Séries numéricas Convergência absoluta Cálculo Integral
Série absolutamente convergente
∑ an é absolutamente convergente
quando ∑ |an| é convergente.
absolutamente convergente⇒ convergente
an é absolutamente convergente, então a série é também convergente.
Dem. : Note que 0 ≤ an + |an| ≤ 2|an|.
Como ∑ |an| é convergente, temos pelo critério de comparação que∑
(an + |an|) converge.
an = ∑
(an + |an|)− |an| converge. ∗
Nota : Este teorema pode auxiliar a verificação de convergência quando tem alternância de sinal.
Prof.a Dr.a Priscila S. Ferreira Séries numéricas 3 / 25
absolutamente convergente⇒ convergente
an é absolutamente convergente, então a série é também convergente.
Dem. : Note que 0 ≤ an + |an| ≤ 2|an|.
Como ∑ |an| é convergente, temos pelo critério de comparação que∑
(an + |an|) converge.
an = ∑
(an + |an|)− |an| converge. ∗
Nota : Este teorema pode auxiliar a verificação de convergência quando tem alternância de sinal.
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Caio Miranda
Caio Miranda
Caio Miranda
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Caio Miranda
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an é absolutamente convergente, então a série é também convergente.
Dem. : Note que 0 ≤ an + |an| ≤ 2|an|.
Como ∑ |an| é convergente, temos pelo critério de comparação que∑
(an + |an|) converge.
an = ∑
(an + |an|)− |an| converge. ∗
Nota : Este teorema pode auxiliar a verificação de convergência quando tem alternância de sinal.
Prof.a Dr.a Priscila S. Ferreira Séries numéricas 3 / 25
Caio Miranda
an é absolutamente convergente, então a série é também convergente.
Dem. : Note que 0 ≤ an + |an| ≤ 2|an|.
Como ∑ |an| é convergente, temos pelo critério de comparação que∑
(an + |an|) converge.
an = ∑
(an + |an|)− |an| converge. ∗
Nota : Este teorema pode auxiliar a verificação de convergência quando tem alternância de sinal.
Prof.a Dr.a Priscila S. Ferreira Séries numéricas 3 / 25
absolutamente convergente⇒ convergente
an é absolutamente convergente, então a série é também convergente.
Dem. : Note que 0 ≤ an + |an| ≤ 2|an|.
Como ∑ |an| é convergente, temos pelo critério de comparação que∑
(an + |an|) converge.
an = ∑
(an + |an|)− |an| converge. ∗
Nota : Este teorema pode auxiliar a verificação de convergência quando tem alternância de sinal.
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Volta do Teorema
convergente⇒ absolutamente convergente ?
Série harmônica alternada é convergente, MAS não é absolutamente convergente.
Estes tipos de séries recebem um nome especial:
Definição Quando
Prof.a Dr.a Priscila S. Ferreira Séries numéricas 4 / 25
Caio Miranda
Caio Miranda
Caio Miranda
Caio Miranda
Caio Miranda
Caio Miranda
Série harmônica alternada é convergente, MAS não é absolutamente convergente.
Estes tipos de séries recebem um nome especial:
Definição Quando
Prof.a Dr.a Priscila S. Ferreira Séries numéricas 4 / 25
Volta do Teorema
convergente⇒ absolutamente convergente ?
Série harmônica alternada é convergente, MAS não é absolutamente convergente.
Estes tipos de séries recebem um nome especial:
Definição Quando
Prof.a Dr.a Priscila S. Ferreira Séries numéricas 4 / 25
Caio Miranda
Caio Miranda
Caio Miranda
Caio Miranda
Caio Miranda
Caio Miranda
Caio Miranda
Caio Miranda
Caio Miranda
Caio Miranda
Caio Miranda
Série harmônica alternada é convergente, MAS não é absolutamente convergente.
Estes tipos de séries recebem um nome especial:
Definição Quando
Prof.a Dr.a Priscila S. Ferreira Séries numéricas 4 / 25
Volta do Teorema
convergente⇒ absolutamente convergente ?
Série harmônica alternada é convergente, MAS não é absolutamente convergente.
Estes tipos de séries recebem um nome especial:
Definição Quando
Prof.a Dr.a Priscila S. Ferreira Séries numéricas 4 / 25
Exemplo
n(n + 1) .
Caio Miranda
Caio Miranda
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n2 .
Prof.a Dr.a Priscila S. Ferreira Séries numéricas 6 / 25
Caio Miranda
Caio Miranda
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Exercício – reposta
n2 .
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Teste da razão
Seja ∑
an com an 6= 0 para todo n ∈ IN e lim n→∞
an+1
Prof.a Dr.a Priscila S. Ferreira Séries numéricas 9 / 25
Exemplo
n! .
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nn .
Prof.a Dr.a Priscila S. Ferreira Séries numéricas 11 / 25
Exercício – desenvolvimento
nn .
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Função de Bessel de ordem 0: J0(x) = ∞∑
n=0
Caio Miranda
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Prof.a Dr.a Priscila S. Ferreira Séries numéricas 14 / 25
Exemplo
7n2 − 2n 3n2 + 1
Caio Miranda
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Figura: Soma inferior S` . Fonte STEWART
1.1 + 1 22 .1 +
Teste da integral
Figura: Soma inferior S` . Fonte STEWART
1.1 + 1 22 .1 +
Caio Miranda
Caio Miranda
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Caio Miranda
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Caio Miranda
Caio Miranda
Caio Miranda
Caio Miranda
Caio Miranda
Caio Miranda
Caio Miranda
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Teste da integral
Pelo o que vimos na parte de integrais, temos que a série converge, pois
S` ≤ ∫ b
Teste da integral
Vamos utilizar integrais para verificar a divergência de uma série também.
Figura: Soma superior Su . Fonte STEWART
1.1 + 1√ 2 .1 +
Teste da integral
Vamos utilizar integrais para verificar a divergência de uma série também.
Figura: Soma superior Su . Fonte STEWART
1.1 + 1√ 2 .1 +
Teste da integral
Vamos utilizar integrais para verificar a divergência de uma série também.
Figura: Soma superior Su . Fonte STEWART
1.1 + 1√ 2 .1 +
Caio Miranda
Caio Miranda
Caio Miranda
Caio Miranda
Caio Miranda
Caio Miranda
Caio Miranda
Caio Miranda
Caio Miranda
Caio Miranda
Caio Miranda
Caio Miranda
Caio Miranda
Caio Miranda
Caio Miranda
∑ an e an ≥ 0 para todo n > n0 ∈ IN.
Considere f : [n0,+∞)→ IR contínua, decrescente e positiva com f (n) = an para todo n > n0 ∈ IN. Então
a) ∫ ∞
n0
snn0 =
Como ∫ ∞
n0
f (x)dx converge, temos que a sequência (snn0 ) é crescente e
limitada, portanto convergente.
Teste da integral
∑ an e an ≥ 0 para todo n > n0 ∈ IN.
Considere f : [n0,+∞)→ IR contínua, decrescente e positiva com f (n) = an para todo n > n0 ∈ IN. Então
a) ∫ ∞
n0
snn0 =
Como ∫ ∞
n0
f (x)dx converge, temos que a sequência (snn0 ) é crescente e
limitada, portanto convergente.
Teste da integral
∑ an e an ≥ 0 para todo n > n0 ∈ IN.
Considere f : [n0,+∞)→ IR contínua, decrescente e positiva com f (n) = an para todo n > n0 ∈ IN. Então
a) ∫ ∞
n0
snn0 =
Como ∫ ∞
n0
f (x)dx converge, temos que a sequência (snn0 ) é crescente e
limitada, portanto convergente.
Teste da integral
∑ an e an ≥ 0 para todo n > n0 ∈ IN.
Considere f : [n0,+∞)→ IR contínua, decrescente e positiva com f (n) = an para todo n > n0 ∈ IN. Então
a) ∫ ∞
n0
snn0 =
Como ∫ ∞
n0
f (x)dx converge, temos que a sequência (snn0 ) é crescente e
limitada, portanto convergente.Prof.a Dr.a Priscila S. Ferreira Séries numéricas 19 / 25
Exemplo
n2 + 1 .
Para usar o teste da integral é necessário verificar se f com f (n) = an
é contínua, decrescente e positiva.
Considere f (x) = 1
x2 + 1 , temos que é contínua e positiva.
Para verificar que é decrescente, basta notar que f ′(x) = − 2x (x2 + 1)2 < 0 para
todo x > 0. Logo o teste da integral pode ser utilizado.
Como ∫ ∞
1
n2 + 1 converge.
Exemplo
n2 + 1 .
Para usar o teste da integral é necessário verificar se f com f (n) = an
é contínua, decrescente e positiva.
Considere f (x) = 1
x2 + 1 , temos que é contínua e positiva.
Para verificar que é decrescente, basta notar que f ′(x) = − 2x (x2 + 1)2 < 0 para
todo x > 0. Logo o teste da integral pode ser utilizado.
Como ∫ ∞
1
n2 + 1 converge.
Exemplo
n2 + 1 .
Para usar o teste da integral é necessário verificar se f com f (n) = an
é contínua, decrescente e positiva.
Considere f (x) = 1
x2 + 1 , temos que é contínua e positiva.
Para verificar que é decrescente, basta notar que f ′(x) = − 2x (x2 + 1)2 < 0 para
todo x > 0. Logo o teste da integral pode ser utilizado.
Como ∫ ∞
1
n2 + 1 converge.
Exemplo
n2 + 1 .
Para usar o teste da integral é necessário verificar se f com f (n) = an
é contínua, decrescente e positiva.
Considere f (x) = 1
x2 + 1 , temos que é contínua e positiva.
Para verificar que é decrescente, basta notar que f ′(x) = − 2x (x2 + 1)2 < 0 para
todo x > 0.
Como ∫ ∞
1
n2 + 1 converge.
Exemplo
n2 + 1 .
Para usar o teste da integral é necessário verificar se f com f (n) = an
é contínua, decrescente e positiva.
Considere f (x) = 1
x2 + 1 , temos que é contínua e positiva.
Para verificar que é decrescente, basta notar que f ′(x) = − 2x (x2 + 1)2 < 0 para
todo x > 0. Logo o teste da integral pode ser utilizado.
Como ∫ ∞
1
n2 + 1 converge.
Exemplo
n2 + 1 .
Para usar o teste da integral é necessário verificar se f com f (n) = an
é contínua, decrescente e positiva.
Considere f (x) = 1
x2 + 1 , temos que é contínua e positiva.
Para verificar que é decrescente, basta notar que f ′(x) = − 2x (x2 + 1)2 < 0 para
todo x > 0. Logo o teste da integral pode ser utilizado.
Como ∫ ∞
1
convergente,
n2 + 1 converge.
Exemplo
n2 + 1 .
Para usar o teste da integral é necessário verificar se f com f (n) = an
é contínua, decrescente e positiva.
Considere f (x) = 1
x2 + 1 , temos que é contínua e positiva.
Para verificar que é decrescente, basta notar que f ′(x) = − 2x (x2 + 1)2 < 0 para
todo x > 0. Logo o teste da integral pode ser utilizado.
Como ∫ ∞
1
n2 + 1 converge.
Exercício
n2e−n3 .
Prof.a Dr.a Priscila S. Ferreira Séries numéricas 21 / 25
Exercício – desenvolvimento
n2e−n3 .
Note que a função f (x) = x2e−x3 é positiva, contínua e decrescente para todo
x > 3 √
Caio Miranda
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n .
Prof.a Dr.a Priscila S. Ferreira Séries numéricas 23 / 25
Exercício – desenvolvimento
n .
é positiva, contínua e decrescente.∫ ∞ 1
x−1/2dx =∞, logo pelo teste da integral ∑ 1√
n diverge.
Referências
Guidorizzi, H. L., Um curso de Cálculo, V. 4, Livros Técnicos e Científicos Ed. Ltda, 5a edição (2002).
Stewart, J., Cálculo, V. 2, São Paulo: Cengage Learning, 7a edição (2013).
Lima, Elon L., , Análise Real, V. 1, IMPA: RJ, 12a edição (2017).
Lima, Elon L., , Curso de Análise, V. 1, IMPA: RJ, 14a edição (2017).
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