

Exemplo 13. Achar o m´ ınimo da func ˜ ao f(x) =

nk =1

|x − k | para n ´ ımpar e

para n par.

Trocando n por 2n temos que o m´ ınimo acontece no ponto x 2n2

= xn = n,




substitu´ ımos ent˜ ao tal valor na func˜ ao

2n

k =1

|n − k | =

n

k =1

|n − k | +

2n

k =n+1

|n − k | =

n

k =1

(n − k ) +

2n

k =n+1

(−n + k ) =

=

nk =1

(n − k ) +

nk =1

(k ) =

nk =1

n = n.n = n2.

portanto o m´ ınimo de2n

k =1

|x − k | ´ e n2.

• min {|x − 1| + |x − 2|} = 1

• min {|x − 1| + |x − 2| + |x − 3| + |x − 4|} = 4

• min {|x − 1| + |x − 2| + |x − 3| + |x − 4| + |x − 5| + |x − 6|} = 9

• min {|x − 1| + |x − 2| + |x − 3| + |x − 4| + |x − 5| + |x − 6| + |x − 7| + |x − 8|} = 16.

Agora para n ´ ımpar, trocamos n por 2n +1 o m´ ınimo acontece no ponto x (2n+1)+12

=

xn+1 = n + 1, aplicando na func ˜ ao temos

2n+1k =1

|n +1 − k | =

n+1k =1

|n +1 − k | +

2n+1k =n+2

|n +1 − k | =

n+1k =1

(n +1 − k ) +

2n+1k =n+2

−(n +1) + k =

=

nk =1

(n + 1 − k ) +

nk =1

k =

nk =1

(n + 1) = n(n + 1).

• min {|x − 1| + |x − 2| + |x − 3|} = 2

• min {|x − 1| + |x − 2| + |x − 3| + |x − 4| + |x − 5|} = 6

• min {|x − 1| + |x − 2| + |x − 3| + |x − 4| + |x − 5| + |x − 6| + |x − 7|} = 12

• min {|x−1| + |x−2|+ |x−3| + |x−4| + |x−5|+ |x−6|+ |x−7|+ |x−8| + |x−9|} = 20.

1.4.22 Questao 23

Propriedade 68. |a − b| < ε ⇒ |a| < |b| + ε.




Demonstracao. Partindo da desigualdade |a − b| < ε, somamos |b| a ambos

lados

|a − b| + |b| < ε + |b|

e usamos agora a desigualdade triangular

|a| ≤ |a − b| + |b| < ε + |b|

da´ ı segue

|a| ≤ ε + |b|.

Da mesma forma vale se |a − b| < ε ent˜ ao |b| ≤ ε + |a|

⇒ |b| − ε ≤ |a| e com

|a|

≤ ε + |b|. temos

|b| − ε ≤ |a| ≤ ε + |b|.

Vimos que |a − b| < ε implica |a| < |b| + ε, mas como a ≤ |a| segue a < |b| + ε.

1.4.23 Questao 24

Propriedade 69. Dado um corpo ordenado K , s ˜ ao equivalentes

1. K

´ e arquimediano.

2. Z ´ e ilimitado superiormente e inferiormente.

3. Q ´ e ilimitado superiormente e inferiormente.

Demonstracao.

• 1

⇒ 2. N ⊂ Z ent˜ ao Z ´ e ilimitado superiormente. Suponha por absurdo que

Z seja limitado inferiormente, ent ˜ ao existe a

∈ K tal que a < x

∀ x

∈ Z, logo

−a > −x, por´ em existe n natural tal que n > −a ⇒ −n ∈Z

< a o que contraria a

hip´ otese.

• 2 ⇒ 3 . Z ⊂ Q portanto Q ´ e ilimitado superiormente e inferiormente.

• 3 ⇒ 1 . Para todo y ∈ K existe a

b ∈ Q com a,b > 0 naturais tal que

a

b > y,

da´ ı a > yb, podemos tomar y = x

b, logo a > x, a ∈ N, portanto N ´ e ilimitado

superiormente e o corpo ´ e arquimediano.




1.4.24 Questao 25

Propriedade 70. Seja K um corpo ordenado. K ´ e arquimediado ⇔ ∀ ε > 0

em K existe n ∈ N tal que 12n

< ε.

Demonstracao.⇒). Como K ´ e arquimediano, ent ˜ ao ∀ ε > 0 existe n ∈ N tal que n > 1ε ⇒ n + 1 >

n > 1ε

por desigualdade de Bernoulli temos 2n > n + 1 > 1ε ⇒ 1

2n < ε.

⇐). Se ∀ ε > 0 em K existe n ∈ N tal que

12n

< ε, tomamos ε = 1x

, x > 0

arbitr´ ario ent˜ ao x < 2n, com 2n = m ∈ N ent˜ ao K ´ e arquimediano, N n˜ ao ´ e limitado

superiormente.

1.4.25 Questao 26

Propriedade 71. Seja a > 1, K corpo arquimediano, f : Z → K com f(n) = an,

ent˜ ao

• f(Z) n ˜ ao ´ e limitado superiormente.

• inf (F(Z)) = 0.

Demonstracao.

• Vale que a > 1 ent ˜ ao a = p + 1 onde p > 0, por desigualdade de Bernoulli

temos ( p + 1)n ≥ 1 + pn. ∀ x > 0 ∈ K existe n tal que n > x

p ⇒ pn > x ⇒

( p + 1)n ≥ 1 + pn > x, logo f(Z) n˜ ao ´ e limitado superiormente.

•

0 ´ e cota inferior de f(Z) pois vale 0 < an

∀ n ∈ Z. Suponha que exista x talque 0 < x < am ∀ m ∈ Z, sabemos que existe n ∈ N tal que an >

1x

da´ ı

x > 1an

= a−n, absurdo, ent ˜ ao 0 deve ser o ´ ınfimo.

1.4.26 Questao 27




Propriedade 72. Se s ´ e irracional e u = 0 ´ e racional ent˜ ao u.s ´ e irracional.

Demonstracao. Suponha que s

´ e irracional e u.s seja racional, ent

˜ ao u.s =

p

q

com p = 0 e q = 0 inteiros e como u = 0 ´ e racional ele ´ e da forma u = j

v , j = 0 e

v = 0, inteiros, logo j

vs =

p

q

multiplicando por v

j ambos lados segue

s = p.v

j.q

que ´ e um n ´ umero racional, logo chegamos a um absurdo.

Propriedade 73. Se s ´ e irracional e t racional, ent ˜ ao s + t ´ e irracional.

Demonstracao. Suponha s + t racional, ent ˜ ao s + t = p

q da´ ı s =

p

q − t que

seria racional por ser diferenca de dois racionais, um absurdo ent ˜ ao segue que s + t

´ e irracional.

Exemplo 14. Existem irracionais a e b tais que a + b e a.b sejam racionais.

Exemplos a = 1 +√

5 , b = 1 −√

5 da´ ı a + b = 2 e a.b = 1 − 5 = −4.

1.4.27 Questao 28

Propriedade 74. Sejam a,b,c,d racionais ent˜ ao

a + b

√ 2 = c + d

√ 2 ⇔ a = c e b = d.

Demonstracao.⇐). Se a = c e b = d a temos a + b√

2 = c + d√

2.⇒). Suponha a + b√

2 = c + d√

2 ent ˜ ao a − c =√

2(d − b), se d = b ent˜ ao a = c

e terminamos, se n ˜ ao vale quea − c

d − b =

√ 2

o que ´ e absurdo pois √

2 ´ e irracional.




1.4.28 Questao 29

Exemplo 15. O conjunto da forma {x + y√

p} onde x e y s ˜ ao racionais ´ e

subcorpo dos n ´ umeros reais.

• O elemento neutro da adic ˜ ao 0 pertence ao conjunto. Pois 0 = 0 + 0√

p

• O elemento neutro da multiplicac ˜ ao 1 pertence ao conjunto. Pois 1 = 1 +0√

p

• A adic ˜ ao ´ e fechada. Pois x + y√

p + z + w√

p = x + z + ( y + w)√

p.

• O produto ´ e fechado. Pois (x + y√

p)(z + w√

p) = xz + xw√

p + yz √

p + y.wp.

• Dado x ∈ A implica −x ∈ A. Pois dado x + y√

p temos o sim´ etrico −x− y√

p.

• Dado x = 0 ∈ A tem-se x−1 ∈ A. Pois dado x + y√

p temos inverso

x − y√

p

x2 − y2 p

como inverso multiplicativo.

Exemplo 16. O conjunto dos elementos da forma a + bα onde α = 3√

2 n˜ ao

´ e um corpo pois o produto n ˜ ao ´ e fechado, vamos mostrar que α 2 n˜ ao pertence ao

conjunto.

Suponha que α 2 = a + bα ent˜ ao α 3 = aα + bα 2 = 2 substituindo a primeira na

segunda temos que

aα + b(a + bα ) = aα + ab + b2α = α (b2 + a) + ab = 2 ⇒ α (b2 + a) = 2 − ab

se b2 + a = 0 ent ˜ ao α = 2 − ab

b2 + a o que ´ e absurdo pois α ´ e irracional, ent˜ ao

devemos ter a = −b2, multiplicamos a express ˜ ao aα + bα 2 = 2 por α , de onde

segue aα 2 + 2b = 2α , substituindo α 2 = a + bα nessa ´ ultima temos

a(a + bα ) + 2b = a2 + abα + 2b = 2α

⇒α (2 − ab) = 2b + a2




se 2 = ab chegamos num absurdo de α = 2b + a2

2 − ab , temos que ter ent ˜ ao 2 = ab

e a = −b2 de onde segue 2 = −b3, por´ em n˜ ao existe racional que satisfaz essa

identidade, da´ ı n˜ ao podemos escrever α 2 da forma a + bα com a e b racionais,

portanto o produto de elementos n ˜ ao ´ e fechado e assim n ˜ ao temos um corpo.

1.4.29 Questao 30

Propriedade 75. Sejam a, b ∈ Q+.√

a +√

b ´ e racional ⇔ √ a e

√ b s ˜ ao

racionais.

Demonstracao.⇒).

Se a = b ent˜ ao 2√

a ∈ Q o que implica √

a =√

b ∈ Q. Agora o caso de a = b.

Suponha que √

a +√

b ´ e racional ent ˜ ao seu inverso tamb´ em racional , que ´ e√ a −

√ b

a − b , da´ ı

√ a−

√ b ∈ Q , a soma (

√ a+

√ b)+(

√ a−

√ b) = 2

√ a ∈ Q logo

√ a ∈ Q,

a diferenca de n ´ umeros racionais tamb´ em ´ e um n ´ umero racional (√

a +√

b) −√

a =√ b, portanto

√ a e

√ b s ˜ ao racionais.

⇐). A volta vale pois a soma de racionais ´ e um racional.

1.4.30 Questao 31

Propriedade 76. Sejam A ⊂ R n˜ ao vazio limitado e c ∈ R, ent ˜ ao

1. c ≤ sup(A) ⇔ ∀ ε > 0 ∃ x ∈ A tal que c − ε < x.

2. c ≥ inf(A)

⇔ ∀ ε > 0 ∃ x ∈ A tal que c + ε > x.

Demonstracao.

1. ⇒). Para todo ε > 0 vale que c − ε < sup(A). Dado ε > 0 fixo, se n ˜ ao existisse

x ∈ A tal que c − ε < x ent˜ ao c − ε seria cota superior menor que o supremo, o

que ´ e absurdo, contraria o fato do supremo ser a menor das cotas superiores.

⇐). Suponha por absurdo que fosse c > sup(A), poder´ ıamos tomar c −sup(A) =

ε da´ ı c − c + sup(A) = sup(A) < x o que ´ e absurdo.




2. ⇒). Para todo ε > 0 vale que c + ε < inf(A). Dado ε > 0 fixo, se n ˜ ao existisse

x ∈ A tal que c + ε > x ent˜ ao c + ε seria cota superior menor que o ´ ınfimo, o

que ´ e absurdo, contraria o fato do ´ ınfimo ser a menor das cotas inferiores.

⇐). Suponha por absurdo que fosse c < inf(A), poder´ ıamos tomar inf(A)−c = ε

da´ ı x < c + inf(A) − c = inf(A) o que ´ e absurdo.

1.4.31 Questao 32

Exemplo 17. Seja A = { 1n

| n ∈ N} . Mostre que inf A = 0. Sabemos que 0

´ e uma cota inferior, agora vamos mostrar que 0 ´ e a menor delas. Dado 0 < x, x

n˜ ao pode ser cota inferior, pois existe n natural tal que 1n

< x, logo 0 ´ e o ´ ınfimo.

1.4.32 Questao 33

Propriedade 77. Se A ´ e limitado inferiormente e B ⊂ A ent˜ ao inf(A) ≤inf(B).

Demonstracao. infA ´ e cota inferior de A, logo tamb´ em ´ e cota inferior de B,sendo cota inferior de B vale infA ≤ infB, pois inf B ´ e a maior cota inferior de B.

Propriedade 78. Se A ´ e limitado superiormente e B ⊂ A ent˜ ao sup(A) ≥sup(B).

Demonstracao. Toda cota superior de A ´ e cota superior de B, logo o sup(A)

´ e cota superior de B, como sup(B) ´ e a menor das cotas superiores de B segue que

sup(A) ≥ sup(B).

Corol ´ ario 12. Se A e B s ˜ ao conjuntos limitados com B ⊂ A ent˜ ao vale

sup(A) ≥ sup(B) ≥ inf(B) ≥ inf(A) pois temos sup(A) ≥ sup(B) e inf(A) ≤inf(B), tendo ainda que sup(B) ≥ inf(B).




1.4.33 Questao 34

Propriedade 79. Sejam A, B ⊂ R tais que para todo x ∈ A e todo y ∈ B se

tenha x ≤ y. Ent˜ ao sup A ≤ inf B.

Demonstracao. Todo y ∈ B ´ e cota superior de A, logo sup A ≤ y para cada

y pois sup A ´ e a menor das cotas superiores, essa relac ˜ ao implica que sup A ´ e cota

inferior de B logo sup A ≤ inf B, pois inf B ´ e a maior cota inferior.

Propriedade 80. sup A = inf B

⇔ para todo ε > 0 dado , existam x ∈ A e

y

∈ B com y − x < ε.

Demonstracao. ⇐, usamos a contrapositiva. N ˜ ao podemos ter inf B < sup A

pela propriedade anterior, ent ˜ ao temos forcosamente que inf B > sup A, tomamos

ent˜ ao ε = inf B − sup A > 0 e temos y − x ≥ ε para todo x ∈ A e y ∈ B pois y ≥ inf B

e sup A ≥ x de onde segue −x ≥ − sup A, somando esta desigualdade com a de y

tem-se y − x ≥ inf B − sup A = ε.⇒ , Se sup A = inf B. Ent˜ ao sendo para qualquer ε > 0, sup A − ε

2 n˜ ao ´ e cota

superior de A, pois ´ e menor que o sup A (que ´ e a menor cota superior), da mesma

maneira inf A +

ε

2 n˜ ao ´ e cota inferior de B, ent ˜ ao existem x ∈ A e y ∈ B tais quesup A −

ε

2 < x ≤ sup A = inf B ≤ y < inf B +

ε

2

inf B − ε

2 < x ≤ y < inf B +

ε

2

de onde segue inf B − ε

2 < x, −x <

ε

2 − inf B e y < inf B +

ε

2 somando ambas tem-se

y − x < ε.

1.4.34 Questao 35 e 36

Propriedade 81. Se c > 0 ent ˜ ao sup(c.A) = c. sup A.

Demonstracao. Seja a = sup A. Para todo x ∈ A tem-se x ≤ a, de onde segue

cx ≤ ca, assim ca ´ e cota superior de cA. Seja d tal que d < ca ent ˜ ao d

c < a logo

d

c

n˜ ao ´ e cota superior de A, implicando a existencia de pelo menos um x tal que d

c < x,

d < cx de onde segue que d n˜ ao ´ e cota superior de cA, assim ca ´ e a menor cota

superior de cA logo o supremo.




Propriedade 82. Se c > 0, inf cA = c inf A.

Demonstracao.

Seja a = inf A, ent ˜ ao vale a ≤ x para todo x, multiplicando por c segue ca ≤ cx

de onde conclu´ ımos que ca ´ e cota inferior de cA. Seja d tal que ca < d, ent ˜ ao

a < d

c, implicando que

d

c n ˜ ao ´ e cota inferior de A assim existe x ∈ A tal que

x < d

c ⇒ cx < d, logo d n˜ ao ´ e cota inferior de cA, implicando que c.a ´ e a maior

cota inferior, logo o ´ ınfimo do conjunto.

Propriedade 83. Se c < 0 ent ˜ ao inf (cA) = c sup A.

Demonstracao. Seja a = sup A . Tem-se x ≤ a para todo x ∈ A, multiplicando

por c segue cx ≥ ca para todo x ∈ A. Ent˜ ao ca ´ e uma cota inferior de cA. Se d > ca

tem-se d

c < a como a ´ e supremo, isso significa que existe x ∈ A tal que

d

c < x logo

d > cx, assim esse d n˜ ao ´ e cota inferior, implicando que ca ´ e a menor cota inferior,

ent˜ ao ´ ınfimo do conjunto.

A quest˜ ao 35 segue da pr ´ oxima propriedade com c = −1.

Propriedade 84. Se c < 0 ent ˜ ao sup(cA) = c inf A.

Demonstracao. Seja b = inf A ent ˜ ao vale b ≤ x para todo x ∈ A, multipli-

cando por c segue cb ≥ cx assim cb ´ e cota superior de cA. Agora tome d tal que

cb > d segue b < d

c, como b ´ e ´ ınfimo existe x ∈ A tal que x <

d

c, cx > d assim esse

d n˜ ao pode ser cota superior de cA, ent ˜ ao cb ´ e a menor cota superior, logo o ´ ınfimo.

1.4.35 Questao 37

Item I

Sejam A, B ⊂ R, conjuntos limitados .

Propriedade 85. O conjunto A + B = {x + y | x ∈ A, y ∈ B} tamb´ em ´ e

limitado.




Demonstracao. Se A ´ e limitado , existe t tal que |x| < t para todo x ∈ A e se

B ´ e limitado existe u tal que | y| < u ∀ y ∈ B. Somando as desigualdades e usando

desigualdade triangular segue |x| + | y| < u + t e |x + y|

≤ |x| + | y| < u + t logo o

conjunto A + B ´ e limitado.

Item II

Propriedade 86 (Propriedade aditiva). Vale sup(A + B) = sup(A) + sup(B).

Demonstracao. Como A, B s ˜ ao limitidados superiomente, temos sup A := a e

sup B := b, como vale a ≥ x e b ≥ y para todos x, y ∈ A, B respectivamente segue que

a + b ≥ x + y logo o conjunto A + B ´ e limitado superiormente. Para todo e qualquerε > 0 existem x, y tais que

a < x + ε

2, b < y +

ε

2somando ambas desigualdades-segue-se que

a + b < x + y + ε

que mostra que a + b ´ e a menor cota superior, logo o supremo, fica valendo ent ˜ ao

sup(A + B) = sup(A) + sup(B).

Item III

Propriedade 87. inf (A + B) = inf A + inf B.

Demonstracao. Sejam a = infA e b = infB ent˜ ao ∀x, y ∈ A, B tem-se a ≤ x,

b ≤ y de onde segue por adic ˜ ao a + b ≤ x + y, assim a + b ´ e cota inferior de A + B.

∃x, y ∈ A, B tal que ∀ε > 0 vale x < a + ε

2 e y < b +

ε

2 pois a e b s ˜ ao as maiores

cotas inferiores, somando os termos das desigualdades segue x + y < a + b + ε, queimplica que a + b ´ e a maior cota inferior logo o ´ ınfimo.

1.4.36 Questao 38

Definicao 5 (Func ˜ ao limitada). Seja A ⊂ R, f : A → R ´ e dita limitada quando

o conjunto f(A) = {f(x) | x ∈ A}, se f(A) ´ e limitado superiormente ent ˜ ao dizemos




que f ´ e limitada superiormente e caso f(A) seja limitado inferiormente dizemos

que A ´ e limitado inferiormente.

Seja uma func˜ ao limitada f : V → R.

Definicao 6.

sup f := sup f(V ) = sup {f(x) | x ∈ V }

Definicao 7.

inf f := inf f(V ) = inf {f(x) | x

∈ V }

Propriedade 88. A func ˜ ao soma de duas func ˜ oes limitadas ´ e limitada.

Demonstracao. Vale |f(x)| ≤ M1 e |g(x)| ≤ M2 ∀ x ∈ A ent ˜ ao

|f(x) + g(x)| ≤ |f(x)| + |g(x)| ≤ M1 + M2 = M

portando a func ˜ ao soma f + g de duas func ˜ oes limitadas ´ e tamb´ em uma func ˜ ao

limitada.Sejam f, g : V → R func ˜ oes limitadas e c ∈ R.

Propriedade 89.

sup(f + g) ≤ sup f + sup g.

Demonstracao.

Sejam

A = {f(x) | x ∈ V }, B = {g( y) | y ∈ V }, C = {g(x) + f(x) | x ∈ V }

temos que C ⊂ A + B, pois basta tomar x = y nos conjuntos, logo

sup(A + B) ≥ sup(f + g)

sup(A) + sup(B) = sup f + sup g ≥ sup(f + g)




Propriedade 90.

inf (f + g) ≥ inf (f) + inf (g).

Demonstracao. De C ⊂ A + B segue tomando o ´ ınfimo

inf (A + B) = inf (A) + inf (B) = inf (f) + inf (g) ≤ inf (C) = inf (f + g).

Exemplo 18. Sejam f, g : [0, 1 ] → R dadas por f(x) = x e g(x) = −x

• Vale sup f = 1, sup g = 0, f + g = 0 logo sup(f + g) = 0 vale ent ˜ ao

sup f + sup g = 1 > sup(f + g) = 0.

• Temos ainda inf f = 0, inf g = −1, f + g = 0, inf(f + g) = 0 logo

inf f + inf g = −1 < inf (f + g) = 0.

As desigualdades estritas tamb´ em valem se consideramos as func ˜ oes definidas em

[−1, 1 ], nesse caso sup f +sup g = 2 e inf f+ inf g = −2 e sup(f+ g) = 0 = inf (f +g).

1.4.37 Questao 39

Definicao 8. Sejam A e B conjuntos n˜ ao vazios, definimos A.B = {x.y | x ∈A, y ∈ B}.

Propriedade 91. Sejam A e B conjuntos limitados de n ´ umeros positivos,

ent˜ ao vale sup(A.B) = sup(A). sup(B).

Demonstracao. Sejam a = sup(A) e b = sup(B) ent˜ ao valem x ≤ a e

y ≤ b, ∀ x ∈ A, y ∈ B da´ ı x.y ≤ a.b, logo a.b ´ e cota superior de A.B. Tomando

t < a.b segue que t

a < b logo existe y ∈ B tal que

t

a < y da´ ı

t

y < a logo existe x ∈ A

tal que t

y < x logo t < x.y ent˜ ao t n ˜ ao pode ser uma cota superior, implicando que

a.b ´ e o supremo do conjunto.




Propriedade 92. Sejam A e B conjuntos limitados de n ´ umeros positivos,

ent˜ ao vale inf (A.B) = inf (A). inf (B).

Demonstracao. Sejam a = inf (A) e b = inf (B) ent˜ ao valem x ≥ a e y ≥b, ∀ x ∈ A, y ∈ B da´ ı x.y ≥ a.b, logo a.b ´ e cota inferior de A.B. Tomando t > a.b

segue que t

a > b logo existe y ∈ B tal que

t

a > y da´ ı

t

y > a logo existe x ∈ A tal que

t

y > x logo t < x.y ent˜ ao t n ˜ ao pode ser uma cota inferior, implicando que a.b ´ e o

´ ınfimo do conjunto.

1.4.38 Questao 40

Propriedade 93. Sejam f, g : A → R func ˜ oes limitadas ent ˜ ao f.g : A → R ´ e

limitada.

Demonstracao. Vale que |f(x)| < M1 e |g(x)| < M2 ent ˜ ao |f(x)g(x)| < M1M2 =

M ∀ x ∈ A , portanto f.g : A → R ´ e limitada.

Propriedade 94. Sejam f, g : A → R+ limitadas superiormente, ent˜ ao

sup(f.g) ≤ sup(f) sup(g).

Demonstracao. Sejam C = {g(x).f(x) | x ∈ A} , B = {g( y). | y ∈ A} e

A = {f(x) | x ∈ A} . Vale que C ⊂ A.B para ver isso basta tomar x = y nas definic ˜ oes

acima, da´ ı

sup(A.B) ≥ sup(C)

sup(A) sup(B)

≥ sup(C)

sup(f) sup(g) ≥ sup(f.g).

Propriedade 95. Sejam f, g : A → R+ limitadas inferiormente, ent˜ ao

inf (f.g) ≥ inf (f) inf (g).




Demonstracao. Sejam C = {g(x).f(x) | x ∈ A} , B = {g( y). | y ∈ A} e

A = {f(x) | x ∈ A} . Vale que C ⊂ A.B, da´ ı

inf (A.B) ≤ inf (C)

inf (A) inf (B) ≤ inf (C)

inf (f) inf (g) ≤ inf (f.g).

Exemplo 19. Sejam f, g : [1, 2 ]

→ R dadas por f(x) = x e g(x) =

1x

, vale

sup f = 2, sup g = 1 sup f. sup g = 2 e sup(f.g) = 1, pois f.g = 1 logo

sup f sup g > sup(f.g).

Da mesma maneira inf f = 1, inf g = 12

vale inf f. inf g = 12

e inf (f.g) = 1

portanto

inf f. inf g < inf (f.g).

Propriedade 96. Seja f : A → R+ limitada superiormente ent ˜ ao sup(f2) =

(sup f)2.

Demonstracao. Seja a = sup f tem-se f(x) ≤ a ∀ x da´ ı f(x)2 ≤ a2 ent ˜ ao a2´ e

cota superior de f2, e ´ e a menor cota superior pois se 0 < c < a2 ent˜ ao √

c < a logo

existe x tal que √

c < f(x) < a e da´ ı c < f(x)2 < a2 logo a2´ e a menor cota superior

sup(f2) = sup(f)2.

Propriedade 97. Seja f : A → R+ ent˜ ao inf (f2) = (inf f)2.

Demonstracao. Seja a = inf f tem-se f(x) ≥ a ∀ x da´ ı f(x)2 ≥ a2 ent˜ ao a2

´ e cota inferior de f2, e ´ e a maior cota inferior pois se a2 < c ent ˜ ao a <√

c logo

existe x tal que a < f(x) <√

c e da´ ı a2 < f(x)2 < c logo a2´ e a maior cota inferior

inf (f2) = inf (f)2.




1.4.39 Questao 42

Teorema 1 (Teorema das ra´ ızes racionais). Se o polinomio

f(x) =

nk =0

ak xk

de coeficientes inteiros, tem uma raiz racional x = r

s tal que mdc(r, s) = 1 ent ˜ ao

s|an e r|a0.

Demonstracao. Se x = r

s ´ e raiz de f(x) =

nk =0

ak xk , ent ˜ ao temos

fr

s

=

nk =0

ak r

s

k = 0

multiplicando por sn em ambos os lados temos

nk =0

ak rk .sn−k = 0

como s|0 ent˜ ao s|

n

k =0

ak rk .sn−k , na soma s n ˜ ao aparece como fator apenas quando

n − k = 0, n = k , logo abrindo o limite superior do somat ´ orio temosn−1k =0

ak rk .sn−k + anrn.sn−n =

n−1k =0

ak rk .sn−k + anrn = 0

da´ ı s deve dividir anrn, como s ´ e primo com r implica que tamb´ em ´ e primo com rn,

portanto s deve dividir an. Pelo mesmo argumento, temos que r|0 logo r deve dividirn

k =0

ak rk .sn−k , como o ´ unico fator onde r n˜ ao aparece ´ e quando k = 0, abrimos o

limite inferior do somat ´ orio

a0r0.sn−0 +

nk =1

ak rk .sn−k = a0.sn +

nk =1

ak rk .sn−k = 0

logo r deve dividir a0.sn, mas como r ´ e primo com sn, ele deve dividir a0.

Corol ´ ario 13. Se o polinomio de coeficientes inteirosn

k =0

ak xk possui ra´ ızes




racionais ent˜ ao elas devem pertencer ao conjunto

A = { p

q

| p|a0 q|an}.

Corol ´ ario 14. Se an = 1 em um polinomio de coeficientes inteiros P(x) =n

k =0

ak xk ent˜ ao suas ra´ ızes racionais devem ser inteiras, pois

A = { p

q | p|a0 q|1}

ent˜ ao

q = 1 ou

q = −1, e de qualquer forma implica que as soluc

˜ oes s

˜ ao da forma

x = p para algum p ∈ Z. Ent ˜ ao , nessas condic ˜ oes, as ra´ ızes do polinomio P(x)

s ˜ ao inteiras ou irracionais.

Propriedade 98. Seja P(x) = xn − a, a > 0 ∈ Z, se a n ˜ ao ´ e n-´ esima potencia

de um n ´ umero natural ent ˜ ao a ´ unica raiz positiva de P , que ´ e n√

a , ´ e irracional.

Demonstracao. Como P possui coeficiente an = 1 ent ˜ ao ele possui raizirracional ou inteira, se a raiz positiva m fosse inteira (logo natural) ter´ ıamos m n −

a = 0 e da´ ı a = m n ´ e potencia de um n ´ umero natural, o que contraria a hip ´ otese de

a n ˜ ao ser n-´ esima potencia de um n ´ umero natural, logo n√

a ´ e irracional.

1.4.40 Questao 43

Propriedade 99. Sejam I um intervalo n ˜ ao degenerado e k > 1 natural. O

conjunto A = { m k n

∈ I | m, n ∈ Z} ´ e denso em I.

Demonstracao. Dado ε > 0 existe n ∈ N tal que k n > 1ε

, da´ ı os intervalos

[m

k n, m + 1

k n ] tem comprimento

m + 1k n

− m

k n =

1k n

< ε.

Existe um menor inteiro m + 1 tal que x + ε ≤ m + 1k n

da´ ı m

k n ∈ (x − ε, x + ε) pois

se fosse x + ε < m

k n iria contrariar a minimalidade de m + 1 e se fosse

m

k n < x − ε




ent˜ ao [m

k n, m + 1

k n ] teria comprimento maior do que de (x − ε, x + ε), que ´ e ε, uma

contradic ˜ ao com a suposic ˜ ao feita anteriormente.

1.4.41 Questao 44

Propriedade 100. O conjunto dos polinomios com coeficientes racionais ´ e

enumer´ avel.

Demonstracao. Seja Pn o conjunto dos polinomios com coeficientes racionais

de grau ≤ n a func ˜ ao f : Pn

→Qn+1 tal que

P(n

k =0

ak xk ) = (ak )

n1

´ e uma bĳec ˜ ao. Como Qn+1´ e enumer´ avel por ser produto cartesiano finito de conjun-

tos enumer´ aveis, segue que Pn ´ e enumer´ avel.

Sendo A o conjunto dos polinomios de coeficientes racionais, vale que

A =

∞k =1

Pk

portanto A ´ e uni ˜ ao enumer´ avel de conjuntos enumer ´ aveis , sendo assim A ´ e enu-mer´ avel.

Definicao 9 (N ´ umero alg´ ebrico). Um n ´ umero real (complexo) x ´ e dito

alg´ ebrico quando ´ e raiz de um polinomio com coeficientes inteiros.

Propriedade 101. O conjunto dos n ´ umeros alg´ ebricos ´ e enumer´ avel.

Demonstracao.[1] Enumeramos A = {P1, P2, · · · , Pn, · · · }, o conjunto dos po-

linomios com coeficientes inteiros, definimos Bk como conjunto das ra´ ızes reais de

fk , ent˜ ao vale que

B =

∞k =1

Bk

como cada Bk ´ e finito B fica sendo uni ˜ ao enumer´ avel de conjuntos finitos, ent ˜ ao B ´ e

enumer´ avel.




Demonstracao.[2] Seja B o conjunto dos alg´ ebricos e A o conjunto dos

polinomios com coeficientes inteiros. Para cada alg´ ebrico x escolhemos um polinomio

Px tal que Px(x) = 0.

Definimos a func ˜ ao f : B → A tal que F(x) = Px. Dado Px ∈ F(B), temos que o

conjunto g−1(Px) dos valores x ∈ B tal que f(x) = Px ´ e finito pois Px = y

possui um

n ´ umero finito de ra´ ızes e da´ ı tem-se

B =

y∈f(B)

g−1( y)

logo B ´ e uni ˜ ao enumer´ avel de conjuntos enumer ´ aveis ( no caso finitos), ent ˜ ao B ´ e

enumer´ avel.

Corol ´ ario 15. Existem n ´ umeros reais que n˜ ao s˜ ao alg´ ebricos, pois se todos

fossem alg´ ebricos R seria enumer´ avel.

Definicao 10 (N ´ umeros transcendentes). Os n ´ umeros reais que n ˜ ao s ˜ ao

alg´ ebricos s˜ ao ditos transcendentais

Propriedade 102. O conjunto dos n ´ umeros alg´ ebricos ´ e denso em R, pois

todo racional ´ e alg´ ebrico, o racional b

a ´ e raiz do polinomio com coeficientes

inteiros

ax − b = P(x)

ax − b = 0 ⇔ ax = b ⇔ x = b

a

. E Q ´ e denso em R.

1.4.42 Questao 45

Propriedade 103. Seja A enumer´ avel e B = R \ A, ent ˜ ao para cada intervalo

(a, b), (a, b) ∩ B ´ e n˜ ao enumer´ avel, em especial B ´ e denso em R.

Com esse resultado garantimos que o complementar de um conjunto enu-




mer´ avel ´ e denso em R.

Demonstracao. Sabemos que (a, b) ´ e n ˜ ao enumer´ avel, escrevemos

(a, b) = [(a, b) ∩ A ] ∪ [(a, b) ∩ (R \ A)] = [(a, b) ∩ A ] ∪ [(a, b) ∩ B ],

sabemos que (a, b) ∩ A ´ e enumer´ avel se (a, b) ∩ B tamb´ em o fosse, chegar´ ıamos no

absurdo de (a, b) ser enumer´ avel, por ser uni ˜ ao finita de conjuntos enumer´ aveis ,

portanto (a, b) ∩ B ´ e n ˜ ao enumer´ avel e B ´ e denso em R.

Exemplo 20. Um conjunto pode n ˜ ao ser enumer´ avel e tamb´ em n˜ ao ser denso

em R, como (a, b).

1.4.43 Questao 46

Corol ´ ario 16. O conjunto T dos n ´ umeros transcedentais ´ e n˜ ao enumer´ avel e

denso em R. Pois A o conjunto dos n ´ umeros alg´ ebricos ´ e enumer´ avel, T = R \ A,

como complementar dos n ´ umeros alg´ ebricos T ´ e n ˜ ao enumer´ avel e denso em R.

1.4.44 Questao 47

Propriedade 104. Seja L|K uma extens ˜ ao de corpo. Se α, β ∈ L s ˜ ao alg´ ebricos

sobre K, ent ˜ ao α ± β, α.β e α

β com β = 0 s ˜ ao alg´ ebricos sobre K, Desse modo

{α ∈ L|α ´ e alg´ ebrico sobre K}

´ e um subcorpo de L que cont´ em K.

Demonstracao. Seja δ ∈ {α ±β, α.β α

β β = 0} ent ˜ ao δ ∈ K(α, β) e K ⊂ K(δ) ⊂K(α, β)). Vamos mostrar que [K(α, β) : K ] < ∞.

Sejam f, g ∈ K[x ] os polinomios m´ ınimos de α e β sobre K, com graus m e n

respectivamente temos que

[K(α ) : K ] = m, [K(β) : K ] = n.

f(x) ∈ k (x) ⊂ K(β)[x ] ´ e tal que f(α ) = 0, logo α ´ e alg´ ebrico sobre K(β), sendo P o

polinomio m´ ınimo de α sobre K(β) de grau s, ele divide f(x) em K(β)[x ] logo s ≤ m ,




portanto [K(β)(α ) : K(β)] = s ≤ m o grau ´ e finito e a extens˜ ao total [K(α, β) : K ] = sn

´ e finita por multiplicatividade dos graus. Como a extens ˜ ao [K(α, β) : K ] ´ e finita ela ´ e

alg´ ebrica.

Definicao 11 (Fecho alg´ ebrico de Q). Consideremos a extens ˜ ao de corpos

C|Q. Chamamos de fecho alg´ ebrico de Q ao subcorpo Q de C definido por

Q = {α ∈ C, α ´ e alg´ ebrico sobre Q}

Q ´ e realmente corpo pela propriedade anterior. O conjunto dos n ´ umeros

alg´ ebricos ´ e um corpo.

1.4.45 Questao 48

Exemplo 21. Sendo Ak = [k,∞) temos uma sequencia de intervalos que s ˜ ao

conjuntos fechados por´ em a intersec ˜ ao

∞

k =1

Ak = A

´ e vazia, pois suponha que exista t ∈ A, da´ ı existe k > t e t /∈ [k,∞) = Ak logo

n˜ ao pode pertencer a intersec ˜ ao te todos esses conjuntos.

Da mesma maneira existe uma sequencia decrescente de intervalos abertos

limitados com intersec ˜ ao vazia, sendo Bk = (0, 1k

)

∞

k =1

Bk = B

B ´ e vazio, pois se houvesse um elemento nele x > 0, conseguimos k tal que1k

< x da´ ı x n˜ ao pertence ao intervalo (0, 1k

) = Bk portanto n˜ ao pode pertencer a

intersec ˜ ao.

1.4.46 Questao 49




Propriedade 105. Sejam B ⊂ A n ˜ ao vazios, A limitado superiormente, se

∀ x ∈ A existe y ∈ B tal que y ≥ x ent˜ ao sup(B) = sup(A).

Demonstracao. B ´ e limitado superiormente pois est ´ a contido em um conjunto

limitado e vale que sup(A) ≥ sup(B), pois B ⊂ A, suponha que fosse c = sup(A) >

sup(B), ent ˜ ao tomando ε = sup(A) − sup(B) > 0, existe x ∈ A tal que x > c − ε =

sup(A) − sup(A) + sup(B) = sup(B), por hip ´ otese existe y ≥ x > sup(B) com y ∈ B,

o que ´ e absurdo, pois n˜ ao pode existir um elemento maior que o supremo.

Propriedade 106. Sejam B ⊂ A n ˜ ao vazios, A limitado inferiormente, se

∀ x ∈ A existe y ∈ B tal que y ≤ x ent˜ ao inf(B) = inf(A).

Demonstracao. B ´ e limitado inferiormente pois est ´ a contido em um conjunto

limitado e vale que inf(A) ≤ inf(B), pois B ⊂ A, suponha que fosse c = inf(A) <

inf(B), ent ˜ ao tomando ε = inf(B) − inf(A) > 0, existe x ∈ A tal que x < c + ε =

inf(A) − sup(A) + inf(B) = inf(B), por hip ´ otese existe y ≤ x < inf(B) com y ∈ B, o

que ´ e absurdo, pois n˜ ao pode existir um elemento menor que o ´ ınfimo.

1.4.47 Questao 50

Definicao 12 (Corte de Dedekind). Um corte de Dedekind ´ e um par ordenado

(A, B) onde A, B ∈ Q n ˜ ao vazios, tais que A n ˜ ao possui m´ aximo, A ∪ B = Q e

∀ x ∈ A, y ∈ B vale x < y.

Seja C o conjunto dos cortes de Dedekind.

Propriedade 107. Em (A, B) vale sup(A) = inf(B).

Demonstracao. J ´ a sabemos que vale sup(A) ≤ inf(B), pois ∀ x ∈ A, y ∈ B

vale x < y implica sup(A) < y e sup(A) ser cota inferior implica sup(A) ≤ inf(B),

suponha por absurdo que fosse sup(A) < inf(B), ent ˜ ao o intervalo (sup(A),inf(B))

n˜ ao possui valores x ∈ A, pois se n˜ ao x > sup(A), nem y ∈ B pois da´ ı y < inf(B),

mas como existem racionais em tal intervalo, pois Q ´ e denso e A ∪ B = Q, chegamos

em um absurdo.




Propriedade 108. Existe bĳec ˜ ao entre R e C o conjunto dos cortes.

Demonstracao. Definimos f : C → R como f(A, B) = sup(A) = inf(B).

• f ´ e injetora, suponha f(A, B) = f(A , B ) ent ˜ ao sup(A) = inf(B) = sup(A ) =

inf(B ).

Dado x ∈ A vamos mostrar que x ∈ A .

x < sup(A ) = inf(B ) ≤ y , ∀ y ∈ B , da´ ı x ∈ A

a inclus˜ ao A ⊂ A ´ e an´ aloga. Ent ˜ ao vale A = A .

• Dado y ∈ B, vamos mostrar que y ∈ B .

x < sup(A) < inf(B ) ≤ y

com isso y ∈ B . De maneira similar, B ⊂ B portanto B = B . Como vale

B = B e A = A ent ˜ ao a func˜ ao ´ e injetiva.

• A func ˜ ao ´ e sobrejetiva. Para qualquer y ∈ R, tomamos os conjuntos (−∞, y) ∩Q = A e B = [ y,

∞) ∩ Q, A n ˜ ao possui m´ aximo, para todo x ∈ A e y ∈ B tem-se

y > x e Q = [(−∞, y) ∩ Q ] ∪ [ [ y,∞) ∩ Q ], al´ em disso vale sup(A) = y = inf(B),portanto f(A, B) = y e a func ˜ ao ´ e sobrejetora, logo sendo tamb´ em injetora f ´ e

bĳec ˜ ao.

1.4.48 Questao 53

Propriedade 109 (M´ edia aritm´ etica e geom´ etrica.). Se a,b > 0 vale

a + b

2 ≥ √ a.b.

Demonstracao.

(√

a −√

b)2 ≥ 0 ⇒ a − 2√

a√

b + b ≥ 0 ⇒ a + b ≥ 2√

a√

b ⇒ a + b

2 ≥

√ ab.

Questao 57




Exemplo 22. A func˜ ao f : R

→(−1, 1) com f(x) =

x√ 1 + x2 ´ e bĳetora.

Ela est ´ a bem definida em R, pois o ´ unico problema poss´ ıvel seria o termo dentro

da ra´ ız no denominador ser n ˜ ao positivo, o que n ˜ ao acontece pois x2 + 1 ≥ 1, ela ´ e

injetora pois x1

1 + x21

= x2

1 + x22

⇒ x1 = x2, sua imagem est ´ a contida no intervalo

(−1, 1) pois

1 + x2 >√

x2 = |x| logo | x√ 1 + x2

| < 1 sendo tamb´ em sobrejetora, pois

dado y ∈ (−1, 1) temos | y| < 1 ⇒ y2 < 1 ⇒ 0 < 1 − y2, podemos tomar x =

y2

1 − y2

se x ≥ 0 e x = −

y2

1 − y2 caso x < 0 e da´ ı vale f(x) = y (Podemos perceber pela

definic ˜ ao que x ≥ 0 ⇔ y ≥ 0 e x ≤ 0 ⇔ y ≤ 0 ).

Questao 58

Propriedade 110. Seja G = {0} um grupo aditivo de R, ent ˜ ao vale uma das

possibilidades

1. Existe t tal que G = tZ , isto ´ e, G ´ e formado pelos m ´ ultiplos inteiros de t.

2. G ´ e denso em R.

Demonstracao.

G = {0} possui elemento positivo, pois dado a = 0 ∈ G, −a ∈ G, por ser grupo , e

temos que a ou −a ´ e positivo. Sejam G+ = {x ∈ G | x > 0} e t = inf G+.

1. Se t > 0 vamos mostrar que vale t ∈ G. Suponha por absurdo que n ˜ ao. Existe

y ∈ G tal que

t < y < 2t,

pois 2t n˜ ao ´ e a maior cota inferior, por isso existe y entre t e 2t, subtraindo t

de ambos lados nessa desigualdade tem-se

0 < y − t < t.

Como y tamb´ em n˜ ao ´ e maior cota inferior de G, existe z ∈ G tal que

t < z < y < 2t




ent˜ ao z < y ⇒ y − z > 0 , de t < z temos −z < −t de y < 2t tem-se

y − z < 2t − z < 2t − t = t por isso

0 < y − z < t,

como y, z ∈ G ent˜ ao y − z ∈ G um elemento menor que o ´ ınfimo do conjunto t

o que ´ e absurdo logo t ∈ G e por ser grupo tZ ⊂ G.

Iremos mostrar agora a outra inclus ˜ ao G ⊂ tZ. Suponha que existe x ∈ G \ tZ

ent˜ ao existe n natural tal que

n < x

t < n + 1

⇒nt < x < nt + t,

como x,nt ∈ G segue x−nt ∈ G e subtraindo nt de ambos lados da desigualdadeanterior temos

0 < x − nt < t,

chegando mais uma vez em uma contradic ˜ ao pois ter´ ıamos um elemento menor

que o ´ ınfimo do conjunto. Portanto G ⊂ tZ e tZ ⊂ G logo G = tZ.

2. Se t = 0 ent˜ ao G ´ e denso pois dado x ∈ R arbitr ´ ario e ε > 0 temos y ∈ G tal

que 0 < y < ε. Se x = my para algum m nada precisamos demonstrar, se n ˜ ao,

existe m tal que

m < x

y < m + 1 ⇒ my < x < my + y ⇒

subtraindo my de ambos lados 0 < x − my < y < ε, my ∈ G logo G ´ e denso

em R.

1.5 Cap´ ıtulo 4-Sequencias e s ´ eries de n ´ umeros reais

Questao 1

Propriedade 111. Se lim xn = a ent ˜ ao lim |xn| = |a|.

Demonstracao. Se lim xn = a ent˜ ao

∀ ε > 0, ∃n0 ∈ N | n > n0 ⇒ |xn − a| < ε

por´ em temos a desigualdade ||xn| − |a|| ≤ |xn − a| logo ||xn| − |a|| < ε e lim |xn| = |a|.




Exemplo 23. lim |xn| pode existir por´ em lim xn pode n˜ ao existir, por exem-

plo tomamos xn = (−1)n, ela n ˜ ao converge por´ em |(−1)n| = 1 ´ e constante logo

convergente.

1.5.1 Questao 2

Exemplo 24. Se lim xn = 0 e yn = min {|x1|, · · · , |xn|} ent ˜ ao lim yn = 0.

Por definic ˜ ao vale que 0 ≤ yn ≤ |xn|, como |xn| → 0 ent˜ ao por sandu´ ıche segue

que lim yn = 0.

1.5.2 Questao 3

Propriedade 112. Se lim x2n = a e lim x2n−1 = a ent˜ ao lim xn = a.

Demonstracao. Sejam yn = x2n e z n = x2n−1 como temos lim yn = lim z n = a,

para qualquer ε > 0 existem n0 e n1 tais que para n > n0 vale yn ∈ (a − ε, a + ε)

e n > n1 vale z n ∈ (a − ε, a + ε), escolhendo n2 > max {n0, n1} temos para n ≥ n2

simultaneamente z n, yn ∈ (a−ε, a+ε), x2n−1, x2n ∈ (a−ε, a+ε), ent ˜ ao para n > 2n2 −1temos xn ∈ (a − ε, a + ε) logo vale lim xn = a.

1.5.3 Questao 4

Propriedade 113. Se N =

pk =1

Nk e limn∈Nk

xn = a ent˜ ao lim xn = a.

Demonstracao.Dado ε > 0 fixo e arbitr ´ ario existe nk ∈ Nk tal que ∀ n > nk , n ∈ Nk vale

xn ∈ (a − ε, a + ε) pelo fato de limn∈Nk

xn = a. Tomamos n0 = max {n1, · · · , n p}, da´ ı

vale para n > n0, xn ∈ (a − ε, a + ε) para todo n ∈ Nk com todo k , com isso

uniformizamos o valor do ´ ındice para o qual os termos da sequencia est ˜ ao no mesmo

intervalo (a − ε, a + ε). Como todo n ∈ N pertence a algum Nk ent ˜ ao para n ∈ N

suficientemente grande vale xn em (a − ε, a + ε) . Vamos tentar deixar mais clara a

´ ultima proposic ˜ ao.




Seja n 0 = min {n > n0 |xn ∈ (a − ε, a + ε) ∀ n ∈ Nk , ∀ k }, tal conjunto ´ e n ˜ ao vazio

logo possui m´ ınimo. Para todo n ∈ N, n > n 0 vale xn ∈ (a − ε, a + ε), pois dado

n > n 0 > n0 xn pertence

`a algum Nk e nas condic

˜ oes colocadas na construc

˜ ao do

conjunto para Nk vale xn ∈ (a − ε, a + ε).

1.5.4 Questao 5

Exemplo 25. Pode valer N =

∞k =1

Nk com limn∈Nk

xn = a e lim xn = a.

Como por exemplo, definimos N2 = {2, 22, 23, · · · , 2n, · · · } em geral Nk +1 =

{ p1k , p

2k , · · · , p

n

k , · · · } onde pk ´ e o k -´ esimo primo, definindo N1 como o complementode

∞k =2

Nk em N. Definimos em N2, x2 = 2, xn = 0 para os outros valores, da

mesma forma em Nk +1 definimos x pk = pk e xn = 0 para os outros valores. Em

N1 definimos xn = 0 para todo n. A sequencia xn n ˜ ao converge possui uma

subsequencia que tende a infinito. x2 = 2, x3 = 3, x5 = 5, · · · , x pk = pk , · · · a

subsequencia dos primos.

1.5.5 Questao 6

Corol´ ario da adic ˜ ao e multiplicac ˜ ao de limites.

Corol ´ ario 17. Se lim xn = a e lim xn − yn = 0 ent ˜ ao lim yn = a pois lim yn −

xn = 0 e pelo limite da soma lim yn − xn + xn = lim yn − xn + lim xn = 0 + a = a =

lim yn.

1.5.6 Questao 7

Corol ´ ario 18. Seja a = 0. Se lim yn

a = 1 ent ˜ ao lim yn = a, pois usando

linearidade do limite lim yn

a =

1a

lim yn = 1 portanto lim yn = a.




1.5.7 Questao 8

Corol ´ ario 19. Se lim xn = a e lim xn

yn

= b

= 0 ent ˜ ao lim yn =

a

b

, pois lim yn

xn

=

1b

e da´ ı por limite do produto

lim xn

yn

xn

= lim yn = a

b.

1.5.8 Questao 9

Corol ´ ario 20. Se lim xn = a = 0 e lim xn yn = b ent

˜ ao lim yn =

b

a.

Vale que lim 1xn

= a, da´ ı lim xn yn lim 1xn

= lim xn yn

1xn

= lim yn = b

a.

1.5.9 Questao 10

Propriedade 114. Se existem ε > 0 e p ∈ N tais que ε ≤ xn ≤ n p para

n > n0 ∈ N ent˜ ao lim(xn) 1n .

Demonstracao. Vale ε ≤ xn ≤ n p, tomando a raiz n-´ esima tem-se

ε1n ≤ n

√ xn ≤ (n p)

1n

tomando-se o limite segue pelo teorema do sandu´ ıche que lim(xn) 1n = 1.

1.5.10 Questao 11

Exemplo 26. Usando que a m´ edia aritm´ etica ´ e maior ou igual a m´ ediageom´ etrica, na sequencia de n + 1 n ´ umeros com n n ´ umeros iguais a (1 +

t

n) e um

deles sendo a unidade 1, com isso temos

(

1 +n

k =1(1 + t

n)

n + 1 ) ≥ (

nk =1

(1 + t

n))

1n+1




(n + 1 + t

n + 1 ) = 1 +

t

n + 1 ≥ ((1 +

t

n)n)

1n+1 ⇒ (1 +

t

n + 1)n+1 ≥ (1 +

t

n)n

com t

≥ −1 real. Em especial a sequencia de termo xn = (1 −

1

n

)n´ e crescente e

para n = 2 temos

x2 = 14

da´ ı xn ≥ 14

para n > 1.

1.5.11 Questao 11a.

Exemplo 27. Vale que

lim(1 − 1n

)n(1 + 1n

)n = lim1n = 1

da´ ı lim(1 − 1n

)n = e−1.

1.5.12 Questao 12

Propriedade 115. Sejam a ≥

0, b ≥

0 ent˜ ao

|a1n − b

1n | ≤ |a − b|

1n

Demonstracao. Supondo a ≥ b , definindo c = a1n e d = b

1n , ent˜ ao c − d ≥ 0

por expans˜ ao binomial tem-se

cn = ((c − d) + d)n =

nk =0

n

k

(c − d)k dn−k ≥ dn + (c − d)n ≥ 0

da´ ı cn − dn ≥ (c − d)n ≥ 0 implicando

|a − b| ≥ |a1n − b

1n |n

e da´ ı

|a1n − b

1n | ≤ |a − b|

1n .




Propriedade 116. Se xn ≥ 0 e lim xn = a ent˜ ao lim(xn) 1p = a

1p

Demonstracao. Como lim xn = a ent ˜ ao ∀ ε > 0 conseguimos n0 ∈ N tal quepara n > n0 tem-se |xn − a| < ε p e da´ ı |xn − a|

1p < ε, da desigualdade anterior temos

que

|x1pn − a

1p | ≤ |xn − a|

1p < ε

e da´ ı lim(xn) 1p = a

1p .

Propriedade 117. Seja m racional e (xn) de termos positivos. Se lim xn = a

ent˜ ao lim xn =

a

m

.

Demonstracao.

Escrevemos m = p

q, da´ ı

lim x1qn = a

1q

usando propriedade do produto segue

lim xpqn = a

pq .

1.5.13 Questao 14

Propriedade 118. Seja a, b ≥ 0 e ent ˜ ao lim n√

an + bn = max {a, b}.

Demonstracao. Seja c = max {a, b} ent ˜ ao vale Vale an ≤ cn, bn ≤ cn e da´ ı

an + bn ≤ 2cn da mesma maneira cn ≤ an + bn, pois c ´ e a ou b, logo

cn

≤ an

+ bn

≤ 2cn

c ≤ n√

an + bn ≤ n√

2 c

tomando limites, temos pelo teorema do sandu´ ıche

lim n√

an + bn = c.




Propriedade 119. Sejam (ak ≥ 0)m 1 e c = max {ak , k ∈ Im } ent ˜ ao

limn→∞n m

k =1ank = c.

Demonstracao. Vale ank ≤ cn, tomando a soma, tem-se

m k =1

ank ≤ m.cn, tem-se

tamb´ em cn ≤m

k =1

ank ent˜ ao vale

cn ≤m

k =1

ank ≤ m.cn

tomando a raiz

c ≤ n

m k =1

ank ≤ n

√ m.c

e novamente por teorema do sandu´ ıche tem-se

lim n

m k =1

ank = c.

1.5.14 Questao 15

Definicao 13 (Termo destacado). Dizemos que xn ´ e um termo destacado

quando xn ≥ x p para todo p > n. Isto ´ e quando xn ´ e maior ou igual a todos seus

sucessores.

Propriedade 120. Toda sequencia possui subsequencia mon ´ otona .

Demonstracao.

Seja A ⊂ N o conjunto dos ´ ındices s da sequencia (xn), tais que xs ´ e destacado,

existem dois casos a serem analisados

• Se A ´ e infinito, ent ˜ ao podemos tomar uma subsequencia (xn1, xn2 , · · · ) de termos

destacados formada pelos elementos com ´ ındices em A que ´ e n ˜ ao-crescente com

n1 < n2 < n3 < · · · e com xn1 ≥ xn2 ≥ · · · .




• Se A ´ e finito, tomamos um n1 maior que todos elementos de A da´ ı xn1 n˜ ao ´ e

destacado, existindo xn2 ≥ xn1 com n2 > n1, por sua vez xn2 n ˜ ao ´ e destacado

logo existe n3 > n2 tal que xn3

≥ xn2 , assim constru´ ımos uma subsequ

ˆencia

n˜ ao-decrescente .

1.5.15 Questao 18

Generalizamos o exerc´ ıcio em dois resultados.

Propriedade 121. Sejam (an) e (bn) sequencias limitada tais que an + bn =

1 ∀ n ∈ N, (z n) e (tn) com o mesmo limite a, ent ˜ ao lim an.z n + bn.tn = a.

Demonstracao. Escrevemos

an.z n + bn.tn = an.z n − a.an + a. an =1−bn

+bn.tn = an(z n − a) + a(1 − bn) + bn.tn =

= an(z n − a) + a − a.bn + bn.tn = an(z n − a) + a + bn(tn − a)

da´ ı

liman

(z n

−a

) +a

+bn

(tn

−a

) = a

= liman.z n

+bn.tn

pois an e bn s ˜ ao limitadas e z n − a, tn − a tendem a zero.

Propriedade 122. Se limn→∞

z k (n) = a ∀ k e cada (xk (n)) ´ e limitada com p

k =1

xk (n) = vn → b ent˜ ao limn→∞

pk =1

xk (n)z k (n) = a.b.

Demonstracao. Vale x1(n) = vn −

p

k =2

xk (n).

pk =1

xk (n)z k (n) = x1(n)z 1(n) +

pk =2

xk (n)z k (n) =

= z 1(n) vn −

pk =2

xk (n)z 1(n) +

pk =2

xk (n)z k (n) =

= z 1(n) vn

→a.b

+

pk =2

xk (n) (z k (n) − z 1(n))

→0

→a.b.




1.5.16 Questao 19

Definicao 14 (Sequencia de variac ˜ ao limitada). Uma sequencia (xn) tem

variac ˜ ao limitada quando a sequencia ( vn) com

vn =

nk =1

|∆xk | ´ e limitada.

Propriedade 123. Se (xn) tem variac ˜ ao limitada ent ˜ ao ( vn) converge.

Demonstracao. ( vn) ´ e limitada e n ˜ ao-decrescente, pois ∆vn = |∆xn+1|

≥ 0,

logo ´ e convergente.

Propriedade 124. Se (xn) tem variac ˜ ao limitada ent ˜ ao existe lim xn.

Demonstracao. A s´ erie∞

k =1

|∆xk | converge portanto∞

k =1

∆xk converge absolu-

tamente e vale

xn − x1 =

n−1

k =1

∆xk

⇒xn =

n−1

k =1

∆xk + x1

logo xn ´ e convergente.

Exemplo 28. Se |∆xn+1| ≤ c|∆xn| ∀ n ∈ N com 0 ≤ c < 1 ent ˜ ao (xn) possui

variac ˜ ao limitada. Definimos g(k ) = |∆xk | logo a desigualdade pode ser escrita

como g(k + 1) ≤ cg(k ), Qg(k ) ≤ c aplicamosn−1k =1

de ambos lados, da´ ı

g(n) = |∆xn| ≤ c

n−1

g(1)

somando em ambos lados temos

nk =1

|∆xk | ≤n

k =1

ck −1g(1)

como o segundo termo converge por ser s ´ erie geom´ etrica segue que (xn) ´ e de

variac ˜ ao limitada, logo converge.




Propriedade 125. (xn) tem variac ˜ ao limitada ⇔ xn = yn − z n onde ( yn) e

(z n) s ˜ ao sequencias n˜ ao-decrescentes limitadas.

Demonstracao.⇐).

Seja xn = yn − z n onde ( yn) e (z n) s ˜ ao sequencias n˜ ao-decrescentes limitadas,

ent˜ ao xn tem variac ˜ ao limitada.

vn =

n

k =1

|∆xk | =

n

k =1

|∆yk − ∆z k | ≤n

k =1

|∆yk | +

n

k =1

|∆z k | ≤ |

n

k =1

∆yk | + |

n

k =1

∆z k |

= | yn+1 − y1| + |z n+1 − z 1| < M

pois ( yn) e (z n) s ˜ ao limitadas, logo ( vn) ´ e limitada, isto ´ e, (xn) tem variac ˜ ao limitada.⇒). Dada (xn) com variac ˜ ao limitada. (xn) tem variac ˜ ao limitada ⇔ (xn + c) tem

variac ˜ ao limitada, pois ∆ aplicado as duas sequencias tem o mesmo valor. Escreve-

mos

xn − x1 =

n−1k =1

∆xk

Para cada n definimos Pn o conjunto dos k da soman−1k =1

∆xk tais que ∆xk ≥ 0 e Nn

o conjunto dos k da mesma soma tais que ∆xk < 0, com isso temos uma partic ˜ ao do

conjunto dos ´ ındices e vale

xn − x1 =

n−1k =1

∆xk =k ∈Pn

∆xk yn

−

k ∈Nn

(−∆xk ) z n

( yn) ´ e n ˜ ao decrescente, pois yn+1 = yn caso n˜ ao seja adicionado ´ ındice a Pn+1 emrelac ˜ ao a Pn e yn+1 ≥ yn caso seja adicionado um ´ ındice a Pn+1, pois adicionamos

um termo da forma ∆xk ≥ 0 o mesmo para (z n).

( yn) ´ e limitada pois

k ∈Pn

∆xk ≤n−1k =1

|∆xk | =k ∈Pn

|∆xk | +

k ∈Nn

|∆xk | =k ∈Pn

∆xk +

k ∈Nn

(−∆xk ) < M

da mesma maneira (z n) ´ e limitada.




cujas ra´ ızes s ˜ ao 1 ± √

52

, ficamos com a raiz positiva pois a sequencia ´ e de

termos positivos, logo

lim xn = 1 + √ 52 .

1.5.18 Questao 21

Exemplo 31. Estudar a convergencia da sequencia xn+1 = 1 + √

xn com

x1 = 1.

A sequencia ´ e crescente , pois x2 = 2 > x1, supondo xn+1 > xn temos

√ xn+1 > √ xn ⇒ 1 + √ xn+1 > 1 + √ xn ⇒ xn+2 > xn+1.

A sequencia ´ e limitada superiormente, por 3, por exemplo, pois x1 < 3, supondo

xn < 3 < 4 tem-se√

xn < 2 ⇒ 1 +√

xn < 3 ⇒ xn+1 < 3.

Agora calculamos o limite da sequencia

a = 1 + √ a ⇒ (a − 1)2

= a ⇒ a2

− 3a + 1 = 0

cujas ra´ ızes s˜ ao 3 ± √

52

, n ˜ ao podendo ser 3 −

√ 5

2 que ´ e menor que 1 logo o limite

´ e 3 +

√ 5

2 .

1.5.19 Questao 22

Propriedade 126. (xn) n ˜ ao possui subsequencia convergente ⇔ lim |xn| = ∞.

Demonstracao.⇒).

Se (xn) n ˜ ao possui subsequencia convergente ent ˜ ao lim |xn| = ∞.

Se n˜ ao fosse lim |xn| = ∞, existiria A > 0 tal que ∀ n0, existe n1 > n0 tal

que |xn1 | < A, aplicando o resultado com n1 no lugar de n0, existe n2 > n1 tal que

|xn2 | < A e assim constru´ ımos uma subsequencia (xn1 , xn2 , · · · ) limitada , que possui




uma subsequencia convergente , o que ´ e absurdo.

⇐).

Suponha por absurdo que lim |xn| = ∞ e (xn) possui subsequˆencia convergente,

convergindo para a. Por definic ˜ ao de limite infinito, sabemos que existe n0 tal que

n > n0 implica |xn| > |a| + 10, por (xn) ter subsequencia que converge para a, existe

n1 tal que n > n1 e n ´ ındice da subsequencia, implica |xn − a| < 10 ⇒ |xn| < |a| + 10,

podemos tomar ´ ındice da subsequencia tal que n > n1 e n > n2, logo valeria |xn| <

|a| +10 e |xn| > |a| +10 o que ´ e absurdo, portanto (xn) n ˜ ao pode possuir subsequencia

convergente.

1.5.20 Questao 25

Propriedade 127 (Teste da raz˜ ao para sequencias.). Se xn > 0 ∀ n ∈ N exn+1

xn

≤ c < 1 para n suficientemente grande ent ˜ ao lim xn = 0.

Demonstracao. Existe n0 tal que para k > n0 vale 0 < xk +1

xk

≤ c < 1,

aplicamos o produt ´ orion

k =n0+1

em ambos , de onde segue

0 <

nk =n0+1

xk +1

xk

≤n

k =n0+1

c

0 < xn+1 < x(n0+1)cn−n0

como lim cn = 0, tem-se pelo teorema do sandu´ ıche que lim xn = 0.

Corol ´ ario 21. Dada uma sequencia de termos n ˜ ao nulos (xn), ent ˜ ao (|xn|) ´ e

uma sequencia de termos positivos, se ela satisfaz a propriedade anterior ent ˜ aolim |xn| = 0 o que implica lim xn = 0.

Propriedade 128. Seja (xn) sequencia de termos positivos, se xn+1

xn

≥ c > 1

para n suficientemente grande ent ˜ ao lim xn = ∞.




Demonstracao. Existe n0 ∈ N tal que k > n0 implica xk +1

xk

≥ c, onde c > 1.

Aplicando o produt ´ orio na desigualdade tem-se

nk =n0+1

xk +1

xk

> cn−n0

xn+1 > xn0+1

cn0cn

como lim cn = ∞ segue que lim xn = ∞.

Corol ´ ario 22. Na propriedade anterior podemos trocar xn por |xn| onde xn

n˜ ao se anula, pois (|xn|) ´ e uma sequencia de positivos.

Corol´ ario 23. Se lim xn+1

xn

= a < 1 ent ˜ ao para n suficientemente grande valexn+1

xn

≤ c < 1, logo tamb´ em vale lim xn = 0.

Corol ´ ario 24. Se lim xn+1

xn

= c > 1 a propriedade tamb´ em se verifica pois existe

n0 ∈ N tal que n > n0 implica xn+1

xn

> a > 1 para algum a.

Propriedade 129.

lim n!

nn = 0.

Demonstracao. Definimos xn = n!

nn e vale xn > 0, aplicamos a regra da raz ˜ ao

xn+1

xn

= (n + 1)!

(n + 1)n+1

nn

n! =

n

n + 1

n

= 1

(1 + 1n

)n

o limite ´ e lim xn+1

xn

= 1e

< 1.

nn cresce mais r ´ apido que n!




Propriedade 130. Para todo a > 0 real temos lim an

n! = 0.

Demonstracao. Pelo teste da raz˜ ao, definimos xn = an

n! temos xn > 0 seguexn+1

xn

= an+1n!

(n + 1).n!an =

a

n + 1 e temos lim

xn+1

xn

= 0, logo lim xn = 0.

A propriedade nos diz que n! cresce mais r ´ apido que an.

Corol´ ario 25. lim n!

an = ∞, pois lim

an

n! = 0, isso significa que ∀ A > 0 ∃ n0 ∈

N tal que n > n0

⇒n!

an > A, em especial para A = 1, tem-se n! > an para n

suficientemente grande.

Propriedade 131. Se a > 1 e p natural fixo vale

lim n p

an = 0.

Demonstracao. Definimos xn = n p

an, vale xn > 0 da´ ı podemos aplicar o teste

da raz˜ ao

xn+1

xn

= (n + 1) p

an+1

an

n p =n + 1

n

p 1a ⇒ lim xn+1xn = 1

a 0<

< 1

da´ ı o limite ´ e zero.

Corol ´ ario 26. Se a > 1, p ∈ N ent˜ ao lim an

n p = ∞ pois lim

n p

an = 0.

Tal propriedade mostra que a exponencial an cresce muito mais r ´ apido que n p

para n grande.

Questao 27

Questao 27

Feita no outro gabarito.




Questao 28

Feita no outro gabarito.

1.5.21 Questao 31

Exemplo 32. Mostrar que

lim

nk =1

k p

n p+1 =

1 p + 1

.

Iremos calcular o limite das diferencas do inverso da sequencia

lim (n + 1) p+1 − n p+1

(n + 1) p = lim

[ p−1k =0

p+1

k

nk ] + ( p + 1)n p

(n + 1) p = lim

p−1k =0

p+1

k

nk

(n + 1) p →0

+ lim ( p + 1)n p

(n + 1) p → p+1

= p+1

da´ ı

lim

nk =1

k p

n p+1 =

1 p + 1

.

Questao 33

Quest˜ ao digitada errada

Propriedade 132. Se lim xn = ∞ , com xn > 0 ent ˜ ao lim(

nk =1

x1n

k ) = ∞

Demonstracao. Se limxn = ∞ ent˜ ao lim 1xn

= 0 da´ ı lim (

nk =1

1xk

1n

) = yn

= 0 que

implica

lim 1 yn

= ∞ = lim(

nk =1

x1n

k ).




Exemplo 33. Provar que lim n

(2n)!

n! =

∞. Tomamos xn =

(2n)!

n! da´ ı temos

xn+1

xn =

(2n + 2)(2n + 1)(2n)!

(n + 1)n!

n!

(2n)! =

(2n + 2)(2n + 1)

(n + 1) = 2(2n + 1) → ∞ logo

lim n

(2n)!

n! = ∞.

Exemplo 34. Mostrar que lim n

(2n)!

n!nn =

4e

.

Tomamos xn = (2n)!

n!nn , da´ ı

xn+1

xn

= 2(2n + 1)

n + 11

(1 + 1n

)n

→4e

.

1.5.22 Questao 35

Propriedade 133. Sejam∞

n= u

an e∞

n=s

bn s´ eries de termos positivos. Se

∞n=s

bn = ∞ e existe n0 ∈ N tal que an+1

an

≥ bn+1

bn

para todo n > n0 ent˜ ao∞

n= u

an =

∞.

Demonstracao. an+1an

≥ bn+1bn

, Qak ≥ Qbk tomando o produt ´ orio com k

variando de k = n0 + 1 at´ e n − 1 na desigualdade em ambos lados seguen−1

k =n0+1

Qak = an

an0+1≥

n−1k =n0+1

Qbk = bn

bn0+1, an ≥ an0+1

bn0+1bn

pois temos termos positivos, tomando a s´ erie temos∞

n=n0+1

an ≥ an0

bn0

∞n=n0+1

bn =

∞logo a s´ erie tende ao infinito por comparac ˜ ao.

1.5.23 Questao 36

Propriedade 134. 1. Sejam duas s´ eries

ak e

bk de termos posi-

tivos, se existe lim ak

bk

= a = 0 ent ˜ ao

ak converge ⇔ bk converge

.




2. Se lim ak

bk

= 0 ent˜ ao a convergencia de

bk implica convergencia de

ak .

Demonstracao.

1. Existe n0 ∈ N tal que para k > n0 tem-se

0 < t1 < a − ε < ak

bk

< a + ε < t2

como bk > 0 tem-se

t1bk < ak < t2bk

aplicamos a soman

k =n0+1

, da´ ı

t1

nk =n0+1

bk <

nk =n0+1

ak < t2

nk =n0+1

bk

usando essa desigualdade temos por comparac ˜ ao que se

bk converge ent ˜ aoak converge e se

ak converge ent ˜ ao

bk converge.

2. De maneira similar ao item anterior.

Existe n0

∈ N tal que para k > n0 tem-se

0 ≤ ak

bk

< ε < t2

como bk > 0 tem-se

0 ≤ ak < t2bk

aplicamos a soman

k =n0+1

, da´ ı

0 ≤n

k =n0+1

ak < t2

n

k =n0+1

bk

usando essa desigualdade temos por comparac ˜ ao que se

bk converge ent ˜ aoak converge.




Exemplo 35. Pode valer que

ak converge, valendo lim ak

bk

= 0 e

bk

n˜ ao converge, tome por exemplo ak =

1

k 2, bk =

1

k , bk n

˜ ao converge, lim

ak

bk

=

lim k

k 2 = lim

1k

= 0 e

ak converge, logo a rec´ ıproca do item 2 da propriedade

anterior n˜ ao vale.

1.5.24 Questao 40

Exemplo 36. A s´ erie∞

k =0

a2

(1 + a2)k

converge com qualquer a ∈ R. Vale que 1 ≤ a2 + 1 ∀ a ∈ R logo 0 < 11 + a2

≤ 1,

portanto a s´ erie converge por ser s ´ erie geom´ etrica. Sabemos que∞

k =0

bk = 11 − b

,

substituindo b = 1

a2 + 1, chegamos no resultado

∞

k =0

1(1 + a2)k

= a2 + 1

a2 ⇒∞

k =0

a2

(1 + a2)k = a2 + 1.

Questao 41

Exemplo 37. Calcule

n−1k =1

1k (k + 1) . . . (k + p)

.

Escrevemos

1k (k + 1) . . . (k + p)

= k + p − k

pk (k + 1) . . . (k + p) =

1 p

(

f(k ) 1

k (k + 1) . . . (k + p − 1) −

f(k +1) 1

(k + 1) . . . (k + p −

−∆f(k )

p




logo calculamos a soma telesc ´ opica

n−1

k =1

1

k (k + 1) . . . (k + p)

=

n−1

k =1

−∆f(k )

p

= −1

p

(f(n) − f(1))

com lim f(n) = 0 e f(1) = 1 p!

segue que

∞k =1

1k (k + 1) . . . (k + p)

= 1 p! p

.

Questao 42

Propriedade 135. Sejam as s´ eries ak e ak

1 + ak . ak converge ⇔ ak

1 + ak

converge.

Demonstracao. ⇒.

ak converge e vale

0 ≤ ak ⇒ 1 ≤ 1 + ak ⇒ 11 + ak

≤ 1 ⇒ ak

1 + ak

≤ ak

pelo crit´ erio de comparac ˜ ao segue que ak

1 + ak

converge.

⇐. ak

1 + ak

converge ent ˜ ao

lim ak

1 + ak

= 0 ⇒ lim1 − 1

ak + 1 = 0 ⇒ lim

1ak + 1

= 1

da´ ı por propriedade de limite lim ak + 1 = 1 ⇒ lim ak = 0 ent ˜ ao existe n0 tal que para

k > n0 tem-se ak ≤ 1

ak + 1 ≤ 2

⇒12 ≤ 1

ak + 1 ⇒ak

2 ≤ ak

ak + 1

logo por comparac ˜ ao ak converge .

Propriedade 136. Seja (xk ) uma sequencia de n ´ umeros n˜ ao negativos com

a s´ erie

xk convergente ent ˜ ao

x2k ´ e convergente.

Demonstracao.[1] Como

ak ´ e convergente, vale lim ak = 0 e da´ ı para

k > n0 vale xk < 1 que implica x2k ≤ xk logo por comparac ˜ ao

x2

k converge.




Demonstracao.[2] Como temos xk ≥ 0 segue tamb´ em x2k ≥ 0, sendo ent ˜ ao

s(n) =

n

k =b

x2k temos ∆s(n) = x2

n+1 ≥ 0, logo s(n) ´ e n ˜ ao decrescente, se mostrarmos que

a s´ erie ´ e limitada superiormente teremos uma sequencia que ´ e limitada e mon´ otonalogo convergente. Temos que s(n) ´ e limitada superiormente da seguinte maneira

nk =b

x2k ≤ (

nk =b

xk )(

nk =b

xk )

logo a s´ erie ´ e convergente.

1.5.25 Questao 43

Propriedade 137. Se

ak , ak > 0 converge ent ˜ ao a s´ erie √

ak

k tamb´ em

converge .

Demonstracao. Usando a desigualdade de Cauchy

(

nk =1

xk yk )2 ≤ (

nk =1

x2k )(

nk =1

y2k )

com yk = 1k

e xk = √ ak tem-se

(

nk =1

√ ak

k )2 ≤ (

nk =1

ak )(

nk =1

1k 2

)

e tem-se tamb´ emn

k =1

√ ak

k ≤ (

nk =1

√ ak

k )2 ≤ (

nk =1

ak )(

nk =1

1k 2

)

de onde por comparac ˜ ao segue o resultado .

Corol ´ ario 27. Se

x2k , converge ent ˜ ao a s´ erie

xk

k tamb´ em converge, basta

usar o resultado anterior com ak = x2k .

Questao 44




Propriedade 138. Seja (an) uma sequencia n˜ ao-crescente de n ´ umeros reais

positivos. Se ak converge ent ˜ ao lim nan = 0.

Demonstracao. Usaremos o crit´ erio de Cauchy . Existe n0 ∈ N tal que para

n + 1 > n0 vale2na2n

2 = na2n ≤

2nk =n+1

ak < ε

logo lim2na2n = 0. Agora mostramos que a subsequencia dos ´ ımpares tamb´ em tende

a zero. Vale a2n+1 ≤ a2n da´ ı 0 < (2n+1)a2n+1 ≤ 2na2n +a2n por teorema do sandu´ ıche

segue o resultado. Como as subsequencias pares e ´ ımpares de (nan) tendem a zero,

ent˜ ao a sequencia tende a zero.

Corol ´ ario 28. A s´ erie harmonica 1

k diverge, pois (

1n

) ´ e decrescente e vale

lim n

n = 1 = 0.

1.5.26 Questao 46

Propriedade 139 (Crit´ erio de condensac ˜ ao de Cauchy). Seja (xn) uma

sequencia n˜ ao-crescente de termos positivos ent ˜ ao

xk converge ⇔ 2k .x2k

converge.

Demonstracao. Usaremos a identidade

n−1s=0

2s+1−1k =2s

f(k ) =

2n−1k =1

f(k ).

⇒).

Vamos provar que se

xk converge ent ˜ ao

2k .x2k converge, usando a con-

trapositiva, que ´ e equivalente logicamente, vamos mostrar que se

2k .x2k diverge

ent˜ ao

xk diverge.

Como xk ´ e n ˜ ao-crescente ent ˜ ao vale

2sx2s+1 =

2s+1−1k =2s

x2s+1 ≤2s+1−1

k =2s

xk




aplicando 2n−1s=0

segue

n−1s=0

2s+1x2s+1 ≤2n−1k =1

xk

logo se

2sx2s diverge ent ˜ ao

xk diverge.⇐).

Vamos provar que se

2k .x2k converge ent ˜ ao ent˜ ao

xk converge, de maneira

direta. Usando que2s+1−1

k =2s

xk ≤2s+1−1

k =2s

x2s = 2sx2s

aplicandon−1s=0

segue que

2n−1k =1

xk ≤n−1s=0

2sx2s

da´ ı se

2sx2s converge ent˜ ao

xk converge .

1.5.27 Questao 48

Propriedade 140. Sejam a,b > 0 ∈ R, x1 =√

ab,y1 = a + b

2 , xn+1 =

√ xn.yn,

yn+1 = xn + yn

2 . Ent˜ ao (xn) e ( yn) convergem para o mesmo limite.

Demonstracao. Sabemos que yn ≥ xn pela desigualdade das m´ edias, ent˜ ao

xn.yn ≥ x2n ⇒ √

xn.yn ≥ xn ⇒ xn+1 ≥ xn,

ent˜ ao (xn) ´ e crescente . Da mesma maneira yn ´ e decrescente pois de xn

≤ yn tem-se

xn + yn ≤ 2 yn da´ ı yn+1 = (xn + yn)

2 ≤ yn . Como vale x1 ≤ xn ≤ yn ≤ y1 para todo n,

conclu´ ımos que xn e yn s ˜ ao convergentes, por serem mon ´ otonas e limitadas .

yn+1 = xn + yn

2

tomando o limite

y = x + y

2

⇒x = y.




Definicao 15 (M´ edia aritm´ etico-geom´ etrica). Dados dois n ´ umeros reais

positivos a e b o valor comum para o qual convergem as sequencias (xn) e ( yn)

definidas na propriedade anterior se chama m ´ edia aritm´ etico-geom´ etrica de a e b.

1.6 Cap´ ıtulo 5-Topologia da reta

1.6.1 Questao 1

Propriedade 141 (Caracterizac ˜ ao de abertos por meio de sequencias). Seja

A ⊂ R. A ´ e aberto ⇔ ∀ (xn) com lim xn = a ∈ A,

∃n0 ∈ N | n > n0 ⇒ xn ∈ A

ent˜ ao A ´ e aberto. Em outras palavras A ´ e aberto ⇔ ∀ (xn) com lim xn = a ∈ A

se verifica xn ∈ A para n suficientemente grande.

Demonstracao.

⇒).

Suponha A aberto, com a ∈ A logo existe ε > 0 tal que (a − ε, a + ε) ⊂ A e porlim xn = a existe n0 ∈ N tal que n > n0 implica xn ∈ (a − ε, a + ε) logo xn ∈ A.⇐). Vamos usar a contrapositiva que no caso diz: Se A n ˜ ao ´ e aberto ent ˜ ao

existe (xn) com lim xn = a ∈ A e xn /∈ A. Lembrando que a contrapositiva de

p ⇒ q ´ e q ⇒ p, (onde ´ e o s ´ ımbolo para negac ˜ ao da proposic ˜ ao) sendo

proposic ˜ oes equivalentes, as vezes ´ e muito mais simples provar a contrapositiva do

que a proposic ˜ ao diretamente.

Se A n ˜ ao ´ e aberto, existe a ∈ A tal que a n ˜ ao ´ e ponto interior de A, assim ∀ ε > 0

, (a − ε, a + ε) ∩ (R \ A) = ∅, ent ˜ ao podemos tomar uma sequencia (xn) em R \ A queconverge para a ∈ A.

1.6.2 Questao 2

Propriedade 142 (Caracterizac ˜ ao de sequencias por meio de abertos).

lim xn = a

⇔ ∀ aberto A com a ∈ A existe n0 ∈ N tal que n > n0 implica




xn ∈ A.

Demonstracao.

⇒).

Seja A um aberto com a ∈ A, ent ˜ ao existe ε > 0 tal que (a − ε, a + ε) ⊂ A e por

lim xn = a existe n0 ∈ N | n > n0 tem-se xn ∈ (a − ε, a + ε), logo xn ∈ A.⇐).

Supondo que ∀ aberto A com a ∈ A existe n0 ∈ N tal que n > n0 implica xn ∈ A,

ent˜ ao em especial para todo ε > 0 podemos tomar o aberto A = (a − ε, a + ε) e tem-se

lim xn = a pela definic ˜ ao de limite.

Questao 3

Propriedade 143. Se A ´ e aberto e x ∈ R ent˜ ao x + A = {x + a , a ∈ A} ´ e

aberto .

Demonstracao.[1-Crit´ erio de sequencias] Seja (xn) tal que lim xn = x + a ∈x + A , vamos mostrar que xn ∈ x + A para todo n suficientemente grande, da´ ı x + A

´ e aberto.

xn = x + yn com yn

→ a, da´ ı como A ´ e aberto, segue que yn ∈ A para n

suficientemente grande, o que implica xn = x + yn ∈ A para os mesmos valores de n,logo x + A ´ e aberto.

Demonstracao.[2]

• Primeiro observamos que w ∈ x + A ⇔ w − x ∈ A.

⇒). Se w ∈ x + A ent˜ ao w = x + a para algum a ∈ A, logo w − x = a ∈ A.

⇐). Se w − x ∈ A existe a ∈ A tal que w − x = a logo w = x + a, da´ ı segue

w ∈ x + A.

• Tomamos y ∈ x + A , vamos mostrar que y ´ e ponto interior . Sabemos que

existe a ∈ A tal que y = x + a e a ´ e ponto interior de A, logo existe ε > 0 tal

que

a − ε < t < a + ε ⇒ t ∈ A.

Seja w arbitr ´ ario tal que y −ε < w < y+ε , isto ´ e, w ∈ ( y−ε, y+ε), substituindo

y = x + a temos x + a − ε < w < x + a + ε, subtraindo x de ambos lados

a − ε < w − x < a + ε,




da´ ı w − x ∈ A de onde segue w ∈ x + A, logo ( y − ε, y + ε) ⊂ x + A.

Propriedade 144. Se x = 0 e A ´ e aberto ent ˜ ao x.A = {x.a, a ∈ A} ´ e aberto .

Demonstracao. Utilizaremos o crit´ erio de sequencias. Seja (xn) com lim xn =

x.a ∈ xA, vamos mostrar que para n suficientemente grande xn ∈ xA, de onde tem-

se xA aberto. xn ´ e da forma xyn onde yn → a ∈ A, como A ´ e aberto segue que

para n suficientemente grande vale yn ∈ A, da´ ı para os mesmos valores de n vale

xn = xyn ∈ xA como quer´ ıamos demonstrar.

1.6.3 questao 4

Propriedade 145. Definimos A + B = {a + b, a ∈ A , b ∈ B}. Se B ´ e aberto

ent˜ ao A + B ´ e aberto .

Demonstracao.

Escrevemos

A + B = a∈A

(a + B)

como cada a + B ´ e aberto ent ˜ ao A + B ´ e aberto por ser uni ˜ ao de abertos.

Propriedade 146. Definimos A.B = {a.b, a ∈ A, b ∈ B} . Se A ´ e aberto e B

qualquer tal que 0 /∈ A, B ent˜ ao A.B ´ e aberto .


A.B = a∈A

a.B

cada a.B ´ e aberto, logo A.B ´ e aberto.

1.6.4 Questao 5

1.6.5 intA ∪ intB ⊂ int(A ∪ B).




Propriedade 147. Vale

intA ∪ intB ⊂ int(A ∪ B).

Demonstracao. Seja x ∈ intA ent ˜ ao existe ε > 0 tal que (x − ε, x + ε) ∈ A

logo (x − ε, x + ε) ⊂ A ∪ B e (x − ε, x + ε) ⊂ int(A ∪ B) o mesmo para B, logo vale

intA ∪ intB ⊂ int(A ∪ B).

1.6.6 int(A ∩ B) = int(A) ∩ int(B).

Propriedade 148.

int(A ∩ B) = int(A) ∩ int(B).

Demonstracao. Primeiro vamos mostrar que int(A ∩ B) ⊂ int(A) ∩ int(B). Se

x ∈ int(A ∩ B) ent˜ ao existe ε > 0 tal que (x − ε, x + ε) ⊂ (A ∩ B) da´ ı (x − ε, x + ε) ⊂ A

e (x − ε, x + ε) ⊂ B , o que implica que (x − ε, x + ε) ⊂ intA e (x − ε, x + ε) ⊂ intB ,

provando a primeira parte.

Vamos mostrar agora que intA

∩ intB

⊂ int(A

∩ B). Dado x

∈ intA

∩ intB,

sabemos que tal conjunto ´ e aberto por ser intersecc ˜ ao de abertos, logo existe ε > 0

tal que (x − ε, x + ε) ⊂ intA ∩ intB da´ ı (x − ε, x + ε) ⊂ intA e (x − ε, x + ε) ⊂ intB,

logo (x − ε, x + ε) ∈ A, B provando o resultado.

1.6.7 Questao 6

Propriedade 149. Seja A um aberto e F um fechado, ent ˜ ao A \ F ´ e aberto.

Demonstracao. Se A \ F ´ e vazio, ent˜ ao ´ e aberto. Se n˜ ao, existe x ∈ A \ F

logo x ∈ A, como A ´ e aberto, existe ε1 > 0 tal que (x − ε1, x + ε1) ⊂ A e como

x /∈ F que ´ e fechado, ent ˜ ao ele n ˜ ao pertence ao fecho, da´ ı existe ε2 > 0 tal que

(x − ε2, x + ε2) ∩ F = ∅, tomando ε < min {ε1, ε2} segue que (x − ε, x + ε) ⊂ A e nenhum

ponto desse intervalo pertence a F, da´ ı (x − ε, x + ε) ⊂ A \ F, logo o conjunto ´ e aberto.

Podemos escrever F \ A como

F \ A = (R \ A) ∩ F




tal conjunto ´ e ent ˜ ao fechado, da mesma maneira

A \ F = (R \ F) ∩ A

logo A \ F ´ e aberto.

Exemplo 38. Se A ´ e aberto ent ˜ ao A \ {a} ´ e aberto, pois {a} ´ e fechado.

1.6.8 Questoes 7 e 8

Propriedade 150. Seja A um aberto . f : A

→f(A) ´ e cont´ ınua

⇔ f−1(A ) ´ e

aberto onde A ´ e um aberto qualquer de f(A).

Demonstracao.⇒). Supondo f : A → f(A) cont´ ınua. Como A ´ e aberto f(A) possui um conjunto

aberto pelo TVI, pois a imagem de um intervalo de A ´ e um intervalo de f(A).

Tomamos A ⊂ f(A) aberto. Dado a ∈ f−1(A ) arbitr ´ ario tem-se f(a) ∈ A , como

A ´ e aberto existe ε > 0 tal que (f(a) − ε, f(a) + ε) ⊂ A , por f ser cont´ ınua, existe

δ > 0 tal que x ∈ (a − δ, a + δ) ∩ A

⇒f(x) ∈ (f(a) − ε, f(a) + ε), por A ser aberto o δ

pode ser escolhido de maneira tal que (a − δ, a + δ) ∩ A = (a − δ, a + δ), logo

f((a − δ, a + δ)) ⊂ (f(a) − ε, f(a) + ε) ⊂ A

disso conclu´ ımos que (a − δ, a + δ) ⊂ f−1(A ), logo o conjunto ´ e aberto.⇐). Supondo que ∀ A aberto f−1(A ) ´ e aberto vamos mostrar que f : A → f(A) ´ e

cont´ ınua.

Dado a ∈ A arbitr´ ario tomamos f(a) e (f(a) − ε, f(a) + ε) = A . Vale que a ∈f−1(A )

f−1

(A ) ´ e aberto por hip ´ otese, logo existe δ > 0 tal que x ∈ (a − δ, a + δ) ⊂f−1(A ) ⇒ f(x) ∈ (f(a) − ε, f(a) + ε) da´ ı f ´ e cont´ ınua em a.

Propriedade 151. Seja A um aberto. Se f : R → R ´ e cont´ ınua, ent ˜ ao f−1(A)

´ e aberto.

Demonstracao. Seja a1 ∈ f−1(A) ent˜ ao existe a ∈ A tal que f(a1) = f(a).

Vamos mostrar que a1 ´ e ponto interior de f−1(A).




Como A ´ e aberto, dado a ∈ A existe δ > 0 tal que (a−δ, a+δ) = Ia ⊂ A, a imagem

desse intervalo ´ e um intervalo( pois a func ˜ ao ´ e cont´ ınua) que cont´ em um intervalo

aberto centrado em f(a), por isso podemos tomar ε > 0 tal que (f(a) − ε, a + ε) ⊂f(Ia) ⊂ f(A).

Ainda por continuidade existe δ1 > 0 tal que para x ∈ (a1 −δ1, a1 +δ1) tem-se f(x) ∈(f(a1)−ε, f(a1)+ε) = (f(a)−ε, f(a)+ε) ⊂ f(A) disso segue que (a1−δ1, a1+δ1) ⊂ f−1(A)

pois a imagem desse conjunto est ´ a contida em f(A), logo a1 ´ e ponto interior de f−1(A).

Exemplo 39. Dadas as func ˜ oes f,g,h : R → R com f(x) = ax + b, a = 0,

g(x) = x2 e h (x) = x3 ent˜ ao para qualquer aberto A ⊂ R tem-se f−1(A), g−1(A) e

h −1(A) abertos, pelo resultado anterior, j ´ a que as func ˜ oes s ˜ ao cont´ ınuas.

Definicao 16 (Homeomorfismo). Uma func ˜ ao f : A → B ´ e dita ser um

homeomorfismo quando ´ e uma bĳec ˜ ao cont´ ınua com inversa continua.

Propriedade 152. Seja f : A → B um homeomorfismo, ent ˜ ao A ´ e aberto ⇔B ´ e aberto.

Demonstracao.⇒). Suponha A aberto, considere a func˜ ao g : B → A, inversa de f, vale que

g−1(A) = B por g ser bĳec ˜ ao, ent˜ ao por continuidade B ´ e aberto.⇐). Suponha B aberto. f−1(B) = A por ser bĳec ˜ ao e por resultado anterior A ´ e

ent˜ ao aberto.

Com isso conclu´ ımos que um homeomorfismo leva abertos em abertos.

Exemplo 40. Dadas f e h do exemplo anterior elas s ˜ ao bĳec ˜ oes com inversas

cont´ ınuas portanto levam abertos em abertos, dado A aberto vale que f(A) e

h (A) s ˜ ao abertos. Existe A aberto tal que g(A) n˜ ao ´ e aberto, como por exemplo

A = (−1, 1) que possui imagem [0, 1).




1.6.9 Questao 9

Propriedade 153. Toda colec ˜ ao de intervalos n˜ ao degenerados dois a dois

disjuntos ´ e enumer´ avel.

Demonstracao. Seja A o conjunto dos intervalos n˜ ao degenerados dois a

dois disjuntos. Para cada intervalo I ∈ A escolhemos um n ´ umero racional q e com

isso definimos a func˜ ao f : A → Q, definida como f(I) = q, tal func˜ ao ´ e injetiva

pois os elementos I = J de A s ˜ ao disjuntos , logo n˜ ao h´ a possibilidade de escolha

de um mesmo racional q em pontos diferentes do dom´ ınio, logo a func ˜ ao nesses

pontos assume valores distintos . Al´ em disso Podemos tomar um racional em cada

um desses conjuntos pois os intervalos s ˜ ao n˜ ao degenerados e Q ´ e denso. Comof : A → Q ´ e injetiva e Q ´ e enumer´ avel ent ˜ ao A ´ e enumer´ avel.

1.6.10 Questao 10

Propriedade 154. O conjunto A dos valores de aderencia de uma sequencia

(xn) ´ e fechado.

Demonstracao. Temos que mostrar que A = A. J ´ a sabemos que vale A ⊂ A,falta mostrar que A ⊂ A . Se a ∈ A ent˜ ao a ∈ A, vamos demonstrar a contrapositiva

que ´ e se a /∈ A ent˜ ao a /∈ A.

Se a /∈ A ent ˜ ao existe ε > 0 tal que (a − ε, a + ε) n˜ ao possui elementos de (xn)

da´ ı n ˜ ao pode valer a ∈ A.

1.6.11 Questao 11

Propriedade 155. Seja F ´ e fechado e A ⊂ F ent˜ ao A ⊂ F.

Demonstracao. Seja a ∈ A

a ∈ A ⇒ a ∈ F

a /∈ A, da´ ı existe (xn) em A( logo (xn) em F) tal que lim xn = a, logo a ∈ F pois F ´ e fechad




1.6.12 Questao 12

Propriedade 156. Dada uma sequencia (xn) o fecho de X = {xn, n ∈ N} ´ e

X = X ∪ A onde A ´ e o conjunto dos valores de aderencia de (xn).

Demonstracao. Inicialmente podemos perceber que X ∪ A ⊂ X pois X ⊂ X e

A ⊂ X, esse ´ ultimo pois ´ e formado pelo limite de subsequencias de X, que definem

de modo natural sequencias.

Agora iremos mostrar que X ⊂ X ∪A. Se x ∈ X ent ˜ ao x ∈ A ∪X. Se x ∈ X \ X ent ˜ ao

vamos mostrar que x ∈ A, isto ´ e, existe uma subsequencia de termos de (xn) que

converge para x. x ∈ X \ X implica que todo intervalo (x − ε, x + ε) possui elementos

de X distintos de x, isto ´ e, possui termos xn da sequencia.Definimos indutivamente n1 = min {n ∈ N | |xn − a| < 1} supondo definidos de

n1 at´ e nk definimos nk +1 = min {n ∈ N \ {n1, · · · , nk } | |xn − a| < 1k + 1

}, da´ ı (xnk) ´ e

subsequencia de (xn) e converge para a, logo a ∈ A.

Corol ´ ario 29. Se (xn) converge, ent˜ ao o ´ unico valor de aderencia de (xn) ´ e

lim xn = a, portanto

X = X ∪ {a}.

1.6.13 Questao 13

Propriedade 157. Os elementos do conjunto de Cantor s ˜ ao os n ´ umeros

no intervalo [0, 1 ] cuja representac ˜ ao na base 3 s ´ o cont´ em algarismos 0 e 2, n ˜ ao

possuindo algarismo 1 (Com excec ˜ ao para n ´ umeros que tem representac ˜ ao finita e

possuem 1 no ´ ultimo algarismo, por´ em tal n ´ umero pode ser substitu´ ıdo por umasequencia infinita de algarismos 2)

Exemplo 41. 14

pertence ao conjunto de cantor pois temos sua representac ˜ ao




como

0, 02 =

∞

k =1

232k

=

∞

k =1

29k

= 29

11 − 1

9

= 14

lembrando que um traco em cima da parte decimal significa que tal parte se repete

na representac ˜ ao.

1.6.14 Questao 20

Propriedade 158. Vale que

A ∪ B = A ∪ B.

Demonstracao. Vamos mostrar inicialmente que A ∪ B ⊂ A ∪ B.

De A ⊂ A ∪ B e B ⊂ A ∪ B segue que A ⊂ A ∪ B e B ⊂ A ∪ B da´ ı A ∪ B ⊂ A ∪ B.

Agora mostramos que A ∪ B ⊂ A ∪ B. Seja x ∈ A ∪ B, ent˜ ao existe uma sequencia

(xn) ∈ A∪B tal que lim xn = x, tal sequencia possui um n ´ umero infinito de elementos

em A ou B, logo podemos tomar uma sequencia ( yn) em A ou B tal que lim yn = x ∈A ∪ B o que prova o que desejamos.

Propriedade 159. Vale que A∩

B ⊂

A∩

B.

Demonstracao. Tem-se que A ∩ B ⊂ A e A ∩ B ⊂ B , logo A ∩ B ⊂ A e

A ∩ B ⊂ B de onde segue A ∩ B ⊂ A ∩ B.

Exemplo 42. Podemos ter conjuntos X e Y tais que

X ∩ Y = X ∩ Y ?

Sim, basta tomar X = (a, b) e Y = (b, c), temos que X = [a, b ] , Y = [b, c ] ,

X ∩ Y = {b} e X ∩ Y = ∅ de onde X ∩ Y = ∅ , logo s ˜ ao diferentes.

1.6.15 Questao 22

Exemplo 43. Sendo Ak = [k,∞) (fechados n˜ ao limitados) temos uma




sequencia de intervalos que s ˜ ao conjuntos fechados por´ em a intersec ˜ ao

∞

k =1

Ak = A

´ e vazia, pois suponha que exista t ∈ A, da´ ı existe k > t e t /∈ [k,∞) = Ak logo

n˜ ao pode pertencer a intersec ˜ ao de todos esses conjuntos.

Da mesma maneira existe uma sequencia decrescente de intervalos abertos

limitados com intersec ˜ ao vazia, sendo Bk = (0, 1k

) (limitados, n˜ ao fechados)

∞

k =1

Bk = B

B ´ e vazio, pois se houvesse um elemento nele x > 0, conseguimos k tal que1k

< x da´ ı x n˜ ao pertence ao intervalo (0, 1k

) = Bk portanto n˜ ao pode pertencer a

intersec ˜ ao.

1.6.16 Questao 23

Propriedade 160. Um conjunto I ⊂ R ´ e um intervalo

⇔ a < x < b com

a

, b

∈ I implica x ∈ I.

Demonstracao.⇒). Se I ´ e um intervalo ent ˜ ao ele satisfaz a propriedade descrita.⇐). Se a definic ˜ ao tomada de intervalo for: dados a , b elementos de I se para

todo x tal que a < x < b ent˜ ao x ∈ I, logo o conjunto I deve ser um dos nove tipos

de intervalos.

Caso I seja limitado, inf I = a e sup I = b, se a < x < b, existem a , b tais que

a < x < b logo x

∈ I, isto ´ e, os elementos entre o supremo e o ´ ınfimo do conjunto

pertencem ao intervalo. Vejamos os casos

• inf I = a, sup I = b s ˜ ao elementos de I, logo o intervalo ´ e da forma [a, b ].

• a /∈ I, b ∈ I, o intervalo ´ e do tipo (a, b ].

• a ∈ I e b /∈ I, o intervalo ´ e do tipo [a, b).

• a /∈ I e b /∈ I tem-se o intervalo (a, b). Com isso terminamos os tipos finitos de

intervalos.




Se I ´ e limitado inferiormente por´ em n˜ ao superiormente.

• a ∈ I , gera o intervalo [a,

∞).

• a /∈ I, tem-se o intervalo (a,∞).

Se I ´ e limitado superiormente por´ em n˜ ao inferiormente.

• b ∈ I , gera o intervalo (−∞, b ].

• b /∈ I, tem-se o intervalo (−∞, b).

O ´ ultimo caso, I n˜ ao ´ e limitado

I = (−∞,∞)

1.6.17 Questao 25

Propriedade 161. A ´ e denso em R ⇔ int(R \ A) ´ e vazio.

Demonstracao.

⇒). Vale que A = int(A) ∪ ∂A = R e R = intA ∪ ∂A ∪ int(R \ A) como a uni ˜ ao ´ e

disjunta, segue que int(R \ A) =

∅.⇒).

Se int(R \ A) ´ e vazio ent ˜ ao

R = intA ∪ ∂A ∪ int(R \ A) = intA ∪ ∂A = A

como A = R ent˜ ao A ´ e denso em R.

1.7 Cap´ ıtulo 8-Derivadas

1.7.1 Questao 1

Propriedade 162 (Teorema do sandu´ ıche para derivadas). Sejam f,g,h :

X → R tais que para todo x ∈ X se tenha

f(x) ≤ g(x) ≤ h (x)




m´ aximo no ponto x = 0 e as derivadas laterais s ˜ ao

limh →0+

f(h )

h

= limh →0+

−|h |

h

= −1

limh →0−

f(h )

h = lim

h →0+

−|h |

h = 1

pois no primeiro caso |h | = h , pois h → 0+ e no segundo |h | = −h , pois h → 0−.

1.7.3 Questao 3

Propriedade 163. Seja p : R

→ R um polinomio de grau ´ ımpar e t um

n ´ umero par. Existe c

∈ R tal que

Dt p(c) = 0.

Demonstracao. Basta mostrar que a t-´ esima derivada de um polinomio de

grau ´ ımpar ´ e um polinomio de grau ´ ımpar(ou func ˜ ao nula) se t ´ e par, pois todo

polinomio de grau ´ ımpar possui soluc ˜ ao real. Sejam, n > t e

p(x) =

n

k =0

ak xk ,

basta saber a t-´ esima derivada de xn o termo de mais alto grau, como vale Dtxn =

t!

n

t

xn−t, n ´ ımpar e t ´ e par implicam que n − t ´ e ´ ımpar, da´ ı Dt p(x) ´ e polinomio

de grau ´ ımpar e existe c ∈ R tal que Dt p(c) = 0. No caso de t > n tem-se Dt p(x) =

0 ∀ ; x.

Corol ´ ario 30. Em especial se t = 2, existe c ∈ R tal que p (c) = 0.

1.7.4 Questao 4

Propriedade 164. Se f : A → R ´ e deriv ´ avel em a ∈ int(A) ent˜ ao

limh →0

f(a + h ) − f(a − h )

2h = f (a).

Demonstracao. Como f ´ e deriv´ avel em a ∈ intA podemos escrever f(a +h ) =

f(a)+ f (a)h +r(h ) onde limh →0

r(h )

h = 0, podemos tomar f(a−h ) = f(a)− f (a)h +r(−h ),




subtraindo as duas express ˜ oes e dividindo por 2h , tem-se

f(a + h ) − f(a − h )

2h = f (a) +

r(h ) − r(−h )

2h →0

tomando o limite segue que

limh →0

f(a + h ) − f(a − h )

2h = f (a).

Exemplo 45. O limite limh →0

f(a + h ) − f(a − h )

2h pode existir por´ em a func ˜ ao

pode n˜ ao ser deriv´ avel em a, considere por exemplo f : R → R dada por f(x) = |x|,no ponto a = 0 ela n ˜ ao ´ e deriv´ avel por´ em

limh →0

|h | − | − h |

2h = lim

h →0

|h | − |h |

2h = 0.

O limite pode existir por´ em a func˜ ao mesmo n ˜ ao ser cont´ ınua no ponto, como

a func ˜ ao definida como f(x) = 0 se x ≤ 0, f(x) = 1 se x > 0. Ela n˜ ao ´ e cont´ ınua

em 0, por´ em o limite citado existe, pois tomando o limite pela direita

limh →0+

f(h ) − f(−h )

2h = lim

h →0+

12h

= 0

e pela esquerda

limh →0−

f(h ) − f(−h )

2h = lim

h →0+

−12h

= 0.

1.7.5 Questao 5

Propriedade 165 (Caracterizac ˜ ao de Carath´ eodory). f ´ e deriv´ avel em a ⇔existe g : A → R cont´ ınua em a tal que f(x) = f(a) + g(x)(x − a) ∀ x ∈ A.

Demonstracao. ⇐) . Suponha que existe g : A → R cont´ ınua em a tal que

f(x) = f(a) + g(x)(x − a), da´ ı para x = a tem-se

f(x) − f(a)

x − a = g(x)




como existe limx→a

g(x) por g ser cont´ ınua em a, ent ˜ ao existe limx→a

f(x) − f(a)

x − a = f (a) =

g(a), logo f ´ e deriv´ avel.

⇒). Supondo que f seja deriv´ avel, ent˜ ao podemos escrever f(a + h ) = f(a) +f (a)h + r(h ), se h = 0, definimos g(a + h ) = f (a) +

r(h )

h , se h = 0 definimos

g(a) = f (a), ent˜ ao vale que

f(a + h ) = f(a) + g(a + h ).h

se h = 0 e se h = 0 tamb´ em, al´ em disso g ´ e cont´ ınua em a, pois de g(a + h ) =

f (a) + r(h )

h , tomando lim

h →0, tem-se

limh →0 g(a + h ) = f (a) = g(a).

Questao 8

Veremos um lema que ajudar ´ a na pr ´ oximo resultado.

♣ Lema 1. Sejam (an) e (bn) sequencias limitada tais que an + bn = 1 ∀ n ∈ N, (z n)

e (tn) com o mesmo limite a, ent ˜ ao lim an.z n + bn.tn = a.


an.z n + bn.tn = an.z n − a.an + a. an =1−bn

+bn.tn = an(z n − a) + a(1 − bn) + bn.tn =

= an(z n − a) + a − a.bn + bn.tn = an(z n − a) + a + bn(tn − a)

da´ ı

lim an(z n − a) + a + bn(tn − a) = a = lim an.z n + bn.tn

pois an e bn s˜ ao limitadas e z n − a, tn − a tendem a zero.

Propriedade 166. Seja f : A → R deriv´ avel em a. Se xn < a < yn ∀ n e

lim xn = lim yn = a ent˜ ao lim f( yn) − f(xn)

yn − xn

= f (a).

Demonstracao. Comecamos com uma manipulac ˜ ao alg´ ebrica

f( yn) − f(xn)

yn − xn

= f( yn) − f(a) − f(xn) + f(a)

yn − xn

= f( yn) − f(a)

yn − xn

− f(xn) − f(a)

yn − xn

=




= f( yn) − f(a)

yn − xn

+

−xn + a

yn − xn

f(xn) − f(a)

xn − a

=

= f( yn) − f(a)

yn − xn

+ yn − xn − yn + a

yn − xn

f(xn) − f(a)

xn − a

=

= f( yn) − f(a)

yn − xn

+

1 −

yn − a

yn − xn

f(xn) − f(a)

xn − a

=

=

yn − a

yn − xn

=tn

f( yn) − f(a)

yn − a

+

1 −

yn − a

yn − xn

f(xn) − f(a)

xn − a

=

= tnf( yn) − f(a)

yn − a

→f (a)

+(1 − tn)f(xn) − f(a)xn − a

→f (a)

observamos que (tn) ´ e limitada pois xn < a ⇒ yn − a < yn − xn ⇒ yn − a

yn − xn

< 1,

pois yn > xn da´ ı podemos dividir por yn − xn sem alterar a desigualdade. Da mesma

maneira vale 0 < yn − a e da´ ı 0 < yn − a

yn − xn

< 1, logo (tn) ´ e limitada, o mesmo vale

para 1 − tn, logo aplicamos o lema anterior que nos garante que

lim f( yn) − f(xn) yn − xn

= lim tnf( yn) − f(a) yn − a

→f (a)

+(1 − tn)f(xn) − f(a)xn − a

→f (a)

= f (a).

Questao 9

Questao 10

Exemplo 46. Seja f : R

→R dada por f(x) = x2sen(

1x

) se x = 0 e f(0) = 0,

tomamos xn = 1nπ e yn = 1nπ + π 2

, da´ ı vale lim xn = lim yn = 0

f(xn) = 1

(nπ )2sen(nπ ) = 0

f( yn) = 1

(nπ + π 2 )2

sen(nπ + π

2) =

(−1)n

(nπ + π 2 )2




pois sen(nπ + π

2) = sen(nπ )

=0

cos(π

2) + sen(

π

2)cos(nπ ) = (−1)n, da´ ı

f( yn) − f(xn) yn − xn

= f( yn) yn − xn

yn − xn = 1

nπ + π 2

− 1nπ

= nπ − nπ − π

2

(nπ + π 2 )(nπ )

= − π

2

(nπ + π 2 )(nπ )

f( yn) − f(xn)

yn − xn

= (−1)n+1

(nπ + π 2 )2

.2n(nπ + π

2) =

(−1)n+1

(nπ + π 2 )

.2n = (−1)n+1

(π + π 2n

).2

que n˜ ao converge, pois para n par temos −1

(π + π 2n

).2 → −1

π .2 e para n ´ ımpar tem-se

1(π + π

2n)

.2 → 1π

.2 duas subsequencias convergindo para valores distintos, logo a

sequencia n˜ ao converge.

Tal func ˜ ao ´ e deriv´ avel no 0, pois

limx→0

x2sen( 1x

) − 0x

= limx→0

xsen(1x

) = 0

em outros pontos distintos de 0 a func ˜ ao tamb´ em ´ e deriv´ avel por ser produto de

func ˜ oes deriv´ aveis.

Portanto tal func ˜ ao ´ e deriv´ avel no ponto x = 0 por´ em o limite f( yn) − f(xn)

yn − xn

n˜ ao converge quando lim xn = lim yn = 0. A func ˜ ao derivada de f satisfaz

f (x) =

2xsen(1x

) − cos(1x

) se x = 0

0 se x = 0

que n˜ ao ´ e cont´ ınua em x = 0, da´ ı a func ˜ ao f ´ e deriv´ avel em toda a reta por´ em

possui derivada descont´ ınua.

Questao 13

Propriedade 167. Se f : I → R satisfaz |f( y) − f(x)| ≤ c| y − x|α com α >

1, c > 0, x , y ∈ R arbitr ´ arios ent ˜ ao f ´ e constante.




Demonstracao. De |f( y) − f(x)| ≤ c| y − x|α tomamos x = a ∈ R fixo por´ em

arbitr´ ario

0 ≤ f( y) − f(a)

y − a ≤ c| y − a|α −1

com α − 1 > 0, aplicamos o limite de ambos os lados e pelo teorema do sandu´ ıche

segue que f (a) = 0, logo f ´ e constante.

Questao 15

Propriedade 168. Se f ´ e deriv´ avel em I e f ´ e cont´ ınua em a ent ˜ ao ∀ xn = yn

com lim xn = lim yn = a ent˜ ao

lim f( yn) − f(xn)

yn − xn

= f (a).

Demonstracao. Pelo TVM, para cada yn, xn existe z n entre eles tal que

f( yn) − f(xn)

yn − xn

= f (z n)

da´ ı lim z n = a por sanduiche e lim f (z n) = f (a) por continuidade, logo

lim f( yn) − f(xn)

yn − xn

= lim f (z n) = f (a).

1.8 Cap´ ıtulo 8-Sequencias e s ´ eries de funcoes

Questao 1

Exemplo 47. Sejam fn(x) = x2n, gn(x) = x2n+1, h n(x) = (1 − x2)n determine o

limite dessas func ˜ oes em [−1, 1 ], examine a convergencia uniforme.

Se |x| < 1, fixo, temos lim x2n = lim x2n+1 = 0, fn(1) = 1 = gn(1) = fn(−1) = 1

e gn(−1) = −1, logo para essas sequencias de func ˜ oes a convergencia n˜ ao ´ e

uniforme, pois temos sequencias de func ˜ oes cont´ ınuas convergindo para func ˜ oes

descont´ ınuas, se a convergencia fosse uniforme a continudade de func ˜ oes seria

preservada pelo limite. Para h , temos h n(1) = 0, h n(−1) = 0, h n(0) = 1, se |x| < 1

e x = 0 ent ˜ ao 0 < x2 < |x| < 1 o que implica 0 < 1 − x2 < 1 logo lim h n(x) = 0. A




convergencia n˜ ao ´ e uniforme pelo mesmo motivo das outras sequencias.

Questao 2

Exemplo 48. A sequencia de func ˜ oes fn : [0, 1 ] → R, fn(x) = nx(1 − x)n

converge, por´ em n˜ ao uniformemente. Apesar disso vale

10

lim fn(x)dx = lim 1

0fn(x)dx.

Temos que fn → 0 pois em x = 0 ou 1 a sequencia se anula em x ∈ (0, 1) temos

0 < 1−x < 1 logo por sequencia geom´ etrica ela tende a zero. Agora a convergencia

n˜ ao ´ e uniforme pois para k suficientemente grande temos xk = 1k ∈ (0, 1) , tomando

nk = k

|fnk(xk )| ≥ 13

pois isso equivale a

n1n

(1 − 1n

)n = (1 − 1n

)n → 1e

como e < 3 temos 13

< 1e

para n grande suficientemente grande, conseguimos

colocar 13

< (1 − 1n

)n < 1e

, por isso n˜ ao temos a convergencia uniforme . Agora

calculamos a integral 1

0fn(x)dx, fazendo a mudanca y = 1 − x, ficamos com a

integral 10

nx(1 − x)ndx =

10

n(1 − y) yndy = n

n + 1 −

n

n + 2 → 0

a outra integral tamb´ em ´ e nula, logo temos a igualdade de troca de limite com

integral .

Questao 6

Exemplo 49. Sabemos que se fn → p f e gn → p g ent˜ ao fn + gn → p f + g

e gnfn → fg (convergencia pontual ou simples) e se f(x) = 0∀ x no dom´ ınio e

fn(x) = 0, tais propriedades valem, pois se fixamos x temos sequencias de n ´ umeros

reais das quais sabemos que valem tais propriedades.




Propriedade 169 (Adic ˜ ao de uniformemente convergentes). Se fn → u f e

gn → u g em A ent ˜ ao (fn + gn) → u (f + g) em A.

Questao 7

Propriedade 170 (Produto de uniformemente convergentes). Se fn → u f ,

gn → u g, com f e g limitadas em A ent˜ ao fn.gn → u f.g

Demonstracao. Sabemos que se f e g s ˜ ao limitadas ent ˜ ao para valores de n

suficientemente grandes cada fn e gn s ˜ ao limitadas, valendo |fn(x)| ≤ K e |g(x)| ≤ K1.

Podemos escreverfn(x).gn(x) − f(x).g(x) = fn(x).gn(x) + −fn(x)g(x) + fn(x)g(x)

0

−f(x).g(x) =

= fn(x).[gn(x) − g(x)] + g(x)[fn(x) − f(x)]

para n grande podemos tomar |gn(x) − g(x)| < ε

2K e |fn(x) − f(x)| <

ε

2K1, tomando a

desigualdade triangular aplicada na express˜ ao acima

|fn(x).gn(x) − f(x).g(x)| =

= |fn(x).[gn(x) − g(x)] + g(x)[fn(x) − f(x)]| ≤ |fn(x)|.|gn(x) − g(x)| + |g(x)||fn(x) − f(x)| ≤K

ε

2K + K1

ε

2K1=

ε

2 +

ε

2 = ε.

Propriedade 171 (Quociente de uniformemente convergente). Se gn → u g,

com |g(x)| ≥ c em A ent ˜ ao 1gn

→ u

1g

.

Demonstracao.

Como |g(x)| ≥ c ∀ x ent ˜ ao 1|g(x)| ≤ 1c , logo para n > n0 vale 1|gn(x)|

≤ K ⇒1

|g(x)||gn(x)| ≤ K

c, por convergencia uniforme, podemos tomar |gn(x) − g(x)| ≤ cε

Klogo

| 1

gn(x) −

1g(x)

| = |g(x) − gn(x)

gn(x)g(x) | =

|gn(x) − g(x)|

|gn(x)g(x)| ≤ K

c

cε

K = ε

logo temos 1gn

→ u

1g

.




Corol´ ario 31. Se fn → u f, gn → u g, com |g(x)| ≥ c e f limitada em A ent˜ aofn

gn → u

f

g, pois

1gn → u g e da´ ı por produto de func ˜ oes uniformemente convergentes

que convergem para func ˜ oes limitadas vale que fn

gn

→ u fg

.

Exemplo 50. Se xn → 0 uma sequencia n˜ ao nula e g(x) ´ e ilimitada em A

ent˜ ao fn(x) = [xn + g(x)]2 n˜ ao converge uniformemente em A.

Vale que

fn(x) = x2n + 2g(x)xn + g(x)2

temos que h n(x) = x2n e tn(x) = g(x)2 convergem uniformemente, ent ˜ ao para

mostrar que fn n˜ ao converge uniformemente basta mostrar que sn(x) = g(x)xn

n˜ ao converge uniformemente.

Dado ε = 1 para qualquer n fixado, como g ´ e ilimitada em A, podemos tomar

x tal que |g(x)| > 1|xn|

da´ ı |xn||g(x)| > 1, isto ´ e,

|xng

(x

) − 0

| > 1

ent ˜ ao sn(x) n ˜ ao converge uniformemente.

Como um exemplo podemos tomar g(x) polinomio e xn = 1n

. Essa exemplo

mostrar como o produto de sequencias uniformemente convergentes pode n ˜ ao ser

uniformemente convergente.

Um exemplo simples ´ e considerar x ∈ A ilimitado e fn(x) = x

n, h n(x) = x e

tn(x) =

1

n convergem uniformemente, por´ em seu produto n˜ ao .

questoes 9 e 10

Definicao 17. Seja E um espaco m´ etrico, ent˜ ao

BC(E) = {f : E → R | f ´ e cont´ ınua e limitada}.




B na notac ˜ ao pode lembrar da palavra em ingles "Bound"para func˜ ao limitada

e C para cont´ ınua, BC(E) ´ e o conjunto das func ˜ oes f : E

→R que s ˜ ao cont´ ınuas

e limitadas. Poder´ ıamos trocar R no contradom´ ınio por outro conjunto W nessecaso poder´ ıamos denotar BCW (E) desde que esteja definido o que continuidade e

func˜ ao limitada , por exemplo se W ´ e um espaco m´ etrico.

Definicao 18 (Norma infinito). Para f ∈ BC(E) definimos

||f||∞ = supx∈E

|f(x)|.

Tal definic ˜ ao faz sentido pois f ´ e limitada.

Propriedade 172. fn → u f ⇔ limn→∞

||f − fn||∞ = 0.

Demonstracao.

⇒).

Se fn → u f ent˜ ao ∀

ε > 0 ∃

n0

∈ N tal que n > n0 tem-se |fn(x) − f(x)| <

ε

2 ∀ x

∈ E

isso implica que limn→∞

||f(x) − fn(x)||∞ = 0 pois deve valer supx∈E

|fn(x) − f(x)| < ε para

n > n0 logo ||f(x) − fn(x)||∞ < ε de onde segue o resultado.⇐). Se limn→∞

||f(x) − fn(x)||∞ = 0, ent˜ ao para qualquer ε > 0 existe n0 ∈ N tal que

para n > n0 ||f(x)−fn(x)||∞ < ε logo supx∈E

|fn(x)−f(x)| < ε e da´ ı |fn(x)−f(x)| < ε ∀ x ∈ E

que significa fn → u f.

Propriedade 173. (BC(E), || ||∞) ´ e um espaco vetorial normado completoa

aEspacos vetoriais normados completos s ˜ ao chamado de espaco de Banach.

Demonstracao. BC(E) ´ e um espaco vetorial, pois espaco de func ˜ oes ´ e um

espaco vetorial e dada f, g em BC(E) ent˜ ao cf + g ´ e limitada e cont´ ınua, com c ∈ R.

Agora mostramos que a norma infinito define uma norma neste espaco .

• Vale que ||f||∞ ≥ 0 pela definic ˜ ao de ser supremo do m ´ odulo . Agora, se

||f||∞ = 0 ent ˜ ao a func ˜ ao deve ser nula, pois se fosse n ˜ ao nula em um ponto x,

ter´ ıamos |f(x)| > 0 o supremo n ˜ ao seria nulo.




• Se c ∈ R, por propriedade do supremo temos

||cf||∞ = supx∈E

|cf(x)| = |c| supx∈E

|f(x)| = |c|||f||∞.

• Mais uma vez por propriedade de supremo temos

||f+g||∞ = sup |f(x)+g(x)| ≤ supx∈E

{|f(x)|+|g(x)|} ≤ supx∈E

|f(x)|+supx∈E

|g(x)| = ||f||∞+||g||∞.

Perceba que n˜ ao usamos continuidade de f nessas tres primeiras propriedades,

ent˜ ao valem mesmo com f n ˜ ao cont´ ınua.

• Al´ em disso BC(E) ´ e completo, pois tomando fn uma sequencia de func ˜ oes

em BC(E) que seja convergente a uma func˜ ao f com a norma infinito vamos

mostrar que f ´ e cont´ ınua e limitada logo pertence a BC(E). Isto ´ e verdade poislim

n→∞||fn − f||∞ = 0 significa que fn → u f como cada fn ´ e cont´ ınua ent ˜ ao f ´ e

cont´ ınua, al´ em disso ´ e limitada pois

||f||∞ = ||f − fn + fn||∞ ≤ ||f − fn||∞ + ||fn||∞ ≤ M

portanto BC(E) ´ e completo.

Corol ´ ario 32. Vale que

|||f||∞ − ||g||∞| ≤ ||f − g||∞

pois temos ||f||∞ ≤ ||f − g||∞ + ||g||∞ e ||g||∞ ≤ ||f − g||∞ + ||f||∞ por desigualdade

triangular.

Propriedade 174. Se f, g ∈ BC(E) ent˜ ao fg ∈ BC(E) . Em especial vale que

||f.g||∞ ≤ ||f||∞||g||∞

Demonstracao. Temos que

||fg||∞ = supx∈E

|f(x)g(x)| ≤ supx∈E

|f(x)| supx∈E

|g(x)| = ||f||∞||g||∞.

Portanto temos a parte da limitac ˜ ao, fg tamb´ em ´ e cont´ ınua, pois o produto de func ˜ oes

cont´ ınuas ´ e uma func ˜ ao cont´ ınua. Por isso f.g ∈ BC(E). Perceba que n ˜ ao usamos

continuidade para demonstrar a desigualdade.




Questao 15

Propriedade 175 (Convergencia uniforme e continuidade uniforme). Seja

(fn) uma sequencia de func ˜ oes uniformemente cont´ ınuas de T em R convergindo

uniformemente para uma func ˜ ao f : T → R, ent ˜ ao f ´ e uniformemente cont´ ınua em

T .

Demonstracao. Seja ε > 0, pela convergencia uniforme de (fn) para f, existe

m ∈ N tal que |fm (x) − f(x)| < ε

3 para todo x ∈ T. Como fm ´ e uniformemente cont´ ınua

, existe r > 0 tal que se |x − y| < r implica |fm (x) − fm ( y)| < ε

3 e pela convergencia

pontual de fm

para f temos |fm

( y)) − f( y)| < ε

3, somando as desigualdades segue

|f(x)−f( y)| ≤ |fm ( y) − f( y)| convergencia de fm( y)

+ |fm (x) − fm ( y)| continuidade uniforme de fm

+ |fm (x) − f(x)| Convergencia uniforme

logo a func ˜ ao ´ e uniforememente cont´ ınua .

Questao 20

Propriedade 176. Sejam g : Y → R uniformemente cont´ ınua, fn : X → R,

fn → u f, f(X) ⊂ Y e fn(X) ⊂ Y ∀ n, ent ˜ ao g ◦ fn → u g ◦ f.

Demonstracao. Temos que mostrar que

∀ ε > 0 ∃n0 ∈ N | n > n0 ⇒ |g(fn(x)) − g(f(x))| < ε ∀ x.

Como g ´ e uniformemente cont´ ınua dado ε > 0 existe δ > 0 tal que |x − y | < δ ⇒|g(x) − g( y)| < ε, como fn

→ u f ent ˜ ao existe n0 ∈ N | n > n0 implica | fn(x)

x

− f(x)

y

| <

δ ∀ x logo por g ser uniformemente cont´ ınua temos

|g(fn(x)) − g(f(x))| < ε ∀ x.

Vale tamb´ em que fn ◦g → u f◦g quando g(Y ) ⊂ X , caso contr ´ ario n˜ ao faz sentido

a composic ˜ ao, pois por convergencia uniforme

∀ ε > 0 ∃δ > 0 | n > n0 ⇒ |fn( y) − f( y)| < ε ∀ y ∈ X

em especial para g(x) = y.




Questao 26

Propriedade 177. Se∞

k =1

fk → u

f em A ent˜ ao f

n → u 0 em A.

Demonstracao.

Aplicamos o crit´ erio de Cauchy, ∀ ε > 0 existe n0 ∈ N tal que n, n − 1 > n0

implica

|

nk =1

fk (x) −

n−1k =1

fk (x)| ≤ ε, ∀ x

|fn(x)| ≤ ε, ∀ x

o que implica a convergencia uniforme fn → u 0.

Questao 28

Propriedade 178. Se

|gn| converge uniformemente em A e existe M > 0

tal que |fn(x)| ≤ M para todo n ∈ N, x ∈ A ent ˜ ao

gnfn converge absolutamente

e uniformemente.

Demonstracao. Vamos aplicar o crit ´ erio de Cauchy

|

m k =n

gk (x)fk (x)| ≤m

k =n

|gk (x)| |fk (x)| ≤ M

m k =n

|gk (x)|

por convergencia uniforme de

|gn| podemos tomarm

k =n

|gk (x)| < ε

M, ∀ x para

ε arbitr ´ ario e n, m suficientemente grandes, pelo crit´ erio de Cauchy logo temos a

convergencia uniforme e absoluta como quer´ ıamos .

Questao 29

Propriedade 179 (Crit´ erio de Dirichlet). Sejam (fn), (gn) definidas em E tais

que (

nk =1

fk (x) sn(x)

) seja uniformemente limitada, gn → u 0,

g1(x) ≥ g2(x) ≥ g3(x) ≥ · · · ,




isto ´ e, (gn(x)) ´ e decrescente para x fixo. Nessas condic ˜ oesn

k =1

fk (x)gk (x) converge

uniformemente.

Demonstracao. Vamos usar o crit´ erio de Cauchy para convergencia uni-

forme, lembrando que |sn(x)| ≤ M ∀ x ∈ E, n ∈ N, gn(x) → u 0 logo para m > n

suficientemente grande, podemos tomar |gn+1(x)| < ε

3M, |gm +1(x)| <

ε

3M e gn+1(x) −

gm +1(x) ≤ ε

3M, todas valendo para ∀ x ∈ E, agora aplicamos a t´ ecnica de soma por

partes

|

m k =n+1

gk (x)fk (x)| = |

m k =n+1

gk (x)∆sk −1(x)| =

= |sk −1(x)gk (x)m +1

n+1+

m k =n+1

sk (x) ∆ − gk (x) >0

| ≤

|sm (x)gm +1(x) − sn(x)gn+1(x)| +

m k =n+1

|sk (x)| ≤M

∆ − gk (x) ≤

M |gm +1(x)| < ε

3M

+M |gn+1(x)| < ε

3M

+M (gn+1(x) − gm +1(x)) < ε

3M

≤ ε ∀ x

ent˜ ao pelo crit´ erio de Cauchy temos convergencia uniforme.

solucoeselon2

Documents

Transcript of solucoeselon2